矩阵

不用矩阵的秩也行。先从向量组里面任意找出两个向量a1,a2，判断a1,a2的分量是否对应成比例，如果不是，则a1,a2线性无关。继续往a1,a2中添加向量a3，如果a3可以由a1,a2线性表示，则a1,a2,a3线性相关，那么换一个向量a4添加到a1,a2中，继续判定a4是否可以由a1,a2线性表示。如果找不到一个向量，不能由a1,a2线性表示，那么a1,a2就是最大线性无关组。如果有一个向量a5，使得a5不能由a1,a2线性表示，那么a1,a2,a5线性无关。继续往a1,a2,a5中添加向量。重复以上步骤，直到最后不能再添加向量，使得所得向量组线性无关，那么最后得到的向量组就是最大线性无关组。这个方法可以找出最大线性无关组，但是不能事前就判断出最大线性无关组所含向量个数。

你这个命题就不成立，因为n+1个n维向量一定是线性相关的。你可以这么假设：若n－1个n维的列向量α1，……αn-1线性无关，而A给他进行列分块有A＝(α1，……αn－1),那么A的秩不就等于n－1嘛，而行秩和列秩的本质上是为了反映按行分块和按列分块时的极大无关组究竟有几个线性无关的向量，所以三秩它是不论矩阵A是否是方阵，它都会有三秩相等。

化简为最简行阶梯形，然后数一下非零行数矩阵的秩是2，增广矩阵秩也是2

关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。为讨论方便，设A为m阶方阵。证明：设方阵A的秩为n。如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν。其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项。若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

根据伴随矩阵的元素的定义：每个元素等于原矩阵去掉该元素所在的行与列后得到的行列式的值乘以（-1）的i+j次方的代数余子式。有：1.当r(A)=n时，由于公式r(AB)<=r(A),r(AB)<=r(B)，并且r(AA*)=r(I)=n,则，伴随的秩为n；2.当r(A)=n-1时，r(AA*)=|A|I=0，加上公式r(A)+r(B)<=n-r(AB)，带入得到，r(A*)=1;3.当r(A)<n-1时，由上述定义得到伴随矩阵其每个元素都为零，所以秩为零。

An可逆，r(A)=n 或 |A|≠0。 阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。 m × n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。 扩展资料 　　矩阵可逆的充要条件是矩阵满秩,而满秩矩阵的逆矩阵也是满秩的.所以说,你的问题的答案是二者的秩shu相等,且皆等于矩阵的阶数.设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。 　　定义： 　　1、在m*n矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。 例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。 　　2、A=(aij)m×n的`不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA，或rankA或R(A)。 特别规定零矩阵的秩为零。 显然rA≤min(m,n) 易得： 若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r<min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。 　　由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n，通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det(A) 0；不满秩矩阵就是奇异矩阵，det(A)=0。 由行列式的性质1(1.5[4])知，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

“关系: 1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。 2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。 证明: 定理1:n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 定理2:设A为n阶实对称矩阵,则A必能相似对角化。 定

为讨论方便，设A为m阶方阵证明：设方阵A的秩为n因为任何矩阵都可以通过一系列初等变换，变成形如1 0 … 0 … 00 1 … 0 … 0…………………0 0 … 1 … 00 0 … 0 … 0…………………0 0 … 0 … 0的矩阵，称为矩阵的标准形（注：这不是二次型的对称矩阵提到的标准形）本题讨论的是方阵，就是可以通过一系列初等行变换的标准形为主对角线前若干个是1；其余的是若干个0以及除对角线以外的元素都是0。设A的标准形为B因为“m×m阶矩阵构成的数域P上的线性空间”与“该线性空间上的全体线性变换在数域P上的线性空间”同构。所以研究得到线性空间的性质可以照搬到线性变换空间上应用，从同构的意义上说，他们是“无差别”的。（由于线性变换符号的字体不能单独以花体字体区别，所以用形如“线性变换A”，表示线性变换用形如“矩阵A”，表示线性变换的矩阵）前面知识应该提到的内容：一系列初等矩阵的乘积是非退化的，初等变换不改变矩阵的秩，初等变换是可逆的所以矩阵B的秩（1的个数），就是矩阵A的秩，就是n因为可逆且不改变秩，所以讨论矩阵B的情况，可以应用到矩阵A上。我们随即看到，如果线性变换B（或者说矩阵B）的秩是n，则线性变换B就是对线性空间的前n个基做恒等映射（因为基向量组没有秩序，我们取前n个不会有原则性的问题）后m-n个基做零变换，所构成的线性变换，线性变换B的特征多项式是(λ-1)^n就可以快速找到n个线性无关的特征向量，这些特征向量直接取线性空间的前n个基就可以了。我们得到的结论是，线性变换B秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值，所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管你的特征值是不是一样）这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。下面我们解释重根为什么按重数计算，对矩阵B做初等行变换，第i行乘以数域P上的数k≠1（当然，如果k=1纯属脱裤子放屁），我们的特征多项式变为(λ-1)^(n-1)*(λ-k)，其它初等变换相应类推。借用学物理的思维，一个变换莫测的关系中，寻找守恒量是什么？这个是有意义的。而做这样的非退化的线性变换变换，虽然特征值会随之改变，但是守恒量是一定能找到n个线性无关的特征向量，其个数就是矩阵B（线性变换B）的秩是不变的。这样我们就发现了守恒量，至于属于不同特征向量的特征值是否相等，纯属巧合，无意义。有多少个碰巧相等的都无所谓，有多少个相等（相当于特征多项式的几次方），就当然重复计算。最后来一个问题的封闭，题目说的是方阵A这个简单，将矩阵B做一系列初等行变换，虽然特征多项式改变了，线性变换改变了，特征多项式也变了，但是我们发现的守恒量n，是不变的。

