水货求解，如何求一个矩阵的左零空间和右零空间

零空间就是求Ax=0的解A化成最简型：1 0 2 0 10 1 3 0 00 0 0 1 4所以Ax=0的解是：[x1,x2,x3,x4,x5]" = x3[-2 -3 1 0 0]" + x5[-1 0 0 -4 1]"所以零空间为这两个向量张成的空间：span([-2 -3 1 0 0]",[-1 0 0 -4 1]")

零空间是在线性映射（即矩阵）的背景下出现的，指：像为零的原像空间，即{x| Ax=0}。在数学中，一个算子 A 的零空间是方程 Av = 0 的所有解 v 的集合。它也叫做 A 的核，核空间。如果算子是在向量空间上的线性算子，零空间就是线性子空间。因此零空间是向量空间。性质：如果A是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做A的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵A的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解(完全解)。如果 x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果Ay=b，且Av=0，则明显的A(y+v) =Ay+Av=b+0=b。所以y+v也是Ax=b的解。在其他方向上，如果我们有对Ax=b的另一个解z，则A(z−y) =Az−Ay= b−b = 0。所以向量u=z−y在A的零空间中而z=y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解y。

不知道你问的是不是零空间。线性代数中，零空间是针对矩阵提出的。一个矩阵A（mxn）的零空间（Null A）指的是所有满足AX=0的X的集合。（X∈R^n）零空间的基：将【A 0】行简化成阶梯型后，将解用参数向量形式表示出来，用自由变量代替主元。{x1}X= {x2} = ...... ，其中全部自由变量前面的向量构成的集合就是A零空间的一组基。{x3}拓展知识：1.A零空间一组基里面向量的个数=A零空间的维数（dimA）2. A零空间维数=行简化后A总共的自由变量个数3.A列空间维数=行简化后A主元列数量=行简化后A主元个数4.最重要： A列空间维数+A零空间维数=A主元数量+A自由变量数量=A总列数

零空间就是齐次线性方程组Ax＝0的全部解,基就是基础解系,维数是n－r(A),n是未知元的个数,r是A的秩.

行秩和列秩统称为矩阵的秩。矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩。矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩。可以证明：对于任何矩阵有，行秩=列秩。由此，行秩和列秩统称为矩阵的秩。 矩阵的秩用R(A)表示。 矩阵的零空间指的是方程AX=0的解空间。 方程AX=0的所有解组成一个线性空间，这个线性空间称为解空间，也称为矩阵A的零空间。 矩阵的零空间的秩用N(A)表示。 dim表示的是空间维数，也就是表示该空间的矩阵的秩。因为维数就是用基向量的个数来定义的，而基向量的个数就等于矩阵的列向量的秩，也就是矩阵的秩。

好像有个矩阵的零度，没听过零空间（可能叫法不同吧）即 将一个线性空间经过该矩阵变换，所得零向量的原像的维数叫做矩阵的零度

零空间就是求Ax=0的解A化成最简型：1 0 2 0 10 1 3 0 0 0 0 0 1 4所以Ax=0的解是：[x1,x2,x3,x4,x5]" = x3[-2 -3 1 0 0]" + x5[-1 0 0 -4 1]"所以零空间为这两个向量张成的空间：span([-2 -3 1 0 0]",[-1 0 0 -4 1]")

零空间不一定只有零向量。若detA不为零，则NulA={0}

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n,则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底.矩阵的行秩等于列秩.来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型,发现该矩阵的秩为3.那么,这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底,这个矩阵只有3个行向量,那这三个行向量就是基底.然后看列空间,第一列与第四列明显线性无关.记这两条列向量为a1,a4,为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关,做出假设,a2与a1,a4线性相关,则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2.得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4,光看前两个式子就知道这样的x,y不存在.所以a1,a2,a4线性无关,所以a1,a2,a4就是列空间的基底.这个方法是极为快速简洁的方法,总比换底公式快的多的多.零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵1 3 -2 10 -5 7 00 0 16 4令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底.实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系

零空间，是Ax=0基础解系b1=（2，2，1，0）^T, b2=（3，1，0，1）^T构成的线性空间。设矩阵B=(b1,b2)^T那么解线性方程组，Bx=0，得到的基础解系，拼成矩阵，就是所求的一个矩阵。因此得到矩阵C：

