数学

在2~4上服从均匀分布

也可以D(x)=E(x²)-[E(x)]²。

如果X、Y独立，则：E(XY)=E(X)*E(Y)如果不独立，可以用定义计算：先求出X、Y的联合概率密度，再用定义。或者先求出Cov(x,y)再用公式 Cov(X,Y)=E(XY)--E(X)*E(Y)，D（X±Y）=D（X）+D(Y)±2*Cov(X,Y)

数学期望在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。扩展资料：离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数等，因而称这随机变量是连续型随机变量。参考资料来源：百度百科-数学期望参考资料来源：百度百科-均值

概率积分=1

如果随机变量只取得有限个值或无穷能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率p（xi）乘积之和称为该离散型随机变量的数学期望 (若该求和绝对收敛），记为E（x），是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。离散型随机变量X的取值为为X对应取值的概率，可理解为数据出现的频率f（Xi），则：扩展资料：离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，?，20，而不能取小数3.5、无理数根号20，因而k是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数根号20等，因而称这随机变量是连续型随机变量。

2+1/2=5/2

r在数学中代表实数集。在数学中，R代表实数集。因为实数的英文单词是real number，所以实数集用R表示；实数可以直观地看作是有限小数和无限小数、实数和数轴上的点的一一对应关系，但实数的整体不能仅仅通过枚举来描述。实数集是包含所有有理数和无理数的集合,通常用大写字母R表示。R集合的加法定理：1、对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的加法a+b，且a+b属于R。2、加法有恒元0，且a+0=0+a=a（从而存在相反数）。3、加法有交换律，a+b=b+a。4、加法有结合律，(a+b)+c=a+(b+c)。R集合的乘法定理：1、对于任意属于集合R的元素a、b，可以定义它们的乘法a·b，且a·b属于R。2、乘法有恒元1，且a·1=1·a=a（从而除0外存在倒数）。3、乘法有交换律，a·b=b·a。4、乘法有结合律，(a·b)·c=a·(b·c)。5、乘法对加法有分配率，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

告诉你的邮箱，我发给你。

这么说吧，这个是要看区间的 比如[a,b]，则要求f(a)*f(b)

高三学的，应该是与概率有关，公式名我忘了。

在学习，要认真，仔细地规划每一分钟。认真投入到学习中。曾经有一位老师说，态度决定一切，要以良好的态度去面对学习。挑战自己，相信自己。人一生的时间的有限的，时间不等人。以下是我给大家整理的 高二数学 必修二的知识点 总结 ，希望能帮助到你! 高二数学必修二的知识点总结1 一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180° (2)直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 ②过两点的直线的斜率公式： 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°; (2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式：直线斜率k，且过点 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。 ②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b ③两点式：()直线两点， ④截矩式： 其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。 ⑤一般式：(A，B不全为0) 注意：各式的适用范围特殊的方程如： 平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数); (5)直线系方程：即具有某一共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (二)垂直直线系 垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数) (三)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为k的直线系：，直线过定点; (ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为 (为参数)，其中直线不在直线系中。 (6)两直线平行与垂直 当，时，; 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解。 方程组无解;方程组有无数解与重合 (8)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点， 则 (9)点到直线距离公式：一点到直线的距离 (10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程，圆心，半径为r; (2)一般方程 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点;当时，方程不表示任何图形。 (3)求圆方程的 方法 ： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a，b，r;若利用一般方程，需要求出D，E，F; 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： (1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;; (2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程 (3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 设圆， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差)，与圆心距(d)之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条; 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条; 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线; 当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线; 当时，两圆内含;当时，为同心圆。 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上;已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 三、立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 (1)棱柱： 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底 面相 似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台： 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成 几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成 几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 (7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下) 注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变; ②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 (1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 (2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长，h为高，为斜高，l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4)球体的表面积和体积公式：V=;S= 4、空间点、直线、平面的位置关系 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。 应用：判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1： 公理2：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β=a。 符号语言： 公理2的作用： ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线_公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 推论：一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。 公理3及其推论作用： ①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 空间直线与直线之间的位置关系 ①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ②异面直线性质：既不平行，又不相交。 ③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 高二数学必修二的知识点总结2 一、直线与圆： 1、直线的倾斜角的范围是 在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。当直线与轴重合或平行时，规定倾斜角为0; 2、斜率：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k=tanα. 过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)，另外切线的斜率用求导的方法。 3、直线方程：⑴点斜式：直线过点斜率为，则直线方程为, ⑵斜截式：直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为 4、直线与直线的位置关系： (1)平行A1/A2=B1/B2注意检验(2)垂直A1A2+B1B2=0 5、点到直线的距离公式; 两条平行线与的距离是 6、圆的标准方程：.⑵圆的一般方程： 注意能将标准方程化为一般方程 7、过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与轴垂直的直线. 8、直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题.①相离②相切③相交 9、解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形)直线与圆相交所得弦长 二、圆锥曲线方程： 1、椭圆：①方程(a>b>0)注意还有一个;②定义:|PF1|+|PF2|=2a>2c;③e=④长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c;a2=b2+c2; 2、双曲线：①方程(a,b>0)注意还有一个;②定义:||PF1|-|PF2||=2a<2c;③e=;④实轴长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c;渐进线或c2=a2+b2 3、抛物线：①方程y2=2px注意还有三个，能区别开口方向;②定义:|PF|=d焦点F(,0),准线x=-;③焦半径;焦点弦=x1+x2+p; 4、直线被圆锥曲线截得的弦长公式： 5、注意解析几何与向量结合问题：1、,.(1);(2). 2、数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即 3、模的计算：|a|=.算模可以先算向量的平方 4、向量的运算过程中完全平方公式等照样适用： 三、直线、平面、简单几何体： 1、学会三视图的分析： 2、斜二测画法应注意的地方： (1)在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy。画直观图时，把它画成对应轴o"x"、o"y"、使∠x"o"y"=45°(或135°);(2)平行于x轴的线段长不变，平行于y轴的线段长减半.(3)直观图中的45度原图中就是90度，直观图中的90度原图一定不是90度. 3、表(侧)面积与体积公式： ⑴柱体：①表面积：S=S侧+2S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h ⑵锥体：①表面积：S=S侧+S底;②侧面积：S侧=;③体积：V=S底h： ⑶台体①表面积：S=S侧+S上底S下底②侧面积：S侧= ⑷球体：①表面积：S=;②体积：V= 4、位置关系的证明(主要方法)：注意立体几何证明的书写 (1)直线与平面平行：①线线平行线面平行;②面面平行线面平行。 (2)平面与平面平行：①线面平行面面平行。 (3)垂直问题：线线垂直线面垂直面面垂直。核心是线面垂直：垂直平面内的两条相交直线 5、求角：(步骤-------Ⅰ.找或作角;Ⅱ.求角) ⑴异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形; ⑵直线与平面所成的角：直线与射影所成的角 高二数学必修二的知识点总结3 一、随机事件 主要掌握好(三四五) (1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。 (2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。 (3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。 二、概率定义 (1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率;(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率; (3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算; (4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。 三、概率性质与公式 (1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B); (2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B); (3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B); (4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果， 贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因; 如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式. (5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式. 高二数学必修二的知识点总结相关 文章 ： ★ 高中数学必修二知识点总结 ★ 高二数学必修二知识点总结 ★ 高中数学必修2空间几何体知识点归纳总结 ★ 高中数学必修二知识点总结2020 ★ 高中必修二数学知识点总结 ★ 高一数学必修二所有公式总结 ★ 高一数学必修二知识点总结 ★ 高二数学知识点总结选修2 ★ 高中数学填空题的常用解题方法与必修二知识点全面总结

第1篇 概率与统计第1章 概率论的基础知识1.1 随机试验、样本空间、随机事件1.2频率与概率1.3 古典概型1.4 几何概型1.5 概率的公理化定义1.6 计数基础小结习题1第2章 条件概率与事件的独立性2.1 条件概率2.2 全概率公式和Bayes公式2.3 事件的独立性2.4伯努利试验概型和二项概率小结习题2第3章 随机变量及其分布3.1 随机变量及其分布函数3.2离散型随机变量3.3连续型随机变量小结习题3第4章 二维随机变量及其分布4.1 二维随机变量4.2 二维离散型随机变量4.3 二维连续型随机变量4.4 边缘分布4.5 随机变量的独立性4.6 条件分布小结习题4第5章 随机变量的函数及其分布5.1 一维随机变量的函数及其分布5.2 二维随机变量的函数及其分布小结习题5第6章 随机变量的数字特征6.1 数学期望6.2 方差和标准差6.3 协方差和相关系数6.4切比雪夫不等式及大数律6.5中心极限定理小结习题6第7章 统计基础7.1 统计的研究对象7.2 总体和样本7.3 什么是统计学7.4 统计方法的特点及统计思想第8章 统计量和抽样分布8.1 统计量8.2 抽样分布小结习题8第9章 参数估计第10章 假设检验第2篇 离散数学符号表第11章 数理逻辑第12章 集合第13章 关系与函数第14章 代数系统第15章 图论

在简单随机试验中，记一个事件为A。独立重复地将简单随机试验做n次，如果事件A发生了k次。则称在n次试验中，事件A发生的频数为k，发生的频率为k/n。概率是事件A发生可能性的大小，这是概率的描述性定义。如果存在一个实数p，当n很大时，频率稳定在p附近摆动，称频率的这个稳定值p为概率。这是概率的统计性定义。概率还有公理化定义，太抽象，繁琐，不再叙述，有兴趣的朋友可以参考概率统计教材。可以用中心极限定理证明概率的统计性定义。

