高一数学集合的基本运算

在数学上，基数(cardinalnumber)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作(或｜A｜，或cardA)。这样，当A与B同属一个类时，A与B就有相同的基数，即|A|=|B|。而当A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致。空集的基数也记作σ。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，即|A|＝a，|B|＝β，如果A与B的某个子集对等，就称A的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。如果a≤β，但a≠β（即A与B不对等），就称A的基数小于B的基数，记作a＜β，或β＞a。在承认策梅罗(Zermelo)选择公理的情况下，可以证明基数的三岐性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小，即不存在集合A和B，使得A不能与B的任何子集对等，B也不能与A的任何子集对等。基数可以进行运算。设|A|＝a，|A|＝β，且A∩B是空集，则规定为a与β之和记作＝a＋β。设|A|＝a，|B|＝β，A×B为A与B的积集，规定为a与β的积，记作＝a·β。

以点O为圆心，3为半径的圆。点的集合可以理解为一个点在运动时留下的痕迹，或者一个点运动时的轨道，平面a内与一定点o距离等于5cm的点的集合，可以理解成：在一个名称叫做a的平面之内，有一个点在运动，这个点在运动时，始终保持到一个固定的点的距离不变（相等）。于是很容易想象得到：这个动点运动的轨道是：以定点为圆心，以5cm为半径的一个圆。高中会学到一个图形中有两个平面，所以要给平面一个名称和记号，如平面a，平面abcd等等。基数集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y。②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。

基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，两个对等的集合。基数概念由康托尔(Cantor，G.F.P.)首先提出的。他认为集合A的基数是一切与A有等势关系的集都具有的共同特征，是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果，所以用A＝表示(现在较多用|A|表示).弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与罗素(Russell，B.A.W.)分别在1884年与1902年把A＝定义为所有与A等势的集合所成之集，即A＝＝{B|B～A}。扩展资料对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，|A|=a，|B|=β，A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β。在现代公理集合论中普遍采用这一定义，两个集合A与B具有相同基数，当且仅当A～B。所有基数组成的类记为card，每个自然数都是初始序数。所以自然数都是基数，以自然数为基数的集合称为有限集，否则称为无限集，无穷集合的基数用希伯来字母。

集合间的关系有“包含”关系——子集、不含任何元素的集合——空集、真子集等。子集如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，则A⊆B或B⊇A。真子集如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集。记作A⊊B（或B⊋A）。非空真子集如果集合A⊊B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集。全集如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（通常也把给定的集合称为全集），通常记作U。集合的表示方法1、列举法列举法就是将集合的元素逐一列举出来的方式。例如，光学中的三原色可以用集合｛红，绿，蓝｝表示；由四个字母a,b,c,d组成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。列举法还包括尽管集合的元素无法一一列举，但可以将它们的变化规律表示出来的情况。2、描述法描述法的形式为｛代表元素｜满足的性质｝。设集合S是由具有某种性质P的元素全体所构成的，则可以采用描述集合中元素公共属性的方法来表示集合：S={x|P(x)}。

（1）幂集是：{{∅},{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}基是4（2）幂集是：{{∅}}基是1幂集的基就是2^k,k是原集合的基P.S.不要被题目的表述迷惑啦,把元素都看成A,B,C,"""或者小猫,小狗,"""按定义来就好

假设有 n 个集合 A1, A2, ..., An，它们的合取（intersection）可以表示为 A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An。合取表示为所有集合中都包含的元素。为了求出合取的基数，我们可以对于每个集合求出它的基数，然后将这些基数相乘。例如，假设有三个集合 A, B, C，A 的基数为 a，B 的基数为 b，C 的基数为 c，那么 A ∩ B ∩ C 的基数为 a * b * c。因此，求出 n 个集合的合取的基数，可以先求出每个集合的基数，然后将它们相乘。

集合的基数即其中的元素个数显然这个集合里元素就是x=2，3，4只有3个元素于是此集合的基数为3

1.∈;∈;∈;最后一个(包含);最后第二个(包含于);最后第二个(包含于);2.没有元素x,使x∈A与x∈B同时成立.即x∈A与x∈B的交集为空集所以有两种情况第一种B为空集m+1>2m+1求出m范围第二种B不为空集此时又分两种情况1.2m+1<-2且m+1≤2m+1求出m范围2.m+1>5且m+1≤2m+1求出m范围最后求m的并集3.A有3种{1，2，3}{1，2，4}{1，2，3，4}

　　集合间的关系有“包含”关系--子集，不含任何元素的集合--空集、真子集等。一般我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，元素与集合的关系有“属于(∈、∋)”与“不属于(∉、∌)”两种。　　集合间的关系 　　子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集。符号语言：若任意a∈A，均有a∈B，则A⊆B或B⊇A。 　　真子集：如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A与集合B有真包含关系，集合A是集合B的真子集。记作A⊊B(或B⊋A)。　　空集：不含任何元素的集合叫做空集，空集是一切集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。空集不是无；它是内部没有元素的集合。

1、任何两个集合都有包含关系。 2、任何两个元素都有顺序关系。 3、对任何两个集合而言，都有一对应关系。 4、任何两个集合都有交集关系。 5、任意两个集合都有并集关系。 6、对任意两个集合而言，都有逆集关系。集合之所以能成为集合，是因为有上面这些关系的存在，这些关系是集合的本质。如果一个集合不具备上面的关系，那么这个集合就不是集合。 7、集合的元素是集合中的一个对象。 8、对于任意两个集合而言，都可以找到一个元素与其对应。 9、对于任意两个集合而言，都可以找到两个元素与其对应。 10、对于任意两个集合而言，都可以找到三个元素与其对应。

指若干具有共同属性的事物的总体。如全部自然数就成一个自然数的集合，一个单位的全体人员就成一个该单位全体人员的集合。简称“集”。　　集合是指具有某种性质的事物的总体。集合运算法则　　并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。差集表示　　交集：由属于A且属于B的元素组成的集合，记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}集合性质　　若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B集合交换律　　A∩B=B∩A　　A∪B=B∪A　　集合结合律　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C)　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C)　　集合分配对偶律　　A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)　　A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)　　集合对偶律　　（A∪B)^C=A^C∩B^C　　（A∩B)^C=A^C∪B^C　　集合的摩根律集合　　Cu(A∩B)=CuA∪CuB　　Cu(A∪B)=CuA∩CuB　集合吸收律　　A∪(A∩B)=A　　A∩(A∪B)=A　　集合求补律　　A∪CuA=U　　A∩CuA=Φ

不太清楚

Y={2,3,5,7},|x|=9,|y|=4,(a)|X∪Y|=|X|=9,(b)|X∩Y|=|Y|=4,(c)X ⊕Y={1,4,6,7,8,9},基数为5，(d) X Y={1,4,6,7,8,9}，基数为5.(e) Y X=Φ，基数为0.

