怎么求线性变换的值域和核 已知线性变换的矩阵形式 怎么求其值域和核

满足线性方程AX=0的解组成的集合就叫矩阵A的核。A的核是子空间，也叫A的零空间，它的维数加上A的秩等于A的阶数。

http://www.doc88.com/p-845684463313.html

求核空间Ker(A)的基相当于解线性方程组Ax=0，可以对A做初等行变换来实现求像空间Im(A)的基相当于求A的列的极大无关组，可以对A做初等列变换来实现

核矩阵是样本之间通过核函数影射之后得到的，每两个样本之间进行一次核函数影射，故N个样本就构成N*N维的核矩阵。

核空间维数是n-r(A)，即方程组Ax=0基础解系中解向量的个数

代数空间（线性代数是其中的一种）被映射到零元素的全体元素的集合叫做核，记为ker。集合A上被映射后的全体元素集叫做映射的象集，记为imA，显然集合A关于映射f的象集可以表示为imA=f(A)。ker的记号是一个线性映射，设为A，它是由数域K上的线性空间V1到V2的线性映射，则V2中的零向量在A下的原象集就是kerA；A的象集记为imA。扩展资料：线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。1、模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。2、多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。3、在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。解线性方程组的克拉默法则。判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。参考资料来源：百度百科——线性代数

核就是以矩阵为系数矩阵的齐次方程组的解集；值域就是先找出上述方程的解集的基；再找出包含这组基的线性空间的基；然后在线性空间的基里面去除解集的基,剩下的就是值域的基。线性映射（linear map），是从一个向量空间V到另一个向量空间W的映射且保持加法运算和数量乘法运算。线性映射总是把线性子空间变为线性子空间，但是维数可能降低。而线性变换（linear transformation）是线性空间V到其自身的线性映射。　线性代数研究的一个对象，向量空间到自身的保运算的映射。例如，对任意线性空间V，位似σk：aka是V的线性变换，平移则不是V的线性变换，若a1，…，an是V的基，σ（aj）＝a1ja1＋…＋anj（j＝1，2，…，n），则称为σ关于基｛a：｝的矩阵。对线性变换的讨论可藉助矩阵实现。σ关于不同基的矩阵是相似的。Kerσ＝｛a∈V｜σ（a）＝θ｝（式中θ指零向量）称为σ的核，Imσ＝｛σ（a）｜a∈V｝称为σ的象，是刻画σ的两个重要概念。 　　对于欧几里得空间，若σ关于标准正交基的矩阵是正交（对称）矩阵，则称σ为正交（对称）变换。正交变换具有保内积、保长、保角等性质，对称变换具有性质：〈σ(a)，β〉＝〈a，σ（β）〉。

矩阵的特征方程式是：A * x = lamda * x这个方程可以看出什么？矩阵实际可以看作一个变换，方程左边就是把向量x变到另一个位置而已；右边就是把向量x作了一个拉伸，拉伸量是lamda。那么它的意义就很明显了，表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长（或缩短）lamda倍，仅此而已。任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。扩展资料矩阵的意义上，先介绍几个抽象概念：1、核：所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落在了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是，核是“变换”(Transform)中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来在的空间。2、值域：某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来可能的位置，你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。3、空间：向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能）在空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。

A的值域是{y|y=Ax}A的核是{x|Ax=0}这种都是基础概念，随便找本线性代数的教材看看就行了

初等矩阵是指，由单位矩阵经过一次矩阵初等变换得到的矩阵。 初等变换有三种 （1）交换矩阵中某两行（列）的位置； （2）用一个非零常数k乘以矩阵的某一行； （3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行上去。 三类初等矩阵都是可逆矩阵，即非奇异阵。 三类初等矩阵行列式的值是： （1）：-1 （2）：k （3）：1编辑本段性质 1、单位矩阵第i,j两行（列）互换得到的方阵为Pij。将矩阵B的第i，j两行（列)互换所得矩阵B1，即有PijB=B1 2、单位矩阵第i行（列）乘以常数k得到初等方阵Di(k),将矩阵B的第i行（列）乘以k得到矩阵B2，即有B2=Di(k)B. 3、将单位矩阵的第j行（列）的k倍加到第i行（列）得到初等方阵Tij(k)，矩阵B的第j行（列）的k倍加到第i行（列）得到矩阵B3，即有B3=Tij(k)B。矩阵B的第i列的k倍加到第j列得到矩阵B3，即有B3=BTij(k).

