精锐：什么是阿贝尔变换，它在数学史上有什么意义？

阿贝尔公式就是恒等式a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=a1（b1-b2）+（a1+a2）（b2-b3）+（a1+a2+a3）（b3-b4）+（a1+a2+a3+a4）（b4-b5）+（a1+a2+a3+a4+a5）b5。

好题

阿贝尔公式就是恒等式a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=a1（b1-b2）+（a1+a2）（b2-b3）+（a1+a2+a3）（b3-b4）+（a1+a2+a3+a4）（b4-b5）+（a1+a2+a3+a4+a5）b5。这是高等数学里面很重要的一个公式，当然这里不只有五个数，其个数还可推广至n。

阿贝尔恒等式只有一种形式,是在证明收敛判别法中出现的.我觉得你会那个证明就可以了.主要想法是用前几项求和去代替每一项的数列.

C 分析：这个图形的面积可以有两种算法，一种是上下把它分成两个矩形，一种是左右把它分成两个矩形．分别表示面积求解．这个图形的面积可以有两种算法：一种是上下把它分成两个矩形，则它的面积是a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ；一种是左右把它分成两个矩形．则它的面积就是a 1 b 1 +a 2 b 2 ．所以a 1 b 1 +a 2 b 2 =a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ．故选C．

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阿贝尔变换是一个恒等式，它在数学分析中有着广泛的应用。通过阿贝尔变换，可以分别证明任意项级数收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法

贝塞尔函数（Bessel functions）是数学上的一类特殊函数的总称。一般贝塞尔函数是下列常微分方程（一般称为"""贝塞尔方程"""）的标准解函数。这类方程的解是无法用初等函数系统地表示的。可以运用自动控制理论中的相平面法进行定性分析。　　 被称为其对应贝塞尔函数的阶数。实际应用中最常见的情形为 是整数，对应解称为 阶贝塞尔函数。　　尽管在上述微分方程中，本身的正负号不改变方程的形式，但实际应用中仍习惯针对 和 定义两种不同的贝塞尔函数（这样做能带来好处，比如消除了函数在 点的不光滑性）。 　　贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的（在圆柱域问题中得到的是<U>整阶</U>形式 &alpha; = ""n""；在球形域问题中得到的是<U>半奇数阶</U>形式 &alpha; = ""n""+&frac12;），因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及<U>有势场</U>的问题中占有非常重要的地位，最典型的问题有：　　* 在圆柱形波导中的电磁波传播问题；　　* 圆柱体中的热传导定律|热传导问题；　　* 圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题；　　在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成（w:Frequency modulation synthesis|FM synthesis）或凯泽窗（w:Kaiser window|Kaiser window）的定义中，都要用到贝塞尔函数。贝塞尔函数的一个实例：一个紧绷的鼓面在中心受到敲击后的二阶振动振型，其振幅沿半径方向上的分布就是一个贝塞尔函数（考虑正负号）。实际生活中受敲击的鼓面的振动是各阶类似振动形态的叠加。 　　第一类 阶贝塞尔函数 是贝塞尔方程当 为整数或 ;非负时的解，须满足在 时有限。这样选取和处理""J""_&alpha;的原因见本主题下面的贝塞尔函数#性质|性质介绍；另一种定义方法是通过它在点的泰勒级数展开（或者更一般地通过幂级数展开，这适用于&alpha;为非整数）：　　上式中 为Γ函数（它可视为阶乘|阶乘函数向非整型因变量和自变量|自变量的推广）。第一类贝塞尔函数的形状大致与按 速率衰减的正弦或三角函数|余弦函数类似（参见本页下面对它们渐进形式的介绍），但它们的零点并不是周期性的，另外随着""x""的增加，零点的间隔会越来越接近周期性。图2所示为0阶、1阶和2阶第一类贝塞尔函数 的曲线（ ）。　　如果&alpha;不为整数，则<math>J_alpha (x)</math>和<math>J_{-alpha} (x)</math>线性无关，可以构成微分方程的一个"""解系"""。反之若<math>alpha</math>是整数，那么上面两个函数之间满足如下关系：　　:<math>J_{-alpha}(x) = (-1)^{alpha} J_{alpha}(x),</math>　　于是两函数之间已不满足线性无关条件。为寻找在此情况下微分方程与<math>J_alpha (x)</math>线性无关的另一解，需要定义"""第二类贝塞尔函数"""，定义过程将在后面的小节中给出。 　　整阶（&alpha; = ""n""）第一类贝塞尔函数""J""_""n""常通过对其"""母函数"""（""generating function""）的罗朗级数（w:Laurent series|Laurent series）展开来定义：　　:<math>e^{(x/2)(t-1/t)} = sum_{n=-infty}^infty J_n(x) t^n,</math>　　上式得左边即为整阶第一类贝塞尔函数的母函数，这是丹麦天文学家w:Peter Andreas Hansen|汉森于1843年提出的。（这种定义也可以通过路径积分或其他方法推广到非整数阶）。整阶函数的另一个重要性质是下列"""雅可比-安格尔恒等式"""（""Jacobi-Anger identity""）：　　:<math>e^{iz cos phi} = sum_{n=-infty}^infty i^n J_n(z) e^{inphi},</math>　　利用这一等式可以将平面波展开成一系列柱面波的叠加，或者将频率调制|调频信号分解成傅里叶级数的叠加。　　函数""J""_&alpha;、""Y""_&alpha;、""H""_&alpha;⁽¹⁾和""H""_&alpha;⁽²⁾均满足递推关系：　　:<math>Z_{alpha-1}(x) + Z_{alpha+1}(x) = frac{2alpha}{x} Z_alpha(x)</math>　　:<math>Z_{alpha-1}(x) - Z_{alpha+1}(x) = 2frac{dZ_alpha}{dx}</math>　　其中""Z""代表""J"", ""Y"", ""H""⁽¹⁾或""H""⁽²⁾。（常将这两个恒等式联立推出其他关系）。从这组递推关系可以通过低阶贝塞尔函数（或它们的低阶导数）计算高阶贝塞尔函数（或它们的高阶导数）。特别地，有：　　:<math>left( frac{d}{x dx} ight)^m left[ x^alpha Z_{alpha} (x) ight] = x^{alpha - m} Z_{alpha - m} (x)</math>　　:<math>left( frac{d}{x dx} ight)^m left[ frac{Z_alpha (x)}{x^alpha} ight] = (-1)^m frac{Z_{alpha + m} (x)}{x^{alpha + m}}</math>　　由于贝塞尔方程对应的作用算符除以""x"" 后便是一个（自伴随的）厄米算符（w:Hermitian|Hermitian），所以它的解在适当的边界条件下须满足正交性关系。特别地，可推得：　　:<math>int_0^1 x J_alpha(x u_{alpha,m}) J_alpha(x u_{alpha,n}) dx = frac{delta_{m,n}}{2} J_{alpha+1}(u_{alpha,m})^2,</math>　　其中&alpha; > -1，&delta;_""m"",""n""为克罗内克尔δ，""u""_&alpha;,m表示""J""_&alpha;(""x"")的第""m"" 级零点。这个正交性关系可用于计算傅里叶-贝塞尔级数中各项的系数，以利用该级数将任意函数写成&alpha;固定、""m"" 变化的函数""J""_&alpha;(""x"" ""u""_&alpha;,m)的无穷叠加形式。（可以立即得到球贝塞尔函数相应的关系）。　　另一个正交性关系是下列在&alpha; > -1/2时成立的“封闭方程”（""closure equation""）：　　:<math>int_0^infty x J_alpha(ux) J_alpha(vx) dx = frac{1}{u} delta(u - v)</math>　　其中&delta;为狄拉克δ函数。球贝塞尔函数的正交性条件为（当&alpha; > 0）：　　:<math>int_0^infty x^2 j_alpha(ux) j_alpha(vx) dx = frac{pi}{2u^2} delta(u - v)</math>　　贝塞尔方程的另一个重要性质与其朗斯基行列式（w:Wronskian|Wronskian）相关，由阿贝尔恒等式（w:Abel"s identity|Abel"s identity）得到：　　:<math>A_alpha(x) frac{dB_alpha}{dx} - frac{dA_alpha}{dx} B_alpha(x) = frac{C_alpha}{x},</math>　　其中""A""_&alpha; 和""B""_&alpha;是贝塞尔方程的任意两个解，""C""_&alpha;是与""x"" 无关的常数（由&alpha;和贝塞尔函数的种类决定）。譬如，若""A""_&alpha; = ""J""_&alpha;、""B""_&alpha; = ""Y""_&alpha;，则""C""_&alpha; is 2/&pi;。该性质在修正贝塞尔函数中同样适用，譬如，若""A""_&alpha; = ""I""_&alpha;、""B""_&alpha; = ""K""_&alpha;，则""C""_&alpha;为-1。　　cs:Besselova funkce　　de:Besselsche Differentialgleichung　　en:Bessel function　　es:Función de Bessel　　fi:Besselin funktiot　　fr:Fonction de Bessel　　it:Funzioni di Bessel　　ja:ベッセル関数　　ko:베셀 함수　　nl:Besselfunctie　　pl:Funkcje Bessela　　pt:Fun&ccedil;&atilde;o de Bessel　　ru:Функции Бесселя　　sl:Besslova funkcija　　sv:Besselfunktion　　uk:Функція Неймана

wronski行列式的第一行为n个可导函数本身，第二行是各函数的一阶导数，...，第n行是各函数的n-1阶导数在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。有二阶，三阶，还有四阶，五阶等等不同阶的算法略有不同常用的为上三角法和下三角法

你好，关于拉格朗日恒等式的证明如下：用数学归纳法证明.1.显然n=1时,[(a1)^2][(b1)^2]=[(a1)(b1)]^2.拉格朗日恒等式成立.2.设n=k时,拉格朗日恒等式成立.当n=k+1时,[(a1)^2+...+(a(n+1))^2][(b1)^2+...+(b(n+1))^2]--[(a1)(b1)+...+(a(n+1))(b(n+1))]^2=={[(a1)^2+...+(an)^2][(b1)^2+...+(bn)^2]--[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]^2}++{[(a(n+1))^2(b1)^2+(b(n+1))^2(a1)^2]+..++[(a(n+1))^2(bn)^2+(b(n+1))^2(an)^2]--2a(n+1)b(n+1)[(a1)(b1)+...+(an)(bn)]}=={[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..++[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2}++{[(a(n+1))^2(b1)^2-2a(n+1)b(n+1)(a1)(b1)++(b(n+1))^2(a1)^2]+..+[(a(n+1))^2(bn)^2--2a(n+1)b(n+1)(an)(bn)+(b(n+1))^2(an)^2]}=={[(a2)(b1)-(a1)(b2)]^2+[(a3)(b1)-(a1)(b3)]^2+..++[(a(n-1))(bn)-(an)(b(n-1))]^2}++{[(a(n+1))(b1)-b(n+1)(a1)]^2++..+[(a(n+1))(bn)-b(n+1)(bn)]^2}所以n=k+1时,拉格朗日恒等式成立.这样数学归纳法证明了拉格朗日恒等式.另外，关于阿贝尔不等式，恕我不能帮助你，关于阿贝尔，我只知道阿贝尔积分、阿贝尔函数、阿贝尔积分方程、阿贝尔群、阿贝尔级数、阿贝尔部分和公式、阿贝尔基本定理、阿贝尔极限定理、阿贝尔可和性，并不知道阿贝尔不等式存在，抱歉。

阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752－1833），法国数学家。他的主要贡献在统计学、数论、抽象代数与数学分析上。勒让德的主要研究领域是分析学（尤其是椭圆积分理论）、数论、初等几何与天体力学，取得了许多成果，导致了一系列重要理论的诞生。勒让德是椭圆积分理论奠基人之一。勒让德对数论的主要贡献是二次互反律，这是同余式论中的一条基本定理。他还是解析数论的先驱者之一，归纳出了素数分布律，促使许多数学家研究这个问题。其他贡献包括：椭圆函数论、最小二乘法、测地线理论等。

