等价关系

若R是等价关系，则<x,y>∈R当且仅当x,y属于同一个等价类。所以R={<1,1>，<2,2>，<3,3>，<4,4>，<2,3>，<3,2>，<2,4>，<4,2>，<3,4>，<4,3>}

注意了，不是等价问题，而是本身就是，不存在另一个等价的表述。【黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题．其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ(s)非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。至今尚无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。】

一个等价类

1）x≡x;2)若x≡y,则k|x-y,∴k|y-x,∴y≡x;3)若x≡y,y≡z,则k|x-y,k|y-z,x-y+(y-z)=x-z,∴k|x-z,∴x≡z.∴“≡”是Z上的等价关系 。

水中溶有少量空气，容器壁的表面小空穴中也吸附着空气，这些小气泡起气化核的作用。水对空气的溶解度及器壁对空气的吸附量随温度的升高而减少。当水被加热时，气泡首先在容器壁上生成。气泡生成之后，气泡内部的容器壁部分实际上是处于“干烧”状态，而气泡边缘与干烧部分之间处于激烈的汽化过程。由于水继续被加热，这个过程中不断地向小气泡内蒸发水蒸汽，使泡内的压强不断增大，结果使气泡的体积不断膨胀，气泡所受的浮力也随之增大 响声是由于气泡的产生而出现的，更重要的是：沸腾后，气泡会迅速上浮，这种剧烈汽化过程的时间要比沸腾前要短，响声自然就小了 回答者：atlas_2008 - 江湖新秀 五级 12-24 00:05NB 我就不多说什么了 拿分走人 回答者：FLAX9002 - 见习魔法师 三级 12-24 00:16http://zhidao.baidu.com/question/9628126.html 回答者：国王辅佐 - 经理 四级 12-24 00:47在水温上升时，水中含有的空气不断膨胀，产生空气气泡，水温继续上升至将沸腾时，容器壁高温处的水被气化，产生大量水蒸汽气泡与空气气泡时，所以水沸腾时会有响声!在水温继续上升到沸腾后，空气气泡基本已没有了，只有水蒸汽气泡时，沸腾时的响声下降，这时水才真

a与b属于同一个等价类<=>(a,b)∈r。所以1,5等价，2,3,6等价，4与4等价。所以等价类是[1]=[5]={1,5}，[2]=[3]=[6]={2,3,6}，[4]={4}。请采纳答案，支持我一下。

一个关系满足自反、对称、传递叫做等价关系. 模M同余关系作为关系的一种,也满足以上三条,当然是同余关系了. 比如 10与10模3同余,这是自反； 10与4模3同余,则4与10模3同余,即模3同余有等价性. 10与4模3同余,4与7模3同余,则10与7模3同余,这是传递性.

孩子，别找答案了，那本离散数学的答案很难找，网上免费的答案现在根本没有~~

不难证明推广的结果：同余关系是等价关系。证：a==b mod m<=>a-b |: m 这里用以等价地表示 m | a-b从而b-a |: m<=> b==a mod m这就证明了互反性。同时易证a==a mod m， 即自反性。另外再证： a==b , b==c mod m 可以推出 a==c mod m前提即存在 r,s使得 a=b+sm, b=c+rm, 于是a=c+rm+sm=c+(r+s)m, 于是a==c mod m于是传递性成立。于是，同余关系是等价关系。

一个关系满足自反、对称、传递叫做等价关系.模M同余关系作为关系的一种,也满足以上三条,当然是同余关系了.比如10与10模3同余,这是自反；10与4模3同余,则4与10模3同余,即模3同余有等价性.10与4模3同余,4与7模3同余,则10与7模3同余,这是传递性.

