数学

所谓函数是指某一个变量是依照另一个变量的变化而产生相应的变化，譬如当速度一定时，路程的变化是根据时间的变化而确定的，这里时间就是自变量，而路程就是因变量，数学上就把路程称为是时间的函数。

属于初等函数

这个函数是个超越函数，用f(1)-f(0)可证明其结果是超越数

三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。

变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数. 如对数函数,反三角函数,指数函数,三角函数等. 在中学阶段指 对数指数三角反三角函数 . 超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项...

数项级数包括正项级数（每一项都为正），交错级数（正负项交错出现）和任意项级数（没有规定项数的正负）。而正项级数中有几个比较特殊的级数p-级数和调和级数，以及公比项数均为正的等比级数。而针对于级数的敛散性来讲，正项级数和交错级数主要来研究级数的敛散性。而任意项级数主要研究是绝对收敛还是条件收敛还是发散。

采用定积分来估算：即因此当级数的值近似为62的时候，有从上图就可以看到n大概有多大了。如果编写程序来计算n的临界值，那么定义的整型变量就会溢出。

级数是无穷项相加它主要用于近似计算方面。你的数学用表就是用级数算出来的。要计算机应用上很方便应用特别广的是傅立叶级数。它在电磁学上有广泛应用。电学上经常要用到它微积分是它的基础。

调和级数 an=1/n；发散，证明好证，自己练习，不会再问

二项式定理（英语：binomial theorem），又称牛顿二项式定理。由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理知识扩展：发展简史二项式定理最初用于开高次方。在中国，成书于1世纪的《九章算术》提出了世界上最早的多位正整数开平方、开立方的一般程序。11世纪中叶，贾宪在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”，满足了三次以上开方的需要。此图即为直到六次幂的二项式系数表，但是，贾宪并未给出二项式系数的一般公式，因而未能建立一般正整数次幂的二项式定理。13世纪，杨辉在其《详解九章算法》中引用了此图，并注明了此图出自贾宪的《释锁算书》。贾宪的著作已经失传，而杨辉的著作流传至今，所以今称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。14世纪初，朱世杰在其《四元玉鉴》中复载此图，并增加了两层，添上了两组平行的斜线。

比如说aX的平方＋bX＋ca是二项式系数，c是常数项（具体数字），而a,b,c都是系数

123456每一个数字就是一个数码

数码求助编辑百科名片数码（digital）系统，又名数位系统，使用分离（即不连续的）价值（0或1）代表信息，用以输入，处理，传输、存贮等。相对的非数码（模拟信号）系统使用一个个连续的范围代表信息。虽然数码的表示方法是分离的，但其代表的信息可以是分离的（例如数字、字母等。），或者连续（例如声音、图像和连续系统的其它测量等。）目录 数码系统 数码技术 数码类专业就业方向展开编辑本段数码系统　　数码产品表示法通常用于计算机科学和电子学，特别是真实世界的信息被转换成二进制数字形式，例如数字式音频和数字照片。运载数据的信号是电子或光学脉冲，以每个振幅代表一逻辑1（有脉冲及/或高）或一逻辑0（无脉冲及/或低）。编辑本段数码技术　　数码技术（digital tech）简介　　数码技术又被称为数字技术，因为其核心内容就是把一系列连续的信息数字化，或者说是不连续化。　　在电子技术中，被传递、加工和处理的信号可以分为两大类：一类信号是模拟信号，这类信号的特征是，无论从时间上还是从信号的大小上都是连续变化的，用以传递、加工和处理模拟信号的技术叫做模拟技术；另一类信号是数码信号，数码信号的特征是，无论从时间上或是大小上都是离散的，或者说都是不连续的。传递、加工和处理数码信号技术的叫做数码技术。与模拟技术对比　　与模拟技术相比，数码技术具有以下一些特点：　　（1）在数码技术中一般都采用二进制，因此凡元件具有的两个稳定状态都可用来表示二进制，（例如 “高电平”和“低电平”）：0、1。故其基本单元电路简单，对电路中各元件精度要求不很严格，允许元件参数有 较大的分散性，只要能区分两种截然不同的状态即可。这一特点，对实现数字电路集成化是十分有利的。　　（2）抗干扰能力强、精度高。由于数码技术传递加工和处理的是二值信息，不易受外界的干扰，因而抗干扰能力强。另外它可用增加二进制数的数位提高精度。　　（3）数码信号便于长期存贮，使大量可贵的信息资源得以保存。　　（4）保密性好，在数码技术中可以进行加密处理使一些可贵信息资源不易被窃取。　　（5）通用性强，可以采用标准化的逻辑部件来构成各种各样的数码系统。　　由于数码技术具有上述特点，发展十分迅速，因而在电子数字计算机、数控技术、通讯设备、数字仪表以及国民经济其他各部门都得到了越来越广泛的应用。编辑本段数码类专业就业方向　　影视公司--电视台的影视栏目包装。　　影视公司--电视台的数字视频后期编辑合成。　　影视公司--电视台的数字音频编辑合成。　　广告公司--广告摄影和照片处理。　　广告公司---数字摄像、广告商业脚本策划、素材（包括静态和动态）的采集。　　广告公司--三维动画制作和后期合成。　　婚庆公司--摄影师，游戏、网络游戏公司。扩展阅读： 1 数码简只电子。开放分类： IT，数码，信息，科技，数码产品

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在整数运算中除数不能整除被除数时会有余数 ,在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况.当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要. 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 mod 3 = 1 . 余数有如下一些重要性质（a,b,c均为自然数）： （1）余数小于除数. （2）被除数=除数×商+余数； 除数=（被除数-余数）÷商； 商=（被除数-余数）÷除数. （3）如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除.例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除. （4）a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）.例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4.注意：当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数.例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数. （5）a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）.例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3.注意：当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数.例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数. 性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形. 例1 5122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数. 由性质（2）知,除数×商=被除数-余数. 5122-66=5056, 5056应是除数的整数倍.将5056分解质因数,得到 5056=26×79. 由性质（1）知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67～99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79. 例2 被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数. 因为被除数=除数×商+余数 =除数×33+52, 被除数=2143-除数-商-余数 =2143-除数-33-52 =2058-除数, 所以 除数×33+52=2058-除数, 所以 除数=（2058-52）÷34=59, 被除数=2058-59=1999. 答：被除数是1999,除数是59. 例3 甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数. 因为 甲=乙×11+32, 所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088, 所以 乙=（1088-32）÷12=88, 甲=1088-乙=1000. 答：甲数是1000,乙数是88. 例4 有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50.求这个数. 先由题目条件,求出这个数的大致范围.因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16.由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17～70之间. 由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除.将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17～70之间的约数有29和58. 因为110÷58=1……52＞50,所以58不合题意.所求整数是29. 例5 求478×296×351除以17的余数. 先求出乘积再求余数,计算量较大.根据性质（5）,可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数. 478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,（2×7×11）÷17=9……1. 所求余数是1. 例6 甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人.两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车.参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片? 甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25（人）,即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数. 因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数. （11×25）÷36=7……23, 即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13（张）. 由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题.

