矩阵

向量的维数是指向量分量的个数比如 (1,2,3,4)" 是一个4维向量矩阵的维数是指它的行数与列数,比如1 2 34 5 6它的维数是 2*3空间的维数是指它的基所含向量的个数 比如 V = {(x1,x2,0,0)" | x1,x2 为实数}(1,0,0,0)",(0,1,0,0)" 是它的一个基,所以它是2维向量空间

向量的维数是指向量分量的个数比如 (1,2,3,4)" 是一个4维向量矩阵的维数是指它的行数与列数,比如1 2 34 5 6它的维数是 2*3空间的维数是指它的基所含向量的个数 比如 V = {(x1,x2,0,0)" | x1,x2 为实数}(1,0,0,0)",(0,1,0,0)" 是它的一个基,所以它是2维向量空间

在介绍矩阵的基本子空间之前，需要引入 线性子空间 的概念。 我们称W为线性空间V的 线性子空间 ，如果 ，且W本身也为线性空间。 由于 ，因此W已经拥有线性空间的第3，4，7，8，9，10条性质（具体请见之前的笔记 《线性空间》 ）。因此我们只需要要求W拥有剩下的性质，即 W关于线性运算封闭 。 举个例子，在n维空间中，m个矢量所张成的空间就是一个线性子空间：它们首先包含于这个n维空间，其次这m个矢量所张成的空间关于线性运算封闭： 所以这m个矢量张成的空间是所在n维空间的线性子空间。 下面介绍矩阵的四个基本子空间，以矩阵 为例： 矩阵A的列矢量张成的空间。一般用C(A)表示，它是m维线性空间的子空间：可以看出，如果 ，那么非齐次线性方程组Ax=b是有解的。 矩阵A的行矢量张成的空间。一般用R(A)表示，它是n维线性空间的子空间：它同时可以看作是 的列空间： 满足Ax=0这一齐次方程的解构成的空间。由于对任意解x,y都满足：A(ax+by)=aAx+bAy=0，因此解空间对线性运算封闭，满足线性子空间的条件。零空间是一个n维空间的线性子空间，一般记为N(A)：满足 这一齐次方程的解构成的空间。由于这一齐次方程可以写成 ，因此被叫作左零空间。一般用 表示。它是m维空间的线性子空间：下面列举一些四个基本子空间的有关性质： 类似地，可以得到：

不可以。3×7矩阵，秩为2意味着空间被压缩了，没有三维空间。列空间一个矩阵的列空间就是这个矩阵所有的变换结果的集合，无论是维度不变还是被压缩成一个面。

普通的初等变换不是等价的，你说的这一切都不保证

定义 中的一个 子空间 是 中的集合 ，具有一下三个性质： 换句话说，子空间对加法和标量乘法运算是 封闭 的。 若 和 是 中的向量， ，证明 是 的子空间。 证明： 若 不等零而 是 的倍数，则 和 仅生成通过原点的直线。所以通过原点的直线同样是子空间。不通过原点的一条直线 不是子空间，因它不包括原点，且 在加法或标量乘法下不是封闭的。 设 属于 ， 的所有线性组合是 的子空间，我们称 为由 生成（或张成）的子空间 。注意 是它本身的子空间。另一个特殊的子空间是仅含零空间的集合，称为 零子空间 。 应用中， 的子空间通常出现在一下两种情况中，它们都与矩阵有关。 矩阵 的 列空间 是 的各列的线性组合的集合，记作 。 若 ，它们各列属于 ，则 和 相同。当 的列生成 时， 等于 。 设 ，确定 是否属于 的列空间。 解： 是否属于 的列空间等同于确定方程 是否有解。把增广矩阵 进行行化简。 ～ ～ 可知 相容，从而 属于 。 当线性方程组写成 的形式时， 的列空间是所有使方程组有解的向量 的集合。 矩阵 的零空间是齐次方程 的所有解的集合，记为 。当 有 列时， 的解属于 ， 的零空间是 的子集。 定理 12 矩阵 的零空间是 的子空间。等价地， 个未知数的 个齐次线性方程的方程组 的所有解的集合是 的子空间。 因为子空间一般含有无穷多个向量，故子空间的问题最好能够通过研究生成这个子空间的一个小的有限集合来解决，这个集合越小越好。可以证明，最小可能的生成集合必是线性无关的。 中子空间 的一组 基 是 中一个线性无关集，它生成 。 可逆 矩阵的各列构成 的一组基，因为它们线性无关，而且生成 。一个这样的矩阵是 单位矩阵，它的各列用 表示： 。 称为 的 标准基 。 求矩阵 的零空间的基。 解：首先把方程 的解写成参数向量形式： ～ 是 的一组基。 求矩阵 的列空间的基。 解：用 表示 的列，容易得到 。 是主元列的组合，这意味着 的任意组合实际上仅是 的组合。 若 是 的任意向量 所有 的主元列构成 的基。

正交矩阵的行空间和列空间一定相当吗

列空间？

就是以矩阵的列向量作为生成向量，组成的空间上面叫做生成向量，就假如说a1,a2,a3生成的空间，就是a1,a2,a3任意线性组成构成的空间

n个未知数即n列的矩阵式子当然是通过初等行变换得到最简型矩阵之后如果其秩为R那么就有n-R个解向量代入计算得到各个向量即可

矩阵A的零空间是指方程组AX=0的解向量构成的空间,也就是AX=0的解空间.矩阵的列空间是指矩阵的列向量组构成的空间,也就是将列向量组的极大线性无关组找出来,然后做线性组合而生成的所有向量构成的空间.

一个x行y列的矩阵维数是多少?这要看具体情况的.矩阵的维数就是通常所说的秩.定理:一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩.定义:a=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵a的秩，记作ra，或ranka。特别规定零矩阵的秩...

