数学

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反三角函数公式:arcsin(-x)=-arcsinxarccos(-x)=∏－arccosxarctan(-x)=-arctanxarccot(-x)=∏－arccotxarcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=xx∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=xx∈(0，∏),arccot(cotx)=xx〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

已知一个平面的两个法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均为已知设平面法向量为n=(x,y,z)n为平面的法向量则n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0 两个方程,三个未知数x,y,z故设出其中一个,例如设x=1（不能为0）,从而求出y,z的值,即可得到平面的一个法向量,因为平面的法向量有无数个,且模可以任意,故可以这样假设

写出与这个平面平行的两个向量坐标，如（1,2,3),(4,5,6).不共线的．然后设法向量为（x,y,z)，分别与前面两个向量相乘使其为零，即x+2y+3z=0,4x+5y+6z=0.任意设一个如设X＝1,解方程即可求出Y与Z，设事可根据具体题目设的简单些．

平面法向量的具体步骤：（待定系数法）1、建立恰当的直角坐标系2、设平面法向量n=（x，y，z）3、在平面内找出两个不共线的向量，记为a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3）4、根据法向量的定义建立方程组①n·a=0 ②n·b=05、解方程组，取其中一组解即可。

空间坐标系内,平面的方程均可用三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的一般方程 那么它的法向量为（A,B,C） 你可以从平面的点法式看出来： n·MM"=0,n=(A,B,C),MM"=(x-x0,y-y0,z-z0) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 三点求平面可以取向量积为法线 任一三元一次方程的图形总是一个平面,其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标.

空间坐标系内,平面的方程均可用三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的一般方程 那么它的法向量为（A,B,C） 你可以从平面的点法式看出来： n·MM"=0,n=(A,B,C),MM"=(x-x0,y-y0,z-z0) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 三点求平面可以取向量积为法线 任一三元一次方程的图形总是一个平面,其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标.

空间坐标系内，平面的方程均可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的一般方程那么它的法向量为（A，B，C）你可以从平面的点法式看出来：n·MM"=0,n=(A,B,C),MM"=(x-x0,y-y0,z-z0)A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0三点求平面可以取向量积为法线任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

空间坐标系内,平面的方程均可用三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0的一般方程 那么它的法向量为（A,B,C） 你可以从平面的点法式看出来： n·MM"=0,n=(A,B,C),MM"=(x-x0,y-y0,z-z0) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 三点求平面可以取向量积为法线 任一三元一次方程的图形总是一个平面,其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标.

空间坐标系内，平面的方程均可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0的一般方程那么它的法向量为(A，B，C)你可以从平面的点法式看出来:n·MM"=0,n=(A,B,C),MM"=(x-x0,y-y0,z-z0)A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0三点求平面可以取向量积为法线任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。

直线方程？ 点斜式 截距式 两点式 斜截式 之类的？ 点斜式 知道一点(x1,y1) 和斜率k Y-y1=k(X-x1)带入已知就能算出来了。截距式 知道直线与X轴截距离a 和与Y轴的截距b x/a+y/b=1两点式 直线l经过两点P1(x1,y1)P2(x2,y2)(x1≠x2)。 k=(y2-y1)/(x2-x1)知道了K 再用点斜式。斜截式 已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为K，求直线的方程就是知道了坐标为(0.b) 和斜率K。 带入点斜式就行了。

　 　高中数学直线与圆的方位置关系一 　　1、平面内，直线Ax+By+C=0与圆x²+y²+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是利用判别式b²-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 　　如果b²-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 　　如果b²-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 　　如果b²-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 　 　高中数学直线与圆的方位置关系二 　　圆上一点的切线方程 　　(x-a)²+(y-b)²=r²上任意一点(X0，Y0)该点的切线方程： 　　(X-a)(X0-a)+(Y-b)(Y0-b)=r*2 　　如果在平面直角坐标系中还可以直接将 　　直线方程： 与圆的方程: 联立得出 　　若判别式>0 则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交; 　　若判别式=0 则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切; 　　若判别式<0 则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。 　 　高中数学直线与圆的方位置关系判断 　　1.如果直线方程y=kx+m，圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px²+Qx+R=0(P≠0),那么： 　　当△<0时，直线与圆没有公共点; 　　当△=0时，直线与圆相切; 　　当△>0时，直线与圆相交。 　　2.求出圆心到直线的距离d，半径为r 　　d>r，则直线与圆相离,反之相交 　　d=r，则直线与圆相切

高中数学直线与圆的方位置关系一 1、平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是利用判别式b2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。 如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。 如果b2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。 高中数学直线与圆的方位置关系二 圆上一点的切线方程 (x-a)2+(y-b)2=r2上任意一点(X0，Y0)该点的切线方程： (X-a)(X0-a)+(Y-b)(Y0-b)=r*2 如果在平面直角坐标系中还可以直接将 直线方程： 与圆的方程: 联立得出 若判别式>0 则该方程有两个根，即直线与圆有两个交点，相交; 若判别式=0 则该方程有一个根，即直线与圆有一个交点，相切; 若判别式<0 则该方程有零个根，即直线与圆有零个交点，相离。 高中数学直线与圆的方位置关系判断 1.如果直线方程y=kx+m，圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,将直线方程代入圆的方程，消去y，得关于x的一元二次方程Px2+Qx+R=0(P≠0),那么： 当△<0时，直线与圆没有公共点; 当△=0时，直线与圆相切; 当△>0时，直线与圆相交。 2.求出圆心到直线的距离d，半径为r d>r，则直线与圆相离,反之相交 d=r，则直线与圆相切

1.AB长为直径，则直径D^2=（9-3）^2+（4-2）^2D=2√10 半径r=√10圆心在（0，-3）上，则方程为：X^2+（Y+3）^2=102.设圆心为（a,b）得方程（X-a）^2+（Y-b）^2=1带入（0,1）（0,3）两个点，得a^2+（1-b）^2=1 a^2+（3-b）^2=1联立，得 a=0 b=2则方程为 X^2+（Y-2）^2=13.圆心在直线X+Y+3=0上，斜率k=-1 A（6.0），B(1.5)两点连线斜率也为-1取AB两点中点C（3.5,2.5）过C点做直线X+Y+3=0的垂线，交点就是圆心，过C点直线斜率为1方程为X-Y-1=0与直线方程X+Y+3=0联立得 X=-1 Y=-2则圆心为（-1，-2）半径为√53方程为（X+1）^2+（Y+2）^2=53注明：^2为平方 √ 为根号

在空间向量中，平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|。式中，n ---平面α的一个法向向量，M ----平面α内的一点，MP---向量。立体几何中，点到平面的距离没有具体的公式。在此情况下，一般是由点向平面作垂线，将垂线与平面内有关的线段构成平面几何图形，利用勾股定理或三角函数，求出要求的距离。扩展资料点到平面距离公式是：点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离，特殊的有，当点在平面内，则点到平面的距离为0。平面的一般式方程Ax +By +Cz + D = 0其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）。向量的模（长度）给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)。向量的点积（内积）给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2。

设P0(x0,y0,z0)为平面π:Ax+By+Cz+D=0外的一点,求P0到平面π的距离d.若(P1(x,y,z)为平面π上任意一点,则P0到平面π的距离d就是 向量P0P1={x-x0,y-y0,z-z0}在平面法向量n={A,B,C}上的投影的绝对值.由向量的数量积 |n0*P0P1|=|n0||prjn P0P1|=|prjn P0P1|整理得 d=|Ax+By+Cz+D|/√(A²+B²+C²)