作为一个工科的学生,我们长期以来会使用比如像是矩阵以及行列式这些在线性代数上的知识,在这篇文章中,我想来聊一聊这些问题,即设么事面积,以及什么事面积的高纬度的推广. 1:什么是面积? 对于什么是面积,大家可能首先就会想到我们生活中常用的长*宽么?真的是这样么,其实在这里我们所谈论的面积,其实是欧几里得空间几何面积的基本的单位:平行四边形的面积.关于平行四边形的面积的定义,几何上所说的就是相邻两边边长乘以他们之间的夹角的正弦. 但是当我们面对到一些更一般的情形和更高维度的数理问题的时候,我们就有必要把这个面积的定义推广开来.首先我们应当要注意的是.面积是作为一个标量,他是来自于相邻的两个边的两个矢量相乘的结果,因此来时,我们需要把面积看作为一种映射的关系. 这里的V可以看做一个适量,V*V代表的是两个适量的有序对,那么f自然而然就是所求的面积. 现在我们将来证明这个映射是一个线性的映射,请坐稳扶好: 现在我们举一个最简单的例子,现在我们假设第一个矢量是(1.0),第二个矢量是(0,1),也就是说两个矢量分别是X轴和Y轴上的单位为正的单位向量,那么由这两个矢量构成的四边形,这个四边形其实就是一个正方形,根据面积的定义,其实就是*宽=1*1=1 因此我们可以得到: 现在假设把第一个矢量缩放a倍,这个四边形的面积也会变为相对应的a倍,这样的面积也将会变为原来的a倍,把第二个矢量缩放为b倍,这样的面积也会变为原来的b倍,如果这个时候我们同时对两个向量缩放为ab倍,这样的话面积也会变为原来的ab倍,这说明,面积的映射对于其他的两个操作数的矢量的标量积是呈现出各自线性的,如下: 其实在实际的情况下,面积的映射对于其操作数(矢量)的矢量加法也是线性的.因为矢量加法的操作本身就是一个线性的,那么他的面积的映射其实也就是一个线性的映射.现在我想通过几个例子,来解释下映射加法线性的一些后果. 两个共线矢量所张成的平行四边形是一条线,因此来说这个面积是0.现在假设面积映射是关于一个适量加法的线性映射,那么我们有以下的结果 其实这里其实用到了一个理论: 也就是说,在交换相互垂直操作数适量的顺序后,面积的映射变成一个负值.到底是正还是负取决于你认为的定义.一般情况下,我们把X轴的矢量放在前边,Y轴的矢量放在后边,从X轴到Y轴张成的一个平行四边形的面积,我们把这个符号一般看作为正号. 2:三维空间里的应用 在三维空间中,我们一般是利用的右手定则进行实验.如果以X轴的正方形为头部,Y轴的正方向为尾部.右手定则告诉我,纸面方向向外的方向是面积的正方向.如果反过来,纸面向内的方向就是该面积的正方向.与所规定的正负号的方向是相反的.现在这样来看正负号的几何的意义就比较明显了 现在我们假设用平面内的任意两个矢量所张成的平行四边形的面积,现在用公式来进行表示: 在这里,其实我们不难看到,所谓的面积其实就是一个2*2的矩阵的行列式: 就跟下边的图所示的一样: 其实我们的第一行即使我们的第一个行向量(a,b),第二行就是第二个行向量(c,d),再或者是第一列是第一个列向量(a,b)的转秩,第二个列自然就是第二个列向量(c,d)的转秩.当然这么做还是取决于我们是把矢量写成行向量还是列向量的形式表达. 3:行列式的性质的计算 在上述的推理中,我们可以很容易的发现,行列式的值是把与行列式的矢量写成列向量的横排还是行向量的竖排的方式是无关的.这也就是为什么,在计算行列式的时候,行列的地位是对等的.并且我们还应当注意到,根据上述的分析,交换向量的顺序,面积是负号的原因.这也就是为什么行列式中,交换列向量或者行向量一次,就应当要取一次负号的原因.另外行列式其他的计算的性子,其实都一一反映在面积映射的线性性当中. 所以,综上所述,行列式实际上本身就是一个关于面积的形式的推广.其实就是在给定一组基的情况下,N个向量张成的一个N维定义的广义四边形的体积,其实这就是行列式本质的一个含义. 4:行列式的一个推广 根据上边的结论,我们其实很容易的推广到三维体积的一个计算:在这里我们应该要注意到,行列式的定义,其实是每一行各取一个不同列的元素的一个乘积并且符号和所谓的逆序性有关的.什么是逆虚性?所谓逆序性，其几何意义就是在规定了一个正方向之后（比如从1,2,3,4,5...N这个顺序定义为正号），交换任意一对数都取一次负号。