1、余数指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）的整数。例如：27除以6，商数为4，余数为3。 2、一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。 例如：1除以2，商数为0，余数为1；2除以3，商数为0，余数为2。 3、取余数运算：a mod b = c 表示整数a除以整数b所得余数为c。 4、余数的计算公式：c = a -? a/b? * b。

1、余数指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）的整数。例如：27除以6，商数为4，余数为3。2、一个数除以另一个数，要是比另一个数小的话，商为0，余数就是它自己。例如：1除以2，商数为0，余数为1；2除以3，商数为0，余数为2。3、取余数运算：amodb=c表示整数a除以整数b所得余数为c。4、余数的计算公式：c=a-?a/b?*b。

余数的意思，就是一个数除以另一个数不能进行整除，还剩下的数，但是余数不能大于除数。简单来讲就是一个东西不能平均分配，从而会有多余的。比如3个小朋友分10块糖果，那么10÷3=3......1就是每个小朋友只能分得3块糖果，分完后还剩一块，这就是余数的意义。

在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数。如7÷3 = 2 ......1。1就是余数

在整数运算中除数不能整除被除数时会有余数 ，在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： a mod b = c 表示 整数a除以整数b所得余数为c 如 7 mod 3 = 1 . 余数有如下一些重要性质（a，b，c均为自然数）： （1）余数小于除数。 （2）被除数=除数×商+余数； 除数=（被除数-余数）÷商； 商=（被除数-余数）÷除数。 （3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除。 （4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。 （5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，23，16除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，23，19除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。 性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。 例1 5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。 分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。 5122-66=5056， 5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到 5056=26×79。 由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。 例2 被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除数。 解：因为被除数=除数×商+余数 =除数×33+52， 被除数=2143-除数-商-余数 =2143-除数-33-52 =2058-除数， 所以 除数×33+52=2058-除数， 所以 除数=（2058-52）÷34=59， 被除数=2058-59=1999。 答：被除数是1999，除数是59。 例3 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。 解：因为 甲=乙×11+32， 所以 甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088， 所以 乙=（1088-32）÷12=88， 甲=1088-乙=1000。 答：甲数是1000，乙数是88。 例4 有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。 分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。 由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。 因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意。所求整数是29。 例5 求478×296×351除以17的余数。 分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。 478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。 所求余数是1。 例6 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘36人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？ 分析与解：甲代表团坐满若干辆车后余11人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（人），即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数。 因为甲数除以36余11，乙数除以36余25，所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。 （11×25）÷36=7……23， 即最后一个胶卷拍了23张，还可拍36-23=13（张）。 由例6看出，将实际问题转化为我们熟悉的数学问题，有助于我们思考解题。

整数除法:从被除数的高位起，除到被除数的哪一位，商就写在那以为上面，不够商1时用0占位，每次除得的余数必须比除数小。要的余数就不能除到小数点后面，商必须是整数，剩下的就是余数，余数也不能大于除数！

余数，数学用语。在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，取余数运算：amodb=c(b不为0)表示整数a除以整数b所得余数为c，如7÷3=2......1。 余数定义 在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。当不能整除时，就产生余数，所以余数问题在小学数学中非常重要。 取余数运算： amodb=c表示整数a除以整数b所得余数为c。 余数的计算公式:c=a-⌊a/b⌋*b 其中，⌊ ⌋为向下取整运算符，向下取整运算称为Floor，用数学符号⌊ ⌋表示 例：⌊3.476⌋=3，⌊6.7546⌋=6，⌊-3.14159⌋=-4 如7mod3=7-⌊7/3⌋*3=7-2*3=1 什么是除法 除法是四则运算之一。已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。若ab=c（b≠0）,用积数c和因数b来求另一个因数a的运算就是除法，写作c/b，读作c除以b（或b除c）。其中，c叫做被除数，b叫做除数，运算的结果a叫做商。 整数的除法法则 1.从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数； 2.除到被除数的哪一位，就在哪一位上面写上商； 3.每次除后余下的数必须比除数小。

高斯函数即向下取整，记作[x]。[3.8]=3,[-0.2]=-1高中数学有些选择题和填空题中会出现。

算。有理数是包括无限循环的小数、整数、分数、

0，1，2，3，4，5，6，7，8.。。。。。。。。

非负整数,（教科书上的概念）是正整数和零.也就是除负整数外的所有整数. 这名词在使用初期,也有人以为是“非负”是“真实”(faith)的翻译,后来在四川师范大学的一名研究生,在论证此问题时,发明了现在所谓的“非负整数”之概念,至今,这范围仍在进行学术探讨中.　　一个给定的整数n可以是负数（n∈Z-）,非负数（n∈Z*）,零（n=0）或正数（n∈Z+）.　　另外现在有些数学家认为“非负整数”应理解为不是负整数的数,即负数、0、正数（正整数）

不是 我打字速度慢 就不多说了

N是非负整数集;自然数集N*或N+是正整数集Z是整数集Q是有理数集R是实数集这些都不难，接触时间长了，见的多了，就熟悉了，不用担心，以后的学习也不要太担心，只要努力，会有回报的！高中生活很有意思的，只要你用心，你会发现老师无时无刻不在交给你做人的道理，加油啊！！

这些都是代表着与化学式符号。

即用数码0，1，2，3，4，5，……所表示的数，也就是除负整数外的所有整数，通常也被称为自然数。 非负整数定义 非负整数是正整数和零。也就是除了负整数外的所有整数。 这名词在使用初期，也有人以为是“非负”是“真实”（faith）的翻译，后来一名研究生，在论证此问题时，发明了现在所谓的“非负整数”之概念，至今，这范围仍在进行学术探讨中。 一个给定的整数n可以是负数（n<0），非负数（n≥0），零（n=0）或正数（n>0）。 什么是自然数 用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。 什么是非负整数集 全体非负整数的集合通常称非负整数集（或自然数集）。 非负整数集包含0、1、2、3等自然数。数学上用黑体大写字母“N”表示非负整数集。非负整数包括正整数和零。非负整数集是一个可列集。 分数定义 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或其中几份的数叫分数。表示这样的一份的数叫分数单位。 分数分为假分数和真分数。假分数又分为带分数和整数。分子和分母互质，这个分数就称为最简分数。要把小数化分数，看看是几位小数，来确定分母，再看小数点后是几，就是分子，如有整数，就变成带分数。

