矩阵

核空间维数是n-r(A)，即方程组Ax=0基础解系中解向量的个数

核就是以这个矩阵为系数矩阵的齐次方程组的解集 值域就是先找出上述方程的解集的基 然后找出包含这组基的线性空间的基 然后在线性空间的基里面去除解集的基,剩下的就是值域的基

矩阵的特征方程式是：A * x = lamda * x这个方程可以看出什么？矩阵实际可以看作一个变换，方程左边就是把向量x变到另一个位置而已；右边就是把向量x作了一个拉伸，拉伸量是lamda。那么它的意义就很明显了，表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长（或缩短）lamda倍，仅此而已。任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。扩展资料矩阵的意义上，先介绍几个抽象概念：1、核：所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落在了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是，核是“变换”(Transform)中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来在的空间。2、值域：某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来可能的位置，你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。3、空间：向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能）在空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。

A的值域是{y|y=Ax}A的核是{x|Ax=0}这种都是基础概念，随便找本线性代数的教材看看就行了

初等矩阵是指，由单位矩阵经过一次矩阵初等变换得到的矩阵。 初等变换有三种 （1）交换矩阵中某两行（列）的位置； （2）用一个非零常数k乘以矩阵的某一行； （3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行上去。 三类初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异阵。 三类初等矩阵行列式的值是： （1）：-1 （2）：k （3）：1编辑本段性质 1、单位矩阵第i,j两行（列）互换得到的方阵为Pij。将矩阵B的第i，j两行（列)互换所得矩阵B1，即有PijB=B1 2、单位矩阵第i行（列）乘以常数k得到初等方阵Di(k),将矩阵B的第i行（列）乘以k得到矩阵B2，即有B2=Di(k)B. 3、将单位矩阵的第j行（列）的k倍加到第i行（列）得到初等方阵Tij(k)，矩阵B的第j行（列）的k倍加到第i行（列）得到矩阵B3，即有B3=Tij(k)B。矩阵B的第i列的k倍加到第j列得到矩阵B3，即有B3=BTij(k).

变换应该是有无数种情况的，根据情况自己变化。

核矩阵反映了输入样本在特征空间的位置关系，如果你只是做简单的支持向量机应用，不涉及到核矩阵吧。这是我之前写的一小段代码，希望有帮助：clear;clc;load "meas.mat";meas=meas(7001:9000,:);species=species(7001:9000);%%数据太多内存不够用data = [meas(:,3), meas(:,4)];groups = ismember(species,"disjoint");[train, test] = crossvalind("holdOut",groups);cp = classperf(groups);svmStruct = svmtrain(data(train,:),groups(train),"Kernel_Function", "rbf","showplot",true);classes = svmclassify(svmStruct,data(test,:),"showplot",true);classperf(cp,classes,test);cp.CorrectRate%%正确率cp.DiagnosticTable%%%矩阵，格式可以去help里面查classperf

dimR(A)+dimK(A)=A的列数。也就是像的维数加上核的维数应该等于矩阵的列数。跟矩阵的秩没有直接关系。这个叫做线性变换的维数定理。《矩阵论》上都有的，可以去看看。我在此简单证明一下:设矩阵为A，它是一个n*s的矩阵，A的秩是r.(1)像的维数：A的像的全体就是A的列向量的线性组合。由于A的秩r，所以A的列向量的极大无关组有r个向量。A的像就是由这r个向量张成的空间。所以dimR(A)=r.(2)核的维数：核的维数就是Ax=0的解中基础解系的个数，由线性代数可知，dimK(A)=s-r.(3)由此得维数定理：dimR(A)+dimK(A)=s

A(i,:)-A(j,:)表示A矩阵的第i行减去第j行，得到的是一个行向量；norm函数是取2范数，也就是向量的各项平方求和再开方。（因此我觉得后面再^1/2开一次方好像错了，纯属个人猜测，说错误怪）对于两重for循环，i从1到m循环，对于每个i，j又从1到m循环。

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。矩阵的逆矩阵怎么求运用初等行变换法。将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=（A，I]）对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。逆矩阵的性质1、可逆矩阵一定是方阵。2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

。。这是麻省理工的公开课吧，我觉得分两类，一类是满秩，就是可逆矩阵只要秩相同即可，还有就是不满秩，我觉得应该是行最简式相同～～从零空间上来讲，并没有确定解法，仅做参考

当 A， B=0时， 显然成立。正方向， 如果B^2=B=BA, 因为A^2=A=AB, 所以BA=BA^2=BAB=B, 即BA=B， 这说明 R（A)=R(B)，否则若R(A)不等于R(B)， AB=0 矛盾反方向， 如果R(A)=R(B)， 因为A^2=A=AB， 所以BA=BAB=BA^2，所以 B=BA，B^2=(BA)^2=B,所以 B^2=B=BA