比如说x是一个m维列向量A是一个mxn的复矩阵，按列分块成A=[a1,a2,...,an]，V是由a1,...,an张成的向量空间（即A的列空间），P是V对应的正投影算子那么x到V的投影是Px用矩阵形式写就是AA^+ x，其中A^+表示A的Moore-Penrose广义逆

计算矩阵的除法其实就是将被除的矩阵先转换为他一矩阵，他的矩阵相当于被除的矩阵分之一，前面的矩阵和后面的矩阵的逆矩阵相乘的乘积

分类: 教育/科学 >> 升学入学 >> 考研 问题描述: 什么是秩 解析: 您的查询字词都已标明如下：矩阵的秩 (点击查询词，可以跳到它在文中首次出现的位置) (百度和网页hsedu/xibu/sxx/teach/gdds/jiaoan/6.7.doc的作者无关，不对其内容负责。百度快照谨为网络故障时之索引，不代表被搜索网站的即时页面。) --------------------------------------------------------------------------------6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 教学目的: 1. 掌握矩阵的秩和它的行空间,列空间维数之间的关系. 2. 准确地确定齐次线性方程组解空间维数. 3. 熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解. 教学内容: 1. 阵的秩的几何意义. 设给了数域F上一个m*n矩阵 A= 矩阵A的每一行可以看成F的一个向量,叫做A的行向量.A的每一列可以看成F的一个向量,叫做A的列向量,令a,...,a是A的列向量,这里 a=(a,a,...,a),I=1,...,m. 由a,a,...,a所生成的F的子空间￡(a,a,..., a)叫做矩阵A的行空间.类似的,由A的n个列向量所生成的F的子空间叫做A的列空间. 当m≠n时,矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间, 引理6.7.1 设A是一个n*m矩阵 如果B=PA,P是一个N阶可逆矩阵,那么B与A有相同的行空间. 如果C=AQ,Q是一个n阶可逆矩阵,那么C与A有相同的列空间. 证:我们只证明(I),因为(ii)的证明完全类似. A=(a)mn, P=(p)mm,B=(b)mn. 令{a1,a2…am}是A的行向量,{b1,b2,…,bm}是B的行向量.B的第I行等于P的第I行等于P的第P的第I行右乘以矩阵A: bi=(bi1,bi2…,bin)=(pi1,pi2,…pim)A=pi1a1+pi2a2,…+pimam, 所以B的每一个行向量都是A的行向量的线性组合,但P可逆,所以A=P-1B.因此A的每一个行向量都是B的行向量的线性组合,这样,向时组{a1,a2,…,am}与{b1,b2,…,bm}等价,所以它们生成Fn的同一子空间. 我们知道,对于任意一个m*n矩阵A,总存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使 (1) PAQ= 这里r等于A的秩,两边各乘以Q得 PA=Q 右端乘积中后m-r行的元素都是零,而前r 行就是Q-1的前r行.由于Q-1可逆,所以它的行向量线性无关因而它的前r行也线性无关.于是PA的行空间的维数等于r.由引理6.7.1,A的行间的维数等于r ,另一方面,将等式(1)左乘以P-1得 AQ= P 由此看出,AQ的列空间的维数等于r,从而A的列空间的维数也等于r,这样就证明了 定理6.7.2 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数,等于这个矩阵的秩. 由于这一事实,我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数;也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数. 数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. 线性方程组的解的结构:设 a11x1+a12x2+…a1nxn=0 a21x1+a22x2+…a2nxn=0 (3) am1x1+am2x2+amnxn=0 是数域 F上一个齐次线性方程组.令A是这个方程组的系数矩阵.那么(3)可以写 成 (3) A= (3)的每一个解都可以看作Fn的一个向量,叫做方程组(3)的一个解向量.设 =, = . 是(3)的两个解向量,而a,b是F中任意数.那么由(3"), A(ax+bh)=aA +bA = , 所以aξ+bη也是(20的一个解向量,另一方面,齐次线性方程组永远有解,数域F上一个n 元齐次线性方程组的所有解向量作成Fn的一个子空间,这个子空间叫作所给的齐次线性方程组的解空间. 现在设(3)的系数矩阵的秩等于r.那么通过行初等变换,必要时交换列,可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵; . 与这个矩阵相当的齐次线性方程组是 y1 +c1,r+1yr+1+…+c1nyn=0, y2 +c2,r+1yr+1+…+c2nyn=0, ………………………………, yr+cr,r+1yr+1+…+cr,nyn=0, 这里yk=xik,k=1,…n,就是未知量yr+1,…yn.依次让它们取值(1,0,…,0),(0,1,0,…0),…,(0,…,0,1),我们得到(4)的n-r个解向量 =, =,……., = 这n-r个解向量显然线性无关,另一方面,设(k1,k2,…,kn)是(4)的任意一个解,代入(4)得 k1=-c1,r+1kr+1-…-c1,nkn, k2=-c2,r+1kr+1-…-c2,nkn, …………………………… kr=-cr,r+1kr+1-…- cr,nkn, kr+1=1kr+1, ……………………………… kn= 1kn. 于是 =kr+1,ηr+1+kr+2ηr+2+…+knηn 因此,(4)的每一个解向量都可以由这n-r个解向量ηr+1,ηr+2,…,ηn线性表示,这样一来, {ηr+1,ηr+2,…,ηn}构成(4)的解空间的一个基,重新排列每一解向量ηi中坐标的次序,就得到齐次线性方程组(3)的解空间的一个基,即 定理6.7.3 数域上一个n个未知量的齐次线性方程组的一毁解作成Fn的一个子空间,称为这个齐次线性方程组的解空间,如果所给的方程组的系数矩阵的秩是r,那么解空间的维数n-r. 一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系. 例 1 求齐次线性方程组 x1-x2+5x3-x4=0 x1+x2-2x3+3x4=0 3x1-x2+8x3+x4=0 x1+3x2-9x3+7x4=0 的一个基础解系. 对行施行初等变换化简系数矩阵,得 与这个矩阵相当的齐次方程组是 取作为自由未知量,依次令和得出方程的两个解 它们作成所给的方程组的一个基础解系.方程组的任意一个解都有形式 这里是所数中任意数,方程组的解空间由一切形如的解向量组成.设 (5) A 是数域F上任意一个线性方程组,A是一个m8n矩阵,把(5)的常数都换成零,就得到一个齐次线性方程组 A= 齐次方程组(6)叫做方程组(5)的导出齐次方程组, 定理6.7.4 如果线性方程组(5)有解那么(5)的一个解与导出齐次方程组的一个解的任意解都可以写成(5)的一个固定(6)的一个解的和, 证 设ν=(c1,c2,…)是方程组(5)的一个解,δ=(d1,d2,…,dn)是导出齐次方程组(6)的一个解.那么 A=A 所以是(5)的一个解设是(5)的任意一个解.那么 A 因此μ=λ—ν是导出方程组(6)的一个解,而λ=ν+μ.

