级数

设f是定义在[-π,π]上的偶函数,易知其傅里叶系数为an=2/π∫(0-->π)f(x)cosnxdx,n=0,1,2...bn=0其傅里叶级数为f(x)=a0/2+∑(n=1-->∞)ancosnx称为傅里叶余弦级数

收敛性 傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 傅里叶级数 在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 正交性 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： 傅里叶级数 奇偶性 f_o(x) f_e(x) 奇函数，可以表示为正弦级数，而偶函数，则可以表示成余弦级数： 傅里叶级数 只要注意到欧拉公式：，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。 广义傅里叶级数 类似于几何空间上矢量的正交分解，周期函数的傅里叶级数是在内积空间上函数的正交分解。其正交分解从?基推广到Legendre（勒让特，1775-1837）多项式和Haar（哈尔，1885-1993）小波基等，称为广义傅里叶级数。 任何正交函数系?，如果定义在[a,b]上的函数f(x）只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x）满足封闭性方程： （4），那么级数（5） 必然收敛于f(x），其中： 傅里叶级数 （6）。事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： 成立，这称作贝塞尔(Bessel）不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基?，向量x在?上的投影总为?。[2]

分享解法如下。按照傅里叶级数定义，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx，n=1,2，……。而，f(x)=πx-x丨x丨是奇函数。∴f(x)cos(nx)是奇函数、f(x)sin(nx)是偶函数。题中积分区间对称，按照定积分的性质，有a0=0，an=0；bn=(2/π)∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx。又，应用分部积分法，∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx=(1/n)∫(0,π)(π-2x)cos(nx)dx=…=(-2/n³)[(-1)^n-1]。∴n为偶数时，bn=0；n为奇数时，bn=8/(πn³)。设n=2k-1，k=1,2，……。∴n为奇数时，f(x)=∑(bn)sin(nx)=(8/π)∑[sin(nx)]/n³=(8/π)∑[sin(2k-1)x]/(2k-1)³。∴f(x)=(8/π)∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³，n=1,2，……。该级数收敛。∵丨g(x)丨=丨8∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³丨≤∑1/(n-1/2)³~∑1/n³，收敛。故，傅里叶级数f(x)收敛。

傅里叶级数是傅里叶在研究热传导现象时提出的。傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法,直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明，尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物的一个时代。在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具，在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案，在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据。对于周期函数，我们总是把它表示成三角函数组成的级数——傅里叶级数，下面我们进一步研究函数的傅里叶级数展开问题./// 函数展开成傅里叶级数 ///现在的问题是：f(x)满足什么条件才能保证级数式①收敛，并且它的和函数等于f(x)？下面给出的收敛定理就回答了这个问题/// 正弦级数和余弦级数 ///由傅里叶系数公式可见，于是有如下定理:

这题不用算傅立叶级数的系数 傅立叶级数为余弦级数 则f(x)先做了偶延拓，得到F(x) F(x)再做以4为周期的周期延拓 F(x)的傅立叶展开式＝S(x) f(x)的连续点，S(x)＝f(x) f(x)的间断点，S(x)＝左右极限的平均值 S(-1/3)＝S(1/3)＝f(1/3)＝1/3 S(7)＝...9131

傅里叶级数和傅里叶变换的关系。傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析。傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想理解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。

答案：应该是-1吧！略解：s(x)是傅里叶正弦级数的和函数，意思是应该先把f(x)展开成（-pi,+pi）上的奇函数，然后周期循环。所以s（-pi/2）=-s(pi/2)=-1

http://tjae.tongji.edu.cn/course/%B9%AB%B9%B2%BF%CE/%B8%DF%B5%C8%CA%FD%D1%A7/%B8%DF%B5%C8%CA%FD%D1%A7(%CF%C2)/content/1407.asp

傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。扩展资料：收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。参考资料：百度百科-傅里叶级数

