高等数学，定积分应用，求旋转体的体积？

定积分的应用：几何应用，物理应用。1、平面图形的面积。2、旋转体的体积问题。3、曲线的弧长。4、旋转体的侧面积。定积分是积分的一种，是函数f（x）在区间a到b上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系，若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

众所周知，微积分的两大部分是微分与积分.一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数,求原函数，所以,微分与积分互为逆运算在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用.微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面,推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展.并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展

定积分的应用公式总结如下：1、∫kdx=kx+c（K是常数），∫xndx=xn+1/u+1+C，（u≠-1），∫1/xdx=ln│x│+c，∫dx/1+x²=arltanx+c。2、直角坐标系下（含参数与不含参数）。极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）。旋转体体积（由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程）。平行截面面积为已知的立体体积（V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积）。3、功、水压力、引力：函数的平均值（平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx） 。定积分：定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上的积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式），其它一点关系都没有！一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

两种方法都不对吧， 尽管一个结果数值对的。求旋转体体积用定积分即可：法1 ： Vy = π∫<下限0, 上限1>x^2dy = π∫<下限0, 上限1>ydy = π[y^2/2]<下限0, 上限1> = π/2法2 ：柱壳法Vy = ∫<下限0, 上限1>2πxydx = ∫<下限0, 上限1>2πx^3dx= (π/2)[x^4]<下限0, 上限1> = π/2

求解不规则图形面积、物体做功等。实际生活中许多问题都可以用定积分来解决，例如求解不规则图形面积、物体做功等。本文给出了定积分在经济中以及几何方面的几个简单的应用。定积分在经济中的一个应用工厂定期订购原材料，存入仓库以备生产所用等。由定积分定义知道，它的本质是连续函数的求和。在解决物理问题中适当地渗透定积分的“分割、近似、求和、取极限”的方法，将物理问题化成求定积分的问题，有助于提高物理问题计算的精确度，以变力做功和液体压力等问题为例，介绍定积分在物理中的应用。扩展资料：定积分的分析：1、若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。2、函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。3、求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。参考资料来源：中国知网-例析定积分在生活中的重要作用参考资料来源：中国知网-浅谈定积分近似计算在生活中的应用

定积分在物理学中的应用有：变力沿着直线做功；液体的静压力；物体的万有引力。1、变力沿直线所作的功。由物理学知道如果物体再直线的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为w=F·s。如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就会遇到变力作功的问题，不能直接使用此公式，而采用“元素法”。2、液体的静压力。由物理学知道，在水深为h处的压强为p=h，这里y是水的比重。如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板—侧所受的水压力为P=p·A。如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“元素法“。3、物体的万有引力。由物理学知道，在水深为h处的压强为p=h，这里y是水的比重。如果有一面积为A的平板水平地放置在水深为h处，那么，平板—侧所受的水压力为P=p·A。如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“元素法“。定积分：定积分定义：设函数f(x)在区间[a，b]上连续，将区间[a，b]分成n个子区间[x0，x1]，(x1，x2]，(x2，x3]，…，(xn-1，xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1，xi]中任取一点ξi（1，2，...，n），作和式。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1，△x2，…，△xn}（即λ是最大的区间长度）.如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a，b]的定积分，记为，并称函数f(x)在区间[a，b]上可积。其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个常数，而不是一个函数。

定积分的应用知识点总结：1、定积分定义：设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上。我们在a与b之间插入一些分点，而将该区间任意分为若干段。以表示差数中最大者。2、达布定理：分别以和表示函数f(x)在区间里的下确界及上确界并且做总和，称为f(x)相应于分割π的达布上和，称为f(x)相应于分割π的达布下和。特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界。定积分的内容扩展：定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b。

定积分的几何应用：定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积。即由y=0，x=a，x=b，y=f（X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。定积分（外文名：definite integral）是积分的一种，是函数f（X）在区间[a，b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。定积分是把函数在某个区间上的图象[a，b]分成n份，用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，再求当n→+∞时所有这些矩形面积的和。习惯上，我们用等差级数分点，即相邻两端点的间距是相等的。但是必须指出，即使不相等，积分值仍然相同。几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。