把新基{b1,b2,...,bn}用老基{a1,a2,...,an}线性表示。{b1,b2,...,bn}={a1,a2,...,an}T矩阵T就是从{a1,a2,...,an}到{b1,b2,...,bn}的过渡矩阵

根据矩阵相乘的性质有：m×n与n×s矩阵可以相乘，且矩阵为m×s阶矩阵。A×B为3×3阶矩阵，A×B×C为3×3阶矩阵，故ABC矩阵运算可行。扩展资料：矩阵是一个工具，它可以描述的东西有很多，比如：1、线性变换2、线性方程（很多教材都是从这里开始写矩阵的）3、用于表示一些代数4、排列数（permutation）5、可达性（图论）6、以及很多应用上，比如层次分析法中的比较矩阵、神经网络中数据传递的过程等等人并不能直接看到抽象的事物（就好比说变换、方程、代数等等），必须要用一些具体的表现工具将其刻画出来。而矩阵就是其中的一个工具（其实还有其他对线性变换的刻画）。矩阵可以用在很多地方：例如通信中信道传输用到了信道矩阵、线性码结构的定义（用一个矩阵来生成一组编码，编码为该矩阵的零空间），以及研究周期序列的递推关系时，需要用到矩阵。

第一部分：矩阵基本知识一、矩阵的创建直接输入法利用Matlab函数创建矩阵利用文件创建矩阵二、矩阵的拆分矩阵元素矩阵拆分特殊矩阵三、矩阵的运算算术运算关系运算逻辑运算四、矩阵分析对角阵三角阵矩阵的转置与旋转矩阵的翻转矩阵的逆与伪逆方阵的行列式矩阵的秩与迹向量和矩阵的范数矩阵的特征值与特征向量五、字符串六、其他第二部分 矩阵的应用一、稀疏矩阵稀疏矩阵的创建稀疏矩阵的运算其他二、有限域中的矩阵内容第一部分：矩阵基本知识（只作基本介绍，详细说明请参考Matlab帮助文档）矩阵是进行数据处理和运算的基本元素。在MATLAB中a、通常意义上的数量（标量）可看成是”1*1″的矩阵；b、n维矢量可看成是”n*1″的矩阵；c、多项式可由它的系数矩阵完全确定。一、矩阵的创建在MATLAB中创建矩阵有以下规则：a、矩阵元素必须在”[ ]”内；b、矩阵的同行元素之间用空格（或”,”）隔开；c、矩阵的行与行之间用”;”（或回车符）隔开；d、矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；e、矩阵的尺寸不必预先定义。下面介绍四种矩阵的创建方法：1、直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素，输入的方法按照上面的规则。建立向量的时候可以利用冒号表达式，冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是： e1:e2:e3，其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。还可以用linspace函数产生行向量，其调用格式为：linspace(a,b,n) ，其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。可以看出来linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。2、利用MATLAB函数创建矩阵基本矩阵函数如下：(1) ones()函数：产生全为1的矩阵，ones(n)：产生n*n维的全1矩阵，ones(m,n)：产生m*n维的全1矩阵；(2) zeros()函数：产生全为0的矩阵；(3) rand()函数：产生在（0，1）区间均匀分布的随机阵；(4) eye()函数：产生单位阵；(5) randn()函数：产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。3、利用文件建立矩阵当矩阵尺寸较大或为经常使用的数据矩阵，则可以将此矩阵保存为文件，在需要时直接将文件利用load命令调入工作环境中使用即可。同时可以利用命令reshape对调入的矩阵进行重排。reshape(A,m,n)，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m*n的二维矩阵。

