矩阵

kij表示第个自由度产生单位位移时，需要在第i个自由度上施加的载荷Fi，其它自由度位移为0。如此去推算即可。注意是否有多根弹簧同时作用，力的方向等。

　　1 引言 　　矩阵是现代数学的重要研究对象，其中蕴涵了丰富的思想方法，已成为了各个领域广泛应用的一种常用工具．随着新一轮高中课程改革的铺开，《矩阵与变换》作为全新的内容融入了高中选修课程．变换是函数思想的拓展，其思想本质是映射的思想．通过“矩阵与变换”的学习，可以使我们更好地理解变换的思想，可以用变换的观点来看待数学中的有关内容，比如，平面几何图形的变换、求解方程组、变换的不变量等．本文以一道高考题为出发点，浅谈矩阵在求变换图形面积中的应用． 　　2 试题引路 　　2007年高考江苏卷(理)第10题: 　　在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x，y)|x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={(x+y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为（）． 　　（A） 2 （B） 1 （C） 12 （D） 14 　　 　　图1 　　分析：本小题考察平面区域的综合应用，对学生思维的严密性和分析问题的能力有较高要求，为选拔人才、展示才智提供了平台． 　　传统解法：设u=x+yv=x－y ， 　　则x=u+v2y=u－v2， 　　由x+y≤1x≥0y≥0 得u≤1u+v≥0u－v≥0 ， 　　作出(u,v)点对应的区域（如图1，阴影部分），所以平面区域B的面积为2×12=1，所以选（B）． 　　评注：这道题的突破口是画出平面区域B的图形，而平面区域B的表述比较抽象、陌生，需通过换元，求得u、v所满足的约束条件，再画出相应的平面区域求面积，有一定的难度．因为，在分析集合B表示的平面区域时，容易产生如下错误：由u=x+y，v=x－y，根据已知易得0≤u≤1，－1≤v≤1，容易忽略u+v≥0,u－v≥0的隐含条件，从而得出集合B表示一个长为2、宽为1的矩形区域，其面积为2，从而错选（A）． 　　有些数学问题，看似难题，但解法多样．只要敢于面对难题、挑战传统思维， 活用新知识、新方法，便可获得解决问题的新思路，摆脱“传统解法”的困惑．为此，笔者发现对于此类平面中变换图形的面积问题，运用新课程中的“矩阵与变换”知识，可使问题简单化，从而准确求解． 　　解法1：令x′=x+yy′=x－y ，通过矩阵线性变换得x′y′=111－1xy 　　依题意，平面区域A是由O(0,0)，C(1,0)，D(0,1) 围成的三角形区域（如图2）， 　　而 111－100=00， 　　111－101=1－1， 　　111－110=11， 　　 　　图2 　　 　　图3 　　所以在矩阵111－1对应的变换作用下，平面区域A变成平面区域B(△OC′D′)（如图3），其中C′(1,－1)，D′(1,1) ，由图3可得平面区域B的面积为1，故选（B）． 　　评注：由题意知，平面区域B是平面区域A的变换图形，又区域A是由O、D、C三点围成的特殊三角形，该解法运用矩阵的线性变换性质，求得△OCD变换后的图形及其对应点坐标，从而求出变换后的平面区域B(△OC′D′)的面积，展示了矩阵在解决平面变换图形问题中的工具作用． 　　解法2：（利用线性变换的性质定理：线性变换将平面上所有图形的面积放大或缩小同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值．） 　　依题意，平面区域A（如图2）是由O(0,0)，C(1,0)，D(0,1)围成的三角形，面积S为12，平面区域A变成平面区域B所对应的变换矩阵为111－1，则变换行列式的绝对值111－1=2，所以平面区域B的面积S′为12×2=1，故选（B）． 　　评注：相对于传统解法和解法1，解法2显得简洁明快，无须研究集合B所表示的平面区域图形，只要具备基本的运算能力和矩阵知识，直接运用线性变换的性质定理，便可轻松求得平面区域B的面积．该解法为求解变换图形的面积提供了一种新型武器． 　　线性变换的性质定理，是求解平面变换图形面积问题的便捷方法，它的应用虽有高数背景，但易于领悟、掌握，有助于学生扩展数学视野、挖掘学习潜能．