这样的性质我们在上述的面积函数中已经有所看到，实际上体积，更高维度的广义体积，也有正方向之说，只不过已经难以用右手法则（以及叉乘）来形象说明罢了。右手定则的局限性也是将高维面积推广成行列式表达的一个动机之一。 对于这样交换任意一堆指标的操作就可以改变符号的性质,其实我们就叫做反对称性.这个时候,如果你善于思考,你会想为什么要取不同行不同列元素的乘积.因为如果有任意两个元素是同行同列的,那么他们交换他们的列指标,乘积不变但是符号要相反.因此乘积必须要是0,这也就是在行列式值中不予体现的原因之一. 行列式的定义其实是比较的冗杂的,其实就是来自于广大的面积映射的反对称性,其实面积映射是一个2维的,把二维任意拓展到多维,我们其实就可以发现R维的形式和R*R的行列式的形式是完全一致的. 其实在这里,我们可以把各种维度所代表的东西来总结下,二维所代表的是平面内的面积,三维自然而然其实就是三维空间内的体积,四维其实就是四维空间内的超体积.依次类推.在上边的推理中我们发现,这些矢量给定的基坐标写出的矩阵必然是方阵,矩阵的行列式对应的面积或者是体积.这样的推广证明相信在任意一本的线性代数书中都会看到,我只是说了人话而已. 5:行列式和矩阵的逆 我们知道很多定理,比如行列式为0的矩阵,不可逆,行列式不为0的矩阵,可逆,这个时候我们不禁要问,代表面积的行列式,是如何和线性变化的可逆性联合在一起的. 这个时候我们就应该要理解线性变化的几何意义.现在我来陈述一下: 如果我们把空间中一组线性无关的矢量都写成列向量的形式，那么他们所张成的N维体体积不为零，根据上面的分析，其值由行列式给出。向量经过线性变换A变换之后，得到的新向量形式如下： 注意到A是一个N*N的矩阵，向量是列向量。 变换前，N维体的体积是： 变换之后，N维体的体积是（注意到，第二个等式实际上说明了几何意义是如何定义矩阵乘法的，也就是 N*N 矩阵 A 和另外一个 N 个列向量组成的 N*N 矩阵的乘法）： A的行列式如果不为零，则代表这个变换后，N维体的体积不是NULL。又结合线性无关与体积的性质，我们可以说： 如果 A 的行列式不为零，那么 A 可以把一组线性无关的矢量，映射成一组新的，线性无关的矢量； A 是可逆的（一对一的映射，保真映射， KERNEL 是 {0} ） 如果 A 的行列式为零，那么 A 就会把一组线性无关的矢量，映射成一组线性相关的矢量 如果 A 的行列式为负数，那么 A 将会改变原 N 维体体积的朝向。 从线性无关到线性相关，其中丢失了部分信息（例如坍缩成共线或者共面），因此这个变换显然就是不可逆的。线性是否无关和所张成 N 维体的体积有直接关系，这个体积值又与 A 的行列式有关。因此我们就建立了 A 的行列式与其是否可逆的几何关系。 举例说明，我们假设A是一个3维的矩阵。如果映射前，有一组三个线性无关的矢量，我们知道它们张成的体积不是0；经过映射后，他们对应的新矢量也能张成一个平行六面体，那么这个平行六面体的体积就是原体积乘以A的行列式。 显然，如果A的行列式是0，那么变换后的新“平行六面体"的体积将不可避免的也是0。根据上文的结论，我们有：变换后的这一组新矢量线性相关。 结论： 线性变换 A 的行列式是否为零，就代表了其映射的保真性，也即，能不能把一组线性无关的矢量变换成另一组保持无关性的矢量。 6:秩 但是有的时候,虽然行列式A不能把空间一组数目最大的矢量线性无关,但是它能够保证那个一组少数目的矢量让其线性无关,这个数目矢量往往小于线性空间的维度,这个数目就叫做线性变换A的秩 比如:一个秩为2为3*3的矩阵A,因为秩小于3,那么任何一个3维六面体经过他的变化后,体积变为0,退化一个面,但是仍然存在一个面积不为0的面,在变换以后还是一个非零面积的面 所以说所谓的一个线性变换的秩,无非就是变化后,还能保持一个非零体积的几何形状的最大的维度. 通过上边理解了秩,行列式,可逆性的几何意义,我们就能随意的构造一个线性变化的A,使得他要么保全所有的几何体,要么降维成为特定维度特定结构的几何体,压缩成为更低维度的几何体,所以说,可以看作为一个”降维打击” 更高维度的推理,希望有兴趣的小伙伴可以自己去证明,不明白的问题亦可以在文章下面评论.希望能够和大家多多交流,多谢指教.