行空间如下：矩阵的行空间其实就是一个子空间。对于对于一个m行n列的矩阵，行空间是n维空间的子空间，行最简形式的非零行个数为矩阵的的行秩；行空间的维度，为矩阵的的行秩行最简形式的非零行，是行空间的一组基。简介：矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

n*n的矩阵空间维数是n²。本质上和列（行）空间的维数是一样的，都是指基中元的个数。

初等变换求逆矩阵原理是这样的：初等行变换相当于矩阵左乘一个可逆阵；初等列变换相当于矩阵右乘一个可逆矩阵。 求A的逆，就是求B，使得AB=BA=E。从BA=E看就是对A进行初等行变换(注意，A右边没有矩阵，不能列变换),从AB=E看就是对A进行初等列变换(注意，A左边没有矩阵，不能行变换)。 所以用初等行变换求逆矩阵时，不能“同时”用初等列变换！当然也可以用初等列变换求逆矩阵，但不能同时用初等行变换！ 上述说法中关键是“同时”两个字，这个词是不可以实现的。

矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。

日月交替铸一座钟 心随着世界一起跳动 南北进退得一场空 心声世界不愿懂 寒冬本来就冷 还要吵个不停 那多伤感情 坠入雪中泥泞的水坑 我面无表情 装作很冷静 去营造那不存在的暖风 脚下却只能踩着水坑 我知道我总会有不好的情绪 我知道我总会对你发脾气 我知道这一切都不怪你 我知道你们心里也委屈 妈妈还在忙 转身又进了厨房 怨这种日子怎么那么长 我躲在一旁等着饭菜香 太多的感受融进这万家灯火 笨嘴又拙舌不要责怪我 今夜的星光格外闪烁 我替你送晚秋去延安 我替你陪老板吃便饭 等我回天津摆佛龛 我和你一起爱左蓝 我也想从重庆走延安 我也想抱着雨农撞岱山 我也想重回海河天津站 我也想梦中念左蓝 你们编织在华北的浪漫 全刻在小卧室的天花板 你那峨眉峰埋葬在对岸 渤海深处写满了不甘 最近上课讲到了矩阵投影，感觉并不是很理解，没想到后来的许多都是建立在它的基础之上的，因此今天特地看了一下。 如图，在R^2空间中有两个向量，求一个常数θ使两个向量满足θ·a=b Aθ的所有可能结果都在一个固定的区域中，在线性代数中我们称这个区域为列空间(column space),列空间顾名思义就是矩阵各列的所有线性组合a1θ1+a2θ2+a3θ3+...+anθn。在1-D的情况下列空间就是一条线，在2-D的情况下列空间就是一个平面。但是我们的数据哪里会这么恰好的落在矩阵的列空间里呢？天底下哪有这样的好事啊！！！ 特别是在数据量特别大的情况下，矩阵特别是在数据量特别大的情况下，矩阵A会成为一个n >> m的超级高大的n x m矩阵（如下图）。在这种等式数量远大于未知数数量的情况中，我们很难满足每一个等式的约束。 但是目标不再在空间里并不代表不能求出解，只能说没有perfect solution（语出Gilbert Strang），但是我们努力一下还是可以做到最好的(best solution)。我们用投影向量p来寻找最合适的θ。而这个θ就是不存在的完美解的估计值。 回顾矩阵求导得到的Normal Equation： 两者除了在符号表示上有所区别，其它的一模一样，现在从符号本身的含义去联系两者。 归根结底，Normal Equation是用来求解一个最优化问题。在投影的方法中，矩阵A作为一个基向量空间，用于寻找最优的θ使之最接近b。 矩阵A有多少行就表示基向量空间有多少维（每个特征有多少样本量，就表明在这个空间中有多少维度），有多少列，就表示有多少个基向量。 在线性回归中矩阵A就等同于X，行数为样本量，列数为特征量，b等同于Y，为目标向量。 当特征远远少于样本量的时候说明基向量的空间维数很高，但基向量很少。也就是说在一个很大的空间中，只有少数几个方向给定，需要去拟合向量Y，那难度当然很大，误差就很大。 当特征数量远远大于样本量的时候就相反，基向量空间不大，但基向量的个数很多。也就是说在一个不大的空间中，有很多的基向量，基本涵盖了所有的方向，此时我想要找到一个基向量的线性组合去逼近目标向量Y，那就容易很多了。此时θ过于依赖当前的样本，泛化能力差。 双重期望値定理 (Double expectation theorem)，亦称 重叠期望値定理 (Iterated expectation theorem)、 全期望値定理 (Law of total expectation)，即设X,Y,Z为 随机变量 ，g(·)和h(·)为 连续函数 ，下列期望和条件期望均存在，则 Dynamic Programming 动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化的一种方法。其特点是可以把一个最优化问题转化为多个子最优化问题，从而一个一个地去解决。它是解决问题的一种思想或者说一种方法，并不是某一种特别的算法。 这是个特别有意思的事情：最优性原理比较好理解，它是说如果总策略是最优的话，那么子策略一定是最优的。而DP把这个事情反过来说了，说如果从某一步到最后一步的策略是最优的话，那么我们迭代这个过程直到第一步，那么这个总的策略一定是最优的。初闻之，不可思议。它的要求在隐含在了系统模型中，也就是下个时刻的系统状态与且仅与当前时刻的系统状态和当前时刻的控制输入有关，我们可以叫做无后效性或马尔可夫性。本质上是一个多阶段决策过程，在系统的不同时刻不同阶段根据所处的状态采取相应的输入，每个阶段都要做决策，为了使整个决策的过程达到最优效果。