举例说明定积分在物理学中的应用如下：在学习一元函数定积分的定义时，相信很多同学仍然记得定积分在几何上的意义是指图形面积的代数和，但当涉及到物理上的意义及其在物理上的应用时，同学们大多说不出一个所以然，接下来，我将为同学们简单介绍一下定积分在物理学中的意义及其一些简单应用。首先，定积分在物理学中的意义，我们可以理解成是一个物理变量沿另一个变量（大多是时间又或者是位移）的累计量，比如，物体的速度沿一段时间的定积分可以理解为位移，物体受力沿位移的定积分可以理解为该力所做的功等。而我们定积分在物理上的应用也就是在计算一个物理变量的时候运用了定积分的方法。当然，这一类型的题目主要考察的是我们对定积分定义中微元法的运用，因为，在这些题目中，难点往往不是求解定积分的过程，而是列出定积分的式子（即物理建模），而这个建模过程用到的就是我们微元法中阐述的九字“箴言”：分割、近似、求和、取极限，最终很可能我们可以将其转变为定积分在几何上的应用或直接给出答案。

定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。 对于任何几何图形上下限的确定，要根据函数所求的是什么，一般没有方向要求的，由你自己来定，只是保证所求的面积和体积是正数就可以了。如果函数的积分区间[-a,b](a>0,b>0) ,如果f(-a)<0,f(b)>0, 一定要找出f(x)=0的点，进行分段积分，如果函数在这一区间与x轴只有一个交点为c，你可以把区间分为[-a,c]和[c,b], 对于采取下限c、上限分别为-a 和b 的方法 f(x)dx+f(x)dx的两段积分。这就保证了你所求的面积值都是正数。对于有方向的函数求积分，需要确定哪个方向为正，比如求水槽中侧壁的压力，因为水的压强越往深处压力越大，如果用正常坐标，上限选小的数值，下限选大的数值。除非你改变y轴坐标的方向向下，下限才可以选小的数值。对于周期函数，最好能避开整个周期的积分，因为周期函数的积分往往会出现0现象，一个周期的函数值相等。

实际上不用考虑那么多只要画出函数的图像按照图形上的位置即可而如果是判断角度的上下限就看是旋转的方向和起点终点用极坐标的话，就直接代入x=rcosa和y=rsina的表达式推出r和a的上下限

在做定积分的应用题比如围成的区域面积问题或者是旋转的体积问题，可以将区域分割成无数个小块区域分别求面积或者体积，比如长乘以△x就是面积，底面积乘以△x就是体积，当然不一定都是△x，也可以用△y，这个要具体问题具体分析。

定积分的元素法是在应用定积分的理论来分析和解决一些几何，物理中的问题时，需要将一个量表达成为定积分的分析方法。定积分为解决实际问题提供了有效的方法.如果被积函数和积分区间已知,那么定积分的求解过程可概括为:作分割→求近似→求和式→取极限.被积函数和积分区间可根据实际问题得到,而寻求被积表达式的一种有效方法是由元素法提供的.元素法(也称微元法)广泛应用于几何学,力学,电磁学和医学等领域,并逐渐渗透到理论力学,物理学及其他专业中.