就是正整数和零啊

高中数学复合函数求值域求函数值域的7类题型和16种方法 一、函数值域基本知识 1．定义：在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的因变量y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(或函数值的集合)。 2．确定函数的值域的原则 ①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合； ②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合； ③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。 二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。 函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： ）例2．求函数的值域。点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD，再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC=。由三角形三边关系知，AK+KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。例3．求函数的值域。解析：令，，则，，，原问题转化为：当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时，求直线的截距的取值范围。由图1知：当经过点时，；当直线与圆相切时，。所以，值域为例4. 求函数的值域。解：将函数变形为上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点到点的距离之差。即由图可知：（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点，则构成，根据三角形两边之差小于第三边，有即（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为注：求两距离之和时，通常需要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A，B两点在x轴的同侧。（12）复合函数法：对函数，先求的值域充当的定义域，从而求出的值域的方法。例1、求函数 的值域（复合函数法）设  ，则例2：求函数的值域。             （13）非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。解析：(1)，故所求函数的值域为 。(2)，原函数可化为 ，即 ，  当时，， ，，解得又 ，所以 ，故所求函数的值域为 。（不等式性质法）例2：求下列函数的值域：（1）y=；      （2）y=；  （3）y=（4）y=10-；  （2）y=；  （3）y=（14）导数法若函数在内可导,可以利用导数求得在内的极值,然后再计算在,点的极限值.从而求得的值域.例1：求函数在内的值域.分析:显然在可导，且.由得的极值点为...  所以, 函数的值域为.（15）“平方开方法”求函数值域的方法有很多种，如：“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤，并给出四道典型的例题.1.适合函数特征设（）是待求值域的函数，若它能采用“平方开方法”，则它通常具有如下三个特征：（1）的值总是非负，即对于任意的，恒成立；（2）具有两个函数加和的形式，即（）；（3）的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式，即（，为常数），其中，新函数（）的值域比较容易求得.2.运算步骤若函数（）具备了上述的三个特征，则可以将先平方、再开方，从而得到（，为常数）.然后，利用的值域便可轻易地求出的值域.例如，则显然.3.应用四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧.例1  求函数（，）的值域.解：首先，当时，；其次，是函数与的和；最后，可见，函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域为.于是，的值域为.例2  求函数（，，）的值域.解：显然，该题就是例1的推广，且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.对根号下面的二次函数采用“配方法”，即可求得的值域仍为.于是，的值域也仍为.例3  求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例4  求函数（）的值域.解：参照例1的验证步骤，显然，此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是，对平方、开方得（）.这里，（）.易知，的值域为.于是，的值域为.例5  求函数 的值域解：（平方法）函数定义域为：平方法）函数定义域为：（16）一一映射法原理：因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例1. 求函数的值域。解：∵定义域为由得故或解得故函数的值域为（17）其他方法其实，求解函数值域的方法，只不过是从解题过程中，对关键环节或典型步骤的一种称呼。实际上，其解法也远非上面总结的16种方法，还有倒数法等。此外我们还要明白：多种方法的配合使用，以及一题采用多种方法，在不断积累过程中，体会不同方法的长短，和练就根据实际问题选择较为简捷方法的能力。例1. 求函数的值域。解：令，则（1）当时，，当且仅当t=1，即时取等号，所以（2）当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例2. 求函数的值域。解：令，则∴当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。例3.求函数  的值域解：（图象法）如图，值域为例4.求函数 的值域解（复合函数法）：令，则由指数函数的单调性知，原函数的值域为例5.求函数的值域解（三角代换法）：          设小结：（1）若题目中含有，则可设（2）若题目中含有则可设，其中（3）若题目中含有，则可设，其中（4）若题目中含有，则可设，其中（5）若题目中含有，则可设。其中例6、求函数 的值域解法一：（逆求法）解法二：（复合函数法）设 ，则解法三：（判别式法）原函数可化为 1）   时不成立2）   时，综合1）、2）值域解法四：（三角代换法）设，则原函数的值域为小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出函数的最大最小值；如果不满足用基本不等式的条件，转化为利用函数的单调性去解。注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。五、与函数值域有关的综合题例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解  设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx2=4840,设纸张面积为S cm2,则S=(x+16)(λx+10)=λx2+(16λ+10)x+160,将x=代入上式得  S=5000+44 (8+),当8=,即λ=<1)时S取得最小值  此时高  x==88 cm,　宽  λx=×88=55 cm  [来源:学科网][来源:Zxxk.Com]如果λ∈［］，可设≤λ1<λ2≤,则由S的表达式得  [来源:学,科,网Z,X,X,K]又≥,故8－>0,∴S(λ1)－S(λ2)<0,∴S(λ)在区间［］内单调递增  从而对于λ∈［］,当λ=时，S(λ)取得最小值 答  画面高为88 cm,宽为55 cm时，所用纸张面积最小  如果要求λ∈［］,当λ=时，所用纸张面积最小 例2已知函数f(x)=,x∈［1,+∞(1)当a=时，求函数f(x)的最小值 (2)若对任意x∈［1,+∞,f(x)>0恒成立，试求实数a的取值范围 解 (1)  当a=时，f(x)=x++2[来源:学科网]∵f(x)在区间［1，+∞上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞上的最小值为f(1)= (2)解法一  在区间［1，+∞上，f(x)= >0恒成立x2+2x+a>0恒成立 设y=x2+2x+a,x∈［1,+∞[来源:学科网ZXXK]∵y=x2+2x+a=(x+1)2+a－1递增，[来源:学,科,网]∴当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3  解法二  f(x)=x++2,x∈［1,+∞当a≥0时，函数f(x)的值恒为正；当a<0时，函数f(x)递增，故当x=1时，f(x)min=3+a,当且仅当f(x)min=3+a>0时，函数f(x)>0恒成立，故a>－3  [来源:Z#xx#k.Com]例3设m是实数，记M={m|m>1},f(x)=log3(x2－4mx+4m2+m+) (1)证明  当m∈M时，f(x)对所有实数都有意义；反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m∈M (2)当m∈M时，求函数f(x)的最小值 (3)求证  对每个m∈M,函数f(x)的最小值都不小于1 (1)证明  先将f(x)变形  f(x)=log3［(x－2m)2+m+］,当m∈M时，m>1,∴(x－m)2+m+>0恒成立，故f(x)的定义域为R 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2－4mx+4m2+m+>0,令Δ＜0,即16m2－4(4m2+m+)＜0,解得m>1,故m∈M (2)解  设u=x2－4mx+4m2+m+,∵y=log3u是增函数，∴当u最小时，f(x)最小  而u=(x－2m)2+m+,显然，当x=m时，u取最小值为m+,此时f(2m)=log3(m+)为最小值 (3)证明  当m∈M时，m+=(m－1)+ +1≥3,当且仅当m=2时等号成立 ∴log3(m+)≥log33=1  

什么问题也没有....

高中数学值域的求法参考如下：函数经典定义中，因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。即{y∣y=f(x),x∈D}常见函数值域:y=kx+b (k≠0)的值域为Ry=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞)y=√x的值域为x≥0y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ;当a<0时，值域为(-∞，4ac-b^2/4a]y=a^x 的值域为 (0,+∞)y=lgx的值域为R在解决问题的过程中，数学家往往不是直接解决原问题，而是对问题进行变形、转化，直至把它化归为某个(些)已经解决的问题，或容易解决的问题。 把所要解决的问题，经过某种变化，使之归结为另一个问题*，再通过问题*求解，把的解得结果作用于原有问题，从而使原有问题得解，这种解决问题的方法，我们称之为化归法;解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。 换元法又称辅助元素法、变量代换法。

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ， 当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法） 函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当 时，其最小值 ； ②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.