3。1415926535

雅可比出生于一个富裕的犹太人家庭，其父是银行家。雅可比自幼聪明,幼年随他舅舅学习样丁文和数学。1816年11月进入波茨坦大学预科学习，1821年春毕业。当时他的希腊语、拉丁语和历史的成绩都很优异；尤其在数学方面，他掌握的知识远远超过学校所教授的内容。他还自学了L.欧拉的《无穷小分析引论》，并且试图解五次代数方程。1821年4月雅可比入柏林大学，开始两年的学习生活，他对哲学、古典文学和数学都颇有兴趣。该校的校长评价说，从一开始雅可比就显示出他是一个“全才”。像高斯一样，要不是数学强烈吸引着他，他很可能在语言上取得很高成就。雅可比最后还是决定全力投身数学。1825年，他获得柏林大学理学博士学位。之后，留校任教。1825年到1826年冬季，他主讲关于三维空间曲线和曲面的解析理论课程。年仅21岁的雅可比善于将自己的观点贯穿在教学之中，启发学习独立思考，是当时最吸引人的数学教师，他的成功引起普鲁士教育部的注意。1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大学任教，在柯尼斯堡大学的18年间，雅可比不知疲倦地工作着，在科学研究和教学上都做出惊人的成绩。他在数学方面最主要的成就是和挪威数学家N.H.阿贝尔相互独立地奠定了椭圆函数论的基础，引入并研究了θ 函数和其他一些超越函数。这些工作使法国数学家A.-M.勒让德在这一领域的工作黯然失色。但无私的勒让德赞扬和支持他和阿贝尔的工作。他对阿贝尔函数也作了研究，还发现了超椭圆函数。他对椭圆函数理论的透彻研究在数学界引起轰动，从而与N.H.阿贝尔齐名。雅可比在椭圆函数理论、数学分析、数论、几何学、力学方面的主要论文都发表在克雷勒的《纯粹和应用数学》杂志上，平均每期有三篇雅可比的文章。这使得他很快获得国际声誉。当时，他同数学家贝塞尔、物理学家F.诺伊曼三人成为德国数学复兴的核心。 1827年12月被任命为副教授，1832年7月为教授。1827年被选为柏林科学院院士。他还是伦敦皇家学会会员，还是彼得堡、维也纳、巴黎、马德里等科学院院士。1842年由于健康不佳而退隐，定居柏林。1844年起接受普鲁士国王的津贴，在柏林大学任教。1848年革命期间，由于在一次即席演讲中得罪了王室而失去了津贴。当维也纳大学决定聘请他当教授时，普鲁士当局才意识到他的离开会造成的损失，因而恢复了他的待遇。1851年初雅可比在患流行性感冒还未痊愈时,又得了天花,不久去世.他的密友P.G.L.狄利克雷在柏林科学家发表纪念讲话，总结了他在数学上的杰出贡献，称他为J.L. 拉格朗日以来科学院成员中最卓越的数学家。现代数学许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字，可见雅可比的成就对后人影响之深。1881——1891年普鲁士科学院陆续出版了由C.W.博尔夏特等人编辑的七卷《雅可比全集》和增补集，这是雅可比留给世界数学界的珍贵遗产。

物理上,杨振宁李振道弱场下宇称不守恒定律；狄拉克电子海；费曼图,重整化群,历史求和；玻色爱因斯坦凝聚；狄拉克费米分布,相对论量子力学,超弦理论,量子规范场论、量子非阿贝尔规范场、量子电动力学、量子色动力学、二次量子化等.数学,麦克劳林欧拉展开,拉格朗日插值多项式,牛顿二项定理、牛顿插值多项式,欧氏几何、非欧几何,黎曼曲率张量、比安奇恒等式、艾米特恒等式、高斯绝妙定理、三次方程卡尔丹解法、傅里叶变换、拉普拉斯变换、阿贝尔变换、欧拉变换、勒让德变换等

1、 理解命题的定义及否定，合取，析取，单条件，双条件等五种联结词的定义，理解合式公式的定义，理解重言式，矛盾式及可满足式的概念，能正确的将命题符号化。2、 理解等值式的定义，熟练进行等值演算，理解主析取式和主合取式的定义；熟练掌握用真值表法和主范式法来判断公式的类型，证明两个公式等值。3、 理解联结词完备集的概念，能判断那些集合是完备的。4、 熟练掌握在自然推理系统中进行推理的几种方法：（1）直接证明法，（2）附加前提法，（3）归谬法。5、 理解个体词、谓词、量词的概念，在一阶逻辑中能正确地将命题符号化。6、 理解一阶逻辑中合式公式的定义，理解约束变元和指导变元的概念，理解一阶逻辑中永真式、矛盾式及可满足式的定义。7、 理解一阶逻辑中的等值式的概念，掌握置换规则，替换规则及代替规则。8、 理解前束范式的概念，掌握前束范式的求法。9、 能正确使用量词的消去和引入规则，熟练掌握一阶逻辑推理的推理理论。10 、理解子集、相等、空集、幂等等概念，熟练掌握集合的交，并，补，对称差等运算，了解集合的广义并，广义交，能利用集合的恒等式及定义证明两个集合相等。11、理解集合A，B的笛卡儿积的定义， 的性质。12、理解二元运算的定义，并能用集合、矩阵、图等表示二元关系。13、掌握关系的逆和关系的交运算以及运算的性质。14、理解关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性的概念。15、理解等价关系和划分的定义，能理解等价类及商集的定义。16、理解偏序集的概念，熟练掌握哈斯图的画法，并会求最大最小元，极大极小元，理解集合的上确界，下确界的定义。17、理解函数的定义，理解单射，满射，双射的概念。18、理解函数的复合及反函数。19、理解半群的定义和性质20、理解群和子群的概念，掌握其性质及判定21、理解阿贝尔群的定义、性质，理解循环群的定义掌握其结构22、了解置换群和伯恩塞德定理23、理解陪集与拉格朗日定理24、理解同态与同构的概念,掌握同态基本定理。25、理解图的基本概念，理解图的连通性的概念，掌握握手定理。26．掌握图的可达性矩阵、邻接矩阵及完全关联矩阵，了解图的运算，理解图的同构的定义。27、 理解欧拉图和哈密顿图的定义，并掌握其判断方法。28、 理解树的定义及其性质，掌握最小生成树的求法。29、 理解根树的定义，掌握最优树的定义，会求最佳前缀码。30、 理解平面图的概念，掌握欧拉公式、欧拉不等式及平面图的判断方法。31、 掌握图的对偶图的画法，理解图的顶点着色的概念，会求最小着色数。32、 了解图的边着色的定义及方法。八、 程内容的重点和深广度要求命题的定义及否定，合取，析取，单条件，双条件等五种联结词的定义，合式公式的定义，重言式，矛盾式及可满足式的概念；等值式的定义，等值演算，主析取式和主合取式；证明两个公式等值；联结词完备集的概念，自然推理系统中进行推理的几种方法：（1）直接证明法，（2）附加前提法，（3）归谬法；个体词、谓词、量词的概念，命题符号化；一阶逻辑中合式公式的定义，约束变元和指导变元的概念，一阶逻辑中永真式、矛盾式及可满足式的定义；量词的消去和引入规则；子集、相等、空集、幂等等概念，集合的交，并，补，对称差等运算，集合的广义并，广义交；集合A，B的笛卡儿积的定义， 的性质；二元运算的定义，用集合、矩阵、图等表示二元关系；关系的逆和关系的交运算以及运算的性质；关系的自反性、反自反性、对称性、反对称性、传递性的概念；等价关系和划分的定义，等价类及商集的定义；偏序集的概念，哈斯图的画法，最大最小元，极大极小元，集合的上确界，下确界的定义；函数的定义，单射，满射，双射的概念；函数的复合及反函数；理解半群的定义和性质;理解群和子群的概念，掌握其性质及判定;理解阿贝尔群的定义、性质，理解循环群的定义掌握其结构;了解置换群和伯恩塞德定理;理解陪集与拉格朗日定理;理解同态与同构的概念,掌握同态基本定理;了解环与整环的概念，知道域的概念;图的基本概念，图的连通性的概念，握手定理，图的可达性矩阵、邻接矩阵及完全关联矩阵，图的运算，图的同构；欧拉图和哈密顿图的定义，其判断方法；树的定义及其性质，最小生成树的求法；根树的定义，最优树的定义；平面图的概念，欧拉公式、欧拉不等式及平面图的判断方法；图的对偶图的画法，图的顶点着色的概念，最小着色数；图的边着色的定义及方法。九、 对学生课外作业的要求要求学生完成课后30％～50％的练习题。十、 本课程与后续课程的关系对数据结构、图论、数据库、操作系统、数字电路与逻辑设计等课程有很大联系。十一、 对学生能力培养的要求要求学生学了离散数学后能在可计算性与计算复杂性理论、算法与数据结构、程序设计语言、人工智能与机器人、网络和计算机图形学等领域会应用，同时培养了学生的英文能力。十二、 教材及主要参考书教材：Bernard Kolman《Discrete Mathematical Structures》Forth Edition参考书：耿素云，屈婉玲编著《离散数学》，高等教育出版社十三、 教学方法和教学媒体的使用 中英文结合教学，主要用多媒体授课。十四、 学习方法与建议结合实际问题，多想、多练、多问，必须提高英文阅读能力。