集合的基本运算：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。1、交集：在集合论中，让a和B是两个集合。由属于集合a和B的所有元素组成的集合称为集合a和集合B的交集，表示为a∩B。2、并集：给定两个集合a和B，其所有元素的并集称为集合a和集合B的并集，表示为a∪B，读作a和B。3、子集：子集是一个数学概念：如果集合a的任何元素是集合B的元素，则集合a称为集合B的子集。手语：如果∀a∈a，则所有a∈B，则a⊆B。

在数学上,基数（cardinal number)也叫势(cardinality),指 集合论 中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念. 这是百科上的解释,应该内存,你的解释哪里看的,貌似有问题噢

集合的三大特征：(1) 确定性：对于任意一个元素,要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合,二者必居其一(2) 互异性：同一个集合中的元素是互不相同的(3) 无序性：任意改变集合中元素的排列次序,它们仍然表示同一个集合可参考PPT ，详见http://wenku.baidu.com/link?url=DaJmqLIn8rffUunRuB2J7S5KJwaUpusjWB6XlmUsTYLG3pPeiX-1WPl-gE99lN4W4mzpW2luSpRsNqZ7SMwpY1wRv8FqoYUsCEJR29fx_1O

基说就是1、2、3、4、5、表示多少，个数的。相对的序数就是第一第二第三的表示顺序的。明白了吗

这是数学中用来描述一个集合中元素数量的一个量，称为集合的基数。集合的基数一般用于对有限集合的刻画，对于无限

空集是任何集合的子集，空集是任意非空集合的真子集

在数学上，基数(cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一 一对应，是两个对等的集合。根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类 。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作(或｜A｜，或cardA)。这样，当A 与B同属一个类时，A与B 就有相同的基数，即。而当 A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。即。 如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集�的基数也记作σ 。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同，即。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，即＝a，＝β，如果A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A与B不对等 ），就称A的基数小于B的基数，记作a＜β，或β＞a。基数可以进行运算 。设＝a ，＝β，且 A∩B＝，则规定为a 与β之和记作＝a ＋β。设＝a，＝β，A×B为 A与B的积集，规定为 a 与β的积，记作＝a·β。

集合是个描述性的概念，只需理解即可。具有确定性，互异性，无序性。会表示即可。尤其是数集和点集。

这就扯到集合论了。我们之所以讨论无穷集合的基数，是因为我们想比较两个无穷集合的大小关系，所以严格来说并不是用数有多少东西在里面来定义的（有限的当然可以）。简单来说会是通过接受Axiom of Choice（这是公理，然而你可以不接受，不接受的话下列的说法就不成立），我们可以构造一个定义在此集合上的选择函数，通过它可以严格说明什么是无穷（这个是个不严谨的说法，但简单理解）

　　高一数学集合间的基本关系知识点 　　集合知识点总结 　　知识点包括集合的概念、集合元素的特性、集合的表示方法、常见的特殊集合、集合的分类和集合间的基本关系等知识点，除了集合的表示方法中的描述法较难理解，其它的都多是好理解的知识，只需加强记忆。 　　一、集合有关概念 　　1、集合的含义 　　2、集合中元素的三个特性： 确定性、互异性、无序性。 　　整数集Z (包括负整数、零和正整数) (4)有理数集Q (5)实数集R 　　6、集合的分类： (1)有限集;(2)无限集;(3)空集 。 　　二、集合间的基本关系 　　1、子集 　　2、真子集 　　3、空集 　　集合考法 　　集合是学习函数的基础知识，在段考和高考中是必考内容。在段考中多考查集合间的子集和真子集关系，在高考中也是不可少的考查内容，多以选择题和填空题的形式出现，经常出现在选择填空题的前几小题，难度不大。主要与函数和方程、不等式联合考查的集合的表示方法和集合间的基本关系。 　　误区提醒 　　2、集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 　　3、集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。 　　4、集合的运算注意端点的取等问题。最好是直接代入原题检验。 　　5、集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征，尤其是确定性和互异性。在解题中，要注意把握与运用，例如在解答含有参数问题时，千万别忘了检验，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误。 　　【典型例题】 　　集合与集合的关系有“包含”与“不包含”，“相等”三种： 　　1、 子集概念： 　　一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，就说集合B包含A，记作AB(或说A包含于B)， 　　也可记为BA(B包含A)，此时说A是B的子集;A不是B的子集，记作A 　　B，读作A不包含于B 　　2、集合相等： 　　对于集合A和B，如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，即集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，我么就说集合A和集合B相等，记作A=B 　　3、真子集： 　　对于集合A与B，如果AB并且A≠B，则集合A是集合B的真子集，记作 　　，读作A真包含于B(B真包含A) 　　集合间基本关系： 　　性质1： 　　(1)空集是任何集合的子集，即A; 　　(2)空集是任何非空集合的真子集; 　　(3)传递性：AB，BCAC;AB，BCAC; 　　(4)AB，BAA=B。 　　性质2： 　　子集个数的运算：含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 　　集合间基本关系性质： 　　(1)空集是任何集合的子集，即A; 　　(2)空集是任何非空集合的真子集; 　　(3)传递性 　　： 　　(4)集合相等 　　： 　　(5)含n个元素的集合A的子集有2n个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个。 　　高一数学统计练习题和答案解析 　　第Ⅰ卷(选择题，共50分) 　　一、选择题：本大题共10小题，共50分. 　　1.一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表 　　组别 (0,10] (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70] 　　频数 12 13 24 15 16 13 7 　　则样本数据落在(10,40]上的频率为(　　) 　　A.0.13　 　 B.0.39 　　C.0. 52　 　 D.0.64 　　解析：由题意知频数在(10,40]的有13+24+15=52. 　　故 频率=52100=0.5 2. 　　答案：C 　　2.某大学教学系共有本科生5 000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为(　　) 　　A.80 B.40 　　C.60 D.20 　　解析：应抽取三年级的学生数为200×210=40. 　　答案：B 　　3.(2013•湖南卷)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=(　　) 　　A.9 B.10 　　C.12 D.13 　　解析：由分层抽样的含义可得，60120+80+60=3n，所以n=13. 　　答案：D 　　4.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是(　　) 　　A.63 B.64 　　C.65 D.66 　　解析：甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数分别是36和27，则中位数之和是36+27=63. 　　答案：A 　　5.某题的得分情况如下： 　　得分(分 ) 0 1 2 3 4 　　频率(%) 37.0 8.6 6.0 28.2 20.2 　　其中众数是(　　) 　　A.37.0% B.20.2% 　　C.0分 D.4分 　　解析：由于众数出现的频率最大，所以众数是0分. 　　答案：C 　　6.(2013•江西卷)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　) 　　A.08 B.07 　　C.02 D.01 　　解析：从左到右符合题意的5个数分别为：08,02,14,07,01，故第5个数为01. 　　答案：D 　　7.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下： 　　90　89　90　95　93　94　93 　　去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为(　　) 　　A.92,2 B.92,2.8 　　C.93,2 D.93,2.8 　　解析：去掉最高分9 5和最低分89后，剩余数据的平均数为x=90+90+93+94+935=92， 　　方差为s2=15×[(92-90)2+(92-90)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=15×(4+4+1+4+1)=2.8. 　　答案：B 　　8.(2013•辽宁卷)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　) 　　A.45 B.50 　　C.55 D.60 　　解析：由图知低于60分的频率为0.005×20+0.01×20=0.3，故总学生数为150.3=50人，故选B.