    级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:     这种由很多项相加的形式就是级数。     对于函数就是如下这个形式：    在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。     所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。     法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。     看一个动图来理解下这句话。     右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。     下面给出傅里叶级数的数学公式。原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。 便是无数个sin和cos的组合，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 就相当于动图中的 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。      代表这频率，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期， 的作用就是构建一个周期为 的波形，只是随着 的增大，波的频率越来越高。例如 都是周期 的函数，只是 的最小周期不在是 ，所以其频率就变大了。    这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。     很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。     还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 ， 样子已经有了：    我们只需要求出 就可以得到 。     所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：     对于原函数 是什么样的我们并不知道，但我们知道 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。    所以求解 最简单得方法就是，构建n个 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 是常数， 得数量由自己定义。     当然上面是小学生的解法，大家不要当真。     在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 的傅里叶级数，令 带入： 其对应的解为：    想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始。 什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。 和 正交，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0 而在函数上的正交就表现为积分的形式: 其中 就是 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交。 回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。 { } 任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：关于其证明网上有很多，这里就不细说了。 下面看如何利用上面的性质来接 将函数两边同时积分将 移到前面。 其中 可以看成 ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于于是:下面求解下 将两边乘上 ，然后两边同时积分将 移到前面。同样根据正交性 等于0. 而 只有 的项不为0，其他的也会为0，所以：在正交性那块我给出了 ，所以:关于 求法是一样得，这里就不细说了。 上面便是傅里叶级数得求解过程，但是这里我们定义得频率是 。 如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二) 中会详细介绍，希望以上得内容能帮到你。

他们不属于同一类概念，谈不上区别，要说关系的话，傅里叶系数是将一个函数按傅里叶级数的展开方法得到傅里叶级数后的每一个周期性的三角函数的带有常数性质的系数，级数是一种数学逼近方法，系数只是几个数罢了

高等数学，很难理解

是的。即使f(t)原来是[-T/2,T/2]上的函数，也要把它延拓为R上的周期函数，然后再作fourier展开。

傅里叶级数通常用来表示“周期函数”，而且是要满足可积条件的周期函数。定理：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件：在任何周期内，y(x)须绝对可积；在任一有限区间中，y(x)只能取有限个最大值或最小值如果是非周期函数，可以视为周期无穷大，那就演变为“傅里叶变换”了。就不是傅里叶级数了。所以傅立叶级数不是什么函数都能表示的。

书上写的就很好理解啊。比如说正弦波，余弦波这样的波，都是有周期的，也就是每过一个单位T他们的波形都会一样，如果一个任意波形图，我也可以认为他是有周期的，但是他的周期很长，从负无穷到正无穷这么长。所以我就把这个周期函数，分解成几个周期函数的和。也就是傅里叶级数

只要给出一个f，然后由公式求出an，bn，那么在构成的三角级数就叫傅立叶级数。也就是说它就是一个普通的三角级数(系数给定了怎么求而已) 一个三角级数肯定不一定收敛，需要判断其收敛性。 之前的定理15.2只是一个充分条件：若f表示为某个三角级数收且一致收敛，那么an，bn特定求出来，这个形式就是傅立叶级数。这只是个充分条件，给一个傅立叶级数不一定收敛。。。

Fourier series一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明 傅里叶级数多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： mathx(t)=sum _{k=-infty}^{+infty}a_kcdot e^{jk(frac{2pi}{T})t}/math（j为虚数单位）（1） 其中，matha_k/math可以按下式计算： 傅里叶级数 matha_k=frac{1}{T}int_{T}x(t)cdot e^{-jk(frac{2pi}{T})t}/math（2） 注意到mathf_k(t)=e^{jk(frac{2pi}{T})t}/math是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=pm 1/math时具有基波频率mathomega_0=frac{2pi}{T}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 傅里叶级数 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： mathint _{0}^{2pi}sin (nx)cos (mx) ,dx=0;/math 奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数： mathf_o(x) = sum _{-infty}^{+infty}b_k sin(kx);/math 傅里叶级数 mathf_e(x) = frac{a_0}{2}+sum _{-infty}^{+infty}a_kcos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{j heta}= sin heta+jcos heta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。傅里叶级数 任何正交函数系math{ phi(x)}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程： mathint _{a}^{b}f^2(x),dx=sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}/math (4)， 那么级数mathsum _{k=1}^{infty} c_kphi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x)，其中: mathc_n=int _{a}^{b}f(x)phi_n(x),dx/math (6)。 傅里叶级数 事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： mathint _{a}^{b}f^2(x),dx ge sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math{e_i}^{N}_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。mathint _{0}^{2pi}sin (mx)sin (mx) ,dx=0;(m e n)/math mathint _{0}^{2pi}cos (mx)cos (mx) ,dx=0;(m e n)/math mathint _{0}^{2pi}sin (nx)sin (nx) ,dx=pi;/math mathint _{0}^{2pi}cos (nx)cos (nx) ,dx=pi;/math