在随后的讨论中，我们将使用在 G 的子集上的二元运算: 如果给出 G 的两个子集 S 和 T，我们定义它们的乘积为 ST = { st : s∈S 并且 t∈T }。这个运算是符合结合律的并有单位元为单元素集合 ，这里的 e 是 G 的单位元。因此，G 的所有子集的集合形成了在这个运算下的幺半群。凭借这个运算我们可以首先解释商群是什么，并接着解释正规子群是什么:群 G 的商群是其自身在这个运算下的群 G 的划分。它完全由包含 e 的子集所确定。G 的正规子群是在任何这种划分中包含 e 的集合。在划分中的子集是这个正规子群的陪集。群 G 的子群 N 是正规子群，当且仅当陪集等式 aN = Na 对于所有 G 中的 a 都成立。依据上述定义的在子集上的二元运算，G 的正规子群是交换于 G 的所有子集的子群，并指示为 N ⊲ G。 置换于 G 的所有子群的子群叫做可置换子群。 设 N 是群G 的正规子群。我们定义集合 G/N 是 N 在 G 中的所有左陪集的集合，就是说 G/N = { aN : a∈G }。在 G/N 上的群运算定义如上。换句话说，对于每个 G/N 中 aN 和 bN，aN 和 bN 的乘积是 (aN)(bN)。这个运算是闭合的，因为 (aN)(bN) 实际上是左陪集:(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = (ab)NN = (ab)N。N 的正规性被用在了这个等式中。因为 N 的正规性，N 在 G 中的左陪集和右陪集是相等的，所以 G/N 也可以定义为 N 在 G 中所有的右陪集的集合。因为运算是从 G 的子集的乘积得出的，这个运算是良好定义的(不依赖于表示的特定选择)，符合结合律的，并有单位元 N。G/N 的元素 aN 的逆元是 a−1N。 G/N 叫做商群的理由来自整数的除法。在 12 除以 3 的时候得到答案 4 是因为我们可以把 12 个对象重新分组为 3 个对象的 4 个子集。商群出于同样想法，但用一个群作为最终答案而非一个数，因为群要比对象的随机搜集要更有结构。更细致的说，在查看 G/N 而 N 是 G 的正规子群的时候，这个群结构形成一种自然“重新分组”。它们是 N 在 G 中陪集。 因为我们从一个群和正规子群得到的最终的商包含比只是陪集的(正常除法所产生的)数目要更多的信息，这里得到了一个群结构自身。 考虑整数集 Z (在加法下)的群和所有偶数构成的子群 2Z。这是个正规子群，因为 Z 是阿贝尔群。只有两个陪集: 偶数的集合和奇数的集合；因此商群 Z/2Z 是两个元素的循环群。这个商群同构于集合 { 0, 1 } 带有模 2 加法运算的群；非正式的说，有时称 Z/2Z 等于集合 { 0, 1 } 带有模 2 加法。上个例子的稍微一般化。再次考虑整数集 Z 在加法下的群。设 n 是任何正整数。我们考虑由 n 的所有倍数构成的 Z 的子群 nZ。nZ 在 Z 中还是正规子群因为 Z 是阿贝尔群。陪集们是搜集 {nZ,1+nZ,...,(n−2)+nZ,(n−1)+nZ}。整数 k 属于陪集 r+nZ，这里的 r 是 k 除以 n 的馀数。商 Z/nZ 可以被认为模以 n 的“馀数”的群。这是个 n 阶循环群。N 在 G 中的陪集考虑复数十二次单位一的根的乘法阿贝尔群 G，它们是在单位圆上的点，它们在右图中展示为着色的球并在每点上用数标记出它们的幅角。考虑它由单位一的四次根构成的子群 N，在图中表示为红色球。这个正规子群把群分解为三个陪集，分别表示为红色、绿色和蓝色。你可以验证这些陪集形成了三个元素的群(红色元素和蓝色元素的乘积是蓝色元素，蓝色元素的逆元是绿色元素等等)。因此商群 G/N 是三种颜色元素的群，它又是三个元素的循环群。考虑实数集 R 在加法下的群，和整数集子群 Z。Z 在 R 中的陪集们是形如 a + Z 的所有集合，这里 0 ≤ a < 1 是实数。这种陪集的加法是通过做相应的实数的加法，并在结果大于或等于 1 的时候减去 1 完成的。商群 R/Z 同构于圆群 S1，它是绝对值为 1 的复数在乘法下的群，或者说关于原点的二维旋转的群，也就是特殊正交群 SO(2)。有一个同构给出为 f(a + Z) = exp(2πia) (参见欧拉恒等式)。如果 G 是可逆的 3 × 3 实数矩阵的群，而 N 是带有行列式为 1 的 3 × 3 实数矩阵的子群，那么 N 在 G 中是正规子群(因为它是行列式同态的核)。N 的陪集们是带有给定行列式的矩阵的集合们，因此 G/N 同构于非零实数的乘法群。考虑阿贝尔群 Z4 = Z/4Z (也就是集合 { 0, 1, 2, 3 } 带有加法模 4)，和它的子群 { 0, 2 }。商群 Z4 / { 0, 2 } 是 { { 0, 2 }, { 1, 3 } }。这是带有单位元 { 0, 2 } 的群，群运算如 { 0, 2 } + { 1, 3 } = { 1, 3 }。子群 { 0, 2 } 和商群 { { 0, 2 }, { 1, 3 } } 同构于 Z2。考虑乘法群 。第 n 个馀数的集合 N 是 的 ϕ(n) 阶乘法子群。则 N 在 G 中是正规子群并且因子群 G/N 有陪集 N, (1+n)N, (1+n)2N,…,(1+n)n−1N。 Pallier加密系统基于了在不知道 n 的因子分解的时候难于确定 G 的随机元素的陪集的猜想。 商群 G / G 同构于平凡群(只有一个元素的群)，而 G / 同构于 G。G / N 的阶定义为等于 [G : N]，它是 N 在 G 中的子群的指标(index)。如果 G 是有限的，这个指标还等于 G 的阶除以 N 的阶。注意 G / N 可以在 G 和 N 二者是无限的时候是有限的(比如 Z / 2Z)。有一个“自然”满射群同态 π : G → G / N，把每个 G 的元素 g 映射到 g 所属于的 N 的陪集上，也就是: π(g) = gN。映射 π 有时叫做“ G 到 G / N 上的规范投影”。它的核是 N。在包含 N 的 G 的子群和 G / N 的子群之间有一个双射映射；如果 H 是包含 N 的 G 的子群，则对应的 G / N 的子群是 π(H)。这个映射对于 G 的正规子群和 G / N 也成立，并在格定理中形式化。商群的一些重要性质记录在同态基本定理和同构基本定理中。如果 G 是阿贝尔群、幂零群或可解群，则 G / N 也是。如果 G 是循环群或有限生成群，则 G / N 也是。如果 N 被包含在 G 的中心内，则 G 也叫做这个商群的中心扩张。如果 H 是在有限群 G 中的子群，并且 H 的阶是 G 的阶的一半，则 H 保证是正规子群，因此 G / H 存在并同构于 C2。这个结果还可以陈述为“任何指标为 2 的子群都是正规子群”，并且它的这种形式还适用于无限群。所有群都同构于一个自由群的商。有时但非必然的，群 G 可以从 G / N 和 N 重构为一个直积或半直积。判定何时成立的问题叫做扩张问题。不成立的一个例子如下。Z4 / { 0, 2 } 同构于 Z2，并且还同构于 { 0, 2 }，但是唯一的半直积是直积，因为 Z2 只有一个平凡的自同构。所以 Z4 不同于 Z2 × Z2，它不能被重构。 商环，也叫做因子环群扩张格定理商范畴短正合序列

在非空集合R中，若定义了两种代数运算+和（不一定为加与乘），且满足：Axiom1:集合R在+运算下构成阿贝尔群(Abel group).Axiom2:关于有结合律，即，.R对构成一个半群。Axiom3:分配律与结合律对成立，即，有：称代数系统是一个环(Ring)。在不引起混淆的情况下，简记为.上加法群的单位元称为零元，记为0，且对有.若只满足Axiom1和Axiom3，而不满足Axiom2的结合律，则R称为一个非结合环。此时R中就有唯一的零元素θ，使得对α∈R恒有α+θ=α；R中每个α有唯一的负元素-α，使α+（-α）=θ，可简记α+（-b）为α-b。分配律可推广为：α（b±с）=αb±αс，（b±с）α=bα±сα；用数学归纳法可证：在非结合环R中恒有：αθ=θα=θ；α（-b）=（-α）b=-αb；（-α）（-b）=αb；（nα）b=α（nb）=nαb，其中α、b为R中任意元素，n为任意整数。如果非结合环R还具有性质：α2=θ（α∈R），且雅可比恒等式成立，即在R中恒有（αb）с+（bс）α+（сα）b=θ，那么R称为一个Lie环。如果非结合环R的乘法适合交换律，且在R中恒有：（αα）b，α=（αα）（bα），那么R称为一个若尔当环。在非结合环的研究中，李环与若尔当环是内容最丰富的两个分支。如果非结合环R的乘法适合结合律，那么R称为一个结合环或环。如果在环R中再规定如下的一个新乘法“。”（称为换位运算）：α。b=αb-bα，那么R对原来的加法与新有的乘法是一个李环；若规定的新乘法为“·”（称为对称运算）：α·b=αb+bα，则R便成一个若尔当环。设S是非结合环R的一个非空子集，若对于R的加法与乘法，S也构成一个非结合环，则S称为R的一个子环。一个真正的非结合环（即其中有三个元素在相乘时不适合结合律）的一个子环，有可能是一个结合环。非结合环R的若干个子环的交，仍是R的一个子环。当T为R的一个非空子集时，R中所有含T的子环的交显然是R中含T的最小子环，称之为R的由T生成的子环。如果非结合环R中任意三个元素生成的子环恒为结合环，那么R已经是一个结合环；如果R中任意两个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个交错环；如果R中任意一个元素生成的子环恒为结合环，那么R称为一个幂结合环。在幂结合环中，第一、第二指数定律即：恒成立。如果一个交错环的乘法还适合交换律，那么它称为一个交错交换环。在交错交换环中，不仅有第一、第二指数定律成立，而且有第三指数定律即：（n是任意正整数）成立；还有二项式定理。结合环与交换环的典型例子如：F上的n阶全阵环，即数域（或域）F上的所有n阶矩阵在矩阵的加法与乘法下构成的一个环；V的完全线性变换环，即F上的一个向量空间V的全部线性变换在变换的加法与乘法下构成的一个环；F上的多项式环，即F上一个或若干个文字的多项式全体构成的一个交换环。整数环，即全体整数构成的一个交换环；全体偶数构成它的一个子环，称为偶数环；R上的n阶全阵环，即在任意一个环R上的全部n阶矩阵，对于仿通常矩阵的运算定义的加法与乘法构成的环，记为Rn；【0,1】上的全实函数环，即定义在区间【0,1】上的全部实函数，对于函数的加法与乘法构成的一个交换环；整数模n的环，即模n剩余类，对于剩余类的加法和乘法构成的一个交换环。它是只含有限个元素的交换环的典型例子。若一个环R中含有一个非零元素e≠θ，使对每个x∈R有ex=xe=x，则e称为R的一个单位元素。一个环若有单位元素，则它必然是唯一的。设R是一个含有单位元素的环，α是R中一个元素，若R中有元素b，使αb=bα=e，则b称为α的一个逆元素。当α有逆元素时，其逆元素必然是唯一的，记为α-1，α-1也有逆元素，而且就是α，即（α-1）-1=α。R的零元素θ必无逆元素。若R的每个非零元素都有逆元素，则R称为一个体或可除环。四元数代数就是典型的体。在体的定义中再规定其乘法适合交换律，就是域的定义。

你好很高兴为你解答，潘宪民是担任云南盼安交通设施科技有限公司、昆明市官渡区中原饭店 等法定代表人。

阿贝尔公式就是恒等式a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=a1（b1-b2）+（a1+a2）（b2-b3）+（a1+a2+a3）（b3-b4）+（a1+a2+a3+a4）（b4-b5）+（a1+a2+a3+a4+a5）b5。这是高等数学里面很重要的一个公式，当然这里不只有五个数，其个数还可推广至n。

您好，阿贝尔恒等式要求∑（i=1,n）。对于0的话，约定成俗的s0=0，就像0！=1一样，如果不这样做，分母为0！时就算不出结果了。

外国的高斯，牛顿，米开郎基罗，毕达哥拉斯都可以说是举世闻名的，中国的有华罗庚，陈景润，苏步青。美籍华人丘成桐，陈省身。。。。。。

自然数现在不包括0了

C 这个图形的面积可以有两种算法，一种是上下把它分成两个矩形，一种是左右把它分成两个矩形．分别表示面积求解．这个图形的面积可以有两种算法：一种是上下把它分成两个矩形，则它的面积是a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ；一种是左右把它分成两个矩形．则它的面积就是a 1 b 1 +a 2 b 2 ．所以a 1 b 1 +a 2 b 2 =a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ．故选C．

C 分析：这个图形的面积可以有两种算法，一种是上下把它分成两个矩形，一种是左右把它分成两个矩形．分别表示面积求解．这个图形的面积可以有两种算法：一种是上下把它分成两个矩形，则它的面积是a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ；一种是左右把它分成两个矩形．则它的面积就是a 1 b 1 +a 2 b 2 ．所以a 1 b 1 +a 2 b 2 =a 1 （b 1 -b 2 ）+（a 1 +a 2 ）b 2 ．故选C．