一个矩阵中行秩与列秩是相等的，矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。性质及定理：定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

要使用一个重要结论：AB=0，A是的列数=B的行数n，则r(A)+r(B)≤n。这个应该是书上的例题，以同济版线性代数为例。AA*=0，所以r(A)+r(A*)≤n，所以r(A*)≤n-(n-1)=1。又r(A)=n-1，A有n-1阶子式非零，所以r(A*)≥1。所以r(A*)=1。

如：方程AX=b 系数矩阵为A，它的增广矩阵为(A b)。增广矩阵通常用于判断矩阵的有解的情况，比如说r（A)<r（A b) 方程组无解；r（A)=r（A B)=n，方程组有唯一解；r（A)=r（A B)<n，方程组无穷解；r（A)>r（A B)不可能，因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩。对于方程组(1):a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn=b1（1）a21 x1+a12 x2+a23 x3+…+a2n xn=b2（2）……………………ai1 x1+ai2 x2+ai3 x3+ … +ain xn=bi（i）……………………am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amn xn=bm（m)

任何一个列向量组a1,a2,...,ak都可以组成一个矩阵A=(a1,a2,...,ak)，矩阵A的秩与向量组a1,a2,...,ak的秩是一样的

三秩相等,也就是矩阵的秩等于行秩等于列秩,按照一般的求矩阵的秩就ok了

矩阵的秩与向量组的秩的联系：矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩；矩阵行(列)满秩，与向量组的线性相关和线性无关也有一定的联系。

矩阵的秩与特征向量的个数的关系：特征值的个数等于矩阵的秩，特征向量的个数至少等于矩阵的秩，（即大于等于矩阵的秩），小于等于矩阵的阶数，等于阶数时,矩阵可相似化为对角矩阵，小于矩阵的阶数时，矩阵可以相似化为对应的约旦标准形。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。相关定义方阵(行数、列数相等的矩阵)的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或。m×n矩阵的秩最大为m和n中的较小者，表示为 min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。设A是一组向量，定义A的极大无关组中向量的个数为A的秩。定义1. 在m*n矩阵A中，任意决定α行和β列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式 就是矩阵A的一个2阶子式。定义2.A=(aij)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作rA，或rankA或R(A)。

特征值与秩的关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。证明：定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），则λ＝0恰为A的n-k重特征值。定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），则λ＝0至少为A的n-k的重特征值。定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ＝0恰为A的n-k重特征值。定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ＝0恰为f（A）的n-k重特征值。

内容如下：1、方阵A不满秩等价于A有零特征值。2、A的秩不小于A的非零特征值的个数。线性变换秩是多少，就一定找到有多少个线性无关的特征向量。因为一个特征向量只能属于一个特征值，所以有多少个线性无关的特征向量，就有多少个特征值（不管特征值是不是一样）。这里有n个1，都是一样的（从特征多项式也知道有n个重根）。因为非退化的线性替换不改变空间的维数，不改变矩阵的秩。其他性质线性变换，转置。矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x &in; Rn。 这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。 今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。转置有以下特性：(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。注记矩阵可看成二阶张量， 因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。

一句话：秩就是非零特征值的个数

AA*=｜A｜E，r(A)=n。n阶方阵A满秩，故其可逆，A=P1*p2*p3…*pn,Pj为初等矩阵（j=1，2，…n),而初等矩阵不会改变矩阵的秩，故R(A*)=R(E)=n.