和连续周期信号相比，离散周期信号的离散傅里叶级数的频谱是周期性的，因为时域的连续对应于频率的非周期，时域的离散对应于频率的周期。所以我们只需要在（0，2π）的频域区间上取N个点就可以完整表示出来了。这是连续周期信号和离散周期信号傅里叶级数的最根本区别。

傅里叶级数的普通表达形式假设{a0, a1, a2, a3, ..., an, ...}和{b1, b2, b3, ..., bn, ...}是一组无穷的常数。这些常数被称为傅里叶系数。x是一个变量。普通的傅里叶级数可以表示为：F(x) = a0/2 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + ...+ an cos nx + bn sin nx + ...理论波形与实际波形的比较一些波形比较简单，比如单纯的正弦波，但是这些只是理论上的。在实际生活中，大多数波形都包含谐波频率（最小频率或基波频率的倍数）的能量。谐波频率能量相较于基波频率能量的比例是依赖于波形的。傅里叶级数将这种波形数学的定义为相对于时间的位移函数（通常为振幅、频率或相位）。随着傅里叶级数中计算的项的增加，级数会越来越近似于定义复杂信号波形的精确函数。计算机能够计算出傅里叶级数的成百上千甚至数百万个项。

交错级数 ∑<n=1,∞>(-1)^(n+1)/n^(p+1) -1 < p ≤ 0 时， 交错级数 ∑<n=1,∞>(-1)^(n+1)/n^(p+1) 收敛，而 对应正项级数∑<n=1,∞>1/n^(p+1) 发散，原交错级数条件收敛。p ≤ -1 时，交错级数 ∑<n=1,∞>(-1)^(n+1)/n^(p+1) 发散；p > 0 时，交错级数 ∑<n=1,∞>(-1)^(n+1)/n^(p+1) 绝对收敛。

数项级数收敛的充要条件是：级数的前n项和Sn满足A=lim(n->+∞) Sn，即Sn的极限是存在的，那么数项级数收敛于这个极限A。正项级数的部分和是单调递增的数列，递增如果有上界，那么收敛。因此才说部分和有界则正项级数收敛。当Sn里的n很大的时候，Sn趋近一个数，就说明正项级数收敛，并且收敛于这个数。扩展资料数项级数收敛概述：无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。

级数收敛的必要条件是通项an趋于0。一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。如果这条满足，并不能保证级数收敛。需要继续验证别的条件，例如用比较判别法（和一个知道的收敛级数比较）。例如an=1/n，通项趋于0，但是发散。级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系─函数。

如图所示：|an|发散，an收敛，就是条件收敛

1、条件收敛 = conditional convergent 是指：A、原本发散，例如 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 、、、、；B、改为交错级数后，1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 、、、、由于一般项趋向于0，并且正负交错，因而收敛。这样就是条件收敛。一般项 = general term；交错级数 = alternate series。2、绝对收敛 = absolute convergent就是指，取了绝对值后，也就是全部取正值后，依然收敛的级数，就是绝对收敛级数。例如：1/1² - 1/2² + 1/3² - 1/4² + 、、、、、就是绝对收敛级数；因为1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 、、、、、是收敛级数，等于 π²/6；所以，1/1² - 1/2² + 1/3² - 1/4² + 、、、、收敛，称为绝对收敛。

如图所示

级数收敛的充要条件：级数的前n项和Sn满足A=lim（n->+∞）。级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。数列（sequenceofnumber），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