那么我们如何求解 呢？还是使用消元法，之前我们说使用消元法求解方程 时，我们对一种情况是无法处理的，那就是矩阵 不可逆的情况，之前对这种情况的解释是 求出的解不唯一 ，这其实正好对应了现在我们所认识到的“空间”的概念。我们从最简单的零空间（ ）的计算谈起。 例1： ，求 中的 构成的零空间 先将方程写出，如下 首先观察矩阵 我们发现，第三行是前两行的和，这意味着即使主元为 ，我们也得继续消元下去。那么按部就班，有 在消元的过程中，我们发现矩阵 的 主元（Pivot） 数量为 （ 和 ），主元的个数称为矩阵的 秩（Rank) ，因此在本题中矩阵 的秩为 。 接下来就是回代求解了，由于消元得到的 不是一个严格的上三角矩阵，对角线上的 给我们造成了解不唯一的麻烦，所以这里我们先来声明几个概念 中，列 和 被称为 主列（Pivot Columns，主元所在的列） ，其余两列 和 被称为 自由列（Free Columns） ，所谓自由列就是表示其对应的未知变量 （ 表示自由列是第 列）可以被任意分配值。因为回代求解时，只有主列对应的未知数的解有确定值。因此矩阵 中的 主变量（主元） 为 和 ， 和 为 自由变量 。 （1）我们假设，令 ，代入方程 解得 因此当 时，解向量为 ，这只是零空间中的一个解，这个解表示 倍的列 倍的列 ，如果想找出更多零向量中的解，我们只需要求它的倍数，所以 ，这是一条在四维空间中无限延伸的直线，但它不是整个零空间。 （2）我们再令 ，代入方程 解得 因此当 时，解向量为 ，因此另一条在四维空间中的直线为 那么还能为 赋其他值吗？很明显其他情况都可以被 和 的线性组合所涵盖，所以这两个解向量足够代表空间的特征了，我们称这两个解向量为 特解 ，其特殊之处在于我们给自由变量赋值为 和 。通过特解的任意倍的线性组合，可以构造出整个零空间。因此便得出了矩阵 的零空间 对于一个 的矩阵A，若其秩为 ，那么意味着其主变量为 个，而自由变量为 个。也就是说，只有 列起作用。我们需要先对矩阵 进行消元，得到 个主元，由于有 个变量 ，我们再将其中的 个自由变量依次赋值为 。接着求解方程的特解，将特解的任意倍进行线性组合即可得到矩阵 的零空间。 尽管上面的消元法看上去已经很完美了，但事实上仍有化简的余地，最后得到的 矩阵仍可以被进一步化简。我们以上文中的 为例，继续化简的目标是令对角线上的主元为1，并且通过列交换将主元放在一起，把自由列放在一起来构成新的矩阵，操作如下 也就是说最终我们能将上三角矩阵 化简成矩阵 ，矩阵 的一般形式为 其中， 表示主列，由于 个主列的主元被化简成了 ，因此这部分变成了 维单位矩阵， 表示自由列，共有 个自由列。有了矩阵 我们可以改写 的表达形式 这里的 为零空间矩阵，即各列向量由特解组成的矩阵 需要注意的是，这里的单位矩阵和矩阵 中的有所不同，这里的 是 维的，是将 个自由变量分别赋值为 或 得到的。将上文中的示例代入到 和 ，得到 由于 和 是主列， 和 是自由列，因此只需交换零空间矩阵中的第2、3行即可得到特解 和 。 因此将矩阵 化简称矩阵 可以直接求解零空间。 我们用下面一个例题来试验一下： 例 ，求解 中 构成的零空间。 （1）将 消元为 ： （2）将 化简为 ： （3）得到零空间矩阵 ： （4）得到零空间： 对于 我们知道这个方程不一定有解，在之前的章节中说明了 是否有解取决于 是否在 的列空间中，我们再通过一个例子来说明一下 例 求方程 的可解条件。 在这个方程中，观察矩阵A，发现矩阵中第三行为第一行和第二行的和。