矩阵可逆，则秩＝行向量个数＝列向量个数。矩阵的行向量组的秩等于行向量的个数，所以行向量组线性无关。同理，列向量组线性无关。

leitingok 回答正确, 请采纳他的解答问题补充对于所给矩阵, 1,2,3列线性无关(是列向量组的极大无关组), 1,2,3行线性无关(是行向量组的极大无关组), [ 第4行 = (4/5)第1行 - (7/5)第2行+(6/5)第3行 ]所以它们生成的向量空间都是3维的.注意: 尽管它们生成的空间的维数相同, 但这两个空间是有本质区别的: 一个是由4维向量构成, 一个是由3维向量构成

1证明r(AA^T)=r(ATA)=r(A)因为Ax=0，可以推出ATAx=AT(Ax)=0而且ATAx=0，x^TATAx=x^T(ATAx)=0，即(Ax)^TAx=x^TATAx=0所以必然有Ax=0所以Ax=0<=>ATAx=0即Ax=0和ATAx=0通解所以N(A)=N(A^TA)，r(A)=r(A^TA)同理可得N(A^T)=N(AA^T)，r(A^T)=r(AA^T)且AA^T和A^TA互为转置。所以r(AA^T)=r(ATA)=r(A)2证明r(AB)<=min{r(A), r(B)}因为若x满足Bx=0，必然满足ABx=0所以ABx=0的解多于Bx=0的解。所以p-r(AB)>=p-r(B)所以r(AB)<=r(B)且若A^T x^T=0那么B^TA^Tx^T=0即，若x满足A^T x^T=0, 必然满足B^TA^Tx^T=0同上，所以r(B^TA^T)<=r(A^T)且r(AB)=r(B^TA^T)，r(A)=r(A^T)即r(AB)<=r(A)综上，r(AB)<=min{r(A), r(B)}3r(A)+r(B)-n<=r(AB)可以参见这个证明http://zhidao.baidu.com/link?url=qZEjzUBXDK-IruU40C-JDXwCiksqj7NGhyyo-yuHiI1QUY5wGiLebE-9k7W4-fwGpsQdLypJYC637aa0UIS2Yq4证明r(AB)=r(B)-dimN(A)∩R(B)那个dimN(A)∩R(B)表示的是满足AB=0的B的列向量的秩。证明：设B=(a1 a2...ap)不失一般性，设a1a2...ak是Ax=0的解。a(k+1)...ap不满足Ax=0那么AB=(0,0,0...,Aa(k+1), Aa(k+2), ...Aap)那么那么r(B)=r(a1,a2....ak)+r(a(k+1),a(k+2)....ap)=dimN(A)∩R(B)+r(a(k+1),a(k+2)....ap)<=dimN(A)∩R(B)+r(AB)所以r(AB)>=r(B)-dimN(A)∩R(B)不晓得为什么是>=，不是=

零空间是1吧，列空间是2。

比如说x是一个m维列向量A是一个mxn的复矩阵，按列分块成A=[a1,a2,...,an]，V是由a1,...,an张成的向量空间（即A的列空间），P是V对应的正投影算子那么x到V的投影是Px用矩阵形式写就是AA^+x，其中A^+表示A的Moore-Penrose广义逆

矩阵的值域空间是指矩阵中所有可能的输出向量所组成的向量空间。要求矩阵的值域空间，可以先求出矩阵的列空间，然后将列空间中的向量组成一个线性无关的向量组，即可得到矩阵的值域空间。

A是m×n矩阵,Ax=0的解向量都是n维列向量,所以x∈R^(n). A的n个列向量都是m维向量,其线性组合都在R^(m)中.

因为N(AT)=N(AAT),C(A)与N(AT)正交，C(AAT)与N(AAT)正交，所以它们俩相等

满秩矩阵的行空间等于其列空间吗？等于。

矩阵的秩 2. 向量组的秩 向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目，即 A的列空间的维度(列空间...5355

不是的。如果是幂等矩阵则有该结论，逆命题成立

x^2= 4 4 10 4 40 0 4x^4=x^2*x^2=16 32 24 0 16 32 0 0 16另外，这是上三角矩阵，他们相乘得到的矩阵一定还是上三角矩阵，这样有三个元素不用计算，可以直接得到0。

n个单位矩阵相乘。从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1，除此以外全都为0的矩阵的n次方。单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为n。矩阵次方运算举例：利用特征值与特征向量，把矩阵 A 写成 PBP^-1 的形式，其中P为可逆矩阵，B 是对角矩阵，A^n = PB^nP^-1 。例如：计算A^2，A^3 找规律， 用归纳法证明若r(A)=1， 则A=αβ^专T， A^n=(β^Tα)^(n-1)A注：β^Tα =α^属Tβ = tr(αβ^T)用对角化 A=P^-1diagPA^n = P^-1diag^nP

对的,A的幂次可交换

列空间就是列向量构成的空间。首先要求出它的极大线性无关组，找出最简单的一组基。进行行初等变换的结果是1 2 00 0 00 0 1因为前两列线性相关，列空间就是x [1 0 0]T+y[0 0 1]T(T代表转置)

列空间就是列向量构成的空间.首先要求出它的极大线性无关组,找出最简单的一组基.进行行初等变换的结果是 1 2 0 0 0 0 0 0 1 因为前两列线性相关,列空间就是x [1 0 0]T+y[0 0 1]T(T代表转置)