解：∫[0,1] e^x dx=e^x| [0,1]=e^1-e^0=e-1

显然我们仅求x轴正半轴（含0点）的侧面积再乘以2即可。 注意到一个y=f(x)在区间(a,b)绕x轴旋转一周侧面积为： ∫sqrt(1+y"^2）*2π*y*dx，其中x从a到b（这个高数教材上有，可以自己看， 要不再发信息问我，下面的也一样，也是教材上的），这里sqrt表示根号，y"表示y的一阶导数。 下面看该题： 正如你所说，先做换元,设x=a*sint,y=b*cost，由于讨论x非负半轴，故取t∈【0，π/2】。故由参数求导方法y"=dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=-b*tant/a, 再由还原积分法dx=a*cost*dt 得非负半轴侧面积： ∫sqrt(1+(-b*tant/a)^2)*2π*b*cost*(a*cost)dt，这里t从0积到π/2; 将外面的一个cost乘进根号中，在注意cost*dt=d(sint)，当然做此变换时积分上下限变为【0，1】，则上式化为： 2*π*b∫sqrt(a^2*(cost)^2+b^2*(sint)^2)*d(sint)，积分变量【0,1】 再将cost的平方换为1-sint^2，则原积分式就是如下同等形式（即将sint换为下面的w)： 2πb*∫sqrt(a^2-(a^2-b^2)*w^2)*dw,这里w∈【0，1】； 显然这个是sqrt(a^2-x^2)形式的积分，很容易算（高数书上附录积分表都有，也可以用换元积分法，如果没找着再问我吧）。 最后侧面积(别忘了上面积分结果还要乘2）： 2πb*sqrt(a^2-b^2)*(A^2*arcsin(1/A)+sqrt(A^2-1))， 这里A=sqrt(a/sqrt(a^2-b^2)) 算的比较仓促，不知道对不对，呵呵！ 另外对于侧面积还有几种积分式： 对于曲线参数方程y=A(t),x=B(t),其中t属于[a,b],则其绕x轴旋转一周侧面积为： ∫2π*A(t)*sqrt(A"(t)^2+B"(t)^2)dt,其中t∈[a,b], 对于极坐标系中的曲线r=r(t)，,其中t为极角，r为向径，t属于[a,b],绕极轴 旋转一周侧面积为： ∫2π*r(t)*sint*sqrt( r(t)^2+r"(t)^2)dt,其中t∈[a,b],

不好意思，告诉你答案是在害您，为了您的学业成绩，我只能告诉您知识点　　从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。　　极限部分：　　极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。　　会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：　　通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：　　从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。　　再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。　　以上就是极限这个体系下主要的知识点。　　导数部分：　　导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。　　然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。　　积分部分：　　一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。　　会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。　　这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合的应用。比如微分方程，它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分。而级数则是对极限，导数和积分各种知识的综合应用。

联立y=2X，y=2/X解得:X=1，y=2或X=-1，y=-2(舍)，∴A(1，2);联立y=X²/4，y=2/X解得:X=2，y=1，∴B(2，1);联立y=2X，y=X²/4解得:X=8，y=16或X=0，y=0(舍)，∴C(8，16);∵S1=∫(8，2)(2X-X²/4)dX=18;S2=∫(2，1)(2X-2/x)dX=3-2|n2，∴S=S1十S2=21-2|n2。

考研数学定积分的物理应用考的不多。定积分的应用每年都会考，是考试重点，几何应用的公共考点主要考两个：平面图形的面积和旋转体的体积，数一数二考生还要掌握弧长和侧面积。物理应用，数一对物理应用历年都考得比较少，主要是数二考生重视。

【专升本快速报名和免费咨询：https://www.87dh.com/xl/ 】定积分的应用求平面图形的面积(曲线围成的面积)直角坐标系下(含参数与不含参数)极坐标系下(r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ)(扇形面积公式S=R2θ/2)旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积V=∫abπ[f(x)]2dx，其中f(x)指曲线的方程)平行截面面积为已知的立体体积(V=∫abA(x)dx，其中A(x)为截面面积)功、水压力、引力函数的平均值(平均值y=1/(b-a)*∫abf(x)dx) 专升本有疑问、不知道如何总结专升本考点内容、不清楚专升本报名当地政策，点击底部咨询官网，免费领取复习资料：https://www.87dh.com/xl/

由于x=2t-t*t=t(2-t),y=t*t(2-t),易知，t=0时，x,y均为0；t=0时，x,y也为0.故我们就可以想象图像在0=<t=<2时一个封闭的图像，就类似于椭圆。当0≤t≤1时，x≥y；当1≤t≤2时，x≤y;当t=1时，x=y=1.因此，t=1，为分界。故面积A为A=∫(2∽1)t*t(2-t)d(2t-t*t)-∫(0∽1)t*t(2-t)d(2t-t*t).之后就交给你了。