变换应该是有无数种情况的，根据情况自己变化。

核矩阵反映了输入样本在特征空间的位置关系，如果你只是做简单的支持向量机应用，不涉及到核矩阵吧。这是我之前写的一小段代码，希望有帮助：clear;clc;load "meas.mat";meas=meas(7001:9000,:);species=species(7001:9000);%%数据太多内存不够用data = [meas(:,3), meas(:,4)];groups = ismember(species,"disjoint");[train, test] = crossvalind("holdOut",groups);cp = classperf(groups);svmStruct = svmtrain(data(train,:),groups(train),"Kernel_Function", "rbf","showplot",true);classes = svmclassify(svmStruct,data(test,:),"showplot",true);classperf(cp,classes,test);cp.CorrectRate%%正确率cp.DiagnosticTable%%%矩阵，格式可以去help里面查classperf

dimR(A)+dimK(A)=A的列数。也就是像的维数加上核的维数应该等于矩阵的列数。跟矩阵的秩没有直接关系。这个叫做线性变换的维数定理。《矩阵论》上都有的，可以去看看。我在此简单证明一下:设矩阵为A，它是一个n*s的矩阵，A的秩是r.(1)像的维数：A的像的全体就是A的列向量的线性组合。由于A的秩r，所以A的列向量的极大无关组有r个向量。A的像就是由这r个向量张成的空间。所以dimR(A)=r.(2)核的维数：核的维数就是Ax=0的解中基础解系的个数，由线性代数可知，dimK(A)=s-r.(3)由此得维数定理：dimR(A)+dimK(A)=s

A(i,:)-A(j,:)表示A矩阵的第i行减去第j行，得到的是一个行向量；norm函数是取2范数，也就是向量的各项平方求和再开方。（因此我觉得后面再^1/2开一次方好像错了，纯属个人猜测，说错误怪）对于两重for循环，i从1到m循环，对于每个i，j又从1到m循环。

初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。矩阵的逆矩阵怎么求运用初等行变换法。将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=（A，I]）对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。逆矩阵的性质1、可逆矩阵一定是方阵。2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

2范数和F范数是不同的。2范数表示矩阵或向量的最大奇异值，max⁡(svd(X))而F范数表示矩阵所有元素平方和的开方根。矩阵的f范数计算公式是矩阵的核范数：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩—低秩）。矩阵A的2范数就是 A乘以A的转置矩阵特征根 最大值的开根号如A={ 1 -2-3 4 }那么A的2范数就是（15+221^1/2)^1/2 了。

设计重要吗

n=rank(A)+dim(核)n阶方阵A的值域和它的核的交集为0矩阵,rank(A^T A)= rank(A A^T)=rank(A)=rank(A^T)这个条件是充要的A^T Ax=00=x^T A^T A x=|Ax|^2

初等矩阵都是可逆矩阵。是否可逆看它的行列式是否为零，因为初等矩阵行列式都为1，所以都可逆。初等矩阵是一个n阶单位矩阵E经过一次初等行变换。从正交矩阵的构成定理来看，要求矩阵里的每个元素的绝对值都不能够大于1，三类二阶及以上初等矩阵除掉单位矩阵显然均不会满足这一点。首先，初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。 初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。