求值域的方法有：直接法：从自变量的范围出发，推出值域；配方法，求出最大值还有最小值；观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域等。1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1值：数值，特指函数值。域：区域，范围。值域：函数值取值范围。定义域按基本函数类型确定，值域求法多多，二次函数有用顶点式的，反函数定义域的，判别式法的，视题而定，技巧性要求高，成为难点y = (x+1/2)的平方 - 2.25x = -1/2的时候 有最小值 -2.25你可以画出抛物线 一个开口向上的抛物线 于X轴的交点分别是x=-2 x = 1然后根据X的范围 得到 x=-2的时候 有最大值 0

定义域就是X所取的范围值域就是在X在定义域内算出的Y可以取得的值的范围

函数y=f(x)，x是自变量，x的取值范围是定义域； 对应的函数值y的取值范围是值域

定义域:自变量(x)的取值范围值域:变量(y)的取值范围求值域一般根据定义域来求

f（x）的值的范围就是值域。

a与b属于同一个等价类<=>(a,b)∈r。所以1,5等价，2,3,6等价，4与4等价。所以等价类是[1]=[5]={1,5}，[2]=[3]=[6]={2,3,6}，[4]={4}。请采纳答案，支持我一下。

A是所有等边三角形的 *** ,则A上的相似关系是等价关系（其实可以定义A为任意相似的多边形的 *** ,如所有的正方形等）； 给定平面一点,定义A为所有以此点为圆心的圆,A上的等价关系为圆的同心关系； 最经典的同余关系：令A是所有奇数的 *** ,定义A上的等价关系为2除同余1,即两个数是等价的当且仅当他们被2除都余1. 由最后一例知,等价关系是一种十分普遍的关系,它反映了同一类或者满足同一性质的元素的 *** ： 长度相同的线段的 *** ； 面积相等的圆的 *** ； 所有余弦值相同的角度的 *** ； 一个班里的学生：两学生等价当且仅当他们在同一班； .等等.,3,数学题（自反性、对称性、传递性） （顺便讲一下什么是自反性、对称性、传递性） 中学数学中存在许多关系,比如“相等关系”、“平行关系”等等．如果 *** A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件： (1)自反性：对于任意a∈A,都有a～a； (2)对称性：对于a,b∈A,若a～b,则有b～a； (3)传递性：对于a,b,c∈A,若a～b,c,则有a～c, 则称“～”是 *** A的一个等价关系．例如：“数的相等”是等价关系,而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)．请你再列出三个等价关系：________.