§6-3 定积分在物理学中的应用（一）引言定积分的应用十分广泛，自然科学、工程技术中的许多问题都可以使用定积分来求解。下面我们来讨论一些物理方面的实例，旨在加强我们运用微元法解决一些物理学中的一些实际问题。问题一 变力作功由物理学可知，在常力F的作用下，物体沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，力F所作的功为但在实际问题中，物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就是我们下面要讨论的变力作功问题。【例1】把一个带 电量的点电荷放在 轴上坐标原点 处，它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点 为 的地方，那么电场对它的作用力的大小为（ 为常数） 当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到 处时，计算电场力 对它所作的力。解：（1）取积分变量为 ，积分区间为 ；（2）在区间 上任取一小区间 ，与它相应的电场力 所作的功近似于把 作为常力所作的功，从而得到功微元 = ；（3）所求的电场力 所作的功为通过复习已经掌握的有关力学方面的概念和微元法，并对变力作功问题进行分析，将变力作功的过程进行无限细分为若干个子过程，把每一个子过程近似看作常力作功，从而求出功微元。通过学习使学生能够用微元法，分析解决实际问题和灵活运用这一数学模型。主 要 内 容教 学 设 计= = = 一般地，若变力 将某一物体沿力的方向从 移到 处，则变力 所作的功为. （6-6）下面再举一个计算功的例子，它虽不是一个变力作功问题，但它通过定积分的微元法，先求功微元，再求定积分，并给出了一个解决此类问题的数学模型。注意1：本方法的实质就是将变力的作功过程进行无限细分为若干个子过程，再将分割的每一子过程的变力作功近似看成常力作功问题来求解，并取任意一子过程变力所作的功为所求的功微元。【例2】修建一座大桥的桥墩时先要下围囹，并抽尽其中的水以便施工，已知半径是10米的圆柱形围囹上沿高出水面2米，河水深18米，问抽尽围囹内的水作多少功？解：以围囹上沿的圆心为原点，向下的方向为 轴的正向，建立坐标系.（1） 取水深 为积分变量，它的变化区间为 ；（2） 相应于 上任一小区间 的一薄层水的高度为 ，水的密度为 牛顿/米3，这薄层水的重力为 （其中 是薄水的底面积）.把这薄层水抽出围囹外时，需要提升的距离近似为 ，因此需作的功近似为（3） 即所求功微元。在 上求定积分，就得到所求的功为= （焦耳）注意2：为什么该问题的定积分积分区间取作[2，20]，而不取作[0，20]？

简单情况，若母线函数是单调的，则母线存在的区间就是积分的区间，比如y=sinx(π/4,π/2)，绕x轴旋转得到的旋转体，积分上下限就是π/4,π/2；绕y轴旋转得到的旋转体，积分上下限则是√2/2到1. 如果有重叠，则要根据图形剔除，仍举y=sinx(π/4,5π/4)，绕x轴旋转得到的旋转体，积分上下限就是π/2,4π/4. 还有的，可以根据对称情况简化，比如椭圆x/a+y/b=1绕x轴旋转得到的旋转体，积分上下限可取0到a,结果乘以2. 不过数学题千变万化，最重要的是要具体情况具体分析。

学了很久了，忘得差不多，但看下还是懂了。公式记得是绕x就对x积分=π∫（a，b）f（x）²dx来着1·绕X轴旋转的时候对X积分，y=2-X²在（-1，1）不是会形成一个椭球体，当然是砍掉两边的，中间y=x²旋转出来是一个沙漏的状空白当然要减掉2·绕y旋转的时候，分成两部分算，其实都相等，直接乘2不一样，显然对称啊。课本上写的是中间划一条线，上半y=2-X²和y=1围城的图形对y积分，y当然在（1，2）啦下半就（0,1）咯

太多了，不胜枚举。下面略举20个例子吧：1、圆周长公式的证明；2、圆面积公式的证明；3、球体体积公式的证明；4、球体表面积公式的证明；5、任意形状物体的质心位置计算；6、任意曲线长度的计算；7、椭圆面积的计算；8、椭圆周长的计算；9、椭球体积三计算；10、椭球表面积的计算；11、变力做功；12、弹簧势能计算公式；13、转动惯量的计算；14、各种形状的电容器的电容量计算；15、带电体周围额的势能分部计算；16、载流导线周围的磁场分布计算；17、交流电平均电流、电压、平均功率的计算；18、质量密度不均匀的物体的质量计算；19、电荷密度不均匀的物体的电量计算；20、化学反应中焓变的计算；、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、千千万万，永远讲不完。