定义一个矩阵A=[-1 2 -3;4 -6 6]。 矩阵的1范数 ：矩阵的每一列上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（列和最大），上述矩阵A的1范数先得到[5,8,9]，再取最大的最终结果就是：9。 矩阵的2范数 ：矩阵 A 的最大特征值开平方根，上述矩阵A的2范数得到的最大结果是：10.0623。 矩阵的无穷范数 ：矩阵的每一行上的元素绝对值先求和，再从中取个最大的，（行和最大），上述矩阵A的1范数先得到[6;16],再取最大的最终结果就是：16。 矩阵的核范数 ：矩阵的奇异值（将矩阵svd分解）之和，这个范数可以用来低秩表示（因为最小化核范数，相当于最小化矩阵的秩--低秩），上述矩阵A的最终结果就是10.9287。 矩阵的L0范数 ：矩阵的非0元素的个数，通常用它来表示稀疏，L0范数越小0元素越多，也就越稀疏，上述矩阵A最终结果就是：6。 矩阵的L1范数 ：矩阵中的每个元素绝对值之和，它是L0范数的最优凸近似，因此它也可以表示稀疏，上述矩阵A最终结果就是：22。 矩阵的F范数 ：矩阵的各个元素平方之和再开平方根，它通常也叫做矩阵的L2范数，它的优点在它是一个凸函数，可以求导求解，易于计算，上述矩阵A最终结果就是10.0995。 矩阵的L21范数 ：矩阵先以每一列为单位，求每一列的F范数（也可认为是向量的2范数），然后再将得到的结果求L1范数（也可以认为是向量的1范数），很容易看出它是介于L1和L2之间的一种范数，上述矩阵A最终结果就是：17.1559。 摘抄自： https://github.com/scutan90/DeepLearning-500-questions

没有矩阵卷积的,只有向量卷积.当然,如果你硬要把向量理解为一个1*n的矩阵,那也说的过去. 所谓两个向量卷积,说白了就是多项式乘法. 比如:p=[1 2 3],q=[1 1]是两个向量,p和q的卷积如下：把p的元素作为一个多项式的系数,多项式按升幂（或降幂）排列,比如就按升幂吧,写出对应的多项式：1+2x+3x^2;同样的,把q的元素也作为多项式的系数按升幂排列,写出对应的多项式：1+x. 卷积就是“两个多项式相乘取系数”. （1+2x+3x^2）×（1+x）=1+3x+5x^2+3x^3 所以p和q卷积的结果就是[1 3 5 3]. 记住,当确定是用升幂或是降幂排列后,下面也都要按这个方式排列,否则结果是不对的. 你也可以用matlab试试 p=[1 2 3] q=[1 1] conv(p,q) 看看和计算的结果是否相同.

换个芯片，有的芯片有，有的没有

a²-2a+e=0，所以可以得到(a+2e)*(a-4e)+9e=0即得到(a+2e)*(a-4e)=-9e所以(a+2e)*(-a/9+4e/9)=e那么就解得(a+2e)的逆矩阵为-a/9+4e/9

对于矩阵而言，矩阵范数真包含算子范数，也就是说任何一种算子范数一定是矩阵范数，但是某些矩阵范数不能作为算子范数（比如Frobenius范数）。

初等矩阵是指，由单位矩阵经过一次矩阵初等变换得到的矩阵。

两个子空间的和是直和等价于二者的交只有零向量.核像是直和等价于: 若Y满足AY = 0, 同时存在X使Y = AX, 则有Y = 0. 等价于: 若A²X = 0, 则AX = 0.由于AX = 0的解总是A²X = 0的解, 上述条件进一步等价于二者同解, 等价于r(A) = r(A²).学了Jordan标准型就会知道, 这一条件等价于0特征值的Jordan块都是1阶的.或者说0特征值的几何重数等于代数重数.作为特例, 可对角化的矩阵的所有特征值的几何重数都等于代数重数, 因此核和像是直和.直接证明也不难, 因为对角矩阵显然满足r(A) = r(A²), 而相似变换不改变秩.作为特例中的特例, 实对称阵是可对角化的, 结论同样成立.补一个证明.命题: A为n阶方阵, 则其0特征值的几何重数等于代数重数的充要条件为r(A) = r(A²).证明: ∵A²的特征值对应为A的特征值的平方, ∴A²和A的0特征值的代数重数相等.∵AX = 0的解总是A²X = 0的解,∴0对A的几何重数 ≤ 0对A²的几何重数 ≤ 0对A²的代数重数 = 0对A的代数重数.则若0对A的几何重数 = 0对A的代数重数, 有0对A的几何重数 = 0对A²的几何重数, 可得r(A) = r(A²).而若r(A) = r(A²), 全空间等于A的核和像的直和, 且二者均为A的不变子空间.A的特征多项式等于在二者限制的特征多项式的乘积.但∵A在像空间上的限制可逆, 无0特征值. ∴0对A的的代数重数 ≤ 核的维数 = 0对A的几何重数.又0对A的几何重数 ≤ 0对A的代数重数. 故二者相等.

