数学

性质5讲的是保号性:函数大于零，其积分就大于零

△xi=1/nxi=i/n∫[0~1]x²dx=lim(n→∞)∑f(xi)△xi=lim(n→∞)∑(i/n)²·1/n=lim(n→∞)1/n³·∑i²=lim(n→∞)1/n³·(1²+2²+……+n²)=lim(n→∞)1/n³·1/6·n(n+1)(2n+1)=lim(n→∞)1/6·(1+1/n)(2+1/n)=1/6·1·2=1/3

应该相等

第一题，由于 0<x<1（区间端点可以忽略不计），所以 0<x³<x²<1，所以前面大后面小，填 > .第二题，利用定积分的几何意义，它表示圆心在原点，半径为 2 的圆的上半部分的面积，因此 = 2兀 。第三题，区间长度为 0，因此积分也是 0 。

1.首先、你的推论2不是在条件在区间〔a.b〕上，f(x)≥0下讲述的第二、定积分 ∫（上b下a）f(x)dx并不是表示曲线y=f(x)、x=a、x=b、y=0围成的图形的面积，它表示的值是四者围成的图形中在y=0上方的图形总面积减去其位于y=0下方的图形总面积的值。而 ∫（上b下a）∣∣f(x)∣dx 才是表示曲线y=f(x)、x=a、x=b、y=0围成的图形的面积。所以只要y=f(x)有小于0的部分就有 ∣ ∫（上b下a）f(x)dx∣≤ ∫（上b下a）∣∣f(x)∣dx

一个函数在某个区间上大于等于0，那么这个函数在这个区间上的积分也大于等于0

正确，这个根据这个公式的证明可以类似证明底下的说法

定积分最基本的性质。

(1)x∫(0->x) f(t) dt ( 对t 作积分 ， x 是常数)=x∫(0->x) xf(t) dt(2)f(x) ∫(0->x) f(t) dt=∫(0->x) f(x) . f(t) dt ( 对t 作积分 ， f(x) 是常数)

这个性质，从几何意义或者物理意义，很好理解啊！设f(x)最小m最大M，则曲线下方的面积，肯定大于矩形面积m（b-a），又肯定小于矩形面积M（b-a）。画个图看看呢！

直接证明即可得。他可以用来求含有sinx的函数的定积分。

数学分析中的收敛:1.收敛数列令为一个数列，且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N，使得对于任意n>N,有|an-A|<b,则数列存在极限A，数列被称为收敛。非收敛的数列被称作“发散”(divergence)数列。2.收敛函数定义方式与数列的收敛类似。柯西收敛准则:关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。快速收敛:收敛对于路由协议，网络上的路由器在一条路径不能使用时必须经历决定替代路径的过程，是在最佳路径的判断上所有路由器达到一致的过程。当某个网络事件引起路由可用或不可用时，路由器就发出更新信息。路由更新信息遍及整个网络，引发重新计算最佳路径，最终达到所有路由器一致公认的最佳路径。这个过程即称为收敛。收敛时间指从网络发生变化开始直到所有路由器识别到变化并针对该变化作出适应为止的这段时间。收敛慢的路由算法会造成路径循环或网络中断。收敛的本解释:收起绝对收敛一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛绝对收敛，指的是，不论条件如何，穷国比富国收敛更快。条件收敛，指的是技术给定，其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。条件收敛一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛。如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。

1、条件收敛 = conditional convergent 是指：A、原本发散，例如 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 、、、、；B、改为交错级数后，1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 、、、、由于一般项趋向于0，并且正负交错，因而收敛。这样就是条件收敛。一般项 = general term；交错级数 = alternate series。2、绝对收敛 = absolute convergent就是指，取了绝对值后，也就是全部取正值后，依然收敛的级数，就是绝对收敛级数。例如：1/1² - 1/2² + 1/3² - 1/4² + 、、、、、就是绝对收敛级数；因为1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 、、、、、是收敛级数，等于 π²/6；所以，1/1² - 1/2² + 1/3² - 1/4² + 、、、、收敛，称为绝对收敛。

如图所示。本身收敛且加绝对值后发散，是条件收敛。加绝对值收敛，是绝对收敛。

极限收敛但不是绝对收敛的无穷级数或积分被称为条件收敛的。在无穷级数的研究中，绝对收敛性是一项足够强的条件，许多有限项级数具有的性质，在一般的条件收敛下的无穷级数不一定满足，只有在绝对收敛下的无穷级数才会具有该性质。例如：1.任意重排一个绝对收敛的级数之通项的次序，不会改变级数的和。2.两个绝对收敛的无穷级数通项的乘积以任何方式排列成的级数和都为原来两个级数和的乘积。3.绝对收敛的无穷级数或积分一定是条件收敛的，反之则不一定成立，因此条件收敛是绝对收敛的一个必要条件。

极限收敛但不是绝对收敛的无穷级数或积分被称为条件收敛的。在无穷级数的研究中，绝对收敛性是一项足够强的条件，许多有限项级数具有的性质，在一般的条件收敛下的无穷级数不一定满足，只有在绝对收敛下的无穷级数才会具有该性质。例如：1.任意重排一个绝对收敛的级数之通项的次序，不会改变级数的和。2.两个绝对收敛的无穷级数通项的乘积以任何方式排列成的级数和都为原来两个级数和的乘积。3.绝对收敛的无穷级数或积分一定是条件收敛的，反之则不一定成立，因此条件收敛是绝对收敛的一个必要条件。

利用积分判别法即可。∫ (1/xlnx)dx = ln(lnx)+C. 由ln(lnx)无界可知。

有极限就收敛。 这个summation函数 有 bound。

比较判别法：(k+n)/n^2 > n/n^2 = 1/n，由于 ∑（1/n） 发散，因此原极限发散 。

利用积分∫(2,+∞)1/xlnxdx=ln|lnx||(2,+∞)可以发现发散。

这个是交错级数，可有莱布尼兹解，lim(n→∞) ln (e^n)/n=∞的，所以倒过来就是趋向于0上面两个不相等

函数收敛定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

试试看stolz定理

数学常量e可以用以下级数展开：e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。这个级数收敛于e，因此可以用来计算e的值。如果用一个元素表示这个级数，可以用以下符号表示：e = Σ(n=0, ∞) 1/n!其中Σ表示求和符号，n=0表示从n=0开始求和，∞表示一直求和下去。1/n!表示每一项的值，表示n的阶乘的倒数。符号中的“|||”不是一个表示数学常量e的元素，而是表示级数的尾部继续延伸，表示级数无限求和的意思。

利用泰勒展开式可以吗？因为e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...同理，e^(-ax) = e^(-a) + (-a)(e^(-ax)) + (-a)^2*(e^(-2ax))/2! + ...搜搜泰勒展开式吧，能帮到你的希望能帮到你，记得采纳哦