你描述的我根本不明白你在说什么 你遇到什么问题？想达到什么功能？

[现代控制理论2-4(3)] 系统的Kalman分解mathmataMAT 2.4.3 Kalman方法的系统正则分解刘豹：前已说过，如果一个系统是不完全能控的，则其状态空间中的所有的能控状态构成能控子空间，其余为不能控子空间。如果一个系统是不完全能观的，则其状态空间中所有能观测的状态构成能观子空间，其余为不能观子空间。但是，在一般形式下，这些子空间并没有被明显地分解出来。本节将讨论如何通过非奇异变换即坐标变换，将系统的状态空间按能控性和能观性进行结构分解。首先阅读[02 附录3]之后，可以知道能控子空间与不能控子空间是n维状态空间的两个正交互补空间，能观子空间同理。在经典控制理论中使用传递函数（阵）表示系统模型。在传递函数中如果出现零点与极点相同相互抵消的现象，称之为零极点相消(Pole-zero cancellation) （会在下一节学习），那么这时候传递函数实际上是不能完全表示系统的动态，因为有一部分的系统模态可能不受到输入的控制（不可控），或者一部分系统状态无法在输出中体现（不可观），又或者两者都有。这些不能控或者不能观的状态构成了线性系统状态空间中的不能控子空间(uncontrollable subspace)和不能观子空间(unobservable subspace)。所以，给定了一个传递函数，或者传递函数阵，它实际能够代表的就只是系统的能控与能观部分，因为给定一个传递函数，实际中能根据它实现的状态空间表达式有无数多种。其中维度最小的，自然就是能控且能观这一部分子空间，称之为最小实现。能控性/能观性分解首先学习/复习必要的线性代数/映射的知识：[02 附录3] 子空间和秩和定理格拉姆矩阵 Gramsche Maxtrix 可控性分解在介绍了不变子空间和秩和定理之后，我们可以使用它们来从几何角度上研究例如说系统的可控性/Steuerbarkeit。比如我们有一个系统，它的状态并不完全可控，也就是说有可控状态  和不可控状态  两个集合，它们各自张成两个不变子空间  und  ，即系统的  维状态空间可以分解成一个 可控空间变量与不可控空间变量的和。而这两个空间是满足正交互补的定义的因此：可控子空间与不可控子空间 在状态空间  内 互为正交补空间因此  维向量空间  的任意一个向量也可以唯一的由来自这两个互相正交的不变子空间的向量的和表示：结论（下面的推导过程）推导：我们已知 线性定常系统的非齐次 状态方程 -- Zustandsdifferentialgleichung:它的通解为：变形一下有：下面我们把：则上面状态解可以重新写作：显然这里解  代表 可控状态变量 暂停一下：我们不加证明的给出微分方程解的一些性质：若状态向量  属于一个变换矩阵  的像空间  ，那么有如下结论：可控状态变量  一定属于 Gramsche 矩阵的像空间，或者说可控状态变量空间就是 这个像空间 状态微分方程的解向量 就是完全可控状态变量 求解格拉姆矩阵 就是求 ： 2. 根据像空间与核空间互为补空间：我们可以推出不可控的状态空间就是 格拉姆矩阵的 核空间 但是我们现在不想求解 格拉姆矩阵  ，我们想借用前面的能控性矩阵来确定可控与不可控状态变量，==通过推导可知格拉姆矩阵可以转换为 可控性矩阵 不可控子空间目标：求不可控子空间的形式推导：矩阵  根据前边的定义，即像空间，核空间的性质：带入得：不可控子空间  还可以表示为：根据 核空间的定义：不可控状态变量  ：即所有的不可控状态变量  满足：别忘了 状态转移矩阵由矩阵指数定义： 状态转移矩阵  带入：根据 Cayley-Hamilton 定理 取前 n 项于是有：提取，写成矩阵形式：有点像了，我们知道前面求得可控矩阵  为：显然：回顾零空间的定义：即，所有不可控状态变量  在经过  的变换后都变0向量>>>说明所有不可控状态变量  张成了变换矩阵  的核空间：即所有  维状态变量空间  的不可控子空间（包含全部不可控状态变量  ）就是 变换矩阵  （可控性矩阵转置）的核空间可控子空间已知可控状态变量  与不可控状态变量  是互相正交的，因为可控子空间与不可控子空间是正交互补的。那么可靠性子空间可以表示为不可控子空间的正交补空间：根据任意矩阵的像空间与核空间的关系：互为正交补 我们可得到可控子空间：即所有  维状态变量空间  的可控子空间（包含全部可控状态变量  ）就是 变换矩阵  （可控性矩阵）的像空间不可控子空间 >> 可控子空间 >>

1、v)m12(u,v)m21(u,v)m22(u,v)(4)为正定对称矩阵,称为度量矩阵.m11(u,v)=T1(u,v).T1(u,v)m12(u,v)=m21(u,v)=T1(u,v) 矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。 首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束 １、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。 基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。 在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。 首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。 子空间的形式很多，有生成子空间、值域空间、零空间和特征子空间等等，我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式，而每个特征子空间的共同特征就是具有相同的特征值，范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。 为什么要这样划分？因为我们在平时的研究中，整个线性空间太大了，我们需要缩小研究范围，某一个或几个特征子空间就够了。或者是模式分类时，每一个样本点就属于某个子空间，我们首先需要知道有哪些类，类的特点是什么，这就是特征子空间。当然对于协方差矩阵而言，特征值还具有能量属性，在清楚各个特征子空间的位置，我们可以通过某些变换改变这些子空间的空间分布。在系统研究中，还可以在清楚特征子空间分布后成功地实现系统或方程的解耦。呵呵，可能其用途很多很多，但关键的一点就是，我们必须认识空间的结构，在此基础上再结合对应的物理空间或几何空间的实际意义进行进一步的处理。 人心苦不足，在知道了上面的东西之后，大家在想，可视的二维平面和三维立体空间中，为了研究向量的长度及向量和向量之间的角度，提出了内积的概念，在线性空间中，人们也对内积的概念作了延拓，于是在原先的线性空间添油加醋改装成了内积空间（分为实数的欧式空间和复内积空间），这里的油醋就是以下的四点：1、交换律；2、分配律；3、齐次性；4、非负性。向量自身的内积开二次根得到长度，两个向量内积除以两个向量的长度得到角度的余弦。所有这些都是与可视空间中的性质是一致的（可以参阅《由相容性想到的》）。这里要注意的是，它只给出了内积的约束，但在具体的向量空间中内积的计算形式却没有硬性规定，要想量化内积，很自然地就是要知道，量化的标准是什么，这就引出了度量矩阵（结合具体的内积计算式，计算得到的基的内积构成的矩阵）的概念。考虑到内积的非负性和交换律，度量矩阵必须是对称正定矩阵。这里也和前面一样，度量矩阵是在一定基下定义的，当基变化了，度量矩阵也会发生改变，相同的内积定义式在不同的基下得到的度量矩阵是合同的，呵呵，又多了一个概念。而且，对称变换、正交性也在内积这找到了家。 最原始的就是按坐标收敛，不过那么多的元素要收敛，太累了！怎么办呢？其实这从本质上来说是多元衡量尺度一元化的问题，于是就找出了范数的概念，用一个范数来代替多个元素的收敛问题讨论。不同矩阵范数的等价性保证了函数极限的一致性。在某种程度上范数成了距离的代名词，但要注意的是范数的概念要比距离强得多（主要是增加了绝对齐次性），我们会用范数去表示不同样本之间的距离，用范数去表示误差程度，用范数去衡量许许多多的表示某种程度的量。

n - r(A) = 6 - 4 = 2.