用size函数可以求矩阵维数，用reshape可以改变数据维数。如：>> a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];>> size(a)ans = 3 3说明矩阵a是3行3列的。>> reshape(a,1,9)ans = 1 4 7 2 5 8 3 6 9可以讲数组a变成1行9列的。A[row column]=size(A)reshape要改变矩阵的维数可以直接加：A(m,:)=[ ];A(:,n)=[ ];

A是nxn的复数矩阵（元素都是复数的矩阵）.

大学怎么样

x2,x4叫自由未知量，取任何值都行，令x2=1，,x4=0，得到一组解(1,1,0,0) ，再令x2=0，,x4=1，得到一组解(1,0,-1,1) ，这两个解是线性无关的，核空间K（A）的维数=未知量个数-系数矩阵的秩=2，所以(1,1,0,0) (1,0,-1,1)就是核空间的一组基。

span（A）=R(A) ；生成子空间=矩阵A的列空间（非齐次线性方程组y=Ax的值域）；Ker(A)=N(A) ；矩阵A的核=矩阵A的零空间（其次线性方程组Ax=0的解）。完毕！详细解释见 矩阵论（南航）P.19

怎么求逆矩阵？初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。矩阵的逆矩阵怎么求运用初等行变换法。将一n阶可逆矩阵A和n阶单位矩阵I写成一个nX2n的矩阵B=（A，I]）对B施行初等行变换，即对A与I进行完全相同的若干初等行变换，目标是把A化为单位矩阵。当A化为单位矩阵I的同时，B的右一半矩阵同时化为了A的逆矩阵。逆矩阵的性质1、可逆矩阵一定是方阵。2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）。5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数 = n - r(A).其中n是未知量的个数 或 A 的列数.