为此，本文对该定理的来源及应用作进一步的阐述和研究． 　　3 背景研究 　　以下从矩形的图形变换入手，研究线性变换的性质定理． 　　 　　图4 　　例 如图4，已知矩阵OABC顶点A(t,0)，C(0,k)．矩阵T=abcd代表的变换T将矩阵OABC变到图形OA′B′C′，求变换后图形OA′B′C′与变换前图形OABC的面积比． 　　解：OA′=abcdt0=tatc， 　　OC=abcd0k=kbkd． 　　显然SOABC=tk， 而四边形OA′B′C′是平行四边形（或退化为线段）， 　　SOA′B′C′=takbtckd=tk(ad－bc)， 　　因此，面积比为tk(ad－bc)tk=ad－bc． 　　以上例题说明:线性变换将边在坐标轴上的矩形的面积放大或缩小同样的倍数ad－bc，这个放大或缩小的倍数就是变换矩阵的行列式的绝对值．如果行列式为0，则面积变为0，图形被变到一条直线上或者变为原点． 　　事实上，平面上的每个图形都可以用平行于坐标轴的直线近似地划分成一些很小的矩形小块的并集．整个图形的面积近似地等于这些矩形小块面积的和．既然每一小块的面积都被放大或缩小同一倍数，整个图形也被放大或缩小同样的倍数．虽然这种划分是近似的，但是，分得越细，误差越小．无限细分，误差趋于0，由此得到上述线性变换的性质定理． 　　以上从一道例题的结论为出发点，应用分割、类比、极限的思想，归纳出线性变换图形面积比值的规律，其独特的推导方式值得借鉴． 　　笛卡儿说过：“我所解决的每一个问题，都将成为一个范例，用于解决其他问题． ”笔者根据上述定理，结合高中数学及矩阵变换的基础知识，设计了如下几道试题，以供参考． 　　4 试题设计 　　试题1在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x，y)x+y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B={(251x－8y，251x+8y)(x，y)∈A}的面积为（）． 　　（A） 4016 （B） 2008 （C） 1004 （D） 502 　　答案：（B）． 　　命题立意：本题主要考查通过建立线性变换关系式，简单应用上述定理解决问题的能力． 　　试题2将平行四边形ABCD变换成矩形A′B′C′D′，其中A(2,1)，B(2,2)，A′(2,0)， 　　B′(2,1)，C′(－2,1)，D′(－2,0)，求满足条件的变换矩阵M，并求出平行四边形ABCD的面积S． 　　答案：M=10－121，S=4． 　　命题立意本题主要考查学生能够根据点的前后变换，正确求出相应的变换矩阵，再利用线性变换的性质定理解决问题的能力． 　　 　　图5 　　试题3北京奥运主体育场旁有一块长20米，宽10米的矩形空地，现准备在空地内修建一个面积最大的椭圆形草坪．经预算每平方米造价为100元，试问需投资多少元．（参考数据：π=3.14） 　　解析：如图5，先求出椭圆的标准方程x2100+y225=1， 　　然后将椭圆在y轴方向上伸长到原来的2倍，x轴方向不变，把椭圆变换成圆:x2+y2=100，该线性变换对应的矩阵为1002， 　　通过计算圆的面积，并利用线性变换性质定理，达到计算椭圆的面积的目的． 　　答案：需投资15700元． 　　评注：椭圆通过伸缩变换变成圆，有多种变换途径．例如，将椭圆在x轴方向上缩短到原来的一半，y轴方向不变，可得圆：x2+y2=25，同样可求得椭圆的面积． 　　命题立意本题以学生熟悉的奥运、草坪、造价为问题背景，考查了圆、椭圆、线性变换的基础知识及其联系，并考查了利用转化思想分析问题和解决问题的能力．该试题朴素自然，又富有时代气息，很好地将数学知识融于生活． 　　本文探讨了运用“矩阵与变换”的知识求解变换图形面积的问题，初步展示了矩阵应用的广泛性，并体现了新知识与旧问题以及数学知识之间的密切联系．矩阵的灵活应用，打破了解决线性区域面积问题的传统思路，进一步加深了学生对相关数学知识及其应用的理解，培养了学生的发散思维和创新意识，为学生进一步学习、获得更高数学素养奠定了基础． 　　 　　参考文献 　　1 张景中，陈民众．矩阵与变换(普通高中课程标准实验教科书选修4-2)［M］．长沙：湖南教育出版社，2005 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文