序 言001第1章 数列和数学模型1.1 樱花树下0011.2 自己家0041.3 数列智力题没有正确答案006第2章 一封名叫数学公式的情书2.1 在校门口0112.2 心算智力题0122.3 信0132.4 放学后0142.5 阶梯教室0142.5.1 质数的定义0162.5.2 绝对值的定义0192.6 回家路上0212.7 自己家0232.8 美露嘉的解答0262.9 图书馆0272.9.1 方程式和恒等式0282.9.2 积的形式与和的形式0312.10 在数学公式另一头的人到底是谁？034第3章 ω的华尔兹3.1 图书馆0373.2 振动和旋转0393.3 ω045第4章 斐波那契数列和母函数4.1 图书馆0514.1.1 找规律0524.1.2 等比数列的和0534.1.3 向无限级数进军0544.1.4 向母函数进军0544.2 抓住斐波那契数列的要害0564.2.1 斐波那契数列0564.2.2 斐波那契数列的母函数0584.2.3 封闭表达式0594.2.4 用无限级数来表示0604.2.5 解决0624.3 回顾065第5章 相加相乘的平均关系5.1 在“神乐”0675.2 满是疑问0695.3 不等式0715.4 再进一步看看0785.5 关于学习081第6章 在美露嘉身旁6.1 微分0876.2 差分0916.3 微分和差分0936.3.1 一次函数x0936.3.2 二次函数x20946.3.3 三次函数x30966.3.4 指数函数ex0976.4 两个世界中的来回旅行099第7章 卷积7.1 图书馆1017.1.1 美露嘉1017.1.2 铁户罗1047.1.3 推导公式1057.2 在回家路上进行的一般化计算1077.3 在名为“豆”的咖啡店谈二项式定理1097.4 在自己家里解母函数1167.5 图书馆1217.5.1 美露嘉的解1217.5.2 研究母函数1267.5.3 围巾1287.5.4 最后的要塞1297.5.5 攻陷1317.5.6 半径是0的圆134我的笔记136第8章 调和数8.1 寻宝1378.1.1 铁户罗1378.1.2 美露嘉1398.2 图书馆里的对话1408.2.1 部分和与无限级数1408.2.2 从理所当然的地方开始1438.2.3 命题1448.2.4 所有的……1478.2.5 存在1498.3 螺旋式楼梯的音乐教室1538.4 令人扫兴的zeta函数1548.5 过高评价1558.6 在教室中研究调和函数1618.7 两个世界、四种演算1648.8 已知的钥匙、未知的门1698.9 如果世界上只有两个质数1728.9.1 卷积1728.9.2 收敛的等比数列1738.9.3 质因数分解的唯一性1748.9.4 质数无限性的证明1758.10 天象仪179我的笔记182第9章 泰勒展开和巴塞尔问题9.1 图书馆1839.1.1 两张卡片1839.1.2 无限次的多项式1859.2 自学1889.3 宾斯1899.3.1 微分的规则1899.3.2 更进一步微分1929.3.3 sinx的泰勒展开1949.3.4 极限函数的图像1979.4 自己家2009.5 代数学的基本定理2029.6 图书馆2079.6.1 铁户罗的尝试2079.6.2 要到达哪里？2099.6.3 向无限挑战216第10章 分割数10.1 图书馆22110.1.1 分割数22110.1.2 举例22310.2 回家路上22810.2.1 斐波那契签名22810.2.2 分组23010.3 “豆”咖啡店23110.4 自己家23310.5 音乐教室23710.5.1 我的发言（分割数的母函数）23810.5.2 美露嘉提出的数列的上限24310.5.3 铁户罗的发言24810.6 教室25210.7 寻找更好的上限之旅25410.7.1 以分析母函数为出发点25410.7.2 “开始的转角”积变形为和25510.7.3 “东之森林”泰勒展开25610.7.4 “西之丘陵”调和数26010.7.5 旅行结束26110.7.6 铁户罗的回顾26410.8 明天见265尾 声267后 记271

无限级数、收敛级数。牛顿都数学上的发明有，在1664年发明无限级数、收敛级数，在1665年发明二项式定理，在1664-1665年发明用极限法做曲线的切线。艾萨克·牛顿爵士(1643年1月4日-1727年3月31)是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。

看不懂

由幂级数的和函数的求解可知，一个幂级数可以在其收敛区间内表示成一个函数（和函数），在这里我把该过程理解为：多个幂函数的和可以看作一个非幂函数。   这里我们讨论的函数的幂级数展开是与此相反的问题：如何把一个函数表示成幂级数的形式，也就是一个函数如何能在某个区间内表示成多个幂函数的和。 即以上式子的形式，那么就称函数f(x)再点 处的幂级数展开式，其中D为幂级数的收敛域。 在本小节中，我们需要弄清楚两个问题：�什么样的函数能够展开成幂级数？�幂级数展开式的系数如何确定？ （1）什么样的函数能够展开成幂级数？ 如果函数f(x)在点 的某领域内任意阶导数存在，则其能被泰勒公式展开。 如果函数f(x)在点 的某领域内满足充分必要条件：拉格朗日余项满足： （2）幂级数展开式的系数如何确定？ 由泰勒公式中自变量范围的延伸可以得到幂级数的系数 为： 我们需要注意的是：如果函数能够展开为幂级数，则其展开式必为图中的形式，且是唯一的。 我的理解是，由于它是根据泰勒公式延伸得来，因此把它叫做泰勒级数也十分准确。个人认为泰勒公式和泰勒级数有两点区别：�泰勒公式是有限项的和，泰勒级数是无限项的和�泰勒级数因为是无限项，因此省去了余项的部分。 在题目当中，我们更常见的是麦克劳林级数，即当 =0时，这种泰勒级数的特殊情况也叫做麦克莱林级数。 知道了级数的来历，我们也要掌握解题的方法：这里我们介绍两种类型的题目的解题方法。 1、对于常用函数的麦克劳林级数的求法：（直接展开法） 下面是总结归纳常见函数的麦克劳林公式，同学们可以收藏起来下次直接使用哟~ 2、利用幂级数的性质和已知函数的级数，求未知函数的级数：（间接展开法）

无限接近

无穷 如果＋∞ 无限向右 无穷大 如果-∞ 无线向左 无穷小 求采纳

读作：无穷、无穷大。由来：莫比乌斯带常被认为是无穷大符号"∞"的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的"路"一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为"∞"的发明比莫比乌斯带还要早。古希腊哲学家亚里士多德(Arixtote,公元前384-322)认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的，是不能达到极点的，但是无限是世界上公认不能达到的。12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉(Bhaskara)，他的概念比较接近现代理论化的概念。将8水平置放成"∞"来表示"无穷大"符号是在英国人沃利斯(John Wallis，1616-1703)的论文《算术的无穷大》(1655年出版)一书中首次提出的。在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即:∞=∞+1，∞=∞×1。某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。 符号为+∞，同理负无穷的符号式-∞。最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀(公元前1200-900)。书中说:"如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。"印度耆那教的经书《Surya Prajnapti》(c. 400 BC) 把数分作三类:"可计的"、"不可计的"及"无限"。每一类再细分作三序分:可计的:小的、中的与大的。 不可计的: 接近不可计的、真正不可计的与计无可计的。 无限:接近无限、真正无限与无穷无尽。 这是在人类记载上第一次出现无限也可以分类这一个念头。无穷大，谓一个变量在变化过程中，其绝对值永远大于任意大的已定正数。一般用符号∞来表示。无穷或无限，数学符号为∞。来自于拉丁文的"infinitas"，即"没有边界"的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。在神学方面，例如在像神学家东斯歌德(Duns Scotus)的著作中，上帝的无限能量是运用在无约束上，而不是运用在无限量上。在哲学方面，无穷可以归因于空间和时间。在神学和哲学两方面，无穷又作为无限，很多文章都探讨过无限、绝对、上帝和芝诺悖论等的问题。在数学方面，无穷与下述的主题或概念相关:数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金的无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。在一些主题或概念中，无穷被认为是一个超越边界而增加的概念，而不是一个数。由于一个无穷集合的幂集总是具有比它本身更高的基数，所以通过构造一系列的幂集，可以证明无穷的基数的个数是无穷的。然而有趣的是，无穷基数的个数比任何基数都多，从而它是一个比任何无穷大都要大的"无穷大"，它不能对应于一个基数，否则会产生康托尔悖论的一种形式。换号数学数字反应现像多余感应验收破译驳运数字。