汗，图是有点看不清楚~思路说下，通过直线的方向向量和平面的法向量做外积可以求出平面的法向量（a，b，c）。在从直线上随便取出一点，比如（2,-1,0）点，便可以得出平面方程a（x-2）+b(y+1)+cz=0,整理下求点（3,4,5）-4还是4看不清到平面的距离d=｜3a＋4b＋5c＋D｜/√a^2＋b^2＋c^2,即可

向量a在向量b上的投影为|a|乘以向量a与向量b的夹角的余弦值，即为3/5详解：|a|乘以向量a与向量b的夹角的余弦值=|a|(ab/|a||b|)=3倍根号2乘以[（9-12）/3倍根号2乘以5]=3/5

用向量的方法求角，不用平移直线的

(a+3b)(7a-5b)=0,7a^2+16ab-15b^2=0(a-4b)(7a-2b)=0,7a^2-30ab+8b^2=0二式相减。46ab-23b^2=0b^2=2ab代入第一个式子。a^2=2aba的长度与b的长度相等。cos(a,b)=0.5a,b夹角为60度

解：首先你知道这个点a（a，b),则先从此点向x轴或y轴引垂线，同时连接此点与原点,你会发现此点绕原点旋转，其实轨迹就是一个圆！圆的半径可心根据a点的坐标求出来！那么旋转后a”的坐标就是圆的半径乘以旋转角度的三角函数值，设圆的半径是r，旋转角度为x,则旋转后的点的坐标就是(rcosx,rsinx)!

太难了 学霸的世界不理解

如果顺时针旋转就加负号，逆时针旋转就加上90或180

①平移变换:先右移1个单位,下移1个单位使椭圆中心在原点,此时为x/9+y/4=1 ②伸缩变换:横坐标变成原来的1/3,纵坐标变为原来的1/2, 此时为单位圆x+y=1 合成变换:x变成3(x-1),y变成2(y+1)

看数析课本,高等数课本行,物理先数.球坐标种三维坐标 设M（xyz）空间内点则点M用三序数rφθ确定其r原点O与点M间距离φ向线段与z轴向所夹角θz轴看自x轴按逆针向转向线段角P点MxOy面投影三数rφθ叫做点M球面坐标rφθ变化范围 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π. r = 数即原点球面； φ= 数即原点顶点、z轴轴圆锥面； θ = 数即z轴半平面换直角坐标系x=rsinφ cosθy=rsinφ sinθz=rcosφ具体物理问题我太清楚

球坐标是：以原点为球心的球面族，以z轴为轴的半平面族，和以原点为顶点的圆锥面族组成的坐标系，有三个参数，一般用希腊字母表示， ho是点到原点的距离， hete是点和原点连线与z轴的夹角，phi是点和原点连线在xy平面的投影与x轴的夹角。地球的经纬度就是球面坐标。

y是1到2，r的范围用y表示。柱面坐标是这样表示，r的范围是有曲面决定一般与y有关。

对柱坐标系，写出坐标变换式 x= ho cos heta， y= ho sin heta, z=z;微分：dx=cos heta d ho - ho sin heta d heta, dy=sin heta d ho + ho cos heta d heta, dz=dz;求ds^2:ds^2=dx^2+dy^2+dz^2=(cos heta d ho - ho sin heta d heta)^2 + (sin heta d ho + ho cos heta d heta)^2 + dz^2=d ho^2 + ho^2 d heta^2 +dz^2=>H_ ho=1, H_ heta= ho, H_z=1.球坐标类似。

圆柱坐标系是一种三维坐标系统。它是二维极坐标系往 z-轴的延伸。添加的第三个坐标 专门用来表示 P 点离 xy-平面的高低。按照国际标准化组织建立的约定 (ISO 31-11) ，径向距离、方位角、高度，分别标记为ρ，φ，z。如图右，P 点的圆柱坐标是（ρ，φ，z） 。ρ是 P 点与 z-轴的垂直距离(相当于二维极坐标中的半径r)，φ是线 OP 在 xy-面的投影线与正 x-轴之间的夹角（相当于二维极坐标中的θ），z与直角坐标的z等值，即P点距x-y平面的距离。简单的说，有这个对应关系。x=ρ cosφy=ρ sinφz=z

　　极坐标系是高二数学必修三中的一大教学难点，有哪些知识点需要我们学习的呢?下面是我给大家带来的高二数学必修三极坐标系知识点，希望对你有帮助。 　　高二数学必修三极坐标系知识点 　　极坐标系的定义： 　　在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正。这样就建立了一个极坐标系。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对(ρ，θ)就称为P点的极坐标，记为P(ρ，θ);ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。 　　点的极坐标： 　　设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ，θ)叫做M点的极坐标，如图， 　　极坐标系的四要素： 　　极点，极轴，长度单位，角度单位和它的正方向.极坐标系的四要素，缺一不可. 　　极坐标系的特别注意： 　　①关于θ和ρ的正负：极角θ的始边是极轴，取逆时针方向为正，顺时针方向为负，θ的值一般以弧度为单位。 　　极坐标和直角坐标的互化: 　　(1)互化的前提条件 　　①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; 　　②极轴与x轴的正半轴重合; 　　③两种坐标系中取相同的长度单位. 　　(2)互化公式 　　特别提醒:①直角坐标化为极坐标用第二组公式.通常取 　　所在的象限取最小正角; ②当 　　③直角坐标方程及极坐标方程互化时，要切实注意互化前后方程的等价性. 　　④若极点与坐标原点不是同一个点.如图，设M点在以O为原点的直角坐标系中的坐标为(x，y)，在以 　　为原点也是极点的时候的直角坐标为(x′,y′)，极坐标为(ρ,θ)，则有 　　第一组公式用于极坐标化直角坐标;第二组公式用于直角坐标化极坐标. 　　高二数学必修三平面直角坐标系知识点 　　数轴(直线坐标系): 　　在直线上取定一点O，取定一个方向，再取一个长度单位，点O，长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴.如图， 　　平面直角坐标系： 　　在平面上取两条互相垂直并选定了方向的直线，一条称为x轴，一条称为y轴，交点O为原点。再取一个单位长度，如此取定的两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，即为xOy。 　　如图： 　　平面上的伸缩变换： 　　设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 　　对应到 　　为平面直角坐标系中的伸缩变换。 　　建立坐标系必须满足的条件: 　　任意一点都有确定的坐标与它对应;反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置. 　　坐标系的作用： 　　①坐标系是刻画点的位置与其变化的参照物; 　　②可找到动点的轨迹方程，确定动点运动的轨迹(或范围); 　　③可通过数形结合，用代数的方法解决几何问题。 　　高二数学必修三极坐标方程知识点 　　曲线的极坐标方程的定义： 　　一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)=0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)=0的点都在曲线上，那么方程f(ρ，θ)=0叫做曲线C的极坐标方程。 　　求曲线的极坐标方程的常用方法： 　　直译法、待定系数法、相关点法等。 　　圆心为(α，β)(a>0)，半径为a的圆的极坐标方程为 　　此圆过极点O。 　　直线的极坐标方程： 　　直线的极坐标方程是ρ=1/(2cosθ+4sinθ)。 　　圆的极坐标方程： 　　这是圆在极坐标系下的一般方程。