定理大全第1章 随机事件及其概率（1）排列组合公式 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。（2）加法和乘法原理 加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空间和事件 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用 来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用 表示。一个事件就是由 中的部分点（基本事件 ）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是 的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。（6）事件的关系与运算 ①关系：如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）： 如果同时有 ， ，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者 ，它表示A发生而B不发生的事件。A、B同时发生：A B，或者AB。A B=Ø，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为 。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。②运算：结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)德摩根率： ， （7）概率的公理化定义 设 为样本空间， 为事件，对每一个事件 都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：1° 0≤P(A)≤1，2° P(Ω) =13° 对于两两互不相容的事件 ， ，…有常称为可列（完全）可加性。则称P(A)为事件 的概率。（8）古典概型 1° ，2° 。设任一事件 ，它是由 组成的，则有P(A)= = （9）几何概型 若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A， 。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P( )=1- P(B)（12）条件概率 定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1 P( /A)=1-P(B/A)（13）乘法公式 乘法公式： 更一般地，对事件A1，A2，…An，若P(A1A2…An-1)>0，则有 … …… … 。（14）独立性 ①两个事件的独立性设事件 、 满足 ，则称事件 、 是相互独立的。若事件 、 相互独立，且 ，则有若事件 、 相互独立，则可得到 与 、 与 、 与 也都相互独立。必然事件 和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。Ø与任何事件都互斥。②多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n个事件类似。（15）全概公式 设事件 满足1° 两两互不相容， ，2° ，则有 。（16）贝叶斯公式 设事件 ， ，…， 及 满足1° ， ，…， 两两互不相容， >0， 1，2，…， ，2° ， ，则 ，i=1，2，…n。此公式即为贝叶斯公式。 ，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型 我们作了 次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生； 次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样； 每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为 重伯努利试验。用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为 ，用 表示 重伯努利试验中 出现 次的概率， ， 。第二章 随机变量及其分布（1）离散型随机变量的分布律 设离散型随机变量 的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2,…，则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出： 。显然分布律应满足下列条件：（1） ， ， （2） 。（2）连续型随机变量的分布密度 设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有 ，则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4个性质：1° 。2° 。（3）离散与连续型随机变量的关系 积分元 在连续型随机变量理论中所起的作用与 在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。（4）分布函数 设 为随机变量， 是任意实数，则函数称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。 可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。分布函数具有如下性质：1° ；2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；3° ， ；4° ，即 是右连续的；5° 。对于离散型随机变量， ；对于连续型随机变量， 。（5）八大分布 0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布 在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。 ， 其中 ，则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。 泊松分布 设随机变量 的分布律为 ， ， ，则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。 超几何分布 随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。 几何分布 ，其中p≥0，q=1-p。随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。 均匀分布 设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即 其他，则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。分布函数为当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为 。 指数分布 其中 ，则称随机变量X服从参数为 的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：正态分布 设随机变量 的密度函数为 ， ，其中 、 为常数，则称随机变量 服从参数为 、 的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为 。 具有如下性质：1° 的图形是关于 对称的；2° 当 时， 为最大值；若 ，则 的分布函数为 。。参数 、 时的正态分布称为标准正态分布，记为 ，其密度函数记为 ， ，分布函数为 。 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝ 。如果 ~ ，则 ~ 。 。（6）分位数 下分位表： ；上分位表： 。（7）函数分布 离散型 已知 的分布列为 ， 的分布列（ 互不相等）如下： ，若有某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。 连续型 先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。第三章 二维随机变量及其分布（1）联合分布 离散型 如果二维随机向量 （X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称 为离散型随机量。设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YX y1 y2 … yj …x1 p11 p12 … p1j …x2 p21 p22 … p2j …xi pi1 … …这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2） 连续型 对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。分布密度f(x,y)具有下面两个性质：（1） f(x,y)≥0;（2） （2）二维随机变量的本质 （3）联合分布函数 设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：（1） （2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即当x2>x1时，有F（x2,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2) ≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4） （5）对于 .（4）离散型与连续型的关系 （5）边缘分布 离散型 X的边缘分布为 ；Y的边缘分布为 。 连续型 X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布 离散型 在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型 在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为 ；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性 一般型 F(X,Y)=FX(x)FY(y) 离散型 有零不独立 连续型 f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形 二维正态分布 ＝0 随机变量的函数 若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立， h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O 1 x图3.1y1O 2 x图3.2ydcO a b x图3.3（9）二维正态分布 设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中 是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（ 由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（ 但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布 Z=X+Y 根据定义计算： 对于连续型，fZ(z)＝ 两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。 ， Z=max,min(X1,X2,…Xn) 若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量 相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的 分布，记为W～ ，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。 分布满足可加性：设则t分布 设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。F分布 设 ，且X与Y独立，可以证明 的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1, n2).第四章 随机变量的数字特征（1）一维随机变量的数字特征 离散型 连续型 期望期望就是平均值 设X是离散型随机变量，其分布律为P( )＝pk，k=1,2,…,n，（要求绝对收敛） 设X是连续型随机变量，其概率密度为f(x)，（要求绝对收敛） 函数的期望 Y=g(X) Y=g(X)方差D(X)=E[X-E(X)]2，标准差 ，矩 ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)= , k=1,2, ….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= ， k=1,2, …. ①对于正整数k，称随机变量X的k次幂的数学期望为X的k阶原点矩，记为vk,即νk=E(Xk)= k=1,2, ….②对于正整数k，称随机变量X与E（X）差的k次幂的数学期望为X的k阶中心矩，记为 ，即= k=1,2, …. 切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则对于任意正数ε，有下列切比雪夫不等式切比雪夫不等式给出了在未知X的分布的情况下，对概率的一种估计，它在理论上有重要意义。（2）期望的性质 （1） E(C)=C（2） E(CX)=CE(X)（3） E(X+Y)=E(X)+E(Y)， （4） E(XY)=E(X) E(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。（3）方差的性质 （1） D(C)=0；E(C)=C（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b（4） D(X)=E(X2)-E2(X)（5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X和Y独立；充要条件：X和Y不相关。D(X±Y)=D(X)+D(Y) ±2E[(X-E(X))(Y-E(Y))]，无条件成立。而E(X+Y)=E(X)+E(Y)，无条件成立。（4）常见分布的期望和方差 期望 方差 0-1分布 p 二项分布 np 泊松分布 几何分布 超几何分布 均匀分布 指数分布 正态分布 n 2n t分布 0 (n>2)（5）二维随机变量的数字特征 期望 函数的期望 ＝ ＝方差 协方差 对于随机变量X与Y，称它们的二阶混合中心矩 为X与Y的协方差或相关矩，记为 ，即与记号 相对应，X与Y的方差D（X）与D（Y）也可分别记为 与 。 相关系数 对于随机变量X与Y，如果D（X）>0, D(Y)>0，则称为X与Y的相关系数，记作 （有时可简记为 ）。| |≤1，当| |=1时，称X与Y完全相关： 完全相关 而当 时，称X与Y不相关。以下五个命题是等价的：① ；②cov(X,Y)=0;③E(XY)=E(X)E(Y);④D(X+Y)=D(X)+D(Y);⑤D(X-Y)=D(X)+D(Y). 协方差矩阵 混合矩 对于随机变量X与Y，如果有 存在，则称之为X与Y的k+l阶混合原点矩，记为 ；k+l阶混合中心矩记为：（6）协方差的性质 (i) cov (X, Y)=cov (Y, X);(ii) cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);(iii) cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y);(iv) cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).（7）独立和不相关 （i） 若随机变量X与Y相互独立，则 ；反之不真。（ii） 若（X，Y）～N（ ），则X与Y相互独立的充要条件是X和Y不相关。第五章 大数定律和中心极限定理（1）大数定律切比雪夫大数定律 设随机变量X1，X2，…相互独立，均具有有限方差，且被同一常数C所界：D（Xi）<C(i=1,2,…),则对于任意的正数ε，有特殊情形：若X1，X2，…具有相同的数学期望E（XI）=μ，则上式成为伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的正数ε，有伯努利大数定律说明，当试验次数n很大时，事件A发生的频率与概率有较大判别的可能性很小，即这就以严格的数学形式描述了频率的稳定性。 辛钦大数定律 设X1，X2，…，Xn，…是相互独立同分布的随机变量序列，且E（Xn）=μ，则对于任意的正数ε有（2）中心极限定理列维－林德伯格定理 设随机变量X1，X2，…相互独立，服从同一分布，且具有相同的数学期望和方差： ，则随机变量的分布函数Fn(x)对任意的实数x，有此定理也称为独立同分布的中心极限定理。 棣莫弗－拉普拉斯定理 设随机变量 为具有参数n, p(0<p<1)的二项分布，则对于任意实数x,有（3）二项定理 若当 ，则超几何分布的极限分布为二项分布。（4）泊松定理 若当 ，则其中k=0，1，2，…，n，…。二项分布的极限分布为泊松分布。第六章 样本及抽样分布（1）数理统计的基本概念 总体 在数理统计中，常把被考察对象的某一个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量（或随机向量）。 个体 总体中的每一个单元称为样品（或个体）。 样本 我们把从总体中抽取的部分样品 称为样本。样本中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时， 表示n个随机变量（样本）；在具体的一次抽取之后， 表示n个具体的数值（样本值）。我们称之为样本的两重性。 样本函数和统计量 设 为总体的一个样本，称 （ ）为样本函数，其中 为一个连续函数。如果 中不包含任何未知参数，则称 （ ）为一个统计量。 常见统计量及其性质 样本均值 样本方差 样本标准差 样本k阶原点矩样本k阶中心矩 ， ， ， ,其中 ，为二阶中心矩。（2）正态总体下的四大分布 正态分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数t分布 设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。设 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示自由度为n-1的 分布。 F分布 设 为来自正态总体 的一个样本，而 为来自正态总体 的一个样本，则样本函数其中 表示第一自由度为 ，第二自由度为 的F分布。（3）正态总体下分布的性质 与 独立。第七章 参数估计（1）点估计 矩估计 设总体X的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表成 它的k阶原点矩 中也包含了未知参数 ，即 。又设 为总体X的n个样本值，其样本的k阶原点矩为这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有由上面的m个方程中，解出的m个未知参数 即为参数（ ）的矩估计量。若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。 极大似然估计 当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为 ，其中 为未知参数。又设 为总体的一个样本，称为样本的似然函数，简记为Ln.当总体X为离型随机变量时，设其分布律为 ，则称为样本的似然函数。若似然函数 在 处取到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，相应的统计量称为最大似然估计量。若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极大似然估计。（2）估计量的评选标准 无偏性 设 为未知参数 的估计量。若E （ ）= ，则称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X）， E（S2）=D（X） 有效性 设 和 是未知参数 的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。 一致性 设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有则称 为 的一致估计量（或相合估计量）。若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。只要总体的E(X)和D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。（3）区间估计 置信区间和置信度 设总体X含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本 出发，找出两个统计量 与 ，使得区间 以 的概率包含这个待估参数 ，即那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置信水平）。 单正态总体的期望和方差的区间估计 设 为总体 的一个样本，在置信度为 下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；（iii）导出置信区间 。 已知方差，估计均值 （i）选择样本函数(ii) 查表找分位数（iii）导出置信区间未知方差，估计均值 （i）选择样本函数(ii)查表找分位数（iii）导出置信区间方差的区间估计 （i）选择样本函数（ii）查表找分位数（iii）导出 的置信区间第八章 假设检验基本思想 假设检验的统计思想是，概率很小的事件在一次试验中可以认为基本上是不会发生的，即小概率原理。为了检验一个假设H0是否成立。我们先假定H0是成立的。如果根据这个假定导致了一个不合理的事件发生，那就表明原来的假定H0是不正确的，我们拒绝接受H0；如果由此没有导出不合理的现象，则不能拒绝接受H0，我们称H0是相容的。与H0相对的假设称为备择假设，用H1表示。这里所说的小概率事件就是事件 ，其概率就是检验水平α，通常我们取α=0.05，有时也取0.01或0.10。基本步骤 假设检验的基本步骤如下：(i) 提出零假设H0；(ii) 选择统计量K；(iii) 对于检验水平α查表找分位数λ；(iv) 由样本值 计算统计量之值K；将 进行比较，作出判断：当 时否定H0，否则认为H0相容。两类错误 第一类错误 当H0为真时，而样本值却落入了否定域，按照我们规定的检验法则，应当否定H0。这时，我们把客观上H0成立判为H0为不成立（即否定了真实的假设），称这种错误为“以真当假”的错误或第一类错误，记 为犯此类错误的概率，即P{否定H0|H0为真}= ；此处的α恰好为检验水平。 第二类错误 当H1为真时，而样本值却落入了相容域，按照我们规定的检验法则，应当接受H0。这时，我们把客观上H0。不成立判为H0成立（即接受了不真实的假设），称这种错误为“以假当真”的错误或第二类错误，记 为犯此类错误的概率，即P{接受H0|H1为真}= 。 两类错误的关系 人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小。但是，当容量n一定时， 变小，则 变大；相反地， 变小，则 变大。取定 要想使 变小，则必须增加样本容量。在实际使用时，通常人们只能控制犯第一类错误的概率，即给定显著性水平α。α大小的选取应根据实际情况而定。当我们宁可“以假为真”、而不愿“以真当假”时，则应把α取得很小，如0.01，甚至0.001。反之，则应把α取得大些。单正态总体均值和方差的假设检验条件 零假设 统计量 对应样本函数分布 否定域已知 N（0，1） 未知 未知