是一个意思

有两种无穷,一个是无穷大,一个是无穷小.这是一个极限的概念 无穷大也有两种,一个是正无穷大,一个是负无穷大 正无穷大就是比任何能找到的正数都大的数,这其实不是一个具体的数；同样,负无穷大就是比任何一个能找到的负数都小的数 无穷小是无限接近于0的数,或者说可以是比任何能找到的实数的绝对值都小的数

圆是无穷大的边长数的正多边形，也是到定点距离相同点的集合。

因为如果a(x)=c(x)=xc(x)-a(x)极限也可以为0而b(x)=x 当x趋向于正无穷时~b(x)=正无穷大 所以没有极限如果正确满意的话就给个采纳哈 谢谢！^_^

http://wenku.baidu.com/view/9c2abc2acfc789eb172dc82f.html

柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：该数列中足够靠后的任意两项都无限接近。

证明：根据题意：n/(n²+nπ) < 1/(n²+π) +1/(n²+2π)+.....+1/(n²+nπ) < n/(n²+π)因此：n²/(n²+nπ) < n[1/(n²+π) +1/(n²+2π)+.....+1/(n²+nπ)] < n²/(n²+π)又∵lim(n→∞) n²/(n²+nπ) = lim(n→∞) 1/[1+(π/n)] = 1lim(n→∞) n²/(n²+π)] = lim(n→∞) 1/[1+(π/n²)] = 1根据夹逼准则：原极限=1

你好！lim<n→∞> [an²/(3n+1) - n]= lim<n→∞> [an² - n(3n+1)]/(3n+1)= lim<n→∞> [(a-3)n² - n] / (3n+1)极限存在，必有a-3=0即a=3极限为 -1/3 即 b = -1/3故 a+b = 8/3

你这个拆开以后，两部分的极限都是无穷，也就是都存在，所以不能拆。极限四则运算法则的条件就是每一部分的极限必须存在。

首先，极限存在且等于1，而且当x→0，分母x²=0必有x→0，分子a-bcosx=a-b=0所以a-b=0

　　极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。以下是我搜索整理的高等数学中几种求极限的方法，供参考借鉴！ 　　一、由定义求极限 　　极限的本质――既是无限的过程，又有确定的结果。一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验证其结果。 　　然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限性，不适合比较复杂的题。 　　二、利用函数的连续性求极限 　　此方法简单易行但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数，及f(x)在x0处无定义的情况。 　　三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限 　　极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件。满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。 　　四、利用两边夹定理求极限 　　定理 如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A 　　两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数(或数列)，并且使其极限为同一值。 　　注意：在运用两边夹定理求极限时要保证所求函数(或数列)通过放缩后所得的.两边的函数(或数列)的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。 　　五、利用单调有界原理求极限 　　单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。使用单调有界准则时需证明两个问题：一是数列的单调性，二是数列的有界性;求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。 　　利用单调有界原理求极限有两个难点：一是证明数列的单调性，二是证明数列的有界性，在证明数列的单调性和数列的有界性时，我们通常都采用数学归纳法。 　　六、利用等价无穷小代换求极限 　　在实际计算过程中利用等价无穷小代换法或与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小量都能用其等价的无穷小量来进行计算。用等价无穷小代换时，只能代换分子、分母中的乘积因子，而不能代换其中的加减法因子。于是用等价无穷小代换的问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进行x的等价无穷小代换这一点上，在利用等价无穷小代换的方法求极限时必须把分子(或分母)看作一个整体，用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。 　　七、利用泰勒展式求极限 　　运用等价无穷小代换方法求某些极限，往往可以减少计算量，使问题得以简化。但一般说来，这种方法仅限于求两个无穷小量是乘或除的极限，而对两个无穷小量非乘或非除的极限，对于一些未能确定函数极限形态的关系式，不能用洛必达法则及等价无穷小代换方法，须用泰勒公式去求极限。 　　八、利用级数收敛的必要条件求极限 　　求极限的方法有很多种，在解题时，这些方法并不是孤立的，常常一个问题需要用到几种方法。根据题目给出的条件，选择适当的方法结合使用，能使运算更简捷，起到事半功倍的效果。同时又能加强对微积分知识整体上的深层次认识，对学好微积分是大有裨益的。 　　分数求极限的方法 　　1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入； 　　2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化，然后运用(1)中的方法； 　　3、运用两个特别极限； 　　4、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。它不是所向无敌，不可以代替其他所有方法，一楼言过其实。 　　5、用Mclaurin(麦克劳琳)级数展开，而国内普遍误译为Taylor(泰勒)展开。 　　6、等阶无穷小代换，这种方法在国内甚嚣尘上，国外比较冷静。因为一要死背，不是值得推广的教学法；二是经常会出错，要特别小心。 　　7、夹挤法。这不是普遍方法，因为不可能放大、缩小后的结果都一样。 　　8、特殊情况下，化为积分计算。 　　9、其他极为特殊而不能普遍使用的方法。

重要极限：(1+x)^(1/x) -> e （x->0）顺便指出，这种求极限的方法叫“局部取极限，其余先不动”，是错误的。按这种做法，任何极限都可以是 0 ，如x->0 时，f(x)=x * [f(x)/x] = 0 * [f(x)/x] = 0 。

洛必达"

祖冲之，中国古代数学家

我想知道为什么不能n<N？就像双曲线的左支，不应该是n无限小时，逼近0么？

除带极点外 还要把X的取直范围的端点带入

数学里上凹，下凹，上凸，下凸统称为曲线的凸性，其是指在平面坐标系里的图形样式：1、开口向上的曲线，称为上凹，或称为下凸，形状为∪；2、开口向下的曲线，称为下凹，或称为上凸，形状为∩；3、所以上凹，下凹，上凸，下凸四种，实际上可归类为上凸，下凸两种情况：（1）从切线角度讲，下凸弧上过任一点的切线都在曲线弧之下，而上凸弧上过任一点的切线都在曲线弧之上。（2）从割线角度讲，如果连续曲线y=f(x)在区间(a，b)对应的曲线弧上任意两点的割线线段都在该两点间的曲线弧之上，则称该段曲线弧是下凸的，并称函数y=f(x)在区间(a，b)上是下凸的(或上凹的，即曲线开口向上)。反之，则是上凸的。（3）从导数角度讲，设y=f(x)在(a，b)内具有二阶导数，如果在(a，b)内f""(x)>o，则y=f(x)在(a，b)内为下凸；如果在(a，b)内f""(x)<o，则y=f(x)在(a，b)内为上凸。