如图所示。本身收敛且加绝对值后发散，是条件收敛。加绝对值收敛，是绝对收敛。

如果对一般的数项级数，你只要一个收敛的充要条件，不管好不好用的话，那就是柯西收敛准则！但是这个准则基本没有实用价值。 如果对一般的数项级数，你想要一个有用的充要条件的话，那很遗憾没有， 有一个比较常用的必要条件，那就是通项趋向于0。扩展资料：收敛级数（convergent series）是柯西于1821年引进的，它是指部分和序列的极限存在的级数。收敛级数分条件收敛级数和绝对收敛级数两大类，其性质与有限和（有限项相加）相比有本质的差别，例如交换律和结合律对它不一定成立。收敛级数的基本性质主要有：级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变；两个收敛级数逐项相加或逐项相减之后仍为收敛级数；在级数前面加上有限项，不会改变级数的收敛性；原级数收敛，对此级数的项任意加括号后所得的级数依然收敛；级数收敛的必要条件为级数通项的极限为0。参考资料来源：百度百科-收敛级数

根据阿贝尔级数判定方法，在收敛域(不含端点)内，级数绝对收敛。在收敛域外(不含端点)，级数发散。对于条件收敛的级数，其不发散，所以不再收敛域外，同时其也不绝对收敛，不在收敛域内。实数域上只有端点存在，所以端点条件收敛。

楼主指的是级数的敛散性吗？两个条件收敛的级数相加有可能是绝对收敛，也有可能是条件收敛。举例很简单，若∑u(n)条件收敛，则∑-u(n)也条件收敛，∑u(n)+∑-u(n)=0绝对收敛，∑u(n)+∑u(n)=2∑u(n)条件收敛。一个收敛的级数加一个发散的级数必发散。设∑u(n)收敛，∑v(n)发散，假设∑(u(n)+v(n))收敛，根据收敛级数的性质，∑v(n)=∑((u(n)+v(n))-u(n))也收敛，与前提矛盾。

1、先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则“n”趋于无穷时，级数的一般项收敛于零。 2、若满足其必要性。接下来，判断级数是否为正项级数：若级数为正项级数，则可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛：比较原则；比式判别法；根式判别法。 3、若不是正项级数，则接下来可以判断该级数是否为交错级数。 4、若不是交错级数，可以再来判断其是否为绝对收敛的级数。 5、如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

极限存在为收敛，极限不存在为发散1：先判断是否收敛.2：如果收敛,且为交错级数,则绝对收敛.其实就是交错级数如果加绝对值收敛则为条件收敛,如果交错级数不加绝对值也收敛,则为绝对收敛.

∑Xn与∑|Xn|相比之下,前者收敛的条件比后者弱. 即∑Xn收敛,∑|Xn|不一定收敛,此时我们可以叫∑Xn条件收敛. 但是当∑|Xn|收敛的时候,∑Xn肯定收敛,我们把∑Xn成为绝对收敛. 希望能帮到楼主.

如果一个级数收敛，其各项绝对值做成的级数也收敛则称为绝对收敛否则为条件收敛

1、先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则“n”趋于无穷时，级数的一般项收敛于零； 2、若满足其必要性。接下来，判断级数是否为正项级数：若级数为正项级数，则可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛：比较原则；比式判别法；根式判别法； 3、若不是正项级数，则接下来可以判断该级数是否为交错级数； 4、若不是交错级数，可以再来判断其是否为绝对收敛的级数； 5、如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

首先理解收敛：令∑un = S，如果lim（n->∞）S存在一个确定的值，则级数收敛现在我们来考量绝对收敛：由绝对值的性质来考量，|un| >= un恒成立，且∑|un| >= ∑un,根据比较审敛法的观点来看，若∑|un|收敛，则原级数一定收敛。又由于正项级数通常都比较好判断收敛性，所以在考察级数收敛与否时通常都是先考察是否绝对收敛的。关于条件收敛：既然有了绝对收敛，为何又有条件收敛呢？莱布利兹判断准则告诉我们，对于交错级数，只要满足lim（n->∞）un趋于0，且后一项小于前一项就可以证明级数收敛了。我们知道∑1/n是发散的，但∑（-1）^n.1/n却是收敛的，所以条件收敛相当于弥补了一些绝对收敛没有涉及的地方，绝对收敛相当于只把级数看成正项级数来考量了，相当于缩小了相应的范围，条件收敛正好弥补了绝对收敛没有考察到的地方，将范围扩大了一些。