在平面上，取一点O称为极点，从O出发的一射线OX称为‘极轴"。在平面上取定一点O，称为极点。从O出发引一条射线Ox，称为极轴。再取定一个单位长度，通常规定角度取逆时针方向为正。这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定，有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标，记为P（ρ，θ）；ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角。建立极坐标系的要素是极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。此种坐标系的原点叫做“极点”，极轴是以极点为端点的一条射线，以极点为观测点。扩展资料：极轴的应用：1、用于定位和导航。极坐标通常被用于导航，作为旅行的目的地或方向可以作为从所考虑的物体的距离和角度。2、有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。3、建模有径向对称的系统提供了极坐标系的自然设置，中心点充当了极点。这种用法的一个典型例子是在适用于径向对称的水井时候的地下水流方程。有径向力的系统也适合使用极坐标系。这些系统包括了服从平方反比定律的引力场，以及有点源的系统，如无线电天线。参考资料来源：百度百科-极轴

极坐标就是给定一个点和一个射线轴，采用描述距离改点的长度和射线轴的夹角来描述点的位置。

什么意思，请发题目

complex number

我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数在系统分析的应用 在系统分析中，系统常常通过拉普拉斯变换从时域变换到频域。因此可在复平面上分析系统的极点和零点。分析系统稳定性的根轨迹法、奈奎斯特图法（Nyquist plot）和尼科尔斯图法（Nichols plot）都是在复平面上进行的。 无论系统极点和零点在左半平面还是右半平面，根轨迹法都很重要。如果系统极点位于右半平面，则因果系统不稳定；都位于左半平面，则因果系统稳定；位于虚轴上，则系统为临界稳定的。如果系统的全部零点和极点都在左半平面，则这是个最小相位系统。如果系统的极点和零点关于虚轴对称，则这是全通系统。

1、复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。 2、一般把形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位。当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

解（a）设分母为2的幂的所有有理数构成的集合为A,有理数的集合为Q,显然A是Q的子集,且A是无穷集合,有理数的集合是可数集,其势为阿列夫零,一个可数集任意一个无穷集合也一定是可数集,故A的势也为阿列夫零。（b）设A为正整数集所有有限子集构成的集合,A中的有限子集排列如下：空集,{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{4},{2,3}，......(按子集元素之和从小到大排列,如果两个子集元素之和相等可按字典顺序决定先后)由A中的有限子集可排列成一个序列,故A是可数集,其势为阿列夫零；设B是由余有限子集构成的集合,故A∩B=空集,A∪B=正整数所有子集构成的集合C，即A∪B=正整数集合的幂集C,可数集的幂集的势恰等于连续统的势阿列夫,故C的势为阿列夫,从一个无穷集中去掉一个可数集不改变原来的势,故由B=C-A,可得B的势也为阿列夫.如果余有限子集是有限集的补，那么所有这些集与有限集一一对应，也应是可数集，故B的势也是阿列夫零。故(a)中的集合与(b)的集合A等势,同为阿列夫零;(a)中的集合的势与(b)的集合B的势也一样。 N+的势=有理数的势任何教学书上均有。

证明等势就是建立一个函数，使得这个函数是一一映射。这样就是等势了，比如这个题可以建立函数y=2x。这样要说明这个函数是一个一一映射。因为是单射，并且是满射，所以是一一的。得证

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离散数学里一个圆圈里面一个加号是对称差集的意思。离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。离散的含义是指不同的连接在一起的元素，主要是研究基于离散量的结构和相互间的关系，其对象一般是有限个或可数个元素。离散数学在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的专业课程。扩展资料：学科内容1、集合论部分：集合及其运算、二元关系与函数、自然数及自然数集、集合的基数。2、图论部分：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用。3、代数结构部分：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数。4、组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理。5、数理逻辑部分：命题逻辑、一阶谓词演算、消解原理。

∪ ∩ ∈ ⊆ ⊂ ⊇ ⊃ ∨ ∧ ∞ Φ ∪ 　并∩　 交⊂ 　A属于B⊃ 　A包括B∈　 a∈A,a是A的元素⊆　 A⊆B,A不大于B⊇　 A⊇B,A不小于BΦ　 空集R　 实数N　 自然数Z　 整数Z+　正整数Z-　 负整数求采纳！！！！！！

1.是2.我看不到你的符号3.a是一个元素{a}是一个集合

集合的概念　　某些指定的对象集在一起就是集合。 集合　　一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 元素与集合的关系　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。 　　『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A �6�7 B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，一般写作 A �6�3 B。 中学教材课本里将 �6�3 符号下加了一个 ≠ 符号（如右图）， 不要混淆，考试时还是要以课本为准。 　　所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合集合的三种运算法则　　并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 　　交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 　　例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。 图中的阴影部分就是A∩B。 集合　　有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减1再相乘。48个。 　　无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 　　有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。 　　差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）。记作：A＼B={x│x∈A,x不属于B}。 　　注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”. 集合　　补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 　　空集也被认为是有限集合。 　　例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。 　　在信息技术当中，常常把CuA写成~A。 集合集合元素的性质　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 　　2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 　　3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。 　　4.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。 　　5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。 　　6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。 集合集合有以下性质　　若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法　　集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则 集合用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…｝的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 　　常用的有列举法和描述法。 　　1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 　　2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π} 　　3.图式法（Venn图）﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。 集合　　4.自然语言 　　常用数集的符号： 　　（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N 　　（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N或N* 　　（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z 　　（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N,且p,q互质} 　　（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R 　　（6）复数集合计作C 　　集合的运算： 　　集合交换律 　　A∩B=B∩A 　　A∪B=B∪A 　　集合结合律 　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 　　集合分配律 　　A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 　　A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 　　集合德.摩根律 集合　　Cu(A∩B)=CuA∪CuB 　　Cu(A∪B)=CuA∩CuB 　　集合“容斥原理” 　　在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3 　　card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 　　card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) 　　1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。 　　集合吸收律 　　A∪(A∩B)=A 　　A∩(A∪B)=A 　　集合求补律 　　A∪CuA=U 　　A∩CuA=Φ 　　设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集 　　德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C) 　　A-(B∩C)=（A-B)U(A-C) 　　～（BUC)=~B∩~C 　　～（B∩C)=~BU~C 　　~Φ=E ~E=Φ 　　特殊集合的表示 　　复数集 C 　　 集合　　实数集 R 　　整数集 Z 　　有理数集 Q 　　自然数集 N 　　正整数集N*（N+）

6.A包含B、C真包含于B7.我也写不来，我刚读高一，感觉数学好难啊！！

需要学习到初中的知识还是挺多的，分数、负数等等。

高一数学集合的基本运算：集合的基本运算，在不同范围研究同一个问题， 可能有不同的结果。如方程(x-2)(x2-3)=0的解集一、 全集与补集在有理数范围内只有在有理数范围内。集合的有关概念。集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素 注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念。请点击输入图片描述交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。交集：集合论中，设A，B是两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B。并集：给定两个集合A，B，把他们所有的元素合并在一起组成的集合，叫做集合A与集合B的并集，记作A∪B，读作A并B。