这个，没有为什么，规定而已。

这不是初等数学，别乱说。图一是凸函数，图二是凹函数。

(1)y=(x+1)/(x-1)xy -y = x+1x(y-1) = y+1x=(y+1)/(y-1)反函数 : y= (x+1)/(x-1)(2)y=cotxarccot y = x反函数 : y= arccotx

把X和Y互换，然后再写成标准形式就好

求反函数就求x=? 例如 f(x)=y=x^2 x=正负根号y 则f(x)的反函数是正负根号x 求完后注意定义域和值域 不满足的舍掉 反函数的定义域就是原函数的值域 反函数的值域就是原函数的定义域

如图所示：对比一下

十六个基本导数公式（y：原函数；y"：导函数）： 1、y=c，y"=0（c为常数） 2、y=x^μ，y"=μx^(μ-1)（μ为常数且μ≠0）。3、y=a^x，y"=a^x lna；y=e^x，y"=e^x。4、y=logax， y"=1/(xlna)（a>0且 a≠1）；y=lnx，y"=1/x。5、y=sinx，y"=cosx。6、y=cosx，y"=-sinx。7、y=tanx，y"=(secx)^2=1/(cosx)^2。8、y=cotx，y"=-(cscx)^2=-1/(sinx)^2。9、y=arcsinx，y"=1/√(1-x^2)。10、y=arccosx，y"=-1/√(1-x^2)。11、y=arctanx，y"=1/(1+x^2)。12、y=arccotx，y"=-1/(1+x^2)。13、y=shx，y"=ch x。14、y=chx，y"=sh x。15、y=thx，y"=1/(chx)^2。16、y=arshx，y"=1/√(1+x^2)。导数小知识：1、导数的四则运算： （uv）"=uv"+u"v （u+v）"=u"+v" （u-v）"=u"-v" （u/v）"=（u"v-uv"）/v^2  。2、原函数与反函数导数关系（由三角函数导数推反三角函数的）：  y=f（x）的反函数是x=g（y），则有y"=1/x"。3、复合函数的导数： 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数（称为链式法则）。

这个公式和排列组合中的二项式定理相似，二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶导数。比如（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导一次类推，以上是文字描述，你写出公式来就可以理解了，ok~~

相对来说导数还是比较容易的，因为它的几乎所有题目，都是一个套路。首先要把几个常用求导公式记清楚；然后在解题时先看好定义域；对函数求导，对结果通分（这样会让下面判断符号比较容易）；接下来，一般情况下，令导数=0，求出极值点；在极值点的两边的区间，分别判断导数的符号，是正还是负；正的话，原来的函数则为增，负的话就为减，然后根据增减性就能大致画出原函数的图像，根据图像就可以求出你想要的东西，比如最大值或最小值等。如果特殊情况，导数本身符号可以直接确定，也就是导数等于0无解时，说明在整个这一段上，原函数都是单调的。如果导数恒大于0，就增；反之，就减。无论大题，小题，应用题，都是这个套路。应用题的话只是需要认真理解下题意，实际的操作比普通的导数大题还简单，因为基本不涉及到参数的讨论。这是我的经验，希望对你有帮助。

这个公式和排列组合中的二项式定理相似，二项式定理中的多少次方在这里改为多少阶导数。比如（uv）一阶导=u一阶导乘以v+u乘以v一阶导（uv）二阶导=u二阶导乘以v+2倍u一阶导乘以v一阶导+u乘以v二阶导（uv）三阶导=u三阶导乘以v+3倍u二阶导乘以v一阶导+3倍u一阶导乘以v二阶导+u乘以v三阶导一次类推，以上是文字描述，你写出公式来就可以理解了，ok~~

一般来讲，首先看它是不是常见的那几个函数（指数函数，三角函数）什么的，如果是，直接套公式；其次：如果不是，则看能不能写成上面几个函数的和式或者乘积表达式，如果是和式，直接用求导法则，如果是乘积，用莱布尼兹法则写出通项后求和即可再次：观察可不可以对函数求出几阶导数之后变成上面的两种情况；最后，实在不行，看看能不能用数学归纳法求解。上面的方法没有前后顺序，呵呵，关键看你的数学感觉。1、一般来说，当然就是一次一次地求导，要几次导数给几次；2、上面的方法比较沉闷，而且容易出错，通常根据被求导的函数，求几次导数后，根据结果，找到规律，然后用归纳法，证明结果正确；3、在解答麦克劳林级数、泰勒级数时，经常要求高阶导数，找规律是非常需要技巧的，很多情况下，递推公式(Redunction)是很难找到。实在找不到时，只能写一个抽象的表达式。步骤：第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R.第二步：求f(x)的导数f′(x).第三步：求方程f′(x)＝0的根.第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格.第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性.第六步：明确规范地表述结论.第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．这个公式是说，对y(x)=u(x)v(x)求n阶导数时候，可以表示为u(x)的n-i阶导数乘v(x)的i阶导数的积的叠加，其系数是C(i,n)。那个C是组合符号，C(i,n)=n!/(i!(n-i)!)莱布尼兹公式好比二项式定理，它是用来求f(x)*g(x)的高阶导数的。展开的形式我就不多说了。一般来说，f(x)和g(x)中有一个是多项式，因为n次多项式求n+1次导数就变成0了，可以给计算带来方便。就本题：y的100阶导数=（x的0阶导数*shx的100阶导数）+100（x的1阶导数*shx的99阶导数）+99*100/2(x的2阶导数*shx的98阶导数)+......如前所说，x的2阶以上导数都是0,所以上式只有前两项，所以：y的100阶导数=xshx+100chx1.把常用初等函数的导数公式记清楚；2.求导时要小心谨慎，尤其是关于复合函数的导数。这里将列举六类基本初等函数的导数以及它们的推导过程（初等函数可由之运算来）：1.常函数（即常数）y=c(c为常数) y"=0 【y=0 y"=0：导数为本身的函数之一】2.幂函数y=x^n,y"=n*x^(n-1)(n∈R) 【1/X的导数为-1/(X^2)】基本导数公式3．指数函数y=a^x,y"=a^x * lna 【y=e^x y"=e^x：导数为本身的函数之二】4．对数函数y=logaX,y"=1/(xlna) (a>0且a≠1,x>0)；【y=lnx,y"=1/x】5.三角函数(1)正弦函数y=(sinx ）y"=cosx(2)余弦函数y=（cosx） y"=-sinx(3)正切函数y=(tanx） y"=1/(cosx)^2(4)余切函数y=（cotx） y"=-1/(sinx)^26.反三角函数(1)反正弦函数y=（arcsinx） y"=1/√1-x^2(2)反余弦函数y=（arccosx） y"=-1/√1-x^2(3)反正切函数y=（arctanx） y"=1/(1+x^2)(4)反余切函数y=（arccotx） y"=-1/(1+x^2)幂函数同理可证导数说白了它其实就是曲线一点切线的斜率，函数值的变化率上面说的分母趋于零，这是当然的了，但不要忘了分子也是可能趋于零的，所以两者的比就有可能是某一个数，如果分子趋于某一个数，而不是零的话，那么比值会很大，可以认为是无穷大,也就是我们所说的导数不存在。x/x,若这里让X趋于零的话，分母是趋于零了，但它们的比值是1,所以极限为1.建议先去搞懂什么是极限。极限是一个可望不可及的概念，可以很接近它，但永远到不了那个岸。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献。最后讲一下你那个题：====很简单，把原式看做(ax+b)和1/(cx+d)相乘的n阶导数，然后用莱布尼茨公式展开就行了。注意(ax+b)二阶以上的导数全部是0，而1/(cx+d)的n阶导数很好求。 结果应该是：(ax+b)×[(-c)^n×n!/(cx+d)^(n+1)]+n×a×[(-c)^(n-1)×(n-1)!/(cx+d)^n] 刚才失误了。。。忘了阶乘。。。 答案是正确的，你把我的解答同分一下化简就会发现跟答案一样。你自己做的应该是不对的。可以取n=2,3的特殊情况看一下。

