数学

思维原则、修辞系统、表达方式系统、语法系统、应考作文点拨这五章内容

同学研究生到博士都是在日本读的，特别喜欢数学这个学科，最近聊起小孩教育的时候，建议现在学逻辑学。 很典型的现象：国内对理工科学生不开设逻辑学，导致在思考过程中，会省略一些关键步骤，学习过程中不论过程，只看结果。所以很多人的数学是靠刷题刷出来的。 联合国教科文组织规定了7大基础学科分别是，逻辑学、数学、天文学、化学、生命科学、天文学、地理学。在欧美、日本这些国家，学数学之前首先要开设的学科就是逻辑学。同学讲最近学术研究感觉遇到了天花板，最主要的原因就是基础学科逻辑学没学好，所以学数学的时候就不能很好地做出推理。 很多概念就限于规定，比如在学集合的时候，我们都知道空集属于任何一个集合，老师当初并没有给出推理，只说是规定的，而实际这个结论就是通过逻辑推导出来的。 逻辑学究竟影响了数学的哪些方面呢？ 数学是一门具有高度抽象性和严谨性的科学，它的公式，定理、法则、原则等的正确性不可能由具体实验和经验实践来证明，只能从逻辑上加以严格演绎论证才被确认。 如果没有逻辑，数学的大厦就无法建造，至少可以说不能建构系统的公理化的演绎的数学料学。即现代意义上的数学是视本不可能存在的。 再从数学或其某一分支的产生和发展来看，数学发展有其自身的规律，但它的发展阶段也是伴随着逻辑的发展而前进。集中体现出人类思维和智慧的成果。 数学理论的形成，需要有一个有关经验材料的积累过程，然后进入提炼整理阶段，再经过组织和演择，最后才形成一套系统。无疑在整个过程中都需要运用逻辑（开始阶段话用归纳逻辑，在整理阶段则应用演择逻辑）。 翻看抖音，发现逻辑思维的课程还真不少，很庆幸有人已经察觉出了逻辑学的重要性。 但对于逻辑学我确实了解特别少，接下来计划认真去研究一下3-6岁孩子的逻辑学基础知识。

199管综数学逻辑一般数学错3个，数学逻辑错2个，作文扣9分。这是一个相对平均的水平，但是每个人水平都不一样，因此数学逻辑错几个，数学错几个，作文扣积分都不重要，重要的是错误以后纠正后提高自己的能力。管理类联考199管理类联考：总分200分。此试卷由数学、逻辑和写作构成，其中数学占75分，逻辑占60分，写作占65分。数学和逻辑均为单项选择题。数学分条件充分性判断和问题求解两大部分，其中问题求解共15小题，每小题3分，共45分。条件充分性判断共10小题，每小题3分，共30分。逻辑为30道选择题，每题2分，共60分；写作要求写两篇文章，论证有效性分析，30分。 论说文 35分 形式从命题作文、基于文字材料的自由命题作文、案例分析中选一种。复习的时候，建议把大部分时间放在逻辑上面，因为管理类联考里面的逻辑题还是很绕的，但联考的逻辑在做的时候都是有口诀的，掌握了口诀，带到里面，就会很容易。管理类联考的数学基本上考的都是初高中的数学题，在备考的时候多练练就好。管理类联考的写作类似高考时候的议论文，备考的时候多看看范文，自己动手写几篇，就可以了。

数学逻辑能力，是指有效地运用数字进行计算、量化、推理的能力。通常财会人员、电脑编程人员、工程师、数学家等都显示出很强的数学逻辑能力，其实也是一种推理判断能力。以下几个数学逻辑故事也许可以帮助有你更好地理解数学与逻辑。而得出答案的推理过程的能力就是逻辑能力。1.这块石头究竟有多重 有4个小孩看见一块石头正沿着山坡滚下来，便议论开了。 "我看这块石头有17公斤重，"第一个孩子说。 "我说它有26公斤，"第二个孩子不同意地说。 "我看它重21公斤"，第三个孩子说。 "你们都说得不对，我看它的正确重量是20公斤，"第四个孩子争着说。 他们四人争得面红耳赤，谁也不服谁。最后他们把石头拿去称了一下，结果谁也没猜准。其中一个人所猜的重量与石头的正确重量相差2公斤，另外两个人所猜的重量与石头的正确重量之差相同。当然，这里所指的差，不考虑正负号，取绝对值。请问这块石头究竟有多重？2.击鼠标 击鼠标比赛现在开始!参赛者有拉尔夫、威利和保罗。 拉尔夫10秒钟能击10下鼠标；威利20秒钟能击20下鼠标；保罗5秒钟能击5下鼠标。以上各人所用的时间是这样计算的；从第一击开始，到最后一击结束。 他们是否打平手？如果不是，谁最先击完40下鼠标？3.借机发财 从前有A、B两个相邻的国家，它们的关系很好，不但互相之间贸易交往频繁，货币可以通用，汇率也相同。也就是说A国的100元等于B国的100元。可是两国关系因为一次事件而破裂了，虽然贸易往来仍然继续，但两国国王却互相宣布对方货币的100元只能兑换本国货币的90元。有一个聪明人，他手里只有A国的100元钞票，却借机捞了一大把，发了一笔横财。请你想一想，这个聪明人是怎样从中发财的？ 4.女儿的错 父亲打电话给女儿，要她替自己买一些生活用品，同时告诉她，钱放在书桌上的一个信封里。女儿找到信封，看见上面写着98，以为信封内有98元，就把钱拿出来，数也没数放进书包里。 在商店里，她买了90元的东西，付款时才发现，她不仅没有剩下8元，反而差了4元。 回到家里，她把这事告诉了父亲，怀疑父亲把钱点错了。父亲笑着说，他并没有数错，错在女儿身上。 问：女儿错在什么地方？5.不合理的安排 S先生正在家里休息时，接到了一个陌生人打来的预约电话。对方很想在下下个星期的周五去他家里拜访他。但是S先生并不想见这个陌生人，于是他连忙说："下下个礼拜五我非常忙。上午要开会，下午1点钟要去参加一个学生的婚礼，接着4点钟要去参加一个朋友的孩子的葬礼，随后是我的叔叔的七十寿辰宴会。所以那天我实在是没有时间来接待您的来访了。" 请仔细看题，S先生的话里有一处是不可信的，是哪个地方？ 067.家庭宴会 在一个家庭宴会上，主人致祝酒词后，便开始相互碰杯庆贺。有人统计了一下，在宴会上所有人都相互碰了杯，而且席上共碰了45次杯。根据这些情况，你能知道共有几个人出席这次家宴？068.公平的幼儿园老师 今天，幼儿园老师要把2千克冰糖平均分给10个小朋友，但她手边只有一架天平、一个重500克的砝码和一把重900克的小榔头，其它什么工具都没有了。请你想一想，怎么帮助老师平均分配这些冰糖？069.聪明的指挥 合唱演出在即，一名团员却病倒了。指挥排了一下队伍，如果10人一排，有一排就少1人；如果12人一排，有一排还是少1人，如果15人一排 ，有一排仍少1人。请问合唱团一共有多少人？提高的方法有很多，看看侦探小说，多做做脑筋急转弯，考虑问题的时候尽量思辩，从正反两面来进行推论，等等。多用脑子还是对啦~~建议可以去网上看一些数学逻辑题目来做做，做多了就会发现自己的能力提升了哦~~

首先一定要明确，管综的数学和逻辑都是试题量大，要在规定的时间里面按照正规方法把所有题目都做出来是有点不太现实的。以数学为例，前15题问题求解，相对来说比较简单，这些题目是不能丢分的，一般在半个小时左右完成。后10题，条件充分性判断，难度较大，我们在学习正规的解题方法的时候，也要注意从历年真题里面总结归纳一些秒杀的思路，这部分题目是属于技巧大于计算的，逻辑力比计算力更加重要。其次，逻辑考试的题型近些年是以分析推理为重点的，而这部分的题目恰恰是信息量大，难度大，也是取得高分的重点。一定要注意这种类型题目的总结归纳，多练习，提高做题速度，从而拿到更高的分数。

这个是要靠循序渐进的积累。平时上课注意力要高度集中，做题不会时可以先看看例题，看了不会再问同学。这样日积月累就能把数学基础打牢，思维逻辑自然也就提升了。

逻辑学与数学还是有区分的与牛顿的物理数学化不同逻辑学的公式化兴起是从20世纪初的维也纳学派开始主要奠基人有罗素、维根斯坦师徒三人。而其方法论是从古代亚力士多的逻辑形而上学和罗素等人研究的数学哲学（原理）中相互阐述诞生的研究的对象主要是语言本身目前依然在不断发展中准确地说如今的逻辑学和亚利士多德所指称的逻辑已经有很大的区别逻辑目前依然有很大的发展空间而所谓的心理逻辑学派因维也纳学派兴起后，消亡，所谓的心理逻辑学领域也许有一天会重新兴起，逻辑也会变成一门多旁支的学科。

数学逻辑能力，又指数学逻辑思维能力。数学逻辑思维能力是一种严密的理性思维能力。数学逻辑思维能力指正确合理的进行思考，即对事物进行观察、类比、归纳、演绎、分析、综合、抽象和系统化等思维方法，运用正确的推理方法、推理格式、准确而有条理地表述自己思维过程的严密理性活动，顺利完成某种活动的能力。同时是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，是数学能力的核心。 -------------------------数学逻辑思维概念分解 1、数学思维：是人脑和数学对象（空间形式、数量关系、结构关系）交互作用并按照一般思维规律认识数学内容的内在理性活动。数学思维主要表现在数学思维的运演方面，在数学的特点和操作方法。具体说，数学思维有三个特点：概括性、问题性、相似性。这里的概括性、问题性（包括“为什么、以及问题构造和解决方案”）不是通常意义上的概括性和问题性，对数学有足够理解的人才能体会；相似性是指思维成果的相似性、一致性、不矛盾性、不同于其他学科的思维成果。 2、数学逻辑思维：正确合理的进行思考，即对事物进行观察、类比、归纳、演绎、分析、综合、抽象和系统化等思维方法，运用正确的推理方法、推理格式、准确而有条理地表述自己思维过程的严密理性活动。 3、数学思维能力：能力是顺利完成某种活动所必需的并直接影响活动效率的个性心理特征。数学能力是人们在从事数学活动时所必需的各种能力的综合，而其中数学思维能力是数学能力的核心。

逻辑学是研究思维与推理的学科,是联合国教科文组织7大基础学科之一,另外六大基础学科是数学,天文,化学,生命科学,天文学,地理学.因此逻辑学不属于数学,当然逻辑学利用数学方式扩展了自己的研究,比如数理逻辑. 逻辑学是一门历史非常悠久的学科,逻辑学在世界上有三个源头：一个是中国,一个是印度,一个是古希腊.我们现在通常所讲的逻辑是从古希腊这边发展过来的.从古希腊逻辑的创始人亚里士多德的逻辑发展到今天的逻辑已经经过了两千多年的发展历史.我们现在所讲的逻辑学主要就是指的从亚里士多德发展到今天的现代逻辑这样一种逻辑. 联合国教科文组织有一个科学分类,把逻辑学放在基础学科里面,和数学,天文,化学,生命科学,天文学,地理学把它并列为七大基础学科,所以逻辑它的学科性质就是基础学科,它七大基础学科之一,它是基础的基础.什么是基础,就是可以在各个方面都可以运用,它本来就是一个学科,但是因为它是基础,它就可以运用到各个方面.它有工具性、基础性,所以它能够在哲学、数学、计算机科学、人工智能、法学、语言学、经济学、行政管理、心理学、认知科学等等学科中有广泛的运用.在哲学里发展了哲学逻辑.在数学领域发展了数理逻辑.计算机科学与人工智能与逻辑也息息相关.在法学领域发展了法律逻辑.对证据的判定、案件的公正裁判等都起到了积极的作用.在语言学领域发展出了语言哲学,为我们分析语句、概念提供了工具.总之,作为一门基础性的学科,可以说逻辑无处不在.

任何一个学科，只有当其能用数学来表达来论证来推理的时候，才能算作一门成熟的理论。自然科学诸如物理化学生物地理天文等，其表达形式须臾不可离开数学的；社会人文科学如经济学（尤其是微观经济学），只有在引入了数学之后，才能从一种经验式的学科上升到具有严格理论的学科。因此数学是有用的，这也许是数学的重要意义之一。数学不是自然科学，但是它的高度抽象性使它成为各个学科的最重要的工具，同时，纯数学的研究与发现，给人类精神的宝库中增添了越来越精美的财富，这是数学重要意义的另一层面。

根据所学知识，然后结合实际情况来说明。逻辑分析法主要是指语言的转向之后出现的分析哲学、科学哲学中所使用的分析方法，这种方法利用现代数理逻辑这个强有力的工具，对语言进行分析，并通过语言分析来解决传统的哲学问题。因此，它被许多人称之为哥白尼式的革命的语言的转向。

很显然 刻苦学习 多问老师 多看课本 其实学习 就是 两字：：刻苦：：：

主要考充分必要条件，复合命题真值，否命题，四种命题

函数问题最锻炼逻辑了，一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幂函数，奇函数，偶函数，对勾函数都可以的

考研管综数学逻辑扣30分不正常，这个分数有点低了。

单位之间的换算，1元=10角=100分=1000厘，故1厘=0.1分=0.01角=0.001元

本次数学活动《按某一特征分类》这一内容比较开放，适合不同发展水平的幼儿进行。在分碗、分玩具、分水果时，幼儿可以自由选择物品。在所选的水果的颜色、大小也可自由决定。这从一个侧面也反映了幼儿在活动中的不同发展水平。 根据物体的特征（大小、颜色、外形等）进行分类，并插上相应的标记卡，这对幼儿来说，可能是个难点，如何能又快又对地找出它们的异同处并进行分类，是个思维方法的问题。老师引导幼儿观察、整理各种玩具，找出它们异同处，并让孩子们分享交流“你们是怎么分的，用了什么标记？”、引导幼儿用“都是”、“把某某一样的放在一起”。这样避免孩子在乱丢玩具。这也是运用已有的经验解决问题能力培养的重要方面

3个数字分别为1.5.11

逻辑数学，好像没有这个名字的数学分支只有数理逻辑，数理逻辑是计算机科学的基础课程之一。

数学逻辑又称符号逻辑、理论逻辑。它既是数学的一个分支，也是逻辑学的一个分支。是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科。其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是基础数学的一个不可缺少的组成部分。虽然名称中有逻辑两字，但并不属于单纯逻辑学范畴。简单点来说数学逻辑能力就是逻辑思维能力！逻辑思维能力是很重要的，它甚至可以影响到孩子以后的学习和发展，题主可以了解一下火花思维，在数学思维领域比较专业!逻辑思维能力是需要从小培养的，对于孩子以后的成长有很大的帮助！

指正确、合理思考的能力。即对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理的能力，采用科学的逻辑方法，准确而有条理地表达自己思维过程的能力。它与形象思维能力截然不同．逻辑思维能力不仅是学好数学必须具备的能力，也是学好其他学科，处理日常生活问题所必须的能力。数学是用数量关系（包括空间形式）反映客观世界的一门学科，逻辑性很强、很严密。

A、B、C、D、E五个等级。中学的数学测试中设置了“数学逻辑学”和“阅读与表达”两个内容，成绩分为A、B、C、D、E五个等级，数学逻辑学是用数学方法研究逻辑或形式逻辑的学科，属形式逻辑形式上符号化、数学化的逻辑，本质上仍属于知性逻辑的范畴。

先看得了第一名得几分，既不能太高，也不能太低。5个项目，甲得22分，乙至少一个第一，那么第一至少5分。如果第一得6分，则乙除了第一的6分，其他4个项目合计3分，不符合。所以第一名得5分。那么乙只能1个第一，4个第三（第三只能得1分），甲4个第一，1个第二（第二2分），丙4个第二，1个第三，得9分。

多做练习题，一道题可以相处多几种方法来解!