上了高中你就知道了。。第一章第一节。。

简单地说，我们把一个集合中元素的个数称为该集合的基数。用严密的语言来定义，如果 是有限集，并且 ,则记 的基数为 ，或写为 ；若 是可数集，则记 ；若 有连续统势，则记 . 由上述的定义,对每一个正整数 ,有 . 由此可以得出 定理 ：设 是三个集，满足 若 ,则 .这个定理可以理解为集合基数的“夹逼准则”. 例1： 上的连续函数全体有连续统势 . 证明： 令 是 上连续函数全体. 一方面，对任何实数 是 中的元.(换句话说，建立了实数和 上常函数的双射).因此 . 另一方面，令 是 中有理数全体，并对每一个 ，构造实数列 由于 中的元是连续的，所以对 中两个不同的元，所对应的实数列也不同.这样 与实数列的一个子集等价.从而 . 再由 . . 我们知道如果一个有限集 有 个元素，则 的子集全体共有 个元素.类比可知，如果集 的基数为 ,我们把 的子集构成的集族的基数记为 .例如我们已经证明可数集的子集全体具有连续统势，所以我们可以写 . 下面的定理说明,不存在基数最大的集. 定理: 证明: 设集 的基数为 .由定义，集 的所有子集构成的集合 的基数为 . 显然, 与 的子集 是等价的,因此 .因此我们只需要证明 与 不等价. 用反证法,假设 与 等价,于是存在双射 此时对每一个 是 的一个子集.令 因为 是满射，所以对 的上述子集 ,应有 使 . 若 ,则 ，矛盾； 若 ，矛盾; 由此说明 与 不可能等价. 定理证毕.

一个等价类

集合运算是实体造型系统中非常重要的模块，也是一种非常有效的构造形体的方法。从一维几何元素到三维几何元素，人们针对不同的情况和应用要求，提出了不少集合运算算法。在早期的造型系统中，处理的对象是正则形体，因此定义了正则形体集合运算，来保证正则形体在集合运算下是封闭的。在非正则形体造型中，参与集合运算的形体可以是体、面、边、点，运算的结果也是这些形体，这就要求集合运算算法中能统一处理这些不同维数的形体，因此需要引入非正则形体运算。

割点：对于连通图中的一个点，如果去掉这个点后，原来的图变成非连通图，那么这个点就称为原图的一个割点。点割集：对与连通的的一个点集合A，如果

并集，交集，补集

基数是一个数学术语。基数在数学上，是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作|A|（或cardA)。这样，当A 与B同属一个类时，A与B 就有相同的基数，即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。扩展资料：基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，即|A|=a，|B|=β，如果A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β，或β≥a。如果 a≤ β，但a≠β（ 即A与B不对等 ），就称A的基数小于B的基数，记作a<β，或β>a。在承认选择公理的情况下，可以证明基数的三歧性定理——任何两个集合的基数都可以比较大小，即不存在集合A和B，使得A不能与B的任何子集对等，B也不能与A的任何子集对等。

1、穷举法，就是把集合中的元素全部表示出来，如{1,2}2、表达式法，如{x|x>1}3、图示法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}。基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。

1.∈;∈;∈;最后一个(包含);最后第二个(包含于);最后第二个(包含于);2.没有元素x,使x∈A与x∈B同时成立.即x∈A与x∈B的交集为空集所以有两种情况第一种B为空集m+1>2m+1求出m范围第二种B不为空集此时又分两种情况1.2m+1<-2且m+1≤2m+1求出m范围2.m+1>5且m+1≤2m+1求出m范围最后求m的并集3.A有3种{1，2，3}{1，2，4}{1，2，3，4}

Sorry.

（1）幂集是： {{∅},{1},{{2,3}},{1,{2,3}}} 基是4 （2）幂集是： {{∅}} 基是1 幂集的基就是2^k,k是原集合的基 P.S.不要被题目的表述迷惑啦,把元素都看成A,B,C,"""或者小猫,小狗,"""按定义来就好

你这里描述的是一个集合：{∅，a,{a}}这个集合有三个元素：1.元素∅，这是一个集合，就是空集2.元素a，这是一个元素3,元素{a}，这是一个集合，集合的元素是a这个集合的基数是3