导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数定义[1](一)导数第一定义:设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x0+△x也在该邻域内)时，相应地函数取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0);如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f"(x0),即导数第一定义(二)导数第二定义:设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有变化△x(x-x0也在该邻域内)时，相应地函数变化△y=f(x)-f(x0);如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f"(x0),即导数第二定义(三)导函数与导数:如果函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导，就称函数f(x)在区间I内可导。这时函数y=f(x)对于区间I内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数，记作y",f"(x),dy/dx,df(x)/dx。导函数简称导数。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。 导数定义[1]（一）导数第一定义：设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ；如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即 导数第一定义（二）导数第二定义：设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ；如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即 导数第二定义（三）导函数与导数：如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y", f"(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限，在一个函数存在导数时，称这个函数可导或可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则导数定义（一）导数第一定义：设函数y=f（x）在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量 x（x0+ x也在该邻域内）时，相应地函数取得增量 y=f（x0+ 相）-f（x0）；如果 y与 x之比当 x—0时极限存在，则称函数 y=f（x）在点x0处可导，并称这个极限值为函数 y=f（x）在点x0处的导数记为f（x0）即导数第一定义（二）导数第二定义……

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。 导数定义[1]（一）导数第一定义：设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ；如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即 导数第一定义（二）导数第二定义：设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ；如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即 导数第二定义（三）导函数与导数：如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y", f"(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。

导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数定义[1]（一）导数第一定义：设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有增量△x(x0+△x也在该邻域内)时，相应地函数取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f"(x0),即导数第一定义（二）导数第二定义：设函数y=f(x)在点x0的某个领域内有定义，当自变量x在x0处有变化△x(x-x0也在该邻域内)时，相应地函数变化△y=f(x)-f(x0)；如果△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0处的导数记为f"(x0),即导数第二定义（三）导函数与导数：如果函数y=f(x)在开区间I内每一点都可导，就称函数f(x)在区间I内可导。这时函数y=f(x)对于区间I内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f(x)的导函数，记作y",f"(x),dy/dx,df(x)/dx。导函数简称导数。

C 分析：这个图形的面积可以有两种算法，一种是上下把它分成两个矩形，一种是左右把它分成两个矩形．分别表示面积求解．这个图形的面积可以有两种算法：一种是上下把它分成两个矩形，则它的面积是a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ；一种是左右把它分成两个矩形．则它的面积就是a 1 b 1 +a 2 b 2 ．所以a 1 b 1 +a 2 b 2 =a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ．故选C．

C

阿贝尔变换是一个恒等式，它在数学分析中有着广泛的应用。通过阿贝尔变换，可以分别证明任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法。

很难确切地说数学发生在何时何地。 人类最初的数和形的观念，可以远溯到旧石器时代，在这个时期的数十万年时间内，人类那时还处在穴居状态，生活和动物相差不多。以后随着人类为了生存，需要寻找赖以生存的食物，于是就有打渔和狩猎等活动，在围猎与生存的斗争中，人类逐步发展了语言和早期的绘画，这加强了人类的相互交往与联络感情，有了一些简单的思维形式，但在这样一个漫长的时期中，还没有文字，庚谈不上数学的概念。 直到距今大约一万年以前，当时覆盖在亚洲、欧洲的水源开始融化，地球上出现了森林和沙漠，于是寻找生存的食物和游牧生活也就慢慢地结束了，渔人和猎人逐渐在土地上定居下来，成为原始的靠农业生存的原始的农人，在水草丰满的牧区，当然也招引了大批的游牧民，从事畜牧业成为早期的牧民，在沿海一带，人类逐渐聚居，从事航运和贸易的事业。人类的劳动逐渐地形成了一些区分，从仅仅为生存而采集食物到主动向自然界开挖潜力，发展农业、渔业、畜牧业和其它的各项生产，人类从此进入了新石器时代。 游牧民族为了确定季节，首先需要从天象来找到答案，天文学就成为一种不可缺少的需要，而天文学只有借助数学才能发展。因为天文学是一门以科学方法研究日月星辰的学问。数千年前，居住在现金伊拉克地方的人们深信，行星是法力高强的神祗，会主宰人的生活，认为将他们在天空中运行的情形却是记录下来，对人类生活关系非常重要，因此近乎狂热地对天体进行观测，研究天文学。在我国由于农业和畜牧业的发展需要，特别是农作物的下种、收获，需要通过天象观测来制订历法，在世界上还从来没有一个国家象我国那样，从研究天文开始，制订了一百多种历法，实际使用过的也有四十多种，而历法的制订，没有数学的观测计算是不行的。 因此，古代的巴比伦人和加尔底亚人以及居住在中国土地上的中国人，就产生了最早的天文学家、历法家和数学家，在我国，不少历法家实际上也是数学家，象刘徽、祖冲之等。 由于农业、畜牧业、渔业等生产的发展，促进了贸易的发展，于是商业自然产生，带来了货币制度，计数、计量、进位制，有了数字、计算工具与计算方法，算术就逐步形成。 恩格斯很概括地说明了数学的起源：数学是从人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的。大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 无穷小是零吗——第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。 悖论的产生---第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