肯定有啊。在数学分析中，逻辑性是非常重要的一个方面。数学分析的证明需要遵循逻辑推理的基本规则，如公理、定义、定理、推论等，每一步推理都必须严格符合逻辑规则，否则会导致证明出现错误。在数学分析中，逻辑性不仅仅是一种严谨的思维方式，也是进行数学研究和证明的基石。

设蜘蛛x只,苍蝇y只.x+y=30 18x+4y=200 22式-4*1式得 4x=80x=20

我可以教你两个方法，但不能告诉你答案：倒推或代数法

考研数学主要分为以下四大类：(1) 微积分，包括微分学，积分学，复变函数，常微分方程，扩展的拉格朗日法，椭圆型方程等。(2) 概率统计，包括基本概念，相关分析，多元随机变量，随机分布，假设检验，回归分析，卡方分析等。(3) 数论，包括基本定理，进一步延伸，代数结构，群，域，基本定理，同余，格林斯比尔定理，因子分解，乘法原理等。(4) 几何，包括几何基本定理，两个三角形比较，面积，几何证明，几何统计，视角几何，几何学的特殊定理等。

MBA联考考试科目：包括"管理类联考综合能力"与"英语二"两科，总分300分。分值和题型如下: 1. 管理类联考综合能力：数学、逻辑推理、写作(论证有效性分析、论说文)，共三大部分，其中数学占75分，逻辑占60分，写作占65分，满分为200分。 数学基础： 综合能力考试中的数学基础部分主要考查考生的运算能力、逻辑推理能力、空间想象能力和数据处理能力，通过问题求解和条件充分性判断两种形式来测试。(共25道单项选择题，问题求解15题、条件充分性判断10题，每题3分，共75分)； 逻辑推理: 综合能力考试中的逻辑推理部分主要考查考生对各种信息的理解、分析、判断和综合，以及相应的推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力，不考查逻辑学的专业知识。试题内容涉及自然、社会和人文等各个领域，但不考查相关领域的专业知识。 (共30道单项选择题，每题2分，共60分)； 写作: 综合能力考试中的写作部分主要考查考生的分析论证能力和文字表达能力，通过论证有效性分析和论说文两种形式来测试。 (共两篇，论证有效性分析1题30分+论说文1题35分，共65分)； 2. 英语二：语言知识运用(即完形填空)、阅读理解第一部分四篇、阅读理解第二部分一篇、翻译(英译汉)、小作文、大作文，共六个部分。满分为100分。

您好，对于你的遇到的问题，我很高兴能为你提供帮助，非常感谢您的耐心观看，如有帮助请采纳，祝生活愉快！谢谢！那如何才能提高自己的逻辑思维能力呢？1、学会运用“PREP+A”的逻辑产出模式：P（Point，观点/论点），R（Reason，原因/理由/根据），E（Example，实例/例证），P（Point），A（Action，行动）。在正式的谈话、讲演、文案中，一般可以遵循下面的逻辑/步骤：P：首先，简洁明了的表明自己的观点/论点/主张，也就是你在说什么、你想要表达什么。R：其次，说出支持你结论的“依据”，也就是回答 你凭什么这样认为，是基于哪种事实和解释？E：再者，用实际的例证（资料、数据、个人例子等）来提高你结论或观点的说服力。P：最后重复结论，确保自己想传达的信息，已确实传递。A：行动就是你希望对方怎么做（根据实际需要，一把可以省略）。小结：简单来讲，这个模式就是先从结论说起，再说明得出结论的理由及根据，然后举出具体事例佐证，最后再强调一次结论 。2、日常谈话练习除了正式场合，我们在日常生活中，也可以借鉴“PREP+A”逻辑产出模式来增强自己的逻辑性。无论是你讲给别人听，还是听别人讲，都可以刻意的去思考一下“这篇稿子”中：要表达的观点是什么、理由是什么，案例是什么？这种潜移默化的练习，可以不断优化你的逻辑思维。3、自我提问练习在日常生活中，无论是看到、听到或读到一些：重要信息或者让你有触动的信息时，都可以通过一些刻意的自我提问来锻炼自己的思维。比如读到一个观点时，就可以这样问自己：作者为什么会从这个角度切入？作者是如何形成这个结论？这个结论有什么缺点？如果我来写如何可以更好？4、电影梳理练习法大部分人都比较喜欢看电影，既然如此，我们不妨就在看完电影后，花上一点时间，梳理一下电影的情节、主线吧（悬疑、科幻、罪案类的影视或书籍效果较好，因为它们都比较考验你的逻辑思维）。自己梳理完之后，还可以去网上搜搜别人的一些见解，做做比较，看看自己有哪些疏漏。经常这样做，你的逻辑思维，以及记忆力都会得到一定的提升。5、逻辑趣味题练习法6、通过“做结构式的读书笔记”来训练逻辑思维每一本书都有自己的逻辑架构，其中目录就是作者写这本书的基础逻辑。所以我们可以借着做笔记来锻炼自己的逻辑思维能力，这样一举多得。①初步阅读一本书，我们基本是站在作者的角度上看待问题的，为了检验自己的基本掌握情况，就可以通过“默写一本书的目录”的方式来检验，默写完之后再与这本书的目录对比。②从自身出发，思考“如果你是作者，你会怎么写这本书？”然后把你的写作大纲（逻辑架构）写出来。③读完书之后，多多少少会有一些你比较关注的重点内容，这些内容在理解、思考之后，你又可以以这些知识点作为主题来写写文章。7、通过写作练习来锻炼逻辑思维写作是一种自我思考的整理，花时间架构出一篇让别人能读懂得文章，其实就是训练自己的逻辑思考能力和组织能力。因为写作是一个设定主题，然后寻找答案的过程，你先要定义对的问题，然后决定切入问题的角度，再分析各种角度的优缺点，最后形成自己的结论。完成这整个过程，写完一篇文章，就等于进行了一遍逻辑思考的练习。至于写什么，这就很广泛了，比如写一个原创故事，写一篇读书或学习心得，或者生活感悟。等写作能力有所提升之后，你就可以随便找一个关键词，然后以这个关键词来搭建逻辑架构，写一篇文章。

分类，是指将事物按照某一种性质进行归类。分类是数学逻辑中很重要的一个部分，幼儿在发展归纳演绎的思维之前，首先需要有观察、比较与分类的思维。日常生活中会提及很多的分类，比如男女、颜色…不过，分类真的很简单吗？ 这两天特地跟右右玩了些分类。 先是动物分类，打了一些图片让他剪开（顺道练习使用工具，锻炼小手哟）。 所有动物纸片放在盒子里，拿了两张彩色海绵纸，当做分类盘。 首先按照体型大小分类。 接着简单按照颜色分类，深色（包含灰色和奶牛混色）和浅色。然后按照腿的数量分类（4条/2条） 还可以按照跑得快/慢分类（其实结果没有那么严格，小家伙觉得狗跑得比猫快，后来把猫扔到慢的那一组去了…╮(╯╰)╭ Whatever，只是提供一种分类的可能性，不是原则性错误就随他去了。） 农场动物分完，野生动物也类似来一发！小家伙自动按照体型大/小，颜色，有腿/没腿，跑得快/慢来进行分类。 除此外还说出了新的分类，比如有毛/没毛，再有就是天上飞/地上爬/水里游的海陆空三类！d(^_^o)赞其实还可以根据动物所属科目来分类。这个暂时还不理解，放放以后再看。这样玩下来，发散了思维，分类原来就是多样化的——根据不同的属性标准嘛！-------------------------------- 玩了动物分类，接下来看看数字的分类。 利用家里现有的数字道具，自制了一些大数字道具（我描字框涂色，娃打下手帮忙涂色，配合制作棒棒哒！） 道具准备妥当，三组彩色数字，当当当当～首先让娃从小到大依次排好序。 接着打乱顺序，进行分类，本以为会先按照颜色分，没想到首先按照大小分类（尺寸大小，不是数字大小）。 原以为这个会分成三份，不过两组小的数字片大小差不多，被分成两类了。下回还是考虑准备三组不一样尺寸的比较好。 接着问他，还能怎么分？ 答：按照形状分。（字卡形状是：长方形、正方形、圆形，终于分出三堆了！） 还能怎么分呢？答：按照颜色分。 再问：还能呢该怎么分呢？ 这回他看了看，没有前几次回答这么快，看来在动脑子想呢。然后说：按照数字分！d(^_^o)赞 再问，还能怎么分呢？想了一会说不知道了。我告诉他，按照奇偶分分看。10以内的分得比较快，10就犹豫了会，到底是奇数还是偶数？跟着他掰指头捋了捋，就知道是偶数啦！ 最后再问他还能怎么分？看了看，想了想，说不知道了。我引导他说看看10和其他数字什么区别呀？噢，两个数字！我知道了，其他都是一个。接着麻溜的分成两堆，顺道再强化一下一位数和两位数的概念。 恰好拜读了天天妈的文，突然想想分类其实也可以玩的很深。比如集合中，并集交集的概念，可以继续就着这个游戏做渗透。 尝试给小家伙做交集的概念。首先让娃儿按照不同分类标准，分出两组数字：一组是饼干形数字片，一组是绿色数字。 接着问他，那绿色的数字里面也有饼干形状的呀，为什么没有放在左边这个分组的圈里呢？娃儿把绿色的放到左边圈子，我接着问他，那他也是绿色的数字呀！看了又看，说不知道怎么办。哈哈！接着我说那我们有一种魔法圈子可以解决，想知道吗？ 我把绿色圈子拉过来（中间部分就是交集啦），告诉他说这样就可以啦！绿色饼干既是属于左边的饼干圈子，又是属于右边的绿色大家庭。看着还是有点似懂非懂，打算继续放放，没有引入交集的概念，先大致有个印象即可。 分类概念之后，

数学：75分；逻辑：60分；写作：65分。总分200分，考试时间为3个小时。一、MBA考试的考察目标：1、具有运用数学基础知识、基本方法分析和解决问题的能力。2、具有较强的分析、推理、论证等逻辑思维能力。3、具有较强的文字材料理解能力、分析能力以及书面表达能力。二、MBA联考时间：每年12月下旬(具体日期根据当年政策公布)；上午8:30-11:30；下午14:00-17:00。三、MBA联考地点：到一志愿报考院校或院校指定考点参加联考。扩展资料：MBA考试的注意事项：1、考生持本人身份证(现役军人持“军官证”、“文职干部证”等部队有效身份证件)、学历证书和网上报名编号，由报考点工作人员核对，考生确认本人网报信息。考生按规定交纳报考费(考生办理报考手续交纳报考费后，不再退还)，采集本人图像信息。2、学校审查考生网上报考信息后，对符合报考条件的考生准予考试。学校还将审查复试考生相关证件和材料，包括：身份证(或军官证)、毕业证(学生证)、学位证、准考证。参考资料：中国MBA教育网-MBA考试内容

MBA联考初试部分主要是联考综合能力（数学、逻辑和写作）和联考英语。其中联考综合能力200分，数学75分；逻辑共60分；语文共65分。一、试卷满分及考试时间试卷满分为200分，考试时间为180 分钟。二、答题方式答题方式为闭卷、笔试。不允许使用计算器。三、试卷内容与题型结构1、数学数学基础75分，有以下两种题型：问题求解15小题，每小题3分，共45分；条件充分性判断10小题，每小题3分. 共30分；2、逻辑逻辑推理30小题，每小题2 分，共60分；3、语文写作2小题，其中论证有效性分析30分，论说文35分，共65分。四、MBA联考综合能力解题经验在3个小时能做出综合试卷是每一道题是不可能的。因为综合考试题量很大，时间很紧。而综合科能否考好，往往是看考生能否正确的权衡数学、逻辑、语文三个部分，合理分配时间，通观全局，扬长避短。要权衡每道题的难度、所需时间和分值，确定哪些题目先做、哪些后做、哪些必做、哪些试做、哪些不做。每次考试中，简单和中等难度的题至少占70%，这70%的分数是一定要稳拿的；在此基础上，那30%的难题则是能做就做，不会做就猜一个。

是两个学科交叉部分是数理逻辑数理逻辑给数学提供表达方法不过现代逻辑研究基本上数学化了，借用了很多集合论和抽象代数的成果

199管综数学逻辑一般数学错3个，数学逻辑错2个，作文扣9分。这是一个相对平均的水平，但是每个人水平都不一样，因此数学逻辑错几个，数学错几个，作文扣积分都不重要，重要的是错误以后纠正后提高自己的能力。管理类联考199管理类联考：总分200分。此试卷由数学、逻辑和写作构成，其中数学占75分，逻辑占60分，写作占65分。数学和逻辑均为单项选择题。数学分条件充分性判断和问题求解两大部分，其中问题求解共15小题，每小题3分，共45分。条件充分性判断共10小题，每小题3分，共30分。逻辑为30道选择题，每题2分，共60分；写作要求写两篇文章，论证有效性分析，30分。 论说文 35分 形式从命题作文、基于文字材料的自由命题作文、案例分析中选一种。复习的时候，建议把大部分时间放在逻辑上面，因为管理类联考里面的逻辑题还是很绕的，但联考的逻辑在做的时候都是有口诀的，掌握了口诀，带到里面，就会很容易。管理类联考的数学基本上考的都是初高中的数学题，在备考的时候多练练就好。管理类联考的写作类似高考时候的议论文，备考的时候多看看范文，自己动手写几篇，就可以了。