好的.

一元三次方程通过矩阵求解方法如下。1、解一元三次方程x3加ax2加bx加c等于0等价于求方阵。2、xa等于b型矩阵。3、先求a减1。4、再得x等于ba减1。

据我所知矩阵并不能用来解代数方程, 只能说代数方程可以转化到等价的矩阵特征值问题.比如说解一元三次方程x^3+ax^2+bx+c=0等价于求方阵A=0 1 00 0 1-c -b -a的特征值. 高次方程也有这样的对应关系(这个矩阵或它的转置叫做方程的友阵)在数值计算中一般会利用算特征值的程序来解多项式方程, 这可以看成"用矩阵解方程".

用矩阵法求解三元一次方程组的解，其过程是：第一步：确定三元一次方程组的系数矩阵A，即X、Y、Z变量的系数第二步，确定三元一次方程组的常数系数矩阵B，即第三步，创建三元一次方程组的矩阵方程，即其中，X=[x;y;z]。第四步，求解上述矩阵方程，即对方程左乘A的逆矩阵，有第五步，得到三元一次方程组的解x=16/7；y=-15/7；z=18/7

|A-xE|= -(4-x)x^3A 的特征值为 4,0,0,0A的非零特征值是4

矩阵A与B相似的充要条件是它们的行列式因子相同，是正确的。把行列式因子换为不变因子，也是充要条件。但是，换为初等因子，就不是充要条件了。

波士顿矩阵的四个象限是明星产品、金牛产品、问题产品、瘦狗产品。1、明星产品。它是指处于高增长率、高市场占有率象限内的产品群，这类产品可能成为企业的金牛产品，需要加大投资以支持其迅速发展。采用的发展战略是：积极扩大经济规模和市场机会，以长远利益为目标，提高市场占有率，加强竞争地位。发展战略以及明星产品的管理与组织最好采用事业部形式，由对生产技术和销售两方面都很内行的经营者负责。2、金牛产品。又称厚利产品。它是指处于低增长率、高市场占有率象限内的产品群，已进入成熟期。其财务特点是销售量大，产品利润率高、负债比率低，可以为企业提供资金，而且由于增长率低，也无需增大投资。对于这一象限内的销售增长率仍有所增长的产品，应进一步进行市场细分，维持现存市场增长率或延缓其下降速度。对于金牛产品，适合于用事业部制进行管理，其经营者最好是市场营销型人物。3、问题产品。它是处于高增长率、低市场占有率象限内的产品群。前者说明市场机会大，前景好，而后者则说明在市场营销上存在问题。其财务特点是利润率较低，所需资金不足，负债比率高。例如在产品生命周期中处于引进期、因种种原因未能开拓市场局面的新产品即属此类问题的产品。对问题产品应采取选择性投资战略，采取智囊团或项目组织等形式，选拔有规划能力，敢于冒险有才干的人负责。4、瘦狗产品。也称衰退类产品。它是处在低增长率、低市场占有率象限内的产品群。其财务特点是利润率低、处于保本或亏损状态，负债比率高，无法为企业带来收益。对这类产品应采用撤退战略：首先应减少批量，逐渐撤退，对那些销售增长率和市场占有率均极低的产品应立即淘汰；其次是将剩余资源向其它产品转移；第三是整顿产品系列，最好将瘦狗产品的部门与其它事业部合并，统一管理。

时间管理矩阵的四个象限是：重要且紧急、重要但不紧急、紧急但不重要、不紧急不重要。第一象限：重要且紧急这个象限的任务，既重要又紧急。比如你有一场即将开始的演讲，重大的项目谈判，或者一个即将开始的工作会议。这些事情你既无法回避，也没法拖延。必须优先做，马上做。第二象限：重要但不紧急有哪些是重要但是不紧急的事情呢？举个简单的例子，比如你计划坚持每天学外语，比如你的自我提升计划，比如你的副业创业计划。这些事情都不紧急，但它们都是对于你很重要的事情，需要你有计划，并且持续的投入时间去做。第三象限：不紧急不重要这个象限的事是和第一象限完全相反的。比如玩游戏，刷视频，各种消遣娱乐，或者各种没有价值的事。这是一个我们需要尽量走出来的象限。这个象限里的事，如果可以不做，那就不做。如果需要做，那就推迟做，或者授权他人去做。第四象限：紧急但不重要和第二象限完全相反，这类事情很紧急，但是不重要。比如，今天是商场打折的最后一天，你又正好想在这里买件衣服。这样的事情往往价值都不高，但又需要迫切去完成。我的建议是，针对这样的事，如果可以授权他人去完成是最好的，尽量把时间投资在第一象限和第二象限上。另外，这个象限的事情具有一定的迷惑性，很容易和第一象限，既紧急也重要的事情混淆。因为它紧急的事实具有欺骗性，让人们误以为它们很重要，从而浪费了我们大量的时间。那么，如果要对这两个象限的事务进行识别和区分，我们就需要建立标准。而标准的核心，就在于这件事是否重要。

注意: 矩阵的乘法不满足交换律, 但满足对加法的分配律所以 X-AX = EX-AX = (E-A)X所以 E-A在前而X在后

这里的题目条件不清楚a和b分别是怎样的矩阵？如果a是可逆方阵就可以得到x=a^-1 b或者初等行变换(a,b)得到x的解向量即可

过程如下图所示:

这是因为B矩阵与B1矩阵是等价的（两者可以相互线性表示）因此AB1（即A与B1中列向量分别相乘后的矩阵）也等于0

题目不完全，首先应有A和B均为n阶对称矩阵的条件。1、若A、B是对称矩阵，则根据对称矩阵的定义，（AB）T=AB，（T是上标，以下相同），而根据转置矩阵的重要性质，（AB）T=（B）T（A）T，而B、A都是对称矩阵，(B)T=B,(A)T=A,，所以AB=BA，即A和B可交换。2、若AB=BA，即A和B是可交换矩阵，根据转置矩阵的重要性质，（AB）T=（B）T（A）T，而B、A都是对称矩阵，(B)T=B,(A)T=A,（B）T（A）T=BA，故（AB）T=AB，故AB是对称矩阵。

记住基本公式r(A)+r(B)-n≤r(AB)≤min(r(A)，r(B))即r(AB)小于等于r(A)与r(B)二者的最小值现在B可逆，即B满秩，r(B)=n同时r(A)≤r(B)代入不等式里，得到r(A)≤r(AB)≤r(A)即r(AB)=r(A)

一般情况下，矩阵相乘，交换律是不成立的。就是AB不等于BAA,B为同阶可逆矩阵，就是告诉我们存在：A^(-1),B^(-1)，满足：AA^(-1)=EBB^(-1)=E这并不是AB=BA成立的条件

A+B=AB,即： AB-A-B+E=E (A-E)(B-E)=E 所以A-E可逆,它的逆就是B-E 既然这两个是互逆的,那么当然就可以交换位置,从而结论就的出来了. 由(A-E)(B-E)=E可得(B-E)(A-E)=E,拆开来就是BA-B-A+E=E,放回去就是BA=B+A=A+B=AB 证毕

矩阵满足AB=BA,就称A,b是可交换的. 除了特殊的几个结论外（如,A^2与A可交换）,没有什么一般的条件.

因为 A、B均为对称矩阵,所以 A" =A,B"=B. 所以 (AB)" = （转置的运算法则）B" A" = BA. 从而 (AB)" = AB 当且仅当 AB = BA , 即 AB是对称矩阵当且仅当A,B可交换

因为A,B里面都有任意二字。矩阵A的秩为m。这个是存在一个m阶子式的行列式不为零。并不是对任意的m阶子式的行列式都不为零。

n阶矩阵，举例当n为2时，列向量表示A=（a1^T，a2^T），B=（b1，b2），可以得出AB=（a1^Tb1，a1^Tb2 a2^Tb1，a2^Tb2）以及条件[a1，a1]=[a2，a2]=1，[a1，a2]=[a2，a1]=0，b的条件同理，还有[a，b]=[b，a]则证明a1^T*b1*a1^T*b2＋a2^T*b1*a2^T*b2=b1^T*[a1，a1^T]*b2＋b1*[a2，a2^T]*b2=0a1^T*b1*a1^T*b1＋a2^T*b1*a2^T*b1=a1^T*b1*b1^T*a1＋a2^T*b1*b1^T*a2=1＋0=1，另一列同理，最后，当n为任意值时都有一般性，得AB为正交矩阵

奇异矩阵也就是可逆矩阵，也就是|a|≠0，a存在a逆，矩阵相似就是存在p使得，p逆×b×p=a，即称a与b相似。本题有：a逆×ab×a＝ba，所以ab与ba相似

ab是对称矩阵，则ab=ba的充要条件是a，b都为对称矩阵。不必要加a=b。事实上，若a，b都为对称矩阵。则(ab)t=btat=ba因为ab是对称矩阵，所以(ab)t=ab所以ab=ba反之，若ab=ba则(ab)t=(ba)tab=atbt故a=at,b=bt

先证：AB为对称矩阵----->AB=BAAB是对称矩阵,AB=(AB)"=B"A"【"表示转置】B"=BA"=A 所以：AB=BA后证：AB为对称矩阵

准确说AB和和BA秩不一定相等 举特例即可 如A［1，1，；2，2］B=[1，-3;-1，3] 可以算出AB为零矩阵 R(AB)=0而R(BA)=1若A和B都为单位矩阵 那明显AB与BA的秩相等

二者当然不一定相等的对于n阶行列式来说提取出一个数字那就要乘以其n次方于是AB为同阶矩阵 |-AB|等于(-1)^n |AB|

证明：如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解所以r（B）<=n-r=n-r(A).因此r（A）+r（B）<=n明白否？