第1章 命题逻辑1.1 命题及联结词1.1.1 命题的基本概念1.1.2 命题联结词1.2 命题公式与翻译1.3 真值表和等价公式1.3.1 命题公式的真值表1.3.2 命题公式的等价1.4 重言式1.5 范式1.5.1 析取范式与合取范式1.5.2 主析取范式1.5.3 主合取范式1.6 全功能联结词集1.7 对偶式与蕴含式1.7.1 对偶式1.7.2 蕴含式1.8 命题逻辑的推理理论第2章 谓词逻辑2.1 个体、谓词与量词2.1.1 个体2.1.2 谓词2.1.3 量词2.2 谓词公式2.2.1 谓词公式2.2.2 约束变元与自由变元2.3 谓词演算的等价式与蕴含式2.4 前束范式2.5 谓词逻辑的推理理论第3章 集合3.1 集合的基本概念3.1.1 集合的表示法3.1.2 子集和集合的相等3.1.3 幂集合3.2 集合的运算3.3 集合恒等式3.4 集合的覆盖与划分3.5 笛卡儿积第4章 二元关系4.l 二元关系及其表示4.1.1 二元关系的概念4.1.2 二元关系的表示方法4.2 关系的运算4.2.1 二元关系的交、并、补、对称差运算4.2.2 二元关系的复合运算4.2.3 元关系的求逆运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包运算4.5 等价关系4.6 相容关系4.7 序关系4.7.1 偏序关系与哈斯图4.7.2 全序关系与良序关系第5章 函数5.1 函数的基本概念5.2 反函数和复合函数5.2.1 反函数5.2.2 复合函数5.3 集合的基数5.3.1 集合的等势5.3.2 有限集和无限集5.3.3 集合的基数5.3.4 集合基数的比较第6章 代数系统6.1 代数系统的基本概念6.1.1 运算6.1.2 代数系统6.2 二元运算的性质6.2.1 运算的基本性质6.2.2 特殊元素6.3 子代数和积代数第7章 群、环和域7.1 半群和独异点7.1.1 广群和半群7.1.2 独异点7.2 群与阿贝尔群7.2.1 群的定义和性质7.2.2 阿贝尔群7.3 子群7.3.1 子群的概念7.3.2 子群的判定7.3.3 元素的阶及其性质7.4 陪集和拉格朗日定理7.5 正规子群7.6 同态和同构7.6.1 代数系统的同态和同构7.6.2 群的同态和同构7.7 循环群7.8 置换群7.9 环与域7.9.1 环的定义及基本性质7.9.2 几个常见的特殊环7.9.3 子环7.9.4 域7.9.5 环和域的同态第8章 格与布尔代数8.1 格8.1.1 格的概念和性质8.1.2 子格和格的同态8.1.3 分配格8.1.4 有补格8.2 布尔代数8.2.1 布尔代数的概念和性质8.2.2 布尔代数的子代数和同态8.2.3 有限布尔代数的结构第9章 图论9.1 图的基本概念9.1.1 图9.1.2 节点的度及其性质9.1.3 多重图、简单图、完全图和正则图9.1.4 图的同构9.1.5 补图、子图和生成子图9.2 路和回路9.3 连通图9.3.1 无向连通图9.3.2 有向连通图9.4 图的矩阵表示9.5 欧拉图和汉密尔顿图9.5.1 欧拉图9.5.2 汉密尔顿图9.6 树9.6.1 无向树9.6.2 生成树9.6.3 根树及其应用9.7 二部图及匹配9.7.1 部图9.7.2 匹配9.8 平面图9.8.1 平面图的基本概念9.8.2 欧拉公式9.8.3 平面图的对偶图参考文献