就是以矩阵的列向量作为生成向量,组成的空间 上面叫做生成向量,就假如说a1,a2,a3生成的空间,就是a1,a2,a3任意线性组成构成的空间

由前章节 线代--子空间和维度 可知对于求解由 个 维向量 生成的空间的维度问题，可以通过删去这一组向量中线性相关的向量后剩下的线性无关向量就是它们生成的空间的一组基，这组基包含的向量的个数就是生成的空间的维度。换句话说，给出一组 维向量 ，要求出其生成的空间的维度，就得找出这组向量中有多少向量和其它向量是线性相关的，然后要把这些向量删除掉。 对于求一组向量生成的空间的维度这种问题 ，简单的如“求被向量 生成的空间的维度”可以简单通过肉眼进行判断出 和 是线性相关的，如果是对于更高维的向量，其实就很难通过肉眼判断向量间的线性相关了。 其实对这类问题有更系统的解法 因此， 对于给出一组 维向量 ，求它们生成的空间的维度，要求就是找到这组向量中有多少向量是和其它向量线性相关！ 我们可以将这组向量按照行排列成一个矩阵 然后执行 高斯-约旦消元法 (化为 ) 最后得到的矩阵行最简形式中非零行的个数即为其生成空间的维度。 对于一个矩阵， 对于一个 行 列的矩阵， 是一个 维空间的子集,因为每个行向量都是包含 个实数的有序元组，这些向量本身属于一个 维空间，由这些向量生成的空间也就是行空间只能是 维空间的子集； 列空间则是一个 维空间的子集。 具体求一个矩阵的 的维度 ，根据上面的"高斯-约旦消元法"对矩阵按行化简为矩阵最简形式后看非零行的数量,这个 的非零行数量就是 的维度。其中关于 一个矩阵的行最简形式的非零行数量 还有另一个称呼叫做 ， 秩 一词的意思就是 秩序 的意思，对行最简形式的非零行进行排序，排序后的结果表示的就是矩阵行最简形式的非零行数量。 这里阐述了矩阵的行秩和空间上的维度之间的联系。 需要注意 维度 和 行秩 两个概念的作用对象是不一样的: 对于空间来说，空间是有维度的，但是空间是没有行秩的，只有矩阵有行秩，但是矩阵是没有维度的。 对于一个矩阵的行空间，将矩阵化为行最简形式( )后，其中矩阵行最简形式的非零行向量就是矩阵的行空间的一组基。 除了通过找出一组向量中线性相关向量进行删除的方式计算“被向量生成的空间”的维度这种方法。 另一种方法我们还可以直接计算一组向量是否线性无关: 这种方式其实就是把向量按列的方式排列成矩阵，转而研究矩阵的列空间，将矩阵化为行最简形式后其中主元列的个数，就是列空间的维度，也称为 。在列向量空间中，原矩阵化为行最简形式后主元列对于的原矩阵的列，才是列空间的一组基，这些主元列本身不是列空间的一组基，如上示例的向量按列排列得到的矩阵化为行最简形式后主元列为第一和第三列，那么列空间的基应是原矩阵中的向量 和 ，并不是矩阵行最简形式中的 和 。 注意： 综上，矩阵的列向量构成的列空间分析中，化矩阵为行最简形式后有用的信息主要是关于主元的，其中主元的数量等于列空间的维度，主元所在的列号可以对于原矩阵取出列向量生成空间的基。

因为主元所在的列都可以线性表出矩阵列空间其他列向量，所以属于一组基。初等矩阵满秩，不会改变两个列向量之间的线性相关性。零空间包含对列重组得到零向量的系数，左零空间包含对行重组得到零向量的系数。是一种特殊的技巧，利用了消元结果U中含有m-r个零行且零行位于底部的特征。所谓线性组合即线性+组合，线性为向量乘以一个标量，沿着向量的方向缩放，方向不变；组合是把多个向量加起来。列视角是线性代数非常核心的基础概念，基础并不是说简单，而是像地基一样重要。矩阵列空间介绍：基的向量选择可以很任性，只要不平行就行；但还是要尽量选择彼此垂直的为正交基(Orthogonal basis)，正交向量间线性无关；更进一步：把正交基的长度标准化为1的单位向量最佳，于是得到了标准正交基(Orthonormal basis)。正常情况下，若两个向量平行，其中任一向量是另一向量的若干倍，两者在一条直线上，无法张成一个平面，故平行向量不能作为基。

所谓矩阵A的零空间，就是指方程组AX=0的解空间，而A的左零空间就是ATX=0的解空间。而A的行空间就是AT的列空间。如果A的列空间等于A的行空间，即A的列空间等于AT的列空间，当然就有方程组AX=0与方程组ATX=0同解了。即有A的零空间等于左零空间。

具体的方法如下：若B行等价于A，则B可由A经有限次行运算得到。因此，B的行向量必为A的行向量的线性组合。所以，B的行空间必为A的行空间的子空间，因为A行等价于B，由相同的原因，A的行空间是B的行空间的子空间。A的行空间的维数称为矩阵A的秩(rank)，为求矩阵的秩，可以将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中的非零行将构成行空间的一组基。将A化为行阶梯形，得到矩阵显然，(1，-2，,3)和(0，1，5)构成的矩阵列空间的交集。可以利用A的行阶梯形求A的列空间的一组基。只需求中对应于首1元素的列即可。A中的相应列将是线性无关的，并构成A的列空间的一组基。注意： 行阶梯形仅告诉A的哪一列用于构成基，但不能用的列作为基向量，这是因为和A一般有不同的列空间交集。矩阵列空间的性质：假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解，其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。相似关系是两个矩阵之间的一种等价关系。两个n×n矩阵A与B为相似矩阵当且仅当存在一个n×n的可逆矩阵P。

矩阵的列空间是指矩阵的列向量组构成的空间.这个是正交的,因为AX=0就是意味着内积为0.zhangjob(站内联系TA)我觉得第一个问题有点模糊,可能是我知识面不够,我更感觉,你可能是想问维m空间可以表示为R和N的直和吗?wulipht(站内联系TA)你说的不是很明确. 零空间分为左零空间和右零空间,右零空间简称零空间.零空间与行空间正交,零空间与行空间维数之和等于原矩阵的列数；左零空间与列空间正交,左零空间维数与列空间维数之和等于原矩阵的行数.wulipht(站内联系TA)你说的不是很明确. 零空间分为左零空间和右零空间,右零空间简称零空间. 零空间与行空间正交,零空间与行空间维数之和等于原矩阵列数；左零空间与列空间正交,左零空间与列空间维数之和等于原矩阵行数.