　　级数收敛的必要条件是通项an趋于0。一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。如果这条满足，并不能保证级数收敛。需要继续验证别的条件，例如用比较判别法（和一个知道的收敛级数比较）。例如an=1/n，通项趋于0，但是发散。 　　级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系─函数。

首先, 这些级数都是收敛的.前3个都是通项绝对值单调递减并趋于0的交错级数, 适用Leibniz判别法.第4个要用Dirichlet判别法: 1/n单调递减趋于0, 而(-1)^n·sin(n)部分和有界.(积化和差证明: sin(m)+sin(m+2)+...+sin(m+2k) = (cos(m-1)-cos(m+2k+1))/(2sin(1))).要判别是否绝对收敛, 即考虑通项取绝对值后的级数敛散性.1) 2n/(4n²+1)与1/n是同阶无穷小(二者比值趋于1/2).根据(正项级数)比较判别法, 由∑1/n发散知∑2n/(4n²+1)也发散.故∑(-1)^n·2n/(4n²+1)为条件收敛.2) sin(π/n)与1/n是同阶无穷小(二者比值趋于π).根据(正项级数)比较判别法, 由∑1/n发散知∑sin(π/n)也发散.故∑(-1)^n·sin(π/n)为条件收敛.3) 1/(4n²+1)与1/n²是同阶无穷小(二者比值趋于1/4).根据(正项级数)比较判别法, 由∑1/n²收敛知∑1/(4n²+1)也收敛.故∑(-1)^(n+1)/(4n²+1)绝对收敛.4) |sin(n)|/n ≥ sin²(n)/n = (1-cos(2n))/(2n).由Dirichlet判别法可证明∑cos(2n)/(2n)收敛 (cos(2n)部分和有界, 细节略).而∑1/(2n)发散, 于是二者之差∑(1-cos(2n))/(2n)发散.根据(正项级数)比较判别法, ∑|sin(n)|/n也发散.故∑(-1)^n·sin(n)/n为条件收敛.

1,-1,1,-1,1…这个交错级数根本不收敛。

最常考的就是“级数通项的极限为0”。其他必要条件应该还很多，说不全的。柯西收敛准则是充分必要条件

首先，收敛是肯定的。那就不是条件就是绝对了，如果是绝对收敛，那么绝对1+条件1=绝对2条件1=绝对2-绝对1事实上绝对收敛的无论是级数，积分还是什么相加减的话结果都是依旧绝对收敛的，所以矛盾了。只能是条件收敛。

数项级数收敛的充要条件是：级数的前n项和Sn满足A=lim(n->+∞) Sn，即Sn的极限是存在的，那么数项级数收敛于这个极限A。正项级数的部分和是单调递增的数列，递增如果有上界，那么收敛。因此才说部分和有界则正项级数收敛。当Sn里的n很大的时候，Sn趋近一个数，就说明正项级数收敛，并且收敛于这个数。扩展资料数项级数收敛概述：无穷级数是研究有次序的可数无穷个函数的和的收敛性及其极限值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。无穷级数收敛时有一个唯一的和；发散的无穷级数没有极限值，但有其他的求和方法，如欧拉和、切萨罗和、博雷尔和等等。

级数收敛的充要条件：级数的前n项和Sn满足A=lim（n->+∞）。级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。典型的级数有正项级数、交错级数、幂级数、傅里叶级数等。级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。二者共同以极限为基本工具，分别从离散与连续两个方面，结合起来研究分析学的对象，即变量之间的依赖关系──函数。 数列（sequenceofnumber），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。

不知道，真的不知道

无穷级数收敛的充要条件无穷级数部分和收敛 这两个等价 对于级数收敛 先从调和级数 几何级数 着手 然后正项级数 然后一般项级数 书上没有明确指出收敛的具体定义——因为这个等价条件很多 只能具体问题具体分析 慢慢来吧 继续看课本 相信你会行的