不知道你的集合是不是这两个1、{ φ，a，{b} }2、{{1，{2,3}}}^21、集合三个元素φ，a，{b} ，也就是基数为3. 它的幂集为：{空集，{φ}，{a}，{{b}}，{φ，a}，{φ，{b} }，{a，{b} } ，{φ，a，{b} }}2、集合元素是集合{{1，{2,3}}}的笛卡尔积 ( {1，{2,3}}, {1，{2,3}} )， 只有一个元素，基数为1 他的幂集为：{空集，{( {1，{2,3}}, {1，{2,3}} ) } } 注：对于有限集来说，基数就是它的元素个数。 集合A的幂集是A所有子集组成的集合 笛卡尔积的例子： 若A={a}，则A^2=A×A={(a,a)} 若A={a,b}，则A^2=A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，两个对等的集合。基数概念由康托尔(Cantor，G.F.P.)首先提出的。他认为集合A的基数是一切与A有等势关系的集都具有的共同特征，是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果，所以用A＝表示(现在较多用|A|表示).弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与罗素(Russell，B.A.W.)分别在1884年与1902年把A＝定义为所有与A等势的集合所成之集，即A＝＝{B|B～A}。扩展资料对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，|A|=a，|B|=β，A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β。在现代公理集合论中普遍采用这一定义，两个集合A与B具有相同基数，当且仅当A～B。所有基数组成的类记为card，每个自然数都是初始序数。所以自然数都是基数，以自然数为基数的集合称为有限集，否则称为无限集，无穷集合的基数用希伯来字母。