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1.高二下册数学必修四知识点整理 　　一、随机事件 　　主要掌握好(三四五) 　　(1)事件的三种运算：并(和)、交(积)、差;注意差A-B可以表示成A与B的逆的积。 　　(2)四种运算律：交换律、结合律、分配律、德莫根律。 　　(3)事件的五种关系：包含、相等、互斥(互不相容)、对立、相互独立。 　　二、概率定义 　　(1)统计定义：频率稳定在一个数附近，这个数称为事件的概率; 　　(2)古典定义：要求样本空间只有有限个基本事件，每个基本事件出现的可能性相等，则事件A所含基本事件个数与样本空间所含基本事件个数的比称为事件的古典概率; 　　(3)几何概率：样本空间中的元素有无穷多个，每个元素出现的可能性相等，则可以将样本空间看成一个几何图形，事件A看成这个图形的子集，它的概率通过子集图形的大小与样本空间图形的大小的比来计算; 　　(4)公理化定义：满足三条公理的任何从样本空间的子集集合到[0，1]的映射。 　　三、概率性质与公式 　　(1)加法公式：P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)，特别地，如果A与B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B); 　　(2)差：P(A-B)=P(A)-P(AB)，特别地，如果B包含于A，则P(A-B)=P(A)-P(B); 　　(3)乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)或P(AB)=P(A|B)P(B)，特别地，如果A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B); 　　(4)全概率公式：P(B)=∑P(Ai)P(B|Ai).它是由因求果， 　　贝叶斯公式：P(Aj|B)=P(Aj)P(B|Aj)/∑P(Ai)P(B|Ai).它是由果索因; 　　如果一个事件B可以在多种情形(原因)A1,A2,....,An下发生，则用全概率公式求B发生的概率;如果事件B已经发生，要求它是由Aj引起的概率，则用贝叶斯公式. 　　(5)二项概率公式：Pn(k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k),k=0,1,2,....,n.当一个问题可以看成n重贝努力试验(三个条件：n次重复，每次只有A与A的逆可能发生，各次试验结果相互独立)时，要考虑二项概率公式. 2.高二下册数学必修四知识点整理 　　函数的单调性、奇偶性、周期性 　　单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 　　判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 　　导数法(适用于多项式函数) 　　复合函数法和图像法。 　　应用:比较大小，证明不等式，解不等式。 　　奇偶性: 　　定义:注意区间是否关于原点对称，比较f(x)与f(-x)的关系。f(x)-f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数; 　　f(x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。 　　判别方法:定义法，图像法，复合函数法 　　应用:把函数值进行转化求解。 　　周期性:定义:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。 　　其他:若函数f(x)对定义域内的任意x满足:f(x+a)=f(x-a),则2a为函数f(x)的周期. 　　应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 　　图形变换:函数图像变换:(重点)要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般规律。 　　常见图像变化规律:(注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考) 　　平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 　　注意:(ⅰ)有系数，要先提取系数。如:把函数y=f(2x)经过平移得到函数y=f(2x+4)的图象。 　　(ⅱ)会结合向量的平移，理解按照向量(m，n)平移的意义。 　　对称变换y=f(x)→y=f(-x),关于y轴对称 　　y=f(x)→y=-f(x),关于x轴对称 　　y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称 　　y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称。(注意:它是一个偶函数) 　　伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx), 　　y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 　　一个重要结论:若f(a-x)=f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称; 3.高二下册数学必修四知识点整理 　　(1)算法概念：在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 　　(2)算法的特点: 　　①有限性：一个算法的步骤序列是有限的，必须在有限操作之后停止，不能是无限的. 　　②确定性：算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果，而不应当是模棱两可. 　　③顺序性与正确性：算法从初始步骤开始，分为若干明确的步骤，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，前一步是后一步的前提，只有执行完前一步才能进行下一步，并且每一步都准确无误，才能完成问题. 　　④不性：求解某一个问题的解法不一定是的，对于一个问题可以有不同的算法. 　　⑤普遍性：很多具体的问题，都可以设计合理的算法去解决，如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 4.高二下册数学必修四知识点整理 　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 　　x=-b/2a。 　　对称轴与抛物线的交点为抛物线的顶点P。 　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0) 　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为 　　P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a) 　　当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。 　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。 　　当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。 　　|a|越大，则抛物线的开口越小。 　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。 　　当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左; 　　当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。 　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。 　　抛物线与y轴交于(0，c) 　　6.抛物线与x轴交点个数 　　Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。 　　Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 　　Δ=b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x=-b±√b^2-4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a) 5.高二下册数学必修四知识点整理 　　1.椭圆 　　椭圆的定义是椭圆章节的基础内容，高考对本节内容的考查可能仍然将以求椭圆的方程和研究椭圆的性质为主，两种题型均有可能出现.椭圆方面的知识与向量等知识的综合考查命题趋势较强。 　　2.双曲线 　　标准方程的求法：双曲线标准方程最常用的两种方法是定义法和待定系数法.利用定义法求解，首先要熟悉双曲线的定义，只要知道双曲线的焦点和双曲线上的任意一点的坐标都可以运用定义法求解其标准方程;解法二是利用待定系数法求解，是求双曲线方程的根本方法之一，其思想是根据题目中的条件确定双曲线方程中的系数a,b，主要是解方程组;解法三是利用共焦点曲线系方程求解，其要点是根据题目中的一个条件写出含一个参数的共焦点的二次曲线系方程，再根据另外一个条件求出这个参数. 　　3.抛物线 　　1)利用已知条件求抛物线方程，一般有两种方法：待定系数法和轨迹法。 　　2)韦达定理的熟练运用，可以防止运算复杂的焦点坐标，巧妙利用抛物线的性质进行解题。 　　3)焦点弦的几何性质是答题中容易忽略的问题，在复杂的求解抛物线方程中，运用好这方面的知识能够少走很多弯路。

这哥们是奇葩。。。膜拜

1的拉普拉斯变换为1/s 5的为5/s拉普拉斯变换是有物理意义的 你这样 问 本身 就有问题 因为我们都是用单边拉普拉斯变换，这时 我们所说的1 也就是1（t）拉普拉斯变换是把时域 变为频域 冲击脉冲的拉普拉斯变换为1，t的拉普拉斯变换为1/s^2.。。。。。。等等。。。

因为它就是这样

本题利用了卷积定理求解。扩展资料：卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))其中F表示的是傅里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n- 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。参考资料来源：百度百科-卷积

拉普拉斯变换,z变换，劳斯变换，傅里叶变换，泰勒变换，前面三个为自控原理的基本变换！

积分微分足矣

数学物理方法作者：王明新、石佩虎图书详细信息：ISBN：9787302307730定价：20元印次：1-1装帧：平装印刷日期：2013-1-23图书简介：　　内容简介　　本书紧密结合工科数学教学实际，系统介绍了偏微分方程模型的建立、求解三类典型方程的几种常用方法、特殊函数、线性偏微分方程定解问题的几种简单的特殊解法和一些简单的非线性偏微分方程的特殊解．本书叙述简明，条理清晰，强调数学概念和数学方法的实际背景，在注意介绍必要的理论的同时，突出解题方法．书中内容深入浅出，方法多样，文字通俗易懂，并配有大量难易兼顾的例题与习题．　　本书可作为物理、力学及工科类本科生和研究生教材，也可作为信息和计算数学专业本科生教材和教学参考书．此外，也可供数学工作者、物理工作者和工程技术人员参考．目录　　第1章典型方程的导出和定解问题.11.1典型方程的导出.11.1.1弦振动方程.21.1.2热传导方程.1.1.3传输线方程.61.1.4电磁场方程.71.2定解条件和定解问题81.2.1定解条件..81.2.2定解问题1.3二阶线性偏微分方程的分类11　　习题1..12第2章傅里叶级数方法——特征法和分离变量法142.1预备知识.2.1.1正交函数系..152.1.2线性方程的叠加原理162.2齐次化原理162.2.1常系数二阶线性常微分方程的齐次化原理..172.2.2弦振动方程和热传导方程初边值问题的齐次化原理192.3特征值问题2.3.1问题的提出..202.3.2施图姆-刘维尔问题..212.3.3例子.222.4特征法2.4.1热传导方程的初边值问题..252.4.2弦振动方程的初边值问题..272.5分离变量法292.5.1有界弦的自由振动问题·iv·目录　　2.5.2有界杆上的热传导问题332.5.3拉普拉斯方程的定解问题..342.6非齐次边界条件的处理.382.7物理意义，驻波法与共振.41　　习题2..43第3章积分变换及其应用.473.1傅里叶变换473.2傅里叶变换的应用..503.2.1热传导方程的初值问题503.2.2弦振动方程的初值问题533.2.3积分方程56.3.3半无界问题：对称延拓法.573.4拉普拉斯变换583.4.1拉普拉斯变换的概念583.4.2拉普拉斯变换的性质593.4.3拉普拉斯变换的应用61　　习题3..65第4章双曲型方程的初值问题——行波法、球面平均法和降维法.684.1弦振动方程的初值问题的行波法..684.2达朗贝尔公式的物理意义704.3三维波动方程的初值问题的球面平均法724.3.1三维波动方程的球对称解..724.3.2三维波动方程的泊松公式..734.4二维波动方程的初值问题的降维法.754.5泊松公式的物理意义、惠更斯原理..77　　习题4..78第5章位势方程的格林函数方法..815.1δ-函数..815.1.1δ-函数的概念..815.1.2δ-函数的性质..825.2格林公式与基本解..83目录·v·　　5.2.1格林公式835.2.2基本解835.3调和函数的基本积分公式及一些基本性质855.4格林函数.865.5特殊区域上的格林函数及狄利克雷边值问题的解.885.5.1上半空间的格林函数、泊松公式..885.5.2球上的格林函数、泊松公式905.6保角变换及其应用..925.6.1解析函数的保角性..925.6.2常用的保角变换..945.6.3利用保角变换求解二维稳定场问题.99　　习题5101第6章特殊函数及其应用..1046.1问题的导出.1046.2贝塞尔函数.1066.2.1贝塞尔方程的级数解法..1066.2.2贝塞尔函数的性质1096.2.3其他类型的贝塞尔函数..1146.3贝塞尔函数的应用1166.4勒让德函数.1196.4.1勒让德方程的幂级数解..1196.4.2勒让德多项式的性质..1216.4.3连带勒让德方程1236.5勒让德多项式的应用..124　　习题6125第7章特殊解法和特殊解..1287.1线性发展方程初值问题的幂级数解..1287.2输运方程..1327.3Hopf–Cole变换1347.3.1伯格方程的Hopf–Cole变换1347.3.2KdV方程的广义Hopf–Cole变换..1367.4自相似解..138·vi·目录　　7.5行波解..1417.5.1直接积分法.1427.5.2待定导数法.1437.5.3待定系数法.145　　习题7147　　附录A双曲函数149　　附录B积分变换表..150　　附录C贝塞尔函数的零点表152　　附录D部分习题参考答案.153　　参考文献..161书名:数学物理方法：普通高等教育[十五]国家级规划教材图书编号:2159044出版社:科学定价:40.0ISBN:703012173作者:邵惠民编著出版日期:版次:1开本:16简介:本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材、普通高等教育“十五”国家级规划教材。本书系统地阐述了数学物理方法的基础理论及其在物理学、工程技术上的应用。重点不是一味追求数学的严格性和逻辑性，即纯粹数学理论的完整性，而是尽量为读者提供与数学物理方法有关的基本概念、基本定理和解题的各种方法和技巧。本书涉及的尽管是一些传统的内容，但在取材的深度和广度上都比以往教科书有所加强；同时书中也增添了不少反映学科前沿的内容，从而使学生不仅能获得相关学科的比较系统的科学知识，也能引导学生进入当代科学的前沿。此外，本书的另一特色是:读者不仅可以从本书的逻辑结构中获得简化和统一的数学基础知识，而且可以从书内的例题上看到独特的、简洁的、实用性很强的解题方法。本书可作为高等学校理工科非数学专业的本科教材，也可供有关专业的研究生、教师和广大科技人员参考。目录:第一章复变函数1.1复数的概念1.2复数的几何表示法1.3复数的运算1.4复变函数1.5复变函数的极限1.6复变函数的连续习题第二章解析函数2.1复变函数的导数2.2柯西-黎曼条件2.3解析函数2.4解析函数与调和函数的关系2.5初等解析函数2.6解析函数的应用——平面场的复势习题第三章复变函数的积分3.1基本概念3.2复变函数和积分3.3柯西定理3.4柯西积分公式3.5柯西积分公式的几个推论习题第四章解析函数的幂级数表示法4.1复数项级数4.2复变函数项级数4.3幂级数4.4解析函数的幂级数4.5解析函数的孤立奇点4.6解析函数在无穷远点的性质4.7解析开拓4.8应用习题第五章留数理论及其应用5.1留数的基本理论5.2用留数定理计算实积分5.3对数留数和辐角原理习题第六章广义函数6.1δ函数6.2广义函数的引入6.3广义函数的基本运算6.4广义函数的傅里叶变换6.5广义解习题第七章完备正交函数系法7.1正交性7.2零函数7.3完备性7.4推广第八章斯特姆-刘维本征值问题8.1本征值问题的提法8.2本征值问题的主要结论8.3其他型的本征值问题第九章傅里叶级数和傅里叶变换9.1周期函数和傅里叶级数9.2完备正交函数系9.3傅里叶级数的性质9.4傅里叶级数的应用9.5有限区间上的函数的傅里叶级数9.6复指数形式的傅里叶级数9.7傅里叶与罗朗的联系9.8傅里叶积分与变换9.9傅里叶变换的性质9.10小波变换的引荐9.11三种定义式习题第十章拉普拉斯变换10.1拉普拉斯变换的概念10.2基本函数的拉氏变换10.3拉氏变换的性质10.4拉普拉斯逆变换10.5应用习题第十一章二阶线性常微分方程的级数解法11.1常点邻域的级数解法11.2正则奇点邻域的级数解法11.3求第二个解的方法11.4非正则奇点的渐近解11.5渐近和最陡下降法习题第十二章数学模型——定解问题12.1引言12.2数学模型的建立12.3定解条件12.4定解问题12.5求解途径习题第十三章二阶线性偏微分方程的分类13.1基本概念13.2二阶线性偏微分方程的分类及标准化13.3二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简13.4三类方程的物理内涵13.5二阶线性偏微分方程的特征习题第十四章行波法14.1通解14.2行波解14.3达朗贝尔公式14.4半无限长弦的自由振动14.5两端固定的弦的自由振动14.6齐次化原理(Duhamel原理)14.7非线性偏微分方程习题第十五章分离变量法15.1分离变量15.2直角坐标系中的分离变量法15.3圆柱坐标系中的分离变量法15.4球坐标系中的分离变量法习题第十六章勒让德函数16.1勒让德多项式的定义及表示16.2勒让德多项式的性质16.3第二类勒让德函数Q1(x)16.4勒让德方程的本征值问题16.5连带勒让德方程及其解16.6球谐函数16.7应用习题第十七章贝塞尔函数17.1贝塞尔方程及其解17.2整数阶(第一类)贝塞尔函数17.3修正贝塞尔方程及其解17.4球贝塞尔方程及球贝塞尔函数17.5广义贝塞尔函数17.6应用习题第十八章积分变换法18.1傅里叶变换18.2拉普拉斯变换18.3傅氏正弦变换18.4傅氏余弦变换18.5汉克尔变换18.6应用于有界区域的问题习题第十九章变分法19.1基本概念19.2泛函的极值19.3泛函极值与数学物理问题的关系19.4求泛函极值的直接方法——里茨法习题第二十章格林函数法20.1格林公式20.2稳态边值问题的格林函数法20.3热传导问题的格林函数法20.4波动问题的格林函数法20.5格林函数的确定20.6应用习题第二十一章保角变换法21.1保角变换及其基本问题21.2常用的几种保角变换21.3多角形的变换21.4应用习题主要参考书目