A1/√(n²+1)~1/n （其极限是0不是1）是条件收敛Blim(n→∞) n/(n+1)=1≠0 发散C∑ 1/n(n+1)=∑ (1/n-1/n+1)=1属于绝对收敛Dlim(n→∞) (5/3)^n=∞明显发散具体哪个选项不懂欢迎追问

∑Xn与∑|Xn|相比之下,前者收敛的条件比后者弱. 即∑Xn收敛,∑|Xn|不一定收敛,此时我们可以叫∑Xn条件收敛. 但是当∑|Xn|收敛的时候,∑Xn肯定收敛,我们把∑Xn成为绝对收敛. 希望能帮到楼主.

　　1、先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则“n”趋于无穷时，级数的一般项收敛于零； 　　2、若满足其必要性。接下来，判断级数是否为正项级数：若级数为正项级数，则可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛：比较原则；比式判别法；根式判别法； 　　3、若不是正项级数，则接下来可以判断该级数是否为交错级数； 　　4、若不是交错级数，可以再来判断其是否为绝对收敛的级数； 　　5、如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

此题是典型的P级数的敛散性，p级数的敛散性如下：当p>1时，p级数收敛；当1≥p>0时，p级数发散。形如1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+…（p>0）的级数称为p级数。当p=1时，得到著名的调和级数：1+1/2+1/3+…+1/n+…。p级数是重要的正项级数，它是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数。交错p级数：形如1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…+(-1)^(n-1)*1/n^p+…（p>0）的级数称为交错p级数。交错p级数是重要的交错级数。扩展资料：正项级数部分和数列判别法 正项级数的部分和数列 是单调增加的数列即：Sn ， 收敛的充要条件是有界，正项级数 收敛的充要条件是：它的部分和数列有界，即存在某正数 ，对于一切正整数有界。三种判别法1.比较原则；2.比式判别法，（适用于含  n！ 的级数）；3.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数）；（注：一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法）

1、条件收敛 = conditional convergent 是指： A、原本发散，例如 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 、、、、； B、改为交错级数后，1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + 、、、、 由于一般项趋向于0，并且正负交错，因而收敛。 这样就是条件收敛。 一般项 = general term； 交错级数 = alternate series。2、绝对收敛 = absolute convergent 就是指，取了绝对值后，也就是全部取正值后，依然收敛的级数， 就是绝对收敛级数。 例如： 1/1² - 1/2² + 1/3² - 1/4² + 、、、、、就是绝对收敛级数；因为 1/1² + 1/2² + 1/3² + 1/4² + 、、、、、是收敛级数，等于 π²/6； 所以，1/1² - 1/2² + 1/3² - 1/4² + 、、、、收敛，称为绝对收敛。

sin是有界函数

咋不直接搜题呢

1.lim(n->∞)(lnn)^2/n=02.f(x)=(lnx)²/xf"(x)=[2lnx-(lnx)²]/x²=lnx(2-lnx)/x²当x＞e²时，f"(x)<0即此时un>u(n+1)所以由莱布尼兹判别法，得该级数收敛。

1.|sin(1/4ⁿ)|<=1,故|sin(1/4ⁿ)*n!/(2n)!|<=|n!/(2n)!|,用比值比较法很容易知道∑n!/(2n)!绝对收敛，故∑|sin(1/4ⁿ)*n!/(2n)!|收敛原级数绝对收敛2.交错级数，lim[n->+∞] Un=0,令f(n)=n-lnn,当n>=1时,f"(n)=1-1/n >=0,故f(n)在[1,+∞)为单调增函数,Un+1 - Un=1/f(n+1)-1/f(n)<=0,Un>=Un+1,根据莱布尼茨判别法，级数收敛。1/(n-ln)>1/n,∑1/n发散,所以∑1/(n-lnn)发散故原级数条件收敛