根据之前的Gauss-Jordan消元法，我们可以得到 代入方程，会发现最后一行 ，这一行方程必须成立，因此这一行就是方程的可解条件。同时，它还反映了 向量的第三个分量是前两个分量之和，这也与矩阵 的特点一致，这也印证了 是否有解取决于 是否在 的列空间中。 结合之前的章节总结出 有解条件： 接下来介绍通解和特解，通解就是满足方程所有的解，将“无穷解”用一种形式表达出来，对于 这个方程 因为矩阵零空间向量代入方程最后结果等于 ，所以它不会影响等式，而是把方程的解向量扩展到一个类似子空间上，使我们求出的解更具有普遍意义，而求解零空间我们在上文也已经介绍，下面我们只需要关注如何求特解即可。在之前求解 方程的特解时，我们分别将自由变量赋值为 或 ，得到 观察这个表达式会发现，只要将系数 和 定为 就可以得到零空间中的零向量，而且我们不能在求解 时将自由变元都赋为 。但是在 中，只要 不是 ，我们就可以将自由变元全部赋为 ，使用此方法即可得到特解。 接下来补充上述例题中方程的条件 Gauss-Jordan消元后得到 将 回代方程得到 解得特解为 利用上一节的知识我们很容易求出 的零空间为 因此 的解为 这个解集在几何角度的解释是 上的一个不过原点的二维平面，显然这个解集无法构成一个向量空间，因为解集中不包含零向量。 我们在消元求 的过程中会发现，矩阵的秩对最后解的形式有着重要的影响，下面我们来总结一下其中的规律。 对于 的矩阵 ，列满秩时，意味着没有自由列， ，此时零空间中只有零向量（不需要求零空间）， 的解要么有解且唯一（特解 ），要么无解。例如 消元，由于两列线性无关，因此只有两个主元，逐行减去第一行的若干倍，行三和行四清零，得到第二个主元，然后各行都减去第二个主元的若干倍，最终第二个主元化为 的得到矩阵 对于 的矩阵 ，行满秩时，意味着有 个主元（每一行各一个）， ，此时自由变元有 个，必然有解而且有无穷多解，例如 最后我们会消元得到 对于 的矩阵 ，行列满秩时，意味着矩阵可逆， ，此时自由变元有 个，经过消元，最终矩阵可化为单位矩阵 ，即一个全是主元的方程组，最终只能有一个唯一解。例如 最后消元得到 对于 的矩阵 ，不满秩时，意味着通过消元最终会得到 ，因此方程的解要么无解，要么无穷多解（特解+零空间所有向量） 综上所述，会发现自由变量总为 个，所以通过判断自由变元的个数可以初步判断 的解的结构：如果没有自由变元，意味着方程的解唯一或者无解；如果存在自由变元，意味着方程的解有无穷多解或者无解。也就是说，自由变元是否存在决定了方程的解是否唯一。另一点是，可以通过观察消元后矩阵 是否存在 行来进一步判断方程是否有解：如果矩阵 中没有零行时，意味着方程一定有解；如果存在零行，则需要考虑方程是否满足可解条件。 除此之外，我们还发现了零空间实际上就是用来判断矩阵 的各列向量是否是线性无关的，如果各列向量是线性无关的，那么零空间中只有零向量，如果各列向量是线性相关的，那么零空间中除了零向量还有其他向量。因此零空间反映的就是 各列向量的线性组合。 当我们求解方程时，例如 矩阵表达如下 除了使用消元法或判断矩阵是否满秩以外，我们还可以从列空间的角度来看这个方程，改写一些这个矩阵表达如下 那么我们判断这个方程是否有解的条件实际上就是判断向量 是否在以向量 和向量 构成的列空间中，换句话说，向量 是否可以表达成向量 和向量 的线性组合。由于向量 和向量 是线性无关的，因此可以张成一个二维平面，而向量 只是其中的一个二维向量，因此可以推断出方程一定有解。