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 教材习题1-1全解 第二节 数列的极限 教材习题1-2全解 第三节 函数的极限 教材习题1-3全解 第四节 无穷小与无穷大 教材习题1-4全解 第五节 极限运算法则 教材习题1-5全解 第六节 极限存在准则两个重要极限 教材习题1-6全解 第七节 无穷小的比较 教材习题1-7全解 第八节 函数的连续性与间断点 教材习题1-8全解 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 教材习题1-9全解 第十节 闭区间上连续函数的性质 教材习题1-10全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题一全解 自测题及参考答案第二章 导数与微分 第一节 导数概念 教材习题2-1全解 第二节 函数的求导法则 教材习题2-2全解 第三节 高阶导数 教材习题2-3全解 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率 教材习题2-4全解 第五节 函数的微分 教材习题2-5全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题二全解 自测题及参考答案第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 教材习题3-1全解 第二节 洛必达法则 教材习题3-2全解 第三节 泰勒公式 教材习题3-3全解 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 教材习题3-4全解 第五节 函数的极值与最大值最小值 教材习题3-5全解 第六节 函数图形的描绘 教材习题3-6全解 第七节 曲率 教材习题3-7全解 第八节 方程的近似解 教材习题3-8全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题三解答 自测题及参考答案第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 教材习题4-1全解 第二节 换元积分法 教材习题4-2全解 第三节 分部积分法 教材习题4-3全解 第四节 有理函数的积分 教材习题4-4全解 第五节 积分表的使用 教材习题4-5全解 本章知识结构及内容小结 教材总习题四解答 自测题及参考答案第五章 定积分 第一节 定积分的概念与性质 教材习题5-1解答 第二节 微积分基本公式 教材习题5-2解答 第三节 定积分的换元法和分部积分法 教材习题5 3解答 第四节 反常积分 教材习题5-4解答 第五节 反常积分的审敛法 T函数 教材习题5-5解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题五解答 自测题及参考答案第六章 定积分的应用 第一节 定积分的元素法 第二节 定积分在几何上的应用 教材习题6-2解答 第三节 定积分在物理学上的应用 教材习题6-3解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题六解答 自测题及参考答案第七章 微分方程 第一节 微分方程的基本概念 教材习题7-1解答 第二节 可分离变量的微分方程 教材习题7-2解答 第三节 齐次方程 教材习题7-3解答 第四节 一阶线性微分方程 教材习题7-4解答 第五节 可降阶的高阶微分方程 教材习题7-5解答 第六节 高阶线性微分方程 教材习题7-6解答 第七节 常系数齐次线性微分方程 教材习题7-7解答 第八节 常系数非齐次线性微分方程 教材习题7-8解答 第九节 欧拉方程 教材习题7-9解答 第十节 常系数线性微分方程组解法举例 教材习题7 10解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题七解答 自测题及参考答案第八章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 教材习题8-1解答 第二节 数量积向量积混合积 教材习题8-2解答 第三节 曲面及其方程 教材习题8-3解答 第四节 空间曲线及其方程 教材习题8-4解答 第五节 平面及其方程 教材习题8-5解答 第六节 空间直线及其方程 教材习题8-6解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题八解答 自测题及参考答案第九章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 教材习题9-1解答 第二节 偏导数 教材习题9-2解答 第三节 全微分 教材习题9 3解答 第四节 多元复合函数的求导法则 教材习题9-4解答 第五节 隐函数的求导公式 教材习题9-5解答 第六节 多元函数微分学的几何应用 教材习题9-6解答 第七节 方向导数与梯度 教材习题9-7解答 第八节 多元函数的极值及其求法 教材习题9-8解答 第九节 二元函数的泰勒公式(略) 教材习题9-9解答 第十节 最小二乘法(略) 教材习题9-10解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题九解答 自测题及参考答案第十章 重积分 第一节 二重积分的概念及计算 教材习题10-1解答 第二节 二重积分的计算法 教材习题10-2解答 第三节 三重积分 教材习题10-3解答 第四节 重积分的应用 教材习题10-4解答 第五节 含参变量的积分 教材习题10-5解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题十解答 自测题及参考答案第十一章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 教材习题11-1解答 第二节 对坐标的曲线积分 教材习题11-2解答 第三节 格林公式及其应用 教材习题11-3解答 第四节 对面积的曲面积分 教材习题11-4解答 第五节 对坐标的曲面积分 教材习题11-5解答 第六节 高斯公式通量与散度 教材习题11-6解答 第七节 斯托克斯公式环流量与旋度 教材习题11-7解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题十一解答 自测题及参考答案第十二章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 教材习题12-1解答 第二节 常数项级数的审敛法 教材习题12-2解答 第三节 幂级数 教材习题12-3解答 第四节 函数展开成幂级数 教材习题12-4解答 第五节 函数的幂级数展开式的应用 教材习题12-5解答 第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 教材习题12-6解答 第七节 傅里叶级数 教材习题12-7解答 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 教材习题12-8解答 本章知识结构及内容小结 教材总习题十二解答 自测题及参考答案

第八章 多元函数微分法及其应用8-1 多元函数的基本概念8-2 偏导数8-3 全微分8-4 多元复合函数的求导法则8-5 隐函数的求导公式8-6 多元函数微分学的几何应用8-7 方向导数与梯度8-8 多元函数的极值及其求法8-9 二元函数的泰勒公式8-10 最小二乘法　第九章 重积分9-1 二重积分的概念与性质9-2 二重积分的计算法9-3 三重积分9-4 重积分的应用9-5 含参变量的积分　　第十章 曲线积分与曲面积分　 10-1 对弧长的曲线积分10-2 对坐标的曲线积分10-3 格林公式及其应用10-4 对面积的曲面积分10-5 对坐标的曲面积分10-6 高斯公式 通?与散度10-7 斯托克斯公式 环流量与旋度　　第十一章 无穷级数11-1 常数项级数的概念和性质11-2 常数项级数的审敛法11-3 幂级数11-4 函数展开幂级数11-5 函数的幂级数展开式的应用11-6 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质11-7 傅里叶级数11-8 一般周期函数的傅里叶级数　　第十二章 微分方程12-1 微分方程的基本概念12-2 可分离变量的微分方程 12-3 齐次方程12-4 一阶线性微分方程12-5 全微分方程12-6 可降阶的高阶微分方程12-7 高阶线性微分方程12-8 常系数齐次线性微分方程12-9 常系数非齐次线性微分方程12-10 欧拉方程12-11 微分方程的幂级数解法12-12 常系数线性微分方程组解法举例

同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的伯努利方程外，其余带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;不考第八章空间解析几何与向量代数;第九章第五节不考方程组的情形;到第十章二重积分、重积分的应用为止，后面不考了。

它山之石可以攻玉

1、 高等数学傅里叶级数解答见上图。2、这道 高等数学傅里叶级数，用的是狄里克莱收敛定理。3、在端点出， 傅里叶级数收敛于(左端点的右极限+右端点的左极限)/2。具体的 高等数学傅里叶级数，解答分析求的过程见上。

直接套书上的计算公式呀

多看一些书就好啊，别人说再多也没用

这里更换了求和指标.因为当n为偶数时, 1-(-1)^n = 0, 所以求和中只剩下了n为奇数的项.设n = 2k-1, 则变为2/(2k-1)·sin((2k-1)x)对k从1到无穷求和.再把求和指标k换回n (用什么字母都一样), 就成了最后的结果.

bn=0【解释】[f(x)+f(-x)]/2是偶函数，所以，其傅里叶级数是余弦级数，正弦项的系数全是0即，bn=0

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第6章 多元函数微积分6.1 空间向量6.1.1 空间直角坐标系6.1.2 向量的坐标表示6.1.3 数量积和向量积6.2 空间平面和直线6.2.1 平面方程6.2.2 空间直线方程6.3 曲面方程6.3.1 曲面与方程6.3.2 旋转曲面6.3.3 柱面6.4 多元函数的极限与连续6.4.1 二元函数的概念6.4.2 二元函数的极限6.4.3 二元函数的连续性6.5 偏导数6.5.1 偏导数6.5.2 全微分6.5.3 二元复合函数的求导法则6.5.4 二元函数的极值与最值6.6 二重积分6.6.1 二重积分的概念6.6.2 二重积分的性质6.6.3 二重积分的计算方法本章小结综合练习6第7章 常微分方程7.1 微分方程的概念7.1.1 两个实际问题7.1.2 微分方程的概念7.1.3 微分方程的几何意义7.1.4 特殊的微分方程7.2 一阶微分方程7.2.1 可分离变量的微分方程7.2.2 齐次方程7.2.3 一阶线性微分方程7.3 二阶常系数线性微分方程7.3.1 常系数线性微分方程解的结构7.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程7.4 微分方程应用举例本章小结综合练习7第8章 级数8.1 无穷级数的概念8.1.1 无穷级数的基本概念8.1.2 无穷级数的基本性质8.1.3 级数收敛的必要条件8.2 数项级数的审敛法8.2.1 正项级数审敛法8.2.2 交错级数审敛法8.2.3 条件收敛与绝对收敛8.3 幂级数8.3.1 幂级数的概念及收敛域8.3.2 幂级数的性质8.3.3 几种基本初等函数的幂级数展开式8.3.4 幂级数的简单应用8.4 傅里叶级数8.4.1 周期函数与三角函数8.4.2 三角函数系的正交性8.4.3 周期为2∏的函数展开为傅里叶级数8.4.4 奇函数与偶函数的傅里叶级数展开式8.4.5 在[0，∏]上将函数展开为正弦级数或余弦级数本章小结综合练习8第9章 行列式、矩阵与线性方程组9.1 行列式9.1.1 二元线性方程组与二阶行列式9.1.2 三元线性方程组与三阶行列式9.1.3 n阶行列式9.1.4 克莱姆法则9.2 矩阵的概念和矩阵的运算9.2.1 矩阵的概念9.2.2 矩阵的加法与减法9.2.3 矩阵与数相乘9.2.4 矩阵与矩阵相乘9.2.5 利用矩阵表示线性方程组9.3 逆矩阵、矩阵的秩与初等矩阵9.3.1 逆矩阵9.3.2 矩阵的秩与初等变换9.4 一般线性方程组解的讨论9.4.1 高斯消元法9.4.2 用初等变换求逆矩阵9.4.3 一般线性方程组解的讨论9.4.4 齐次线性方程组解的讨论本章小结综合练习9第10章 概率统计初步10.1 随机事件与概率10.1.1 随机事件10.1.2 随机事件的概率10.2 概率的性质及条件概率10.2.1 随机事件概率的性质10.2.2 条件概率与乘法公式10.3 事件的独立性10.3.1 事件的独立性10.3.2 n次独立重复试验10.4 随机变量及其分布10.4.1 随机变量10.4.2 随机变量的分布函数10.4.3 几种常见离散型随机变量的分布10.4.4 几种常见连续型随机变量的分布10.5 随机变量的数字特征10.5.1 数学期望10.5.2 方差与标准差10.5.3 常用分布的期望和方差10.6 数理统计方法简介10.6.1 总体和样本10.6.2 数据的整理10.6.3 几个常用统计量的分布本章小结综合练习10