N(A)指的是A矩阵的零空间，A的核，也就是Ax=0的解组成的空间，而R(A)指的是矩阵A的秩，也是A的列空间和值空间，所以R(A)属于N(A)。

1、v)m12(u,v)m21(u,v)m22(u,v)(4)为正定对称矩阵,称为度量矩阵.m11(u,v)=T1(u,v).T1(u,v)m12(u,v)=m21(u,v)=T1(u,v)　　矩阵论主要研究的是线性空间以及在线性空间中的一些操作，主要是线性变换。当然书中主要是针对有限维的情况来讨论的，这样的话就可以用向量和矩阵来表示线性空间和线性变换，同其他的数学形式一样，矩阵是一种表达形式（notation），而这一方面可以简洁地表达出我们平时遇到的如线性方程和协方差关系的协方差矩阵等，另一方面又给进一步的研究或者问题的简化提供了一个平台。如特征值分析、稳定性分析就对应着诸如统计分布和系统稳定性等实际问题。而一系列的分解则可以方便方程的数值计算。作为矩阵论的学习，我们需要了解具体的一些计算究竟是怎么算的，但更关键的是要知道各个概念和方法的实际意义，各个概念之间的关系。 　　首先介绍的是线性空间，对于线性空间中的任意一个向量的表示由基（相当于度量单位）和坐标（相当于具体的尺度），基既然作为度量标准了，当然要求对每一个向量都适用，同时这个标准本身也应该尽可能的简洁，那么就得到了基定义的两点约束　１、基的组成向量线性无关；２、线性空间中的任一个向量都可以由基的线性表示。　　基作为一种“计量标准”，当然可能会存在多种形式，只要满足上面的两点条件，因而就有必要解决不同的度量标准之间的转换关系，从而得到过渡矩阵的概念，同时可以使用这种转换关系（过渡矩阵）去完成度量量（坐标）之间的转换。　　在完成了线性空间这一对象的认识和表达之后，下面需要研究对象和对象之间的关系。这里主要是线性变换，线性变换针对于实际对象主要完成类似于旋转和尺度变换方面的操作，而这种操作也牵涉到表达的问题。为了保持与空间的一致性，我们也同样是在在特定的基下来表示，从而线性变换就具体化为一个变换矩阵，并且，在不同的基下对应的变换矩阵当然也不相同，这里的不同的变换矩阵的关系就是相似的概念。　　　到此，我们完成了空间中向量的表示和线性变换的矩阵表达。这里涉及了基、坐标、过渡矩阵、变换矩阵、相似矩阵这几个重要的概念。上面算是内涵上的认识，下面我们需要知道线性空间里究竟有些什么东西，它是如何组成的，各个组成成分之间的关系，也就是空间的结构性方面的东西。　　首先认识子空间（空间的组成部分），当然既然也是空间，也就要满足空间的加法和数乘的封闭性，要满足那八条定律。后者可以由父空间保证，前面的就要子空间自身素质了。同时要看子空间之间的并、交、直和运算和相应的秩的关系。这里提到了维数，就要多说几句了，空间中的元素往往是连续过渡的，但是对于有限空间而言还有离散的性质，那就是维数，我称其为“不伸则已，一伸则增一”，从这也就说明了为什么可以用若干个子空间的直和可以等价于原线性空间。　　子空间的形式很多，有生成子空间、值域空间、零空间和特征子空间等等，我们重点看看特征子空间。一个空间可以划分为若干个特征子空间的直和形式，而每个特征子空间的共同特征就是具有相同的特征值，范围就是对应着这个特征值的若干特征向量的生成子空间。　　为什么要这样划分？因为我们在平时的研究中，整个线性空间太大了，我们需要缩小研究范围，某一个或几个特征子空间就够了。或者是模式分类时，每一个样本点就属于某个子空间，我们首先需要知道有哪些类，类的特点是什么，这就是特征子空间。当然对于协方差矩阵而言，特征值还具有能量属性，在清楚各个特征子空间的位置，我们可以通过某些变换改变这些子空间的空间分布。在系统研究中，还可以在清楚特征子空间分布后成功地实现系统或方程的解耦。呵呵，可能其用途很多很多，但关键的一点就是，我们必须认识空间的结构，在此基础上再结合对应的物理空间或几何空间的实际意义进行进一步的处理。　　人心苦不足，在知道了上面的东西之后，大家在想，可视的二维平面和三维立体空间中，为了研究向量的长度及向量和向量之间的角度，提出了内积的概念，在线性空间中，人们也对内积的概念作了延拓，于是在原先的线性空间添油加醋改装成了内积空间（分为实数的欧式空间和复内积空间），这里的油醋就是以下的四点：1、交换律；2、分配律；3、齐次性；4、非负性。向量自身的内积开二次根得到长度，两个向量内积除以两个向量的长度得到角度的余弦。所有这些都是与可视空间中的性质是一致的（可以参阅《由相容性想到的》）。这里要注意的是，它只给出了内积的约束，但在具体的向量空间中内积的计算形式却没有硬性规定，要想量化内积，很自然地就是要知道，量化的标准是什么，这就引出了度量矩阵（结合具体的内积计算式，计算得到的基的内积构成的矩阵）的概念。考虑到内积的非负性和交换律，度量矩阵必须是对称正定矩阵。这里也和前面一样，度量矩阵是在一定基下定义的，当基变化了，度量矩阵也会发生改变，相同的内积定义式在不同的基下得到的度量矩阵是合同的，呵呵，又多了一个概念。而且，对称变换、正交性也在内积这找到了家。　　老是待在线性代数的视野范围内，终归有些不爽，下面就正式进入了分析的领域，既然是矩阵分析，首先就是什么是矩阵函数，该如何定义，当然书中是先从矩阵级数出发的，既然是级数，就会牵涉到部分和的收敛问题，收敛就是极限问题，如何定义矩阵的极限？　　最原始的就是按坐标收敛，不过那么多的元素要收敛，太累了！怎么办呢？其实这从本质上来说是多元衡量尺度一元化的问题，于是就找出了范数的概念，用一个范数来代替多个元素的收敛问题讨论。不同矩阵范数的等价性保证了函数极限的一致性。在某种程度上范数成了距离的代名词，但要注意的是范数的概念要比距离强得多（主要是增加了绝对齐次性），我们会用范数去表示不同样本之间的距离，用范数去表示误差程度，用范数去衡量许许多多的表示某种程度的量。