A abelian group：阿贝尔群； absolute geometry：绝对几何； absolute value：绝对值； abstract algebra：抽象代数； addition：加法； algebra：代数； algebraic closure：代数闭包； algebraic geometry：代数几何； algebraic geometry and analytic geometry：代数几何和解析几何； algebraic numbers：代数数； algorithm：算法； almost all：绝大多数； analytic function：解析函数； analytic geometry：解析几何； and：且； angle：角度； anticommutative：反交换律； antisymmetric relation：反对称关系； antisymmetry：反对称性； approximately equal：约等于； Archimedean field：阿基米德域； Archimedean group：阿基米德群； area：面积； arithmetic：算术； associative algebra：结合代数； associativity：结合律； axiom：公理； axiom of constructibility：可构造公理； axiom of empty set：空集公理； axiom of extensionality：外延公理； axiom of foundation：正则公理； axiom of pairing：对集公理； axiom of regularity：正则公理； axiom of replacement：代换公理； axiom of union：并集公理； axiom schema of separation：分离公理； axiom schema of specification：分离公理； axiomatic set theory：公理集合论； axiomatic system：公理系统； B Baire space：贝利空间； basis：基； Bézout"s identity：贝祖恒等式； Bernoulli"s inequality：伯努利不等式 ； Big O notation：大O符号； bilinear operator：双线性算子； binary operation：二元运算； binary predicate：二元谓词； binary relation：二元关系； Boolean algebra：布尔代数； Boolean logic：布尔逻辑； Boolean ring：布尔环； boundary：边界； boundary point：边界点； bounded lattice：有界格； C calculus：微积分学； Cantor"s diagonal argument：康托尔对角线方法； cardinal number：基数； cardinality：势； cardinality of the continuum：连续统的势； Cartesian coordinate system：直角坐标系； Cartesian product：笛卡尔积； category：范畴； Cauchy sequence：柯西序列； Cauchy-Schwarz inequality：柯西不等式； Ceva"s Theorem：塞瓦定理； characteristic：特征； characteristic polynomial：特征多项式； circle：圆； class：类； closed：闭集； closure：封闭性 或 闭包； closure algebra：闭包代数； combinatorial identities：组合恒等式； commutative group：交换群； commutative ring：交换环； commutativity:：交换律； compact：紧致的； compact set：紧致集合； compact space：紧致空间； complement：补集 或 补运算； complete lattice：完备格； complete metric space：完备的度量空间； complete space：完备空间； complex manifold：复流形； complex plane：复平面； congruence：同余； congruent：全等； connected space：连通空间； constructible universe：可构造全集； constructions of the real numbers：实数的构造； continued fraction：连分数； continuous：连续； continuum hypothesis：连续统假设； contractible space：可缩空间； convergence space：收敛空间； cosine：余弦； countable：可数； countable set：可数集； cross product：叉积； cycle space：圈空间； cyclic group：循环群； D de Morgan"s laws：德·摩根律； Dedekind completion：戴德金完备性； Dedekind cut：戴德金分割； del：微分算子； dense：稠密； densely ordered：稠密排列； derivative：导数； determinant：行列式； diffeomorphism：可微同构； difference：差； differentiable manifold：可微流形； differential calculus：微分学； dimension：维数； directed graph：有向图； discrete space：离散空间； discriminant：判别式； distance：距离； distributivity：分配律； dividend：被除数； dividing：除； divisibility：整除； division：除法； divisor：除数； dot product：点积； E eigenvalue：特征值； eigenvector：特征向量； element：元素； elementary algebra：初等代数； empty function：空函数； empty set：空集； empty product：空积； equal：等于； equality：等式 或 等于； equation：方程； equivalence relation：等价关系； Euclidean geometry：欧几里德几何； Euclidean metric：欧几里德度量； Euclidean space：欧几里德空间； Euler"s identity：欧拉恒等式； even number：偶数； event：事件； existential 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only if：当且仅当； iff：当且仅当； imaginary number：虚数； inclusion：包含； index set：索引集合； indiscrete space：非离散空间； inequality：不等式 或 不等； inequality of arithmetic and geometric means：平均数不等式； infimum：下确界； infinite series：无穷级数； infinite：无穷大； infinitesimal：无穷小； infinity：无穷大； initial object：初始对象； inner angle：内角； inner product：内积； inner product space：内积空间； integer：整数； integer sequence：整数列； integral：积分； integral domain：整数环； interior：内部； interior algebra：内部代数； interior point：内点； intersection：交集； inverse element：逆元； invertible matrix：可逆矩阵； interval：区间； involution：回旋； irrational number：无理数； isolated point：孤点； isomorphism：同构； J Jacobi identity：雅可比恒等式； join：并运算； K 格式： Kuratowski closure axioms：Kuratowski 闭包公理； L least element：最小元； Lebesgue measure：勒贝格测度； Leibniz"s law：莱布尼茨律； Lie algebra：李代数； Lie group：李群； limit：极限； limit point：极限点； line：线； line segment：线段； linear：线性； linear algebra：线性代数； linear operator：线性算子； linear space：线性空间； linear transformation：线性变换； linearity：线性性； list of inequalities：不等式列表； list of linear algebra topics：线性代数相关条目； locally compact space：局部紧致空间； logarithmic identities：对数恒等式； logic：逻辑学； logical positivism：逻辑实证主义； law of cosines：余弦定理； L??wenheim-Skolem theorem：L??wenheim-Skolem 定理； lower limit topology：下限拓扑； M magnitude：量； manifold：流形； map：映射； mathematical symbols：数学符号； mathematical analysis：数学分析； mathematical proof：数学证明； mathematics：数学； matrix：矩阵； matrix multiplication：矩阵乘法； meaning：语义； measure：测度； meet：交运算； member：元素； metamathematics：元数学； metric：度量； metric space：度量空间； model：模型； model theory：模型论； modular arithmetic：模运算； module：模； monotonic function：单调函数； multilinear algebra：多重线性代数； multiplication：乘法； multiset：多样集； N naive set theory：朴素集合论； natural logarithm：自然对数； natural number：自然数； natural science：自然科学； negative number：负数； neighbourhood：邻域； New Foundations：新基础理论； nine point circle：九点圆； non-Euclidean geometry：非欧几里德几何； nonlinearity：非线性； non-singular matrix：非奇异矩阵； nonstandard model：非标准模型； nonstandard analysis：非标准分析； norm：范数； normed vector space：赋范向量空间； n-tuple：n 元组 或 多元组； nullary：空； nullary intersection：空交集； number：数； number line：数轴； O object：对象； octonion：八元数； one-to-one correspondence：一一对应； open：开集； open ball：开球； operation：运算； operator：算子； or：或； order topology：序拓扑； ordered field：有序域； ordered pair：有序对； ordered set：偏序集； ordinal number：序数； ordinary mathematics：一般数学； origin：原点； orthogonal matrix：正交矩阵；P p-adic number：p进数； paracompact space：仿紧致空间； parallel postulate：平行公理； parallelepiped：平行六面体； parallelogram：平行四边形； partial order：偏序关系； partition：分割； Peano arithmetic：皮亚诺公理； Pedoe"s inequality：佩多不等式； perpendicular：垂直； philosopher：哲学家； philosophy：哲学； philosophy journals：哲学类杂志； plane：平面； plural quantification：复数量化； point：点； Point-Line-Plane postulate：点线面假设； polar coordinates：极坐标系； polynomial：多项式； polynomial sequence：多项式列； positive-definite matrix：正定矩阵； positive-semidefinite matrix：半正定矩阵； power set：幂集； predicate：谓词； predicate logic：谓词逻辑； preorder：预序关系； prime number：素数； product：积； proof：证明； proper class：纯类； proper subset：真子集； property：性质； proposition：命题； pseudovector：伪向量； Pythagorean theorem：勾股定理； Q Q.E.D.：Q.E.D.； quaternion：四元数； quaternions and spatial rotation：四元数与空间旋转； question：疑问句； quotient field：商域； quotient set：商集； R radius：半径； ratio：比； rational number：有理数； real analysis：实分析； real closed field：实闭域； real line：实数轴； real number：实数； real number line：实数线； reflexive relation：自反关系； reflexivity：自反性； reification：具体化； relation：关系； relative complement：相对补集； relatively complemented lattice：相对补格； right angle：直角； right-handed rule：右手定则； ring：环； S scalar：标量； second-countable space：第二可数空间； self-adjoint operator：自伴随算子； sentence：判断； separable space：可分空间； sequence：数列 或 序列； sequence space：序列空间； series：级数； sesquilinear function：半双线性函数； set：集合； set-theoretic definition of natural numbers：自然数的集合论定义； set theory：集合论； several complex variables：一些复变量； shape：几何形状； sign function：符号函数； singleton：单元素集合； social science：社会科学； solid geometry：立体几何； space：空间； spherical coordinates：球坐标系； square matrix：方块矩阵； square root：平方根； strict：严格； structural recursion：结构递归； subset：子集； subsequence：子序列； subspace：子空间； subspace topology：子空间拓扑； subtraction：减法； sum：和； summation：求和； supremum：上确界； surreal number：超实数； symmetric difference：对称差； symmetric relation：对称关系； system of linear equations：线性方程组； T tensor：张量； terminal object：终结对象； the algebra of sets：集合代数； theorem：定理； top element：最大元； topological field：拓扑域； topological manifold：拓扑流形； topological space：拓扑空间； topology：拓扑 或 拓扑学； total order：全序关系； totally disconnected：完全不连贯； totally ordered set：全序集； transcendental number：超越数； transfinite recursion：超限归纳法； transitivity：传递性； transitive relation：传递关系； transpose：转置； triangle inequality：三角不等式； trigonometric identities：三角恒等式； triple product：三重积； trivial topology：密着拓扑； true：真； truth value：真值； U unary operation：一元运算； uncountable：不可数； uniform space：一致空间； union：并集； unique：唯一； unit interval：单位区间； unit step function：单位阶跃函数； unit vector：单位向量； universal quantification：全称量词； universal set：全集； upper bound：上界；V vacuously true：??； Vandermonde"s identity：Vandermonde 恒等式； variable：变量； vector：向量； vector calculus：向量分析； vector space：向量空间； Venn diagram：文氏图； volume：体积； von Neumann ordinal：冯·诺伊曼序数； von Neumann universe：冯·诺伊曼全集； vulgar fraction：分数； Z Zermelo set theory：策梅罗集合论； Zermelo-Fraenkel set theory：策梅罗-弗兰克尔集合论； ZF set theory：ZF 系统； zero：零； zero object：零对象；绝对很全了～

外国的高斯，牛顿，米开郎基罗，毕达哥拉斯都可以说是举世闻名的，中国的有华罗庚，陈景润，苏步青。美籍华人丘成桐，陈省身。。。。。。

自然数现在不包括0了

C 这个图形的面积可以有两种算法，一种是上下把它分成两个矩形，一种是左右把它分成两个矩形．分别表示面积求解．这个图形的面积可以有两种算法：一种是上下把它分成两个矩形，则它的面积是a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ；一种是左右把它分成两个矩形．则它的面积就是a 1 b 1 +a 2 b 2 ．所以a 1 b 1 +a 2 b 2 =a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ．故选C．

阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752－1833），法国数学家。他的主要贡献在统计学、数论、抽象代数与数学分析上。勒让德的主要研究领域是分析学（尤其是椭圆积分理论）、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。勒让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基本定理。他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许多数学家研究这个问题。其他贡献包括：椭圆函数论、最小二乘法、测地线理论等。