　　集合是高一数学的学习内容，将集合的知识点归纳总结，也是学习集合的一种方法，下面是我给大家带来的有关于高一集合的基本关系的知识点的具体介绍，希望能够帮助到大家。 　　高一数学集合间的基本关系的知识点介绍 　　1.1.2　集合间的基本关系 　　1.Venn图 　　在数学中，用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 　　比如，中国的直辖市组成的集合为A，用Venn图表示如图所示. 　　【例1】试用Venn图表示集合A={x|x2-16=0}. 　　解：集合A是方程x2-16=0的解集，解方程x2-16=0，得x1=4，x2=-4，所以A={-4,4}，用Venn图表示如图所示. 　　对Venn图的理解　Venn图表示集合直观、明确，封闭曲线可以是矩形、椭圆或圆等等，没有限制. 　　2.子集 　　定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集. 记法 　　与读法 记作AB(或BA)，读作“A含于B”(或“B包含A”). 图示 或 示例 具有北京市东城区户口的人组成集合M，具有北京市户口的人组成集合P，由于任意一个具有北京市东城区户口的人都具有北京市户口，所以有MP. 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即AA. 　　(2)对于集合A，B，C，若AB，且BC，则AC. 对子集的理解　(1)“AB”的含义：若xA就能推出xB. 　　(2)集合A是集合B的子集不能理解为集合A是由集合B中的“部分元素”组成的，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. 　　(3)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作AB或BA. 　　(4)注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N;“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N. 　　【例2-1】已知集合M={0,1}，集合N={0,2,1-m}，若MN，则实数m=__________. 　　解析：由题意知MN，又集合M={0,1}，因此1N，即1-m=1.故m=0. 　　答案：0 　　【例2-2】已知集合M={xZ|-1≤x<3}，N={x|x=|y|，yM}，试判断集合M，N的关系. 　　解：∵xZ，且-1≤x<3， 　　∴x的可能取值为-1,0,1,2. 　　∴M={-1,0,1,2}. 　　又∵yM， 　　∴|y|分别是0,1,2. 　　∴N={0,1,2}. 　　∴NM. 　　3.集合相等 　　如果集合A是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，那么集合A与集合B相等，记作A=B.用Venn图表示如图所示. 　　对集合相等的理解　(1)A=BAB，且BA，这是证明两个集合相等的重要依据; 　　(2)集合相等还可以用元素的观点来定义：只要构成两个集合的元素是一样的，即这两个集合中的元素完全相同，就称这两个集合相等; 　　(3)同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在; 　　(4)集合中的关系与实数中的结论类比 　　实数 集合 a≤b包含两层含义：a=b，或a 　　A.P={1,4,7}，Q={1,4,6} 　　B.P={x|2x+2=0}，Q={-1} 　　C.3P,3Q 　　D.PQ 　　解析：对于A项，7P，而7Q，故P≠Q;对于B项，P={x|2x+2=0}={-1}=Q;对于C项，由3P,3Q，不能确定PQ，QP是否同时成立;对于D项，仅由PQ无法确定P与Q是否相等. 　　答案：B 　　【例3-2】设集合A={x，y}，B={0，x2}，若A=B，求实数x，y的值. 　　解：由集合相等的定义，得或 　　(1)由得x=0，y=0，不满足集合中元素的互异性，故舍去; 　　(2)由得x=0，y=0或x=1，y=0，由(1)知x=0，y=0应舍去，x=1，y=0符合集合中元素的互异性. 　　综上，可得x=1，y=0. 　　4.真子集 　　定义 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我们称集合A是集合B的真子集. 记法 记作AB(或BA). 图示 结论 (1)AB且BC，则AC; 　　(2)AB且A≠B，则AB. 对真子集的理解　(1)若集合A是集合B的子集，则集合A中所有元素都属于集合B，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A; 　　(2)子集包括集合相等与真子集两种情况，真子集是以子集为前提的.若集合A不是集合B的子集，则集合A一定不是集合B的真子集; 　　(3)与任何集合是它自身的子集不同，任何集合都不是它自身的真子集. 　　【例4】已知集合P={2 012,2 013}，Q={2 011,2 012，2 013，2 014}，则有(　　) 　　A.P=Q B.QP 　　C.PQ D.QP 　　解析：很明显，集合P中的元素都属于集合Q，则PQ，但是2 014Q,2 014P，所以PQ. 　　答案：C 　　5.空集 　　定义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集. 记法 规定 空集是任何集合的子集，即A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身， 　　(2)是任何非空集合的真子集，即若A≠，则A {0}与的区别 　　{0}与 　　的区别 {0}是含有一个元素的集合 是不含任何元素的集合，因此{0}，注意不能写成={0}，{0} 【例5-1】下列集合为空集的是(　　) 　　A.{0} B.{1} 　　C.{x|x<0} D.{x|1+x2=0} 　　解析：很明显{0}和{1}都不是空集;因为{x|x<0}是全体负数组成的集合，所以{x|x<0}也不是空集;集合{x|1+x2=0}是一元二次方程1+x2=0的解集，但是方程1+x2=0无实数解，所以{x|1+x2=0}=. 　　答案：D 　　【例5-2】有下列命题：①空集没有子集;②任一集合至少有两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若A，则A≠.其中正确的有(　　) 　　A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 　　解析：对于①，空集是任何集合的子集，故，①错;对于②，只有一个子集，是其自身，②错;对于③，空集不是空集的真子集，③错;空集是任何非空集合的真子集，④正确. 　　答案：B 　　6.集合间的关系判断 　　(1)集合A，B间的关系 　　(2)判断两集合间关系的关键是弄清所给集合是由哪些元素组成的，也就是把抽象的集合具体化，这就要求熟练地用自然语言、符号语言(列举法和描述法)、图形语言(Venn图)来表示集合. 　　(3)判断集合间的关系，其方法主要有三种： 　　①一一列举观察; 　　②集合元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. 　　一般地，设集合A={x|p(x)}，B={x|q(x)}，若p(x)推出q(x)，则AB;若q(x)推出p(x)，则BA;若p(x)，q(x)互相推出，则A=B;若p(x)推不出q(x)，q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系. 　　③数形结合法：利用数轴或Venn图. 　　(4)当MN和MN均成立时，MN比MN更准确地反映了集合M和N的关系.当MN和M=N均成立时，M=N比MN更准确地反映了集合M和N的关系. 　　例如，集合M={1}，集合N={1,2}，这时MN和MN均成立，MN比MN更准确地反映了集合M={1}和集合N={1,2}的关系.又例如，集合M={3}，集合N={3}，这时MN，NM，M=N均成立，M=N比MN更准确地反映了集合M={3}和集合N={3}的关系.【例6-1】指出下列各对集合之间的关系： 　　(1)A={-1,1}，B={(-1，-1)，(-1,1)，(1，-1)，(1,1)}; 　　(2)A={x|x是等边三角形}，B={x|x是等腰三角形}; 　　(3)A={x|-1 　　(4)M={x|x=2n-1，nN*}，N={x|x=2n+1，nN*}. 　　分析：先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系. 　　解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系. 　　(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB. 　　(3)集合B={x|x<5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知AB. 　　(4)由列举法知M={1,3,5,7，…}，N={3,5,7,9，…}，故NM. 　　怎样用数轴表示集合　对于连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合表示的图示法.注意在数轴上，若端点值是集合的元素，则用实心点表示;若端点值不是集合的元素，则用空心点表示. 　　【例6-2】已知集合，，则集合M，N的关系是(　　) 　　A.MNB.MN 　　C.NMD.NM 　　解析：设n=2m或2m+1，mZ， 　　则有 　　. 　　又∵， 　　∴MN. 　　答案：B 　　7.求已知集合的子集(或真子集) 　　(1)在写出某个集合的子集时，可以按照集合中元素的个数从无到有、从少到多的顺序依次写出，要做到不重不漏.一定要考虑这一特殊的集合，因为是任何集合的子集;若是要求写出某个集合的真子集，则不能将集合自身计算在内，因为任何一个集合都是它自身的子集，但不是它自身的真子集. 　　例如：写出集合{1,2,3}的所有子集和真子集.我们可以按照元素个数从少到多依次写出，其中元素个数分别为0,1,2,3.可以得到集合{1,2,3}的所有子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3};所有真子集为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}. 　　(2)当集合A中含有n个元素时，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1，非空子集的个数为2n-1，非空真子集的个数为2n-2. 　　【例7-1】已知集合M满足{1,2}M{1,2,3,4,5}，请写出集合M. 　　分析：根据题目给出的条件可知，集合M中至少含有元素1,2，至多含有元素1,2,3,4,5，且M中必须含有元素1,2，故可按M中所含元素的个数分类写出集合M. 　　解：(1)当M中含有两个元素时，M为{1,2}; 　　(2)当M中含有三个元素时，M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1，2,5}; 　　(3)当M中含有四个元素时，M为{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}; 　　(4)当M中含有五个元素时，M为{1,2,3,4,5}. 　　因此满足条件的集合M为：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}. 　　有限集合子集的确定技巧　(1)确定所求的集合; 　　(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出; 　　(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合自身，看它们是否能取到. 　　【例7-2】设集合A={a，b，c}，B={T|TA}，求集合B. 　　解：∵A={a，b，c}，又TA， 　　∴T可能为，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}. 　　∴B={，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}}. 　　【例7-3】已知集合A={1,3,5}，求集合A的所有子集的元素之和. 　　解：集合A的子集分别是：，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}.注意到A中的每个元素分别出现在A的4个子集中，即在其和中出现4次.故所求之和为(1+3+5)×4=36. 　　集合所有子集的元素之和的计算公式　若集合A={a1，a2，a3，…，an}，则A的所有子集的元素之和为(a1+a2+…+an)·2n-1. 　　8.集合间的基本关系与方程的综合问题 　　集合间的基本关系与方程的综合问题，通常是已知两个表示方程解集的集合间的关系，求方程中未知参数的取值范围.解决此类问题应注意： 　　(1)要明确表示方程解集的集合中哪个字母是方程中的未知数.集合{x|f(x)=0}表示关于x的方程的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如集合{x|mx2-x+23=0}表示关于x的方程mx2-x+23=0的解集，其中x是未知数，m是常数.此方程易错认为是一元二次方程，其原因是忽视了其中的参数m的取值.当m=0时，该方程为-x+23=0，是一元一次方程;当m≠0时，该方程为mx2-x+23=0，此时才是关于x的一元二次方程. 　　(2)正确理解集合包含关系的含义，特别是AB的含义.当B≠时，对于AB，通常要分A=和A≠两种情况进行讨论，此时，容易忽视A=的情况. 　　(3)对于二次项系数中含有参数的方程的解集问题，注意要对二次项系数是否为零进行讨论.【例8-1】若集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}且BA，求m的值. 　　分析：由于BA，因此集合B的所有元素都是集合A的元素，但由于集合B的元素x满足mx+1=0，又字母m的范围不明确，m是否为0题目没有明示，因此要进行分类讨论.本题应弄清楚两个问题：一是集合B有没有元素;二是集合B有元素时，元素是什么. 　　解：A={x|x2+x-6=0}={-3,2}. 　　因为BA，所以方程mx+1=0的解可以是-3或2或无解. 　　当mx+1=0的解为-3时，由-3m+1=0得; 　　当mx+1=0的解为2时，由2m+1=0得; 　　当mx+1=0无解时，m=0. 　　综上可知，m的值为或或0. 　　【例8-2】设集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}，若BA，求实数a的值或取值范围. 　　解：由题意得A={0，-4}，BA. 　　(1)当A=B时，即B={0，-4}. 　　由此知，0，-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根， 　　由韦达定理知解得a=1. 　　(2)当B=时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0，解得a<-1. 　　(3)当B为单元素集时，Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0，解得a=-1. 　　当a=-1时，B={x|x2=0}={0}A，满足条件. 　　综上所述，所求实数a的取值范围为a≤-1或a=1.9.集合间的基本关系与不等式的综合问题 　　用图形来表示数，形象而直观，因此数形结合的思想在数学中广泛应用.数轴是表示实数的，任何一个实数在数轴上均可用一个点来表示，反之，数轴上任何一点都代表一个实数，在数轴上表示一个不等式的取值范围，形象而直观. 　　在数轴上表示集合时，要注意端点用实心点还是空心点，若包含端点，则用实心点表示，若不包含端点，则用空心点表示. 　　集合间的基本关系与不等式的综合问题，通常是已知两个不等式解集的关系，求不等式中参数的值(或取值范围)，解决此类问题应注意： 　　(1)要明确表示不等式解集的集合中哪个字母是不等式的未知数.集合{x|f(x)>0}，{x|f(x)<0}，{x|f(x)≥0}，{x|f(x)≤0}均表示关于x的不等式的解集，x是未知数，其他字母是常数.例如，集合{x|-nx+3<0}表示关于x的不等式-nx+3<0的解集，x是未知数，n是常数.这个方程易错认为是一元一次不等式，其原因是忽视了其中的参数n的取值.当n=0时，该不等式为3<0，不是一元一次不等式;当n≠0时，该不等式才是关于x的一元一次不等式. 　　(2)用不等号连接的式子称为不等式，例如2<3和3<2都是不等式，有了这种对不等式概念的正确理解就不会认为m+1 　　分析：集合A中是一个用具体数字表示的不等式，集合B中是一个用字母m表示的不等式，集合A给出的不等式在数轴上表示为-2到5的线段(去掉两个端点)，集合B给出的不等式，m+1与2m-1的大小关系有两种情形：当m+1≥2m-1时x，所以BA一定成立;当m+1<2m-1时，可借助于数轴来分析解决. 　　解：∵BA，A≠，∴B=或B≠. 　　当B=时，m+1≥2m-1，解得m≤2. 　　B≠时，如数轴所示. 　　则有解得 　　因此2 　　综上所述，m的取值范围为m≤2或2 　　【例9-2】已知集合A={x|x<-1，或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若BA，求实数a的取值范围. 　　分析：对集合B是否为空集进行分类讨论求解. 　　解：当B=时，只需2a>a+3，即a>3; 　　当B≠时，根据题意作出如图所示的数轴， 　　可得或解得a<-4或2 　　综上可得，实数a的取值范围为a<-4或a>2. 　　利用子集关系求参数时易疏忽端点的验证　利用子集关系求参数的问题，在借助数轴分析时，要注意验证参数能否取到端点值.例如本题中在B≠时，解得a<-4或2