主要是微积分！大一的数学比较简单，学分也最多，得好好重视，你可以去买一些试题看一下，在那些大一点的图书馆或者书店都有，有时可以多去大学转转。和学长聊聊也挺有好处的！

数学物理方法作者：王明新、石佩虎 图书详细信息：ISBN：9787302307730定价：20元印次：1-1装帧：平装印刷日期：2013-1-23图书简介：　　内 容 简 介　　本书紧密结合工科数学教学实际，系统介绍了偏微分方程模型的建立、求解三类典型方程的几种常用方法、特殊函数、线性偏微分方程定解问题的几种简单的特殊解法和一些简单的非线性偏微分方程的特殊解．本书叙述简明，条理清晰，强调数学概念和数学方法的实际背景，在注意介绍必要的理论的同时，突出解题方法．书中内容深入浅出，方法多样，文字通俗易懂，并配有大量难易兼顾的例题与习题．　　本书可作为物理、力学及工科类本科生和研究生教材，也可作为信息和计算数学专业本科生教材和教学参考书．此外，也可供数学工作者、物理工作者和工程技术人员参考．目录　　第1章典型方程的导出和定解问题 ............................................................................11.1典型方程的导出 ...........................................................................................11.1.1弦振动方程 ........................................................................................21.1.2热传导方程 ........................................................................................1.1.3传输线方程 ........................................................................................61.1.4电磁场方程 ........................................................................................71.2定解条件和定解问题 ....................................................................................81.2.1定解条件............................................................................................81.2.2定解问题..........................................................................................1.3二阶线性偏微分方程的分类 ........................................................................ 11　　习题1................................................................................................................. 12第2章傅里叶级数方法 ——特征展开法和分离变量法 ............................................. 142.1预备知识 ....................................................................................................2.1.1正交函数系 ...................................................................................... 152.1.2线性方程的叠加原理 ........................................................................ 162.2齐次化原理 ................................................................................................ 162.2.1常系数二阶线性常微分方程的齐次化原理......................................... 172.2.2弦振动方程和热传导方程初边值问题的齐次化原理........................... 192.3特征值问题 ................................................................................................2.3.1问题的提出 ...................................................................................... 202.3.2施图姆-刘维尔问题 .......................................................................... 212.3.3例子................................................................................................. 222.4特征展开法 ................................................................................................2.4.1热传导方程的初边值问题 ................................................................. 252.4.2弦振动方程的初边值问题 ................................................................. 272.5分离变量法 ................................................................................................ 292.5.1有界弦的自由振动问题.....................................................................· iv ·目录　　2.5.2有界杆上的热传导问题..................................................................... 332.5.3拉普拉斯方程的定解问题 ................................................................. 342.6非齐次边界条件的处理 ............................................................................... 382.7物理意义，驻波法与共振 ............................................................................ 41　　习题2................................................................................................................. 43第3章积分变换及其应用 ........................................................................................ 473.1傅里叶变换 ................................................................................................ 473.2傅里叶变换的应用 ...................................................................................... 503.2.1热传导方程的初值问题..................................................................... 503.2.2弦振动方程的初值问题..................................................................... 533.2.3积分方程.......................................................................................... 56.3.3半无界问题：对称延拓法 ............................................................................ 573.4拉普拉斯变换 ............................................................................................. 583.4.1拉普拉斯变换的概念 ........................................................................ 583.4.2拉普拉斯变换的性质 ........................................................................ 593.4.3拉普拉斯变换的应用 ........................................................................ 61　　习题3................................................................................................................. 65第4章双曲型方程的初值问题 ——行波法、球面平均法和降维法 ............................ 684.1弦振动方程的初值问题的行波法 ................................................................. 684.2达朗贝尔公式的物理意义 ........................................................................... 704.3三维波动方程的初值问题的球面平均法 ...................................................... 724.3.1三维波动方程的球对称解 ................................................................. 724.3.2三维波动方程的泊松公式 ................................................................. 734.4二维波动方程的初值问题的降维法 ............................................................. 754.5泊松公式的物理意义、惠更斯原理 .............................................................. 77　　习题4................................................................................................................. 78第5章位势方程的格林函数方法 ............................................................................. 815.1 δ-函数 ........................................................................................................ 815.1.1 δ-函数的概念 ................................................................................... 815.1.2 δ-函数的性质 ................................................................................... 825.2格林公式与基本解 ...................................................................................... 83目录 · v ·　　5.2.1格林公式.......................................................................................... 835.2.2基本解 ............................................................................................. 835.3调和函数的基本积分公式及一些基本性质 ................................................... 855.4格林函数 .................................................................................................... 865.5特殊区域上的格林函数及狄利克雷边值问题的解 ........................................ 885.5.1上半空间的格林函数、泊松公式 ........................................................ 885.5.2球上的格林函数、泊松公式 ............................................................... 905.6保角变换及其应用 ...................................................................................... 925.6.1解析函数的保角性............................................................................. 925.6.2常用的保角变换 ................................................................................ 945.6.3利用保角变换求解二维稳定场问题 .................................................... 99　　习题5............................................................................................................... 101第6章特殊函数及其应用 ...................................................................................... 1046.1问题的导出 .............................................................................................. 1046.2贝塞尔函数 .............................................................................................. 1066.2.1贝塞尔方程的级数解法.................................................................... 1066.2.2贝塞尔函数的性质........................................................................... 1096.2.3其他类型的贝塞尔函数.................................................................... 1146.3贝塞尔函数的应用 .................................................................................... 1166.4勒让德函数 .............................................................................................. 1196.4.1勒让德方程的幂级数解.................................................................... 1196.4.2勒让德多项式的性质 ....................................................................... 1216.4.3连带勒让德方程 .............................................................................. 1236.5勒让德多项式的应用 ................................................................................ 124　　习题6............................................................................................................... 125第7章特殊解法和特殊解 ...................................................................................... 1287.1线性发展方程初值问题的幂级数解 ........................................................... 1287.2输运方程 .................................................................................................. 1327.3 Hopf–Cole变换.......................................................................................... 1347.3.1伯格方程的Hopf–Cole变换 ............................................................... 1347.3.2 KdV方程的广义Hopf–Cole变换 ........................................................ 1367.4自相似解 .................................................................................................. 138· vi ·目录　　7.5行波解 ..................................................................................................... 1417.5.1直接积分法 ..................................................................................... 1427.5.2待定导数法 ..................................................................................... 1437.5.3待定系数法 ..................................................................................... 145　　习题7............................................................................................................... 147　　附录 A双曲函数 ................................................................................................... 149　　附录 B积分变换表 ............................................................................................... 150　　附录 C贝塞尔函数的零点表 ................................................................................. 152　　附录 D部分习题参考答案 ..................................................................................... 153　　参考文献 ................................................................................................................. 161书名:数学物理方法：普通高等教育[十五]国家级规划教材图书编号:2159044出版社:科学定价:40.0ISBN:703012173作者:邵惠民 编著出版日期:版次:1开本:16简介:本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材、普通高等教育“十五”国家级规划教材。本书系统地阐述了数学物理方法的基础理论及其在物理学、工程技术上的应用。重点不是一味追求数学的严格性和逻辑性，即纯粹数学理论的完整性，而是尽量为读者提供与数学物理方法有关的基本概念、基本定理和解题的各种方法和技巧。本书涉及的尽管是一些传统的内容，但在取材的深度和广度上都比以往教科书有所加强；同时书中也增添了不少反映学科前沿的内容，从而使学生不仅能获得相关学科的比较系统的科学知识，也能引导学生进入当代科学的前沿。此外，本书的另一特色是:读者不仅可以从本书的逻辑结构中获得简化和统一的数学基础知识，而且可以从书内的例题上看到独特的、简洁的、实用性很强的解题方法。本书可作为高等学校理工科非数学专业的本科教材，也可供有关专业的研究生、教师和广大科技人员参考。目录:第一章 复变函数1.1 复数的概念1.2 复数的几何表示法1.3 复数的运算1.4 复变函数1.5 复变函数的极限1.6 复变函数的连续习题第二章 解析函数2.1 复变函数的导数2.2 柯西-黎曼条件2.3 解析函数2.4 解析函数与调和函数的关系2.5 初等解析函数2.6 解析函数的应用——平面场的复势习题第三章 复变函数的积分3.1 基本概念3.2 复变函数和积分3.3 柯西定理3.4 柯西积分公式3.5 柯西积分公式的几个推论习题第四章 解析函数的幂级数表示法4.1 复数项级数4.2 复变函数项级数4.3 幂级数4.4 解析函数的幂级数展开4.5 解析函数的孤立奇点4.6 解析函数在无穷远点的性质4.7 解析开拓4.8 应用习题第五章 留数理论及其应用5.1 留数的基本理论5.2 用留数定理计算实积分5.3 对数留数和辐角原理习题第六章 广义函数6.1 δ函数6.2 广义函数的引入6.3 广义函数的基本运算6.4 广义函数的傅里叶变换6.5 广义解习题第七章 完备正交函数系展开法7.1 正交性7.2 零函数7.3 完备性7.4 推广第八章 斯特姆-刘维本征值问题8.1 本征值问题的提法8.2 本征值问题的主要结论8.3 其他型的本征值问题第九章 傅里叶级数和傅里叶变换9.1 周期函数和傅里叶级数9.2 完备正交函数系9.3 傅里叶级数的性质9.4 傅里叶级数的应用9.5 有限区间上的函数的傅里叶级数9.6 复指数形式的傅里叶级数9.7 傅里叶展开与罗朗展开的联系9.8 傅里叶积分与变换9.9 傅里叶变换的性质9.10 小波变换的引荐9.11 三种定义式习题第十章 拉普拉斯变换10.1 拉普拉斯变换的概念10.2 基本函数的拉氏变换10.3 拉氏变换的性质10.4 拉普拉斯逆变换10.5 应用习题第十一章 二阶线性常微分方程的级数解法11.1 常点邻域的级数解法11.2 正则奇点邻域的级数解法11.3 求第二个解的方法11.4 非正则奇点的渐近解11.5 渐近展开和最陡下降法习题第十二章 数学模型——定解问题12.1 引言12.2 数学模型的建立12.3 定解条件12.4 定解问题12.5 求解途径习题第十三章 二阶线性偏微分方程的分类13.1 基本概念13.2 二阶线性偏微分方程的分类及标准化13.3 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简13.4 三类方程的物理内涵13.5 二阶线性偏微分方程的特征习题第十四章 行波法14.1 通解14.2 行波解14.3 达朗贝尔公式14.4 半无限长弦的自由振动14.5 两端固定的弦的自由振动14.6 齐次化原理(Duhamel原理)14.7 非线性偏微分方程习题第十五章 分离变量法15.1 分离变量15.2 直角坐标系中的分离变量法15.3 圆柱坐标系中的分离变量法15.4 球坐标系中的分离变量法习题第十六章 勒让德函数16.1 勒让德多项式的定义及表示16.2 勒让德多项式的性质16.3 第二类勒让德函数Q1(x)16.4 勒让德方程的本征值问题16.5 连带勒让德方程及其解16.6 球谐函数16.7 应用习题第十七章 贝塞尔函数17.1 贝塞尔方程及其解17.2 整数阶(第一类)贝塞尔函数17.3 修正贝塞尔方程及其解17.4 球贝塞尔方程及球贝塞尔函数17.5 广义贝塞尔函数17.6 应用习题第十八章 积分变换法18.1 傅里叶变换18.2 拉普拉斯变换18.3 傅氏正弦变换18.4 傅氏余弦变换18.5 汉克尔变换18.6 应用于有界区域的问题习题第十九章 变分法19.1 基本概念19.2 泛函的极值19.3 泛函极值与数学物理问题的关系19.4 求泛函极值的直接方法——里茨法习题第二十章 格林函数法20.1 格林公式20.2 稳态边值问题的格林函数法20.3 热传导问题的格林函数法20.4 波动问题的格林函数法20.5 格林函数的确定20.6 应用习题第二十一章 保角变换法21.1 保角变换及其基本问题21.2 常用的几种保角变换21.3 多角形的变换21.4 应用习题主要参考书目