分类是数理逻辑知识里的一个重要概念，对于数学学习是非常关键的能力。儿童首先学习了分类，然后才能过渡到加减的学习。 分类包含“区分”和“合并”两个部分，这两个部分合在一起变成了分类，具体来说就是先根据一定的特征对物品进行区分，然后再将具有一个或多个共同特征的事物合并在一个组。现提供一些常用的分类特征，见下图。 根据图片中提到的特征，我们可以将分类融入到日常生活中，逐渐让孩子的思维具有条理性。下面列举一些分类活动： 1.对厨房中的物品进行分类：从厨房用具的材料方面，如木头、陶瓷、金属的。 2.收衣服叠衣服时进行分类：比如外套放到第一个抽屉，内衣放到第二个抽屉等。 3.对自己的绘本书籍进行分类整理：比如根据绘本的大小或者根据绘本的内容类别。 4.参观动物园时对动物种类进行分类。 5.进行浮沉游戏，区分物品。如：倒一盆水，拿不同的物品，哪些物品是可以下沉到水底的，哪些是漂浮在水面上的。 6.讲绘本故事时可以采取分类的方式画思维导图，描述故事内容。 7.到野外收集树叶花朵等自然物品并对它们进行分类。 8.走在路上，出去游玩，对所见事物进行分类。 上面列举的分类特征和活动，都是我们当前能看得见的。除了看得见的物品可以进行分类，那我们也要让孩子了解看不见的事件也可以进行分类。对事件的分类，可以训练孩子做事的条理性和秩序性，让孩子感受到数学和生活息息相关。 看不见的事件对于孩子来说比较抽象了，我们数学启蒙的目标是培养孩子的抽象思维能力。下面提供一些推进抽象思维的事件分类游戏。 基于孩子的日常作息，和孩子讨论。 区分: 先区分：每天要做的事和不需要每天做的事。 接着区分：每天要做的事还可以分为爸爸要做的事情、妈妈要做的事情、宝宝要做的事情。 最后区分：每天要做的事是变化的还是固定不变的。比如吃饭是每天要做的事，但每天的饭可以是不一样的、变化的。还有刷牙在一段时间内是固定不变的，就是说每天都要刷牙，但是每天都要换牙刷。 合并 不同的人之间要做的事情有交集，比如睡觉前刷牙。 爸爸妈妈把上述每个人每天要做的事情记录下来，在一个星期里，让孩子观察每个人要做的事是否都在做，可以监督爸爸妈妈。孩子参与其中，才能更好的理解。 以上是我学习《大陆博士教你数学》微课的学习输出笔记，希望对给孩子进行学龄前数学启蒙的妈妈们有所帮助。 ‘"

您好！MBA笔试（联考）内容：管理类联考综合能力满分为200分。卷面结构分为：数学、逻辑推理、写作，共三大部分，其中数学占75分，逻辑占60分，写作占65分。1. 数学（问题求解15题、条件充分性判断10题，每题3分），共75分；2. 逻辑推理（共30道单项选择题，每题2分），共60分；3. 写作（论证有效性分析1题30分+论说文1题35分），共65分。管理类联考英语满分为100分。卷面结构分为：完形填空、阅读理解、翻译、英语写作共四大部分，其中分值分布如下:1.完形填空：20题，每题0.5分，共10分；2.阅读理解：25题, 每题2分，共50分；3.翻译：英语翻译成中文，共15分。4.英语写作：小作文10分，大作文15分，共25分。希望以上内容对您有帮助！

　　归纳推理是通过各种手段（观察、实验、分析、比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。 　　思维是人对事物的一般性与规律性的一种间接的、概括的反映过程，又是一个复杂而高级的心理过程。按是否可程式化，思维可分为逻辑思维与非逻辑思维两种基本类型。数学从它产生的年代起，数学与逻辑就是不可分的。逻辑思维方法是数学中最常用与最基本的思维方法。所谓逻辑推理就是指根据已知的判断，遵守逻辑规律与法则，推出新的判断的思维过程。 　　归纳推理是通过各种手段（观察、实验、分析、比较等）对许多个别事物的经验认识的基础上，逻辑推导出各现象之间的因果关系，并逐步过渡到普遍化的一般法则的推理方法。 　　归纳推理可按照它考查的对象是否完全而分为完全归纳法和不完全归纳法。 　　 一、完全归纳法 　　完全归纳法是根据某类事物的全体对象的属性进行概括的推理方法。在数学中它可分为穷举归纳法与类分法两种。 　　1.穷举归纳法 　　穷举归纳法是数学中常用的一种完全归纳法。它是对具有有限个对象的某类事物进行研究时，把它所有的对象的"属性分别讨论，当肯定了它们都有某一属性（作出特称判断），从而得到这类事物都有这一属性的一般结论（全称判断）的归纳推理。 　　在数学中所考察的对象大多数是无穷多的，穷举这种方法很多情况下不适用。然而，对于有些无限多的对象，如果可将其分为有限的几个类来分别研究，这就是类分法。 　　2.类分法 　　所谓分类，用集合语言可定义如下： 　　在中学数学里有许多需要用到完全归纳法证明的问题。在证明时，先对研究的对象按前提中可能存在的一切情况作如上所述的分类，再按类分别进行证明。如每类均得证，则全称判断（结论）就得到了，此即为类分法。如正弦定理中边与对角正弦的比等于外接圆直径的性质，其证明就是分锐角、直角、钝角三类情况进行的。如果完全归纳法的每一类（个）前提都是真的，那么结论一定是真的，所以，它是一种严格的推理方法。在数学中可以用来进行证明。 　　 二、不完全归纳法 　　在数学中运用完全归纳法往往会遇到困难，这不仅是因为在我们所考察的事物中，有些含有无限多个对象而又不能进行有限的分类，从而不能使用穷举法;而且穷举那些有限的，然而又是不少的事物也不是一件轻而易举的事，所以人们往往只根据部分对象具有某种属性作出概括。这种根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳法。 　　从数学发展史可以清楚地看到，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材料的时期，从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或原理，这是数学工作中最初步的然而又是基本的工作。高斯说过他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。素数分布论中许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想，然后再经严格数学推导，设法给予证明的。还有更多由不完全归纳法得到的猜想，初步揭示了素数的分布规律，但至今未得到证明。所以数学家十分重视不完全归纳法的作用。中学教材里从具体数的演算概括出运算律，用的就是不完全归纳法。在数学中，不完全归纳法又可分为枚举归纳法与因果关系归纳法。 　　1.枚举归纳法 　　枚举归纳法是先找几个特殊对象进行试验，然后归纳出共性特征，最后提出一种比较合理的猜想的推想方法。它的步骤可概括为“试验——归纳——猜想”，至于要考察多少个特殊对象，那要看具体情况。 　　2.因果关系归纳法 　　因果规律的特点，在前后相继的一些现象中，通过某些现象的相关变化，归纳出现象间的因果联系。这种方法叫做因果关系归纳法。大体可分为以下五类。 　　(1)求同法：从不同场合中找出相同元素，即发现各种条件中只有一个因素是普遍存在的，那么A就是a的原因。 　　(2)差异法：从两种场合之差异找出因果联系。 　　(3)求同差异共同法：探讨求同法与差异法二者结合寻找因果联系。 　　(4)共变法：从某一现象变化引起的另一现象变化中，找出两现象之间的因果联系。 　　(5)剩余法：在一组复杂现象中，把已知因果联系的现象减去，探求其他现象的原因。 　　五种方法中，最基本的是1与2，它们都是发现因果联系的方法。 　　不完全归纳法的客观基础是个性和共性的对立统一，个性中包含着共性，通过个性可以认识共性；个性中有些现象反映本质，有些则不反映本质，有些属性为全体所共有，有些属性则只存在于部分对象中，这就决定了从个性中概括出来的结论不一定是事物的共性，也不一定抓住了事物的本质。不完全归纳法的客观基础决定了这种推理的逻辑特点：它虽然是一种扩大知识、发现真理的方法，但往往是一种不严密的、或然性的推理。用不完全归纳法提出的结论，仅仅是一种预测性的设想，它的正确与否，还要经过严格证明或举反例来判定。

数学思维是多种思维能力的综合运用，其特点是全面开发左右脑潜能，提升孩子的学习能力、解决问题能力和创造力。

数学的逻辑是教条。

1、有理数和无理数统称为实数. 2、实数和数轴上的点是一一对应的 在数轴上,右边的点表示的数比左边的点表示的数大． 3、在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样． 4、实数可以进行加、减、乘、除、乘方等运算,而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．实数理论千百年来,数学爱们都在为整个数学寻找一个可靠的逻辑基础而不懈努力,然而分析的算术化,是以实数为基础的.不弄清实数的本质,不给实数以明确的定义、建立实数大小、运算等理论,连续函数的性质就无法彻底弄清,甚至连柯西收敛准则的充分性也无法严格证明. 这就迫使数学家们加快建立数学理论的步伐. 实数理论的核心问题是对无理数的认识,早在19世纪前期,柯西就已感到定义无理数的重要性.他在《分析教程》中,把无理数定义为收敛的有理数列的极限,设{yn}是一列有理数,如果存在一个数y,yn-->y,那么y就是一个无理数. 这个定义存在逻辑上的毛病.因为有理数序列{yn}不收敛于无理数（即y为有理数）,则定义不出无理数；不收敛于有理数,那得不承认y是无理数才行,才能定义它是无是数,这就犯了循环定义的错误. 19世纪60年代末以后,出现了几种不同的无理数定义,分别出自维尔期特拉斯、梅雷、康托和戴德金等人之手,但不论他们定义实数的具体方法有何不同,都符合以下三个条件：第一,把不理数当作已知,从有理数出发定义无理数；第二,所定义的褛的性质及其运算律,与有理数所具有的一三,这样定义的实数是完备的,即在极限运算下不会再出现新数.为了避免柯西理数定义中的错误,维尔斯特拉斯坚持了他的表态观点,曾引入"复合数"概念.并用复合数定义有理数.如3（2/3）由3α和2β组成,其中α=1是主要单位,元素β=1/3.一个数已知它由什么元素组成,以及每个元素出现的次数时,就完全确定了,维尔斯特拉斯继而定义无理数如√2定义为1α,4β1γ----康托与梅雷定义的无理数基本相同,以有理数为出发点引进新数类----实数.该数类包括有理数和无理数.在褛理论建树中,戴德金的实数理论是最完整的.人用有理数分割来定义实数这一思想来源于对直线连续性的考虑.人和康托大致同时提出了实数集与直线上的点一一对应假设.这一假设后来称为“康托-戴德金"公理,他想,直线上的有理点是不连续的,必然由无量数填补空位,才能使直线成为连续.如何才能把这些补空位的无理数表示出来?戴德金用全体有理数的一个分割,来表示一个无理数. 上面所说的几种无理数定义,都把有理数当作已知的,因为任何一个有理数,都可以写成两个整数之比,因此问题归结为整数.那么对于整数需不需要再下定义呢?对这个问题也产生了分歧,维尔斯特拉斯就认为没必要,有理数逻辑地归为一对整数,对整数的逻辑无须做进一步研究. 戴德金则不然,他在《数的性质与意义》一书中,利用集合论思想给出了一个整数理论,虽因过于复杂未被采用,却给皮亚诺以直接启示. 1889年,意大利数学家皮亚诺在他的《算术原理新方法》一书中,用公理方法给出了自然数理论,从而完成了整个数系逻辑化工作. 皮亚诺出生于都灵,曾任都灵大学讲师和教授,是一位数理逻辑学家.他不像逻辑主义者那样,主张把数学建立在逻辑上,而是主张把逻辑作为数学工具. 皮亚诺在《算术原理方法》一书中,使用了一系列符号,如用∈,NO和a+分别表示属于、包含、自然数类和a的下一个自然数等；给出了四个不加定义的原始概念：集合,自然数,后继数和属于；还提出了自然数的五个公理： 1）1是自然数； 2）1不是任何自然数的后继数； 3）每个自然数a都不一个后继数a+; 4）如果a+=b+,则a=b; 5）如果s是一个含有1的自然数集合,且当s含有a时,也含有a+,则s含有全部自然数.这个公理是数学归纳法的逻辑基础. 接着,皮亚诺根据自然数定义整数：设a,b为自然数.则数对（a,)即"a-b"定义整数.当a>b,a/span> 有了整数概念,再通过有序对定义有理数：若n,m为整数,则有序对（n,m)(m0)即n/m定义一个有理数. 这样,皮亚诺应用数学符号和公理方法,在自然数公理的基础上,简明扼要地建立起自然数系、整数系和有理数系.当然用公理的、逻辑的方法构造出来的数系,使一数学家感到很不自然.他们认为这是将本一清楚的概念"做了不可理解的推广,然而,实数理论的建立,谱写了19世纪数学史上辉煌的一章.