孩子，别找答案了，那本离散数学的答案很难找，网上免费的答案现在根本没有~~

1超市中的数字问题随着城市的发展和人民生活水平的日益提高，超市走进了人们的生活，他们给我们的生活带来了许多的方便，我们的生活方式也因超市的“闯入”受到了一定的影响。如今平望的经济高速发展，超市接二连三地开张。但超市发展之路是漫长的，超市在经营发展中又受哪些方面的影响呢？为此，我们初二（5）班研究性学习小组决定对平望的四大超市（华润超市，华联超市，世纪华联超市，葡萄园超市）做一次调查一、对影响平望超市经营发展的因素的调查与分析1、个人喜好喜好经常能影响一个人的思想，驱使一个人去做些事情，当然，包括让人不由自主地去哪家超市咯，而且平望的面积不算很大，人口有限，四大超市竞争激烈，超市能够受到广大消费者的欢迎是超市继续经营发展的重要条件。这也是我们关注这个问题的原因。以下是我们对这个问题做的一份调查(调查问卷附后)，结果如 你最常去的超市是（ ）A 华润 B 华联 C 世纪华联 D 葡萄园超市从调查我们看出，华润超市受欢迎程度最高，华联次之，其它两个超市无过大差异。2、商品质量和地理位置众所周知，对超市发展影响最大的莫过于商品质量和地理位置。超市商品质量的好坏，能够直接影响消费者的购物欲。一个黄金地段往往是商家争取的重点，地理因素包括通达度，进出是否方便，能突出超市的存在，还有安全性等。这四大超市相距并不是很远，那么，地理位置对它们是否有影响呢？为此，我们特在问卷调查中列入了此项内容，并把它与其它因数进行了对比。结果如下：你常去该超市（你最喜欢的超市）的原因是（）A 价格便宜 B 离家较近 C 商品质量好 D 服务态度好 E 其它有24%的人选择了B：离家较近，18%的人选择了A：价格便宜，20%的人选择了C：商品质量好，16%的人选择D：服务态度好，还有22%的人认为是其它原因，例如个人喜欢好。可见，人们对消费地点的选择各有不同。数字显示，超市的选址对消费者而言至关重要。因此分布在居民区的超市较受欢迎。“顾客就是上帝”，每个人都希望买到物美价廉的商品，而且如今的竞争已不是简单的价格战了，完全是商品质量的支撑。我们也坚信好的超市在商品质量和服务态度方面是不会懈怠的。3. 超市的经营理念一个超市的经营理念是一个超市对待顾客的宗旨，只有超市把顾客所想的摆在第一位，凡事都以顾客为中心，人们才会想去超市消费，那么超市便会长长久久。所以我们特别对此做了问卷调查。你认为超市应把什么放在第一位 （ ）A．价格 B。质量 C。服务态度 D。商品种类 E。其它结果分析：经调查，多数人把质量放在第一位，说明产品质量对超市经营的影响是很大的。一个超市经营状况的好坏直接取决于商品与服务态度的高低，其中，质量占的比重较大，服务态度次之，这说明永安人民此时钞票的拥有量，正处于一个舒适的状态，而超市的物价水平与之正相适应，暂时达到一个双赢的局面，超市消费水平稳定超市的工作效率1. 当今的社会是跑在商业铁轨上的高速列车，任何效率的停滞，都会影响它的运行，当然，超市作为人们生活中重要的活动场所，在社会生活中扮演的台下的主角，它的效率自然成为人们选择超市的重要指标。所以我们设此问题，以考察超市效率在人们心中的比重大小。你会对效率低的超市产生反感吗 ？ （ ） A． 会 B .不会 C.无所谓结果分析： 95%的人选择了A，在这个信息技术发达的社会，人们无论做什么事都讲求高效率，少时间，好享受，较差的服务对于消费者来说是对自己利益的损害，对商家而言既是不负责任的表现也是对自身形象的损害，更对今后的发展带来不利影响。消费者希望超市的服务能够一体化，更周到，无论是服务的设施还是售后服务都尽力而为，实事求是。二、超市对人民生活的影响 在超市里，你常常会有感于超市里不减的人气，超市成了逛街的好去处，从另一个侧面可以看出平望是一个生活满足而安逸的好地方，大家都在逛超市了。超市里那么多东西，怎么会没有一件你满意的商品？于是，钱就这样不知不觉从人们的口袋里一点一点的流走，无形中带动了消费的发展了。需多谈的，尤其是大型的超市对工作人员数量的要求是巨大的，无疑解决了很大的就业压力，这也是为什么政府对超市经营大力扶持的一个重要原因。但毕竟这类员工从事的都是体力类的劳动，报酬不高，但尚能维持生计，其中不乏初入社会的青年。超市为他们提供了一个基本的生存工作的岗位，每个人都有机会通过自己的努力提高自己的待遇。但这种机遇依然是有限的，毕竟从事零售服务是一件烦琐乏味的事情，故这类员工的心态也可以作为一个值得探讨的问题，更何况他们也是超市的一块招牌，他们工作的好坏，热情与否有时就是超市与顾客间交流的窗口。研究消费心理，少不了对销售心理的探访。有时一个销售人员的一个微笑，一段让人心动的产品介绍会让人有一种购买的蠢蠢欲动，其实有时这种销售人员的素质正是超市的一份无形的品 永安超市的发展模式需改善三、对平望超市经营的建议从宏观上看：平望现在超市发展的关键,需从价格制胜的竞争观念向集价格、文化、服务、品牌等多种因素的复合型竞争理念过渡. 1 、超市类型的多元化，在平望, 每个超市里的货物品种,价格,布局,氛围都应各有千秋。不能所有超市一个样，那样怎么会有吸引力呢？在平望，可以发展一些其它类型的超市，如农业超市，里面主要都是农业用具，机械等等呀，必竟平望还是一个农业城市为基础。2、超市分布区域的边缘化，何必一定要挤在市中心，可以到一些城乡结合部呀，现在的平望人民已经在提高进超市购买东西的习惯了，等到大家都习惯了，那些街道商铺可都要关门啦！在厦门的人都知道，厦门的那些大超市进来以后，现在人们一买东西都是进大超市，除了有时零星的购买，当然只能是在社区里的小卖部了。3、超市的特色（或者说是文化，或者说吸引人的地方），像在大城市里的一些超市，每天都有几种特价商品，这些商品平时是不打折的，只有轮到刚好的日子才有，而每个月超市都会将下个月要打折的商品日期提前公布，甚至将宣传单寄给每一个持会卡的人员。从微观上来看： 超市应该改进寄包的设施，超市的服务态度也应该有所改善，超市需要多增设几台收营台，超市的卫生也应做得更好。总结：我们希望通过这次的活动，可以对生活中的变化有所了解，激发对生活的热爱，对知识的不断追求，对实践能力有一个提高，甚至能对超市的经营发展有一定的帮助。4古代数学发展史—宋元数学： 宋元数学是中国数学发展的高峰。 北宋王朝统一中国后，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪〔宋、元两代〕，筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》〔11世纪中叶〕，刘益的《议古根源》〔12世纪中叶〕，秦九韶的《数书九章》〔1247〕，李冶的《测圆海镜》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕，杨辉的《详解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《杨辉算法》〔1274-1275〕，朱世杰的《算学启蒙》〔1299〕和《四元玉鉴》〔1303〕等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，也是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有： 公元1050年左右，北宋贾宪（生卒年代不详）在《黄帝九章算法细草》中创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，公元1819年英国人霍纳（william george horner）才得出同样的方法。贾宪还列出了二项式定理系数表，欧洲到十七世纪才出现类似的“巴斯加三角”。（《黄帝九章算法细草》已佚） 公元1088—1095年间，北宋沈括从“酒家积罂”数与“层坛”体积等生产实践问题提出了“隙积术”，开始对高阶等差级数的求和进行研究，并创立了正确的求和公式。沈括还提出“会圆术”，得出了我国古代数学史上第一个求弧长的近似公式。他还运用运筹思想分析和研究了后勤供粮与运兵进退的关系等问题。 公元1247年，南宋秦九韶在《数书九章》中推广了增乘开方法，叙述了高次方程的数值解法，他列举了二十多个来自实践的高次方程的解法，最高为十次方程。欧洲到十六世纪意大利人菲尔洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶还系统地研究了一次同余式理论。 公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《测圆海镜》是第一部系统论述“天元术”（一元高次方程）的著作，这在数学史上是一项杰出的成果。在《测圆海镜?序》中，李冶批判了轻视科学实践，以数学为“九九贱技”、“玩物丧志”等谬论。 公元1261年，南宋杨辉（生卒年代不详）在《详解九章算法》中用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。公元1274年他在《乘除通变本末》中还叙述了“九归捷法”，介绍了筹算乘除的各种运算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制订《授时历》时，列出了三次差的内插公式。郭守敬还运用几何方法求出相当于现在球面三角的两个公式。 公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不详）著《四元玉鉴》，他把“天元术”推广为“四元术”（四元高次联立方程）,并提出消元的解法，欧洲到公元1775年法国人别朱（etienne bezout）才提出同样的解法。朱世杰还对各有限项级数求和问题进行了研究，在此基础上得出了高次差的内插公式，欧洲到公元1670年英国人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年间牛顿（issac newton）才提出内插法的一般公式。 公元十四世纪我国人民已使用珠算盘。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。 另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图（幻方）的研究、小数（十进分数）具体的应用、珠算的出现等等。 这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。

太多了集合的不同分割可以确定不同的等价关系

同余关系（两个正整数相对于另一正整数的余数相同）相似关系 全等关系

刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉，那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过，似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法。初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外，也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类：整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征 （小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用 被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小） （2）同余的性质和运用奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算 质数合数：重点是质因数的分解约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理 （2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容——同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分。其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系，欧拉定理和循环小数等几个知识点。在没接触初等数论学习之前，我们对同余这个概念很陌生，其实同余在我们小学数学学习，奥数中已经有了很深入的运用。在小学中主要体现在余数的运用上，余数是小学数学中的重要概念，也是数学竞赛的热门话题，其中有关概念多，方法性强。在小学，关于余数问题我们知道：如果整数a除以正整数m，商为q，余数为r，则a=qm+r，其中q与r都是自然数，并且0≤r＜m.而现在我们学的同余知识是：如果两个正整数a,b被非零自然数m除时所得的余数相同，a=qm+r,b=pm+r，那么就说a与b关于模m同余,记为a≡b（mod m）.此时a与b的差能被m整除，记为a-b ≡0（mod m）.因此同余问题常常转化为整除问题求解。下面，我以一个例题来反应同余在小学数学教学中的应用：例题、a除以5余1，b除以5余4，如果3a＞b，那么3a－b除以5余几？ 这道题目出现在小学奥数中，小学生一般的解答方法是：方法一：凑数法。取a为6，取b为9，这样a.b满足了条件a除以5余1，b除以5余4，3a-b=9,9/5余数为4。方法二、设a=5x+1 b=5y+4 3a-b=15x-5y-1=15x-5y-5+4=5(3x-y-1)+1 3a－b除以的余数是4 a=5x+1 （x为正的整数） b=5y+4（ y为正的整数 ） (3a-b)/5 =(15x+3-5y-4)/5 =3x-y-1/5 =(3x-y-1)+4/5 根据x,y均为正的整数,并且3a>b，所以余数为4。 而在初等数论中的解法： 解：∵a≡1（mod5）， ∴3a≡3（mod 5）， 或者3a≡8（mod 5）．（1） 又∵ b≡4（mod 5），（2） ∴（1）－（2）得： 3a－b≡8－4≡4（mod 5）．因此，3a－b除以5余4．在小学生解法中我们可以看出，两种方法，尤其是第二种，都是以同余知识出发去处理问题，只是在形式表达上相对于大学里初等数论练习中较为简单化。在小学的奥数思维训练中，同余思想的应用更是数不胜数，如“抽屉原理”是同余应用中最典型的例子，可以说，同余理论是近世代数中一个很重要的数学模型。除此之外，其他很多数学知识都涉及到了同余，比如像欧拉函数，它也是初等数论中的重要函数之一，在证明过程中就大量地体现了同余的思想。学过初等数论的人应该都知道，小学数学和初等数论之间最大的不同在于小学数学在于如何应用定理、法则，而初等数论则要明白为什么这么应用。显然，初等数论是更为深层次的学习，在难度上有了一个跨越。那么数论部分在小学数学考试题型中占据什么地位呢？可以说，翻开任何一本数学辅导书，数论的题型都占据了显著的位置。有专家在小学各类数学竞赛中研究发现，直接运用数论知识解题的题目分值大概占据整张试卷总分的30%左右，而在竞赛的决赛试题中，这一分值比例更高。出题老师喜欢将数论题作为区分尖子生和普通学生的依据，这一部分学习的好坏将直接决定学生在选拔性考试中成绩的好坏。综上所述，初等数论作为一门为小学教育专业的学生开设的课程，在培养学生扎实的数学基础之外，更多的是有利于师范生更好地将初等数论的理论灵活地应用于小学教育中，进一步培养科学的人生观、价值观。