不知道你的集合是不是这两个1、{ φ，a，{b} }2、{{1，{2,3}}}^21、集合三个元素φ，a，{b} ，也就是基数为3. 它的幂集为：{空集，{φ}，{a}，{{b}}，{φ，a}，{φ，{b} }，{a，{b} } ，{φ，a，{b} }}2、集合元素是集合{{1，{2,3}}}的笛卡尔积 ( {1，{2,3}}, {1，{2,3}} )， 只有一个元素，基数为1 他的幂集为：{空集，{( {1，{2,3}}, {1，{2,3}} ) } } 注：对于有限集来说，基数就是它的元素个数。 集合A的幂集是A所有子集组成的集合 笛卡尔积的例子： 若A={a}，则A^2=A×A={(a,a)} 若A={a,b}，则A^2=A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

　　集合是高一数学的学习内容，将集合的知识点归纳总结，也是学习集合的一种方法，下面是我给大家带来的有关于高一集合的基本关系的知识点的具体介绍，希望能够帮助到大家。 　　高一数学集合间的基本关系的知识点介绍 　　1.1.2　集合间的基本关系 　　1.Venn图 　　在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 　　比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示. 　　【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}. 　　解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn图表示如图所示. 　　对Venn图的理解　Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制. 　　2.子集 　　定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记法 　　与读法 记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”). 图示 或 示例 具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的人组成集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口，所以有MP. 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA. 　　(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC. 对子集的理解　(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB. 　　(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. 　　(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作AB或BA. 　　(4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N. 　　【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，则实数m=__________. 　　解析：由题意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故m=0. 　　答案：0 　　【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，试判断集合M，N的关系. 　　解：∵xZ，且-1≤x<3， 　　∴x的可能取值为-1,0,1,2. 　　∴M={-1,0,1,2}. 　　又∵yM， 　　∴|y|分别是0,1,2. 　　∴N={0,1,2}. 　　∴NM. 　　3.集合相等 　　如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A=B.用Venn图表示如图所示. 　　对集合相等的理解　(1)A=BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据; 　　(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等; 　　(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在; 　　(4)集合中的关系与实数中的结论类比 　　实数 集合 a≤b包含两层含义：a=b，或a 　　A.P={1,4,7}，Q={1,4,6} 　　B.P={x|2x+2=0}，Q={-1} 　　C.3P,3Q 　　D.PQ 　　解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q;对于B项，P={x|2x+2=0}={-1}=Q;对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否同时成立;对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等. 　　答案：B 　　【例3-2】设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y的值. 　　解：由集合相等的定义，得或 　　(1)由得x=0，y=0，不满足集合中元素的互异性，故舍去; 　　(2)由得x=0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0应舍去，x=1，y=0符合集合中元素的互异性. 　　综上，可得x=1，y=0. 　　4.真子集 　　定义 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集. 记法 记作AB(或BA). 图示 结论 (1)AB且BC，则AC; 　　(2)AB且A≠B，则AB. 对真子集的理解　(1)若集合A是集合B的子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A; 　　(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集; 　　(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集. 　　【例4】已知集合P={2 012,2 013}，Q={2 011,2 012，2 013，2 014}，则有(　　) 　　A.P=Q B.QP 　　C.PQ D.QP 　　解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ. 　　答案：C 　　5.空集 　　定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集. 记法 规定 空集是任何集合的子集，即A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， 　　(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A {0}与的区别 　　{0}与 　　的区别 {0}是含有一个元素的集合 是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成={0}，{0} 【例5-1】下列集合为空集的是(　　) 　　A.{0} B.{1} 　　C.{x|x<0} D.{x|1+x2=0} 　　解析：很明显{0}和{1}都不是空集;因为{x|x<0}是全体负数组成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以{x|1+x2=0}=. 　　答案：D 　　【例5-2】有下列命题：①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，则A≠.其中正确的有(　　) 　　A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 　　解析：对于①，空集是任何集合的子集，故，①错;对于②，只有一个子集，是其自身，②错;对于③，空集不是空集的真子集，③错;空集是任何非空集合的真子集，④正确. 　　答案：B 　　6.集合间的关系判断 　　(1)集合A，B间的关系 　　(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合. 　　(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种： 　　①一一列举观察; 　　②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 　　一般地，设集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，若p(x)推出q(x)，则AB;若q(x)推出p(x)，则BA;若p(x)，q(x)互相推出，则A=B;若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系. 　　③数形结合法：利用数轴或Venn图. 　　(4)当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系.当MN和M=N均成立时，M=N比MN更准确地反映了集合M和N的关系. 　　例如，集合M={1}，集合N={1,2}，这时MN和MN均成立，MN比MN更准确地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的关系.又例如，集合M={3}，集合N={3}，这时MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更准确地反映了集合M={3}和集合N={3}的关系.【例6-1】指出下列各对集合之间的关系： 　　(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)}; 　　(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}; 　　(3)A={x|-1 　　(4)M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}. 　　分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系. 　　解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. 　　(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. 　　(3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. 　　(4)由列举法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM. 　　怎样用数轴表示集合　对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示;若端点值不是集合的元素，则用空心点表示. 　　【例6-2】已知集合，，则集合M，N的关系是(　　) 　　A.MNB.MN 　　C.NMD.NM 　　解析：设n=2m或2m+1，mZ， 　　则有 　　. 　　又∵， 　　∴MN. 　　答案：B 　　7.求已知集合的子集(或真子集) 　　(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏.一定要考虑这一特殊的集合，因为是任何集合的子集;若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集. 　　例如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3};所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}. 　　(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1，非空子集的个数为2n-1，非空真子集的个数为2n-2. 　　【例7-1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5}，请写出集合M. 　　分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必须含有元素1,2，故可按M中所含元素的个数分类写出集合M. 　　解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2}; 　　(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5}; 　　(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}; 　　(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}. 　　因此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}. 　　有限集合子集的确定技巧　(1)确定所求的集合; 　　(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出; 　　(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到. 　　【例7-2】设集合A={a，b，c}，B={T|TA}，求集合B. 　　解：∵A={a，b，c}，又TA， 　　∴T可能为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}. 　　∴B={，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}. 　　【例7-3】已知集合A={1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和. 　　解：集合A的子集分别是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次.故所求之和为(1+3+5)×4=36. 　　集合所有子集的元素之和的计算公式　若集合A={a1，a2，a3，…，an}，则A的所有子集的元素之和为(a1+a2+…+an)·2n-1. 　　8.集合间的基本关系与方程的综合问题 　　集合间的基本关系与方程的综合问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围.解决此类问题应注意： 　　(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数.集合{x|f(x)=0}表示关于x的方程的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如集合{x|mx2-x+23=0}表示关于x的方程mx2-x+23=0的解集，其中x是未知数，m是常数.此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中的参数m的取值.当m=0时，该方程为-x+23=0，是一元一次方程;当m≠0时，该方程为mx2-x+23=0，此时才是关于x的一元二次方程. 　　(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是AB的含义.当B≠时，对于AB，通常要分A=和A≠两种情况进行讨论，此时，容易忽视A=的情况. 　　(3)对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论.【例8-1】若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}且BA，求m的值. 　　分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x满足mx+1=0，又字母m的范围不明确，m是否为0题目没有明示，因此要进行分类讨论.本题应弄清楚两个问题：一是集合B有没有元素;二是集合B有元素时，元素是什么. 　　解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}. 　　因为BA，所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或无解. 　　当mx+1=0的解为-3时，由-3m+1=0得; 　　当mx+1=0的解为2时，由2m+1=0得; 　　当mx+1=0无解时，m=0. 　　综上可知，m的值为或或0. 　　【例8-2】设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若BA，求实数a的值或取值范围. 　　解：由题意得A={0，-4}，BA. 　　(1)当A=B时，即B={0，-4}. 　　由此知，0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根， 　　由韦达定理知解得a=1. 　　(2)当B=时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1. 　　(3)当B为单元素集时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1. 　　当a=-1时，B={x|x2=0}={0}A，满足条件. 　　综上所述，所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.9.集合间的基本关系与不等式的综合问题 　　用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广泛应用.数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观. 　　在数轴上表示集合时，要注意端点用实心点还是空心点，若包含端点，则用实心点表示，若不包含端点，则用空心点表示. 　　集合间的基本关系与不等式的综合问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解决此类问题应注意： 　　(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数.集合{x|f(x)>0}，{x|f(x)<0}，{x|f(x)≥0}，{x|f(x)≤0}均表示关于x的不等式的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如，集合{x|-nx+3<0}表示关于x的不等式-nx+3<0的解集，x是未知数，n是常数.这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中的参数n的取值.当n=0时，该不等式为3<0，不是一元一次不等式;当n≠0时，该不等式才是关于x的一元一次不等式. 　　(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如2<3和3<2都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m+1 　　分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是一个用字母m表示的不等式，集合A给出的不等式在数轴上表示为-2到5的线段(去掉两个端点)，集合B给出的不等式，m+1与2m-1的大小关系有两种情形：当m+1≥2m-1时x，所以BA一定成立;当m+1<2m-1时，可借助于数轴来分析解决. 　　解：∵BA，A≠，∴B=或B≠. 　　当B=时，m+1≥2m-1，解得m≤2. 　　B≠时，如数轴所示. 　　则有解得 　　因此2 　　综上所述，m的取值范围为m≤2或2 　　【例9-2】已知集合A={x|x<-1，或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，求实数a的取值范围. 　　分析：对集合B是否为空集进行分类讨论求解. 　　解：当B=时，只需2a>a+3，即a>3; 　　当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴， 　　可得或解得a<-4或2 　　综上可得，实数a的取值范围为a<-4或a>2. 　　利用子集关系求参数时易疏忽端点的验证　利用子集关系求参数的问题，在借助数轴分析时，要注意验证参数能否取到端点值.例如本题中在B≠时，解得a<-4或2