1、实数,是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,是有理数和无理数的总称。数学上,实数定义为与数轴上的实数,点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数,实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。2、实数和虚数共同构成复数。 实数可以分为有理数和无理数两类,或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母R表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

实数的概念是有理数和无理数的总称。实数包括0，因为有理数包括0、正数、负数。所以实数包括0。数学上，实数定义为与数轴上的实数点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。实数可以分为有理数和无理数两类，其中有理数可以分为正有理数，负有理数和0。正有理数可以分为正整数和正分数。负有理数可以分为负整数和负分数。实数也可以分为代数数和超越数两类。代数数是复数的一类，指任何整系数多项式的复根。超越数是指不满足任何整系数(有理系数)多项式方程的实数，即不是代数数的数。

实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，它们能把数轴“填满”。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n 为正整数，包括整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数

规定了方向和大小的量称为向量．向量又称为矢量，最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向．在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用来表示平面内的各个方向向量的表示向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示．向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量．

位置矢量表达式为：y=t^2/2+3t-4.位移公式:s=vOt+1/2at^2速度公式：vt=vO+at加速度三个基本公式:a=(Vt-Vo)t 2aS=V(t)2–V S=Vo^2

f"[u（x）]是f"（x）在x=u（x）时候的导数值也就是说，f"[u（x）]就类似f"（1）的性质f"（1）并不是对f（1）这个函数值求导，而是f（x）在x=1处的导数值。所以f"[u（x）]在x=u（x）处的导数值。这只需要将f"（x）求出来的结果，将x替换成u（x）即可。简单的说，f"[u（x）]=df[u（x）]/du（x）但是[f（u（x））]"就是，对g（x）=f（u（x））这个复合函数求导等于[f（u（x））]"=df[u（x）]/dx=df[u（x）]/du（x）*du（x）/dx这就是区别。

在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。自变量：函数一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。因变量(函数)：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。函数值：在y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，当x取a时，y就随之确定为b，b就叫做a的函数值。

两个非空数集A→B上的映射f，叫函数，记作：y=f(x)。其中A叫定义域，值域是B的子集。

函数是数学中的一种对应关系，是从非空数集A到实数集B的对应。简单地说，甲随着乙变，甲就是乙的函数。精确地说，设X是一个非空集合，Y是非空数集 ，f是个对应法则 ， 若对X中的每个x，按对应法则f，使Y中存在唯一的一个元素y与之对应 ， 就称对应法则f是X上的一个函数，记作y=f（x），称X为函数f（x）的定义域，集合为其值域（值域是Y的子集），x叫做自变量，y叫做因变量，习惯上也说y是x的函数。对应法则和定义域是函数的两个要素。 自变量，函数一个与他量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在他量中找到对应的固定值。因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且仅当自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一一值与其相对应。 如果X到Y的二元关系fÍX×Y，对于每个，都有唯一的，使得，则称f为X到Y的函数，记做：f:X→Y。当时，称f为n元函数。其特点：前域和定义域重合；单值性：→

(1)函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量.(2)函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y＝f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域.

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考（若图像显示过小，点击图片可放大）

[编辑本段]原函数的定义 primitive function 已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有 dF(x)=f(x)dx， 则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。 例：sinx是cosx的原函数。 关于原函数的问题 函数f(x)满足什么条件是，才保证其原函数一定存在呢？这个问题我们以后来解决。若其存在原函数，那么原函数一共有多少个呢？ 我们可以明显的看出来：若函数F(x)为函数f(x)的原函数， 即：F"(x)=f(x)， 则函数族F(x)+C(C为任一个常数）中的任一个函数一定是f(x)的原函数， 故：若函数f(x)有原函数，那末其原函数为无穷多个. 如果定义在（a,b）上的函数F（x）和f（x）满足条件：对每一x∈（a,b），F′（x）＝f（x）�则称F（x）为f（x）的一个原函数。例如，x3是3x2的一个原函数，易知，x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数。因此，一个函数如果有一个原函数，就有许许多多原函数，原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的，例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝v(t),要求它的运动规律 ，就是求v＝v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题，当f(x)为连续函数时，其原函数一定存在。

收敛是数列的通项在n趋向于无穷大时数列的通项趋向于一个数，即有极限。其实高中数学很简单，数列中只学简单的递减递增。数列的收敛性与前面有限项无关：即数列去掉有限项或增加有限项不影响数列的收敛性；如果数列收敛，也不影响数列的极限值. 收敛数列的有界性：如果数列{an}收敛于a，则数列{an}有界，即存在M>0，使得| an|≤M恒成立。同时也说明：(1)如果数列{an}收敛于a，则对任意给定的正数ε，an 最多只有有限项落在以a为中心，ε为半径的邻域U(a,ε)外。(2) 如果数列{an}收敛a，则在此数列中一定有最大数或最小数，但不一定同时有最大数和最小数.(3) 数列收敛一定有界，但是有界的数列不一定收敛!收敛数列的保号性：(1)如果an≥0，数列{an}收敛于a，则a≥0。

有极限的数列不一定单调。首先数列收敛的定义，对任取的e>0，存在N，当n>N，有|a(n)-A|追问：就是说只要e>=后面项里最大的就可以了吧追答：任取的e>0，存在N，当n>N，有|a(n)-A|<e评论00加载更多

高等数学收敛函数和发散函数的区别是不一样的。

我也说不清楚，大概就是有界如数列1/x它无限接近0，0就是它的界

N=2K时是前提，带入到n=2k-1中求得。

高等数学中,求无限数列极限,具体有哪几种方法? 例如:1:n趋近于无穷大时,[1/n^2+1/(n+1)^2+1/(n+2)^2+.....+1/(n+n)^2]的极限.2:n趋近于无穷大时,[1/(n^2+派)+1/(n^2+2派)+....+1/(n^2+n派)的极限.3:lim sinx (n趋近于0)的极限,最好列出这个极限的计算步骤.以上这三道题都知道答案,却不懂其计算过程,不知道答案是怎么来的?问题3:(x趋近于0时)sinx的极限.最佳答案1、0 < 1/n^2 < 1/n * 1/(n+1)=1/n-1/(n+1)2、n(1/n^2)=1/n > 1/(n^2+派)+1/(n^2+2派)+....+1/(n^2+n派)>0夹逼定理（夹挤定理）3、????你的问题是什么3.x=0时sinx＝0，再由sinx的连续性可得参考：网页链接

刘 徽 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产． 贾 宪 贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家。曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古集》（二卷）（斆xiào，意：数导）均已失传。 他的主要贡献是创造了"贾宪三角"和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。目前中学数学中的混合除法，其原理和程序均与此相仿，增乘开方法比传统的方法整齐简捷、又更程序化，所以在开高次方时，尤其显出它的优越性，这个方法的提出要比欧洲数学家霍纳的结论早七百多年。 秦九韶 秦九韶（约1202--1261），字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术"(高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。 李冶 李冶(1192----1279)，原名李治，号敬斋，金代真定栾城人，曾任钧州（今河南禹县）知事，1232年钧州被蒙古军所破，遂隐居治学，被元世祖忽必烈聘为翰林学士，仅一年，便辞官回乡。1248年撰成《测圆海镜》，其主要目的是说明用天元术列方程的方法。“天元术”与现代代数中的列方程法相类似，“立天元一为某某”，相当于“设x为某某“，可以说是符号代数的尝试。李冶还有另一步数学著作《益古演段》（1259）也是讲解天元术的。 朱世杰 朱世杰（1300前后），字汉卿，号松庭，寓居燕山（今北京附近），“以数学名家周游湖海二十余年”，“踵门而学者云集”(莫若、祖颐：《四元玉鉴》后序）。朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。《算术启蒙》是一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展。《四元玉鉴》则是中国宋元数学高峰的又一个标志，其中最杰出的数学创造有“四元术”（多元高次方程列式与消元解法）、“垛积术”（高阶等差数列求和）与“招差术”（高次内插法）． 祖冲之 祖冲之（公元429～500年）祖籍是现今河北省涞源县，他是南北朝时代的一位杰出科学家。他不仅是一位数学家，同时还通晓天文历法、机械制造、音乐等领域，并且是一位天文学家。 祖冲之在数学方面的主要成就是关于圆周率的计算，他算出的圆周率为3.1415926<π<3.1415927，这一结果的重要意义在于指出误差的范围，是当时世界最杰出的成就。祖冲之确定了两个形式的π值，约率355/173(≈3.1415926）密率22/7(≈3.14)，这两个数都是π的渐近分数。 祖 暅 祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。现行教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。 杨辉 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 赵 爽 赵爽，三国时期东吴的数学家。曾注《周髀算经》，他所作的《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文五百余字，并附有云幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。 赵爽还在《勾股圆方图注》中推导出二次方程 (其中a>0,A>0)的求根公式 在《日高图注》中利用几何图形面积关系，给出了"重差术"的证明。（汉代天文学家测量太阳高、远的方法称为重差术）。 希望对你有帮助

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中国古代是一个在世界上数学领先的国家大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。” ，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。

两个数列均有无穷项，因此就可能有很多相同的项，因此相同项的通式中就可能有一个参数。等差数列通项公式为Xm，二届等差数列通项公式为Yn，那么只要求出满足Xn=Ym的所有数对(m,n)即可，或者说在要求m为正整数的前提下求出所有的n即可。

数学是高中学习中的一门关键学科,无论是文科生还是理科生,数学对于他们来说都是富有挑战性的科目.高中阶段,时间紧、任务重,许多同学尽管花了较多时间在数学上但仍然见效甚微。看着离高考时间越来越近，和理想的成绩越来越远，刷题没效果，心中定有一百个不爽 在不认识肖博数学之前，高考数学对于很多高考生来说都是一场噩梦，既然有梦，何不破解？肖博数学是肖博老师用九年时间精研出的一套完整高中数学教学方案，致力于高中数学题型归类，技巧讲解，本套课程颠覆了传统教学模式与教学风格，完整的课程体系配合独创5秒解题思路，助力考生数学成绩飞速提升，更有数百位同学高考数学成绩130+。用了肖老师的高考数学之等差数列快速解题法，你会发现，其实高考数学题型之等差数列求解也就那么回事。高中数学，学会巧凑等差数列前n项和公式，解题思路瞬间明朗在等差数列的一些题型中，需要凑出数列的前n项和公式，特别是在给出两个等差数列前n项和的比值，求数列其中两项的比值这样的题型中，通过凑出前n项和公式会大大提高解题的效率。仔细分析下面的过程，理解如何一步一步把两个等差数列项之比凑出前11项和之比（红色部分）。本题借助了等差中项，第n项是第1项和第2n－1项的等差中项，根据等差中项的性质把第n项的比值转化为第1项与第2n－1的和的比值，然后再凑出前2n－1项和公式（红色部分）。等差数列是高中阶段极其重要的知识点,近几年也逐渐成为了高考的主要考点之一。高考中所有对等差数列的考察,其实都是在考察高中生对于知识的掌握程度以及创新思维能力。。数学是教学中的基础学科,随着学生学龄的增加,数学课程的难度也随之增加.解题较难是当前高中学生面临的主要问题,为了有效改善这一现状,教师在进行高中数学解题教学过程中应转变教学观念、教学方法,突破常规解题方法.在此背景下,构造法在高中数学解题中得到了有效应用.通过构造法的应用可将抽象问题形象化,复杂问题简单化,激发学生的解题热情,增强解题信心,最终提高解题效率.数列的题目中数据相对比较复杂，但是同学们如果学习了肖老师的方法，就会体验到学霸秒题的技巧， 相信大家看完后对高考数学等差数列有了不少的认识，用最简单的方法帮助高考生圆梦，十年磨一剑，实力今朝现，祝大家金榜题名。

如果你说的是等比数列，通项是这样的：比如1 3 7 13 21 31……相邻两项的差分别为2,4,6,8,10……an =s（n-1）+2（n-1）a（n+1）=s（n） +2n相减，就可以得到2an +2=an +1，这是我能求的最高的了，

贾宪是北宋最著名的数学家,在方程解法上有杰出的成就,著有《黄帝九章算法细草》.南宋数学取得了突出的成就,先后有秦九韶、杨辉等大数学家的著作出现.这些数学著作记载许多具有世界意义的学术成就,充分反映了这一时期中国数学高度发展的水平.比如：大数学家秦九韶著有《数书九章》十八卷（1247年）,记有高次方程的数值解法和联立一次同余式的解法.杨辉的著作集中反映当时民间商用数学的情况,收录了现在早已失传的各种数学著作中的一些问题和标法,还记载了改革筹算的一些乘除简捷算法.宋代数学最突出的成就首推高次方程的数值解法与天元术.北宋时期,大数学家贾宪就在《黄帝九章算法细草》中首先提出“开方作法本源图”,即现在的指数为正整数的二项式定理系数表,欧洲人称之为“帕斯卡（1654年）三角”,比贾宪晚了600多年.贾宪还最早提出“增乘开方法”,不仅开平方、开立方,并且推广到任意高次幂的开方.南宋的秦九韶在贾宪的基础上,完善了高次方程求正根的增乘开方法,解决了任意高次方程数值解法问题.秦九韶还在数学史上最早用十进数字作无理数的近似值,同时,还发展了列方程的方法——天元术.此外,秦九韶还提出了“大衍求一术”,即求解一次同余问题.这种方法和现代最大公约数的所谓欧几里得辗转相除法相类似.欧洲直到18、19世纪,大数学家欧拉（1743年）、高斯（1801年）等对一般一次同余式进行详细研究,才得到与秦九韶“大衍求一术”相同的定理.宋代数学家对高阶等差级数的研究取得了辉煌的成就.宋代对高阶等差数列的研究最早是由沈括的“隙积术”开始的.沈括在他的《梦溪笔谈》从“酒家积罂”、“层坛”（例如堤坎、城墙等分层筑土工程体积）等实际问题出发提出“隙积术”,相当于解决了高阶等差数列求和的问题.沈括还对弧、弦、矢之间的关系详细考察,给出了我国数学史上第一个由弦和矢的长度求弧长的比较实用的近似公式,即“会圆术”.“会圆术”在天文学与其他学科发展中曾起过极重要的作用.元代的王恂、郭守敬在推算授时历中曾加以应用.沈括还记录了北宋初期产生的一种增乘代除法,它是后来珠算归除口诀的前身.

数学在于看书吗??