如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩；如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立了。如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有Aν=λBν其中A和B为矩阵。其广义特征值第二种意义λ可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项。怎么学好数学先看笔记后做作业。 有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。

两者的定义你说的都对两者的关系是 矩阵的秩等于矩阵列向量组的秩(即列秩), 而不是等于列数矩阵的秩 也等于行向量组的秩, 即行秩计算矩阵的秩: 用初等行变换化为梯矩阵, 非零行数即矩阵的秩列变换也可用, 但行变换足够 计算向量组的秩: 将向量按列构成矩阵, 用初等行变换化梯矩阵, 非零行数即向量组的秩, 非零行的首非零元所在列对应的向量构成一个极大无关组

分块矩阵秩和子块的秩的关系是lim x→∞,(1+x)^(1/x)=lim x→∞,e^[ln((1+x)^(1/x))]=lim x→∞,e^[(1/x)×ln(1+x)]。如果对于每个分块阵所找到的极大无关行向量组都位于不同的行，则第一行的秩为每个分块阵秩之和：若不能找到，则第一行的秩小于每个分块阵秩之和。再整个矩阵看成行分块，即一“列”的矩阵，同理，所以结论成立。矩阵的秩：定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。

问问向量组的秩和矩阵秩求法有区别吗最佳答案一、求解目的不同1、向量组的秩：向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。 2、矩阵秩：矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。二、求解过程不同1、向量组的秩：一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组，行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩。2、矩阵秩：一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。

运用分块矩阵法就可以了，专门对付行列太多的矩阵

请用“矩阵的拉普拉斯公式”google 一下。祝顺利！

举例说明：制作一个输入矩阵：img=zeros(128,128);img(60:68,60:68)=1;%中间有个小孔imshow(img);%原图像f=fft2(img,256,256);F=fftshift(f);figure,imshow(abs(F));%功率谱figure,mesh(F.*conj(F)/(256*256));%功率谱密度。

先把旋转中心平移到原点，然后以原点为中心进行旋转，旋转变换矩阵为下面所示。旋转完之后再把旋转中心平移到原来的点（x，y）绕原点逆时针旋转a，x"=xcosa-ysina；y"=xsina+ycosa；即（x"，y"）"=(cosa,-sina;sina,cosa)*(x,y)"任意点（m，n），有：（x"-m，y"-n）"=(cosa,-sina;sina,cosa)*(x-m,y-n)"，旋转变换矩阵为：|cosa-sina||sinacosa|。

在n维向量空间中,取定一组基a1,a2,...,an（也就是在空间中取定了一个坐标系）后,向量空间中的每个向量就可以用这组基来表示,换个说法,就是每个向量在这组坐标系下就有了一组坐标.如果我取定另外一组基b1,b2,...,bn,则向量空间中的每个向量在这组基下也有一组坐标,这样对于空间中同一个向量A来说,在两个不同的基下,就有了两组坐标,这两组坐标之间,必定有某种关系,把这个关系写出来的话,就是坐标变换公式. 但是这个公式并不是一眼能看出来的,为了得到它,我们先来看一个特殊的结果： b1由于是向量空间中的一个向量,它在基a1,a2,...,an下必定有一组坐标,同样,b2,...,bn都在基 a1,a2,...,an也都各自有一组坐标,我们把这n组坐标作为列,构造一个方阵C,这个方阵C就叫做从基a1,a2,...,an到基b1,b2,...,bn的过渡矩阵,利用这个矩阵C就能得到前面所提到的坐标变换公式.思路就是这样,矩阵在这里比较难写,所以具体再去翻翻代数书. 简单地说,过渡矩阵揭示的是两个基之间的关系,而坐标变换则是同一个向量在不同基下的坐标之间的关系.

所谓的矩阵，所谓的方程组，就是一种坐标变换。考虑2元一次方程组:x+y=2ax-y=2b他的解是x=a+b,y=a-b. 什么含义呢? 就是假设有两个坐标系，一个是(x,y)一个是(x",y")，那么上面那个方程组就是求(x,y)上的哪个点经过坐标变换矩阵|1,1||1,-1|变成(x",y")坐标系上的点(2a,2b)，答案是(a+b,a-b)。方程组的系数构成了"坐标变换变换矩阵"。所谓的cosA —sinAsinA cosA其实就是将坐标系(x,y)旋转一个角度A变成(x",y")，其中x"=xcosA-ysinAy"=xsinA+ycosA