A=｛1，2｝读做集合A中有1，2元素

　　数学是一门思维的科学，是高考的重要内容之一，要想学习好高中数学其实并不难。掌握学习方法就好了。以下是我分享给大家的高一数学必修1集合的学习的资料，希望可以帮到你!　　高一数学必修1集合的学习 　　一、第一章节第一单元集合的课标要求： 　　1.合的含义与表示： 　　(1).了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系 　　(2).能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 　　2.集合间的基本关系 　　(1).理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 　　(2).在具体情境中，了解全集与空集的含义. 　　3.集合的基本运算 　　(1).理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集合. 　　(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 　　(3).能使用韦恩图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 　　二、第一章节第一单元集合的学习过程 　　本章知识分为三个小节。对于集合学习时，课堂上重视听课，也就 是紧跟老师的思路，积极展开思维预测与生成.课后复习不留疑点，认真独立完成作业，勤于思考，当然遇到不懂的问题要及时请教消化。在本单元知识学习上要注意如下几个问题： 　　1.元素与集合的表示法及它们之间的关系. 　　2.注意三种语言的相互转换. 　　3.对于集合之间的关系“包含”关系时，特别关注特殊集合.如空集，自然数集等. 　　4.对于集合的运算应当关注全集这一前提.遇到比较难于理解的题目时，我们经常运算“补集”来解决问题. 　　三、第一章节第一单元集合的学习方法 　　在学习集合过程中，方法特别重要.如“复习、预习、作业”三个环节紧紧相扣。当学习一个章节后，进行相应的巩固与拓展.建议在复习时画“知识树状图”，对于不同的题目应当提炼出相应的方法，再过度到数学思想的提升. 　　四、第一章节第一单元集合的知识拓展与生成 　　新知识的接受与数学能力的提升，均是通过数学知识的展开而生成，而数学知识的展开是借助于数学试题而显现的.所以我认为学习重要的是过程，即体验。数学体验的主要方式就是解题，所以下面根据自己的教学经验，以试题的形式，对本部分内容的知识进行拓展与生成. 　　高一数学必修1集合课标要求 　　1. 了角指数函数模型的背景，理解n次方根的概念;掌握n次根式的性质并运用其进行化简求值. 　　2. 理解分数指数幂的含义;掌握分数指数幂的运算性质. 　　3. 了解无理指数幂的含义;掌握分数指数幂与根式的互化;熟练运用有理数指数幂的运算性质进行化简、求值. 　　4. 理解指数函数的概念和意义，能画出指数函数的图像;掌握指数函数的性质. 　　5. 能用指数函数的图像、性质解决一些简单问题;初步会解与指数函数有关的复合函数的值域、单调性、奇偶性等问题. 　　高中数学学习方法 　　第一、转变观念，高一的课程内容不得懈怠 　　我想大家都明白数学的重要性吧。要知道，高考的成与败很大程度上取决于数学成绩的高与低。尤其是高一数学，经验告诉我们，高中阶段的数学学习规律是：“三年发展看高一，高一关键在‘一上"”。打好高一的数学基础，特别是开好“一上”，即高一上学期高中数学学习的“头”，对于顺利完成高中三年的数学学习，打好自己终生发展的基础极为重要。 　　第二、养成良好的数学学习习惯，主要注意以下几个环节 　　1.预习环节 　　课前预习能提高听课的针对性。高中数学与初中数学一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，容量加大了，进度很快，经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，预习十分重要。应该在老师讲课之前通过自学，对有关知识做到心中有数，完成课后的相关练习。在预习过程中不理解的地方做个记号，这样听课效率就会高很多，不至于在课堂内一知半解。 　　2.听课环节 　　学生的学习主要在课堂，要学好数学，提高数学能力，关键在于提高听课效率： 　　①首先应做好课前的准备，要把课本、笔记本、草稿纸等放在桌子上，上课时不至于出现书、本等丢三落四的现象; 　　②听课重点听分析、思维方法，要全神贯注。全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻地接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。 　　口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出内容的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。 　　③特别注意老师讲课的开头和结尾 　　老师讲课开头，一般是概括前节课的要点，指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。 　　④最后一点就是作好笔记，记笔记是学习过程中的重要环节，它对提高学习效益有不可低估的作用。俗话说“好记性不如烂笔头”。在听课的同时把本节课的重点、难点、典型的例题与教师在课堂中拓展的课外知识及习题记录下来，以备课后复习时用。 　　3.作业环节 　　先看笔记后做作业，作业要独立完成。发下去的作业，不是只注意勾勾叉叉，考试不是关注考多少分，而是对错题要做研究，找出错误的根源，并认真订正。另外，在准确把握住基本知识和方法的基础上，做一定量的练习题，因为没有一定量的练习就不能形成技能，数学离不开做题。无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通性通法放在第一位，不能一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要方法。 　　4.复习环节 　　及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。课下首先要做的不是做作业，而是及时复习不留疑点。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书、笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题、分析问题的思路、方法等，尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，让当天上课内容巩固下来，该记的内容一定把它背熟，包括概念、图形、性质及规律和数学小结论等。 　　5.总结环节 　　归纳总结是必不可少的，总结的时候，应充分利用教材每章后面的复习小结，可以从基本知识和例题、习题进行总结，要多方位地去探索新旧知识之间的内在联系，从数学知识中提炼、概括出解决问题的一般方法，形成比较有序、完整的知识结构。 　　6.反思环节 　　经常在做题后进行一定的“反思”。通过反思，形成自己的通性、通法，就可以事半功倍，也就掌握了学习数学的技巧。用专业的语言说，就是提高了学生的数学转化能力，使其运用知识、解决问题的能力能够得以提升。 　　7.改错环节 　　一定要重视改错工作，做到错不再犯。具体措施可以建立数学纠错本。把平时容易出错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处隐患，一处“地雷”，迟早要惹祸。 猜你喜欢： 1. 如何学好高中数学 学好高中数学方法 2. 女生怎样学好数学的方法 3. 高一阶段数学学习常见问题及解决 4. 高中数学学习方法 如何学好高中数学 5. 孩子怎么学好高一数学