C

毕 达 哥 拉 斯 (Pythagoras) 毕达哥拉斯是希腊哲学家、数学家、音乐理论家、天文学家。 约公元前560年生于小亚细亚西岸的萨摩斯岛，约公元前 480年死于梅塔逢图姆。 毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛跟费雷西底（Pherecydes)学习，后来师从爱欧尼亚学派的安纳西曼德，有的资料说他曾在被誉为“科学之祖”的泰勒斯指导下进行科学研究。以后游历埃及、巴比伦等地，学到了不少数学、天文知识，回到家乡后开始讲学。 毕达哥拉斯是历史上有可靠记载的第二个希腊数学家（第一个是指泰勒斯）。数学作为一门科学实际上始于毕达哥拉斯，正如公元前4世纪的科学史家区德缪斯所说：“毕大哥拉斯创立了数学并把它变成一门高尚的艺术。 基于“万物皆数”的信念，比大哥拉斯及门人首先把抽象的数的观念放到首要地位，并把算术与几何紧密联系起来，例如把算术中的单位看作“没有位置的数”，而把几何的点看作“有位置的单位”。他们提出了区别奇数、偶数、素数的方法；发现了完全数（若一个数等于其全部真因子之河，则称这个数是完全数）、亲和数（两个数是亲和的，即两数之中任何一个数是另一个数的真因子之河。比大哥拉斯还证明了：若2n-1是素数，而2n-1是完全数。 他们还研究了：三角形数、正方形数、五边形数等等。 比大哥拉斯本人尤以发现勾股定理著称世界。更重要的是由于这个学派对勾股定理的研究，导致了不可公度量的发现。它激起了后来区多克索斯（Eudoxus）去寻找同时适合于可公度与不可公度数量的高级比例理论。 比大哥拉斯学派对建立先验的演泽法，在一定范围内获得了显著的成就。他们承认并强调数学的对象是抽象的思维，用实际事物有所区别。他们在数学中引入逻辑因素，对命题加以证明，这可以说做了大量的工作，这些工作为欧几里德公理化体系奠定了基础。他们证明了泰勒斯提出的三角形内角和定理；给出了多边形内角和定理；证明了平面可用等边三角形、正方形、正六边形填满，空间可用立方体填满；发现了正五边性和相似多边形的作法；发现了五种正多面体，并将它们与自然界中各种物质对应起来。 比大哥拉斯学派的一个很重要的贡献是面积帖合理论。它在希腊几何学中是基本理论，以致后来发展而产生了穷竭法。面积贴合的方法使他们能够说明一个由直线围称图形大雨、等于、小于另一个徒刑。在这种观念中，一个面积的单位被认为是为另一面积以一定的倍数所包容。希腊数学家不是说一个图形的面积，而只是说两个面的比。这样一种定义方法，由于不可公度问题的存在，在数的概念还没有发展到完善的程度以前无法使之精确化的。它一直到19世纪下半叶方才形成确切定义，也正是这样的概念才奠定了整个微积分学的基础。 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也占有杰出的地位。他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。 《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。他是世界上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法。在几何方面，提出了"割圆术"，即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.14的结果。刘徽在割圆术中提出的"割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"，这可视为中国古代极限观念的佳作。 《海岛算经》一书中， 刘徽精心选编了九个测量问题，这些题目的创造性、复杂性和富有代表性，都在当时为西方所瞩目。 刘徽思想敏捷，方法灵活，既提倡推理又主张直观。他是我国最早明确主张用逻辑推理的方式来论证数学命题的人。 刘徽的一生是为数学刻苦探求的一生。他虽然地位低下，但人格高尚。他不是沽名钓誉的庸人，而是学而不厌的伟人，他给我们中华民族留下了宝贵的财富。 欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年） 1707年出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导。 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从19岁开始发表论文，直到76岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他对数学分析的贡献更独具匠心，《无穷小分析引论》一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为"分析学的化身"。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究，在失明后的17年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文。19世纪伟大数学家高斯（Gauss，1777-1855年）曾说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。" 欧拉的父亲保罗·欧拉（Paul Euler）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学。由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰·伯努利的赏识和特殊指导，当他在19岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了。 1725年约翰·伯努利的儿子丹尼尔·伯努利赴俄国，并向沙皇喀德林一世推荐了欧拉，这样，在1727年5月17日欧拉来到了彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，后来在沙皇喀德林二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了。 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A·欧拉（数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过："欧拉是我们的导师。" 欧拉充沛的精力保持到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说："我死了"，欧拉终于"停止了生命和计算"。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。〔欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年）等。 阿贝尔和伽罗华 三、四次方程的一般解法找到之后，对一般的五次方程求解的研究迟迟没有得到解决。 大约三百年之后，在1825年，年仅22岁的挪威大学生阿贝尔(Abel N.H.,1802.8.5~1829.4.6)终于证明了：一般的一个代数方程，如果方程的次数n≥5 ，那么此方程的根不可能由方程的系数组成的根式来表示。这是一个划时代的结论，它宣告了寻找方程求根公式时代的结束。 阿贝尔的证明是：对于一般的高于四次的代数方程来说，如果用由方程的系数通过加、减、乘、除和开方运算构成的表达式代替方程的未知数，使方程成为恒等式是不可能的。 在阿贝尔证明了上述结论四年以后，在1829年，比阿贝尔更为年轻的法国大学生伽罗华（Galois E.,1811.10.26~1832.5.31）,在研究了拉格朗日（Lagrange j.L.,1736.1.25~1813.4.10）《关于代数方程解法的思考》及柯西（Cauchy A.L.B,1789.8.21~1857.5.23）、阿贝尔等人成果的基础上，创立了伽罗华理论，彻底解决了代数方程的可解条件问题。 伽罗华使用的方法不同于阿贝尔的方法。伽罗华使用的是一种深刻的现代化的方法--群论方法。尽管在伽罗华之前有人提出过"群"，但使"群"成为数学的一种深刻的现代化方法的是伽罗华。伽罗华理论是一种普遍性的理论，用这种理论能够推出阿贝尔曾经得到过的五次及五次以上一般的代数方程不可根式解的结论，而且能指出一些特殊方程可解的条件，这是一种比阿贝尔前进得远得多的代数理论。 由于伽罗华的创造性的成绩，有人说：如果要在数学史上列举20位贡献最大的数学家的话，伽罗华必为其中之一。遗憾的是，创立了如此伟大理论的伽罗华，年仅20岁就死于了涉及恋爱纠纷的一场决斗。 我们现在所用的直角坐标系，通常叫做笛卡儿直角坐标系。是从笛卡儿 （Descartes R.,1596.3.31~1650.2.11）引进了直角坐标系以后，人们才得以用代数的方法研究几何问题，才建立并完善了解析几何学，才建立了微积分。 法国数学家拉格朗日（Lagrange J.L.,1736.1.25~1813.4.10）曾经说过："只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是，当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取新鲜的活力。从那以后，就以快速的步伐走向完善。" 我国数学家华罗庚（1910.11.12~1985.6.12）说过："数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。形数结合百般好，隔裂分家万事非。切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！" 这些伟人的话，实际上都是对笛卡儿的贡献的评价。 笛卡儿的坐标系不同于一个一般的定理，也不同于一段一般的数学理论，它是一种思想方法和技艺,它使整个数学发生了崭新的变化，它使笛卡儿成为了当之无愧的现代数学的创始人之一。 笛卡儿是十七世纪法国杰出的哲学家，是近代生物学的奠基人，是当时第一流的物理学家，并不是专业的数学家。 笛卡儿的父亲是一位律师。当他八岁的时候，他父亲把他送入了一所教会学校，他十六岁离开该校，后进入普瓦界大学学习，二十岁毕业后去巴黎当律师。他于1617年进入军队。在军队服役的九年中，他一直利用业余时间研究数学。后来他回到巴黎，为望远镜的威力所激动，闭门钻研光学仪器的理论与构造，同时研究哲学问题。他于1682年移居荷兰，得到较为安静自由的学术环境，在那里住了二十年，完成了他的许多重要著作，如《思想的指导法则》、《世界体系》、《更好地指导推理和寻求科学真理的方法论》（包括三个著名的附录：《几何》、《折光》和《陨星》），还有《哲学原理》和《音乐概要》等。其中《几何》这一附录，是笛卡儿写过的唯一本数学书，其中清楚地反映了他关于坐标几何和代数的思想。笛卡儿于1649年被邀请去瑞典作女皇的教师。斯德哥尔摩的严冬对笛卡儿虚弱的身体产生了极坏的影响，笛卡儿于1650年2月患了肺炎，得病十天便与世长辞了。他逝世于1650年2月11日，差一个月零三周没活到54岁。 笛卡儿虽然从小就喜欢数学，但他真正自信自己有数学才能并开始认真用心研究数学却是因为一次偶然的机缘。 那是1618年11月，笛卡儿在军队服役，驻扎在荷兰的一个小小的城填布莱达。一天，他在街上散步，看见一群人聚集在一张贴布告的招贴牌附近，情绪兴奋地议论纷纷。他好奇地走到跟前。但由于他听不懂荷兰话，也看不懂布告上的荷兰字，他就用法语向旁边的人打听。有一位能听懂法语的过路人不以为然的看了看这个年青的士兵，告诉他，这里贴的是一张解数学题的有奖竞赛。要想让他给翻译一下布告上所有的内容，需要有一个条件，就是士兵要给他送来这张布告上所有问题的答案。这位荷兰人自称，他是物理学、医学和数学教师别克曼。出乎意料的是，第二天，笛卡儿真地带着全部问题的答案见他来了；尤其是使别克曼吃惊地是，这位青年的法国士兵的全部答案竟然一点儿差错都没有。于是，二人成了好朋友，笛卡儿成了别克曼家的常客。 笛卡儿在别克曼指导下开始认真研究数学，别克曼还教笛卡儿学习荷兰语。这种情况一直延续了两年多，为笛卡儿以后创立解析几何打下了良好的基础。而且，据说别克曼教笛卡儿学会的荷兰话还救过笛卡儿一命： 有一次笛卡儿和他的仆人一起乘一艘不大的商船驶往法国，船费不很贵。没想到这是一艘海盗船，船长和他的副手以为笛卡儿主仆二人是法国人，不懂荷兰语，就用荷兰语商量杀害他们俩抢掠他们钱财的事。笛卡儿听懂了船长和他副手的话，悄悄做准备，终于制服了船长，才安全回到了法国。 在法国生活了若干年之后，他为了把自己对事物的见解用书面形式陈述出来，他又离开了带有宗教偏见和世俗的专制政体的法国，回到了可爱而好客的荷兰，甚至于和海盗的冲突也抹然不了他对荷兰的美好回忆。正是在荷兰，笛卡儿完成了他的《几何》。此著作不长，但堪称几何著作中的珍宝。 笛卡儿在斯德哥尔摩逝世十六年后，他的骨灰被转送回巴黎。开始时安放在巴维尔教堂，1667年被移放到法国伟人们的墓地--神圣的巴黎的保卫者们和名人的公墓。法国许多杰出的学者都在那里找到了自己最后的归宿。

恒等式证明得证！约瑟夫·拉格朗日（Joseph-LouisLagrange，1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法国著名数学家、物理学家。1736年1月25日生于意大利都灵，1813年4月10日卒于巴黎。他在数学、力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。学术论文扩展资料：恒等式应用证明柯西不等式故拉格朗日恒等式成立又因为所以有　即为柯西不等式。参考资料：搜狗百科-拉格朗日恒等式

先说证明不等式先设一个跟题设有关的函数然后把拉格朗日中值定理公式表示出来然后根据选取的那个值一定在题设的定义域内为限制条件证明等式一般就是把把拉格朗日中值定理中的函数设成与题设有关的函数即可