投影矩阵意思是负责给场景增加透视。投影矩阵P：满足P^2=P正交投影矩阵P：P"=P=P^2超定线性方程组Ax=b通常化成解PAx=Pb，其中P是全空间到A的值域Im(A)的投影，经等价变换可得A"Ax=A"b在线性代数和泛函分析中，投影是从向量空间映射到自身的一种线性变换，是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。同现实中阳光将事物投影到地面上一样，投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换。扩展资料：如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。在内积空间（赋予了内积的向量空间）中，有正交投影的概念。具体来说，正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：  。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系  的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。如果向量空间被赋予了内积，那么就可以定义正交和其它相关的概念(比如线性算子的自伴随性)了。在内积空间（赋予了内积的向量空间）中，有正交投影的概念。具体来说，正交投影是指像空间U和零空间W相互正交子空间的投影。一个投影是正交投影，当且仅当它是自伴随的变换，这意味着正交投影的矩阵有特殊的性质。

简单计算一下即可，答案如图所示

你好：你把题目发来看看我对照题目给你讲要不不知道怎么解啊题目发来看看

根据矩阵相乘的性质有：m×n与n×s矩阵可以相乘，且矩阵为m×s阶矩阵。A×B为3×3阶矩阵，A×B×C为3×3阶矩阵，故ABC矩阵运算可行。扩展资料：矩阵是一个工具，它可以描述的东西有很多，比如：1、线性变换2、线性方程（很多教材都是从这里开始写矩阵的）3、用于表示一些代数4、排列数（permutation）5、可达性（图论）6、以及很多应用上，比如层次分析法中的比较矩阵、神经网络中数据传递的过程等等人并不能直接看到抽象的事物（就好比说变换、方程、代数等等），必须要用一些具体的表现工具将其刻画出来。而矩阵就是其中的一个工具（其实还有其他对线性变换的刻画）。矩阵可以用在很多地方：例如通信中信道传输用到了信道矩阵、线性码结构的定义（用一个矩阵来生成一组编码，编码为该矩阵的零空间），以及研究周期序列的递推关系时，需要用到矩阵。

在编码理论中，最小码距是指编码中任意两个不同的码字之间的汉明距离最小值。而校验矩阵则是描述线性编码的矩阵。这两者之间有以下关系：一个线性码的校验矩阵可以通过列举生成矩阵中与位置向量正交的向量构成，也就是生成矩阵的零空间（Nullspace）的一组基。而当一个线性码的校验矩阵为 H 时，该编码的最小码距是 H 的行重（row weight）即 H 中任意两行之间的距离的最小值。通俗地说，如果一个编码的校验矩阵 H 中任意两行都至少有 d 个不同的位置，那么该编码的最小码距就为 d。因此，校验矩阵与最小码距之间有密切的关系，通过校验矩阵我们可以计算出编码的最小码距，而最小码距也反过来影响了校验矩阵。在编码和译码过程中，最小码距是一个非常重要的参数，也是评估编码质量的指标之一。

1》2假设A奇异则R（A）<n令A=（a1,a2,a3……an）ai为列向量则应存在数组bi(不全为0),使得ai×bi的和为零向量（因R（A）<n，ai线性相关）令B=（b1,b2,b3……bn）T则AB=0 B不等于0，矛盾2》3A非奇异，则存在A逆阵，设为CAx=b CAx=Cb x=Cb此解唯一。因逆阵唯一，Cb唯一3》1若N（A）不为0设d不为零，使得Ad=0因Ax=b 有唯一解 设为e但A（d+e）=Ad+Ae=0+b=bd+e不等于e Ax=b有2解，矛盾证明完毕

这样的矩阵需要满足右乘列向量{1,1,0}等于零列向量，而且矩阵的秩是2。很容易找到这样的例子。

先求基础解系：则得到零空间N(A)，维数是1下面来求值域R(A)：

矩阵A的零度是 起零空间N（A)解空间的维度幂零度只的是幂零阵经过 n次幂之后化为零矩阵的最小的n

“定义: (基底(Basis)与维度(Dimension))若u1,u2,.,up 为向量空间V上的向量,且(1)u1,u2,.,up为线性独立(2)u1,u2,.,up生成 V,即V能由u1,u2,.,up的线性组合表示;则称u1,u2,.,up 为V 的一组基底,而此基底的向量数目 p 称为向量空间V 的维度,V为p维空间dim V= p而零空间的度数则规定是 0 (零空间无基底)dim Ker(A)就是齐次线性方程组AX=0的解空间的维数，所以只需求出A的秩r，再用矩阵A的列数减去r就可以了。