1.发散 因为n充分大时ln（n）<n 即1/n<1/ln（n）2.收敛 因为通项为零3.收敛

lim(n→∞) tan(1/n²) / (1/n²)＝1，且 ∑(1/n²) 收敛，所以原级数 ∑ tan(1/n²) 收敛。

首先考察它对应的正项级数∑ lnn /n 当n>3时,lnn/n>1/n 级数1/n发散 又由于有限项不影响级数的敛散性 因此不可能绝对收敛 然后考察∑ (-1)^n*lnn/n 设f(x)=lnx/x 可得出f(x)单调递减趋于0 因此交错级数∑ (-1)^n*lnn/n收敛 所以级数∑ (-1)^n*lnn/n条件收敛

原式=(1/3)×(1/2-1/5+1/3-1/6+1/4-1/7+1/5-1/8+……+1/(n+1)-1/(n+4))=(1/3)×(1/2+1/3+1/4-1/(n+2)-1/(n+3)-1/(n+4))。所以收敛，收敛于13/36。

级数∑1/n^2与∑f(n)^2收敛所以∑[f(n)^2+1/n^2]/2收敛因为f(n)/n=根号(f(n)^2/n^2)<=[f(n)^2+1/n^2]/2由比较判别法级数∑[f(n)/n收敛

利用积分判别法即可。∫ (1/xlnx)dx = ln(lnx)+C. 由ln(lnx)无界可知。

你好！该级数是发散的，用比较判别法的极限形式如图分析。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

不一定收敛。如 u(n)＝(-1)ⁿ / ln(n)，n＞1，∑ u(n) 是一般项递减趋于 0 的交错级数，根据莱布尼兹判别法，收敛。但 ∑ (-1)ⁿu(n) / n ＝ ∑ 1/[nln(n)]发散。(可用积分判别法)

比较法即可，∑1/lnn的一般项1/lnn为正，直接与调和级数∑1/n比较，因为1/lnn＞1/n，而∑1/n发散，故原级数发散。注：∑1/n发散性证明课本就有，自己看。

根据积分判别法定义，若f(x)在[1,+∞)是非负递减连续函数，那么级数∑[n=1 to +∞] f(n)和积分∫[1,+∞] f(x)dx有相同的敛散性.而∫[1,+∞] x/(x²+1)dx=[ln(x²+1)]/2 | (1,+∞) 发散，所以原级数发散。

这是利用放缩呀。令f(x)＝1/(xlnx)，则1/(nln n)可以看成是x=n至x=n+1区间内，高是f(n)的矩形面积，也就是宽是1，高是1/(nln n)。而f(x)是单调递减函数，它与x=n和x=n+1，与x轴围成的封闭图形，比刚才的矩形面积更小，也就是在这区间内f(x)的积分小于1/(nln n)。如下图所示。放缩后的积分形成的新数列的和就可求出表达式而且容易判断它发散。希望对您有帮助，望采纳。

新年好！春节快乐！Happy Chinese New Year !1、级数收敛，就是指 x 在固定的范围内，级数的无穷项幂函数的总和会限制在 一定的范围内，这就是收敛，convergence；2、本题是两个级数的对应项形成的新的级数，收敛级数是可以找到和函数的， 所以本题的两个级数的收敛，一定是在小的收敛半径内，两个和函数都不会 出现无穷大的现象，加起来也就不会出现无穷大的现象。如果在小的收敛半 径外，大的收敛半径内，则一个发散，趋向于无穷大，一个是有限的数，结 果是发散的。所以，本题答案是：共同的收敛半径是R1。

后项比前项的绝对值的极限=|x| 故收敛半径R=1，|x|<1绝对收敛x=1时：s>1绝对收敛，0<s≤1发散x=-1, 由于1/n^s单减趋于0，由莱布尼兹判别法，级数条件收敛

　　实际上，只要 f(x) 可积，就可写出傅立叶系数，因而可写出傅立叶级数，但该傅立叶级数未必收敛于 f(x)，而是在 x 处收敛于　　　　[f(x-0)+f(x+0)]/2，也就是说，当 x 是连续点时该傅立叶级数才收敛于 f(x)。