不妨假设x1≤x2根据拉格朗日中值定理，存在ξ1∈(0，x1)，使得f(x1)-f(0)=f "(ξ1)·(x1-0)即f(x1)-f(0)=f "(ξ1)·x1存在ξ2∈(x2，x1+x2)，使得f(x1+x2)-f(x2)=f "(ξ2)·(x1+x2-x2)即f(x1+x2)-f(x2)=f "(ξ2)·x1∵f ""(x)＜0∴f "(x)单调递减，∵ξ1＞ξ1∴f "(ξ2)＜f "(ξ1)∴f(x1+x2)-f(x2)＜f(x1)-f(0)即f(x1+x2)+f(0)＜f(x1)+f(x2)

我估计你想问的是给定方阵A，A的像空间Im(A)和核空间Ker(A)之和是否是直和一般来讲这两个空间没有很直接的联系比如说，对于实对称矩阵，Im(A)+Ker(A)是直和但对于一般的矩阵则未必，比如A=0 10 0Im(A)=Ker(A)

当然不一定是这样的按照基本定义，基的元素称为基向量而向量空间中任意一个元素都可以唯一地表示成基向量的线性组合现在都不知道这个矩阵是什么情况怎么就能确定是基的呢

A=〔1，2，3；3，6，9；2，4，5〕→〔1，2，3；0，0，0；0，0，-1〕 R（A）的维数=2，（1，3，2）^T，（3，9，5）^T是一个基。

我来回答: 请点击看大图

一个n阶矩阵的n次幂等于零矩阵的充分必要条件是它的所有特征值都是0。下图是两个例子。

(I+A,E) = 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 2 -1 0 0 0 1 r3-2r2 0 1 2 1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 -3 -8 0 -2 1 r2-r1,r3+3r1 0 1 2 1 0 0 1 0 2 -1 1 0 0 0 -2 3 -2 1 r1+r3,r2+r3,r3*(-1/2) 0 1 0 4 -2 1 1 0 0 2 -1 1 0 0 1 -3/2 1 -1/2 交换行 1 0 0 2 -1 1 0 1 0 4 -2 1 0 0 1 -3/2 1 -1/2 (I+A)^-1 = 2 -1 1 4 -2 1 -3/2 1 -1/2

.+a(m,n)【第m行，而b矩阵为k*n阶,k)*b(k,n)[矩阵乘法要成立：矩阵乘法解释,n)+：每一次乘以原矩阵：例如矩阵a*b=c则c矩阵的元素c(m。ps.,n)+a(m,2)*b(2，都相当与把已得矩阵的每个元素乘以（a+b+c）,1)*b(1。矩阵的2010次方即乘以每个元素乘以（a+b+c）的2009次方，第n个】=a(m，必须要求a矩阵为m*k阶[a(a+b+c)^2009a(a+b+c)^2009a(a+b+c)^2009b(a+b+c)^2009b(a+b+c)^2009b(a+b+c)^2009c(a+b+c)^2009c(a+b+c)^2009c(a+b+c)^2009][aaabbbccc]*[aaabbbccc]=[a*a+a*b+a*ca*a+a*b+a*ca*a+a*b+a*cb*a+b*b+b*cb*a+b*b+b*cb*a+b*b+b*cc*a+c*b+c*cc*a+c*b+c*cc*a+c*b+c*c]=[a(a+b+c)a(a+b+c)a(a+b+c)b(a+b+c)b(a+b+c)b(a+b+c)c(a+b+c)c(a+b+c)c(a+b+c)]同理

/* Note:Your choice is C IDE */#include <stdio.h>void boolMatrix(int A[3][2],int B[3][2]){int i,j,RAnd[3][2],ROr[3][2]; for(i=0;i<3;++i) { for(j=0;j<2;++j) { RAnd[i][j]=A[i][j]&B[i][j]; ROr[i][j]=A[i][j]|B[i][j]; } } for(i=0;i<3;++i) { for(j=0;j<2;++j) { printf("%d %d ",RAnd[i][j],ROr[i][j]); } printf(" "); }}int main(){ //int a[3][2],b[3][2]; int a[3][2] = {{1,0},{1,1},{0,0}}; int b[3][2] = {{1,1},{0,1},{1,1}};// int rAnd[3][2];// int rOr[3][2]; //void boolMatrix(int A[3][2],int B[3][2],int RAnd[3][2],int ROr[3][2]); boolMatrix(a,b); return 0;}改了不少地方，不知是不是你要的结果。但给你点建议就是：不要乱加没必要的空格。

是的，利用(XY)^T=Y^TX^T验证即可

计算的矩阵的N次方就是Y = L^N啊。至于画？画矩阵什么意思

矩阵的-1次方如A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵逆矩阵： 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。求法：A^(-1)=(1/|A|)×A* ，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式，A*为矩阵A的伴随矩阵。扩展资料：矩阵的应用：1、图像处理在图像处理中图像的仿射变换一般可以表示为一个仿射矩阵和一张原始图像相乘的形式 。2、线性变换及对称线性变换及其所对应的对称，在现代物理学中有着重要的角色。例如，在量子场论中，基本粒子是由狭义相对论的洛伦兹群所表示，具体来说，即它们在旋量群下的表现。内含泡利矩阵及更通用的狄拉克矩阵的具体表示，在费米子的物理描述中，是一项不可或缺的构成部分，而费米子的表现可以用旋量来表述。描述最轻的三种夸克时，需要用到一种内含特殊酉群SU(3)的群论表示；物理学家在计算时会用一种更简便的矩阵表示，叫盖尔曼矩阵，这种矩阵也被用作SU(3)规范群，而强核力的现代描述──量子色动力学的基础正是SU(3)。还有卡比博-小林-益川矩阵（CKM矩阵）：在弱相互作用中重要的基本夸克态，与指定粒子间不同质量的夸克态不一样，但两者却是成线性关系，而CKM矩阵所表达的就是这一点。3、量子态的线性组合1925年海森堡提出第一个量子力学模型时，使用了无限维矩阵来表示理论中作用在量子态上的算子。这种做法在矩阵力学中也能见到。例如密度矩阵就是用来刻画量子系统中“纯”量子态的线性组合表示的“混合”量子态 。另一种矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。其中的线性组合可以表达为一个矩阵，称为S矩阵，其中记录了所有可能的粒子间相互作用   。4、简正模式矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加 。描述力学振动或电路振荡时，也需要使用简正模式求解 。5、几何光学在几何光学里，可以找到很多需要用到矩阵的地方。几何光学是一种忽略了光波波动性的近似理论，这理论的模型将光线视为几何射线。采用近轴近似（英语：paraxial approximation），假若光线与光轴之间的夹角很小，则透镜或反射元件对于光线的作用。可以表达为2×2矩阵与向量的乘积。这向量的两个分量是光线的几何性质（光线的斜率、光线跟光轴之间在主平面（英语：principal plane）的垂直距离）。这矩阵称为光线传输矩阵（英语：ray transfer matrix），内中元素编码了光学元件的性质。对于折射，这矩阵又细分为两种：“折射矩阵”与“平移矩阵”。折射矩阵描述光线遇到透镜的折射行为。平移矩阵描述光线从一个主平面传播到另一个主平面的平移行为。由一系列透镜或反射元件组成的光学系统，可以很简单地以对应的矩阵组合来描述其光线传播路径。