由于 A 的秩为 r，因此 A 的零空间维度为 n-r，其中 n 表示矩阵 A 的列数和行数相等的维数。此外，根据 A 的平方等于零，我们知道 A 的所有特征值都必须为 0。根据矩阵若尔当标准型的定义，若干阶矩阵可以分解成若干个 Jordan 块之和，其中每个 Jordan 块有如下形式：Ji = λiI + Ni，其中 λi 是矩阵的特征值（本题中为 0），I 是单位矩阵，而 Ni 是一个由若干个元素为 1 的下对角矩阵组成的矩阵。对于本题中的矩阵 A，由于 A 的所有特征值都为 0，因此矩阵的若尔当标准型形式为：J = [N1, N2, ..., Nr, 0, 0, ..., 0]其中 Ni 是一个 k×k 的下对角矩阵，而矩阵 J 有 r 个 Jordan 块，并且从左往右排列，其中每个 Jordan 块的大小为 k×k。另外，J 中剩余的部分都是由元素为 0 的矩阵组成，总大小为 (n-r)×(n-r)。因为 A 的平方等于零，所以矩阵 A 的若尔当标准型中，所有的下对角矩阵的非零元素都必须为 1，而对角线上的元素也都为 0。因此，对于本题中的矩阵 A，其若尔当标准型形式为：J = [0, 1, 0, 0, ..., 0, 0, 0][0, 0, 1, 0, ..., 0, 0, 0][0, 0, 0, 1, ..., 0, 0, 0]...[0, 0, 0, 0, ..., 0, 1, 0][0, 0, 0, 0, ..., 0, 0, 0]这就是矩阵 A 的若尔当标准型。

先写一点儿结果吧，能证出B^2=B，但后面的B=BA还不行。先写简单的：如果B^2=B=BA，则rank(A)=rank(B)这个很简单了。由A=AB，rank(A)=rank(AB)<=rank(B)由B=BA，rank(B)=rank(BA)<=rank(A)所以得证。再写难的：如果rank(A)=rank(B)，则B^2=B因为A是幂等矩阵，即：A^2=A，有这么一个定理：A可以写成：A=P"DP的形式，其中：P是可逆矩阵，P"是它的逆。D是对角阵且对角元素是0或1。设rank(A)=k，不妨设对角阵D的左上角是个k阶单位矩阵，其余元素为0。由A=AB，有：P"DP = P"DPB因为P"可逆，所以：DP=DPB所以：DP(E-B)=0，其中E是单位矩阵。考察矩阵DP，DP是个上边k行与P相同，下边n-k行全为零的矩阵。又因为P是可逆的满秩矩阵，所以P的前k行线性无关，所以rank(DP)=k而DP(E-B)=0，说明：E-B包含在矩阵DP的零空间里，所以：rank(E-B)<=n-k又因为已知：rank(B)=k，所以：rank(B)+rank(E-B)<=n另由线性代数的定理：rank(B)+rank(E-B)>=rank(B+(E-B))=rank(E)=n所以：rank(B)+rank(E-B)=n所以：rank(E-B)=n-k下面要用到这么一个定理，我是在一篇叫：Rank additivity and matrix polynomials的文章中找到的，是一个1982年的report，应该很容易就能搜索出来。里面有这么个定理：设A1, A2, ..., Ak是n×n的矩阵，A=A1+A2+...+Ak。(1) 对于任何Ai，Ai^2 = Ai(2) 对于任何Ai, Aj，AiAj=0（正交）(3) A^2=A(4) rank(A1)+rank(A2)+...+rank(Ak)=rank(A)定理是：(1)+(2)的条件组合，等价于(3)+(4)的条件组合。BTW：作者说这就是Cochran定理，但我实在没看出来。把我们的问题套到这个Cochran定理里：A1=B，A2=E-B，A=A1+A2=E因为(3)(4)成立，所以(1)(2)也成立。所以：B^2=B

几乎所有的向量在乘以矩阵 AA 后都会改变方向，某些特殊的向量 xx 和 AxAx 位于同一个方向，它们称之为特征向量。Ax=λxAx=λx数字 λλ 称为特征值。它告诉我们在乘以 AA 后，向量是怎么被拉伸、缩小、反转或者不变的。 λ=0λ=0 意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为 Ix=xIx=x，其特征值为 1。要计算特征值的话，我们只需要道 det(A−λI)=0det(A−λI)=0 即可。

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n，则空间内零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵 1 3 -2

零空间就是齐次线性方程组Ax＝0的全部解,基就是基础解系,维数是n－r(A),n是未知元的个数,r是A的秩.

维度，就是从一维开始的。假设A是nxn矩阵，那么r(A)=n说明A满秩。零空间={x|Ax=0}，由于A满秩，故x只有零解，这是由定义推导的。零空间的维数=dim({0})=0。同样可以记一个式子：dim(null(A))+rank(A)=n扩展资料：秩零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解(完全解)。如果 x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。

维度，就是从一维开始的。

零空间即线性方程组 的所有解 的集合。

若该矩阵有二维零空间，有7-R(A)=2。R(A)=5，所以秩为5。不确定是否正确。

矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩.矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩.可以证明：对于任何矩阵有,行秩=列秩.由此,行秩和列秩统称为矩阵的秩.矩阵的秩用R(A)表示.矩阵的零空间指的是方程AX=0...