核函数就是内积。故事应该从一个简单的二维世界讲起。从前有一个世界X，X里面有很多很多的数据点，这些数据点属于两个帮派，正类和负类。正类点居住在y轴右边，负类点居住在y轴左边，他们以y轴为分界线，泾渭分明，互不侵犯。突然有一天，不知道是X纪年的几年几月几日，负类开始大举进攻正类领地的第四象限。正类很快失去了很多领地，又被迫签订了和平条约，从此X世界的居民们发现了一个问题，他们不能再用y轴作为国界了！还好，在负类点中有一位聪明的数学家，他发现两国的地盘可以用一条直线分开，把平面上每一点坐标放进直线方程ax+by+c里，如果大于零，这就是正类的领地，小于零是负类的领地，中间这条线后来被命名为分类面，于是X世界里第一个线性分类器诞生了。有了数学的帮助，X世界太平了很多年。然而好景不长，贪得无厌的负类君主再一次发起了远征，这一次他们占领了第一象限之外的大量领土，吞并了整个第四象限。然而由于进军过于激进，导致战线过长，负类远征的脚步也不得不停滞于此，开始休养生息。但是国界怎么办呢？聪明的数学家苦思冥想，发现这么一个事实：之前两国的分类面是直线时，分类面可以用分类面两侧的两个点（两点中垂线是分类面）表示。如果叫这两个点(x+,y+),(x-,y-)的话，那么正类领地的所有点和(x+,y+)的内积都大于它们和(x-,y-)的内积；反之对负类领地也成立。数学家还发现，对于任意一群世界X中的点，(x+,y+)和(x-,y-)都能表示成它们的线性组合，对于一个新来的点，它和这两个点的内积就可以表示成所有点和所有其它点的内积的加权和。所以给定一些两个国家的点之后，我们可以计算两两点之间的内积，并把分类面表达成这些内积的线性加权和。后来人们把这些点的内积放在了一个矩阵里，并叫它核矩阵，核矩阵定义了世界的分类。在这个核矩阵里，矩阵里每个点的值是两个X世界点的线性内积，它定义的分类面在原来的X世界里是一条直线，所以这个核矩阵后来被成为线性核矩阵，而以两个点生成矩阵中每个点的映射被成为线性核函数。这个发现可不得了。等数学家发现这一点之后，负类的领地已经进一步扩张了，现在正类的领地已经只剩下第一象限里一个抛物线的内部了。但有了新的核理论，这个国界问题难不倒数学家，他定义了一个映射，把X世界的点映射到的四维世界，把这个世界的内积定义为新的核函数，在两个类的领地分别取了几个点作为基础之后，一个抛物线的分类面就被定义了出来。这是X世界里第一个被成功推导并得到公认的非线性分类面，而这里用到的核函数是上述映射的内积，也就是点坐标的多项式表示，所以这个核函数（矩阵）又被称为多项式核函数（矩阵）。历史总是一遍遍重演，但这一次正类将历史推动到了前所未有的境地。X纪年若干年后的某一天，负类境内的第三象限突然因为正类策反发生哗变，同时正类也大举进攻第一象限的负类领地，希望收复失地。经过若干年的战争，最后两类将领地用第一、三象限的两条双曲线隔开，负类保有包括原点在内的第二、四象限和坐标轴附近的区域；正类则占领了第一、三象限的大部分。现在的问题是，这么一来国界要怎么划分呢？这回一个来自正类世界的懒惰的数学家想到了一个基于核方法的解决方案：我们不如跳过映射和内积的步骤，直接定义一个核函数吧！这种异想天开的方法被负类数学界嗤之以鼻，但在正类却大获成功。很快正类的数学家们发现两点之间距离的平方的指数的倒数（其实没这么复杂，就是正比于两点距离所定义的高斯概率）是一个不错的核函数，这样在分类面附近两类中分别选一些点，就可以定义任意的非线性分类面了。为了纪念这个伟大的正类数学家，后世用这位数学家生平最喜欢的三种食物：拉面、牛肉和和薯条命名了这个核函数，称之为RBF核（误）。这个发现为推动后来两类数学界的统一做出了巨大的贡献，而发明RBF核的数学家也因为一句“数学家是有分类的，但数学是无分类的”的名言获得了菲尔茨和平奖（误）。至于内积？后来有负类的数学家研究了一下RBF核是否对应一个向量映射，结果是如果想把RBF核表达成一个向量内积，我们需要一个映射将向量映射到一个无穷维的线性空间去。发现了这一点的数学家又发展了Mercer定理和重建核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space）理论，但这就是另外一个故事了。=======================故事都是扯淡的，但数学道理大概是这么个回事儿，看看就好莫认真…

kernel 和 SVM 完全是两个正交的概念，早在SVM提出以前，reproducing kernel Hilbert space（RKHS）的应用就比较广泛了。一个经典的例子就是信号处理中signal detection的问题：给一条time series我如何知道它不是一个random walk的噪音而是有一个特定的pattern在里面呢？在这个情景下，RKHS理论就给出了一个通过现实求解likelihood ratio的假设检验方案，其中的kernel实际上是某个随机过程 R(t) 在两个不同时间点的correlation。很多人觉得kernel定义了一个从低维度到高维度的映射，这是不准确的。首先，并不是所有空间都像欧式空间那样有所谓“维度”的良好定义，很多空间是没有维度的意义的，或者可以认为维度都是无穷大，这样就无法区分不同的RKHS了。但是kernel确实可以定义一个映射，而且确实是一个非常强大的映射，很多方法在这个映射下是可以直接推广到kernel space的，包括SVM，logistic regression, least squre，dimension reduction。我略过数学的setup（估计也没有人看）简单讲讲RKHS是什么一个故事：实际上RKHS的定义是反过来的，首先在原空间上考虑所有连续函数，这些连续函数可以做加法和数乘，所以真主给他们（中的一部分）施加一个内积结构，比如所有二阶多项式其系数在欧式空间展开构成的内积就是高票主提供的例子；这个内积实现中的一部分就可以对应到原空间中的两两之间点的kernel。所以RKHS是先有内积才有kernel的，但是另个一个牛逼的定理说，只要kernel满足一些条件，就存在这样一个（唯一的）内积结构与之对应。