一个世界，什么也没有，就像一张白纸，或者颜色也没有

矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩。矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩。可以证明：对于任何矩阵有，行秩=列秩。由此，行秩和列秩统称为矩阵的秩。矩阵的秩用R(A)表示。矩阵的零空间指的是方程AX=0的解空间。方程AX=0的所有解组成一个线性空间，这个线性空间称为解空间，也称为矩阵A的零空间。矩阵的零空间的秩用N(A)表示。dim表示的是空间维数，也就是表示该空间的矩阵的秩。因为维数就是用基向量的个数来定义的，而基向量的个数就等于矩阵的列向量的秩，也就是矩阵的秩。

设W为向量空间 V 的一个非空子集，若W在 V 的加法及标量乘法下是封闭的，且零向量0 ∈ W，就称W为 V 的线性子空间。给出一个向量集合 B，那么包含它的最小子空间就称为它的扩张，记作 span(B)。另外可以规定空集的扩张为{0}。 给出一个向量集合 B，若它的扩张就是向量空间 V， 则称 B 为 V 的生成集合。给出一个向量集合 B，若B是线性无关的，且B能够生成V，就称B为V的一个基。若 V={0}，唯一的基是空集。 对非零向量空间 V，基是 V 最小的生成集，也是极大线性无关组。如果一个向量空间 V 拥有一个元素个数有限的生成集，那么就称 V 是一个有限维空间。向量空间的所有基拥有相同基数，称为该空间的维度。例如，实数向量空间：R0, R1, R2, R3, …中， Rn 的维度就是 n。空间内的每个向量都有唯一的方法表达成基中向量的线性组合。而且，将基中向量进行排列，表示成有序基，每个向量便可以坐标系统来表示。

N(A)指的是A矩阵的零空间，A的核，也就是Ax=0的解组成的空间，而R(A)指的是矩阵A的秩，也是A的列空间和值空间，所以R(A)属于N(A)。

不一样。零空间和零子空间不一样。因为零空间对于矩阵，这个向量空间而言，是子空间。大小就不一样。变换后。使得落在原点的向量的集合，零空间称为“零空间”或者“核”。 再通俗就是一个矩阵通过“一个地方”里面的任意一个向量。

1，已知：N(A) = {x|Ax = 0} ，我们设V(A) = {x | Ax = 任意n维向量Rn } ，所以有N(A)从属于V(A).再令N(A)的线性空间为L(a0, a1, ...,as),其中a0,a1,....as为线性空间的一组基，将其扩充为V（A）的基有V(A) = L(a0,a1,...as, b0,b1, ... bt). 显然s + t = n，dimN(A) = s。又对于R(A)中的任意向量r均存在一个向量x0属于V(A)使得r = Ax0 成立,而x0=k0*a0+k1 * a1 + ...ks * as + q0 * b0 + q0 * b1 +...+qt * bt (ki qi 均为常数)即 r = A * （k0*a0+k1 * a1 + ...ks * as + q0 * b0 + q0 * b1 +...+qt * bt）又A * ai = 0所以有 r = A * （q0 * b0 + q0 * b1 +...+qt * bt）= q0 * Ab0 + q0 * Ab1 +...+qt * Abt因为b0，b1, ...bt线性无关，所以Ab0， Ab1， ... ，Abs线性无关，因此r所在线性空间为L（Ab0， Ab1， ... ，Abs）=R(A)因此有dirR(A)= t. 从而dimR(A)+dimN(A)=n得证.2，将A化为对角阵，则N(A) = {∑ki * ei | 单位向量ei对应下标i正好满足矩阵第i列元素全为0，ki 属于任意实数}

0特征值对应的特征向量即为该矩阵的零空间，通俗讲也是该矩阵对应线性方程组的齐次解空间。特征值是指设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。相关应用设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所得到的向量和X仅差一个常数因子，即AX=kX，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量（eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量（正）所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。

因为是零空间。最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理空间的维数为n则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底矩阵的行秩等于列秩，在物理学上，科学家们给其的定义也是很矛盾的，它是一个既存在，但是又不存在的一个点！在这个点上，空间和时间也都是具有无限的区域的，可以终结时间和空间。维数是数学中独立参数的数目，在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目，0维是一个无限小的点，没有长度，1维是一条无限长的直线，只有长度，2维是一个平面，在是由长度和宽度组成面积。

4个基本子空间由以下组成： 基：从基出发构建 与 维空间中存在2个维数，一个是 维的 子空间(行空间) ，另一个是 维的 零空间 维空间中存在2个维数，一个是 维 子空间(列空间) ，另一个是 维的 左零空间 一组基，对于 还是 来说都是行最简形， 的前 行(秩个数)，不是 的前 行 怎样的线性组合使 的行向量结果为0。 的各行都是行基的线性组合，为什么此基的生成空间是行空间？ 如果 ，那么向量 就在 中的转置矩阵的零空间里，这表示矩阵乘以列向量等于一列零向量 矩阵的自由变量以及特殊解（对 而言） 将 化简为 的步骤，能揭示左零空间的秘密： 记录 的第步消元变换，行初等变换。