矩阵乘法。置换矩阵的幂次方相当于矩阵乘法。基于“循环置换矩阵”的定义。置换矩阵就是重新排列后的单位矩阵对一个矩阵进行行交换，需要通过置换矩阵来完成。

把矩阵对角化后，n次方的矩阵就是里面每个元素的n次方设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，那么可以证明：B=X⁻¹AX那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X⁻¹AX。要注意若乘积有意义，副对角线的每个子块都是同阶方阵才能相乘，所以一般不讨论分块矩阵副对角线的n次方。分块矩阵是一个矩阵， 它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵 。 然后把每个小矩阵看成一个元素。相关定义：在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。

就是矩阵有限次幂的各个元素在当n趋向无穷时都有极限，由这些极限元素组成的矩阵就是矩阵的幂的极限了。

这要看具体情况1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A 注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式展开 适用于 B^n 易计算, C^2 或 C^3 = 0.4. 用相似对角化 A=P^-1diagP A^n = P^-1diag^nP

在matlab中输入A^n即可

>> syms a; >> A=[a 1 0;0 a 1;0 0 a]A =[ a, 1, 0] [ 0, a, 1] [ 0, 0, a]>> A^2ans =[ a^2, 2*a, 1] [ 0, a^2, 2*a] [ 0, 0, a^2]>> A^3ans =[ a^3, 3*a^2, 3*a] [ 0, a^3, 3*a^2] [ 0, 0, a^3]>> A^4ans =[ a^4, 4*a^3, 6*a^2] [ 0, a^4, 4*a^3] [ 0, 0, a^4]>> A^5ans =[ a^5, 5*a^4, 10*a^3] [ 0, a^5, 5*a^4] [ 0, 0, a^5]A^n的规律就是 对角线为a^n 中间的斜行为na^(n-1) 右上角为n(n-1)/2*a^(n-2)

把矩阵对角化后，n次方的矩阵就是里面每个元素的n次方设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，那么可以证明：B=X⁻¹AX那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X⁻¹AX。矩阵（Matrix）指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，由19世纪英国数学家凯利首先提出。它是高等代数学中的常见工具，其运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。

这个你最好举个例子，一般来说都是先算矩阵的二次方，三次方，观察得出结果的矩阵中元素的规律，然后用归纳法得出n次方的结果

求矩阵的n次幂有如下几个常用方法:1)矩阵对角化2)数学归纳法或递推公式3)拆成几个简单矩阵之和你的题可以考虑第2)3)种方法...详细解答请见下图

a是方阵，存在正整数k，使得a^k=0，那么a叫幂零阵。或者等价的，所有特征值均为0的方阵叫幂零阵。

这要看具体情况1. 计算A^2,A^3 找规律, 然后用归纳法证明2. 若r(A)=1, 则A=αβ^T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A 注: β^Tα =α^Tβ = tr(αβ^T)3. 分拆法: A=B+C, BC=CB, 用二项式展开 适用于 B^n 易计算, C^2 或 C^3 = 0.4. 用相似对角化 A=P^-1diagP A^n = P^-1diag^nP

算法如下：先算两次方，三次方，最多算到4次方，就可以知道n次方，严格证明需要用数学归纳法。拓展：两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。

A^(-1)=(1/|A|)×A*。矩阵逆的幂：A^(-1)=(1/|A|)×A*。其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵，其中|A|为矩阵A的行列式，A*为矩阵A的伴随矩阵。矩阵，是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

　　矩阵的次方用公式A=Q^(-1)*Λ*Q计算。在数学中，矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

幂法主要用于计算矩阵的按模为最大的特征值和相应的特征向量。基本思想是:若我们求某个n阶方阵A的特征值和特征向量，先任取一个初始n维向量x(0)，构造如下序列：x(0),x(1)=Ax(0),x(2)=Ax(1),…, x(k)=Ax(k-1) ,… ⑴当k增大时,序列的收敛情况与绝对值最大的特征值有密切关系，分析这一序列的极限,即可求出按模最大的特征值和特征向量。假定矩阵A有n个线性无关的特征向量。n个特征值按模由大到小排列：│λ1│> =│λ2│> =…> =│λn│ ⑵其相应的特征向量为：V1 ,V2 , …,Vn ⑶它们构成n维空间的一组基。任取的初始向量X(0)由它们的线性组合给出x(0)=a1V1+a2V2+…+anVn ⑷由此知,构造的向量序列有x(k) =Ax(k-1) = A2x(k-2) =…=Akx(0) = a1λ1kV1+a2 λ2kV2+…+anλnkVn ⑸下面按模最大特征值λ1是单根的情况讨论：由此公式(5)可写成X(k) = λ1k (a1V1+a2 (λ2/λ1)kV2+…+an(λn/λ1)kVn ) ⑹若a1≠0，由于|λi/λ1 | <1 (i≥2),故k充分大时，X(k) = λ1k (a1V1+εk)其中εk为一可以忽略的小量，这说明X(k)与特征向量V1相差一个常数因子，即使a1=0，由于计算过程的舍入误差，必将引入在方向上的微小分量，这一分量随着迭代过程的进展而逐渐成为主导，其收敛情况最终也将与相同。特征值按下属方法求得：λ1 ≈Xj(k+1)/ Xj(k) ⑺其中Xj(k+1)， Xj(k)分别为X(k+1)，X(k)的第j各分量。实际计算时，为了避免计算过程中出现绝对值过大或过小的数参加运算，通常在每步迭代时，将向量“归一化”即用的按模最大的分量 max |Xj(k)| 1≤j≤n 去除X(k)的各个分量，得到归一化的向量Y(k),并令 X(k+1) = AY(k)由此得到下列迭代公式 ：Y(k) = X(k)/║ X(k)║∞X(k+1) = AY(k) k=0,1,2,… ⑻当k充分大时，或当║ X(k)- X(k+1)║ <ε时，Y(k)≈V1max |Xj(k)| ≈ λ1 ⑼1≤j≤n