参考大学函数下册

〔a，b〕，为y = f（x）在连续非负的，和由所述曲线f（x），直线x =中，x = b和x轴包围的y轴旋转的平面中围绕旋转体，近似和图形作为气缸的体积由数量的振铃问剥离法拆分时T→0时，环气缸容积等于旋转体体积。 采取分割T N-1个点，[A，B]， n个区间： [X0，X1]，[X1，X2，...， ×（的i-1），十一]，...，[X（N-1）里，xn] 圆环的旋转后的每一个区间形成气缸，六=π [（十一）^ 2 - （XI-ΔI）^ 2] * F（ξ） =π（2xiΔi-ΔI^ 2）* F（ξ）四舍五入价格高的无穷 >≈2π[XIF（ξ）] *ΔI量Σ2π[XIF（ξ）] *ΔI =2πΣ[XIF（ξ）] *ΔI /> 当T→0的极限等于2π∫XF（x）dx的积分区间[A，B] 手机的手不容易啊?希望房东采取的帮助！

d/dx∫ xsint^2dtx不是积分变量，在积分里面是常量。=d（∫ xsint^2dt）/dx=d（x∫sint^2dt）/dx=∫sint^2dtd/dx∫（a， x）sint^2dt一个定积分，变量x是上限，其导数就是被积函数=sinx²设f（x）的原函数是F（x）,F"(x)=f(x)∫（a，x）f（t）dt=F（x）-F（a）两边求导：d/dx∫（a，x）f（t）dt=F"(x)-0=F"(x)=f(x)

这是数学和物流的结合吧，哈哈

第四个答案也是推出来的。这是一个面，不是计算体积。正所谓证微分假微分得出结论。大家都很伤心。

就是压力的微分，它等于此处的压强和面积微元的积。

定积分只有一个积分变量,被积函数一般是一次的,积分区域只是一个区间,也就是数轴上的一段；而二重积分可以有两个积分变量,被积函数一般为二次,积分区域是平面上的一个有界闭区域.从几何意义上讲：定积分求出的是一个面积,而二重积分求出的是一个体积,而且是一个以f（x）为顶的、以它投影为底面的弧顶柱体的体积.在题目明显要求的情况下,肯定知道什么时候用.如果是在实际应用中,就看上面的几点,来区分使用那种积分（尤其是关于求面积还是求体积的问题）,到后面还会学到三重积分,那时就会对这三种积分有更深刻的认识了……

麻烦楼主追问一下我..我不会添加多张图片..要追问一次才能发多一张图片

1.vA=积分a(t)dt=积分6tdt=3t^2+22.A的位移为sA=积分vA(t)dt=积分(3t^2+2)dt=t^3+2tB的位移为sB=积分vB(t)dt=积分(10t+1)dt=5t^2+t两者相遇时，有sA=sB+5代入解得t=5此时sA=t^3+2t=135 初速度是加了的啊，就是3t^2+2的2啊，只是积分的时候tdt积分结果是1/2*t^2，前面有个1/2的系数，不能直接用at相乘，而是要用adt积分

定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题.解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域[a,b]进行划分后,构造一个特殊形式的和式,它的极限就是所要求的量.具体地说,设f(x)为定义在[a,b]上的函数,任意分划区间[a,b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b,记,｜｜Δ｜｜＝ ,任取 xi ∈Δxi,如果有一实数I,有下式成立 ：,则称I为f(x)在[a,b]上的定积分,记为I＝f(x)dx.当f(x)≥0时,定积分的几何意义是表示由x＝a,x＝b,y＝0和y＝f(x)所围曲边形的面积.定积分除了可求平面图形的面积外,在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和“微元求和”. 积分学极大的推动了数学的发展,同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展.并在这些学科中有越来越广泛的应用,特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断发展.

2008年到2010年的人口增长率呢？

高等数学、线性代数形式结构1、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟。2、答题方式答题方式为闭卷、笔试。3、试卷内容结构高等数学 78%线性代数　 22%4、试卷题型结构试卷题型结构为：单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分填空题 6小题，每题4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分

求解不规则图形面积、物体做功等。实际生活中许多问题都可以用定积分来解决，例如求解不规则图形面积、物体做功等。本文给出了定积分在经济中以及几何方面的几个简单的应用。定积分在经济中的一个应用工厂定期订购原材料，存入仓库以备生产所用等。由定积分定义知道，它的本质是连续函数的求和。在解决物理问题中适当地渗透定积分的“分割、近似、求和、取极限”的方法，将物理问题化成求定积分的问题，有助于提高物理问题计算的精确度，以变力做功和液体压力等问题为例，介绍定积分在物理中的应用。扩展资料：定积分的分析：1、若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。2、函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。3、求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。参考资料来源：中国知网-例析定积分在生活中的重要作用参考资料来源：中国知网-浅谈定积分近似计算在生活中的应用

运动中速度与距离的互求问题即,已知物体移动的距离S表为时间的函数的公式S=S（t）,求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来,已知物体的加速度表为时间的函数的公式,求速度和距离.这类问题是研究运动时直接出现的,困...