不太清楚

Y={2,3,5,7},|x|=9,|y|=4,(a)|X∪Y|=|X|=9,(b)|X∩Y|=|Y|=4,(c)X ⊕Y={1,4,6,7,8,9},基数为5，(d) X Y={1,4,6,7,8,9}，基数为5.(e) Y X=Φ，基数为0.

这是数学中用来描述一个集合中元素数量的一个量，称为集合的基数。集合的基数一般用于对有限集合的刻画，对于无限

集合是个描述性的概念，只需理解即可。具有确定性，互异性，无序性。会表示即可。尤其是数集和点集。

　　高一数学集合间的基本关系知识点 　　集合知识点总结 　　知识点包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。 　　一、集合有关概念 　　1、集合的含义 　　2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性。 　　整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q (5)实数集R 　　6、集合的分类： (1)有限集;(2)无限集;(3)空集 。 　　二、集合间的基本关系 　　1、子集 　　2、真子集 　　3、空集 　　集合考法 　　集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。 　　误区提醒 　　2、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 　　3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。 　　4、集合的运算注意端点的取等问题。最好是直接代入原题检验。 　　5、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。 　　【典型例题】 　　集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种： 　　1、 子集概念： 　　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB(或说A包含于B)， 　　也可记为BA(B包含A)，此时说A是B的子集;A不是B的子集，记作A 　　B，读作A不包含于B 　　2、集合相等： 　　对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B 　　3、真子集： 　　对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作 　　，读作A真包含于B(B真包含A) 　　集合间基本关系： 　　性质1： 　　(1)空集是任何集合的子集，即A; 　　(2)空集是任何非空集合的真子集; 　　(3)传递性：AB，BCAC;AB，BCAC; 　　(4)AB，BAA=B。 　　性质2： 　　子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 　　集合间基本关系性质： 　　(1)空集是任何集合的子集，即A; 　　(2)空集是任何非空集合的真子集; 　　(3)传递性 　　： 　　(4)集合相等 　　： 　　(5)含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 　　高一数学统计练习题和答案解析 　　第Ⅰ卷(选择题，共50分) 　　一、选择题：本大题共10小题，共50分. 　　1.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 　　组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 　　频数 12 13 24 15 16 13 7 　　则样本数据落在(10,40]上的频率为(　　) 　　A.0.13　 　 B.0.39 　　C.0. 52　 　 D.0.64 　　解析：由题意知频数在(10,40]的有13+24+15=52. 　　故 频率=52100=0.5 2. 　　答案：C 　　2.某大学教学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为(　　) 　　A.80 B.40 　　C.60 D.20 　　解析：应抽取三年级的学生数为200×210=40. 　　答案：B 　　3.(2013•湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=(　　) 　　A.9 B.10 　　C.12 D.13 　　解析：由分层抽样的含义可得，60120+80+60=3n，所以n=13. 　　答案：D 　　4.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是(　　) 　　A.63 B.64 　　C.65 D.66 　　解析：甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36+27=63. 　　答案：A 　　5.某题的得分情况如下： 　　得分(分 ) 0 1 2 3 4 　　频率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2 　　其中众数是(　　) 　　A.37.0% B.20.2% 　　C.0分 D.4分 　　解析：由于众数出现的频率最大，所以众数是0分. 　　答案：C 　　6.(2013•江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　) 　　A.08 B.07 　　C.02 D.01 　　解析：从左到右符合题意的5个数分别为：08,02,14,07,01，故第5个数为01. 　　答案：D 　　7.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 　　90　89　90　95　93　94　93 　　去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　) 　　A.92,2 B.92,2.8 　　C.93,2 D.93,2.8 　　解析：去掉最高分9 5和最低分89后，剩余数据的平均数为x=90+90+93+94+935=92， 　　方差为s2=15×[(92-90)2+(92-90)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=15×(4+4+1+4+1)=2.8. 　　答案：B 　　8.(2013•辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　) 　　A.45 B.50 　　C.55 D.60 　　解析：由图知低于60分的频率为0.005×20+0.01×20=0.3，故总学生数为150.3=50人，故选B.

？不太明白你的问题。。数学里的三个坐标系为：x,y,z， 好像不讨论时空相结合的。。而物理中相对论说：除了平常说的3维的空间（经度，纬度，高度），第4维是时间. 宇宙是一个网状物，由这4个因素确定。 空间与时间是相对的。