　　等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列，常用A、P表示。这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。接下来是我为大家整理的高中数学等差数列教案大全，希望大家喜欢! 　 　高中数学等差数列教案大全一 　　“等差数列”教学设计 　　一、教学内容分析 　　等差数列是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》(人教版)第二章数列第二节等差数列第一课时。 　　数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，?数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分;另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种 方法 ——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。 　　二、教学目标 　　1、通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列。 　　2、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用;并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力。 　　3、在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力;通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 　　三、教学重难点 　　重点： 　　①等差数列的概念。 　　②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 　　难点： 　　①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 　　②理解等差数列是一种函数模型。 　　四、学习者分析 　　普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛围，大部分学生知识 经验 已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用数学公式的能力逐渐加强。他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的 抽象思维 能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 　　五、教学策略选择与设计 　　结合本节课的特点，我设计了从教法、学法两种方法对等差数列的通项公式进行推导，让学生更好的理解。通过引入实例来启发学生，挺高学生的学习兴趣，是学生更加形象、愉快的去学习这堂课。下面是我教学设计： 　　1.教法 　　⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 　　⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。 　　⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 　　2.学法 　　引导学生首先从四个现实问题(数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法。 　　六、教学资源与工具设计 　　(一)学习环境：多媒体教室 　　(二)用到的资源： 　　1 查找有关等差数列的实例 　　2 写出上课要提到的问题 　　3 制作相关PPT课件 　　七、教学过程 　　教学环境 教学内容与 　　教师活动 学生活动 设计意图或依据 情境导入 　　在南北朝时期《张邱建算经》中，有一道题“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金 四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更 给，问各得金几何，及未到三人复应得金几何“。 这个问题该怎样解决呢? 　　由学生观察分析并得出答案： 在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，___，___，___，___，? 　　水库的管理人员为了保证优质鱼 类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位 为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m)：18，15.5，13，10.5，8，5.5 　　思考：同学们观察一下上面的这两个数列： 0，5，10，15，20， ① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ② 看这些数列有什么共同特点呢? 　　倾听和观察分析，发表各自的意见。 　　课堂引入，引向课题 探索与归纳 　　对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义：等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上两组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5。 　　提问：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列数列，那么A应满足什么条件? 　　由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b 　　的等差中项。 　　不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13?中5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来， 　　从而可得到在一等差数列中，若m+n=p+q则 　　高中数学等差数列教案大全二 　　等差数列的教学设计 　　教学理念： 数学教学是思维过程的教学，如何引导学生参与到教学过程中来，尤其是在思维上深层次的 参与 ，是促进学生良好的认知结构，培养能力，全面提高素质的关键。数学教学中的探究式对培养和提高学生的自主性、能动性和创造性有着非常重要的意义。 　　设计思想： 本节借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 　　一、教材分析：高考资源网 　　教学内容： 　　高中数学必修第五模块第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时，研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。 　　教学地位： 　　本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对 后续 内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。高考资源网 　　教学重点： 　　理解等差数列概念，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体会等差数列与一次函数之间的关系。 　　教学难点： 　　对等差数列概念的理解及从函数、方程角度理解通项公式，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 　　二、学习者分析： 　　高二学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的 逻辑思维 向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。 　　三、教学目标：高考资源网 　　知识目标： 　　理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式。 　　能力目标：高考资源网 　　培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会数形结合思想、归纳思想和化归思想并加深认识;通过概念的引入与通项 公式 的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力。 　　情感目标： 　　①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。 　　②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 　　③体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。 　　四、教法和学法的分析：高考资源网 　　通过探究式 教学方法 充分利用现实 情景 ，尽可能的增加教学过程的趣味性、实践性。利用多媒体课件和实例等丰富学生的学习资源，强调学生动手操作试验和主动参与，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 　　2、 在学法上，引导学生多角度，多层面认识事物，学会探究。教师是学生的学习的组织者、促进着、合作者，在本节课的备课和教学过程中，为学生的动手实践，自主探索与合作交流的机会搭建平台，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适，自我选择。 　　五、教学媒体和教学技术的选用 　　多媒体计算机和几何画板 　　通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。本节课打破传统的一言堂的格局代之以人为本、民主、开放、特色和建立在信息网络平台上的现代教学格局。 　　六、教学程序： 　　(一)设置问题，引导发现形成概念w。 　　师：看大屏幕。高考资源网 　　情景1(播放奥运会女子举重场面) 　　2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 　　48，53，58，63 　　情景2 水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m) 　　18，15.5，13，10.5，8，5.5 　　情景3 我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是： 　　本利和=本金 (1+利率 存期) 　　时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%，那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税) 　　各年末本利和(单位：元)高考资源网 　　10072，10144，10216，10288，10360 　　师：思考上述各组数据反映了什么样的信息? 　　每行数有何共同特点?请同学们互相讨论。 　　(学生纷纷议论，有的几个人在一起商量)高考资源网 　　(从宏观上 ： 情景1 让学生体验成功申办奥运会的喜悦心情，激发勇于拼搏的坚强意志;情景2让学生认识到保护水资源，保护生态平衡的意识;情景3 倡导节约意识，纳税意识。) 　　从微观上，数学研究的对象是数，我们抛开具体的背景，从表格中抽象出一般数列。 　　48 53 58 63 18 15.5 13 10.5 8 5.5 10072 10144 10216 10288 10360 师：(启发学生)你能用数学语言来描述上述数列的共同特征吗? 　　学生1：后一项与它的前一项的差等于常数。 　　师：反例：1，3，5，6，12，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗? 　　学生1：不一样，要加上同一个常数。 　　学生2：每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 　　师：反例：1，3，4，5，6，7，这样的数列特征和上述数列的特征一样吗? 　　学生2：不一样，必须从第二项开始。 　　学生3：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。 　　(教师把学生的回答写在黑板上，通过反例，使学生深刻理解几组数列的共同特征： 　　= 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起) 　　师：能不能用数学语言表示? 　　学生4： 　　师：等价吗? 　　学生4：应加上(d是常数)， . 　　(让学生充分讨论，注意文字语言与数学符号语言的转化的严谨性) 　　师：对式子进行变形可得 。 　　这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个? 　　学生5：某剧场前8排的座位数分别是 　　52，50，48，46，44，42，40，38. 　　学生6：全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是 　　21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25 　　学生7：马路边的路灯，相邻两盏之间的距离构成的数列。 　　师：如何用数列表示? 　　学生8：设相邻两盏之间的距离为a，该数列为 　　a，a，a，a，……，为常数列，即常数列都具有这种特征。 　　(让学生举例，加深感性认识) 　　师：满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字? 　　学生(共同)：等差数列。 　　师：(学生叙述，板书定义)高考资源网 　　一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首相。 　　提出课题《等差数列》 　　对定义进行分析，强调： = 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起。注意对概念严谨性的分析。 　　师：回到表格中，分别说出它们的公差。 　　学生9：依次是d=7，d=1，d=8，d=-6，d=5，d=-2.5，d=72. 　　师：在计算年末本利和的问题中求 时，能不能不按本利和=本金 (1+利率 存期) 　　求而按数列的特征求呢? 　　学生：若能求得通项公式，问题就很好解决。 　　(再提出问题，引导发现求通项公式的必要性) 　　(二)启发、引导推出等差数列的通项公式 　　师：把问题推广到一般情况。若一个数列 是等差数列，它的公差是d，那么数列 的通项公式是什么?高考资源网 　　启发学生：(归纳、猜想)可用首相与公差表示数列中任意一项。 　　学生10： 即： 　　即： 　　即： 　　由此可得： 　　师：从第几项开始归纳的? 　　学生10：第二项，所以n≥2。 　　师：n=1时呢? 　 　高中数学等差数列教案大全三 　　一.设计思想 　　数学是思维的 体操 ，是培养学生分析问题、解决问题的能力及创造能力的载体，新课程倡导：强调过程，强调学生探索新知识的经历和获得新知的体验，不能在让教学脱离学生的内心感受，必须让学生追求过程的体验。基于以上认识，在设计本节课时，教师所考虑的不是简单告诉学生等差数列的定义和通项公式，而是创造一些数学情境，让学生自己去发现、证明。在这个过程中，学生在课堂上的主体地位得到充分发挥，极大的激发了学生的学习兴趣，也提高了他们提出问题解决问题的能力，培养了他们的创造力。这正是新课程所倡导的数学理念。 　　本节课借助多媒体辅助手段，创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，保障学生的主体地位，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，塑造学生的主体人格，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新。 　　二.教材分析 　　高中数学必修五第二章第二节，等差数列，两课时内容，本节是第一课时。研究等差数列的定义、通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。 　　本节是第二章的基础，为以后学习等差数列的求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容。在高考中也是重点考察内容之一，并且在实际生活中有着广泛的应用，它起着承前启后的作用。同时也是培养学生数学能力的良好题材。等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。 　　三.学情分析 　　学生已经具有一定的理性分析能力和概括能力，且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系。同时思维的严密性还有待加强。 　　四.教学目标 　　1.知识目标：理解等差数列概念，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。 　　2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。 　　3.情感目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，提高数学猜想、归纳的能力。 　　五.重点、难点 　　教学重点：等差数列的概念及通项公式的推导。 　　教学难点：对等差数列概念的理解及学会通项公式的推导及应用。 　　六.教学策略和手段 　　数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动共同发展的过程，结合学生的实际情况，及本节内容的特点，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以探究式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。 　　教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合。通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。而保留使用黑板则能让学生更好的经历整个教学过程。 　　七.课前准备 　　学生预习，教师做好课件并安装好。 　　八.教学过程 　　创设情景，引入概念 　　设计意图：希望学生能通过日常生活中的实际问题的分析对比，建立等差数列模型，体验数学发现和创造的过程。 　　师生活动： 　　情景1： 　　师—把班上学生学号从小到大排成一列 ： 　　学生： 　　师—这是数列吗?你能归纳出它的通项公式吗? 　　学生—是， 　　师—把上面的数列各项依次记为 ，填空： 　　学生—填空并归纳出一般规律： ，( ) 　　师—上面这个规律还有其他形式吗? 　　学生—或者写成 ，( ) 　　注：要对强调 ，原因在于 有意义。 　　师—你能用普通语言概括上面的规律吗? 　　学生—自由发言，选择最恰当的语言。 　　上面的数列已找出这一特殊规律，下面再观察一些数列并也找出它们的规律。 　　情景2：看幻灯片上的实例 　　(1)2008年北京奥运会，女子举重共设置7个级别，其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 　　48，53，58，63 　　(2)水库的管理员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，定期放水清库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个水库的水位18m，自然放水每天水位下降2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列(单位：m) 　　18，15.5，13，10.5，8，5.5 　　(3)我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是： 　　本利和=本金 (1+利率 存期) 　　时间 年初本金(元) 年末本利和(元) 第1年 10000 10072 第2年 10000 10144 第3年 10000 10216 第4年 10000 10288 第5年 10000 10360 例如，按活期存入10000元，年利率是0.72%， 那么按照单利，5年内各年末本利和分别是：如下表(假设5年既不加存款也不取款，且不扣利息税) 　　各年末本利和(单位：元) 　　10072，10144，10216，10288，10360 　　师：上面的三个数列又分别有什么规律呢? 　　学生—(1) ， ， 　　(2) ， ， 　　(3) ， ， 　　师—归纳上面数列的共同特征： 　　(d是常数)， ， ， 　　师 —满足这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字? 　　学生(共同)—等差数列。 　　提出课题《等差数列》 　　师—给出文字叙述的定义(学生叙述，板书定义)： 　　一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，d为公差，a1为数列的首项。 　　对定义进行分析，强调： = 1 GB3 ① 同一个常数; = 2 GB3 ② 从第二项起。 　　师—这样的数列在生活中的例子，谁能再举几个? 　　学生—某剧场前8排的座位数分别是 　　52，50，48，46，44，42，40，38. 　　学生—全国统一鞋号中成年女鞋的各种尺码分别是 　　21，21.5 ，22 ，22.5 ，23 ，23.5 ，24 ，24.5 ，25 　　抢答：观察下列数列是否为等差数列 　　1，2，4，6，8，10，12，…… 　　0，1，2，3，4，5，6，…… 　　3，3，3，3，3，3，3…… 　　2，4，7，11，16，…… 　　-8，-6，-4，0，2，4，…… 　　3，0，-3，-6，-9，…… 　　注：常数列也是等差数列，公差是0。 　　推进概念，发现性质 　　设计意图：概括等差中项的概念。 总结 等差中项公式，用于发现等差数列的性质。 　　师生活动： 　　师—想一想，一个等差数列最少有几项?它们之间有什么关系? 　　学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。 　　设三个数 成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A， 　　说明：(1)上面式子反过来也成立。 　　(2)等差数列中的任意连续三项都构成等差数列 ，反之亦成立。 　　(三)探究通项公式 　　设计意图：通过具体数列的通项公式，总结一般等差数列的通项公式，体会特殊到一般的数学思想方法。 　　师生活动： 　　师—对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面一起来研究等差数列的通项公式。 　　先写出上面引例中等差数列的通项公式。再推导一般等差数列的通项公式。 　　师—若一个数列 是等差数列，它的公差是d，那么数列 的通项公式是什么? 　　启发学生：(归纳、猜想)可用首项与公差表示数列中任意一项。 　　学生— 即： 　　即： 　　即： 　　由此可得： 　　师—从第几项开始归纳的? 　　学生—第二项，所以n≥2。 　　师—n=1时呢? 　　学生—当n=1时，等式也是成立，因而等差数列的通项公式 　　( ) 　　师—很好! 高中数学等差数列教案大全相关 文章 ： 1. 高中数学等差数列知识点汇编 2. 高中数学集合教案设计 3. 高一数学等差数列练习题及答案技巧 4. 高二数学必修5等差数列知识点 5. 高中数学必修5等差数列复习 6. 高考数学集合教案大全 7. 高考数学数列基本概念及等差数列1 8. 高中数学必修4第三章等差数列复习资料 9. 高中数学教学计划 10. 高中数学教师教学工作总结

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“四元术”（多元高次方程列式与消元解法），“垛积术”（高阶等差数列求和），“招差术”（高次内插法）我只知道这些了

中国古代没有数学

每天递增1的数学公式：{x|0<x<101，x∈N}。每日递增的计算公式是：Sn=a[(1+q)^(n-1)]/q。其中：Sn表示n次增长后的总数，a表示第一次开始时的数额，q表示增长率，n表示增长的次数。解析：由题意可知 这是一个以a为首项，q为公比的等比数列前n项的求和公式，这个公式是 Sn=a[(1+q)^(n-1)]/q。当第一天的数额为x时，30=x[(1+1.2)^29]/1.2 ，由此便可求出第一天的数额。高阶等差数列r阶差等比数列的定义，通过对某一数列应用逐差法，使得若干阶差后得到一等比数列。该数列又称为高阶差等比数列。定义 若一数列应用逐差法运算时，其前r阶差不是等比数列，而r+1阶差时是等比数列，则称该数列为r阶差等比数列 。

把5 ,21, 15, 32,x,38看做高阶等差数列，反复求差：差：16,-6,17,x-32,38-x,差:-22,23,x-39,70-2x,差：45,x-62,109-3x为等差数列，所以2（x-62）=45+109-3x,2x-124=154-3x,5x=278,x=55.6.与您的答案不同，仅供参考。

1楼的太多了,你可能懒的看,我告诉你重点吧,但在我百科书上,复制不下来,你采纳我吧,那人是我小号,那号我不用了.