向量的概念大家并不陌生，但是向量空间又是什么嘞？无论是在空间解析几何中还是在初等几何中向量是用来表示大小和方向的量，但是在代数学中任何的量都可以把它叫做向量，解析集合中在三维空间中的向量说穿了就是一个既有运动学属性又有数学属性的一个量，这样的量在现实世界中是普遍存在的，这样的量是一种现实世界与到数学范畴的一种对应。三维空间其实也是一个向量空间，其中的向量有着同样的特质，因此它是无数多个有着相同特质量的集合。在三维几何空间中向量还可以进行向量与向量的加减法，向量与标量的乘法，并且运算过后的向量仍然与之前的向量有着相同的特质(有运动属性和数学属性)，即向量运算之后任然属于三维几何空间。代数学上的向量空间是一种对几何上向量空间的一个推广，因此向量空间像几何空间是有着相同特质的量的集合，并且在集合上面定义了一套运算规则，即向量空间的八条性质，向量空间具有封闭性是不证自明的。 因此只要是有着无穷多个相同特质的量的集合并且这个集合中的量运算满足向量空间的八条性质，就可以把这样的无穷多个量的集合叫作向量空间，集合中的量就叫做向量。 在抽象出了向量空间的概念之后如果想要推广还必须要研究向量空间所具有的结构与性质，向量空间中的无穷多个向量是如何形成的？能否就像搭积木一样有了一组积木就能搭建成各种各样的房子，这就产生了向量空间的基的概念，向量空间中的任何一个向量都可以由他的一组基线性表示。 假设V是数域F上的一个n维向量空间， 是向量空间的一组基，那么V中任意的向量 都可以唯一的表示成 ,则 就叫做向量 关于 的坐标。 过渡矩阵其实就是取向量空间的两组基，其中一组基用另外一组基线性表示之后将坐标排成列之后形成的矩阵，也即其中一组基在另一极限的坐标排成列所形成的矩阵，实际上过渡矩阵描叙的是统一向量空间中不同的基之间转化关系的矩阵，知道了两个基的过渡矩阵就可以由某个向量在其中一个基之下的坐标求出向量在另一个基之下的坐标，还可由其中一个基求出另一个基。 线性变换说白了就是一种映射，把向量空间中的某个向量变成仍在同一向量空间中的另一向量 欧式空间是在向量空间的基础之上定义了度量两向量大小和关系法则空间即内积空间 向量空间仅仅是定义了形并没有定义性，欧式空间就是定义了性的向量空间 正交变换就是不改变向量的长度但是改变向量的位置的变换，在平面几何中有旋转和关于某过原点反射两种变换，在三维空间中有旋转以及关于某平面的反射两种变换可以复合变换 任何一个变换关于某基都有一个矩阵(由变换之后的基在原基下的坐标排成列做成的矩阵)，对称变换就是能够将某一规范正交基变成对角矩阵的变换

根据定义，秩等于非0特征值的个数。特征值全为0则秩为0

有.有的教材是先讲向量组的秩,再讲矩阵的秩事实上,矩阵的行向量组的秩=列向量组的秩=矩阵的秩这被称为矩阵的三秩定理.

A为复矩阵时，rank(A^H*A)=rank(A)

首先由于矩阵A可逆，所以该矩阵为方阵，即此时A的秩为A的行数或列数.

只能作初等行变换：解线性方程组，求矩阵列向量的最大无关组。求特征向量(因为实际上还是求方程组的解)不能用初等变换：求特征值(由|λE-A|=0求，不能事先对A进行初等变换)行列变换可以混用：求矩阵的秩(初等变换不改变矩阵的秩)行列变换不能混用：求逆矩阵，对其进行初等行变换(横着求)，初等列变换(竖着求)，但一般而言初等行变换使用得更广泛。注：行变换，列变换是对矩阵而言的，行列式类似的运算只是它的性质，并不叫变换。行列式是一个数，而矩阵是一个表格，对行列式进行变化一般是为了求值，而矩阵变换一般对应着实际问题。解线性方程组时，只进行行变换(得到同解方程)，目的是消元求解。求秩时即可以进行行变换也可以用列变换，但不可以同时使用（二选一），行变换横着求，列变换竖着求。行列式求值时，行、列的变化可以同时进行，但要注意数值的处理。

矩阵的秩的定义是什么？想必是不知道的。矩阵的秩就是矩阵的最大非零子式的阶数。意思就是，例如5阶矩阵a，秩为4，说明a的5阶行列式为0，4阶行列式存在不为0.矩阵的秩小于n，说明n阶行列式为0.对于线性代数概念的理解掌握，是学习的基础。newmanhero2015年5月9日10:13:10希望对你有所帮助，望采纳。

不要说“觉得是”，而是“必然的”

对于一个n阶的n*n矩阵A来说，如果其行列式|A|=0，则说明矩阵的秩小于n，即非满秩矩阵而如果|A|≠0，无论是大于还是小于0，都说明矩阵的秩就等于n实际上行列式|A|=0，就说明矩阵A在经过若干次初等变换之后存在元素全部为0的行，所以其秩R(A)<n而行列式|A|≠0，即经过若干次初等变换之后不存在元素全部为0的行，其秩R(A)=n

首先应该是齐次的线性方程组。方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数。我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数。未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解。类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解。重要定理每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

1. 行列式|A|为0 当且仅当 r(A)<n. (但r(A)不一定等于0). 2. 因为 b能由a1...an线性表示所以 a1...an 的一个极大无关组 仍是 a1...an,b 的极大无关组而向量组的秩即极大无关组所含向量的个数所以有 r(a1,..,an)=r(a1,..,an,b).