四维或N维空间也许就在我们身边，只是人类的认知，智商有限感知不到，就象蚂蚁看不到人类一样

物理空间概念的延伸和抽象。如欧几里得空间、双曲空间、黎曼空间、各种函数空间和拓扑空间等等。它们反映了人们对空间结构各种属性认识的发展。 最早的数学空间概念是欧几里得空间。它来源于对空间的直观，反映了空间的平直性、均匀性、各向同性、包容性、位置关系（距离）、三维性，乃至无穷延伸性、无限可分性、连续性等方面的初步认识。但在很长时期里，人们对空间的理解只局限于欧几里得几何学的范围，认为它与时间无关。19世纪20年代，非欧几何的出现突破了欧几里得空间是唯一数学空间的传统观念。非欧几里得几何的空间概念具有更高的抽象性，它与欧几里得空间统一成常曲率空间，而常曲率空间又是黎曼空间的特殊形式。19世纪中叶，G.F.B.黎曼还引进流形概念。这些概念不仅对物理空间的认识起了很大作用，而且也大大丰富了数学中的空间概念。 平面定义： 平面是一个只描述而不定义的最基本概念，是由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分。平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。 19世纪末20世纪初，人们给出了维数的拓扑定义，并对函数空间的度量性质进行深入研究，从而产生了一系列重要的数学空间概念，特别是一般的拓扑空间概念。20世纪30年代后，数学中的各种空间在数学结构的基础上得到统一处理，人们对各种数学空间获得较完善的认识，并随着对物理空间认识的深入以及数学研究的发展，从代数、几何、拓扑方面推广各种数学上的空间观念。在代数方面对空间概念的推广主要来源于解析几何的产生和发展。几何对象（点、线等）与数组结成对应关系，使人们可以对空间进行精确的定量描述。这样便容易把坐标三数组推广到坐标 n数组（向量），其所对应的空间即为 n维线性空间或向量空间。这种空间从维数上对欧几里得空间做了推广，但抽去了欧几里得空间中的距离概念。实数域上的线性空间通常可以推广到一般域上，特别是有限域上的线性空间成了只有有限多个点的空间，其空间的连续性也被舍弃了。从代数和几何方面，可以把空间推广成仿射空间和射影空间。射影空间可通过几何方法或坐标方法把无穷远点和无穷远线包括在内。另外，也可以通过数组、相空间、状态空间等等使各种空间成为物理学乃至其他科学处理运动的直观模型。 空间的更抽象形式是拓扑空间。由于拓扑结构反映点与点之间的亲疏远近关系，因而在拓扑空间中欧几里得空间的距离和向量空间的向量长度这些概念都被舍弃了。 人们对各种数学空间的研究，反映了人们从局部、粗浅的直观到更深刻地认识空间的各种属性的过程。例如，拓扑学的发展，使人们对空间的维数、连续性、开闭性、空间的有边和无边以及空间的定向都有了更深入、更本质的理解。流形的研究对于空间的有限与无限、局部与整体的认识也产生了飞跃。流形概念是空间概念的重要发展。它从局部上看是欧几里得空间，但从整体上看可以有各种形式。它可开可闭，可有边可无边。这种深刻的认识对于物理空间的研究有着推动作用。例如，闵可夫斯基空间是狭义相对论的数学模型，黎曼空间则成为广义相对论的数学模型（见相对论）。

空间是一个3D平面是2D空间＝长宽高平面＝长宽

这样的矩阵需要满足右乘列向量{1,1,0}等于零列向量，而且矩阵的秩是2。很容易找到这样的例子。

这一节主要是说明几个向量空间，关系到后面正交矩阵、线性拟合等感性上的理解 简而言之向量空间 包含了所有含有 个分量的向量。那 向量空间内 就很好理解了，就是任何 空间内的向量， 相加，乘以系数 （即线性组合），其结果依旧在这个空间内。 那么子空间呢？ 子空间就是一组满足其 线性组合 依旧在该集合内的向量集合（包含0） 最重要的子空间直接跟矩阵 相关。 对于 考虑如果A是非可逆矩阵，那么必然有一些 是可解的，一些 是不可解的，那么对于这些可解的 ，其只是矩阵 中的列向量的线性组合。这些 组成 的列空间。 记做 顾名思义，零空间就是 的时候，所有的解 所组成的空间。 问题来了，对于可逆矩阵而言，零空间有几个向量？没错，答案就是1。因为对于可逆矩阵而言， 只有唯一 这个解。 记做 如何通过消元法求出所有的 解呢？ 如前文所述，线性组合就可以表示为向量空间，那么，对于表达式 而言，必然存在 个特殊解。用特殊解的线性组合就可以构造出所有的满足 的解，自然也就是零空间了。 矩阵 的秩(rank)就是主元素(pivot)位置非零的数量，记做 注意哦，这里的矩阵 不一定是可逆矩阵呢。那么，如何求解出所有的 的解呢？ 独立向量就是矩阵中那些不能由其他列线性组合得到的列。这些独立向量构成了空间。因为依赖列其实没有起任何作用，他们可以由独立向量线性组合得到。 矩阵的基可以理解为一组满足条件 1.相互独立2.构成整个空间 的向量集合 空间的维数等于这个空间的基的数量 列空间 零空间 行空间 转置矩阵零空间 思考：各子空间的关系 直接放图

2x-3=252y-4=-20x=14 y=-8

可以

易知如向量b=(12,5)与向量a垂直,因为a与b的数量积为0. 则：模|b|＝√(12²+5²) =13 易得：与向量b共线的其中一个单位向量e=b/|b|=(12/13,5/13) 显然单位向量e也与向量a垂直 所以e=(12/13,5/13)即为所求.,4,高一数学平面向量数量积的坐标表示,模,夹角 知a=(-5,12)求与a垂直的单位向量的坐标

（1）（x1+x2,y1+y2）（2）（x1-x2,y1-y2）（3）（λx1,λy1）

设D坐标为(x，y)则向量AB=(1，2)向量AD=(x+1，y)向量AB×向量AD=(x+1)+2y=5向量IAD|2=(x+1)平方+y的平方=10解二元二次方程的x，y即可

第四题？还是哪一题？

向量组的这个线性其实表现的就是一个生物上的，一个化学的一个计算方式，而且很多孩子们都搞不懂，可能就是它的这个变相太复杂了。

　　空间向量及其运算 　　●考试目标 主词填空 　　1.空间向量基本定理及应用 　　空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c. 　　2.向量的直角坐标运算： 　　设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), 　　A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2). 　　则a+b= . 　　a-b= . 　　ab= . 　　若a、b为两非零向量，则a⊥b ab=0 =0. 　　●题型示例 点津归纳 　　【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC= 　　∠AOC,且OA=OB=OC.，N分别是OA，BC的中点，G是 　　N的中点. 　　求证：OG⊥BC. 　　【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可. 　　而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量表示.又已知条为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量. 　　【规范解答】 连ON由线段中点公式得： 　　又 , 　　所以 ) 　　因为 . 　　且 ，∠AOB=∠AOC. 　　所以 =0,即OG⊥BC. 　　【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力. 　　【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 　　【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 　　【规范解答】 因为 , 　　所以 　　因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图 　　所以 =0, 　　=-a2. 　　所以 =-a2. 　　又 　　所以〈 〉=120°. 　　所以异面直线BA1与AC所成的角为60°． 　　【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量表示. 　　【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分 　　别是BB1、DC的中点. 　　(1)求AE与D1F所成的角； 　　(2)证明AE⊥平面A1D1F. 　　【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1， 　　=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz, 　　则：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)， 　　所以 =(0,1, ), =(0, ,-1). 　　所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0. 　　所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°． 　　(2)又 =(1,0,0)= ， 　　且 =(1,0,0)(0,1, )=0. 　　所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1. 　　所以AE⊥平面A1D1F. 　　【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法. 　　【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心). 　　【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点, 　　∴EG ,同理HF ，∴EG HF . 　　从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF, 　　GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ. 　　只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O 　　为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图 　　∴ CD,QH CD, 　　∴= =0. 　　∴ =,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点. 　　【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点. 　　●对应训练 分阶提升 　　一、基础夯实 　　1.在下列条中,使与A、B、C一定共面的是( ) 　　A. B. 　　C. D. 　　2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( ) 　　A. B. 　　C. D. 　　3.若向量｛a， b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )? 　　A.a B.b ? C. c D.2a? 　　4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( )? 　　A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］? 　　5.若a与b是垂直的，则ab的值是( )? 　　A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能确定 　　6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b( ) 　　A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不对 　　7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )? 　　A.1 B.2 C.3 D.4 　　8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的`值为( ) 　　A.0 B. C. D.8 　　9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为( )? 　　A.0B.6 C.-6 D.±6 　　10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，则a+b对应的点为( ) 　　A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2) 　　11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为( ) 　　A.arc cos B. C. D.90° 　　12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y2，z2｝,则 是a与b同向或反向的( ) 　　A.充分不必要条 B.必要非充分条? 　　C.充要条 D.不充分不必要条 　　二、思维激活 　　13.已知向量a, b, c满足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.则ab+bc+ca= .? 　　14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，则a、b所夹的角为 . 　　15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为 . 　　16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 . 　　三、能力提高 　　17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离. 　　18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求： 　　(1) 的夹角的大小. 　　(2)直线A1E与FC所夹角的大小. 　　19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE. 　　20.如图所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面. 　　空间向量及其运算习题解答 　　1.C 由向量共线定义知.? 　　2.C 设此向量为(x,y),∴ ，?∴ 　　3.C 　　4.D 根据两向量所成的角的定义知选D. 　　5. B 当a⊥b时，ab=0(cos 〈a, b〉=0)? 　　6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b. 　　7.C AB= =3.? 　　8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，? 　　∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8= 　　9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6. 　　10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2). 　　11.C cos(ab)= =- . 　　12.A?若 ，则a与b同向或反向，反之不成立. 　　13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,? 　　∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13. 　　14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夹的角为 . 　　15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 　　16.9 S=absin〈a, b〉求得. 　　17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.? 　　过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°， 　　〈 〉＝120°， 　　∴CD2= 　　＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2. 　　∴CD＝ 　　点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算. 　　18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0) 　　、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4). 　　由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4). 　　(1)令 的夹角为θ，? 　　则cosθ＝ . 　　∴ 的夹角为π-arccos . 　　(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos 　　19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设 ＝i， ＝j， ＝k， 　　以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz， 　　则 ＝（－1，0，0）， ＝(0, ,-1)，? 　　 ＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F. 　　又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)， 　　∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0. 　　∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE. 　　点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系. 　　20.证明：∵ 　　=2 　　∴A1,B1,C1,D1四点共面.