零空间是 AX=0 的向量 X 构成的吧当A满秩时, AX=0 只有零解所以零空间只含一个零向量

这一节主要是说明几个向量空间，关系到后面正交矩阵、线性拟合等感性上的理解 简而言之向量空间 包含了所有含有 个分量的向量。那 向量空间内 就很好理解了，就是任何 空间内的向量， 相加，乘以系数 （即线性组合），其结果依旧在这个空间内。 那么子空间呢？ 子空间就是一组满足其 线性组合 依旧在该集合内的向量集合（包含0） 最重要的子空间直接跟矩阵 相关。 对于 考虑如果A是非可逆矩阵，那么必然有一些 是可解的，一些 是不可解的，那么对于这些可解的 ，其只是矩阵 中的列向量的线性组合。这些 组成 的列空间。 记做 顾名思义，零空间就是 的时候，所有的解 所组成的空间。 问题来了，对于可逆矩阵而言，零空间有几个向量？没错，答案就是1。因为对于可逆矩阵而言， 只有唯一 这个解。 记做 如何通过消元法求出所有的 解呢？ 如前文所述，线性组合就可以表示为向量空间，那么，对于表达式 而言，必然存在 个特殊解。用特殊解的线性组合就可以构造出所有的满足 的解，自然也就是零空间了。 矩阵 的秩(rank)就是主元素(pivot)位置非零的数量，记做 注意哦，这里的矩阵 不一定是可逆矩阵呢。那么，如何求解出所有的 的解呢？ 独立向量就是矩阵中那些不能由其他列线性组合得到的列。这些独立向量构成了空间。因为依赖列其实没有起任何作用，他们可以由独立向量线性组合得到。 矩阵的基可以理解为一组满足条件 1.相互独立2.构成整个空间 的向量集合 空间的维数等于这个空间的基的数量 列空间 零空间 行空间 转置矩阵零空间 思考：各子空间的关系 直接放图

召唤一个矩阵 ，若存在一个非零列向量 ，和常数 ，使得 （即特征方程），则称 拥有特征向量 ，以及特征值 。 先召唤一个矩阵 由 得到 。 上式如果需要有非零解，则要求 。 即有： 继续计算，这里会得到一个多项式（即特征多项式）： 故 特征值 为1。 接下来把1代入 ，化简得到 求该矩阵的零空间为 这样就计算出了所有的特征向量。 首先介绍一个引理 对比两式即可。 满足： . 求 的一个特征值

A不存在. 注意:A 的零空间中的向量与A的行向量正交,即内积等于0 由于(0,1,0)^T 属于A的零空间 所以A的第2列元素都是0. 1 a 0 1 b 1 1 c 1 且 a=b=c=0 但此时 (1,0,1)^T 必不满足与A的行向量正交 所以这样的A不存在

几乎所有的向量在乘以矩阵 AA 后都会改变方向，某些特殊的向量 xx 和 AxAx 位于同一个方向，它们称之为特征向量。Ax=λxAx=λx数字 λλ 称为特征值。它告诉我们在乘以 AA 后，向量是怎么被拉伸、缩小、反转或者不变的。 λ=0λ=0 意味着特征向量存在于矩阵的零空间中。任意向量都是单位矩阵的特征向量，因为 Ix=xIx=x，其特征值为 1。要计算特征值的话，我们只需要道 det(A−λI)=0det(A−λI)=0 即可。

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n，则空间内零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵 1 3 -2

零空间维数也叫零度，本文写的也就是零度的几何意义。假设零度为0，那么他的几何意义代表的就是一个点。零度为1，代表一条线。零度为2，代表一个平面。零度为3，代表一个空间。零空间性质：如果A是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做A的零化度（nullity)。这可以计算为在矩阵A的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩——零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解（完全解）。如果x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。要证明这一点，我们考虑每个方向。在一个方向上，如果Ay=b，且Av=0，则明显的A(y+v) =Ay+Av=b+0=b。所以y+v也是Ax=b的解。在其他方向上，如果我们有对Ax=b的另一个解z，则A(z−y) =Az−Ay= b−b = 0。所以向量u=z−y在A的零空间中而z=y+u。所以任何解都可以表示为一个零空间中的向量加上特定解y。如果一个线性映射A是单同态，则它的零空间是零。因为如果反过来它的零空间是非零，由类似上面的方法可以得出Ay=b的解不止一个，也就是说线性映射A不是单射了。如果映射是零映射，则零空间同于映射的定义域。

零空间就是齐次线性方程组Ax＝0的全部解,基就是基础解系,维数是n－r(A),n是未知元的个数,r是A的秩.