如果a是mxn的矩阵，b是nxk的矩阵，ab=0，那么rank(a)+rank(b)<=n

可对角化矩阵的秩等于对角化后非零对角元个数。

r(A,B)>=r(A+B)r(A,B)>=r(B)>=r(AB)r(AB)与r(A+B)没有直接关系。矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

如：方程AX=b 系数矩阵为A，它的增广矩阵为(A b)。增广矩阵通常用于判断矩阵的有解的情况，比如说r（A)<r（A b) 方程组无解；r（A)=r（A B)=n，方程组有唯一解；r（A)=r（A B)<n，方程组无穷解；r（A)>r（A B)不可能，因为增广矩阵的秩大于等于系数矩阵的秩。对于方程组(1):a11 x1+a12 x2+a13 x3+…+a1n xn=b1（1）a21 x1+a12 x2+a23 x3+…+a2n xn=b2（2）……………………ai1 x1+ai2 x2+ai3 x3+ … +ain xn=bi（i）……………………am1 x1+am2 x2+am3 x3+…+amn xn=bm（m)

首先应该是齐次的线性方程组。方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数。我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数。未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解。类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解。重要定理每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

rank(ab)<=min{rank(a),rank(b)}这个对一般的a和b都成立，不需要其中任何一个满秩的条件至于证明，直接比较ab和a的列秩

前后两个矩阵分别构造一个齐次方程组，两个方程组同解，则秩相同

就是矩阵的所有元素均为0

考虑秩的定义.若有某个矩阵系数不为0,则矩阵秩至少是1.因此矩阵秩为0当且仅当矩阵系数全部是0,或者说是0矩阵.

矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。矩阵的秩等于1的充分必要条件是这个矩阵非零且各行各列都成比例。

零矩阵的秩应该是0

两种证明方法。第一种是用分块矩阵乘法来证明。(不太好书写，可以见线性代数习题册答案集)；第二种是线性方程组的解的关系来证明。因为AB=0，所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论，AX=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤ n-r(A)。而B的列向量组是解空间的一部分，所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定≤基础解系中线性无关的解的个数，也就是≤ n-r(A)，所以r(B)≤ n-r(A)，从而r(A)+r(B)<=n。

最简单的解释应该是：两行相等的行列式=0

通过初等变换矩阵P，Q,A可以变换为Jordan标准型PAQ = diag(J1,J2,...,Js)可以看到这种Jordan标准型的每个子矩阵都是方阵，秩总是行列秩相等，从而得到A的行列秩相等

设AB = 0,A是mxn,B是nxs 矩阵 则 B 的列向量都是 AX=0 的解 所以 r(B)

因为A可对角化，所以(E-A)x=0就有两个线性无关解，即E-A的秩是1。详解：λE-A的零度就是λ的几何重数，如果A可对角化则几何重数等于代数重数。问题里"λE-A的秩等于1"中的“1”是二重特征值。又因可对角化的矩阵的秩等于其非零特征值的个数。推导过程：A可对角化时, 存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数而A的特征值即 a1,...,an所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。综上所述：(E-A)x=0就有两个线性无关解，即E-A的秩是1。扩展资料：一、可对角化的概念1、定义1：设σ是几维线性空间V的一个线性变换，如果存在V的一个基，使σ在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换σ可对角化。2、定义2：矩阵A是数域P上的一个n级方阵.如果存在一个P上的n级可逆矩阵X，X^-1AX为对角矩阵，则称矩阵A可对角化。二、可对角化的条件1、（定理7）设σ为n维线性空间V的一个线性变换，则σ可对角化=σ有n个线性无关的特征向量。2、（定理8）设σ为雌线性空间V的一个线性变换，如果ε1，ε2，…εk分别是σ的属于互不相同的特征值λ1,λ2…λk的特征向量，则ε1，ε2，…εk线性无关。3、（推论1）设σ为n维线性空间V的一个线性变换，如果σ的特征多项式在数域P中有n个不同特征值，则口可对角化。特别地，（推论2）在复数域C上的线性空间中，如果线性变换σ的特征多项式没有重根，则σ可对角化。4、（定理9）设σ为线性空间V的一个线性变换，λ1,λ2…λk是σ的不同特征值，而εi1，εi2，…εir1是属于特征值λi的线性无关的特征向量，i=1，2,...,k，则向量ε11，ε12，…εk1,...,εkrk线性无关。参考资料来源：百度百科-对角化

矩阵的秩是弗罗伯纽斯提出的。在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯 (G.Frobenius,1849-1917) 的贡献是不可磨灭的。他讨论了最小多项式问题。引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念，以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论，并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。矩阵的秩：定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}。引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

符合零矩阵要求，即矩阵的秩等于0的充分必要条件是这个矩阵是零矩阵。参照定理：对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的 线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵 A称为 fA的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为 n减 f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于 f的像的维度。矩阵的秩学习在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。这是矩阵的秩的定义，但是看上去比较难以理解，因此，我打算从多种矩阵的角度来解答这个问题。一般的矩阵是mxn的类型，还有一种就是方阵，方阵就是特殊的矩阵，指的是行数和列数相等的矩阵，对于这两种矩阵而言，矩阵的秩也有着很大的区别。对于方阵(行数、列数相等)的A矩阵而言，矩阵的秩就是用R(A)来表示。