集合简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。集合论的基本理论创立于19世纪，关于集合的最简单的说法就是在朴素集合论中的定义，即集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。

集合（简称集）是数学中一个基本概念，它是集合论的研究对象，集合论的基本理论直到19世纪才被创立。最简单的说法，即是在最原始的集合论——朴素集合论中的定义，集合就是“一堆东西”。集合里的“东西”，叫作元素。由一个或多个元素所构成的叫做集合。若x是集合A的元素，则记作x∈A。集合中的元素有三个特征：1.确定性（集合中的元素必须是确定的） 2.互异性（集合中的元素互不相同。例如：集合A={1，a}，则a不能等于1） 3.无序性（集合中的元素没有先后之分）。概念：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素 。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S 。基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集 。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。表示：假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数 [4] 。

不对，不可数集合的基数为c，不可数集合不管并上什么都是不可数集合，所以，A和B至少有一个基数为c

1、穷举法，就是把集合中的元素全部表示出来，如{1,2}2、表达式法，如{x|x>1}3、图示法常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字，符号或式子等描述出来，写在大括号内，这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}。基数：集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。假设有实数x < y：①[x，y] ：方括号表示包括边界，即表示x到y之间的数以及x和y；②(x，y)：小括号是不包括边界，即表示大于x、小于y的数。

定义简介集合论可以看成是逻辑的几何化。集合是最简单的空间。 [8] 概念集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素 [1-2]   [3]  。例如，全中国人的集合，它的元素就是每一个中国人。通常用大写字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小写字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，则称x属于S，记为x∈S。若y不是集合S的元素，则称y不属于S，记为y∉S [2]  。集合的类型有限集和无限集集合中元素的数目称为集合的基数，集合A的基数记作card(A)。当其为有限大时，集合A称为有限集，反之则为无限集。[4]一般的，把含有有限个元素的集合叫做有限集，含无限个元素的集合叫做无限集。[4]空集有一类特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x²+1=0} ，称之为空集，记为∅。空集是个特殊的集合，它有2个特点：空集∅是任意一个非空集合的真子集。空集是任何一个集合的子集 [4]  。集合中元素的特性给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。 [6] 互异性一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。 [6] 无序性一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。 

A=｛1，2｝读做集合A中有1，2元素

列举法:把集合的元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫作列举法。描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法

对于无穷集合，只能说基数是对有限集合中元素个数这个概念的推广，无穷集合有无数个元素，因此如果真的说无穷集合有多少个元素的话，答案应该是无穷大，但是这个答案不利于我们进一步研究无穷集合。特别是，无穷集合的一些性质强烈的暗示同样是无穷集合，但它们所含元素的“多少”是不一样的。为了说清这件事，我们先要学会“数数”，对于两个有限集合，我们考虑元素的多少有两种方法，第一，把两个集合的元素个数分别数出来，再比较大小；第二，我们不用去数个数，只要看两个集合的元素间能不能建立一种一一对应的关系。第一种很好理解，它就是我们平时使用的方法，对于第二种方法，现在可以举一个例子：一个有很多学生的教室，设集合A={教室内的学生}，集合B={教室内的椅子}，现在要比较这两个集合元素的多少，我们可以不去数学生和椅子各有多少，只需让每个学生坐到一把椅子上，如果有的学生没椅子坐，就意味着学生的个数比椅子多，如果有的椅子空着，说明学生的个数比椅子少，如果恰好学生和椅子都没有剩余（这就是学生和椅子之间的一种一一对应关系），就是说学生和椅子的个数一样多。注意整个过程中我们都没有数数，而是通过一一对应来比较元素个数是否一样，这样的方法虽然没有数数的方法常用，但是更容易推广。基数概念就是基于这种想法产生的，例如数学中自然数，有理数和实数都有无穷多个，但是自然数和有理数之间可以建立一一对应关系，而自然数（或有理数）和实数却不能建立一一对应，因此我们就说元素间可以建立一一对应关系的集合有相同的基数，因此自然数集和有理数集有相同的基数，而实数集的基数比自然数和有理数集的基数大。一个非常有名的问题是（连续统假设），在自然数集的基数和实数集的基数之间还存不存在其它的基数，这个问题的研究虽然已经有了很大的进展，但至今仍未圆满解决。