很难确切地说数学发生在何时何地。 人类最初的数和形的观念，可以远溯到旧石器时代，在这个时期的数十万年时间内，人类那时还处在穴居状态，生活和动物相差不多。以后随着人类为了生存，需要寻找赖以生存的食物，于是就有打渔和狩猎等活动，在围猎与生存的斗争中，人类逐步发展了语言和早期的绘画，这加强了人类的相互交往与联络感情，有了一些简单的思维形式，但在这样一个漫长的时期中，还没有文字，庚谈不上数学的概念。 直到距今大约一万年以前，当时覆盖在亚洲、欧洲的水源开始融化，地球上出现了森林和沙漠，于是寻找生存的食物和游牧生活也就慢慢地结束了，渔人和猎人逐渐在土地上定居下来，成为原始的靠农业生存的原始的农人，在水草丰满的牧区，当然也招引了大批的游牧民，从事畜牧业成为早期的牧民，在沿海一带，人类逐渐聚居，从事航运和贸易的事业。人类的劳动逐渐地形成了一些区分，从仅仅为生存而采集食物到主动向自然界开挖潜力，发展农业、渔业、畜牧业和其它的各项生产，人类从此进入了新石器时代。 游牧民族为了确定季节，首先需要从天象来找到答案，天文学就成为一种不可缺少的需要，而天文学只有借助数学才能发展。因为天文学是一门以科学方法研究日月星辰的学问。数千年前，居住在现金伊拉克地方的人们深信，行星是法力高强的神祗，会主宰人的生活，认为将他们在天空中运行的情形却是记录下来，对人类生活关系非常重要，因此近乎狂热地对天体进行观测，研究天文学。在我国由于农业和畜牧业的发展需要，特别是农作物的下种、收获，需要通过天象观测来制订历法，在世界上还从来没有一个国家象我国那样，从研究天文开始，制订了一百多种历法，实际使用过的也有四十多种，而历法的制订，没有数学的观测计算是不行的。 因此，古代的巴比伦人和加尔底亚人以及居住在中国土地上的中国人，就产生了最早的天文学家、历法家和数学家，在我国，不少历法家实际上也是数学家，象刘徽、祖冲之等。 由于农业、畜牧业、渔业等生产的发展，促进了贸易的发展，于是商业自然产生，带来了货币制度，计数、计量、进位制，有了数字、计算工具与计算方法，算术就逐步形成。 恩格斯很概括地说明了数学的起源：数学是从人的需要中产生的，是从丈量土地和测量容积，从计算时间和制造器皿产生的。大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为1的直角三角形就是如此。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。 到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！ 无穷小是零吗——第二次数学危机 18世纪，微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用，大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。 1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量0，应用二项式（x+0）n，从中减去xn以求得增量，并除以0以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让0消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续——先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。 18世纪的数学思想的确是不严密的，直观的强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念也不清楚，无穷大概念不清楚，以及发散级数求和的任意性，符号的不严格使用，不考虑连续就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、戴德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了严格的基础。 悖论的产生---第三次数学危机 数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。 1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托发现了很相似的悖论。1902年，罗素又发现了一个悖论，它除了涉及集合概念本身外不涉及别的概念。罗素悖论曾被以多种形式通俗化。其中最著名的是罗素于1919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。 罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。 承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

第1章 命题逻辑1.1 命题及联结词1.1.1 命题的基本概念1.1.2 命题联结词1.2 命题公式与翻译1.3 真值表和等价公式1.3.1 命题公式的真值表1.3.2 命题公式的等价1.4 重言式1.5 范式1.5.1 析取范式与合取范式1.5.2 主析取范式1.5.3 主合取范式1.6 全功能联结词集1.7 对偶式与蕴含式1.7.1 对偶式1.7.2 蕴含式1.8 命题逻辑的推理理论第2章 谓词逻辑2.1 个体、谓词与量词2.1.1 个体2.1.2 谓词2.1.3 量词2.2 谓词公式2.2.1 谓词公式2.2.2 约束变元与自由变元2.3 谓词演算的等价式与蕴含式2.4 前束范式2.5 谓词逻辑的推理理论第3章 集合3.1 集合的基本概念3.1.1 集合的表示法3.1.2 子集和集合的相等3.1.3 幂集合3.2 集合的运算3.3 集合恒等式3.4 集合的覆盖与划分3.5 笛卡儿积第4章 二元关系4.l 二元关系及其表示4.1.1 二元关系的概念4.1.2 二元关系的表示方法4.2 关系的运算4.2.1 二元关系的交、并、补、对称差运算4.2.2 二元关系的复合运算4.2.3 元关系的求逆运算4.3 关系的性质4.4 关系的闭包运算4.5 等价关系4.6 相容关系4.7 序关系4.7.1 偏序关系与哈斯图4.7.2 全序关系与良序关系第5章 函数5.1 函数的基本概念5.2 反函数和复合函数5.2.1 反函数5.2.2 复合函数5.3 集合的基数5.3.1 集合的等势5.3.2 有限集和无限集5.3.3 集合的基数5.3.4 集合基数的比较第6章 代数系统6.1 代数系统的基本概念6.1.1 运算6.1.2 代数系统6.2 二元运算的性质6.2.1 运算的基本性质6.2.2 特殊元素6.3 子代数和积代数第7章 群、环和域7.1 半群和独异点7.1.1 广群和半群7.1.2 独异点7.2 群与阿贝尔群7.2.1 群的定义和性质7.2.2 阿贝尔群7.3 子群7.3.1 子群的概念7.3.2 子群的判定7.3.3 元素的阶及其性质7.4 陪集和拉格朗日定理7.5 正规子群7.6 同态和同构7.6.1 代数系统的同态和同构7.6.2 群的同态和同构7.7 循环群7.8 置换群7.9 环与域7.9.1 环的定义及基本性质7.9.2 几个常见的特殊环7.9.3 子环7.9.4 域7.9.5 环和域的同态第8章 格与布尔代数8.1 格8.1.1 格的概念和性质8.1.2 子格和格的同态8.1.3 分配格8.1.4 有补格8.2 布尔代数8.2.1 布尔代数的概念和性质8.2.2 布尔代数的子代数和同态8.2.3 有限布尔代数的结构第9章 图论9.1 图的基本概念9.1.1 图9.1.2 节点的度及其性质9.1.3 多重图、简单图、完全图和正则图9.1.4 图的同构9.1.5 补图、子图和生成子图9.2 路和回路9.3 连通图9.3.1 无向连通图9.3.2 有向连通图9.4 图的矩阵表示9.5 欧拉图和汉密尔顿图9.5.1 欧拉图9.5.2 汉密尔顿图9.6 树9.6.1 无向树9.6.2 生成树9.6.3 根树及其应用9.7 二部图及匹配9.7.1 部图9.7.2 匹配9.8 平面图9.8.1 平面图的基本概念9.8.2 欧拉公式9.8.3 平面图的对偶图参考文献