生平经历 字尚之，号四香。江苏元和（今苏州）人。曾受业于钱大昕门下，后入阮元幕府，整理数学典籍。实际主持《畴人传》的编写工作。著有《弧矢算术细草》、《勾股算术细草》、《方程新术草》，阐发中国古代数学的精粹。还曾对多部历法进行注释和数理上的考证，著成《日法朔余强弱考》。 李锐，字尚之，元和诸生。幼开敏，有过人之资。从书塾中检得算法统宗，心通其义，遂为九章、八线之学。因受经于钱大昕，得中、西异同之奥，于古历尤深。自三统以迄授时，悉能洞澈本原。 尝谓：“三统，世经称殷术，以元帝初元二年为纪首，是年岁在甲戌。推而上之，一千五百二十岁而岁值甲寅为元首，又上四千五百六十年而岁复甲寅为上元。以此积年，用四分上推，太初元年得至朔同日，而中馀四分日之三，朔馀九百四十分之七百五，故太初术亏四分日之三，去小馀七百五分也。《汉书》载三统而不著太初，其实一月之日，二十九日八十一分日之四十三，是日法、月法与三统同。贾逵称太初术斗二十六度三百八十五分，是统法周天又与三统同。盖四分无异于太初，而太初亦得谓之三统。郑注召诰，周公居摄五年二月三月，当为一月二月，不云正月者，盖待治定制礼，乃正言正月故也。江徵君声、王光禄鸣盛以为据洛诰十二月戊辰逆推之，其说未核。今案郑君精于步算，此破二月三月为一月二月，以纬候入数，推知上推下验，一一符合，不仅检勘一二年间事也。” 因据诗大明疏，郑注尚书文王受命，武王伐纣时日皆用殷历甲寅元，遂从文王得赤雀受命年起，以乾凿度所载之积年推算，是年入戊午，二十九年岁在戊午，与刘歆所说殷历周公六年始入戊午不同。歆谓文王受命九年而崩，崩后四年武王克殷，后七年而崩，明年周公摄政元年，较郑少一年。又载召诰、洛诰俱摄政七年事，其年二月乙亥朔，三月甲辰朔，十二月戊辰朔，并与郑不合。乃以推算各年及一月二月，排比干支，分次上下，著召诰日名考，此融会古历以发明经术者也。 当是时，大昕为当代通儒第一，生平未尝亲许人，独于锐则以为胜己。大昕尝以太乙统宗宝鉴求积年术日法一万五百岁，实三百八十三万五千四十八分二十五秒为疑。锐据宋同州王易学，谓每年于三百六十五日二千四百四十分之外，有终于五分者，有终于六分者，有终于五六分之间者。终于五分者，五代王朴钦天历是也，以七千二百为日法。终于六分者，近年万分历是也，以一万分为日法。终于五六分之间者，景v历法载于太乙遁甲中是也，以一万五百分为日法，此暗用授时法也。试以日法为一率，岁实为二率，授时日法一万为三率，推四率，得三百六十五万二千四百二十五分，即授时之岁实也。探本穷源，一言破的。 近世历算之学，首推吴江王氏锡阐、宣城梅氏文鼎，嗣则休宁戴氏震亦号名家。王氏谓土盘历元在唐武德年间，非开皇己未；梅氏谓 *** 历实用洪武甲子为元，而之于开皇己未。其算宫分，虽以开皇己未为元，其查立成之根，则在己未元后二十四年，二说并同。 戴氏谓 *** 历百二十八年闰三十一日，是每岁三百六十五日之外，又馀百二十八分日之三十一也。以万万乘三十一，满百二十八而一，得二千四百二十一万八千七百五十，地谷所定岁实三百六十五日二十三刻三分四十五秒，通分内子以万万乘之，满日法而一，亦得二千四百二十一万八千七百五十，与梅氏疑问所云合。是三家所论，未尝不确知灼见，然均未得其详。锐据明史历志、 *** 本术，参以近年瞻礼单，精加考核，谓 *** 历有太阳年，彼中谓为宫分；有太阴年，彼中谓为月分。宫分有宫分之元，则开皇己未是也；月分有月分之元，则唐武德壬午是也。自开皇己未至洪武甲子，积宫分年七百八十六，自武德壬午至洪武甲子，积月分年亦七百八十六，其惑人者即此两积年相等耳，因著 *** 历元考。有求宫分白羊一日入月分截元后积年月日法，以为不明乎此，虽有立成，不能入算也。稿佚未刊。 梅氏未见古九章，其所著方程论，率皆以臆创补，然又囿于西学，致悖直除之旨。锐寻究古义，探索本根，变通简捷，以旧术列于前，别立新术附于后，著方程新术草，以期古法共明于世。古无天元一术，其始见于元李冶测圆海镜、益古演段二书，元郭守敬用之，以造授时历草，而明学士顾应祥不解其旨，妄删细草，遂致是法失传。自梅文穆悟其即西法之借根方，于是李书乃得郑重于世。其有原术不通，别设新术数则，更于梅说外辨得天元之相消，有减无加，与借根方之两边加减法少有不同。 且不满顾氏所著之句股、弧矢两算术，谓：“弧矢肇于九章方田，北宋沈括以两矢幂求弧背，元李冶用三乘方取矢度，引伸触类，厥法綦详。顾氏如积未明，开方徒衍，不亦俸酰”爰取弧矢十三术，入以天元，著弧矢算术细草。并仿演段例，括句股和较六十馀术，著句股算术细草，以导习天元者之先路。 又从同里顾千里处得秦九韶数学九章，见其亦有天元一之名，而其术则置奇于右上，定于右下，立天元一于左上。先以右上除右下，所得商数与左上相生，入于左下。依次上下相生，至右上末后奇一而止，乃验左上所得以为乘率。与李书立天元一太极上，如积求之，得寄左数与同数相消之法不同。因知秦书乃大衍求一中之又一天元，秦与李虽同时，而宋元则南北隔绝，两家之术，无缘流通，盖各有所授也。 锐尝谓：“四时成岁，首载虞书，五纪明历，见于洪范。历学诚致治之要，为政之本。乃通典、通考置而不录，邢云路虽撰古今律历考，然徒援经史，以侈卷帙之多。梅氏祗有欲撰历法通考之议，卒未成书。因更网罗诸史，由黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁六历，下逮元、明数十馀家，一一阐明义蕴，存者表而章之，缺者考而订之，著为司天通志，俾读史者启其扃，治历者益其智。”惜仅成四分、三统、乾象、奉天、占天五术注而已。馀与开方说皆属稿未全。 史书记载 开方说三卷，锐读秦氏书，见其于超步、退商、正负、加减、借一为隅诸法，颇得古九章少广之遗，较梅氏少广拾遗之无方廉者，不可以道里计。盖梅氏本于同文算指、西镜录二书，究出自西法，初不知立方以上无不带从之方。锐因秦法推广详明，以著其说。甫及上、中二卷而卒，年四十有五。其下卷则弟子黎应南续成之。

焦循(1763～1820)，清哲学家、数学家、戏曲理论家。字理堂(一字里堂)，江苏扬州黄珏镇人，嘉庆举乡试，与阮元齐名。阮元督学山东、浙江，俱招往游。后应礼部试不第，托足疾不入城市者十余年。构一楼名“雕菰楼”，读书著述其中。博闻强记，于经史、历算、声韵、训诂之学都有研究。有《里堂学算记》《易章句》《易通释》《孟子正义》《剧说》等。(据1999年版《辞海》“焦循”条) 生平 焦循少颖异，事父母以孝闻，服丧尽礼。乾隆辛酉举于乡。尝从阮元游浙江。闭户著书，葺其老屋曰“半九书塾”，复构楼曰“雕菰”，有湖光山色之胜。足不入城市者十余年。庚辰七月卒，年五十有八。焦循博闻强记，识力精卓，于学无所不通，于经无所不治，而于《周易》、《孟子》专勒成书，其于《易》本世传家学，尝疑一“号啕”也，何以既见于《旅》又见于《同人》;一“拯马壮”也，何以既见于《复》又见于《明夷》;“密云不雨”之象，何以《小畜》与《小过》同辞;“甲庚三日”之占，何以《蛊》象与《巽》象同例;乃遍求说《易》之书读之，撰述成帙。甲子，复精研旧稿，悟得洞渊九容之术实通于《易》，乃以数之比例：求易之比例，于是撰拟《通释》一书。丁卯病危，以《易》未成为恨。病廖，屏他务，专治此经，遂成《易通释》二十卷。自谓所得悟者，一曰“旁通”，二曰“根错”，三曰“时行”。《易通释》既成，复提其要为《图略》八卷。凡图五篇，原八篇，发明旁通相错时行之义。论十篇，破旧说之非。复成《章句》十二卷。总称《雕菰楼易学三书》，共四十卷。先生易经既成，随笔记录二十卷，曰《易馀龠录》。凡友朋门弟子所问答及于易者复录存二卷，曰《易话》。自癸酉立目录，自稽所业，得三卷，曰《注易日记》。又有《易广记》三卷。先生易学，不拘守汉魏各师法，惟以卦爻经文比例为主。 焦循又著《孟子正义》三十卷，疏赵岐之注，兼系近儒数十家之说，而以己意折衷，合孔孟相传之正指。又作《周易王氏注补疏》二卷，《尚书孔氏传补疏》二卷，《毛诗郑氏笺补疏》五卷，《春秋左传社氏集解补疏》五卷，《补记郑氏补疏》三卷，《论语何氏集解补疏》二卷，合之，为《六经补疏》二十卷。 嘉庆六年(1801)举人，后弃科举，托足疾在家10余年，博闻强记，于经、史、历、算、声韵、训诂之学均有研究。专注于经史之学，对诗词、医道无不贯通。搜求故友遗书，孜孜不倦，世家有藏书，其藏书处有“雕菰楼”、“半九书熟”，阮元称有“湖光山色之胜”。抄录图书甚多，被誉为“抄书一痴”，传说当大水淹到家门口时，还在南窗下从容不迫地抄录《中论》。每得一书，必识其卷端，故其藏书多有题识，藏书印有“理堂”、“恨不十年读书”、“焦氏藏书”等。著述宏富，有《里堂学算记》、《雕菰楼易学三书》、《易章句》、《易通释》、《孟子正义》、《曲考》(佚)、《剧说》、《花部农谭》、《雕菰集》、《雕菰楼文集》、《六经补疏》、《北湖小志》等数百卷。 思悟 焦循思深悟锐，尤精历算之学。撰有《释弧》三卷，《释轮》二卷，《释椭》一卷，《加减乘除释》八卷，《天元一释》二卷，《开方通释》一卷，又命其子琥作《益古演段开方补》以附《里堂学算记》之末。当时算学名家李锐、汪莱、钱大昕等，皆与讨论而叹服焉。 擅长 焦循善属文，最爱柳宗元。表章先正，作《北湖小志》六卷。又掇拾扬州杂文旧事，为目录二卷，名曰《足征录》。又成《邗记》六卷。每得一书，必识其颠末，有所契，则手录之。如是者三十年，成《里堂道听录》五十卷。又举清人著述三十二家，作《读书三十二赞》。文集手订者，曰《雕菰楼集》二十四卷，词三卷，诗话一卷。 游浙 因阮元考浙江原委以证《禹贡》三江，乃撰《禹贡郑注释》一卷，专明班氏郑氏之学。谓王伯厚《诗地理考》繁杂无所融贯，作《毛诗地理释》四卷。又仿戴东原《孟子字义疏证》，撰《论语通释》一卷凡十五篇：曰圣，曰大，曰仁，曰一贯，曰忠恕，曰学，曰知，曰能，曰权，曰义，曰礼，曰仕，曰君子小人。又撰《群经宫室图》二卷，为图五十篇。《毛诗鸟兽草木虫鱼释》十一卷，《陆玑疏考证》一卷。又录当世通儒说《尚书》者四十一家，书五十七部，仿卫湜《礼记》之例，以时之先后为序，得四十卷，曰《书义丛钞》。