证明：必要性由于A，B都是n阶正定矩阵，根据正定矩阵的定义，A，B都是n阶对称矩阵，即A"=A,B"=B（这里A"表示A的转置矩阵）。若AB正定，则AB也是对称矩阵，从而AB=(AB)"=B"A"=BA.即证得了AB=BA。充分性若AB=BA，则(AB)"=B"A"=BA=AB,这说明AB实对称。其次，由于A，B都是n阶正定矩阵，从而A，B都与单位矩阵合同，于是存在两个可逆实矩阵P,Q，使得A=P"P,B=Q"Q,进而AB=P"PQ"Q。注意到P"PQ"Q=Q^(-1)(QP"PQ")Q,这说明P"PQ"Q与)QP"PQ"相似，另外，QP"PQ"=（PQ"）"（PQ"）,根据P,Q都是可逆实矩阵，PQ"也是可逆实矩阵，因此QP"PQ"正定，所以QP"PQ"的特征值都是正实数。由于相似的矩阵具有相同的特征值，故AB=P"PQ"Q的特征值都是正实数。这就证明了AB正定。

这类变形,问的人真多. AB=AC,则A(B-C)=0 所以B-C是由Ax=0的解空间中向量构成的矩阵 A即便不是零矩阵,Ax=0也能有非零解,故B-C可以不等于零 而A是m*n矩阵,r(A)=n时,Ax=0只能有零解,故B-C=0,故B=C

矩阵AB=AC求A：设A，B，C均为n阶矩阵，若由AB=AC能推出B=C，则A应满足可逆就行，即|A|≠0。对于AB=AC，当|A|=0，即A不可逆时，B不等于A；当|A|不等于0，即A可逆时，等式的左右两边同时左乘A的逆，可以得到B=C。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中，在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。

矩阵ab=ba的推论1. 两个矩阵可交换若两个方阵a和b满足条件ab=ba，则称它们可交换。由于ab=ba，则可以推导出b和a都是对方的银子（逆矩阵），于是推得a和b都是可逆的，从而它们的行列式都不为零。2. 两个矩阵的特征值相同由于矩阵ab=ba，所以a和b具有相同的特征值。假设λ是a的一个n重特征值，且x是对应于λ的任意的非零特征向量，则bx=λx。则有b(ax)=ba(x)=λ(ax)，所以ax是对应于λ的b的一个n重特征向量，从而可知a和b具有相同的特征值。3. 初等变换不变性由于矩阵ab=ba，所以a和b的秩相等。因此，a和b在进行初等变换后的秩仍然相等，从而可得到初等变换的不变性。4. 对角化如果矩阵a可以对角化，即能够写成a=SDS-1的形式，则b也可以对角化，且与a具有相同的对角化矩阵S。因为a和b具有相同的特征向量，所以它们有相同的对角化矩阵。5. 总结因此，矩阵ab=ba可以引出一系列的推论，包括矩阵可交换、特征值相同、初等变换不变性以及对角化等。这些推论在矩阵理论和应用中具有重要的作用。

因为A,B都是n阶对称矩阵,故A=A",B=B". 1)充分性. 由于AB=BA 所以(AB)"=(BA)"=A"B"=AB. 故AB是对称矩阵. 2)必要性. 由于AB是对称矩阵,得 (AB)"=AB, B"A"=AB, BA=AB. 故命题成立.

不失一般性，设A不是0矩阵假设|B|≠0，那么B是可逆矩阵，设C是B的逆矩阵则A=AE=ABC=（AB）C=0*C=0矩阵这和A不是0矩阵矛盾，所以|B|=0同理，如果B不是0矩阵，则|A|=0成立。而A、B都不是零矩阵，则必有|A|和|B|同时=0也成立。

矩阵a的列数=矩阵b的行数

反例，取A=[1，0;0，0]，B=[1,0;0,0]。则AB=A。且A≠O，B≠E。

书上的例题吧是

1、A与B中有零矩阵2、A与B中有数量阵3、A与B都为对角阵4、A与B互为逆矩阵5、A可由B线性表示或B可由A线性表示6、A、B、AB都为n阶对称阵8、A与A*

AB是任意矩阵 I是单位矩阵 AB=I是逆矩阵的定义 如果两个矩阵相乘得到单位矩阵,则这两个矩阵互为逆矩阵 即A和B互为逆矩阵

任何矩阵都可以写作初等矩阵(对应与初等变换)的乘积,而三类初等矩阵与任意矩阵的左乘或者右乘的行列式都可以化为各自行列式的乘积

ab矩阵等于0的五个结论是AB=O(零矩阵)是|A||B|=0的充分不必要条件，不是等价的。所以AB≠O时可以有|A||B|=0。一般用的就是两个结论：两个矩阵的秩相加小于等于n、B的列向量是Ax=0的解。证明：如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解。所以：r（B）<=n-r=n-r(A)。因此，r（A）+r（B）<=n。称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：当r=n时，原方程组仅有零解。当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