一个关系满足自反、对称、传递叫做等价关系.模M同余关系作为关系的一种,也满足以上三条,当然是同余关系了.比如10与10模3同余,这是自反；10与4模3同余,则4与10模3同余,即模3同余有等价性.10与4模3同余,4与7模3同余,则10与7模3同余,这是传递性.

搜一下：离散数学高手请入，关于子群，陪集和同余关系

u上的。在一个上字作文章就够了吧，恒等必定是同余的。

其实说穿了特别简单就是除以4余数相同的数的集合[2]R = {2,6}

(1)证明：A==R mod 3<=>A-R |: 3 这里用以等价地表示 3 |A-R从而R-A |: 3<=> R==Amod 3这就证明了互反性。同时易证A==A mod 3， 即自反性。另外再证：A==R , R==B mod 3 可以推出A==B mod 3前提即存在x,y使得 A=R+xm, R=B+ym, 于是A=B+xm+ym=B+(x+y)m, 于是A==B mod 3于是传递性成立。于是，A,R是同余关系即是等价关系。(2)不懂怎么回答(3)余0：{3}余1：{1,4}余2：{2,5}PS:表示我就大学水平，貌似没学过这个，以上答案根据度娘得出的，希望能够帮到你

1.R是实数集，A集合里面的任何两个元素的乘积仍在R中，所以R是A上的全域关系。即：{ab,ac,ad,ae,af,ag,bc,bd,be,bf,bg,cd,ce,cf,cg,de,df,dg,ef,dg,fg}=R2.{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(e,e),(f,f),(g,g)}=R3.R={2ka+1,2kb+1,2kc+1,2kd+1,2kf+1,2ke+1,2kg+1|k取任意数}

设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、对称的、传递的，则称 R 为 A 上的等 价关系(equivalent relation). 设 n 为正整数，定义整数集合 Z 上的以 n 为模的同余关系 R = {< x, y > |n|(x − y)}, 证 明 R 是一个等价关系 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，对任意 x ∈ A，称集合 [x]R = {y|y ∈ A, < x, y >∈ R}为 x 关于 R 的等价类(equivalence class)，或叫作由 x 生成的一个 R 等价类，其中 x 称为 [x]R 的生成元(代表元或典型元)(generator). 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，由 R 确定的一切等价类的集合，称为集合 A 上关于R 的商集(quotient set)，记为A/R，即 A/R = {[x]R|x ∈ A}. 在等价关系中我们已经发现, 同一个等价类中的元素具有相同的属性，因而可将集合 中的元素分成不同的类别，对应于集合的划分。 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，则 A 对 R 的商集 A/R 是 A 的一个划分，称为由 R 所导出的等价划分. 给定集合 A 的一个划分 π = {S1, S2, · · · , Sm}, 则由该划分确定的关系 R = (S1 × S1) ∪ (S2 × S2) ∪ · · · ∪ (Sm × Sm) 是 A 上的等价关系。我们称该关系 R 为由划分 π 所导出的等价关系。 设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、反对称的、传递的，则称 R 为 A 上 的偏序关系(partial order relation), 记为“⩽”. 读作“小于等于”, 并将“< a, b >∈⩽”记为 a ⩽ b. 序偶 < A, ⩽> 称为偏序集 (partial order set).

等我今天上午考完了就给你说部分答案

除去零空间和它自身，剩下的就是真子空间。可以类比真子集记忆，除去空集和它自身的集合其余的就是真子集。

有意义。这样可以合并同类项，化简复杂的命题公式了。

等值演算公式，1，A可为非非A（双重否定律）2，A可为AVA（幂等律）3，A可为A^A（幂等律）4，AVB可为BVA（交换律）5，A^B可为B^A（交换律）6，AV（BVC）可为（AVB）VC（结合律）7，A^（B^C）可为（A^B）^C（结合律）8，AV（B^C）可为（AVB）^（AVC）（分配律）9，A^（BVC）可为（A^B）V（A^C）（分配律）10，非（AVB）可为非A^非B（德摩根律）11，非（A^B）可为非AV非B（德摩根律）12，AV（A^B）可为A（吸收律）13，A^（AVB）D可为A（吸收律）14，AV1可为1（零一律）15，A^0可为0（零一律）16，AV0可为A（同一律）17，A^1可为A（同一律）18，A^非A可为0（矛盾律）19，AV非A可为1（排中律）20，A→B可为非AVB（蕴含等值式）21，A等价B可为（A→B）^（B→A）（等价等值式）22，A→B可为非A等价非B（假合易位）23，A等价B可为非A等价B（双条件否定等值式）24，（A→B）^（A→非B）可为非A（归谬论）（1，0分别代表永真式，永假式）望采纳，谢谢。

5个人坐5个座位或站5个位置或分配到5个岗位，5个乱坐座位有几种？这就是全排列。5个人瞎子摸鱼站5个位置有几种？这也是全排列。5个人闭塞眼睛捉麻雀分配到5个岗位有几种？这也是全排列

看具体的题咯

离散数学中幂等元指的是：在某集合E中定义了一个运算＊，如果E中的元a满足a＊a＝a，则称a为E的幂等元。离散数学是不同于其他数学课程，不仅在研究对象和研究方法和一般数学有较大的差异，随着计算机科学的发展和内容结构变化，连续数学课程的完整性和稳定性，那么连续数学学习的教师和学生使用教学难度大，最大的一个问题是分散的，神也。，所谓形式散点就是课堂教学中的概念，定理很多，核心内涵难以凸显，神散点就是各个知识点相对独立，相互关系不明显，学生很难内化成自己的知识结构。扩展资料：离散数学是现代数学的一个重要分支，是一门研究离散量的结构和关系的数学学科。离散的意义是指不同的连通元素，主要根据离散量的结构及其相互关系来研究它们，其对象一般是有限或可数的元素。离散数学在所有学科领域，尤其是在计算机科学与技术领域已广泛应用。离散数学和计算机专业课程的同时，如编程语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学和其他重要的第一道菜。学习离散数学不仅可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程创造条件，还可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为今后参与创新研发打下坚实的基础。参考资料：百度百科-离散数学