简介 江苏甘泉人（江苏扬州方巷人），生于高宗乾隆二十八年癸，卒于仁宗嘉庆二十五年庚辰，得年五十八岁。少年曾就读于扬州安定书院。曾于三十三岁赴山东居阮元（时为山东学政）家，并随阮元至浙江赴任。嘉庆六年（1801）中举人，翌年应礼部试不第，即返乡奉侍母亲不出仕。母亲卒后，托疾闭户，建“雕菰楼”，足不履城市十馀年，著书数百卷，皆精博。其中用力特深的，为《周易》、《论语》、《孟子》三书。《周易》方面，著有《易章句》十二卷、《易图略》八卷，《易通释》二十卷（以上四十卷合辑为《雕菰楼易学三书》）、《易广记》三卷、《易话》二卷。《语》、《孟》方面，嘉庆九年（1804）著《论语通释》一卷计十二篇（后增为十五篇），又推衍《通释》的含义为《论语补疏》二卷。嘉庆廿一年（1816）始编《孟子长编》三十卷，再编为《孟子正义》三十卷，廿四年（1819）成书。翌年逝世。经学以外，又精天算、考古。曾与凌廷堪及李锐（字尚之，号四香，1765-1814，是清中叶少数专精天文学和数学的学者之一）一起研究天算之学，焦循著《天元一释》、《开方通释》等专门著作，又曾著《群经宫室图》、《剧说》等。平生所著散文辑为《雕菰楼集》二十四卷，由阮元于道光四年（1824）在粤刊行。 除经学、天算之外，焦循极注重地方志，对方志学亦有见解。嘉庆十一年（1806）受扬州知州伊秉绶聘任，与阮元等编《扬州图经》及《扬州文粹》（或可能《扬州图经》即含《文粹》），后因伊氏调任而中辍，焦氏将所搜得文献辑为《扬州足征录》二十七卷，继任者姚秋农修《扬州府志》（嘉庆十五年刊），焦氏亦参与纂修，或至少提供过具体的指导意见。《扬州足征录》外，焦氏又著《北湖小志》六卷、《邗记》六卷，记述扬州一地风土。　清代学者。字理堂（或作里堂），晚号里堂老人。甘泉（今江苏方巷）人。嘉庆六年（1801年）举人。博学多识。尤擅易学、算学，亦精医理。曾南游江浙、北及河北、山东等地，常与人论医。辑有《吴氏本草》一卷（1792年），多取材于《太平御览》等，今存其手校稿本。尝与名医李炳交厚，将李炳医案集成《李翁医记》二卷。李氏之书稿《辨疫琐言》书稿则由焦氏子抄录传世。另著有《雕菰楼文集》。 生平 焦循少颖异，事父母以孝闻，服丧尽礼。乾隆辛酉举于乡。尝从阮元游浙江。闭户著书，葺其老屋曰“半九书塾”，复构楼曰“雕菰”，有湖光山色之胜。足不入城市者十余年。庚辰七月卒，年五十有八。焦循博闻强记，识力精卓，于学无所不通，于经无所不治，而于《周易》、《孟子》专勒成书，其于《易》本世传家学，尝疑一“号啕”也，何以既见于《旅》又见于《同人》；一“拯马壮”也，何以既见于《复》又见于《明夷》；“密云不雨”之象，何以《小畜》与《小过》同辞；“甲庚三日”之占，何以《蛊》象与《巽》象同例；乃遍求说《易》之书读之，撰述成帙。甲子，复精研旧稿，悟得洞渊九容之术实通于《易》，乃以数之比例：求易之比例，于是撰拟《通释》一书。丁卯病危，以《易》未成为恨。病廖，屏他务，专治此经，遂成《易通释》二十卷。自谓所得悟者，一曰“旁通”，二曰“根错”，三曰“时行”。《易通释》既成，复提其要为《图略》八卷。凡图五篇，原八篇，发明旁通相错时行之义。论十篇，破旧说之非。复成《章句》十二卷。总称《雕菰楼易学三书》，共四十卷。先生易经既成，随笔记录二十卷，曰《易馀龠录》。凡友朋门弟子所问答及于易者复录存二卷，曰《易话》。自癸酉立目录，自稽所业，得三卷，曰《注易日记》。又有《易广记》三卷。先生易学，不拘守汉魏各师法，惟以卦爻经文比例为主。 焦循又著《孟子正义》三十卷，疏赵岐之注，兼系近儒数十家之说，而以己意折衷，合孔孟相传之正指。又作《周易王氏注补疏》二卷，《尚书孔氏传补疏》二卷，《毛诗郑氏笺补疏》五卷，《春秋左传社氏集解补疏》五卷，《补记郑氏补疏》三卷，《论语何氏集解补疏》二卷，合之，为《六经补疏》二十卷。 嘉庆六年（1801）举人，后弃科举，托足疾在家10余年，博闻强记，于经、史、历、算、声韵、训诂之学均有研究。专注于经史之学，对诗词、医道无不贯通。搜求故友遗书，孜孜不倦，世家有藏书，其藏书处有“雕菰楼”、“半九书熟”，阮元称有“湖光山色之胜”。抄录图书甚多，被誉为“抄书一痴”，传说当大水淹到家门口时，还在南窗下从容不迫地抄录《中论》。每得一书，必识其卷端，故其藏书多有题识，藏书印有“理堂”、“恨不十年读书”、“焦氏藏书”等。著述宏富，有《里堂学算记》、《雕菰楼易学三书》、《易章句》、《易通释》、《孟子正义》、《曲考》（佚）、《剧说》、《花部农谭》、《雕菰集》、《雕菰楼文集》、《六经补疏》、《北湖小志》等数百卷。 思悟 焦循思深悟锐，尤精历算之学。撰有《释弧》三卷，《释轮》二卷，《释椭》一卷，《加减乘除释》八卷，《天元一释》二卷，《开方通释》一卷，又命其子琥作《益古演段开方补》以附《里堂学算记》之末。当时算学名家李锐、汪莱、钱大昕等，皆与讨论而叹服焉。 擅长 焦循善属文，最爱柳宗元。表章先正，作《北湖小志》六卷。又掇拾扬州杂文旧事，为目录二卷，名曰 《足征录》。又成《邗记》六卷。每得一书，必识其颠末，有所契，则手录之。如是者三十年，成《里堂道听录》五十卷。又举清人著述三十二家，作《读书三十二赞》。文集手订者，曰《雕菰楼集》二十四卷，词三卷，诗话一卷。 游浙 因阮元考浙江原委以证《禹责》三江，乃撰《禹贡郑注释》一卷，专明班氏郑氏之学。谓王伯厚《诗地理考》繁杂无所融贯，作《毛诗地理释》四卷。又仿戴东原《孟子字义疏证》，撰《论语通释》一卷凡十五篇：曰圣，曰大，曰仁，曰一贯，曰忠恕，曰学，曰知，曰能，曰权，曰义，曰礼，曰仕，曰君子小人。又撰《群经宫室图》二卷，为图五十篇。《毛诗鸟兽草木虫鱼释》十一卷，《陆玑疏考证》一卷。又录当世通儒说《尚书》者四十一家，书五十七部，仿卫《礼记》之例，以时之先后为序，得四十卷，曰《书义丛钞》。 易学 焦循易学世界构图的两个方面：严格、规范性与生命、灵动性著作考据之争　 焦循在全身心投入到易学研究以前，还曾加入过“著作考据之争”。这场争论的焦点是如何对待惠栋学派的经学研究。文学家袁枚批评经学家孙星衍的经学研究缺乏“性灵”，声称只有文学才有“性灵”，经学只不过是机械呆板的抄书之学。另一位乾嘉时代的重要学者章学诚则对袁枚的观点进行了批评。章学诚认为，袁枚的观点将引发非常严重的伦理后果，因此是非常不可取。焦循也加入了这场争论。他不同意孙星衍以考据为经学的立场，而同意袁枚对当时考据学风的批评，欣赏袁枚大力提倡的“性灵说”，认为无性灵则无所谓学风，考据的问题正在于缺乏“性灵”，但他也不同意袁枚文学是体现“性灵”的唯一领域的看法。他重新解释“经学”范畴，赋予其新的意义。在他的“经学”中，“性灵”得到了最全面最深刻的体现。他指出：“经学者，以经文为主，以百家子史、天文术算、阴阳五行、六书七音为之辅，汇而通之，辨而析之，求其训诂，核其制度，明其道义，得圣贤立言之指，以正立身经济之法。以己之性灵，合诸古圣之性灵，并贯通于千百家著书立说之性灵，以精汲精，非天下之至精，孰克以与此？……惟经学可言性灵，无性灵不可以言经学。辞章之有性灵者，必由于经学，而徒取辞章者，不足语此也。”（《与孙渊如观察论考据著作书》） 由此，经学是“性灵”的完全展开。它不是个人的“性灵”，而是众多人的“性灵”在跨越了个人的局限性与历史性的基础上融汇而成的一个整体。这个整体是由学问与性灵共同构成的。因而，真正的经学有两个特征，一是学问的贯通，经学应当成其为经文本身与百家子史、天文术算、阴阳五行、六书七音等学问相互贯通的产物；二是“性灵”的贯通，经学应当成后代经学家注释经书的“性灵”，与古代圣贤著述经书的“性灵”相互贯通的产物。 易学 《几何原本》世界构图的吸收与超越 焦循易学向我们描绘了这样的一幅关于宇宙整体的动态画面：它是由一系列简单的元素经过不断的有序的进化积累生成的，而且一直处在生生过程之中，它没有终结之时，它是一个开放的不断扩大自身的系统。这一系统有两个重要特征：生长性（进化与积累）与有序性（严格与规范）。一个系统，如果没有进化与生长，它就不够宏大，不符合儒家天地生生之道；但如果没有严格与规范，那么这个宏大也是一种假象，它就是堆砌在沙滩上的巨大建筑，布满缝隙与窟窿，一旦有了外来的冲击，它很快就会垮塌。受过晚明《几何原本》及其天算学洗礼的清儒比以往任何朝代的学人都更看重这一系统的严格性与规范性，在某种意义上这也正是清代学术的基本特点，这也是为什么清代学术在经历时间冲刷磨蚀之后仍然屹立的奥秘所在。保障焦循易学严格性与规范性的主要部件是焦循在易学中“发明”的变换规则。这些变换规则有两类：天算型的，有旁通、相错、时行，有时合称“比例”；音韵训诂型的，主要有“引申”，共12例。 启示 这两种规则在易学中的作用也不相同。大体说，它们事关易学的两个层次。第一个层次，文字层。《易经》是一部书，它是由文字（包括短句）组成的，一切对于《易经》的解释必须经由文字这个中介，必须是针对一定文字所作的解释。卦爻象层。正如英和所说的那样：“群经皆可理释（以文字解释），而惟《易》必由数推。”文字因其自身内蕴的模糊性与漂游性，使得它不可能很好地揭示一个严格而规范的世界，因此，只有在由数学符号组成的世界里，人们才能够发现这种严格性与规范性。 优点 采用天算学思路的优点还在于，可以对《易经》中的每一个词都给出严格而规范的解释。如果我们将《易经》看成是一个宇宙的话，这个宇宙中的一切都将笼罩在数学的光芒之下，再没有任何玄奥神秘的保留地带。英和在为焦循易学著作写序时为此兴奋不已，称赞焦循的易学“元本经文，疏通引证，使全易无一剩句残言。”在焦循眼中，《易经》实际上已经成为一部天算学类型的著作了，在一定意义上，这种认知主义的态度是可以理解的。至于我们个人是否同意这个时代的易学视野，则是另一个问题。 结论 在“著作考据”之争中，袁枚凸显了性灵，孙星衍凸显了学问，焦循则是想将学问和性灵都融贯到经学之中。焦循并不排斥考据学，他本人也精通考据学，但是他决不同意以考据学作为经学的范型。考据学所缺的东西是“性灵”，这种缺乏导致了一个问题：它误认了经学的本质特征。完整的经学本质包含两方面的内容：客观的学问的和主观的性灵。客观的特征是经文本身，而主观的特征是“性灵”。因此，当袁枚说只有文学才可以谈论“性灵”，而经学似乎只是考据之学，仅仅需要劳力抄书时，焦循就不能同意了。 成就 经学与天算学：焦循思想的中心话题 在《几何原本》前六卷译本传入中国之后，明末清初的知识界表现出了学习这部著作的巨大热情。虽然这部书的流传并不广泛，但它对当时中国学人的思想上产生的冲击力却是不可磨灭的。紧随着译本，出现了一批研究学习的著作。如孙元化的《几何体论》、《几何用法》（1608），方中通的《几何约》（1661），李子金的《几何易简录》（1679），杜知耕的《几何论约》（1700），梅文鼎的《几何通解》等。此外，还有一些著作虽不是专门的几何学著作，但它们都受到了几何学思维方式的深刻影响。 焦循年青时并没有全力研究算学，而是汲汲于当时最受关注的名物考证之学，著有《群经宫室图》。这是当时最前沿、最时髦的学术课题之一。在考证过程中，焦循认为郑玄注有错，为了将意思讲通，不惜改动了郑注。为此，惠栋的弟子、学术辈份比焦循高的江声专门来信辩论，焦循又复信抗辩。在辩论过程中，焦循注意到，惠栋开创的吴派学人在治学中有一个不言而明的假定，即汉儒的注解是最可信赖的学术资源。在《群经宫室图》中的研究中，焦循坚持认为，如果不修正郑玄的注释，有一段话根本无法讲通。在辩论过程中，焦循以及学术好友阮元都意识到，曾经给考据学开辟过辉煌希望的惠栋学派，其方法论走入了严重的误区，因为吴派以汉儒的经传作为判断真理的标准。如果任其发展下去，儒学将重新走入闭塞的死胡同。在为焦循《群经宫室图》所作的序言中，阮元提出了新的学术标准：“求是”而不是“从古”。阮元说：“余以为儒者治经，但求其是而已矣。是之所在，从注可，违注亦可，不必定如孔（颖达）贾（公彦）义疏之例也。”这是阮元与焦循的共同看法。 与所有的人文学术一样，对一个问题的研究往往是言人人殊，你来我往，争得不亦乐乎。从今天的阐释学的角度看，在你来我往的热烈争论之中，学人们通过对话，相互拓宽了视野，增加了理解，从而体察到了人文学的真理。经学研究历史悠久，注疏材料众多，层层累积，与其他人文学科相比，其中的争论更多，很不易得出人所共认的结论。但在乾嘉学术的鼎盛时期，焦循、阮元（尤其是焦循）等人却为这种现象深感不安，并设想着一种更好的解决方案。 在焦循看来，当时的许多经学争论都是无根之谈，它的终极基础是汉儒经传，其本身算不上可靠的真理，但是，和以往的宋明理学相比，汉学的确是当时的学人不能须臾离开的出发点，是一种既不能完全靠得住、但又不可离开的基础。焦循憧憬着这样的一种学术：它的真理不依赖于争论，它的真理是直观自明的。焦循正在学习的天算学，给他提供了这样的一种可能。对焦循来说，一道复杂的算学题，它的结论是否正确，并不需要争论。只要将答案代入题目之中，经过加减乘除的计算，正确与否即可验证，正误双方都不必浪费太多的口舌。倘若经学真理也具有算学真理一般的真理性，那该多好。这一想法，一定曾在当时许多学人的心目中出现过。在其后的若干年内，焦循将主要的精力投入到了天算学研究之中。 著作 《天元一释》两卷 《加减乘除释》八卷 《开方通释》 《群经宫室图》两卷 《论语通释》 《易通释》十二卷 《易章句》 《孟子正义》 《六经补疏》二十卷 《古文尚书辨》八卷 《毛诗物名释》二十卷等 《邗记》六卷 《北湖小志》六卷 《扬州府志》 《李翁医记》二卷 《沙疹吾验篇》一卷 《医说》一卷等 《雕菰集》二十四卷 《里堂诗集》八卷 《里堂词集》二卷 《仲轩词》一卷 《剧说》六卷 代表 《孟子正义》为焦循（里堂，1763–1820）所编著。据里堂自述，其弱冠即好读《孟子》，立志为《正义》。惜为世务所阻，故辍而不为。其后里堂与友人黄承吉（1771–1842）论学，二人有鉴诸经《正义》，只知仅守一家之注，而未能兼综博采，故欲为诸经另撰新疏，冀能“破孔贾之藩篱，突徐杨之门户”。群经之中，里堂以家学渊源，尤精于《易》。而于《周易》以外，里堂深恶《孟子》伪孙]疏“体例w驳，征引陋略乖舛，文义冗蔓俚鄙”，故亦思为《孟子》另著新疏，以补前人之阙。因之，里堂于完成《易学三书》后，即与其子廷琥编撰《孟子正义》。关于《孟子正义》的编纂过程，里堂尝记之曰：于丙子冬，与子廷琥，纂为《孟子长编》三十卷，越两岁乃完。戊寅十二月初七日，立定课程，次第为《正义》三十卷，至己卯秋七月草稿粗毕。可见于嘉庆二十一年（1816年）冬天，里堂父子已开始准备编撰《孟子正义》。二人先以近两年时间，博采历代有关《孟子》及赵注之论述，编次为《孟子长编》三十卷。及《长编》既成，里堂再就其中所录，删繁补缺。于嘉庆二十四年（1819年）七月，草成《孟子正义》三十卷。其间里堂惟恐志有懈弛，故立定课程以逐日稽省。惜翌年七月，里堂旧病复作，故于《孟子正义》的校誊、编订上，仅能手录其中十二卷而已。 里堂殁后，廷琥秉承父志，歇力完成《孟子正义》之校对、誊录工作。惜半年有余，于道光元年（1821年）二月，廷琥亦以病终。临终之日，遂深托其叔焦征，以完成《孟子正义》之刊刻印行。最后于道光五年（1825年），《孟子正义》终告付梓完成。