求解不规则图形面积、物体做功等。实际生活中许多问题都可以用定积分来解决，例如求解不规则图形面积、物体做功等。本文给出了定积分在经济中以及几何方面的几个简单的应用。定积分在经济中的一个应用工厂定期订购原材料，存入仓库以备生产所用等。由定积分定义知道，它的本质是连续函数的求和。在解决物理问题中适当地渗透定积分的“分割、近似、求和、取极限”的方法，将物理问题化成求定积分的问题，有助于提高物理问题计算的精确度，以变力做功和液体压力等问题为例，介绍定积分在物理中的应用。扩展资料：定积分的分析：1、若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。2、函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。3、求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。参考资料来源：中国知网-例析定积分在生活中的重要作用参考资料来源：中国知网-浅谈定积分近似计算在生活中的应用

定积分在几何上的应用五大板块，分别是：平面图形的面积、平面曲线的弧微分与弧长、平面曲线的曲率、空间图形的体积、旋转面的 (侧)面积，这是在几何应用上常考的5种知识点当然这仅仅是对考研的学子进行提醒。 必须要掌握这5大板块。 对于大学里面的高等数学，只需要掌握曲率以及极坐标的知识点就可以了。定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。这里应注意定积分与不定积分之间的关系：若定积分存在，则它是一个具体的数值，而不定积分是一个函数表达式，它们仅仅在数学上有一个计算关系（牛顿-莱布尼茨公式）。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

求解不规则图形面积、物体做功等。实际生活中许多问题都可以用定积分来解决，例如求解不规则图形面积、物体做功等。本文给出了定积分在经济中以及几何方面的几个简单的应用。定积分在经济中的一个应用工厂定期订购原材料，存入仓库以备生产所用等。由定积分定义知道，它的本质是连续函数的求和。在解决物理问题中适当地渗透定积分的“分割、近似、求和、取极限”的方法，将物理问题化成求定积分的问题，有助于提高物理问题计算的精确度，以变力做功和液体压力等问题为例，介绍定积分在物理中的应用。定积分的分析：1、若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。2、函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。3、求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。

定积分就是求函数f(X）在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X）所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。

不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）不定积分是微分的逆运算而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减在微积分中积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。其中：[F(x)+C]"=f(x)一个实变函数在区间[a,b]上的定积分，是一个实数。它等于该函数的一个原函数在b的值减去在a的值。定积分我们知道,用一般方法,y=x^2不能求面积(以x轴,y=x^2,x=0,x=1为界)定积分就是解决这一问题的.那摸,怎摸解呢?用定义法和微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)具体的,导数的几条求法都知道吧.微积分基本定理求定积分导数的几条求法在这里进行逆运算例:求f(x)=x^2在0~1上的定积分∫(上面1,下面0)f(x)dx=F(x)|(上面1,下面0)=(三分之一倍的x的三次方)|(上面1,下面0)≈0.3333×1－0.3333×0=0.3333(三分之一)完了应该比较简单不定积分设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即∫f(x)dx=F(x)+C.其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分.总体来说定积分和不定积分的计算对象是不同的所以他们才有那么大的区别

个人感觉挺重要的，因为这种题目不难，但却很容易被人忽略。现在最重要的就是定积分在几何中的应用，物理中的应用可能有点削弱了。不过其实里面的内容不多。对于几何应用，主要考察：计算平面面积，计算曲线长度，计算旋转体体积。而物理应用主要考察：计算水压力，计算功，计算引力（这个基本不考）。当然，后面重积分还有一些应用，到时候在慢慢总结吧。

定积分求旋转体体积一般有三种方法：1）Disk Method (旋转体是实心的）2) Washer Method （旋转体是空心的）3）Cylindrical Shell Method (旋转体可以是实心的或空心的）