教科书上有类似的例题的，依样画葫芦即可。计算傅里叶系数 a0 = (2/π)∫[0,π]f(x)dx， an = (2/π)∫[0,π]f(x)cosnxdx， bn = 0， ……

既然函数以2π为周期, 那么区间[-π,π]与[0,2π]都是一个周期,两个区间上的逐段可微性是完全等价的.换成任何一个长为2π的闭区间都一样.换个说法, 已知一个2π周期函数在[0,2π]上的取值,可以由周期性决定其在[-π,π]上的取值,而且如果在[0,2π]上逐段可微, 则在[-π,π]上也逐段可微.又由cos(nx), sin(nx)的周期性, 可以知道在[0,2π]和[-π,π]上的Fourier系数是对应相等的,于是Fourier级数都是一样的.注意到函数本身以及其Fourier级数都具有2π周期,那么由[-π,π]上的收敛性, 不难得到[0,2π]上的收敛性.

第一问，考虑a是否为自然数是必要的，因为a为自然数时，函数变成sinnx（即为a=n），由于sinnx，cosnx，n=1，2,。。。是一个正交列，故其傅里叶级数变成有限项（即项角标等于a的sin系数非零，其余全是0），这个的计算不同于a非自然数，而且这个时候函数在端点值相等，拓展成周期函数时是连续的，级数在整个定义域都收敛于函数值，可以单独列出。第二问中，n不是自然数时，f（-π）不等于f（π），也就是如果把函数拓展成周期函数，那么在周期两端的地方是不连续的，故其傅里叶级数在这些点不收敛于函数值。而在周期内部是连续的，级数收敛于函数值，可以写成f（x）=级数。

都在考试范围，多元函数积分绝对是重点，每年都会有大题。傅里叶级数不算重点，比较冷门，但偶尔也会考，多是填空选择题，也就是考一道小题。不过曾经有一年出过一个大题，考翻了一堆人。我的意见：傅里叶级数的定义要知道，如何做奇延拓、偶延拓要知道；另外重点掌握傅里叶级数的和函数，在某一点的值如何计算（特别是间断点处），如果考填空或选择的话，95%的可能性是考这个地方。希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

分享解法如下。按照傅里叶级数定义，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx，n=1,2，……。而，f(x)=πx-x丨x丨是奇函数。∴f(x)cos(nx)是奇函数、f(x)sin(nx)是偶函数。题中积分区间对称，按照定积分的性质，有a0=0，an=0；bn=(2/π)∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx。又，应用分部积分法，∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx=(1/n)∫(0,π)(π-2x)cos(nx)dx=…=(-2/n³)[(-1)^n-1]。∴n为偶数时，bn=0；n为奇数时，bn=8/(πn³)。设n=2k-1，k=1,2，……。∴n为奇数时，f(x)=∑(bn)sin(nx)=(8/π)∑[sin(nx)]/n³=(8/π)∑[sin(2k-1)x]/(2k-1)³。∴f(x)=(8/π)∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³，n=1,2，……。该级数收敛。∵丨g(x)丨=丨8∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³丨≤∑1/(n-1/2)³~∑1/n³，收敛。故，傅里叶级数f(x)收敛。

听都没听说过

第一步，建立力学模型。首先运用类比方法，麦克斯韦把电磁现象和力学现象做了类比，认为可以建立一种不可压缩流体的力学模型来模拟电磁现象．这种流体模型为：一是没有惯性，因而也就没有质量；二是不可压缩；三是可以从无产生，又可消失．显然这是一种假设理想流体．麦克斯韦在这篇文章中写道：“我企图把一个在空间画力线的清楚概念摆在一个几何学家的面前，并利用一个流体的流线的概念，说明如何画出这些流线来”“力线的切线方向就是电场力的方向，力线的密度表示电场力的大小”．他企图阐明电力线和电力线所在空间之间的几何关系．他还试图通过类比凭借已知的力学公式推导出电磁学公式，寻求这两种不同的现象在数学形式上的类似。第二步，引出基本公式。早在1842年，W·汤姆逊就曾把拉普拉斯的势函数的二阶微分方程，普遍用于热、电和磁的运动，建立了这三种相似现象的数学联系．1847年，他又在不可压缩流体的流线连续性基础上，论述了电磁现象和流体力学现象的共同性．麦克斯韦正是吸收了W·汤姆逊这种类比方法，把它发展成为研究各种力线的重要工具。麦克斯韦据此方式相继推导出了静电磁场、稳恒电磁场以至瞬变电磁场的基本公式．其中最重要的一个就是电场的泊松方程：2V=－4πρ (2) 式中V为电势，ρ为自由电荷密度。第三步，进行数学引伸。根据电场的泊松公式可直接写出稳恒电磁场的两个基本方程：(ε0E)= ·D=4πρ (3)_B=0 (4)对于瞬变电场，麦克斯韦类比了力学中的惯性力公式，结合电场的泊松公式，可得运动电荷产生磁场的公式：× =4πj 。

这一章不考，

我从来都是只令x=e^t的！那么(dy/dx)=(dy/dt)(dt/dx)=(1/e^t)(dy/dt) 同样y"也是换成Y对 t的2阶导，带入原方程，e^t就会被消掉！！我是用手机打的，2阶导不好打，要是还不清楚的话你再问我，明天我给你贴图！

欧拉方程是在数学一的考试范围内的，但它并不是一种基本的微分方程。只要记住，对欧拉方程的自变量x做如下变换：令x=e^t方程就可以化为以t为自变量的常系数线性微分方程。而常系数线性微分方程是一种基本的微分方程类型，它的解法才是必须掌握好的。

欧拉方程是在数学一的考试范围内的，但它并不是一种基本的微分方程。只要记住，对欧拉方程的自变量x做如下变换：令x=e^t方程就可以化为以t为自变量的常系数线性微分方程。常系数线性微分方程是一种基本的微分方程类型，它的解法才是必须掌握好的。

欧拉方程是在数学一的考试范围内的，但它并不是一种基本的微分方程。只要记住，对欧拉方程的自变量x做如下变换：令x=e^t方程就可以化为以t为自变量的常系数线性微分方程。常系数线性微分方程是一种基本的微分方程类型，它的解法才是必须掌握好的。

考的。常微分方程考试要求了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念；掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法；会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程；会用降阶法解下列形式的微分方程；理解线性微分方程解的性质及解的结构。掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；会解欧拉方程；会用微分方程解决一些简单的应用问题。扩展资料：考研的相关要求规定：1、推荐和接收办法由学校（招生单位）根据教育部的有关规定制定。被接收的推免生（包括研究生支教团和农村教育硕士项目的推免生）须在国家规定的报名时间内到报考点办理报名手续，且不得再参加统考。2、取得国家承认的大学本科学历后连续工作4年或4年以上，业务优秀，已经发表过研究论文（技术报告）或者已经成为业务骨干，经考生所在单位同意和两名具有高级专业技术职称的专家推荐，为本单位定向培养或委托培养的在职人员。3、有国家承认的大学本科毕业学历的人员，网上报名时需通过学信网学历检验验证，没有通过的可向有关教育部门申请学历认证。参考资料来源：百度百科-考研数学

欧拉方程Euler"s equation　　对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微　　分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本　　方程,应用十分广泛。1755年,瑞士数学家L.欧拉在《流　　体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。　　在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：　　（ax^2D^2+bxD+c）y=f(x),　　其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D^2y的系数是二次函数ax^2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。　　例如：(x^2D^2-xD+1)y=0,(x^2D^2-2xD+2)y=2x^3-x等都是欧拉方程。　　化学中足球烯即C-60和此方程有关　　证明过程：　　利用级数。 　　exp(x)=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!＋(x^4)/4!+…… 　　sin(x)=x-(x^3)/3!+(x^5)/5!-(x^7)/7!＋…… 　　cos(x)=1-(x^2)/2!+(x^4)/4!-(x^6)/6!＋…… 　　其中exp(x)=e^x 　　于是exp(ix)=1+ix-(x^2)/2!-i(x^3)/3!+(x^4)/4!＋i(x^5)/5!＋…… 　　比较以上3式，就得出欧拉公式了 [编辑本段]泛函的欧拉方程(by zhengpin1390)　　(二)、泛函的欧拉方程　　欧拉方程是泛函极值条件的微分表达式，求解泛函的欧拉方程，即可得到使泛函取极值的驻函数，将变分问题转化为微分问题。　　（1） 最简单的欧拉方程：　　设函数F(x,y,y") 是三个变量的连续函数，且点(x,y)位于有界闭区域B内，则对形如　　 　　的变分，若其满足以下条件： 　　c) 在有界闭区域B内存在某条特定曲线y。(x) ，使泛函取极值，且此曲线具有二阶连续导数。　　则函数y。(x) 满足微分方程：　　 　　上式即为泛函Q[y]的欧拉方程。　　（2）含有自变函数高阶倒数的泛函的欧拉方程　　一般来说，对于下述泛函：　　 　　在类似条件下，可以得到对应的欧拉方程为：　　 　　（3）含有多个自变函数的泛函的欧拉方程　　对于下述泛函：　　 　　其欧拉方程组为：　　 　　（4）多元函数的泛函及其欧拉方程　　此处仅考虑二元函数的情况，对如下所示多元函数的泛函：

专业本数学考试内容通常包括以下几个方面：1. 数学分析：包括微积分、级数、函数极限、连续性、可微性、积分等。2. 线性代数：包括向量、矩阵、行列式、线性方程组、特征值、特征向量等。3. 概率统计：包括概率、随机变量、概率分布、期望、方差、正态分布、假设检验等。4. 数字逻辑：包括命题逻辑、谓词逻辑、布尔代数、逻辑电路等。5. 数论与代数：包括整数、素数、同余、群、环、域等。6. 微分方程：包括一阶、二阶常微分方程、高阶线性微分方程、变系数微分方程、常微分方程初值问题等。7. 几何与拓扑：包括欧氏几何、非欧几何、拓扑学等。以上是一些常见的专业本数学考试内容，不同的学校和专业可能会有所不同。相关推荐：专转本报考要求有哪些2023年专升本考试时间专升本一般什么时候开始备考自考/专升本有疑问、不知道自考/专升本考点内容、不清楚当地自考/专升本考试政策，点击底部咨询官网，免费获取个人学历提升方案：https://www.87dh.com/xl/