在随后的讨论中，我们将使用在 G 的子集上的二元运算: 如果给出 G 的两个子集 S 和 T，我们定义它们的乘积为 ST = { st : s∈S 并且 t∈T }。这个运算是符合结合律的并有单位元为单元素集合 ，这里的 e 是 G 的单位元。因此，G 的所有子集的集合形成了在这个运算下的幺半群。凭借这个运算我们可以首先解释商群是什么，并接着解释正规子群是什么:群 G 的商群是其自身在这个运算下的群 G 的划分。它完全由包含 e 的子集所确定。G 的正规子群是在任何这种划分中包含 e 的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集。群 G 的子群 N 是正规子群，当且仅当陪集等式 aN = Na 对于所有 G 中的 a 都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算，G 的正规子群是交换于 G 的所有子集的子群，并指示为 N ⊲ G。 置换于 G 的所有子群的子群叫做可置换子群。 设 N 是群G 的正规子群。我们定义集合 G/N 是 N 在 G 中的所有左陪集的集合，就是说 G/N = { aN : a∈G }。在 G/N 上的群运算定义如上。换句话说，对于每个 G/N 中 aN 和 bN，aN 和 bN 的乘积是 (aN)(bN)。这个运算是闭合的，因为 (aN)(bN) 实际上是左陪集:(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N。N 的正规性被用在了这个等式中。因为 N 的正规性，N 在 G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 G/N 也可以定义为 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因为运算是从 G 的子集的乘积得出的，这个运算是良好定义的(不依赖于表示的特定选择)，符合结合律的，并有单位元 N。G/N 的元素 aN 的逆元是 a−1N。 G/N 叫做商群的理由来自整数的除法。在 12 除以 3 的时候得到答案 4 是因为我们可以把 12 个对象重新分组为 3 个对象的 4 个子集。商群出于同样想法，但用一个群作为最终答案而非一个数，因为群要比对象的随机搜集要更有结构。更细致的说，在查看 G/N 而 N 是 G 的正规子群的时候，这个群结构形成一种自然“重新分组”。它们是 N 在 G 中陪集。 因为我们从一个群和正规子群得到的最终的商包含比只是陪集的(正常除法所产生的)数目要更多的信息，这里得到了一个群结构自身。 考虑整数集 Z (在加法下)的群和所有偶数构成的子群 2Z。这是个正规子群，因为 Z 是阿贝尔群。只有两个陪集: 偶数的集合和奇数的集合；因此商群 Z/2Z 是两个元素的循环群。这个商群同构于集合 { 0, 1 } 带有模 2 加法运算的群；非正式的说，有时称 Z/2Z 等于集合 { 0, 1 } 带有模 2 加法。上个例子的稍微一般化。再次考虑整数集 Z 在加法下的群。设 n 是任何正整数。我们考虑由 n 的所有倍数构成的 Z 的子群 nZ。nZ 在 Z 中还是正规子群因为 Z 是阿贝尔群。陪集们是搜集 {nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整数 k 属于陪集 r+nZ，这里的 r 是 k 除以 n 的馀数。商 Z/nZ 可以被认为模以 n 的“馀数”的群。这是个 n 阶循环群。N 在 G 中的陪集考虑复数十二次单位一的根的乘法阿贝尔群 G，它们是在单位圆上的点，它们在右图中展示为着色的球并在每点上用数标记出它们的幅角。考虑它由单位一的四次根构成的子群 N，在图中表示为红色球。这个正规子群把群分解为三个陪集，分别表示为红色、绿色和蓝色。你可以验证这些陪集形成了三个元素的群(红色元素和蓝色元素的乘积是蓝色元素，蓝色元素的逆元是绿色元素等等)。因此商群 G/N 是三种颜色元素的群，它又是三个元素的循环群。考虑实数集 R 在加法下的群，和整数集子群 Z。Z 在 R 中的陪集们是形如 a + Z 的所有集合，这里 0 ≤ a < 1 是实数。这种陪集的加法是通过做相应的实数的加法，并在结果大于或等于 1 的时候减去 1 完成的。商群 R/Z 同构于圆群 S1，它是绝对值为 1 的复数在乘法下的群，或者说关于原点的二维旋转的群，也就是特殊正交群 SO(2)。有一个同构给出为 f(a + Z) = exp(2πia) (参见欧拉恒等式)。如果 G 是可逆的 3 × 3 实数矩阵的群，而 N 是带有行列式为 1 的 3 × 3 实数矩阵的子群，那么 N 在 G 中是正规子群(因为它是行列式同态的核)。N 的陪集们是带有给定行列式的矩阵的集合们，因此 G/N 同构于非零实数的乘法群。考虑阿贝尔群 Z4 = Z/4Z (也就是集合 { 0, 1, 2, 3 } 带有加法模 4)，和它的子群 { 0, 2 }。商群 Z4 / { 0, 2 } 是 { { 0, 2 }, { 1, 3 } }。这是带有单位元 { 0, 2 } 的群，群运算如 { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群 { 0, 2 } 和商群 { { 0, 2 }, { 1, 3 } } 同构于 Z2。考虑乘法群 。第 n 个馀数的集合 N 是 的 ϕ(n) 阶乘法子群。则 N 在 G 中是正规子群并且因子群 G/N 有陪集 N, (1+n)N, (1+n)2N,…,(1+n)n−1N。 Pallier加密系统基于了在不知道 n 的因子分解的时候难于确定 G 的随机元素的陪集的猜想。 商群 G / G 同构于平凡群(只有一个元素的群)，而 G / 同构于 G。G / N 的阶定义为等于 [G : N]，它是 N 在 G 中的子群的指标(index)。如果 G 是有限的，这个指标还等于 G 的阶除以 N 的阶。注意 G / N 可以在 G 和 N 二者是无限的时候是有限的(比如 Z / 2Z)。有一个“自然”满射群同态 π : G → G / N，把每个 G 的元素 g 映射到 g 所属于的 N 的陪集上，也就是: π(g) = gN。映射 π 有时叫做“ G 到 G / N 上的规范投影”。它的核是 N。在包含 N 的 G 的子群和 G / N 的子群之间有一个双射映射；如果 H 是包含 N 的 G 的子群，则对应的 G / N 的子群是 π(H)。这个映射对于 G 的正规子群和 G / N 也成立，并在格定理中形式化。商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。如果 G 是阿贝尔群、幂零群或可解群，则 G / N 也是。如果 G 是循环群或有限生成群，则 G / N 也是。如果 N 被包含在 G 的中心内，则 G 也叫做这个商群的中心扩张。如果 H 是在有限群 G 中的子群，并且 H 的阶是 G 的阶的一半，则 H 保证是正规子群，因此 G / H 存在并同构于 C2。这个结果还可以陈述为“任何指标为 2 的子群都是正规子群”，并且它的这种形式还适用于无限群。所有群都同构于一个自由群的商。有时但非必然的，群 G 可以从 G / N 和 N 重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。Z4 / { 0, 2 } 同构于 Z2，并且还同构于 { 0, 2 }，但是唯一的半直积是直积，因为 Z2 只有一个平凡的自同构。所以 Z4 不同于 Z2 × Z2，它不能被重构。 商环，也叫做因子环群扩张格定理商范畴短正合序列

C 分析：这个图形的面积可以有两种算法，一种是上下把它分成两个矩形，一种是左右把它分成两个矩形．分别表示面积求解．这个图形的面积可以有两种算法：一种是上下把它分成两个矩形，则它的面积是a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ；一种是左右把它分成两个矩形．则它的面积就是a 1 b 1 +a 2 b 2 ．所以a 1 b 1 +a 2 b 2 =a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ．故选C．