核矩阵是样本之间通过核函数影射之后得到的，每两个样本之间进行一次核函数影射。人们把这些点的内积放在了一个矩阵里,并叫它核矩阵,核矩阵定义了世界的分类。在这个核矩阵里,矩阵里每个点的值是两个x世界点的线性内积。

核空间的定义是满足线性方程ax=0的解组成的集合。矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。相关如下矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换。

求核空间Ker(A)的基相当于解线性方程组Ax=0，可以对A做初等行变换来实现 求像空间Im(A)的基相当于求A的列的极大无关组，可以对A做初等列变换来实现

核矩阵是样本之间通过核函数影射之后得到的，每两个样本之间进行一次核函数影射。　　人们把这些点的内积放在了一个矩阵里,并叫它核矩阵,核矩阵定义了世界的分类。在这个核矩阵里,矩阵里每个点的值是两个X世界点的线性内积。

代数空间（线性代数是其中的一种）被映射到零元素的全体元素的集合叫做核，记为ker。集合A上被映射后的全体元素集叫做映射的象集，记为imA，显然集合A关于映射f的象集可以表示为imA=f(A)。ker的记号是一个线性映射，设为A，它是由数域K上的线性空间V1到V2的线性映射，则V2中的零向量在A下的原象集就是kerA；A的象集记为imA。扩展资料：线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支。1、模论就是将线性代数中的标量的域用环替代进行研究。2、多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念。3、在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵。每一个线性空间都有一个基。对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。解线性方程组的克拉默法则。判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系。参考资料来源：百度百科——线性代数

核N(A)，是线性方程组AX=0的基础解系构成的线性空间。与线性变换的核N(δ)，应该是同构的，零度相同（维数相同）

核空间的定义是满足线性方程ax=0的解组成的集合。矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。相关如下矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换。

第一题为0,2,1////1,-4,0/////3,0,0| 0, 2, 1|| 1,-4, 0|=12≠0| 3, 0, 0|∴ e1、e2、e3就是Av的一组基。维数为3.A^(-1)(0)=φ,维数为0.

1、首先：初等矩阵都可逆；2、其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。3、初等矩阵是由单位矩阵经过一次三种矩阵初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。初等变换有三种： （1）交换矩阵中某两行（列）的位置；（2）用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；（3）将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。扩展资料：初等矩阵的应用：1、在解线性方程组中的应用初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。2、用于求解一个矩阵的逆矩阵有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

矩阵的特征方程式是：A * x = lamda * x这个方程可以看出什么？矩阵实际可以看作一个变换，方程左边就是把向量x变到另一个位置而已；右边就是把向量x作了一个拉伸，拉伸量是lamda。那么它的意义就很明显了，表达了矩阵A的一个特性就是这个矩阵可以把向量x拉长（或缩短）lamda倍，仅此而已。任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。扩展资料矩阵的意义上，先介绍几个抽象概念：1、核：所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落在了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是，核是“变换”(Transform)中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来在的空间。2、值域：某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来可能的位置，你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。3、空间：向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能）在空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。

矩阵的核空间是满足线性方程ax=0的解组成的集合。矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。矩阵的一个重要用途是解线性方程组。线性方程组中未知量的系数可以排成一个矩阵，加上常数项，则称为增广矩阵。另一个重要用途是表示线性变换。

矩阵初等行（列）变换有3种情况：1、某一行（列），乘以一个非零倍数。2、某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）。3、某两行（列），互换。对矩阵A作一次初等列变换相当于在矩阵A的右边乘了一个初等矩阵，对矩阵A作一次初等行变换，相当于在矩阵A的左边乘了一个初等矩阵。扩展资料应用1、在解线性方程组中的应用初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。2、用于求解一个矩阵的逆矩阵有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。参考资料来源百度百科-初等矩阵

T的核为线性方程组Ax=0的解集.T的值域为A的列向量的最大无关组为基的线性空间.

矩阵初等行（列）变换有3种情况：1.某一行（列），乘以一个非零倍数2.某一行（列），乘以一个非零倍数，加到另一行（列）3.某两行（列），互换