常微分方程式(O.D.E.)微分方程式绪论一阶常微分方程式分离变数法 齐次方程式 正合方程式 合并积分法 一阶线性常微分方程式 白努力微分方程式与李卡迪微分方程式 参数变更法 高次非线性O.D.E.之奇解与通解 解之存在性与唯一性 皮卡迭代法 二(高)阶常系数线性微分方程式线性独立与Wronskian行列式 二(高)阶常系数线性微分方程式 二(高)阶变系数线性微分方程式柯西等维方程式 观察齐性解(参数变更法) 高阶正合方程式 因变数变更(参数变更) 自变数变更 非线性微分方程式 联立线性O.D.E.常微分方程式之级数解基本定义 O.D.E.之幂级数解法『泰勒级数』 O.D.E.之Forbenius级数解法 特殊定义之函数『微积分第一定理』与『莱布尼兹法则』 Unit Step Function Delta Function Beta Function 拉卜拉斯变换(Laplace Transform)拉卜拉斯变换与其逆转换 基本运算定理 周期函数之拉 卜拉斯变换 以Laplace transform解O.D.E. 以Laplace transform解联立O.D.E. 以Laplace transform解无界限且边界条件与距离无关之O.D.E. 以Laplace transform解积分方程式 Bessel 与 Legendre 函数Bessel方程式与Bessel函数 Bessel O.D.E.之推广型O.D.E. Bessel函数之性质 Legendre方程式 Legendre多项式(函数)之性质 Sturm-Liouville 边界值问题基础观念 Reqular(规则型)Sturm-Liouville B.V.P. Periodic(周期型)Sturm-Liouville B.V.P. 函数的内积与正交性 史特姆-李维尔定理(Sturm-Liouville theorem) 广义之Fourier级数 傅立叶级数与积分傅立叶级数 奇、偶函数之傅立叶级数 半幅展开与全幅展开 复数型之傅立叶级数 傅立叶积分与傅立叶转换 Fourier变换之基本性质 以Fourier分析解微分方程式 --------------------------------------------------------------------------------GO TO TOP偏微分方程式(P.D.E.)P.D.E(I)卡氏座标之热传与波动偏微分方程式基础观念 规则型齐性P.D.E.之分离变数法 非齐性P.D.E.之暂态、稳态解 非齐性但仅P.D.E.与时间有关 非齐性但全与时间有关 无界域齐性P.D.E. P.D.E(II)卡氏座标之Laplace方程式齐性规则P.D.E. 齐性无穷型P.D.E. 非齐性Laplace P.D.E.0 P.D.E.(III)极座标、圆柱座标与球座标极座标之Laplace P.D.E. 极座标之热传导 P.D.E.与波动 P.D.E. 圆柱座标之Laplace P.D.E. 球座标之Laplace P.D.E. P.D.E.(IV)一阶Lagrange方程组与二阶偏微分方程式一阶Lagrange方程组 常系数P.D.E. D"Alembert波动方程式解 线性二阶P.D.E.之分类与解法 变数结合法 --------------------------------------------------------------------------------GO TO TOP向量分析向量之基本运算向量代数 向量之微积分 曲线之微分及弧长(arc length) 多变函数之微分 方向导数与梯度 向量几何(the Geometry of Vector) 向量积分重积分 线积分与Green定理 曲面积分 散度、旋度与运算子 高斯散度定理(Gauss Divergence Theorem) Stock定理 Green恒等式(Green"s Indentity) --------------------------------------------------------------------------------GO TO TOP复变分析复变与复变函数复数 复数平面与极座标 复变函数 多变函数之分支点与分支切割 复数之极限与微分极限 微分与解析 Cauchy-Riemann方程式 复数积分复数积分 Cauchy积分定理 Cauchy积分公式 复数级数复数级数 幂级数与Taylor级数 Laurent级数 孤立奇点之种类 留数定理留数(residue) 留数定理(residue theorem) 无穷远处之留数 三角函数定积分 有理函数瑕积分 Fourier积分(变换) 多值函数瑕积分 特殊路径之取法 保角映射映射(mapping) 保角映射(conformal mapping) 双线性转换 --------------------------------------------------------------------------------GO TO TOP线性代数矩阵与线性联立方程式矩阵与基本运算 方阵与方阵函数 线性联立方程式与Gauss消去法 逆矩阵与Gauss消去法 Gauss 消去法与基本矩阵 行列式行列式 分割矩阵之行列式 伴随矩阵与余因子 克拉马法则 基底与维度线性独立与线性相依 矩阵的秩 线性联立方程式与基的关系 特徵值问题预备知识 特徵值与特徵向量 方阵函数f(A)之特徵值与特徵向量 特徵值之四则运算 Cayley-Hamilton定理及其应用 对角化理论及其应用矩阵的相似性 矩阵之对角化 代数重数、几何重数与可对角化的条件 对角化理论之应用 解线性常系数联立微分方程式 乔登正则式 正交、正规矩阵与二次的应用矩阵之内积与Gram-Schmidt正交化法 正交矩阵与正交对角化 么正对角化与正规矩阵集 正交矩阵在二次式之应用 --------------------------------------------------------------------------------GO TO TOP微积分极限与连续极限 三角函数之极限 高斯函数之极限 连续 与『连续』有关之定理 渐近线 微分导数 (the Derivative) 特殊点的微分 基础可微函数与微分基本性质 隐函数微分法 (Implicit Differentiation) 反函数微分 指数函数与对数函数之微分 双曲线三角函数 高阶导函数 微分的应用罗必达法则（L`Hospital Rule） 微分定理 增减、凹凸与极值 微分在作图上的应用 近似值与牛顿近似根去 积分的方法套用公式法 第一类有理函数(分母仅含一次因式) 变数变换 积分之连锁律 第二类有理函数(分母含二次因式) 分部积分法 (Part Integral) 三角函数积分法 无理函数三角代换法 半角代换法 积分方法总复习练习题 定积分黎曼和与积分型极限 定积分 特殊的三角函数积分 积分基本定理 瑕积分 (Improper Integral) Gamma函数与Beta函数 积分之应用面积 弧长 (arc length) 平面之形心(centroid)、重心 体积(volume) 旋转体之表面积 重积分二重积分 二重积分之Dirichlet积分变换 重积分之座标变换 极座标之重积分 三重积分 质心、重心 非旋转体之曲面表面积 数列与级数数列(sequence) 级数 (series) 正项级数之敛散性 交错级数 (Alternating Series) 幂级数之收敛区域 泰勒定理与泰勒级数 泰勒级数在『高阶导数』上的应用 泰勒级数在积分上的应用 向量向量之基本运算 方向导数与梯度 向量几何(the Geometry of Vector) 向量积分(作功)与Green定理 散度定理与Stoke定理 多变函数多变函数之极限与连续 偏导数 (partial derivative) 多变函数之极值 微分方程式一阶分离变数法 一阶线性常微分方程式 二（高）阶常系数O.D.E.之齐性解 二（高）阶常系数O.D.E.之特解 尤拉-柯西等维方程式(Euler-Cauchy equation) --------------------------------------------------------------------------------GO TO TOP电机线代几何向量空间(R2与R3空间)题型一：点积(内积)与投影量 题型二：叉积(外积)与面积 题型三：纯量三重积与体积 题型四：空间上的直线与平面 矩阵与线性联立方程式矩阵与矩阵的基本运算 方阵与方阵的代数 线性联立方程式与Gauss消去法 逆矩阵与Gauss消去法 Gauss消去法与基本矩阵(elementary matrix) 方阵之LU分解 行列式行列式 分割矩阵之行列式 伴随矩阵(adjoint)与余因子(cofactor) 克拉马法则(Cramer Rule) 向量空间欧几里德空间 向量空间 子空间与生成空间 和空间与直和空间 基底与维度线性独立与线性相依 基底与维度 矩阵的秩 线性联立方程式与基底的关系 线性映射线性映射 线性映射之像集与核空间 线性映射的合成与逆映射 同构空间上矩阵的秩 座标变换与换底公式 特徵值问题特徵值与特徵向量 题型一：2 2型 题型二：3 3且特徵值无重根型 题型三：3 3且特徵值有重根型 方阵函数 之特徵值与特徵向量 特徵值之四则运算 Cayley-Hamilton定理及其应用 最小(最低)多项式 特徵空间 对角化理论及其应用矩阵的相似性 矩阵之对角化 代数重数、几何重数与可对角化的条件 对角化理论之应用 题型一：求方阵多项式 题型二：求方阵函数 题型三：解矩阵方程式 题型四：解矩阵的递回式与极限 解线性常系数联立微分方程式 题型一：一阶齐性 ＝Ax 题型二：二阶齐性 ＝Ax 题型三：非齐性 ＝Ax＋G 乔登正则式题型一：直接求Jordan form 题型二：求方阵多项式 题型三：求方阵函数 题型四：解线性常系数联立微分方程式 内积空间内积空间的定义 矩阵之内积与Gram-Schmidt正交化法 方阵之QR分解 正交投影 正交补集 正规、正交运算子与正规、正交矩阵伴随运算子(adjoint operator) 正规运算子与自伴随运算子 正规矩阵集 正交运算子与么正运算子 正交对角化与么正对角化 矩阵的范数(norm) Householder转换 光谱分解与奇异值分解 二次式及其应用二次式与矩阵的正定、半正定特性 二次式的应用(I)：主轴定理与重积分 二次式的应用(II)：Rayleigh原理与二次式的极值 --------------------------------------------------------------------------------GO TO TOP电机机率排列组合排列 组合 机率导论古典机率论 集合论 机率空间 机率基本定理 条件机率与独立事件 条件机率与贝氏定理(Bayes theorem) 随机变数与机率分配随机变数 机率分配 期望值与变异数 联合机率分配函数 随机变数之函数与转换 动差与动差不等式期望值与动差 动差与动差生成函数 马可夫不等式与柴比雪夫不等式 离散机率模型均匀分配 白努力(Bernoulli)分配 二项分配 超几何分配 多项分配 几何分配 负二项分配 卜瓦松(Poisson)分配 连续机率模型均匀分配 常态分配 指数分配 Gamma分配 就这是这些

下雨天，在雨里面等待好几个小时，整个人都被淋湿了，但是仍然特别高兴。首先，从离散的数列开始入手，定义数列极限，是收敛还是发散，收敛数列的性质，收敛准则等等。有未知量的等式就是方程了，数学最先发展于计数，而关于数和未知数之间通过加、减、乘、除和幂等运算组合，形成代数方程：一元一次方程，一元二次方程、二元一次方程等等。然而，随着函数概念的出现，以及基于函数的微分、积分运算的引入，使得方程的范畴更广泛，未知量可以是函数、向量等数学对象，运算也不再局限于加减乘除。再讨论函数的极限，从定义入手，迁移了数列极限的思路，讨论了函数极限的性质等，数列与函数通过海涅原则得到连接；相关的性质定理等知识点可以类比数列学习，毕竟数列是离散量（数列可以理解成自变量是自然数的函数），函数主要是连续量。自从数学从常量数学转变为变量数学，方程的内容也随之丰富，因为数学引入了更多的概念，更多的运算，从而形成了更多的方程。其他自然科学，尤其物理学的发展也直接提出了方程解决的需求，提供了大量的研究课题。由于连续函数的定义域是实数集，而数列可看成是定义在正整数集上的函数，由此差别，函数引入了通过极限来定义的连续和一致连续，然后给出了连续函数的有界、零点或介值、最值的性质定理。微分方程指的是：含有未知函数及其导数的方程。该类方程的未知量是函数，不同于函数方程的是，对未知函数有求导运算，且可以是高阶导数。然而，如果方程中的未知函数只含有一个自变量，那么微分方程就是常微分方程了。为进一步研究函数的性质，继续通过极限定义了函数的导数和微分，并引入了求导法则和微分中值定理，用于讨论函数的单调性、极值或最值、凹凸性等问题，还讨论了函数可导与连续的关系。

谢谢， 我不能

特征方程为r²-4r+4=0， 得r=2为二重根即齐次方程通解x1=(C1+C2t)e^(2t)设特解为x*=ae^t+bt²e^(2t)+c则x*"=ae^t+b(2t²+2t)e^(2t)x*"=ae^t+b(4t²+8t+2)e^2t代入原方程得：ae^t+b(4t²+8t+2)e^2t-4ae^t-4b(2t²+2t)e^2t+4ae^t+4bt²e^2t+4c=e^t+e^2t+1ae^t+2be^2t+4c=e^t+e^2t+1对比得：a=1, b=1/2, c=1/4所以原方程的通解x=x1+x*=(C1+C2t)e^(2t)+e^t+(t²/2)e^(2t)+1/4

