为什么要研究傅里叶级数

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傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。扩展资料：收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。参考资料：百度百科-傅里叶级数

    级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。举例就是:     这种由很多项相加的形式就是级数。     对于函数就是如下这个形式：    在工程中，我们经常会遇到各种各样的周期性的波形。这些波形很难找到一个函数去表达他，或者原函数无法很好的去分析波的特征。     所以我们需要找到一个函数 去近似原函数 ，而且这个 有很好的特性，方便去做分析。     法国数学家傅里叶就发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。     看一个动图来理解下这句话。     右边的波形就是由左边几个基础波形(三角函数)合成的。     下面给出傅里叶级数的数学公式。原函数 就由无数个 组成的。这个公式理解起来也很简单， 是个常数项，因为正弦和余弦函数都是在0点位置上下波动，想要让其脱离0点，就必须加入 这个偏移项，当然你也可以理解为 。 便是无数个sin和cos的组合，其中 就相当于上面动图中的 代表着振幅，也就是圆半径的大小。 就相当于动图中的 前的系数1，3，5，7代表着频率，也就是圆转一圈用的速度。so，是不是很容易理解。      代表这频率，那其中的 代表着什么呢？ 就是函数 的周期， 的作用就是构建一个周期为 的波形，只是随着 的增大，波的频率越来越高。例如 都是周期 的函数，只是 的最小周期不在是 ，所以其频率就变大了。    这里强调下，傅里叶级数是针对周期函数的，对于非周期的函数就是傅里叶变换了。     很多博主在解读傅里叶级数的时候，上来就说时域，频阈，复频域，欧拉公式。其实那些都是在不同场景下的不同的表现形式，本质都是一样的。先理解了上面的公式，以此为基础进行展开，会更加容易理解。     还记得我们的目标吗？找出一个函数 去近似原函数 ， 样子已经有了：    我们只需要求出 就可以得到 。     所以这里有个前提，我们在看下需要求解的波形：     对于原函数 是什么样的我们并不知道，但我们知道 在每个x处的取值，毕竟这个波是我们自己采样得到的。    所以求解 最简单得方法就是，构建n个 方程等式，求解一个n元一次方程，如上面所示。这里 是常数， 得数量由自己定义。     当然上面是小学生的解法，大家不要当真。     在给大家介绍傅里叶级数的解之前，我们先看下周期为 的傅里叶级数，令 带入： 其对应的解为：    想要求出这几个解，我们要先了解下三角函数的正交性，而理解三角函数的正交最好就是从周期为 的函数开始。 什么是正交？在线性代数中，正交就是两个向量垂直，如下图(A)。 和 正交，就表现为 ,也就是两个向量的内积等于0 而在函数上的正交就表现为积分的形式: 其中 就是 的内积，当其为零的时候就说明两个函数在 区间内正交。 回到傅里叶级数，下面就是傅里叶级数中所有的三角函数集合。 { } 任意两个三角函数一定条件下在 和 之间是正交的,详细如下：关于其证明网上有很多，这里就不细说了。 下面看如何利用上面的性质来接 将函数两边同时积分将 移到前面。 其中 可以看成 ,根据前面的正交性，得到这两项都等于0，于是上面的函数就等于于是:下面求解下 将两边乘上 ，然后两边同时积分将 移到前面。同样根据正交性 等于0. 而 只有 的项不为0，其他的也会为0，所以：在正交性那块我给出了 ，所以:关于 求法是一样得，这里就不细说了。 上面便是傅里叶级数得求解过程，但是这里我们定义得频率是 。 如何把傅里叶级数扩展到任意周期上，以及傅里叶变换，在 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(二) 中会详细介绍，希望以上得内容能帮到你。

他们不属于同一类概念，谈不上区别，要说关系的话，傅里叶系数是将一个函数按傅里叶级数的展开方法得到傅里叶级数后的每一个周期性的三角函数的带有常数性质的系数，级数是一种数学逼近方法，系数只是几个数罢了

高等数学，很难理解

是的。即使f(t)原来是[-T/2,T/2]上的函数，也要把它延拓为R上的周期函数，然后再作fourier展开。

傅里叶级数通常用来表示“周期函数”，而且是要满足可积条件的周期函数。定理：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件：在任何周期内，y(x)须绝对可积；在任一有限区间中，y(x)只能取有限个最大值或最小值如果是非周期函数，可以视为周期无穷大，那就演变为“傅里叶变换”了。就不是傅里叶级数了。所以傅立叶级数不是什么函数都能表示的。

书上写的就很好理解啊。比如说正弦波，余弦波这样的波，都是有周期的，也就是每过一个单位T他们的波形都会一样，如果一个任意波形图，我也可以认为他是有周期的，但是他的周期很长，从负无穷到正无穷这么长。所以我就把这个周期函数，分解成几个周期函数的和。也就是傅里叶级数