一元函数积分学分为不定积分和定积分2个部分，其中，不定积分的学习是为了定积分的学习打好基础，而定积分的学习主要又是要面向实际的应用，课本中定积分的应用主要讲的是求平面图形的面积和旋转体的体积，本文主要介绍定积分的应用之求平面图形的面积。一、求平面图形的面积1.平面图像面积的求解方法：第一步：根据所给的函数f(x)，画出草图；第二步：确定积分的变化范围，即确定积分上下限；第三步：计算定积分。2.分类：X型和Y型在平面直角坐标系下，根据不同的情形，平面图形的面积计算公式可分为2种，X型和Y型。第一类：X型计算公式X型，即由y=f(x)与y=g(x)上下两条曲线在[a,b]区间上（或者说和x=a，x=b）所围成的平面图形的面积。在x轴上的a，b之间任意取一点x，过点x坐x轴的垂线，过垂线与上曲线的交点（x,f(x)），与下曲线的交点（x,g(x)）作y轴的平行线，截得dx宽的小矩形，设小矩形的面积为dA，则dA=[f(x)-g(x)]dx，则整个图形的面积为A=。注意：当y=g(x)=0时，即下曲线变成了x轴，则所求的图形面积A变成了A=，此时即为定积分的几何意义：曲边梯形的面积。第二类：Y型计算公式Y型，即由x=f(y)，x=g(y)左右两条曲线在[c,d]区间上（或者说和y=c，y=d）所围成的图形面积，类似于X型，若在区间[c,d]上，f(y)g(y)，则Y型的公式为：面积A=。注意：当求解的面积既不是X型，也不是Y型时，则需要将图形划分为若干个X型或者Y型进行计算求解。对于平面图形面积的X型和y型的计算公式，可结合下图中所给的相关例题进行练习，帮助理解记忆，例题如下：在实际的解题过程中，我们只需要使用X型或者Y型任意的一种公式解出结果即可，答案都是正确的。练习时可以尝试两个公式都用一下，帮助理解还可以验证答案正确性，实际做题时灵活选择即可。

这里就是基本的微分计算对于圆形x²+y²=1当然得到y=正负根号(1-x²)那么弦长就是 2根号(1-x²)面积当然得到弦长 乘以△x即结果为 △S=2根号(1-x²) *△x