搜一下：1.非空集合上的同余关系一定是等价关系吗?反之如何?(举例加以说明)

{2,4} {1,3,5}

这种问题很基础，考试不会考的。一般只要记住结论就够了。再说这结论也很好记的

{2,4} {1,3,5}

我觉得是的，说白了其实就是等价交换。

设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、对称的、传递的，则称 R 为 A 上的等 价关系(equivalent relation). 设 n 为正整数，定义整数集合 Z 上的以 n 为模的同余关系 R = {< x, y > |n|(x − y)}, 证 明 R 是一个等价关系 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，对任意 x ∈ A，称集合 [x]R = {y|y ∈ A, < x, y >∈ R}为 x 关于 R 的等价类(equivalence class)，或叫作由 x 生成的一个 R 等价类，其中 x 称为 [x]R 的生成元(代表元或典型元)(generator). 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，由 R 确定的一切等价类的集合，称为集合 A 上关于R 的商集(quotient set)，记为A/R，即 A/R = {[x]R|x ∈ A}. 在等价关系中我们已经发现, 同一个等价类中的元素具有相同的属性，因而可将集合 中的元素分成不同的类别，对应于集合的划分。 设 R 是非空集合 A 上的等价关系，则 A 对 R 的商集 A/R 是 A 的一个划分，称为由 R 所导出的等价划分. 给定集合 A 的一个划分 π = {S1, S2, · · · , Sm}, 则由该划分确定的关系 R = (S1 × S1) ∪ (S2 × S2) ∪ · · · ∪ (Sm × Sm) 是 A 上的等价关系。我们称该关系 R 为由划分 π 所导出的等价关系。 设 R 是非空集合 A 上的关系, 如果 R 是自反的、反对称的、传递的，则称 R 为 A 上 的偏序关系(partial order relation), 记为“⩽”. 读作“小于等于”, 并将“< a, b >∈⩽”记为 a ⩽ b. 序偶 < A, ⩽> 称为偏序集 (partial order set).

整数关系中2/x+y等价关系，等价关系是从“等于”、“相似”、“平行”、“同余”等等关系中提炼它们的共同点得到的。这也是数学中比较精髓的一点—抽象。

同余 ~ 完全确定自 G 的同余于单位元的那些元素的集合 {a ∈ G : a ~ e}，而这个集合是正规子群。特别是，a ~ b 当且仅当 b * a ~ e。所以替代谈论在群上同余，人们通常以正规子群的方式谈论它们；事实上，所有同余都唯一的对应于 G 的某个正规子群。

找出集合A的所有划分，每一个划分对应一个等价关系。集合的划分就是对集合的元素分块，看到底是分成几块。分成一块的有：划分1：{{1,2,3,4}}，对应的等价关系就是全域关系E，也就是A×A。分成两块的有：划分2：{{1,2},{3,4}}，划分3：{{1,3},{2,4}}，划分4：{{1,4},{2,3}}，分成三块的有：划分5：{{1},{2,3,4}}，划分6：{{2},{1,3,4}}，划分7：{{3},{1,2,4}}，划分8：{{4},{1,2,3}}，分成四块的有：划分9：{{1},{2},{3},{4}}，对应的等价关系就是恒等关系I。由划分求等价关系：<a,b>∈R当且仅当a,b在同一个划分块中。

等价关系定义为：设R是非空集合A上的二元关系，若R是自反的、对称的、传递的，则称R是A上的等价关系。研究等价关系的目的在于将集合中的元素进行分类，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。

对有n个元素的集合有Bn种不同的等价关系,Bn=2n!/((n+1)n!n!)如4个元素的集合，可以确定14种等价关系.

等价关系是一种二元关系. 设非空集合S和其上的二元关系~,满足： （1）自反性：A； （2）对称性：B,则B~A； （3）传递性：B,C,则A~C. 则称~是集合S上的一个等价关系. 例子: (1) 集合上的恒等关系,全域关系是等价关系. (2) 三角形的全等关系,三角形的相似关系是等价关系. (3) 在一个班级里“年龄相等”的关系是等价关系.

若关系R在集合A中是自反、对称和传递的，则称R为A上的等价关系。所谓关系R 就是笛卡尔积 A×A 中的一个子集。A中的两个元素x,y有关系R, 如果(x,y)∈R.我们常简记为 xRy.自反: 任意x属于A,则x与自己具有关系R,即xRx;对称: 任意x,y属于A,如果x与y具有关系R，即xRy,则y与x也具有关系R，即yRx;传递: 任意x,y,z属于A,如果xRy且yRz,则xRzx,y具有等价关系R，则称x,y R等价，有时亦简称等价。 例如：在全体人的集合A中，室友是A上的一种关系,如果认为自己跟自己可以称为室友，则满足自反性，但如果甲是乙的室友，则必定乙是甲的室友，满足对称性，同时，如果甲是乙的室友，乙是丙的室友，则甲是丙的室友，满足传递性；因此，室友关系可以称为等价关系。于是在代表宿舍参加活动这一点上，宿舍成员身份是等同的，不论甲还是乙，对外不加区别，即甲乙等价。