真的N次方的瓦开示有一般公式的，你可以套用公式算，或者是先化简再计算。

矩阵的n次方怎么算：这要看具体情况，一般有这几种方法：计算A^2,A^3找规律，然后用归纳法证明；若r（A）＝1，则A=αβ＾T，A^n=（β＾Tα）＾（n-1）A；分拆法，A=B+C，BC=CB，用二项式公式展开，适用于B^n易计算，C的低次幂为零：C^2或C^3 = 0。矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。旋转矩阵Rotation matrix：旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。

把矩阵对角化后，n次方的矩阵就是里面每个元素的n次方设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，那么可以证明：B=X⁻¹AX那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X⁻¹AX。矩阵（Matrix）指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，由19世纪英国数学家凯利首先提出。它是高等代数学中的常见工具，其运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。作为解决线性方程的工具，矩阵也有不短的历史。成书最迟在东汉前期的《九章算术》中，用分离系数法表示线性方程组，得到了其增广矩阵。

先算两次方，三次方，最多算到4次方，就可以知道n次方，严格证明需要用数学归纳法。两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。利用特征值与特征向量把矩阵 A 写成 PBP^-1 的形式，其中P为可逆矩阵，B 是对角矩阵，A^n = PB^nP^-1 。例如：计算A^2,A^3 找规律, 用归纳法证明若r(A)=1, 则A=αβ^专T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A注：β^Tα =α^属Tβ = tr(αβ^T)用对角化 A=P^-1diagPA^n = P^-1diag^nP

这要看具体情况一般有以下几种方法1.计算A^2,A^3找规律,然后用归纳法证明2.若r(A)=1,则A=αβ^T,A^n=(β^Tα)^(n-1)A注:β^Tα=α^Tβ=tr(αβ^T)3.分拆法:A=B+C,BC=CB,用二项式公式展开适用于B^n易计算,C的低次幂为零:C^2或C^3=0.4.用对角化A=P^-1diagPA^n=P^-1diag^nP

先算两次方，三次方，最多算到4次方，就可以知道n次方，严格证明需要用数学归纳法。两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和另一个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积C是一个m×p矩阵。对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。利用特征值与特征向量把矩阵 A 写成 PBP^-1 的形式，其中P为可逆矩阵，B 是对角矩阵，A^n = PB^nP^-1 。例如：计算A^2,A^3 找规律, 用归纳法证明若r(A)=1, 则A=αβ^专T, A^n=(β^Tα)^(n-1)A注：β^Tα =α^属Tβ = tr(αβ^T)用对角化 A=P^-1diagPA^n = P^-1diag^nP

不知道。

>> syms a; >> A=[a 1 0;0 a 1;0 0 a]A =[ a, 1, 0] [ 0, a, 1] [ 0, 0, a]>> A^2ans =[ a^2, 2*a, 1] [ 0, a^2, 2*a] [ 0, 0, a^2]>> A^3ans =[ a^3, 3*a^2, 3*a] [ 0, a^3, 3*a^2] [ 0, 0, a^3]>> A^4ans =[ a^4, 4*a^3, 6*a^2] [ 0, a^4, 4*a^3] [ 0, 0, a^4]>> A^5ans =[ a^5, 5*a^4, 10*a^3] [ 0, a^5, 5*a^4] [ 0, 0, a^5]A^n的规律就是 对角线为a^n 中间的斜行为na^(n-1) 右上角为n(n-1)/2*a^(n-2)

等于对角上各元素的K次幂

每次用中间变量存运算结果，然后再赋值回去，求b[k][k]的T次方，res初始是单位矩阵，c用来存中间结果 while(T){//快速幂模板if(T&1){//if(A&1) res*=Afor(i=1;i<=k;i++)for(j=1;j<=k;j++){c[i][j]=0;for(h=1;h<=k;h++)if(res[i][h]&&b[h][j])c[i][j]+=res[i][h]*b[h][j];}for(i=1;i<=k;i++)for(j=1;j<=k;j++)res[i][j]=c[i][j]%10000;}for(i=1;i<=k;i++)//A*Afor(j=1;j<=k;j++){c[i][j]=0;for(h=1;h<=k;h++)if(b[i][h]&&b[h][j])c[i][j]+=b[i][h]*b[h][j];}for(i=1;i<=k;i++)for(j=1;j<=k;j++)b[i][j]=c[i][j]%10000;T=T>>1;

矩阵的n次方怎么算： 这要看具体情况，一般有这几种方法：计算A^2,A^3找规律，然后用归纳法证明；若r（A）＝1，则A=αβ＾T，A^ n=（β＾Tα）＾（n-1）A；分拆法，A=B+C，BC=CB，用二项式公式展开，适用于B^n易计算，C的低次幂为零：C^2 或C^3 = 0。 矩阵在物理学中的另一类泛应用是描述线性耦合调和系统。这类系统的运动方程可以用矩阵的形式来表示，即 用一个质量矩阵乘以一个广义速度来给出运动项，用力矩阵乘以位移向量来刻画相互作用。 求系统的解的最优方法是将矩阵的特征向量求出（通过对角化等方式），称为系统的简正模式。这种求解方式在研究分子内部动力学模式时十 分重要：系统内部由化学键结合的原子的振动可以表示成简正振动模式的叠加。 旋转矩阵Rotation matrix： 旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。 旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。 首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。如果您选择的数字中有一些与开奖号码一样，您将一定会中一定奖级的奖。当然运用这种旋转矩阵，可以最小的成本获得最大的收益，且远远小于复式投注的成本。