用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角.在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量,可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具,从而提高学生的空间想象能力和学习效率. 　　高中数学新教材中讲述空间向量的部分约占14课时(当然它的应用不止在这14课时),它被包含在第九章“直线、平面、简单几何体”(简称“9(B)”)中,含有空间向量的高二下学期的数学教科书简称“第二册(下B)”；与它平行,仍用传统方法来阐述高中立体几何内容的教科书简称“第二册(下A)”.两本教科书第九章的章名一样,并且都用36课时进行教学. 　　综上,“空间向量”这部分内容具有“必学”和“选学”两重性.按照大纲第10页的脚注规定“直线、平面、简单几何体的教学内容和教学目标在9(A)和9(B)两个方案中只选一个执行”,9(B)具有选学的性质；但大纲把“直线、平面、简单几何体”作为必学内容,如果学生不按“第二册(下A)”教科书来学习,那么空间向量对于他们就是必学内容. 　　“空间向量”这部分内容,大致可分成“空间向量及其运算”与“空间向量的应用”这两个模块. 　　(1)空间向量及其运算.包括： 　　①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 　　②理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法、数乘及其坐标表示,了解空间向量基本定理及其意义；掌握空间坐标系,能将空间向量用坐标轴上的单位向量线性表示,掌握空间向量的坐标表示. 　　③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线或垂直. 　　(2)空间向量的应用.包括： 　　①理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念. 　　②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. 　　③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理. 　　④能用空间坐标系与向量方法解决夹角与距离的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 教学中,应引导学生运用类比的方法,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,应注意由于维数增加所带来的影响.

　　科学是人类的共同财富，而真正科学家的任务就是丰富这个全人类都能受益的知识宝库。下面是我为大家整理的高二数学空间向量的公式及定理，希望大家喜欢。 　　空间向量 　　一、空间向量知识点 　　1.空间向量的概念： 　　定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 　　具有大小和方向的量叫做向量注： 　　⑴空间的一个平移就是一个向量 　　⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 　　⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 　　ⅰ定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。 　　ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 　　ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用 表示。 　　ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。 　　2.空间向量的运算 　　二、复习点睛： 　　1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 　　2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 　　3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。 　　2、空间向量的坐标表示： 　　(1)空间直角坐标系： 　　①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底 ，以点O为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。 　　②右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向; 　　③构成元素：点(原点)、线(x、y、z轴)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面); 　　④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的一半; 　　(2)空间向量的坐标表示： 　　①已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量(如图)， 　　由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。 　　②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的"坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 　　③空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当 与 的方向相同时，x>0，当 与 的方向相反时，x<0，同理可确y、z(如图)。 　　④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。 　　⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 　　(3)空间向量的直角坐标运算： 　　⑦空间两点间距离： ; 　　⑧空间线段 的中点M(x，y，z)的坐标： ; 　　⑨球面方程： 　　4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。 　　5、空间直角坐标系中的特殊点: 　　(1)点(原点)的坐标：(0,0,0); 　　(2)线(坐标轴)上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z); 　　(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z) 　　6、要使向量 与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为0即可。 　　7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面; 　　8、只要将 和 代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样; 　　9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任意不共面的三个向量 都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。

用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。　　高中数学新教材中讲述空间向量的部分约占14课时(当然它的应用不止在这14课时)，它被包含在第九章“直线、平面、简单几何体”(简称“9(Ｂ)”)中，含有空间向量的高二下学期的数学教科书简称“第二册(下Ｂ)”；与它平行，仍用传统方法来阐述高中立体几何内容的教科书简称“第二册(下Ａ)”。两本教科书第九章的章名一样，并且都用36课时进行教学。　　综上，“空间向量”这部分内容具有“必学”和“选学”两重性。按照大纲第10页的脚注规定“直线、平面、简单几何体的教学内容和教学目标在9(Ａ)和9(Ｂ)两个方案中只选一个执行”，9(Ｂ)具有选学的性质；但大纲把“直线、平面、简单几何体”作为必学内容，如果学生不按“第二册(下Ａ)”教科书来学习，那么空间向量对于他们就是必学内容。　　“空间向量”这部分内容，大致可分成“空间向量及其运算”与“空间向量的应用”这两个模块。　　(1)空间向量及其运算。包括：　　①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。　　②理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、数乘及其坐标表示，了解空间向量基本定理及其意义；掌握空间坐标系，能将空间向量用坐标轴上的单位向量线性表示，掌握空间向量的坐标表示。　　③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线或垂直。　　(2)空间向量的应用。包括：　　①理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。　　②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。　　③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。　　④能用空间坐标系与向量方法解决夹角与距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。教学中，应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，应注意由于维数增加所带来的影响。

向量a·向量b=| a |*| b |*cosΘΘ为两向量夹角| b |*cosΘ叫做向量b在向量a上的投影| a |*cosΘ叫做向量a在向量b上的投影扩展资料平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。参考资料平面向量_百度百科

OA=(0.1.1) OB=(2,0,2) OC =(1,0,1) N=(X,Y,Z)由法向量定义得: y+z=0 2x+2z=0； x+z=0所以：n=（k，k，-k）k不等于0

移项：（λn-1）i=（m-λ）j两个不共线的向量要相等，除非都是零向量所以λn-1=0，m-λ=0

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从起点到终点做的一条有向线段。

学好对立体几何有帮助