A abelian group：阿贝尔群； absolute geometry：绝对几何； absolute value：绝对值； abstract algebra：抽象代数； addition：加法； algebra：代数； algebraic closure：代数闭包； algebraic geometry：代数几何； algebraic geometry and analytic geometry：代数几何和解析几何； algebraic numbers：代数数； algorithm：算法； almost all：绝大多数； analytic function：解析函数； analytic geometry：解析几何； and：且； angle：角度； anticommutative：反交换律； antisymmetric relation：反对称关系； antisymmetry：反对称性； approximately equal：约等于； Archimedean field：阿基米德域； Archimedean group：阿基米德群； area：面积； arithmetic：算术； associative algebra：结合代数； associativity：结合律； axiom：公理； axiom of constructibility：可构造公理； axiom of empty set：空集公理； axiom of extensionality：外延公理； axiom of foundation：正则公理； axiom of pairing：对集公理； axiom of regularity：正则公理； axiom of replacement：代换公理； axiom of union：并集公理； axiom schema of separation：分离公理； axiom schema of specification：分离公理； axiomatic set theory：公理集合论； axiomatic system：公理系统； B Baire space：贝利空间； basis：基； Bézout"s identity：贝祖恒等式； Bernoulli"s inequality：伯努利不等式 ； Big O notation：大O符号； bilinear operator：双线性算子； binary operation：二元运算； binary predicate：二元谓词； binary relation：二元关系； Boolean algebra：布尔代数； Boolean logic：布尔逻辑； Boolean ring：布尔环； boundary：边界； boundary point：边界点； bounded lattice：有界格； C calculus：微积分学； Cantor"s diagonal argument：康托尔对角线方法； cardinal number：基数； cardinality：势； cardinality of the continuum：连续统的势； Cartesian coordinate system：直角坐标系； Cartesian product：笛卡尔积； category：范畴； Cauchy sequence：柯西序列； Cauchy-Schwarz inequality：柯西不等式； Ceva"s Theorem：塞瓦定理； characteristic：特征； characteristic polynomial：特征多项式； circle：圆； class：类； closed：闭集； closure：封闭性 或 闭包； closure algebra：闭包代数； combinatorial identities：组合恒等式； commutative group：交换群； commutative ring：交换环； commutativity:：交换律； compact：紧致的； compact set：紧致集合； compact space：紧致空间； complement：补集 或 补运算； complete lattice：完备格； complete metric space：完备的度量空间； complete space：完备空间； complex manifold：复流形； complex plane：复平面； congruence：同余； congruent：全等； connected space：连通空间； constructible universe：可构造全集； constructions of the real numbers：实数的构造； continued fraction：连分数； continuous：连续； continuum hypothesis：连续统假设； contractible space：可缩空间； convergence space：收敛空间； cosine：余弦； countable：可数； countable set：可数集； cross product：叉积； cycle space：圈空间； cyclic group：循环群； D de Morgan"s laws：德·摩根律； Dedekind completion：戴德金完备性； Dedekind cut：戴德金分割； del：微分算子； dense：稠密； densely ordered：稠密排列； derivative：导数； determinant：行列式； diffeomorphism：可微同构； difference：差； differentiable manifold：可微流形； differential calculus：微分学； dimension：维数； directed graph：有向图； discrete space：离散空间； discriminant：判别式； distance：距离； distributivity：分配律； dividend：被除数； dividing：除； divisibility：整除； division：除法； divisor：除数； dot product：点积； E eigenvalue：特征值； eigenvector：特征向量； element：元素； elementary algebra：初等代数； empty function：空函数； empty set：空集； empty product：空积； equal：等于； equality：等式 或 等于； equation：方程； equivalence relation：等价关系； Euclidean geometry：欧几里德几何； Euclidean metric：欧几里德度量； Euclidean space：欧几里德空间； Euler"s identity：欧拉恒等式； even number：偶数； event：事件； existential quantifier：存在量词； exponential function：指数函数； exponential identities：指数恒等式； expression：表达式； extended real number line：扩展的实数轴； F false：假； field：域； finite：有限； finite field：有限域； finite set：有限集合； first-countable space：第一可数空间； first order logic：一阶逻辑； foundations of mathematics：数学基础； function：函数； functional analysis：泛函分析； functional predicate：函数谓词； fundamental theorem of algebra：代数基本定理； fraction：分数； G gauge space：规格空间； general linear group：一般线性群； geometry：几何学； gradient：梯度； graph：图； graph of a relation：关系图； graph theory：图论； greatest element：最大元； group：群； group homomorphism：群同态； H Hausdorff space：豪斯多夫空间； hereditarily finite set：遗传有限集合； Heron"s formula：海伦公式； Hilbert space：希尔伯特空间； Hilbert"s axioms：希尔伯特公理系统； Hodge decomposition：霍奇分解； Hodge Laplacian：霍奇拉普拉斯算子； homeomorphism：同胚； horizontal：水平； hyperbolic function identities：双曲线函数恒等式； hypergeometric function identities：超几何函数恒等式； hyperreal number：超实数； I identical：同一的； identity：恒等式； identity element：单位元； identity matrix：单位矩阵； idempotent：幂等； if：若； if and only if：当且仅当； iff：当且仅当； imaginary number：虚数； inclusion：包含； index set：索引集合； indiscrete space：非离散空间； inequality：不等式 或 不等； inequality of arithmetic and geometric means：平均数不等式； infimum：下确界； infinite series：无穷级数； infinite：无穷大； infinitesimal：无穷小； infinity：无穷大； initial object：初始对象； inner angle：内角； inner product：内积； inner product space：内积空间； integer：整数； integer sequence：整数列； integral：积分； integral domain：整数环； interior：内部； interior algebra：内部代数； interior point：内点； intersection：交集； inverse element：逆元； invertible matrix：可逆矩阵； interval：区间； involution：回旋； irrational number：无理数； isolated point：孤点； isomorphism：同构； J Jacobi identity：雅可比恒等式； join：并运算； K 格式： Kuratowski closure axioms：Kuratowski 闭包公理； L least element：最小元； Lebesgue measure：勒贝格测度； Leibniz"s law：莱布尼茨律； Lie algebra：李代数； Lie group：李群； limit：极限； limit point：极限点； line：线； line segment：线段； linear：线性； linear algebra：线性代数； linear operator：线性算子； linear space：线性空间； linear transformation：线性变换； linearity：线性性； list of inequalities：不等式列表； list of linear algebra topics：线性代数相关条目； locally compact space：局部紧致空间； logarithmic identities：对数恒等式； logic：逻辑学； logical positivism：逻辑实证主义； law of cosines：余弦定理； L??wenheim-Skolem theorem：L??wenheim-Skolem 定理； lower limit topology：下限拓扑； M magnitude：量； manifold：流形； map：映射； mathematical symbols：数学符号； mathematical analysis：数学分析； mathematical proof：数学证明； mathematics：数学； matrix：矩阵； matrix multiplication：矩阵乘法； meaning：语义； measure：测度； meet：交运算； member：元素； metamathematics：元数学； metric：度量； metric space：度量空间； model：模型； model theory：模型论； modular arithmetic：模运算； module：模； monotonic function：单调函数； multilinear algebra：多重线性代数； multiplication：乘法； multiset：多样集； N naive set theory：朴素集合论； natural logarithm：自然对数； natural number：自然数； natural science：自然科学； negative number：负数； neighbourhood：邻域； New Foundations：新基础理论； nine point circle：九点圆； non-Euclidean geometry：非欧几里德几何； nonlinearity：非线性； non-singular matrix：非奇异矩阵； nonstandard model：非标准模型； nonstandard analysis：非标准分析； norm：范数； normed vector space：赋范向量空间； n-tuple：n 元组 或 多元组； nullary：空； nullary intersection：空交集； number：数； number line：数轴； O object：对象； octonion：八元数； one-to-one correspondence：一一对应； open：开集； open ball：开球； operation：运算； operator：算子； or：或； order topology：序拓扑； ordered field：有序域； ordered pair：有序对； ordered set：偏序集； ordinal number：序数； ordinary mathematics：一般数学； origin：原点； orthogonal matrix：正交矩阵；P p-adic number：p进数； paracompact space：仿紧致空间； parallel postulate：平行公理； parallelepiped：平行六面体； parallelogram：平行四边形； partial order：偏序关系； partition：分割； Peano arithmetic：皮亚诺公理； Pedoe"s inequality：佩多不等式； perpendicular：垂直； philosopher：哲学家； philosophy：哲学； philosophy journals：哲学类杂志； plane：平面； plural quantification：复数量化； point：点； Point-Line-Plane postulate：点线面假设； polar coordinates：极坐标系； polynomial：多项式； polynomial sequence：多项式列； positive-definite matrix：正定矩阵； positive-semidefinite matrix：半正定矩阵； power set：幂集； predicate：谓词； predicate logic：谓词逻辑； preorder：预序关系； prime number：素数； product：积； proof：证明； proper class：纯类； proper subset：真子集； property：性质； proposition：命题； pseudovector：伪向量； Pythagorean theorem：勾股定理； Q Q.E.D.：Q.E.D.； quaternion：四元数； quaternions and spatial rotation：四元数与空间旋转； question：疑问句； quotient field：商域； quotient set：商集； R radius：半径； ratio：比； rational number：有理数； real analysis：实分析； real closed field：实闭域； real line：实数轴； real number：实数； real number line：实数线； reflexive relation：自反关系； reflexivity：自反性； reification：具体化； relation：关系； relative complement：相对补集； relatively complemented lattice：相对补格； right angle：直角； right-handed rule：右手定则； ring：环； S scalar：标量； second-countable space：第二可数空间； self-adjoint operator：自伴随算子； sentence：判断； separable space：可分空间； sequence：数列 或 序列； sequence space：序列空间； series：级数； sesquilinear function：半双线性函数； set：集合； set-theoretic definition of natural numbers：自然数的集合论定义； set theory：集合论； several complex variables：一些复变量； shape：几何形状； sign function：符号函数； singleton：单元素集合； social science：社会科学； solid geometry：立体几何； space：空间； spherical coordinates：球坐标系； square matrix：方块矩阵； square root：平方根； strict：严格； structural recursion：结构递归； subset：子集； subsequence：子序列； subspace：子空间； subspace topology：子空间拓扑； subtraction：减法； sum：和； summation：求和； supremum：上确界； surreal number：超实数； symmetric difference：对称差； symmetric relation：对称关系； system of linear equations：线性方程组； T tensor：张量； terminal object：终结对象； the algebra of sets：集合代数； theorem：定理； top element：最大元； topological field：拓扑域； topological manifold：拓扑流形； topological space：拓扑空间； topology：拓扑 或 拓扑学； total order：全序关系； totally disconnected：完全不连贯； totally ordered set：全序集； transcendental number：超越数； transfinite recursion：超限归纳法； transitivity：传递性； transitive relation：传递关系； transpose：转置； triangle inequality：三角不等式； trigonometric identities：三角恒等式； triple product：三重积； trivial topology：密着拓扑； true：真； truth value：真值； U unary operation：一元运算； uncountable：不可数； uniform space：一致空间； union：并集； unique：唯一； unit interval：单位区间； unit step function：单位阶跃函数； unit vector：单位向量； universal quantification：全称量词； universal set：全集； upper bound：上界；V vacuously true：??； Vandermonde"s identity：Vandermonde 恒等式； variable：变量； vector：向量； vector calculus：向量分析； vector space：向量空间； Venn diagram：文氏图； volume：体积； von Neumann ordinal：冯·诺伊曼序数； von Neumann universe：冯·诺伊曼全集； vulgar fraction：分数； Z Zermelo set theory：策梅罗集合论； Zermelo-Fraenkel set theory：策梅罗-弗兰克尔集合论； ZF set theory：ZF 系统； zero：零； zero object：零对象；绝对很全了～

正确积：错误积=16:19 正确积-错误积=960 正确积=960*16/(19-16)=5120

具体回答如图：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。扩展资料：函数y=f（x）在x0点的导数f"（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。当自变量X改变为X+△X时，相应地函数值由f(X)改变为f(X+△X)，如果存在一个与△X无关的常数A，使f(X+△X)-f(X)和A·△X之差是△X→0关于△X的高阶无穷小量。设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲 线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δx|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。参考资料来源：百度百科——导数

导数的定义：导数是函数的局部性质，一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点可导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。导数是用来分析变化的。以一次函数为例，我们知道一次函数的图像是直线，在解析几何里讲了，一次函数刚好就是解析几何里面有斜率的直线，给一次函数求导，就会得到斜率。导数的计算计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。在实际计算中，大部分常见的解析函数都可以看作是一些简单的函数的和、差、积、商或相互复合的结果。只要知道了这些简单函数的导函数，那么根据导数的求导法则，就可以推算出较为复杂的函数的导函数。

　　导数是微积分的初步知识,是研究函数,解决实际问题的有力工具。以下是我分享给大家的关于导数的定义以及导数的定义式，希望能给大家带来帮助!　　导数的定义： 　　如果函数f(x)在(a,b)中每一点处都可导，则称f(x)在(a,b)上可导，则可建立f(x)的导函数，简称导数，记为f"(x) 　　如果f(x)在(a,b)内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f(x)在闭区间[a,b]上可导，f"(x)为区间[a,b]上的导函数，简称导数。 　　导数的定义式： 　　1、应用 　　如果一个函数f(x)在某个区间I上有f""(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么对于区间I上的任意x,y，总有： 　　f(x)+f(y)≥2f[(x+y)/2]，如果总有f""(x)<0成立，那么上式的不等号反向。 　　2、意义 　　(1)斜线斜率变化的速度 　　(2)函数的凹凸性。 　　二阶导数是比较理论的、比较抽象的一个量，它不像一阶导数那样有明显的几何意义，因为它表示的是一阶导数的变化率。在图形上，它主要表现函数的凹凸性，直观的说，函数是向上突起的，还是向下突起的。 　　几何的直观解释：如果如果一个函数f(x)在某个区间I上有f""(x)(即二阶导数)>0恒成立，那么在区间I上f(x)的图象上的任意两点连出的一条线段，这两点之间的函数图象都在该线段的下方，反之在该线段的上方。 　　导数的分类： 　　一、基本函数的导函数 　　C"=0(C为常数) 　　(x^n)"=nx^(n-1) (n∈R) 　　(sinx)"=cosx 　　(cosx)"=-sinx 　　(e^x)"=e^x 　　(a^x)"=(a^x)*lna(a>0且a≠1) 　　[logax)]" = 1/x*(logae)(a>0且a≠1) 　　[lnx]"= 1/x 　　二、和差积商函数的导函数 　　[f(x) + g(x)]" = f"(x) + g"(x) 　　[f(x) - g(x)]" = f"(x) - g"(x) 　　[f(x)g(x)]" = f"(x)g(x) + f(x)g"(x) 　　[f(x)/g(x)]" = [f"(x)g(x) - f(x)g"(x)] / [g(x)^2] 　　三、复合函数的导函数 　　设 y=u(t) ，t=v(x)，则 y"(x) = u"(t)v"(x) = u"[v(x)] v"(x) 　　例 ：y = t^2 ，t = sinx ，则y"(x) = 2t * cosx = 2sinx*cosx = sin2x一般定义 　　设函数在点x。的某个邻域内有定义，当自变量在处取得增量Δx(点仍在该邻域内)时，相应地函数取得增量Δy;如果Δy与Δx之比当Δx→0时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点x。处的导数，记为，即，也可记作f′(x)〡x=x.，或f′(x.)。 　　若将一点扩展成函数()在其定义域包含的某开区间内每一个点，那么函数()在开区间内可导，这时对于内每一个确定的值，都对应着()的一个确定的导数，如此一来每一个导数就构成了一个新的函数，这个函数称作原函数()的导函数，记作："或者f′(x)。 　　导函数的定义表达式为： 　　值得注意的是，导数是一个数，是指函数()在点0处导函数的函数值。但通常也可以说导函数为导数，其区别仅在于一个点还是连续的点。 　　几何意义 　　1.代表函数上某一点在该点处切线的斜率。 　　如右图所示，设0为曲线上的一个定点，为曲线上的一个动点。当沿曲线逐渐趋向于点0时，并且割线0的极限位置0存在，则称0为曲线在0处的切线。 　　若曲线为一函数 = ()的图像，那么割线0的斜率为： 　　当0处的切线0，即0的极限位置存在时，此时，，则0的斜率tanα为： 　　上式与一般定义中的导数定义是完全相同，则"(0) = tanα，故导数的几何意义即曲线 = ()在点0(0,(0))处切线的斜率。 看过"导数的定义_导数的定义式"的人还关注了： 1. 高中数学常用导数公式 2. 高二数学导数知识点 3. 高中导数公式大全 4. 数学导数公式证明大全 5. 数学高考必考题型归纳