设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足：自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系。设 R 是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称 a 等价于 b，记作 a ~ b 。

等价关系或等价符号用“”表示,两者表示同一物用“＝”表示

就某一性质对两个事物不加区分，或直接理解为同一类事物等价包括3个主要性质，即反身、传递、对称（下面以~代表等价）反身：A~A对称：若A~B则B~A传递：若A~B、B~C则A~C一般具有以上3个性质，就可理解为等价

等价关系是相等关系的一种拓展。它可以把一个集合划分成几个互不相交的子集（等价类），对每一子集任取一元素便可以代表这个子集。这样可以方便某些问题的探讨，比如这些互不相交的子集具有不同的性质而同一子集内的元素具有某种共同的性质。等价关系的三条性质：1、自反性：aRa事物分类要求每个事物都要在一个分类中；划分要求每个元素都要在一个划分块中；类似与你拿着中国护照，你就应该属于中国人。整数2，就应该站在整数的偶数类中。从而每个元素a都要在一个自己决定的类a中，即a∈a，也就是说a需要与自己有关系：aRa。2、对称性：aRb-->bRa事物的分类要求同一类的事物要有共同的特性，划分需要保证每个划分块的元素地位相等。也就是说一个类中的元素都可以代表这一个类。就类似每个中国人都会代表中国，每个人都可以代表全人类。2020年中的任何一天都可以代表2020年。足球队的每个人都可以代表这个球队。也就说如果b∈a中(bRa)，那么a=b都代表这个类。也就说a∈b,必须得到aRb。3、传递性：aRb,bRc-->aRc事物的分类中要求不同的类之间不能有重叠，集合的划分要求不同的划分块不能有交集。就像不能存在即是可回收，又是不可回收的垃圾。一个整数不能即是奇数也是偶数。想要做到严格的分类，即a≠b，则有a∩b=Φ。利用对称性，并反向考虑a∩b≠Φ的情况，我们就可以知道，确立传递性就能满足这个要求。

　　等价关系是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。以下是由我整理的等价关系的内容，希望大家喜欢! 　　等价关系的介绍 　　等价关系是集合上的一种特殊的二元关系，它同时具有自反性、对称性和传递性。常用等价关系来划分集合，选取每类的代表元素来降低问题的复杂度，如软件测试时，可利用等价类来选择测试用例。 　　等价关系的定义 　　设 R 是集合 A 上的一个二元关系，若R满足： 　　自反性：∀ a ∈A, => (a, a) ∈ R 　　对称性：(a, b) ∈R∧ a ≠ b => (b, a)∈R 　　传递性：(a, b)∈R,(b, c)∈R =>(a, c)∈R 　　则称 R 是定义在 A 上的一个等价关系。设 R 是一个等价关系，若(a, b) ∈ R，则称 a 等价于 b，记作 a ~ b 。 　　等价关系的应用 　　例一： 　　设A = {1, 4, 7}，定义A上的关系R如下： 　　R = { (a, b) | a, b ∈ A∧a ≡ b mod 3 } 　　其中a ≡ b mod 3叫做 a 与 b 模 3 同余，即 a 除以 3 的余数与 b 除以 3 的余数相等。不难验证 R 为 A 上的等价关系。 　　设 f 是从 A 到 B 的一个函数，定义 A 上的关系 R ：aRb，当且仅当f(a) = f(b)，R 是 A 上的等价关系。 　　例二： 　　设 R 为定义在集合 A 上的一个关系，若 R 是自反的、对称的和传递的，则称 R 为等价关系。设 R 为集合 A 上的等价关系，对任何a∈A,集合 [a] = {b | (a, b) ∈R} 称为元素 a 形成的等价类，其等价类集合 {[a] | a∈A}，称作A关于R的商集，记作 A/R。定理 3.7.1 设给定非空集合 A 上等价关系 R ，对于 a, b ∈A,有 aRb 当且仅当 [a] = [b]。定理 3.7.2 集合 A 上的等价关系 R ，确定了 A 的一个划分，该划分就是商集 A/R。定理 3.7.3 集合A的一个划分，确定 A 的元素间的一个等价关系。