绝大部分向量组都不构成空间，用概率方法说：以100%概率不构成空间

矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩。矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩。可以证明:对于任何矩阵有，行秩=列秩。由此，行秩和列秩统称为矩阵的秩。矩阵的秩用R(A)表示。矩阵的零空间指的是方程AX=0的解空间。方程AX=0的所有解组成一个线性空间，这个线性空间称为解空间，也称为矩阵A的零空间。矩阵的零空间的秩用N(A)表示。dim表示的是空间维数，也就是表示该空间的矩阵的秩。因为维数就是用基向量的个数来定义的，而基向量的个数就等于矩阵的列向量的秩，也就是矩阵的秩。

若该矩阵有二维零空间，有7-R(A)=2。R(A)=5，所以秩为5。不确定是否正确。

把新基{b1,b2,...,bn}用老基{a1,a2,...,an}线性表示。{b1,b2,...,bn}={a1,a2,...,an}T矩阵T就是从{a1,a2,...,an}到{b1,b2,...,bn}的过渡矩阵

根据矩阵相乘的性质有：m×n与n×s矩阵可以相乘，且矩阵为m×s阶矩阵。A×B为3×3阶矩阵，A×B×C为3×3阶矩阵，故ABC矩阵运算可行。扩展资料：矩阵是一个工具，它可以描述的东西有很多，比如：1、线性变换2、线性方程（很多教材都是从这里开始写矩阵的）3、用于表示一些代数4、排列数（permutation）5、可达性（图论）6、以及很多应用上，比如层次分析法中的比较矩阵、神经网络中数据传递的过程等等人并不能直接看到抽象的事物（就好比说变换、方程、代数等等），必须要用一些具体的表现工具将其刻画出来。而矩阵就是其中的一个工具（其实还有其他对线性变换的刻画）。矩阵可以用在很多地方：例如通信中信道传输用到了信道矩阵、线性码结构的定义（用一个矩阵来生成一组编码，编码为该矩阵的零空间），以及研究周期序列的递推关系时，需要用到矩阵。

第一部分：矩阵基本知识一、矩阵的创建直接输入法利用Matlab函数创建矩阵利用文件创建矩阵二、矩阵的拆分矩阵元素矩阵拆分特殊矩阵三、矩阵的运算算术运算关系运算逻辑运算四、矩阵分析对角阵三角阵矩阵的转置与旋转矩阵的翻转矩阵的逆与伪逆方阵的行列式矩阵的秩与迹向量和矩阵的范数矩阵的特征值与特征向量五、字符串六、其他第二部分 矩阵的应用一、稀疏矩阵稀疏矩阵的创建稀疏矩阵的运算其他二、有限域中的矩阵内容第一部分：矩阵基本知识（只作基本介绍，详细说明请参考Matlab帮助文档）矩阵是进行数据处理和运算的基本元素。在MATLAB中a、通常意义上的数量（标量）可看成是”1*1″的矩阵；b、n维矢量可看成是”n*1″的矩阵；c、多项式可由它的系数矩阵完全确定。一、矩阵的创建在MATLAB中创建矩阵有以下规则：a、矩阵元素必须在”[ ]”内；b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开；c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开；d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；e、矩阵的尺寸不必预先定义。下面介绍四种矩阵的创建方法：1、直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。还可以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。可以看出来linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。2、利用MATLAB函数创建矩阵基本矩阵函数如下：(1) ones()函数：产生全为1的矩阵，ones(n)：产生n*n维的全1矩阵，ones(m,n)：产生m*n维的全1矩阵；(2) zeros()函数：产生全为0的矩阵；(3) rand()函数：产生在（0，1）区间均匀分布的随机阵；(4) eye()函数：产生单位阵；(5) randn()函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。3、利用文件建立矩阵当矩阵尺寸较大或为经常使用的数据矩阵，则可以将此矩阵保存为文件，在需要时直接将文件利用load命令调入工作环境中使用即可。同时可以利用命令reshape对调入的矩阵进行重排。reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m*n的二维矩阵。

矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩。矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩。可以证明：对于任何矩阵有，行秩=列秩。由此，行秩和列秩统称为矩阵的秩。矩阵的秩用R(A)表示。矩阵的零空间指的是方程AX=0的解空间。方程AX=0的所有解组成一个线性空间，这个线性空间称为解空间，也称为矩阵A的零空间。矩阵的零空间的秩用N(A)表示。dim表示的是空间维数，也就是表示该空间的矩阵的秩。因为维数就是用基向量的个数来定义的，而基向量的个数就等于矩阵的列向量的秩，也就是矩阵的秩。

N(A)指的是A矩阵的零空间，A的核，也就是Ax=0的解组成的空间，而R(A)指的是矩阵A的秩，也是A的列空间和值空间，所以R(A)属于N(A)。

1，已知：N(A) = {x|Ax = 0} ，我们设V(A) = {x | Ax = 任意n维向量Rn } ，所以有N(A)从属于V(A).再令N(A)的线性空间为L(a0, a1, ...,as),其中a0,a1,....as为线性空间的一组基，将其扩充为V（A）的基有V(A) = L(a0,a1,...as, b0,b1, ... bt). 显然s + t = n，dimN(A) = s。又对于R(A)中的任意向量r均存在一个向量x0属于V(A)使得r = Ax0 成立,而x0=k0*a0+k1 * a1 + ...ks * as + q0 * b0 + q0 * b1 +...+qt * bt (ki qi 均为常数)即 r = A * （k0*a0+k1 * a1 + ...ks * as + q0 * b0 + q0 * b1 +...+qt * bt）又A * ai = 0所以有 r = A * （q0 * b0 + q0 * b1 +...+qt * bt）= q0 * Ab0 + q0 * Ab1 +...+qt * Abt因为b0，b1, ...bt线性无关，所以Ab0， Ab1， ... ，Abs线性无关，因此r所在线性空间为L（Ab0， Ab1， ... ，Abs）=R(A)因此有dirR(A)= t. 从而dimR(A)+dimN(A)=n得证.2，将A化为对角阵，则N(A) = {∑ki * ei | 单位向量ei对应下标i正好满足矩阵第i列元素全为0，ki 属于任意实数}

零空间是 AX=0 的向量 X 构成的吧当A满秩时, AX=0 只有零解所以零空间只含一个零向量

零空间，是Ax=0基础解系b1=（2，2，1，0）^T, b2=（3，1，0，1）^T构成的线性空间。设矩阵B=(b1,b2)^T那么解线性方程组，Bx=0，得到的基础解系，拼成矩阵，就是所求的一个矩阵。因此得到矩阵C：