由基本的求导公式可以知道y=lnx,那么y"=1/x,如果由定义推导的话,(lnx)"=lim(dx->0) ln(x+dx) -lnx / dx=lim(dx->0) ln(1+dx /x) / dxdx/x趋于0,那么ln(1+dx /x)等价于dx /x所以lim(dx->0) ln(1+dx /x) / dx=lim(dx->0) (dx /x) / dx=1/x即y=lnx的导数是y"= 1/x对于可导的函数f(x)，x↦f"(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。扩展资料：如果函数y=f（x）在开区间内每一点都可导，就称函数f（x）在区间内可导。这时函数y=f（x）对于区间内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数值，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数y=f（x）的导函数，记作y"、f"（x）、dy/dx或df（x）/dx，简称导数。导数是微积分的一个重要的支柱。牛顿及莱布尼茨对此做出了贡献。函数y=f（x）在x0点的导数f"（x0）的几何意义：表示函数曲线在点P0（x0,f（x0））处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。4、如果有复合函数，则用链式法则求导。参考资料：百度百科——导数

导数的概念是什么 分子和分母的数字所导过来叫倒数。 怎么理解导数的概念？ 导数是微积分中的重要概念。编辑本段　　导数定义为：当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。 导数另一个定义：当x=x0时，f‘(x0)是一个确定的数。这样，当x变化时，f"(x)便是x的一个函数，我们称他为f(x)的导函数（derivative function）（简称导数）。 y=f(x)的导数有时也记作y"，即 f"(x)=y"=lim⊿x→0[f(x+⊿x)-f(x)]/⊿x物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如，导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度、可以表示曲线在一点的斜率、还可以表示经济学中的边际和弹性。 以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。 为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。 有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。 注意：1.f"(x)<0是f(x)为减函数的充分不必要条件，不是充要条件。 2.导数为零的点不一定是极值点。当函数为常值函数，没有增减性，即没有极值点。但导数为零。 求导数的方法编辑本段　　（1）求函数y=f(x)在x0处导数的步骤： ① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0) ② 求平均变化率 ③ 取极限，得导数。 导数概念以及具体含义 导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f"(x0)或df/dx(x0)。 导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。 不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。 对于可导的函数f(x)，x↦f"(x)也是一个函数，称作f的导函数。寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。反之，已知导函数也可以倒过来求原来的函数，即不定积分。微积分基本定理说明了求原函数与积分是等价的。求导和积分是一对互逆的操作，它们都是微积分学中最为基础的概念。 什么是导数? 1、导数的定义 设函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义，当自变量x在x0处有改变量△x（△x可正可负），则函数y相应地有改变量△y=f(x0＋△x)－f(x0)，这两个改变量的比叫做函数y=f(x)在x0到x0＋△x之间的平均变化率. 如果当△x→0时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，这个极限叫做f(x)在点x0处的导数（即瞬时变化率，简称变化率），记作f′(x0)或，即 函数f(x)在点x0处的导数就是函数平均变化率当自变量的改变量趋向于零时的极限．如果极限不存在，我们就说函数f(x)在点x0处不可导. 2、求导数的方法 由导数定义，我们可以得到求函数f(x)在点x0处的导数的方法： （1）求函数的增量△y=f(x0＋△x)－f(x0)； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数 3、导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P（x0，f(x0)）处的切线的斜率f′(x0). 相应地，切线方程为y－y0= f′(x0)(x－x0). 4、几种常见函数的导数 函数y=C（C为常数）的导数 C′=0. 函数y=xn（n∈Q）的导数 (xn)′=nxn－1 函数y=sinx的导数 (sinx)′=cosx 函数y=cosx的导数 (cosx)′=－sinx 5、函数四则运算求导法则 和的导数 (u＋v)′=绩′＋v′ 差的导数 (u－v)′= u′－v′ 积的导数 (u·v)′=u′v＋uv′ 商的导数 . 6、复合函数的求导法则 一般地，复合函数y=f[φ(x)]对自变量x的导数y′x，等于已知函数对中间变量u=φ(x)的导数y′u，乘以中间变量u对自变量x的导数u′x，即y′x=y′u·u′x. 7、对数、指数函数的导数 （1）对数函数的导数 ①； ②.公式输入不出来 其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式. （2）指数函数的导数 ①(ex)′=ex ②(ax)′=axlna 其中（1）式是（2）式的特殊情况，当a=e时，（2）式即为（1）式. 导数又叫微商，是因变量的微分和自变量微分之商；给导数取积分就得到原函数（其实是原函数与一个常数之和）。

希望写的比较清楚

24个基本求导公式可以分成三类。第一类是导数的定义公式，即差商的极限。再用这个公式推出17个基本初等函数的求导公式，这就是第二类。最后一类是导数的四则运算法则和复合函数的导数法则以及反函数的导数法则，利用这些公式就可以推出所有可导的初等函数的导数。1、f"(x)=lim(h->0)[(f(x+h)-f(x))/h].即函数差与自变量差的商在自变量差趋于0时的极限，就是导数的定义。兄敏其它所有基本求导公式都是由这个公式引出来的。包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。2、f(x)=a的导数，f"(x)=0,a为常数.即常数的导数等于0；这个导数其实是一个塌宽特殊的幂函数的导数。就是当幂函羡衫枝数的指数等于1的时候的导数。可以根据幂函数的求导公式求得。3、f(x)=x^n的导数，f"(x)=nx^(n-1),n为正整数.即系数为1的单项式的导数，以指数为系数，指数减1为指数.这是幂函数的指数为正整数的求导公式。    

高中导数的定义导数定义　一、导数第一定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有增量△x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即导数第一定义二、导数第二定义设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) 如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f"(x0) ,即导数第二定义三、导函数与导数如果函数 y = f(x) 在开区间I内每一点都可导就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值都对应着一个确定的导数这就构成一个新的函数称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数记作 y", f"(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。右上图为函数 y = ƒ(x) 的图象，函数在x_0处的导数ƒ′(x_0) = lim{Δx→0} [ƒ(x_0 + Δx) - ƒ(x_0)] / Δx。如果函数在连续区间上可导，则函数在这个区间上存在导函数，记作ƒ′(x)或 dy / dx。

如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数。有些隐函数可以表示成显函数，叫做隐函数显化，但也有些隐函数是不能显化的，比如e^y+xy=1。若欲求z = f(x,y)的导数，那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z) = 0的形式，然后通过（式中F"y,F"x分别表示y和x对z的偏导数）来求解。扩展资料：对于一个已经确定存在且可导的情况下，我们可以用复合函数求导的链式法则来进行求导。在方程左右两边都对x进行求导，由于y其实是x的一个函数，所以可以直接得到带有 y" 的一个方程，然后化简得到 y" 的表达式。适合原方程的一个点的邻近范围内，在函数F(x,y)连续可微的前提下，什么样的附加条件能使得原方程确定一个惟一的函数y=(x)，不仅单值连续,而且连续可微，其导数由完全确定。隐函数存在定理就用于断定就是这样的一个条件，不仅必要，而且充分。

诗词名称：《春分投简阳明洞天作》。本名：元稹。字号：字微之，字威明。所处时代：唐代。民族族群：汉化鲜卑族。出生地：河南洛阳。出生时间：大历十四年（779年）二月。去世时间：太和五年（831年）。主要作品：《过襄阳楼》《遣悲怀三首》《闻乐天授江州司马》《明月三五夜》《行宫》等。主要成就：倡导新乐府运动。我们为您从以下几个方面提供“如花越女姝”的详细介绍：一、《春分投简阳明洞天作》的全文点此查看《春分投简阳明洞天作》的详细内容中分春一半，今日半春徂。老惜光阴甚，慵牵兴绪孤。偶成投秘简，聊得泛平湖。郡邑移仙界，山川展画图。旌旗成屿浦，士女满__。似木吴儿劲，如花越女姝。牛侬惊力直，蚕妾笑睢盱。怪我携章甫，嘲人托鹧鸪。闾阎随地胜，风俗与华殊。跣足沿流妇，丫头避役奴。雕题虽少有，鸡卜尚多巫。乡味尤珍蛤，家神爱事乌。舟船通海峤，田种绕城隅。栉比千艘合，袈裟万顷铺。亥茶阗小市，渔父隔深芦。日脚斜穿浪，云根远曳蒲。凝风花气度，新雨草芽苏。粉坏梅辞萼，红含杏缀珠。薅馀秧渐长，烧后葑犹枯。绿_高悬柳，青钱密辫榆。驯鸥眠浅濑，惊雉迸平芜。水静王馀见，山空谢豹呼。燕狂捎蛱蝶，螟挂集蒲卢。浅碧鹤新卵，深黄鹅嫩雏。村扉以白板，寺壁耀_糊。禹庙才离郭，陈庄恰半途。石帆何峭_，龙瑞本萦纡。穴为探符坼，潭因失箭刳。堤形弯熨斗，峰势踊香炉。幢盖迎三洞，烟霞贮一壶。桃枝蟠复直，桑树亚还扶。鳖解称从事，松堪作大夫。荣光飘殿阁，虚籁合笙竽。庭狎仙翁鹿，池游县令凫。君心除健羡，扣寂入虚无。冈蹋翻星纪，章飞动帝枢。东皇提白日，北斗下玄都。骑吏裙皆紫，科车_尽朱。地侯鞭社伯，海若跨天吴。雾喷雷公怒，烟扬灶鬼趋。投壶怜玉女，_饭笑麻姑。果实经千岁，衣裳重六铢。琼杯传素液，金匕进雕胡。掌里承来露，_中钓得鲈。菌生悲局促，柯烂觉须臾。_米休言圣，醯鸡益伏愚。鼓鼙催暝色，簪组缚微躯。遂别真徒侣，还来世路衢。题诗叹城郭，挥手谢妻孥。幸有桃源近，全家肯去无。二、元稹其他诗词《菊花》、《离思五首·其四》、《行宫》、《赋得九月尽（秋字）》、《晚秋》。相同朝代的诗歌《三姑石》、《暖翠》、《赠别徐侃》、《幽恨诗》、《题贾岛墓》、《天台禅院联句》、《长恨歌》、《忆江南》、《钱塘湖春行》、《暮江吟》。点此查看更多关于春分投简阳明洞天作的详细信息