　　数学是一门思维的科学，是高考的重要内容之一，要想学习好高中数学其实并不难。掌握学习方法就好了。以下是我分享给大家的高一数学必修1集合的学习的资料，希望可以帮到你!　　高一数学必修1集合的学习 　　一、第一章节第一单元集合的课标要求： 　　1.合的含义与表示： 　　(1).了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系 　　(2).能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 　　2.集合间的基本关系 　　(1).理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 　　(2).在具体情境中，了解全集与空集的含义. 　　3.集合的基本运算 　　(1).理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集合. 　　(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 　　(3).能使用韦恩图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 　　二、第一章节第一单元集合的学习过程 　　本章知识分为三个小节。对于集合学习时，课堂上重视听课，也就 是紧跟老师的思路，积极展开思维预测与生成.课后复习不留疑点，认真独立完成作业，勤于思考，当然遇到不懂的问题要及时请教消化。在本单元知识学习上要注意如下几个问题： 　　1.元素与集合的表示法及它们之间的关系. 　　2.注意三种语言的相互转换. 　　3.对于集合之间的关系“包含”关系时，特别关注特殊集合.如空集，自然数集等. 　　4.对于集合的运算应当关注全集这一前提.遇到比较难于理解的题目时，我们经常运算“补集”来解决问题. 　　三、第一章节第一单元集合的学习方法 　　在学习集合过程中，方法特别重要.如“复习、预习、作业”三个环节紧紧相扣。当学习一个章节后，进行相应的巩固与拓展.建议在复习时画“知识树状图”，对于不同的题目应当提炼出相应的方法，再过度到数学思想的提升. 　　四、第一章节第一单元集合的知识拓展与生成 　　新知识的接受与数学能力的提升，均是通过数学知识的展开而生成，而数学知识的展开是借助于数学试题而显现的.所以我认为学习重要的是过程，即体验。数学体验的主要方式就是解题，所以下面根据自己的教学经验，以试题的形式，对本部分内容的知识进行拓展与生成. 　　高一数学必修1集合课标要求 　　1. 了角指数函数模型的背景，理解n次方根的概念;掌握n次根式的性质并运用其进行化简求值. 　　2. 理解分数指数幂的含义;掌握分数指数幂的运算性质. 　　3. 了解无理指数幂的含义;掌握分数指数幂与根式的互化;熟练运用有理数指数幂的运算性质进行化简、求值. 　　4. 理解指数函数的概念和意义，能画出指数函数的图像;掌握指数函数的性质. 　　5. 能用指数函数的图像、性质解决一些简单问题;初步会解与指数函数有关的复合函数的值域、单调性、奇偶性等问题. 　　高中数学学习方法 　　第一、转变观念，高一的课程内容不得懈怠 　　我想大家都明白数学的重要性吧。要知道，高考的成与败很大程度上取决于数学成绩的高与低。尤其是高一数学，经验告诉我们，高中阶段的数学学习规律是：“三年发展看高一，高一关键在‘一上"”。打好高一的数学基础，特别是开好“一上”，即高一上学期高中数学学习的“头”，对于顺利完成高中三年的数学学习，打好自己终生发展的基础极为重要。 　　第二、养成良好的数学学习习惯，主要注意以下几个环节 　　1.预习环节 　　课前预习能提高听课的针对性。高中数学与初中数学一个明显的不同是知识内容的“量”上急剧增加了，容量加大了，进度很快，经常是一个知识点刚学得有点入门，马上又有新的知识出现。因此，预习十分重要。应该在老师讲课之前通过自学，对有关知识做到心中有数，完成课后的相关练习。在预习过程中不理解的地方做个记号，这样听课效率就会高很多，不至于在课堂内一知半解。 　　2.听课环节 　　学生的学习主要在课堂，要学好数学，提高数学能力，关键在于提高听课效率： 　　①首先应做好课前的准备，要把课本、笔记本、草稿纸等放在桌子上，上课时不至于出现书、本等丢三落四的现象; 　　②听课重点听分析、思维方法，要全神贯注。全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻地接受老师所要表达的思想。心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。 　　口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。手到：就是在听、看、想、说的基础上划出内容的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。 　　③特别注意老师讲课的开头和结尾 　　老师讲课开头，一般是概括前节课的要点，指出本节课要讲的内容，是把旧知识和新知识联系起来的环节，结尾常常是对一节课所讲知识的归纳总结，具有高度的概括性，是在理解的基础上掌握本节知识方法的纲要。 　　④最后一点就是作好笔记，记笔记是学习过程中的重要环节，它对提高学习效益有不可低估的作用。俗话说“好记性不如烂笔头”。在听课的同时把本节课的重点、难点、典型的例题与教师在课堂中拓展的课外知识及习题记录下来，以备课后复习时用。 　　3.作业环节 　　先看笔记后做作业，作业要独立完成。发下去的作业，不是只注意勾勾叉叉，考试不是关注考多少分，而是对错题要做研究，找出错误的根源，并认真订正。另外，在准确把握住基本知识和方法的基础上，做一定量的练习题，因为没有一定量的练习就不能形成技能，数学离不开做题。无论是作业还是测验，都应把准确性放在第一位，通性通法放在第一位，不能一味地去追求速度或技巧，这是学好数学的重要方法。 　　4.复习环节 　　及时复习，强化对基本概念知识体系的理解与记忆，进行适当的反复巩固，消灭前学后忘。课下首先要做的不是做作业，而是及时复习不留疑点。复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书、笔记合起来回忆上课老师讲的内容，例题、分析问题的思路、方法等，尽量想得完整些。然后打开笔记与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，让当天上课内容巩固下来，该记的内容一定把它背熟，包括概念、图形、性质及规律和数学小结论等。 　　5.总结环节 　　归纳总结是必不可少的，总结的时候，应充分利用教材每章后面的复习小结，可以从基本知识和例题、习题进行总结，要多方位地去探索新旧知识之间的内在联系，从数学知识中提炼、概括出解决问题的一般方法，形成比较有序、完整的知识结构。 　　6.反思环节 　　经常在做题后进行一定的“反思”。通过反思，形成自己的通性、通法，就可以事半功倍，也就掌握了学习数学的技巧。用专业的语言说，就是提高了学生的数学转化能力，使其运用知识、解决问题的能力能够得以提升。 　　7.改错环节 　　一定要重视改错工作，做到错不再犯。具体措施可以建立数学纠错本。把平时容易出错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处隐患，一处“地雷”，迟早要惹祸。 猜你喜欢： 1. 如何学好高中数学 学好高中数学方法 2. 女生怎样学好数学的方法 3. 高一阶段数学学习常见问题及解决 4. 高中数学学习方法 如何学好高中数学 5. 孩子怎么学好高一数学