考虑两个线性空间：(1) B的列空间，即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩，等于B的秩，即r(B)。(2) Ax=0的解空间，即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理，它的维数=n-r(A)。现在有AB=0，所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间，所以(1)的维数<=(2)的维数。得r(B)<=n-r(A)，即r(A)+r(B)<=n。这个结论也可以看成Sylvester秩不等式的特例：对任意m*n矩阵A，n*s矩阵B，有r(A)+r(B)<=r(AB)+n。

行列式为零说明它对应的齐次线性方程组有非零解，你将其写开就知道了

就是几个标度矢量的意思。

矩阵A(mxn)的秩，又叫RankA，指的是矩阵A列空间的维数。（rankA=dimColA）求法：行化简矩阵A，得到阶梯形矩阵，看A的主元列数量。补充知识：一个子空间的维数=该子空间的任意一组基里面的向量个数。比如说，A=【v1   v2   v3   v4】,那么A的列空间ColA=span{v1，v2,  v3,   v4}。所以A的列空间维数就是A的主元列数量。dimColA + dimNulA =A的总列数。（NulA是A(mxn)的0空间，指的是所有满足AX=0的向量X的集合，X∈R^n. 那么A的0空间的维数就是A的自由变量数量。A自由变量数量+A主元数量=A总列数。）

零空间就是求Ax=0的解A化成最简型：1 0 2 0 10 1 3 0 00 0 0 1 4所以Ax=0的解是：[x1,x2,x3,x4,x5]" = x3[-2 -3 1 0 0]" + x5[-1 0 0 -4 1]"所以零空间为这两个向量张成的空间：span([-2 -3 1 0 0]",[-1 0 0 -4 1]")

零空间就是齐次线性方程组Ax＝0的全部解,基就是基础解系,维数是n－r(A),n是未知元的个数,r是A的秩.

好像有个矩阵的零度，没听过零空间（可能叫法不同吧）即 将一个线性空间经过该矩阵变换，所得零向量的原像的维数叫做矩阵的零度

零空间就是求Ax=0的解A化成最简型：1 0 2 0 10 1 3 0 0 0 0 0 1 4所以Ax=0的解是：[x1,x2,x3,x4,x5]" = x3[-2 -3 1 0 0]" + x5[-1 0 0 -4 1]"所以零空间为这两个向量张成的空间：span([-2 -3 1 0 0]",[-1 0 0 -4 1]")

没看懂你的题目 不通顺啊

1.矩阵的秩秩最直观的就是化简为行最简形或等价标准形来直接看出来，而这两种形状最常见的用途就是用来解矩阵对应的线性方程组的解，所以遇到秩可以往对应的 Ax = 0 齐次方程组上靠。矩阵的秩还反映了矩阵中线性无关的向量数量 矩阵行、列空间的维数等于秩，即 dim(R(A)) = dim(C(A)) = rankA 秩与特征值之间完全没有关系，但是和特征值的数量有一点关系：矩阵的秩 ≥ 其非零特征值个数相等情况：矩阵可以相似对角化，易得相似变换不改变秩 所以对角矩阵的秩 = 其对角线非零元素个数 = 矩阵非零特征值个数一般情况：矩阵相似于 Jordan 标准形，零特征值对应的 Jordan 块可能不是零矩阵 所以就占用了秩，导致非零特征值减少秩等于非零奇异值的数量 ⇒ 由于 rankA = rank(A^H * A)，因为 A^H * A 是正规矩阵，所以能够相似对角化 ⇒ 所以 rank(A^H * A) = 非零特征值个数 = 非零奇异值个数 = rankA 矩阵的运算对于秩的影响总结：2 矩阵的特征值Ax=λx⇒(A−λI)x=0⇒|A−λI|=0。矩阵的特征值问题是对于方阵而言的。特征值可以为0，特征向量不能为0。

矩阵的维数就是通常所说的秩。 定理: 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩. 定义:A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA。 特别规定零矩阵的秩为零。 扩展资料 　　显然rA≤min(m,n) 易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。也就是要计算它的子式,当计算至r阶子式不等于零,而r+1阶子式等于零时,矩阵的维数(秩)就为r。 　　何为矩阵？ 　　在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合  ，最早来自于方程组的.系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。   在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 　　数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

一个m*n的矩阵可以看成是n个列向量组成，这n个列向量的线性组合构成一个列空间，而通常这n个列向量不是线性无关的，那么求出这n个列向量中不相关的r个，可以称这r列为矩阵列空间的基。同样，一个m*n的矩阵也可以看成是m个行向量组成，这m个行向量中不线性相关的r个，称为矩阵的行空间的基。至于你问的基底，我估计就是指以上的意思。如果指出是行的还是列的就各自对应好了。如果没指出，一般是指行空间的基。

呵呵给你一个a=123456则a的行向量组为:(1,2,3),(4,5,6)a的列向量组为:(1,4)",(2,5)",(3,6)"

一个x行y列的矩阵维数是多少?这要看具体情况的.矩阵的维数就是通常所说的秩. 定理: 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩. 定义: A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。 也就是要计算它的子式,当计算至r阶子式不等于零,而r+1阶子式等于零时,矩阵的维数(秩)就为r

1、矩阵的维数和矩阵的秩两者范围不同：维度，是数学中独立参数的数目；而秩表示的是其生成的子空间的维度。如果还考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目。2、矩阵的维数和矩阵的秩两者用途不同：“点基于点是0维、点基于直线是1维、点基于平面是2维、点基于体是3维”。再进一步解释，在点上描述（定位）一个点就是点本身，不需要参数；在直线上描述（定位）一个点，需要1个参数（坐标值）。在平面上描述（定位）一个点，需要2个参数（坐标值）；在体上描述（定位）一个点，需要3个参数（坐标值）。而矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。3、矩阵的维数和矩阵的秩两者对应关系不同：矩阵的维数没有固定的对应关系。而对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度。矩阵 A称为 fA的变换矩阵。参考资料来源：搜狗百科-维度参考资料来源：搜狗百科-秩（线性代数术语）