教材上的题,按照定义证明 必要性：（AB）^T=B^TA^T=BA,另一方面（AB）^T=AB,所以AB=BA 充分性：ABA=A^2B=BA^2,BAB=B^2A=AB^2

CA+B一定正定，AB不一定正定

证明：如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解。所以：r（B）<=n-r=n-r(A)。因此，r（A）+r（B）<=n。矩阵方程的角度：记AB=C,则对于矩阵方程AX=C。存在解X=B。所以由线性方程组的性质知必有：R(A)=R(增广矩阵)=R(A,C)。显然有R(A,C)≥R(C)。所以得R(A)≥R(C)。所以R(AB)≤R(A)。

AB=A+2B（A-2E）B=A A-2E己知，A己知，求B A-2E经初等行变换到A，写成类似于增 广矩阵的形式，可得B矩阵。

矩阵满足AB=BA，就称A，b是可交换的。 除了特殊的几个结论外（如，A^2与A可交换），没有什么一般的条件。 在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 扩展资料 　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 　　数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个已持续几个世纪以来的`课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。 无限矩阵的一个简单例子是代表一个函数的泰勒级数的导数算子的矩阵。

由于A和B能做乘法，所以A的列数=B的行数，否则矩阵乘法无法进行。同样B和A也能做乘法，所以B的列数=A的行数。设A是m*n矩阵，则B一定是n*m矩阵。那么AB就是m*m矩阵，BA就是n*n矩阵。由AB=BA可知m=n.所以A和B是同阶方阵。同理：A和C也是同阶方阵。数值分析的主要分支致力于开发矩阵计算的有效算法，这是一个几个世纪以来的课题，是一个不断扩大的研究领域。 矩阵分解方法简化了理论和实际的计算。 针对特定矩阵结构（如稀疏矩阵和近角矩阵）定制的算法在有限元方法和其他计算中加快了计算。 无限矩阵发生在行星理论和原子理论中。扩展资料由 m × n 个数aij排成的m行n列的数表称为m行n列的矩阵，简称m × n矩阵。记作：这m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元，数aij位于矩阵A的第i行第j列，称为矩阵A的(i,j)元，以数 aij为(i,j)元的矩阵可记为(aij)或(aij)m × n，m×n矩阵A也记作Amn。元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

可逆即行列式不等于0显然写出行列式为0 1 2 31 4 7 10-1 0 1 ba 2 3 4 c3-2c2，c4-3c2=0 1 0 01 4 -1 -2-1 0 1 ba 2 -1 -2 c1+c3，c4-2c3=0 1 0 00 4 -1 00 0 1 b-2a-1 2 -1 0按第一行展开，得到D=(a-1)(b-2)那么a不等于1，而且b不等于2的时候方阵A就是可逆的

这是因为矩阵的乘法没有交换律。即AB与BA不一定相等。但是矩阵的乘法有结合律。所以(AB)^2=ABAB=A(BA)B(A^2)(B^2)=AABB=A(AB)B又因为BA与AB不一定相等,所以(AB)^2与(A^2)(B^2)不一定相等。这说明,顺序不同,结果也不同.因为(AB)^n=ABAB...AB(A^n)(B^n)=AA...ABB...B所以(AB)^n与(A^n)(B^n)不一定相等。

这个结论一般不成立。如果A与B是同阶方阵且A可逆，则(A^-1)AB(A)=[(A^-1)A]BA=BA，所以AB与BA相似。

　　表达式意思是用A和E表示吧？　　是的话就是这样：AB=A+2B　　可得AB-2B=A　　得（A-2E）B=A　　得B=(A-2E)^(-1)A　　E是单位矩阵；(A-2E)^(-1)是(A-2E)的逆矩阵

同样B和A也能做乘法,所以B的列数=A的行数.设A是m*n矩阵,则B一定是n*m矩阵.那么AB就是m*m矩阵,BA就是n*n矩阵.由AB=BA可知m=n.所以A和B是同阶方阵.