维度，就是从一维开始的。假设A是nxn矩阵，那么r(A)=n说明A满秩。零空间={x|Ax=0}，由于A满秩，故x只有零解，这是由定义推导的。零空间的维数=dim({0})=0。同样可以记一个式子：dim(null(A))+rank(A)=n扩展资料：秩零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。A的零空间可以用来找到和表达方程Ax=b的所有解(完全解)。如果 x1是这个方程的一个解，叫做特定解，那么方程的完全解等于它的特定解加上来自零空间的任何向量。特定解依b而变化，而零空间的向量不是。

维度，就是从一维开始的。

零空间即线性方程组 的所有解 的集合。

向量的零空间求法：A化成最简型：1 0 2 0 10 1 3 0 00 0 0 1 4所以Ax=0的解是：［x1，x2，x3，x4，x5］"=x3［-2-3100］"+x5［-100-41］"所以零空间为这两个向量张成的空间：span（［-2-3100］"，［-100-41］"）性质如果A是矩阵，它的零空间就是所有向量的空间的线性子空间。这个线性子空间的维度叫做A的零化度(nullity)。这可以计算为在矩阵A的行梯阵形式中不包含支点的纵列数。秩-零化度定理声称任何矩阵的秩加上它的零化度等于这个矩阵的纵列数。对应于零奇异值的A的右奇异向量形成了A的零空间的基。

若该矩阵有二维零空间，有7-R(A)=2。R(A)=5，所以秩为5。不确定是否正确。

矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩.矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩.可以证明：对于任何矩阵有,行秩=列秩.由此,行秩和列秩统称为矩阵的秩.矩阵的秩用R(A)表示.矩阵的零空间指的是方程AX=0...

绝大部分向量组都不构成空间，用概率方法说：以100%概率不构成空间

矩阵的行向量组成的线性空间的维数称为矩阵的行秩。矩阵的列向量组成的空间的维数成为矩阵的列秩。可以证明:对于任何矩阵有，行秩=列秩。由此，行秩和列秩统称为矩阵的秩。矩阵的秩用R(A)表示。矩阵的零空间指的是方程AX=0的解空间。方程AX=0的所有解组成一个线性空间，这个线性空间称为解空间，也称为矩阵A的零空间。矩阵的零空间的秩用N(A)表示。dim表示的是空间维数，也就是表示该空间的矩阵的秩。因为维数就是用基向量的个数来定义的，而基向量的个数就等于矩阵的列向量的秩，也就是矩阵的秩。

最简单最快速的方法是利用欧氏空间的一个定理：如果空间的维数为n,则空间内任意n个线性无关的向量可以做该空间的基底.矩阵的行秩等于列秩.来看这道题：首先初等行变换矩阵变为阶梯型,发现该矩阵的秩为3.那么,这个矩阵中任意三个线性无关的行向量就是该矩阵行空间的基底,这个矩阵只有3个行向量,那这三个行向量就是基底.然后看列空间,第一列与第四列明显线性无关.记这两条列向量为a1,a4,为了验证a2,a3中哪条向量与这两条线性无关,做出假设,a2与a1,a4线性相关,则存在数x,y,使得xa2+ya3=a2.得到x+y=3,2x+2y=1,3x+6y=4,光看前两个式子就知道这样的x,y不存在.所以a1,a2,a4线性无关,所以a1,a2,a4就是列空间的基底.这个方法是极为快速简洁的方法,总比换底公式快的多的多.零空间的基实际上笨法子就是最好的办法：初等行变换得如下矩阵1 3 -2 10 -5 7 00 0 16 4令x4=1,解得x3=-1/4,x2=-7/20,x1=-9/20(-9/20 -7/20 -1/4 1)就是零空间的基底.实际上求零解空间的基底就是求Ax=0的基础解系