这个是收敛的

1.如果存在一个泰勒级数，那么这个泰勒级数在某一数的邻域内一定收敛于这个函数f(x)吗？答：不一定。事实是，如果由一个f(x)，得到了它所对应的泰勒级数，而且，这个泰勒级数是收敛的，在这种情况下，并不能保证这个泰勒级数一定收敛于这个函数f(x)。换句话理解，就是，这个收敛的泰勒级数的和函数有可能是另一个不同于f(x)的s(x)。那么，保证这个收敛的泰勒级数收敛于这个函数f(x)，即，以f(x)为其和函数所需要的充要条件，就是“f(x)的泰勒公式中的拉格朗日余项在当n->∞的极限为零”。我们把，这个泰勒级数收敛，并且收敛于这个函数f(x)，叫做“f(x)可展开成泰勒级数”。注意这就是“可展开成”的含义。2.答：如果f(x)在x0=0处具有各阶导数，那么，可以作出f(x)所对应的麦克劳林级数，仅此而已。至于“该级数是否能在某个区间内收敛，以及是否收敛于f(x)，却需要进一步考察。”再进一步说，即使该级数收敛于函数s(x)，s(x)也不一定就是f(x)，此同问题1。3“只有f(x)先能展开成泰勒级数，才有麦克劳林级数的展开，并收敛于在x0=0的邻域各阶导数存在的f(x)”这句话有误。

ρ = lim<n→∞>a<n+1>/a<n>= lim<n→∞>2^(n+1) (n+1)! n^n/[(n+1)^(n+1) 2^n n!]= lim<n→∞>2 n^n/[(n+1)^n ] = lim<n→∞>2 /[(1+1/n)^n ] = 2/e < 1级数收敛。

R＝1/ⁿ√u(n)＝1/(1/3)＝3，x＝-3 时，级数递减趋于0，交错，因此收敛；x＝3 时，显然是发散的调和级数，所以收敛域是 [ - 3，3) 。记和函数 f(x)，明显 f(0)＝0，f"(x)＝1/3 ∑(x/3)ⁿ-¹＝1/3 * 1/(1-x/3)＝1 / (3 - x)，因此 f(x)＝∫(0----＞x) f"(t) dt＝ ln(3) - ln(3 - x)，-3＜x＜3。

从定义上看：fn一致收敛到f：对于任意的e>0,存在一个N>0，使对于任意的x在定义域和n>N, |f(x)-fn(x)|<efn逐点收敛到f：对于任意的e>0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x>0，使任意的和n>N_x, |f(x)-fn(x)|<e这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。

首先考察它对应的正项级数∑lnn/n当n>3时，lnn/n>1/n级数1/n发散又由于有限项不影响级数的敛散性因此不可能绝对收敛然后考察∑(-1)^n*lnn/n设f(x)=lnx/x可得出f(x)单调递减趋于0因此交错级数∑(-1)^n*lnn/n收敛所以级数∑(-1)^n*lnn/n条件收敛

先判断这是正项级数还是交错级数一、判定正项级数的敛散性1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.

首先考察它对应的正项级数∑lnn/n当n>3时，lnn/n>1/n级数1/n发散又由于有限项不影响级数的敛散性因此不可能绝对收敛然后考察∑(-1)^n*lnn/n设f(x)=lnx/x可得出f(x)单调递减趋于0因此交错级数∑(-1)^n*lnn/n收敛所以级数∑(-1)^n*lnn/n条件收敛

首先考察它对应的正项级数∑lnn/n当n>3时，lnn/n>1/n级数1/n发散又由于有限项不影响级数的敛散性因此不可能绝对收敛然后考察∑(-1)^n*lnn/n设f(x)=lnx/x可得出f(x)单调递减趋于0因此交错级数∑(-1)^n*lnn/n收敛所以级数∑(-1)^n*lnn/n条件收敛

这个不对吧，泰勒级数在收敛域内一定收敛于f(x) （要不干嘛叫收敛域呢，呵呵）。应该是如果泰勒级数在点x=x0的某邻域收敛，但它却不一定收敛于f(x) 。理论上说，如果f(x)的泰勒展开式中的余项R(x)满足当n趋于无穷时limR(x)=0，那么可以确定收敛于f(x)。但实际上证明limR(x)=0太麻烦，通常判断泰勒级数在什么条件下收敛于f(x)也就是求幂级数的收敛域，可以利用幂级数的收敛半径很方便地求得。