可逆矩阵的秩是满的即知A,B的秩都是3而等价的充要条件是秩相等所以

简单计算一下即可，答案如图所示

如果A,B是同型矩阵,等价的充要条件为 r(A)=r(B) 同维的向量组等价的充要条件是 r(A)=r(B)=r(AB)

说明AB=BA。请采纳！

ab矩阵等于0的五个结论是AB=O(零矩阵)是|A||B|=0的充分不必要条件，不是等价的。所以AB≠O时可以有|A||B|=0。一般用的就是两个结论：两个矩阵的秩相加小于等于n、B的列向量是Ax=0的解。证明：如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解。所以：r（B）<=n-r=n-r(A)。因此，r（A）+r（B）<=n。称为n元齐次线性方程组。设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。若设其系数矩阵经过初等行变换所化到的行阶梯形矩阵的非零行行数为r，则它的方程组的解只有以下两种类型：当r=n时，原方程组仅有零解。当r<n时，有无穷多个解（从而有非零解）。

AB是对称矩阵，则AB=BA的充要条件是A，B都为对称矩阵。事实上，若A，B都为对称矩阵。则：(AB)T=BTAT=BA因为AB是对称矩阵，所以(AB)T=AB所以AB=BA反之，若AB=BA则(AB)T=(BA)TAB=ATBT故A=AT，B=BT两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。基本性质：1、对于任何方形矩阵X，X+XT是对称矩阵。2、A为方形矩阵是A为对称矩阵的必要条件。3、对角矩阵都是对称矩阵。4、两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换。两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。5、每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。6、若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。7、一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。8、如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。9、n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

是.注意A*=A^(-1)/|A|,B*=B^(-1)/|B| then (AB)*=(AB)^(-1)/|AB| =B^(-1)*A^(-1)/|A||B| =B*A*

AB的伴随矩阵=B的伴随矩阵×A的伴随矩阵。先利用伴随阵和逆阵的关系证明结论对可逆矩阵成立，然后由连续性可得对不可逆的矩阵也成立。当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式。相关概念：在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

很简单,当B是A的逆矩阵时 则 AB=BA 第二个问题 当A=B,第二种情况成立

首先设A是m*n的而B是n*s的则AB=0必有r(A)+r(B)<=n（这个结论如果你不知道，请查百度知道，太多太多人问这个问题）因为A,B非零，故r(A)>0,r(B)>0。故r(A)<n,r(B)<n那么A的列向量组线性相关，B的行向量线性相关

嗯，由AB=E知道A,B互为逆矩阵，所以AB=BA=E。

AB=BA的条件是他们是一条线。

简单分析一下即可，详情如图所示

这个用双向证明. 证明:由已知,A" = A,B"=B 所以 AB 是对称矩阵 (AB)" = AB B"A" = AB BA = AB A,B 可交换.

|λE-AB|=|A^-1|*|λE-AB|*|A|=|λE-A^-1*AB*A|=|λE-BA|

阶数 也不告诉吗？

A=[1 0; 0 0]B=[1 2; 3 4]C=[1 2; 5 6]AB=AC,但是B≠C

不可以

证明：必要性 由于A,B都是n阶正定矩阵,根据正定矩阵的定义,A,B都是n阶对称矩阵,即A"=A,B"=B（这里A"表示A的转置矩阵）.若AB正定,则 AB也是对称矩阵,从而AB=(AB)"=B"A"=BA.即证得了AB=BA.充分性 若AB=BA,则(AB)"=B"A"=BA=AB,这说明AB实对称. 其次,由于A,B都是n阶正定矩阵,从而A,B都与单位矩阵合同,于是存在两个可逆实矩阵P,Q,使得A=P"P,B=Q"Q, 进而AB=P"PQ"Q. 注意到P"PQ"Q=Q^(-1)(QP"PQ")Q,这说明P"PQ"Q与)QP"PQ"相似, 另外,QP"PQ"=（PQ"）"（PQ"）,根据P,Q都是可逆实矩阵,PQ"也是可逆实矩阵,因此QP"PQ"正定,所以QP"PQ"的特征值都是正实数. 由于相似的矩阵具有相同的特征值,故AB=P"PQ"Q的特征值都是正实数.这就证明了AB正定.,6,

当矩阵A，B，AB都是N阶对称矩阵时，A,B可交换，即AB=BA 证明： A,B,AB都是对称矩阵，即AT=A,BT=B,(AB)T=AB 于是有AB=(AB)T=(BT)(AT)=BA 当A,B可交换时，满足(A+B)2=A2+B2+2AB 证明： A,B可交换，即AB=BA (A+B)2 =A2+AB+BA+B2 =A2+AB+AB+B2 =A2+B2+2AB