诗词名称：《春分投简阳明洞天作》。本名：元稹。字号：字微之，字威明。所处时代：唐代。民族族群：汉化鲜卑族。出生地：河南洛阳。出生时间：大历十四年（779年）二月。去世时间：太和五年（831年）。主要作品：《过襄阳楼》《遣悲怀三首》《闻乐天授江州司马》《明月三五夜》《行宫》等。主要成就：倡导新乐府运动。我们为您从以下几个方面提供“鸡卜尚多巫”的详细介绍：一、《春分投简阳明洞天作》的全文点此查看《春分投简阳明洞天作》的详细内容中分春一半，今日半春徂。老惜光阴甚，慵牵兴绪孤。偶成投秘简，聊得泛平湖。郡邑移仙界，山川展画图。旌旗成屿浦，士女满__。似木吴儿劲，如花越女姝。牛侬惊力直，蚕妾笑睢盱。怪我携章甫，嘲人托鹧鸪。闾阎随地胜，风俗与华殊。跣足沿流妇，丫头避役奴。雕题虽少有，鸡卜尚多巫。乡味尤珍蛤，家神爱事乌。舟船通海峤，田种绕城隅。栉比千艘合，袈裟万顷铺。亥茶阗小市，渔父隔深芦。日脚斜穿浪，云根远曳蒲。凝风花气度，新雨草芽苏。粉坏梅辞萼，红含杏缀珠。薅馀秧渐长，烧后葑犹枯。绿_高悬柳，青钱密辫榆。驯鸥眠浅濑，惊雉迸平芜。水静王馀见，山空谢豹呼。燕狂捎蛱蝶，螟挂集蒲卢。浅碧鹤新卵，深黄鹅嫩雏。村扉以白板，寺壁耀_糊。禹庙才离郭，陈庄恰半途。石帆何峭_，龙瑞本萦纡。穴为探符坼，潭因失箭刳。堤形弯熨斗，峰势踊香炉。幢盖迎三洞，烟霞贮一壶。桃枝蟠复直，桑树亚还扶。鳖解称从事，松堪作大夫。荣光飘殿阁，虚籁合笙竽。庭狎仙翁鹿，池游县令凫。君心除健羡，扣寂入虚无。冈蹋翻星纪，章飞动帝枢。东皇提白日，北斗下玄都。骑吏裙皆紫，科车_尽朱。地侯鞭社伯，海若跨天吴。雾喷雷公怒，烟扬灶鬼趋。投壶怜玉女，_饭笑麻姑。果实经千岁，衣裳重六铢。琼杯传素液，金匕进雕胡。掌里承来露，_中钓得鲈。菌生悲局促，柯烂觉须臾。_米休言圣，醯鸡益伏愚。鼓鼙催暝色，簪组缚微躯。遂别真徒侣，还来世路衢。题诗叹城郭，挥手谢妻孥。幸有桃源近，全家肯去无。二、元稹其他诗词《菊花》、《离思五首·其四》、《行宫》、《赋得九月尽（秋字）》、《晚秋》。相同朝代的诗歌《三姑石》、《暖翠》、《赠别徐侃》、《幽恨诗》、《题贾岛墓》、《天台禅院联句》、《长恨歌》、《忆江南》、《钱塘湖春行》、《暮江吟》。点此查看更多关于春分投简阳明洞天作的详细信息

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鸡卜尚多巫的上一句：雕题虽少有。诗词名称：《春分投简阳明洞天作》。本名：元稹。字号：字微之，字威明。所处时代：唐代。民族族群：汉化鲜卑族。出生地：河南洛阳。出生时间：大历十四年（779年）二月。去世时间：太和五年（831年）。主要作品：《过襄阳楼》《遣悲怀三首》《闻乐天授江州司马》《明月三五夜》《行宫》等。主要成就：倡导新乐府运动。我们为您从以下几个方面提供“鸡卜尚多巫”的详细介绍：一、《春分投简阳明洞天作》的全文点此查看《春分投简阳明洞天作》的详细内容中分春一半，今日半春徂。老惜光阴甚，慵牵兴绪孤。偶成投秘简，聊得泛平湖。郡邑移仙界，山川展画图。旌旗成屿浦，士女满__。似木吴儿劲，如花越女姝。牛侬惊力直，蚕妾笑睢盱。怪我携章甫，嘲人托鹧鸪。闾阎随地胜，风俗与华殊。跣足沿流妇，丫头避役奴。雕题虽少有，鸡卜尚多巫。乡味尤珍蛤，家神爱事乌。舟船通海峤，田种绕城隅。栉比千艘合，袈裟万顷铺。亥茶阗小市，渔父隔深芦。日脚斜穿浪，云根远曳蒲。凝风花气度，新雨草芽苏。粉坏梅辞萼，红含杏缀珠。薅馀秧渐长，烧后葑犹枯。绿_高悬柳，青钱密辫榆。驯鸥眠浅濑，惊雉迸平芜。水静王馀见，山空谢豹呼。燕狂捎蛱蝶，螟挂集蒲卢。浅碧鹤新卵，深黄鹅嫩雏。村扉以白板，寺壁耀_糊。禹庙才离郭，陈庄恰半途。石帆何峭_，龙瑞本萦纡。穴为探符坼，潭因失箭刳。堤形弯熨斗，峰势踊香炉。幢盖迎三洞，烟霞贮一壶。桃枝蟠复直，桑树亚还扶。鳖解称从事，松堪作大夫。荣光飘殿阁，虚籁合笙竽。庭狎仙翁鹿，池游县令凫。君心除健羡，扣寂入虚无。冈蹋翻星纪，章飞动帝枢。东皇提白日，北斗下玄都。骑吏裙皆紫，科车_尽朱。地侯鞭社伯，海若跨天吴。雾喷雷公怒，烟扬灶鬼趋。投壶怜玉女，_饭笑麻姑。果实经千岁，衣裳重六铢。琼杯传素液，金匕进雕胡。掌里承来露，_中钓得鲈。菌生悲局促，柯烂觉须臾。_米休言圣，醯鸡益伏愚。鼓鼙催暝色，簪组缚微躯。遂别真徒侣，还来世路衢。题诗叹城郭，挥手谢妻孥。幸有桃源近，全家肯去无。二、元稹其他诗词《菊花》、《离思五首·其四》、《行宫》、《赋得九月尽（秋字）》、《晚秋》。相同朝代的诗歌《三姑石》、《暖翠》、《赠别徐侃》、《幽恨诗》、《题贾岛墓》、《天台禅院联句》、《长恨歌》、《忆江南》、《钱塘湖春行》、《暮江吟》。点此查看更多关于春分投简阳明洞天作的详细信息

诗词名称：《春分投简阳明洞天作》。本名：元稹。字号：字微之，字威明。所处时代：唐代。民族族群：汉化鲜卑族。出生地：河南洛阳。出生时间：大历十四年（779年）二月。去世时间：太和五年（831年）。主要作品：《过襄阳楼》《遣悲怀三首》《闻乐天授江州司马》《明月三五夜》《行宫》等。主要成就：倡导新乐府运动。我们为您从以下几个方面提供“鸡卜尚多巫”的详细介绍：一、《春分投简阳明洞天作》的全文点此查看《春分投简阳明洞天作》的详细内容中分春一半，今日半春徂。老惜光阴甚，慵牵兴绪孤。偶成投秘简，聊得泛平湖。郡邑移仙界，山川展画图。旌旗成屿浦，士女满__。似木吴儿劲，如花越女姝。牛侬惊力直，蚕妾笑睢盱。怪我携章甫，嘲人托鹧鸪。闾阎随地胜，风俗与华殊。跣足沿流妇，丫头避役奴。雕题虽少有，鸡卜尚多巫。乡味尤珍蛤，家神爱事乌。舟船通海峤，田种绕城隅。栉比千艘合，袈裟万顷铺。亥茶阗小市，渔父隔深芦。日脚斜穿浪，云根远曳蒲。凝风花气度，新雨草芽苏。粉坏梅辞萼，红含杏缀珠。薅馀秧渐长，烧后葑犹枯。绿_高悬柳，青钱密辫榆。驯鸥眠浅濑，惊雉迸平芜。水静王馀见，山空谢豹呼。燕狂捎蛱蝶，螟挂集蒲卢。浅碧鹤新卵，深黄鹅嫩雏。村扉以白板，寺壁耀_糊。禹庙才离郭，陈庄恰半途。石帆何峭_，龙瑞本萦纡。穴为探符坼，潭因失箭刳。堤形弯熨斗，峰势踊香炉。幢盖迎三洞，烟霞贮一壶。桃枝蟠复直，桑树亚还扶。鳖解称从事，松堪作大夫。荣光飘殿阁，虚籁合笙竽。庭狎仙翁鹿，池游县令凫。君心除健羡，扣寂入虚无。冈蹋翻星纪，章飞动帝枢。东皇提白日，北斗下玄都。骑吏裙皆紫，科车_尽朱。地侯鞭社伯，海若跨天吴。雾喷雷公怒，烟扬灶鬼趋。投壶怜玉女，_饭笑麻姑。果实经千岁，衣裳重六铢。琼杯传素液，金匕进雕胡。掌里承来露，_中钓得鲈。菌生悲局促，柯烂觉须臾。_米休言圣，醯鸡益伏愚。鼓鼙催暝色，簪组缚微躯。遂别真徒侣，还来世路衢。题诗叹城郭，挥手谢妻孥。幸有桃源近，全家肯去无。二、元稹其他诗词《菊花》、《离思五首·其四》、《行宫》、《赋得九月尽（秋字）》、《晚秋》。相同朝代的诗歌《三姑石》、《暖翠》、《赠别徐侃》、《幽恨诗》、《题贾岛墓》、《天台禅院联句》、《长恨歌》、《忆江南》、《钱塘湖春行》、《暮江吟》。点此查看更多关于春分投简阳明洞天作的详细信息

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鸡卜尚多巫的上一句：雕题虽少有。鸡卜尚多巫的上一句：雕题虽少有。诗词名称：《春分投简阳明洞天作》。本名：元稹。字号：字微之，字威明。所处时代：唐代。民族族群：汉化鲜卑族。出生地：河南洛阳。出生时间：大历十四年（779年）二月。去世时间：太和五年（831年）。主要作品：《过襄阳楼》《遣悲怀三首》《闻乐天授江州司马》《明月三五夜》《行宫》等。主要成就：倡导新乐府运动。我们为您从以下几个方面提供“鸡卜尚多巫”的详细介绍：一、《春分投简阳明洞天作》的全文点此查看《春分投简阳明洞天作》的详细内容中分春一半，今日半春徂。老惜光阴甚，慵牵兴绪孤。偶成投秘简，聊得泛平湖。郡邑移仙界，山川展画图。旌旗成屿浦，士女满__。似木吴儿劲，如花越女姝。牛侬惊力直，蚕妾笑睢盱。怪我携章甫，嘲人托鹧鸪。闾阎随地胜，风俗与华殊。跣足沿流妇，丫头避役奴。雕题虽少有，鸡卜尚多巫。乡味尤珍蛤，家神爱事乌。舟船通海峤，田种绕城隅。栉比千艘合，袈裟万顷铺。亥茶阗小市，渔父隔深芦。日脚斜穿浪，云根远曳蒲。凝风花气度，新雨草芽苏。粉坏梅辞萼，红含杏缀珠。薅馀秧渐长，烧后葑犹枯。绿_高悬柳，青钱密辫榆。驯鸥眠浅濑，惊雉迸平芜。水静王馀见，山空谢豹呼。燕狂捎蛱蝶，螟挂集蒲卢。浅碧鹤新卵，深黄鹅嫩雏。村扉以白板，寺壁耀_糊。禹庙才离郭，陈庄恰半途。石帆何峭_，龙瑞本萦纡。穴为探符坼，潭因失箭刳。堤形弯熨斗，峰势踊香炉。幢盖迎三洞，烟霞贮一壶。桃枝蟠复直，桑树亚还扶。鳖解称从事，松堪作大夫。荣光飘殿阁，虚籁合笙竽。庭狎仙翁鹿，池游县令凫。君心除健羡，扣寂入虚无。冈蹋翻星纪，章飞动帝枢。东皇提白日，北斗下玄都。骑吏裙皆紫，科车_尽朱。地侯鞭社伯，海若跨天吴。雾喷雷公怒，烟扬灶鬼趋。投壶怜玉女，_饭笑麻姑。果实经千岁，衣裳重六铢。琼杯传素液，金匕进雕胡。掌里承来露，_中钓得鲈。菌生悲局促，柯烂觉须臾。_米休言圣，醯鸡益伏愚。鼓鼙催暝色，簪组缚微躯。遂别真徒侣，还来世路衢。题诗叹城郭，挥手谢妻孥。幸有桃源近，全家肯去无。二、元稹其他诗词《菊花》、《离思五首·其四》、《行宫》、《赋得九月尽（秋字）》、《晚秋》。相同朝代的诗歌《三姑石》、《暖翠》、《赠别徐侃》、《幽恨诗》、《题贾岛墓》、《天台禅院联句》、《长恨歌》、《忆江南》、《钱塘湖春行》、《暮江吟》。点此查看更多关于春分投简阳明洞天作的详细信息