若该矩阵有二维零空间，有7-R(A)=2。R(A)=5，所以秩为5。不确定是否正确。

根据矩阵相乘的性质有：m×n与n×s矩阵可以相乘，且矩阵为m×s阶矩阵。A×B为3×3阶矩阵，A×B×C为3×3阶矩阵，故ABC矩阵运算可行。扩展资料：矩阵是一个工具，它可以描述的东西有很多，比如：1、线性变换2、线性方程（很多教材都是从这里开始写矩阵的）3、用于表示一些代数4、排列数（permutation）5、可达性（图论）6、以及很多应用上，比如层次分析法中的比较矩阵、神经网络中数据传递的过程等等人并不能直接看到抽象的事物（就好比说变换、方程、代数等等），必须要用一些具体的表现工具将其刻画出来。而矩阵就是其中的一个工具（其实还有其他对线性变换的刻画）。矩阵可以用在很多地方：例如通信中信道传输用到了信道矩阵、线性码结构的定义（用一个矩阵来生成一组编码，编码为该矩阵的零空间），以及研究周期序列的递推关系时，需要用到矩阵。

在编码理论中，最小码距是指编码中任意两个不同的码字之间的汉明距离最小值。而校验矩阵则是描述线性编码的矩阵。这两者之间有以下关系：一个线性码的校验矩阵可以通过列举生成矩阵中与位置向量正交的向量构成，也就是生成矩阵的零空间（Nullspace）的一组基。而当一个线性码的校验矩阵为 H 时，该编码的最小码距是 H 的行重（row weight）即 H 中任意两行之间的距离的最小值。通俗地说，如果一个编码的校验矩阵 H 中任意两行都至少有 d 个不同的位置，那么该编码的最小码距就为 d。因此，校验矩阵与最小码距之间有密切的关系，通过校验矩阵我们可以计算出编码的最小码距，而最小码距也反过来影响了校验矩阵。在编码和译码过程中，最小码距是一个非常重要的参数，也是评估编码质量的指标之一。

大概意思就是将V看成两部分的直和：一部分是核（也是V的子空间），另一部分是核的正交补，可以证明线性变换L是核的正交补到R(L)的同构，因此 V=核+（这里是直和）核的正交补 => dim(V)=dim(核)+dim(核的正交补)=dim(核)+dim(R(L)). 通俗地说就是，核的正交补跟变换的象是一样的，所以两部分的和是V。

1》2假设A奇异则R（A）<n令A=（a1,a2,a3……an）ai为列向量则应存在数组bi(不全为0),使得ai×bi的和为零向量（因R（A）<n，ai线性相关）令B=（b1,b2,b3……bn）T则AB=0 B不等于0，矛盾2》3A非奇异，则存在A逆阵，设为CAx=b CAx=Cb x=Cb此解唯一。因逆阵唯一，Cb唯一3》1若N（A）不为0设d不为零，使得Ad=0因Ax=b 有唯一解 设为e但A（d+e）=Ad+Ae=0+b=bd+e不等于e Ax=b有2解，矛盾证明完毕

这样的矩阵需要满足右乘列向量{1,1,0}等于零列向量，而且矩阵的秩是2。很容易找到这样的例子。

机构的自由度为; F=3n-2PL-Ph=3*8-2*11-1=1，该机构是有确定的运动。根据机械原理，机构具有确定运动时所必须给定的独立运动参数的数目，其数目常以F表示。如果一个构件组合体的自由度F>0。就可以成为一个机构，即表明各构件间可有相对运动；如果F=0，则它将是一个结构（structure），即已退化为一个构件。扩展资料：对机构的Jacobian矩阵计算其零空间，来分析机构的自由度。这种方法虽然理论上也可以解决自由度计算但是应用较为少见。其一是零空间的计算十分困难，甚至利用软件也难以解决。其二是该种方法也适用于对已有机构的分析计算，难以利用该方法实现创新。参考资料来源：百度百科-自由度

正方形矩阵的大小。阶数是矩阵中的一种术语，代表的是正方形矩阵内的行数或列数，也就是正方形矩阵的大小。矩阵的其他术语有矩阵的秩：一个矩阵的秩是其非零子式的最高阶数。矩阵零空间：像为零的原像空间。对称矩阵：指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵等。

先求基础解系：则得到零空间N(A)，维数是1下面来求值域R(A)：