1、首先span:全部列向量的线性组合构成的集合。2、其次span（A）=R(A) 。3、最后生成子空间=矩阵A的列空间（非齐次线性方程组y=Ax的值域）。

取决于你是左乘还是右乘了。

对于一个n imes nn×n的矩阵，如果它的秩等于nn，则称这个矩阵为满秩矩阵。满秩矩阵的每一行都是线性无关的，因此满秩矩阵的行空间就是整个列空间。同理，满秩矩阵的每一列也都是线性无关的，因此满秩矩阵的列空间也是整个行空间。对于一个非齐次线性方程组Ax=bAx=b，其中AA是一个列满秩矩阵，xx和bb是向量。由于矩阵AA是列满秩的，所以它的秩等于它的列数nn。而根据线性代数的基本定理，在一个nn维向量空间中，任意一个向量都可以唯一地表示成该空间的一组基向量的线性组合。因此，由于矩阵AA的列空间等于它的行空间，任何向量bb都可以表示为矩阵AA的列向量的线性组合。也就是说，方程组Ax=bAx=b总有解。因此，对于满秩矩阵来说，非齐次线性方程组Ax=bAx=b总有解，且至少存在一个非零解。

矩阵的行空间是指矩阵的行向量组构成的空间而一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数等于这个矩阵的秩在这里经过计算显然三者的秩都等于2于是三者矩阵行空间是相同的

一个x行y列的矩阵维数是多少，这要看具体情况的，矩阵的维数就是通常所说的秩。定理：一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩。定义：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A。矩阵的秩，记作rA，或rankA。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。也就是要计算它的子式，当计算至r阶子式不等于零，而r+1阶子式等于零时，矩阵的维数（秩）就为r。

这都是基本结论呀A可逆(1) 则A的列向量组线性无关, 而任意n+1个n维向量都线性相关 所以A的列向量是实空间R的基(2) 则 r(A)=n, 所以 Ax=0 只有零解(3) Crammer 法则 (4) range（A）是怎么定义的?

m×n矩阵的维数是：单独一个矩阵没有维数可说。一个x行y列的矩阵维数是多少，这要看具体情况的，矩阵的维数就是通常所说的秩。定理：一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩。定义：A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A。矩阵的秩，记作rA，或rankA。特别规定零矩阵的秩为零。维数对于给定空间，它的基有很多种，但是基的向量个数一定是相同的，这里所说的向量个数也就是维数。对维数的理解，一个m×n的矩阵，列空间的维数=主列的个数=矩阵的秩r，零空间的维数=矩阵自由变量的个数n-r。

矩阵A的秩=3,不能说明A是3维空间,因为A是矩阵,不是空间.任何mn矩阵的秩,当m,n>=3时都有可能是3. 矩阵的每一行（列）可以构成一个行（列）向量,行（列）向量的分量的个数表示向量的维数,如α=（1,2,3,0,0,0）就是一个6维向量. 如有什么不明白,我们再讨论.,4,不对。。。 秩=3，还是一个二维空间。 一般矩阵都是二维的。 维度要看有几个方向。 魔方那个样子的数组才是三维的。,2,高等代数问题:"矩阵"和"空间"这两个概念,到底有什么联系? 如题.如果矩阵A的秩=3,那么A就是一个3维空间么? 我这样理解, to 1L: (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)这不是确定了一个三维空间的三个轴么?

span（A）=R(A) ；生成子空间=矩阵A的列空间（非齐次线性方程组y=Ax的值域）；Ker(A)=N(A) ；矩阵A的核=矩阵A的零空间（其次线性方程组Ax=0的解）。完毕！详细解释见 矩阵论（南航）P.19

可以认为向量是数的推广，矩阵是向量的推广，也就是说数一定是向量，向量一定是矩阵。但是仅从这个观点看还是太肤浅。矩阵其实是向量空间上的线性变换。引进矩阵的目的就是为了研究线性变换。这样可以么？希望能解决您的问题。

一个x行y列的矩阵维数是多少?这要看具体情况的.矩阵的维数就是通常所说的秩.定理:一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义:A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA。特别规定零矩阵的秩为零。显然rA≤min(m,n)易得：若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。也就是要计算它的子式,当计算至r阶子式不等于零,而r+1阶子式等于零时,矩阵的维数(秩)就为r

1、任何矩阵乘零矩阵等于零矩阵。2、A矩阵的行向量与B矩阵的列向量正交，则A×B=0。3、这个定理一般是反过来用的，若A×B=0（其中A为m行n列，B为n行s列），则r（A）+r（B）小于等于n。4、前一个矩阵的行空间与后一矩阵的列空间正交。扩展资料：1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。参考资料来源：百度百科-矩阵乘法

考虑两个线性空间：(1) B的列空间，即B的各列向量张成的线性空间。它的维数即是B的列秩，等于B的秩，即r(B)。(2) Ax=0的解空间，即Ax=0的所有解组成的线性空间。由基本定理，它的维数=n-r(A)。现在有AB=0，所以B的各列向量均是Ax=0的解。这说明(1)是(2)的子空间，所以(1)的维数<=(2)的维数。得r(B)<=n-r(A)，即r(A)+r(B)<=n。这个结论也可以看成Sylvester秩不等式的特例：对任意m*n矩阵A，n*s矩阵B，有r(A)+r(B)<=r(AB)+n。

问概念最好把一段话贴出来,不要只抽片段,这样经常需要猜测. 一般来讲矩阵的range是指矩阵作为线性映射的像空间,也就是由矩阵的列张成的线性空间,常用的记号是Ran(A),Im(A),span(A).

矩阵A的零空间是指方程组AX=0的解向量构成的空间,也就是AX=0的解空间.矩阵的列空间是指矩阵的列向量组构成的空间,也就是将列向量组的极大线性无关组找出来,然后做线性组合而生成的所有向量构成的空间.