不好意思，告诉你答案是在害您，为了您的学业成绩，我只能告诉您知识点　　从整个学科上来看，高数实际上是围绕着极限、导数和积分这三种基本的运算展开的。对于每一种运算，我们首先要掌握它们主要的计算方法;熟练掌握计算方法后，再思考利用这种运算我们还可以解决哪些问题，比如会计算极限以后：那么我们就能解决函数的连续性，函数间断点的分类，导数的定义这些问题。这样一梳理，整个高数的逻辑体系就会比较清晰。　　极限部分：　　极限的计算方法很多，总结起来有十多种，这里我们只列出主要的：四则运算，等价无穷小替换，洛必达法则，重要极限，泰勒公式，中值定理，夹逼定理，单调有界收敛定理。每种方法具体的形式教材上都有详细的讲述，考生可以自己回顾一下，不太清晰的地方再翻到对应的章节看一看。　　会计算极限之后，我们来说说直接通过极限定义的基本概念：　　通过极限，我们定义了函数的连续性：函数在处连续的定义是，根据极限的定义，我们知道该定义又等价于。所以讨论函数的连续性就是计算极限。然后是间断点的分类，具体标准如下：　　从中我们也可以看出，讨论函数间断点的分类，也仅需要计算左右极限。　　再往后就是导数的定义了，函数在处可导的定义是极限存在，也可以写成极限存在。这里的极限式与前面相比要复杂一点，但本质上是一样的。最后还有可微的定义，函数在处可微的定义是存在只与有关而与 无关的常数使得时，有，其中。直接利用其定义，我们可以证明函数在一点可导和可微是等价的，它们都强于函数在该点连续。　　以上就是极限这个体系下主要的知识点。　　导数部分：　　导数可以通过其定义计算，比如对分段函数在分段点上的导数。但更多的时候，我们是直接通过各种求导法则来计算的。主要的求导法则有下面这些：四则运算，复合函数求导法则，反函数求导法则，变上限积分求导。其中变上限积分求导公式本质上应该是积分学的内容，但出题的时候一般是和导数这一块的知识点一起出的，所以我们就把它归到求导法则里面了。能熟练运用这些基本的求导法则之后，我们还需要掌握几种特殊形式的函数导数的计算：隐函数求导，参数方程求导。我们对导数的要求是不能有不会算的导数。这一部分的题目往往不难，但计算量比较大，需要考生有较高的熟练度。　　然后是导数的应用。导数主要有如下几个方面的应用：切线，单调性，极值，拐点。每一部分都有一系列相关的定理，考生自行回顾一下。这中间导数与单调性的关系是核心的考点，考试在考查这一块时主要有三种考法：①求单调区间或证明单调性;②证明不等式;③讨论方程根的个数。同时，导数与单调性的关系还是理解极值与拐点部分相关定理的基础。另外，数学三的考生还需要注意导数的经济学应用;数学一和数学二的考生还要掌握曲率的计算公式。　　积分部分：　　一元函数积分学首先可以分成不定积分和定积分，其中不定积分是计算定积分的基础。对于不定积分，我们主要掌握它的计算方法：第一类换元法，第二类换元法，分部积分法。这三种方法要融会贯通，掌握各种常见形式函数的积分方法。熟练掌握不定积分的计算技巧之后再来看一看定积分。定积分的定义考生需要稍微注意一下，考试对定积分的定义的要求其实就是两个方面：会用定积分的定义计算一些简单的极限;理解微元法(分割、近似、求和、取极限)。至于可积性的严格定义，考生没有必要掌握。然后是定积分这一块相关的定理和性质，这中间我们就提醒考生注意两个定理：积分中值定理和微积分基本定理。这两个定理的条件要记清楚，证明过程也要掌握，考试都直接或间接地考过。至于定积分的计算，我们主要的方法是利用牛顿—莱布尼兹公式借助不定积分进行计算，当然还可以利用一些定积分的特殊性质(如对称区间上的积分)。一般来说，只要不定积分的计算没问题，定积分的计算也就不成问题。定积分之后还有个广义积分，它实际上就是把积分过程和求极限的过程结合起来了。考试对这一部分的要求不太高，只要掌握常见的广义积分收敛性的判别，再会进行一些简单的计算就可以了。　　会计算积分了，再来看一看定积分的应用。定积分的应用分为几何应用和物理应用。其中几何应用包括平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算，曲线弧长的计算，旋转曲面面积的计算。物理应用主要是一些常见物理量的计算，包括功，压力，质心，引力，转动惯量等。其中数学一和数学二的考生需要全部掌握;数学三的考生只需掌握平面图形面积的计算，简单的几何体(主要是旋转体)体积的计算。这一部分题目的综合性往往比较强，对考生综合能力要求较高。　　这就是高等数学整个学科从三种基本运算的角度梳理出来的主要知识点。除此之外，考生需要掌握的知识点还有多元函数微积分，它实际上是将一元函数中的极限，连续，可导，可微，积分等概念推广到了多元函数的情况，考生可以按照上面一样的思路来总结。另外还有两章：级数、微分方程。它们可以看做是对前面知识点综合的应用。比如微分方程，它实际上就是积分学的推广，解微分方程就是求积分。而级数则是对极限，导数和积分各种知识的综合应用。

求解不规则图形面积、物体做功等。实际生活中许多问题都可以用定积分来解决，例如求解不规则图形面积、物体做功等。本文给出了定积分在经济中以及几何方面的几个简单的应用。定积分在经济中的一个应用工厂定期订购原材料，存入仓库以备生产所用等。由定积分定义知道，它的本质是连续函数的求和。在解决物理问题中适当地渗透定积分的“分割、近似、求和、取极限”的方法，将物理问题化成求定积分的问题，有助于提高物理问题计算的精确度，以变力做功和液体压力等问题为例，介绍定积分在物理中的应用。扩展资料：定积分的分析：1、若定积分存在，则它是一个具体的数值（曲边梯形的面积），而不定积分是一个函数表达式。2、函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。3、求函数f(X)在区间[a,b]中的图像包围的面积。即由 y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。参考资料来源：中国知网-例析定积分在生活中的重要作用参考资料来源：中国知网-浅谈定积分近似计算在生活中的应用