矩阵的秩计算公式：A=(aij)m×n。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。扩展资料：矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

矩阵 A 初等行变换为[ 1 -1 0 1][-1 2 1 -1][ 2 2 3 4]初等行变换为[ 1 -1 0 1][ 0 1 1 0][ 0 4 3 2]初等行变换为[ 1 -1 0 1][ 0 1 1 0][ 0 0 -1 2]R(A) = 3

矩阵的秩怎么求介绍如下：矩阵的秩计算公式：A=(aij)m×n。矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。扩展资料：矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

r(A,B)>=r(A+B)r(A,B)>=r(B)>=r(AB)r(AB)与r(A+B)没有直接关系。矩阵B可逆，AB的秩等于A的秩，那么A可逆的充要条件是A可以写成初等阵的乘积。AB等于B左乘初等矩阵，而左乘初等阵就是对B进行初等行变换，所以它的秩不变。而B可逆的充要条件是B可以写成初等阵的乘积，同理秩不变。矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。以上内容参考：百度百科-矩阵的秩

判断一个矩阵的秩是否为零实际上就是看这个矩阵是不是零矩阵即所有的元素都是0矩阵的秩等于0的充分必要条件就是这个矩阵是零矩阵只要有非零元素存在那就不会是零矩阵

行向量组或是列向量组的最大非线性相关向量的个数，也是行列规范化后非零的向量个数。比如(100，010，001)秩就是3，而（111，110，001）秩就是2。秩也可以理解成矩阵构成的线性方程解的个数a，秩为r，有n=a+r。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。即如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。扩展资料矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

首先应该是齐次的线性方程组。方程个数小于未知数个数即系数矩阵的秩小于未知数的个数。我觉得这样可能好理解一点的是系数矩阵的秩就是有效方程的个数。未知数的个数多余有效方程的个数自然有非零解。类似于X+Y=3 一个方程两个未知数X Y自然有非零解。重要定理每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

首先A只有是个方阵，R(A，B)与R(AB)才有意义。R(A，B)是矩阵(A，B)的秩R(AB)是矩阵AB的秩根本就是两个不同矩阵的秩，基本没有任何关联。

neng

把第一行的-2，-3倍加到第二、三行，得1 2 30 -1 -50 -5 -7，此矩阵对应的行列式的值=7-25=-18≠0，∴它的秩=3.

应该说在可对角化的条件下，矩阵的秩等于它的代数重数或几何重数的和。

E-A进行初等变化化为阶梯形矩阵，极大线性无关租就是该矩阵的秩

矩阵的秩 等于 矩阵的行秩 等于 矩阵的列秩此即所谓的三秩定理 若矩阵的秩等于它的列数, 则列向量组线性无关, 否则线性相关若矩阵的秩等于它的行数, 则行向量组线性无关, 否则线性相关

此种情况下，设A=仅有一个元素非零，r（a）还是==1，而A的非0特征值还是1个，（当然有很多重0特征值）

一个矩阵中行秩与列秩是相等的。 一般把矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目，类似地,行秩是A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵A的秩。通常表示为r(A)，rk(A)或rank A。m×n矩阵的秩不大于m或n的一个非负整数，表示为 rk(A) ≤ min(m,n)。有尽可能大的秩的矩阵被称为有满秩；类似的，否则矩阵是秩不足（或称为“欠秩”）的。计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。性质及定理定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B)。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）。

考虑秩的定义.若有某个矩阵系数不为0,则矩阵秩至少是1.因此矩阵秩为0当且仅当矩阵系数全部是0,或者说是0矩阵.

只要是矩阵都有秩，不需要可对角化这个条件

不一定。矩阵对角化后有多少行（列）的元素不全为零，则矩阵的秩是多少矩阵的秩指的是行向量（或列向量）的极大线性无关组的向量数量

矩阵的秩的定义，是经化为阶梯型矩阵后，非零行的个数。零矩阵非零行个数是 0， 则秩 为 0.

这里需要运用到分阵矩阵的公式。因为将A按列分块得 C = AB= (α1,.,αs) B ，根据分块矩阵的乘法公式，C 的第1列就等于 α1,.,αs 分别乘B的第1列的各元素之和。即 C 的第1列可由列向量线性表示。由矩阵乘法定义就很容易得到了，假设C的第一列列向量是［c1，c2……cn］，则该列向量等于A［b1，b2……bn］（这里是B的第一列列向量），则c1列向量就可用A的列向量全部线性表示。c的其他列向量可以以此类推。矩阵的秩定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。定理：初等变换不改变矩阵的秩。定理：如果A可逆，则r（AB）=r（B），r（BA）=r（B）。定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra，Rb}。引理：设矩阵A=（aij）sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

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