集合的概念　　某些指定的对象集在一起就是集合。 集合　　一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.一般的，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）.构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 元素与集合的关系　　元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。 集合与集合之间的关系　　某些指定的对象集在一起就成为一个集合 集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。 　　『说明一下：如果集合 A 的所有元素同时都是集合 B 的元素，则 A 称作是 B 的子集，写作 A �6�7 B。若 A 是 B 的子集，且 A 不等于 B，则 A 称作是 B 的真子集，一般写作 A �6�3 B。 中学教材课本里将 �6�3 符号下加了一个 ≠ 符号（如右图）， 不要混淆，考试时还是要以课本为准。 　　所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合集合的三种运算法则　　并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B} 　　交集： 以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B} 　　例如，全集U={1，2，3，4，5} A={1，3，5} B={1，2，5} 。那么因为A和B中都有1,5，所以A∩B={1，5} 。再来看看，他们两个中含有1,2,3,5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A∪B={1，2，3，5}。 图中的阴影部分就是A∩B。 集合　　有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减1再相乘。48个。 　　无限集： 定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集 　　有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n},如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。 　　差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集）。记作：A＼B={x│x∈A,x不属于B}。 　　注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”. 集合　　补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A} 　　空集也被认为是有限集合。 　　例如，全集U={1，2，3，4，5} 而A={1，2，5} 那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。 　　在信息技术当中，常常把CuA写成~A。 集合集合元素的性质　　1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 　　2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 　　3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。 　　4.无序性：{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合。 　　5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x<2}，集合A 中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。 　　6.完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。 集合集合有以下性质　　若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法　　集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则 集合用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。 将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…｝的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 　　常用的有列举法和描述法。 　　1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……} 　　2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π} 　　3.图式法（Venn图）﹕为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。 集合　　4.自然语言 　　常用数集的符号： 　　（1）全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作N 　　（2）非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作N或N* 　　（3）全体整数的集合通常称作整数集，记作Z 　　（4）全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N,且p,q互质} 　　（5）全体实数的集合通常简称实数集，记作R 　　（6）复数集合计作C 　　集合的运算： 　　集合交换律 　　A∩B=B∩A 　　A∪B=B∪A 　　集合结合律 　　(A∩B)∩C=A∩(B∩C) 　　(A∪B)∪C=A∪(B∪C) 　　集合分配律 　　A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 　　A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) 　　集合德.摩根律 集合　　Cu(A∩B)=CuA∪CuB 　　Cu(A∪B)=CuA∩CuB 　　集合“容斥原理” 　　在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3 　　card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B) 　　card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) 　　1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。 　　集合吸收律 　　A∪(A∩B)=A 　　A∩(A∪B)=A 　　集合求补律 　　A∪CuA=U 　　A∩CuA=Φ 　　设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集 　　德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C) 　　A-(B∩C)=（A-B)U(A-C) 　　～（BUC)=~B∩~C 　　～（B∩C)=~BU~C 　　~Φ=E ~E=Φ 　　特殊集合的表示 　　复数集 C 　　 集合　　实数集 R 　　整数集 Z 　　有理数集 Q 　　自然数集 N 　　正整数集N*（N+）

在数学上，基数（cardinal number）是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，是两个对等的集合。根据对等这种关系对集合进行分类，凡是互相对等的集合就划入同一类。这样，每一个集合都被划入了某一类。任意一个集合A所属的类就称为集合A的基数，记作|A|（或cardA)。这样，当A 与B同属一个类时，A与B 就有相同的基数，即|A|=|B|。而当 A与B不同属一个类时，它们的基数也不同。扩展资料如果把单元素集的基数记作1，两个元素的集合的基数记作2，等等，则任一个有限集的基数就与通常意义下的自然数一致 。空集的基数也记作0。于是有限集的基数也就是传统概念下的“个数”。但是，对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。参考资料来源：百度百科：基数

基数是集合论中刻画任意集合大小的一个概念。两个能够建立元素间一一对应的集合称为互相对等集合。例如3个人的集合和3匹马的集合可以建立一一对应，两个对等的集合。基数概念由康托尔(Cantor，G.F.P.)首先提出的。他认为集合A的基数是一切与A有等势关系的集都具有的共同特征，是对A的元素进行属性及次序双重抽象之后的结果，所以用A＝表示(现在较多用|A|表示).弗雷格(Frege，(F.L.)G.)与罗素(Russell，B.A.W.)分别在1884年与1902年把A＝定义为所有与A等势的集合所成之集，即A＝＝{B|B～A}。扩展资料对于无穷集，传统概念没有个数，而按基数概念，无穷集也有基数，例如，任一可数集（也称可列集）与自然数集N有相同的基数，即所有可数集是等基数集。不但如此，还可以证明实数集R与可数集的基数不同。所以集合的基数是个数概念的推广。基数可以比较大小。假设A，B的基数分别是a，β，|A|=a，|B|=β，A与B的某个子集对等，就称 A 的基数不大于B的基数，记作a≤β。在现代公理集合论中普遍采用这一定义，两个集合A与B具有相同基数，当且仅当A～B。所有基数组成的类记为card，每个自然数都是初始序数。所以自然数都是基数，以自然数为基数的集合称为有限集，否则称为无限集，无穷集合的基数用希伯来字母。