要啊，数三考纲上面说的是，会解二阶常系数齐次线性方程，会解自由项为多项式、指数函数、正余弦函数的二阶常系数非齐次线性方程考试要求：1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.理解线性微分方程解的性质及解的结构.4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.5.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及他们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.6.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.7.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.8.会用微分方程求解简单的经济应用问题。

由(2),得：x = y " - 3y - e^(2t) (3) x " = y "" - 3 y " - 2 e^(2t) 代入(1)中，得：y "" + 2y " - 14y = e^t + 7e^(2t)解得： y = ...... 代入(3)中，得：x=……

要啊，数三考纲上面说的是，会解二阶常系数齐次线性方程，会解自由项为多项式、指数函数、正余弦函数的二阶常系数非齐次线性方程考试要求：1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程.齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法.3.理解线性微分方程解的性质及解的结构.4.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.5.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及他们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.6.了解差分与差分方程及其通解与特解等概念.7.了解一阶常系数线性差分方程的求解方法.8.会用微分方程求解简单的经济应用问题。

常微分方程属于数学的基础数学分支常微分方程。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支

希望有所帮助

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题[1]:p.1。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

解：微分方程为xy"+y=xeˣ，化为(xy)"=xeˣ，xy=xeˣ-eˣ+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=eˣ-eˣ/x+c/x∵y(1)=1 ∴有1=c，微分方程的特解为y=eˣ-eˣ/x+1/x请参考随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如：牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律；天文学家亚当斯和天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。常微分方程解泛函如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。

晕。。。书放学校了 第一章 函数第二章 导数第三章 微分第四章 定积分第五章 不定积分第六章 （不）定积分的应用第七章 空间几何？第八章 函数的偏导数第九章 多重积分第十章 空间积分？反正是曲线积分 曲面积分之类的第十一章 级数的收敛性第十二章 方程的通解？。。。。我凭印象写得 大致内容是这样的吧

详细过程如图，希望能帮到你，望采纳哦……

　　高等数学积分知识点总结1 　　一、 不定积分计算方法 　　1. 凑微分法 　　2. 裂项法 　　3. 变量代换法 　　1) 三角代换 　　2) 根幂代换 　　3) 倒代换 　　4. 配方后积分 　　5. 有理化 　　6. 和差化积法 　　7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 　　8. 降幂法 　　二、 定积分的计算方法 　　1. 利用函数奇偶性 　　2. 利用函数周期性 　　3.参考不定积分计算方法 　　三、 定积分与极限 　　1. 积和式极限 　　2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 　　3. 洛必达法则 　　4. 等价无穷小 　　四、 定积分的估值及其不等式的应用 　　1. 不计算积分，比较积分值的大小 　　1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 　　f(x)>=g(x),则 >=()dx 　　2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 　　b) 当0<x<兀 2时，2="" 兀<<1<="" p=""> 　　2. 估计具体函数定积分的值 　　积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 　　M(b-a)<= <=M(b-a) 　　3. 具体函数的定积分不等式证法 　　1) 积分估值定理 　　2) 放缩法 　　3) 柯西积分不等式 　　≤ % 　　4. 抽象函数的定积分不等式的证法 　　1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 　　2) 积分中值定理 　　3) 常数变易法 　　4) 利用泰勒公式展开法 　　五、 变限积分的导数方法 　　高等数学积分知识点总结2 　　A．Function函数 　　（1）函数的定义和性质（定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等） 　　（2）幂函数（一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数） 　　（3）指数和对数（指数和对数的公式运算以及函数性质） 　　（4）三角函数和反三角函数（运算公式和函数性质） 　　（5）复合函数，反函数 　　*（6）参数函数，极坐标函数，分段函数 　　（7）函数图像平移和变换 　　B．Limit and Continuity极限和连续 　　（1）极限的定义和左右极限 　　（2）极限的运算法则和有理函数求极限 　　（3）两个重要的极限 　　（4）极限的应用-求渐近线 　　（5）连续的定义 　　（6）三类不连续点（移点、跳点和无穷点） 　　（7）最值定理、介值定理和零值定理 　　C．Derivative导数 　　（1）导数的定义、几何意义和单侧导数 　　（2）极限、连续和可导的关系 　　（3）导数的求导法则（共21个） 　　（4）复合函数求导 　　（5）高阶导数 　　（6）隐函数求导数和高阶导数 　　（7）反函数求导数 　　*（8）参数函数求导数和极坐标求导数 　　D．Application of Derivative导数的应用 　　（1）微分中值定理（D-MVT） 　　（2）几何应用-切线和法线和相对变化率 　　（3）物理应用-求速度和加速度（一维和二维运动） 　　（4）求极值、最值，函数的增减性和凹凸性 　　*（5）洛比达法则求极限 　　（6）微分和线性估计，四种估计求近似值 　　（7）欧拉法则求近似值 　　E．Indefinite Integral不定积分 　　（1）不定积分和导数的关系 　　（2）不定积分的公式（18个） 　　（3）U换元法求不定积分 　　*（4）分部积分法求不定积分 　　*（5）待定系数法求不定积分 　　F．Definite Integral 定积分 　　（1）Riemann Sum（左、右、中和梯形）和定积分的定义和几何意义 　　（2）牛顿-莱布尼茨公式和定积分的性质 　　*（3）Accumulation function求导数 　　*（4）反常函数求积分 　　H．Application of Integral定积分的应用 　　（1）积分中值定理（I-MVT） 　　（2）定积分求面积、极坐标求面积 　　（3）定积分求体积，横截面体积 　　（4）求弧长 　　（5）定积分的物理应用 　　I．Differential Equation微分方程 　　（1）可分离变量的微分方程和逻辑斯特微分方程 　　（2）斜率场 　　*J．Infinite Series无穷级数 　　（1）无穷级数的定义和数列的级数 　　（2）三个审敛法-比值、积分、比较审敛法 　　（3）四种级数-调和级数、几何级数、P级数和交错级数 　　（4）函数的级数-幂级数（收敛半径）、泰勒级数和麦克劳林级数 　　（5）级数的运算和拉格朗日余项、拉格朗日误差 　　注意： 　　（1）问答题主要考察知识点的综合运用，一般每道问答题都有3-4问，可能同时涵盖导数、积分或者微分方程的内容，解出的答案一般都是保留3位小数。 　　（2）微积分BC课程比AB课程考察内容更多，题目更难，AB的内容和难度大概相当于BC的1/2，多出的内容部分已经在上面用*号标出。 　　高等数学积分知识点总结3 　　微积分定理：——— 　　若函数f（x）在[a，b]上连续，且存在原函数F（x），则f（x）在[a，b]上可积，且 　　b（上限）∫a（下限）f（x）dx=F（b）—F（a） 　　这即为牛顿—莱布尼茨公式。 　　牛顿—莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。 　　微积分常用公式：——— 　　熟练的运用积分公式，就要熟练运用导数，这是互逆的运算，下满提供给大家一些可能用到的"三角公式。 　　微积分基本定理：——— 　　（1）微积分基本定理揭示了导数与定积分之间的联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法． 　　（2）根据定积分的定义求定积分往往比较困难，而利用微积分基本定理求定积分比较方便． 　　题型： 　　已知f（x）为二次函数，且f（—1）=2，f′（0）=0，f（x）dx=—2， 　　（1）求f（x）的解析式； 　　（2）求f（x）在[—1，1]上的最大值与最小值． 　　解： 　　（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）， 　　则f′（x）=2ax+b 　　高等数学积分知识点总结4 　　《复变函数与积分变换》是电气技术、自动化及信号处理等工科专业的重要基础课，也是重要的工具性课程。本课程包括两部分内容：复变函数和积分变换。复变函数与积分变换的学习是为以后学习工程力学、电工学、电磁学、振动力学及无线电技术等奠定基础。 　　二、教学过程、方法及教学效果 　　1、命题分析 　　命题符合教学大纲基本要求，知识点覆盖面广，难易适中。重点考查了学生的基本概念、基本理论和技能的掌握程度以及综合运用能力。命题表述简明、准确，题量适中。 　　2、答题分析 　　绝大多数同学学习态度较好、学习积极性较高，能认真备考，掌握了相关的基本知识点，和相关题目的运算。从学生的考试情况来看，总体来说效果是比较好的。 　　3、成绩分析 　　学生总数104平均分 　　4、教学效果 　　总体情况比较理想，同学们普遍感觉对该课程的相关理论有了一定的了解，基本掌握了本课程的相关知识。 　　三、存在的不足及改进措施 　　在今后的教学中，尤其要加强教学内容与专业相结合，使学生更有兴趣学习这门课程，对教材进行适当的处理，调整讲解顺序，抓住关键知识点，在课堂上加大对学生训练的力度。课后及时批改学生作业，及时讲评并解答学生的各种疑难问题。 　　四、教改建议 　　学时相对较少，概念和理论不能深入展开讲解；应适当增加学时，以增加习题课的教学，使学生能够更牢固掌握该门课程。 　　90～100分(优)80～89分(良)167226优秀率70～79分(中)1315%60～69分(及)0～59分(不及)35及格率1487%

不好意思，告诉你答案是在害您，为了您的学业成绩，我只能告诉您知识点　　从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。　　极限部分：　　极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。　　会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：　　通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：　　从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。　　再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。　　以上就是极限这个体系下主要的知识点。　　导数部分：　　导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。　　然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。　　积分部分：　　一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。　　会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。　　这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合的应用。比如微分方程，它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分。而级数则是对极限，导数和积分各种知识的综合应用。

不好意思，告诉你答案是在害您，为了您的学业成绩，我只能告诉您知识点　　从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。　　极限部分：　　极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。　　会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：　　通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：　　从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。　　再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。　　以上就是极限这个体系下主要的知识点。　　导数部分：　　导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。　　然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。　　积分部分：　　一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。　　会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。　　这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合的应用。比如微分方程，它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分。而级数则是对极限，导数和积分各种知识的综合应用。

个人感觉挺重要的，因为这种题目不难，但却很容易被人忽略。现在最重要的就是定积分在几何中的应用，物理中的应用可能有点削弱了。不过其实里面的内容不多。对于几何应用，主要考察：计算平面面积，计算曲线长度，计算旋转体体积。而物理应用主要考察：计算水压力，计算功，计算引力（这个基本不考）。当然，后面重积分还有一些应用，到时候在慢慢总结吧。

①奇函数在对称区间上的积分，结果为0，(y=sinx/2是奇函数)

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1.vA=积分a(t)dt=积分6tdt=3t^2+22.A的位移为sA=积分vA(t)dt=积分(3t^2+2)dt=t^3+2tB的位移为sB=积分vB(t)dt=积分(10t+1)dt=5t^2+t两者相遇时，有sA=sB+5代入解得t=5此时sA=t^3+2t=135 初速度是加了的啊，就是3t^2+2的2啊，只是积分的时候tdt积分结果是1/2*t^2，前面有个1/2的系数，不能直接用at相乘，而是要用adt积分

高等数学、线性代数形式结构1、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟。2、答题方式答题方式为闭卷、笔试。3、试卷内容结构高等数学 78%线性代数　 22%4、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分

不好意思，告诉你答案是在害您，为了您的学业成绩，我只能告诉您知识点　　从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。　　极限部分：　　极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。　　会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：　　通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：　　从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。　　再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。　　以上就是极限这个体系下主要的知识点。　　导数部分：　　导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。　　然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。　　积分部分：　　一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。　　会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。　　这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合的应用。比如微分方程，它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分。而级数则是对极限，导数和积分各种知识的综合应用。

考研数学定积分的物理应用考的不多。定积分的应用每年都会考，是考试重点，几何应用的公共考点主要考两个：平面图形的面积和旋转体的体积，数一数二考生还要掌握弧长和侧面积。物理应用，数一对物理应用历年都考得比较少，主要是数二考生重视。

△xi=1/nxi=i/n∫[0~1]x²dx=lim(n→∞)∑f(xi)△xi=lim(n→∞)∑(i/n)²·1/n=lim(n→∞)1/n³·∑i²=lim(n→∞)1/n³·(1²+2²+……+n²)=lim(n→∞)1/n³·1/6·n(n+1)(2n+1)=lim(n→∞)1/6·(1+1/n)(2+1/n)=1/6·1·2=1/3