？？？？？

表示一个数自乘若干次的形式,如a自乘n次的幂为an，或称an为a的n次幂。【英语power】a称为幂的底数，n称为幂的指数。在扩充的意义下，指数n也可以是分数、负数，也可以是任意实数或复数。在数学中形如a^x的数叫做a的x次幂，简称幂。

      1、双击电脑桌面的WPS软件打开。      2、左上角点击“文件”——“新建”一份文档。      3、在“插入”工具栏找到“形状”命令并点击。      4、找到大括号并点击。      5、在新建文档中绘制大括号形状。      6、选中大括号找到工具栏的“旋转”。      7、点击“向右旋转90度”即可。      8、效果如图。

运算式中，用小括号表示最优先计算的部分，中括号表示次优先部分，大括号再次之，如果没有括号表示最后计算的层次。如果小中大括号都用过，外面还有要优先计算但次于大括号的部分，可以再用小括号括起来，然后是中括号、大括号，这样循环。

这是数学中的计算法则，先大括号，后中括号在小括号。

交给你两种方法第一种，使用插入—形状命令（如果想在后面打上内容建议配合，插入—文本框。最后使用组合命令即可）第二种方法：使用公式编辑器（插入—对象—公式）最后的效果不明白的地方欢迎追问。

运算式中，用小括号表示最优先计算的部分，中括号表示次优先部分，大括号再次之，如果没有括号表示最后计算的层次。如果小中大括号都用过，外面还有要优先计算但次于大括号的部分，可以再用小括号括起来，然后是中括号、大括号，这样循环。

不知道不知道不知道

大于等于符号

假设平均分为X，则有：【1】，70<X×30%，解得：X>700/3≈233.33……，平均分大于233.33……分。【2】【3】意思一样，70=X×(1-30%)，解得：X=100，平均分为100分。

数学中最常见的运算符号">"，"<"，"="，他可以帮助我们尽快的算出我们我们想要的数值。大于号正确格式为：小于号正确格式为：等于号正确格式为：1、大于号：开口朝左，小于号:开口朝右。2、A>B是A的数值大于B的数值。 3、A＜B是A的数值小于B的数值。4，A=B是A的数值和B的数值相等。扩展资料：常见的数学算数符号：数量符号如：i， a，x，e，π。运算符号如加号（+），减号（－），乘号（×或·），除号（÷或/），两个集合的并集（∪），交集（∩），根号（√￣），对数（log，lg，ln，lb），比（:）。绝对值符号| |，微分（d），积分（∫），闭合曲面（曲线）积分（∮）等。关系符号如“≈”是近似符号（即约等于），“≠”是不等号，“>”是大于符号，“<”是小于符号，“≥”是大于或等于符号（也可写作“≮”，即不小于）。“≤”是小于或等于符号（也可写作“≯”，即不大于），“→ ”表示变量变化的趋势，“∽”是相似符号。“≌”是全等号，“∥”是平行符号，“⊥”是垂直符号。“∝”是正比例符号（表示反比例时可以利用倒数关系），“∈”是属于符号，“⊆”是包含于符号，“⊇”是包含符号，“|”表示“能整除”（例如a|b 表示“a能整除b”，而  ||b表示r是a恰能整除b的最大幂次)，x,y等任何字母都可以代表未知数。结合符号如小括号“()”，中括号“[ ]”，大括号“{ }”，横线“—”，比如。 性质符号如：正号“+”，负号“-”，正负号“  ”（以及与之对应使用的负正号“  ”）。省略符号如三角形（△），直角三角形（Rt△），正弦（sin）（见三角函数）。双曲正弦函数（sinh），x的函数（f(x)），极限（lim），角（∠）。∵ 因为，∴ 所以。总和，连加：∑，求积，连乘：∏，从n个元素中取出r个元素所有不同的组合数（n元素的总个数；r参与选择的元素个数），幂等。排列组合符号C 组合数。A (或P) 排列数。n 元素的总个数。r 参与选择的元素个数。! 阶乘，如5！=5×4×3×2×1=120，规定0！=1。!! 半阶乘(又称双阶乘)，例如7!!=7×5×3×1=105,10!!=10×8×6×4×2=3840。∑连加。参考资料：百度百科——数学符号

悖论 也可叫“逆论”,或“反论”,是指一种导致矛盾的命题.悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”.这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比.悖论是自相矛盾的命题.即如果承认这个命题成立,就可推出它的否定命题成立；反之,如果承认这个命题的否定命题成立,又可推出这个命题成立 如果承认它是真的,经过一系列正确的推理,却又得出它是假的；如果承认它是假的,经过一系列正确的推理,却又得出它是真的.古今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力.解决悖论难题需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念. 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师,一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子.这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子?如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的原则,他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子,他就是不自己刮胡子的人,按照他的原则,他就应该给自己刮胡子.这就产生了矛盾. 1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论,理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式.此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论.这些悖论特别是罗素悖论,在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动.触发了数学的第三次危机. 悖论有三种主要形式. 1．一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的（佯谬）. 2．一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了（似是而非的理论）. 3．一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾. 悖论有以下几类： 逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等. 历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论.公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一.是关于“我正在撒谎”的悖论.具体为：如果他的确正在撒谎,那么这句话是真的,所以伊壁孟德不在撤谎,如果他不在撒谎,那么这句话是假的,因而伊壁孟德正在撒谎. NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论.由古希腊斯多亚学派提出.它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人. 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥. 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥. 站在她面前的人是奥列期特. 所以,伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥. NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的.一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸,我也只给这些人刮脸. M：谁给这位理发师刮脸呢? M：如果他自己刮脸,那他就属于自己刮脸的那类人.但是,他的招牌说明他不给这类人刮脸,因此他不能自己来刮. M：如果另外一个人来给他刮脸,那他就遣蛔约汗瘟车娜恕5?恼信扑邓?姓饫嗳斯瘟场R虼似渌?魏稳艘膊荒芨?瘟场?蠢矗?挥腥魏稳四芨?馕焕矸⑹?瘟沉耍? NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题. 问,你来这里做什么? M：如果旅游者回答对了.一切都好办.如果回答错了,他就要被绞死. M：一天,有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死. M：这时,卫兵也和鳄鱼一样慌了神,如果他们不把这人绞死,他就说错了,就得受绞刑.可是,如果他们绞死他,他就说对了,就不应该绞死他.