设其系数矩阵为A，未知项为X，则其矩阵形式为AX=0。1、两个矩阵的性质，A,B同维度(行数列数均相同)且同秩更多关于两个矩阵等价的性质的问题>>二、矩阵之间的等价关系r 行等价，记作A ~ B A 有限次初等行变换有限次初等列变换B c 列等价。2、同阶方阵，选B因为若A不等于0，则A可写成一系列初等矩阵的乘积，AB相当于对B作一系列初等变换，初等变换不改变矩阵的秩，所以AB同B有相同的秩，但是，由于AB=O，所以其秩为0，而B不等于0,所以其秩至少为1。3、举证线性代数AB=0AB=0这个式子主要从方程组的角度理解，相当于B的列向量是Ax=0的解，那么B的秩比方说等于3，就代表了Ax=0至少有三个线性无关的解，即设A的秩为ra，则n-rarb，即nra+rb 设ca为a的0特征值重数，则有caka，若ca=ka则代表0特征根有ca重并且有ca个线性无关的特征。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。旋转矩阵Rotation matrix1、旋转矩阵（Rotation matrix）是在乘以一个向量的时候有改变向量的方向但不改变大小的效果的矩阵。旋转矩阵不包括反演，它可以把右手坐标系改变成左手坐标系或反之。所有旋转加上反演形成了正交矩阵的集合。2、旋转矩阵是世界上著名的彩票专家、澳大利亚数学家底特罗夫研究的，它可以帮助您锁定喜爱的号码，提高中奖的机会。首先您要先选一些号码，然后，运用某一种旋转矩阵，将你挑选的数字填入相应位置。3、旋转矩阵的原理在数学上涉及到的是一种组合设计：覆盖设计。而覆盖设计，填装设计，斯坦纳系，t-设计都是离散数学中的组合优化问题。它们解决的是如何组合集合中的元素以达到某种特定的要求。

(AB)ij=求和AikBkj8 -54 8

这个问题的证明与A,B是否可逆无关,因为证明方法里不涉及到求逆阵的问题.我不知道你怎么用可逆这个条件的. 证明方法是这样的： A=(Aij)nxn,B=(Bij)nxn C=AB=(Cij)nxn Cji=Σ(Ajk·Bki),求和是对k从1到n的 D=（AB）*= C*=(Dij)nxn Dij=Cji=Σ(Ajk·Bki) A*=(aij)nxn=(Aji)nxn,B*=(bij)nxn=(Bji)nxn E=B*A*=(Eij)nxn Eij=Σ(bik·akj),求和是对k从1到n的 Eij=Σ(Bki·Ajk)=Σ(Ajk·Bki)=Dij, 这样就证明了（AB）*的每个位置的元素Dij与B*A*每个对应位置的元素Eij是相同的. 所以有（AB）*=B*A*.

A=B,B=A

AB的伴随矩阵=B的伴随矩阵×A的伴随矩阵。先利用伴随阵和逆阵的关系证明结论对可逆矩阵成立，然后由连续性可得对不可逆的矩阵也成立。当矩阵的阶数等于一阶时，伴随矩阵为一阶单位方阵。二阶矩阵的求法口诀：主对角线元素互换，副对角线元素加负号。主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式。相关概念：在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。

等于A的行列式的n-2次方再乘以A，可以有概念推导出来。当A的秩为n时，A可逆，A*也可逆，故A*的秩为n；当A的秩为n-1时，根据秩的定义可知，A存在不为0的n-1阶余子式，故A*不等于0，又根据上述公式AA*=0而A的秩小于n-1可知A的任意n-1阶余子式都是0，A*的所有元素都是0，是0矩阵，秩也就是0。相关概念：在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果二维矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数，对多维矩阵也存在这个规律。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维线性空间。托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体（domain）上的最一般的向量空间中。线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而不依赖于基的选择。

ab=0矩阵能推出r（A）+r（B）<=n。证明：如果AB=0，那么B的每个列都是齐次方程组AX=0的解。设r（A）=r，那么方程组AX=0最多有n-r个线性无关的解，所以：r（B）<=n-r=n-r(A)。因此，r（A）+r（B）<=n。相关内容解释1、确认矩阵是否可以相乘。只有第一个矩阵的列的个数等于第二个矩阵的行的个数，这样的两个矩阵才能相乘。图示的两个矩阵可以相乘，因为第一个矩阵，矩阵A有3列，而第二个矩阵，矩阵B有3行。2、计算结果矩阵的行列数。画一个空白的矩阵，来代表矩阵乘法的结果。矩阵A和矩阵B相乘得到的矩阵，与矩阵A有相同的行数，与矩阵B有相同的列数。你可以先画出白格来代表结果矩阵中的行列数。

AB的逆矩阵等于B的逆矩阵乘以A的逆矩阵。设A是一个n阶矩阵，若存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则称方阵A可逆，并称方阵B是A的逆矩阵。如果要求AB矩阵的逆矩阵，那么该逆矩阵需要与AB矩阵相乘等于单位矩阵E，这是线性代数矩阵变换的反序原则。逆矩阵的性质：1、可逆矩阵是方阵。2、矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。4、可逆矩阵A的转置矩阵AT可逆，并且（AT）-1=（A-1）T 。5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。6、两个可逆矩阵乘积依然是可逆的。7、矩阵可逆仅当是满秩矩阵。