李锐(1769~1817)是中国古代数学家，又名向，字尚之，号四香，江苏元和县(今属苏州市)人。少从名师李锐先世居河南，祖父名横，父名章培。李章培系乾隆十七年(1752)进士，曾任河南伊阳(今汝阳)知县，后调兵部主事。李锐生于1769年1月15日，“幼开敏，有过人之资。从书塾中捡得《算法统宗》，心通其义，遂为九章八线之学。”1788年，李锐为元和县生员。次年钱大昕来主持紫阳书院，李锐就此受业其门下。1791年，李锐从紫阳书院肄业，开始向钱大昕学习天文和数学知识。钱氏“始教以三角、八线、小轮、椭圆诸法，复引而进于古”。钱大昕“日以翻阅群书校仇为事，遇有疑义辄与锐商榷”。例如撰成《三统术衍铃》之后，就请李锐算校并作跋，可见钱氏对这位弟子的学问相当满意。这段学徒生涯，使李锐不但学到了知识，而且熟悉了乾嘉学派大师的治学方法，对此有人记道：“受业于钱辛楣宫詹(指大听)为九数学，宫詹诲之曰：‘凡为弟子者，不胜其师，不为贤弟子，吾友段若鹰(即玉裁)之于戴东原(即震)是矣，子其勉之。"先生(即李锐)于是闲门沉思五年，尽通畴人家言。”由于钱大昕的介绍，李锐开始与比他年长6岁的焦循通信。1790年，焦循以所著《群经宫室图》二部寄钱大昕，后者复函称“已分一部致李生尚之，并将尊札付其阅看，伊亦深佩服，以不得握手为恨。”李锐也给焦循去了一信内容主要讨论行星运动问题。幕宾生涯1795年，阮元出任浙江学政，开始筹划编纂《畴人传》。不久李锐被邀至杭州，实际上成为这一中国历史上第一部天文、数学家传记的主笔。在此期间，他常往来于苏、杭之间，得以广泛接触江南各藏书名家所收珍本秘籍，并有可能获读文澜阁四库全书中的传抄本。在此基础上，李锐对中国古代数学进行了认真的研究，他的工作与乾嘉学派对古代经典的广泛整理是相一致的。先后经他整理过的中国古代数学名著有李冶的《测圆海镜》和《益古演段》、王孝通的《缉古算术》、秦九韶的《数书九章》，及《九章算术》等。在天文学方面，李锐相继对三绝、四分、乾象、奉元、占天、淳佑、会天、大明、大统等历法进行了疏解。并先后完成《三统术注》《四分术注》等五部书稿。在经学方面，他曾协助阮元校勘《周易》《谷梁》及《孟子》，其成果被载入阮元编的《十三经注疏》之中。他又自撰《周易虞氏略例》《召浩曰名考》这样的经学作品。1798年，李锐完成了《弧矢算术细草》一书。1799年在读《宋书?律历志》时、对其中用棕转述之何承天调日法有所悟，撰成《日法朔余强弱考》一书。同年《畴人传》编竣。在此期间，李锐与焦循同居阮元节署之内。朝夕相处，“共论经史，穷天人消息之理。”大约此时，李锐通过焦循了解到汪莱的工作；汪、李初次见面则在1800年。汪莱于1801年授馆扬州，同年撰成《衡斋算学》第五册，议论秦九韶，李冶开方之“可知”与“不可知”，即数字方程是否也有一个正根。稿成后汪氏曾分送张敦仁和焦循二人求正、焦循逐将汪莱的书稿出示给李锐。李锐看毕“深叹为精善，复以两日之力作开方三例”。这是1862年9月5日的事。当时李锐丧妻不久、又逢失子，独自居住于西湖边之孤山附近，心境十分凄凉。他在为汪莱所作的跋文中说：“是卷穷幽极微，真算氏之最也”。随后给出的“三例”则是他研究方程理论的开篇之作。1805年，李锐应扬州太守张敦仁之邀前往入幕。此时在场州的数学家还有焦循、汪莱、凌廷堪、沈钦裴等人，一时风云际会，尤以李、汪、焦(一说李、凌、焦)三人被誉为“谈天三友”。张敦仁先后撰写《缉古算经细草》，《求--算术》、《开方补记》等书，都得到李锐的鼎力相助。他觅得南宋版《九章算术》(前五章)、《孙子算经》、《张丘建算经》之后，都请李锐算校整理。大约同时，汪莱完成了《衡斋算学》第七册，把方程论的研究又向前推进了一大步。1806年，李锐回到苏州。这一年他相继撰成《勾股算术细草》、《磐折说》、《戈戟考》等作品，又为张敦仁复校《求——算术》。1808年写成《方程新术草》，书成后即寄给北京的李潢一部抄本。当时李潢正在从事《九章算术》的研究，他后来复函李锐，对此书及两年前经由张敦仁送来的《勾股算书细草》给予很高的评价。李锐与李潢，也被人并称为“南北二李”。李锐生平虽曾多次参加科举考试，但是均未获成功。1801年，李锐从张敦仁在南昌的府邸出发，前往北京参加他的最后一次考试。这次顺天府的乡试又以失败告终，但他得以与李潢这位神交已久的学术知己聚首。在京期间，他们曾频繁往来，主要讨论《九章算术》中的问题。李锐一生对中算古籍十分珍视，除了以上提到曾多部古算书校释外，又于1800年亲自购得梅文鼎手录之明清之际数学珍本《西镜录》；此书后由焦循另抄一册，得以流传至今。在北京滞留期间，他又从李潢处读到阮元录自《永乐大典》的多部算书。1814年，李锐得到一部散乱的《杨辉算法》，遂据文义重新排列整齐。1816年，他从张敦仁处获阅阮元早先访得并呈入四库的《四元玉鉴》，开始动手整理，可惜因体力不支未能卒业，以至阮元叹道：“惜乎李君细草未成，遂无能读是书矣。”贫病相伴李锐虽然长年奔走于达官显贵之间，他的家庭生活却是十分清苦的。在他留下的日记中，经常可以看到“受某某银若干”的记载；有一则日记还提到李潢托请张敦仁“少分清俸，以瞻其家，俾得悉心、著书。”李锐也经常以自己的精神劳动来回报他的导师或保护人，钱大昕、张敦仁、阮元、李潢等人都曾采用过他的研究成果，难怪有人说他“凡有诘者”，“悉详告无隐”。李锐嗜书如命。为此不得不节衣缩食。有时实在买不起。他就靠借书和抄书来获得所需的资料。尤为可悲的是、为了传宗延嗣，他在发妻龚氏及爱子天亡之后又相继二次娶妻，直到临终始得一子。过度的工作量和沉重的家庭负担无疑加剧了他生活的贫困，也损害了他的健康。1814年，李锐已患重病，此时他开始向弟子黎应南讲授开方与解方程的理论，断断续续地讲了三年，其讲稿就是后来的《开方说》。1817年夏，李锐病情恶化，临终前嘱托黎应南务必将尚未定稿的《开方说》下卷写好。1817年8月12日，正值创造盛年的李锐咯血身亡。时年仅48岁。李锐去世后，黎应南“谨遵先生遗命，依法推衍”。于1819年将《方程论》全部完成。李锐的科学著作，主要的都被收集在《李氏遗书》之中。该书初刊于嘉庆年间，共11种18卷，其子目为：《召浩曰名考》、《三统术注》、《四分术注》、《乾象术注》、《奉元术注》、《占天术注》、《日法朔余强弱考》、《方程新术革》、《勾股算术细草》、《弧矢算术细草》、《开方说》。此外，他还著有《测圆海镜细草》、《缉古算经细草》、《补宋金六家术》；《回回历元考》等书。李锐在其学术活动中集继承与创造于一身。他对数学的贡献，主要有以下四个方面：编纂《畴人传》《畴人传》是一部以历法沿革为主线，以人物为核心的大型天文、数学家传记，共收录自远古至清初的中外历算家316人。每一人物均由“传”、“论”两部分组成：“传”主要是原始文献的荟萃、“论”是编者对传主的简短评语。没有对中国古代天文、数学的全面了解和博览群书的条件，是很难胜任这一任务的。李锐正是这部书的总体设计者和主要执笔人。作为该书名义上主编的阮元，提到其编辑过程时自云“供职内外，公事频繁”，而“元和学生李锐暨台州学生周治平力居多”。类似的话在他为罗士林《续畴人传》写的序言和应李锐子可玖写的传记中都一再重复。阮元以地方长官的身份办学刻书，先后冠其名出版的《经籍纂诂》，《十三经注疏》、《皇清经解》等大部头经学著作无不出自其幕宾之手，此情自可推论到《畴人传》上。阮自称“本昧于天算”，又认定李锐“深于天算术。江以南第一人也”，因而将《畴人传》的具体工作交李锐来于是十分可能的。从该书的具体内容来看，“张寿王”“刘洪”“马显”“昭素”“周踪”“刘孝荣”“卫朴”“姚舜辅”“蒋友仁”“王孝通”“李德卿”“谭玉”“杨级”“耶律履”“贝琳”传都与李锐有关著作中的文字完全相同；“虞刘”“王处钠”论中亦可见到“李尚之锐曰”等字样，因而早就有人说：“(畴人传)正传成于阮氏，实乃元和李氏之笔”。整理古算书乾隆年间编纂《四库全书》，一大批久经埋没的珍贵古代学经典得以重见天日，戴震、阮元、张敦仁等人都曾致力于罗各种“算经十书”和宋元数学名著。然而这些古书历经辗传抄或翻刻，讹文夺字迭出，所用术语又往往与当时的不同，而校勘和注释的任务是相当艰巨的。《九章算术》是中国古代数学的代表作，现在公认早期最的校注工作是1820年出版的李潢之《九章算术细草图说》。而早在此之前，李锐就已先后完成《勾股算术细草》和《方新术草》二书，书成后都曾送李潢过目，有李潢的信为证：“读大著《方程新术草》一卷，正负相当各率，正从前传刻之误，阐古人未发之覆，愉快弥日。《股(算术)细草》，前岁(1807)古愚太守(即张敦仁)见。惠一本，条段各图，细入毫芒，真精思大力之作也。”对照李潢和李锐关于勾股定理及其应用的说明，不难发现二者所用“条段各图”几乎雷同，尤其是李潢书中关于刘微用“出入相补”法证明勾股定理的一段说明显然是完全照搬李锐的。李潢书中关于“方程新术”的解释，基本上也是因袭李锐的著作。李锐也曾撰写《海岛算经细草》和《缉古算术衍》、二书均已失传。但张敦仁有《缉古算术细草》传世，李锐曾为之算校并作跋，有人“疑此细草即以《缉古算术衍》为兰本，而扩其意耳。”李锐又协助张敦仁完成《求一算术》和《开方补记》二书。李锐还曾整理过《孙子算经》、《测圆海镜》、《益古演段》、《数书九章》、《四元玉鉴》、《杨辉算法》等。疏解调日法和求一术调日法是中国古代天文学家用分数来近似表达天文基本数据的一种数理方法，但是“元明以来畴人子弟，罔识古义，竞天知其说者。”李锐在读《宋书?律历志》的时候，注意到其中周琼转述“宋世何承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法”的意义，他解释道：何氏以26/49和19/17为上、下限，将朔望月的奇零部分表示为(26×15＋9×1)/(49×15＋17×1)＝399/752，即选取强、弱二率适当的加权平均来近似表达观测值，这就是调日法的本质。上述分数中分子叫作朔余，分母叫作日法。以此为契机，李锐对51家古代历法进行了考察，试图将每一历法所给出的日法和朔余二值表示成上述带权加成的形式，并以此推测它们是否应用调日法而来。这一工作使调日法这-古代分数近似法重新受到重视，被人称为“尤为抉尽间奥，皆必传之作，不但与秦氏书为羽翼也。”但是从现代数学的观点来看，位于两个既约分数之间的任何分数都可以表示为它们二者的带权加成形式，因此仅以此来判定古代历法的数据系由调日法而来是欠严谨的。况且由于精度所限和运算之繁复，古代制历者也不大可能全用这种累乘累加的方法来确定其日法和朔余。李锐大约感到了后一困难，他又创造了一种“有日法求强弱(数)”的方法，其目的仍然是将朔余与日法的比值表示为26/49和9/17的带权加成。若以A表示日法，x和y分别表示强、弱二数，李锐提出的问题相当与求解二元一次不定方程：47x＋17y＝A，其术文提供了一种依赖于求一术的简捷算法，从而在中国数学史上第一次沟通了二元一次不定方程与同余式组这两类问题之间的联系。研究代数方程论李锐对代数方程论的兴趣发轫于对秦九韶、李冶等末元数学家著作的整理与研习，但其直接导因却是汪莱在《衡斋算学》第五册中对各类方程是否仅有一个正根的讨论。在为汪莱所作的跋文中，他将汪莱所得到的96条“知不知”归纳为三条判定准则，其中第一条相当于说系数序列有一次变号的方程只有一个正根，第三条相当于说系数序列有偶数次变号的方程不会只有一个正根；它们与16世纪意大利数学家卡当提出的两个命题十分相似。在《开方说》中，李锐则给出了更一般的陈述：“凡上负、下正，可开一数”，“上负、中正、下负，可开二数”，“上负、次正、次负、下正，可开三数或一数”，“上负、次正、次负、次正、下负，可开四数或二数”；推而广之，他的意思相当于说：(实系数)数字方程所具有的正根个数等于其系数符号序列的变化数或者比此变化数少2(精确的陈述应为“少一个偶数”)。这一认识与法国数学家笛卡儿于1637年提出的判别方程正根个数的符号法则是不分伯仲的。除了关于方程正根个数的判定法则之外，《开方说》中还有许多其他的重要成果。例如李锐首先引进了负根和重根的概念；他又将方程的非正数解称为“无数”，并声称“凡无数必两，无一无数者”，这里隐约含着虚根共扼出现的思想。李锐又在整数范围内讨论了二次方程和双二次方程无实根的判别条件，创造了先求出一根首位再由变形方程续求其余位数字和其余根的“代开法”，还对末元算书中所包含的各种方程变形法，如倍根变形、缩根变形、减根变形、负根变形，逐一进行了解释并加以完善。所有这些内容，标志着李锐在方程论领域的工作突破了中国古典代数学的窠臼，成为清代数学史上一个引人注目的理论成果。