悖论一览 1． 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？ 如果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。 2． 芝诺悖论——阿基里斯与乌龟：公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯与乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基里斯前头1000米开始。假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍。比赛开始，当阿基里斯跑了1000米时，乌龟仍前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依然前于他10米……所以，阿基里斯永远追不上乌龟。 3． 说谎者悖论：公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。” 如果这句话是真的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是却与他的真话——所有克里特人所说的每一句话都是谎话——相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话，则真话应是：所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。 公元前4世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！ 说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是‘不"，对不对？用‘是"或‘不是"来回答。” 又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。 4． 跟无限相关的悖论： {1，2，3，4，5，…}是自然数集： {1，4，9，16，25，…}是自然数平方的数集。 这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？ 5． 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC上的点往顶点A连线，每一条线都会与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)相交，因此可得DE与BC一样长，与图矛盾。为什么？ 6． 预料不到的考试的悖论：一位老师宣布说，在下一星期的五天内（星期一到星期五）的某一天将进行一场考试，但他又告诉班上的同学：“你们无法知道是哪一天，只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。” 你能说出为什么这场考试无法进行吗？ 7． 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说：“每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说：“不论我什么时候要上楼，停下来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！” 这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？ 8． 硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？9． 谷堆悖论：显然，1粒谷子不是堆； 如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆； 如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆； …… 如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆； …… 10． 宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；……抽第N块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，同第一次不一样的是，抽第M块砖是，塔塌了。再换一个地方，塔塌时少了L块砖。以此类推，每换一个地方，塔塌时少的砖块数都不尽相同。那么到底抽多少块砖塔才会塌呢？ 悖论 悖论[汉语拼音] bèilùn[英文]paradox[简要解释] 逻辑学和数学中的“矛盾命题”[其他详尽解释]也可叫“逆论”，或“反论”，是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。 悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。悖论有三种主要形式。1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论有以下几类：逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。

把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有： P={A∣A∈A} Q={A∣A∉A} 问，Q∈P 还是 Q∈Q？ 若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A∉A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=∅，所以Q∉Q，还是矛盾。 这就是著名的“罗素悖论”。罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。 1900年前后，在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了第三次数学危机。希望帮助到你，若有疑问，可以追问~~~祝你学习进步，更上一层楼！(*^__^*)

芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿喀琉斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释。两分法悖论运动是不可能的。由于运动的物体在到达目的地前必须到达其半路上的点，若假设空间无限可分则有限距离包括无穷多点，于是运动的物体会在有限时间内经过无限多点。最早应是《庄子天下篇》中，庄子提出的:“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”阿奇里斯(Achilles)悖论“ 动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 ” ——亚里士多德，物理学 VI:9, 239b15如柏拉图描述，芝诺说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，巴门尼德编出这个悖论，用来嘲笑"数学派"所代表的毕达哥拉斯的"1>0.999..., 1-0.999...>0"思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的"1=0.999..., 但1-0.999...>0"思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的"1-0.999...=0, 或1-0.999...>0"思想。飞矢不动悖论一支飞行的箭是静止的。由于每一时刻这支箭都有其确定的位置因而是静止的，因此箭就不能处于运动状态。游行队伍悖论首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。 □□□□ 观众席A ■■■■ 队列B……向右移动 ▲▲▲▲ 队列C……向左移动B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。 □□□□ ■■■■▲▲▲▲而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。 运用无穷级数求和能破解芝诺悖论吗?彭哲也(人在井天)有一种思想认为可以通过无穷级数求和的办法解决这个问题(两分法和阿基里斯追龟).我们设物最后到达终点后所走过的空间距离为1,所走过的时间距离为1.首先我们假设物没有最后一个中点要走,则物走过无穷个中点之后物在空间上所走过的距离s是:S=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n(n为无穷大)我们可以看出,这里面的s是无限接近物实际到达的空间距离1.但无限接近并不是等于,也就是说,物并没有最终到达.现在我们假设物有最后一个中点要走.则有S=1/2+1/2^2+1/2^2S=1/2+1/2^2+1/2^3+1/2^3.............S=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所走过的距离与物实际到达所走过的距离是一致的.从上面的计算我们可以很简单地看出,物如果到达了终点,它走过了最后一个中点.如果物没有走过最后一个中点,物就不能到达终点.同理,我们可以算物走过无穷个中点所用的时间.设实际到达的时间为1.如果物没有最后一个中点要走.物走过无穷个中点所用的时间t是:t=1/2+1/2^2+......1/2^n=(2^n-1)/2^n=1-1/2^n可以看得出,这里的t是无限接近物实际到达终点所用的时间,但无限接近并不是等于.如果物有最后一个中点要走,则有t=1/2+1/2^2+1/2^3+.........1/2^n+1/2^n=(2^n-1)/2^n+1/2^n=1也就是说,物走过最后一个中点与终点之间的距离之后所用的时间与物实际到达的时间是一致的.从上面的计算可以很清楚地看得出来,物如果有最后一个中点要走,物所用的时间与实际到达的时间相同.物如果没有最后一个中点要走,物所用的时间只能是无限接近物实际到达终点所用的时间,而不能等于.所以无穷级数求和的结果是,如果物能到达终点,物必须走过最后一个中点.但是物是如何走过最后一个中点的呢?这里没有半点依据.也就是说,两分法的悖论依旧.或者说,这种无穷级数求和的办法反而更加加深了这个悖论的逻辑性.两分法悖论与阿基里斯追龟悖论其实是同一个悖论的两种表述.两分法不能解决,阿基里斯追龟当然依旧.

悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 例如比较有名的理发师悖论：某乡村有一位理发师，一天他宣布：只给不自己刮胡子的人刮胡子。这里就产生了问题：理发师给不给自己刮胡子？如果他给自己刮胡子，他就是自己刮胡子的人，按照他的原则，他不能给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是不自己刮胡子的人，按照他的原则，他就应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。 1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。触发了数学的第三次危机。 悖论有三种主要形式。 1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 悖论有以下几类： 逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。 历史上著名的悖论 NO.1 说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides" paradox) 最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德 所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。具体为：如果他的确正在撒谎，那么这句话是真的，所以伊壁孟德不在撤谎，如果他不在撒谎，那么这句话是假的，因而伊壁孟德正在撒谎。 NO.2 伊勒克特拉悖论(Eletra paradox) 逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是：伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了．尽管伊勒支持拉知道奥列斯特是她的哥哥．但她并不认识站在她面前的这个男人。 写成一个推理．即： 伊勒克持拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。 伊勒克持拉知道奥列期特是她的哥哥。 站在她面前的人是奥列期特。 所以，伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的 哥哥。 NO.3 M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着： 告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。 M：谁给这位理发师刮脸呢？ M：如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自己来刮。 M：如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发师刮脸了！ NO.4 唐·吉诃德悖论 M：小说《唐·吉诃德》里描写过一个国家．它有一条奇怪的法律：每一个旅游者都要回答一个问题。 问，你来这里做什么？ M：如果旅游者回答对了。一切都好办。如果回答错了，他就要被绞死。 M：一天，有个旅游者回答—— 旅游者：我来这里是要被绞死。 M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。 回答你的问题： 1、不是 2、可以

无理数比有理数多

闭区间套应用于区间，而单看有理数，它是集合，应该考虑类似于可列集上闭区间套的法则，再来进行证明，否则不是严格的。