只要给出一个f，然后由公式求出an，bn，那么在构成的三角级数就叫傅立叶级数。也就是说它就是一个普通的三角级数(系数给定了怎么求而已) 一个三角级数肯定不一定收敛，需要判断其收敛性。 之前的定理15.2只是一个充分条件：若f表示为某个三角级数收且一致收敛，那么an，bn特定求出来，这个形式就是傅立叶级数。这只是个充分条件，给一个傅立叶级数不一定收敛。。。

Fourier series一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明 傅里叶级数多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： mathx(t)=sum _{k=-infty}^{+infty}a_kcdot e^{jk(frac{2pi}{T})t}/math（j为虚数单位）（1） 其中，matha_k/math可以按下式计算： 傅里叶级数 matha_k=frac{1}{T}int_{T}x(t)cdot e^{-jk(frac{2pi}{T})t}/math（2） 注意到mathf_k(t)=e^{jk(frac{2pi}{T})t}/math是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，mathk=pm 1/math时具有基波频率mathomega_0=frac{2pi}{T}/math，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 傅里叶级数 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： mathint _{0}^{2pi}sin (nx)cos (mx) ,dx=0;/math 奇函数mathf_o(x)/math可以表示为正弦级数，而偶函数mathf_e(x)/math则可以表示成余弦级数： mathf_o(x) = sum _{-infty}^{+infty}b_k sin(kx);/math 傅里叶级数 mathf_e(x) = frac{a_0}{2}+sum _{-infty}^{+infty}a_kcos(kx);/math 只要注意到欧拉公式: mathe^{j heta}= sin heta+jcos heta/math，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。傅里叶级数 任何正交函数系math{ phi(x)}/math，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程： mathint _{a}^{b}f^2(x),dx=sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}/math (4)， 那么级数mathsum _{k=1}^{infty} c_kphi _k(x)/math (5) 必然收敛于f(x)，其中: mathc_n=int _{a}^{b}f(x)phi_n(x),dx/math (6)。 傅里叶级数 事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： mathint _{a}^{b}f^2(x),dx ge sum _{k=1}^{infty}c^{2}_{k}/math成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基math{e_i}^{N}_{i=1}/math，向量x在mathe_i/math上的投影总为mathx,e_i/math 。mathint _{0}^{2pi}sin (mx)sin (mx) ,dx=0;(m e n)/math mathint _{0}^{2pi}cos (mx)cos (mx) ,dx=0;(m e n)/math mathint _{0}^{2pi}sin (nx)sin (nx) ,dx=pi;/math mathint _{0}^{2pi}cos (nx)cos (nx) ,dx=pi;/math

和连续周期信号相比，离散周期信号的离散傅里叶级数的频谱是周期性的，因为时域的连续对应于频率的非周期，时域的离散对应于频率的周期。所以我们只需要在（0，2π）的频域区间上取N个点就可以完整表示出来了。这是连续周期信号和离散周期信号傅里叶级数的最根本区别。

傅里叶级数的普通表达形式假设{a0, a1, a2, a3, ..., an, ...}和{b1, b2, b3, ..., bn, ...}是一组无穷的常数。这些常数被称为傅里叶系数。x是一个变量。普通的傅里叶级数可以表示为：F(x) = a0/2 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos 2x + b2 sin 2x + ...+ an cos nx + bn sin nx + ...理论波形与实际波形的比较一些波形比较简单，比如单纯的正弦波，但是这些只是理论上的。在实际生活中，大多数波形都包含谐波频率（最小频率或基波频率的倍数）的能量。谐波频率能量相较于基波频率能量的比例是依赖于波形的。傅里叶级数将这种波形数学的定义为相对于时间的位移函数（通常为振幅、频率或相位）。随着傅里叶级数中计算的项的增加，级数会越来越近似于定义复杂信号波形的精确函数。计算机能够计算出傅里叶级数的成百上千甚至数百万个项。

傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。傅里叶展开式系数公式是a0=π平方/3，傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dxan=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负 sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为Rcot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R y=sinx---y"=cosxy=cosx---y"=-sinxy=tanx---y"=1/(cosx)^2y=cotx---y"=-1/(sinx)^2y=arcsinx---y"=1/√1-x^2y=arccosx---y"=-1/√1-x^2y=arctanx---y"=1/(1+x^2)y=arccotx---y"=-1/(1+x^2) 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).反三角函数主要是三个：y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；sinar

根据傅里叶级数的定义，对于一个周期为2π的周期函数f(x)，它的傅里叶级数可以表示为：f(x) = a0 + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)其中，an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：an = (1/π) ∫[f(x)cos(nx)]dx （从-π到π的积分）bn = (1/π) ∫[f(x)sin(nx)]dx （从-π到π的积分）如果函数f(x)在周期为2π的区间上满足连续和可导，且在端点处左右极限相等，则可以证明在区间(0,π)上f(x)的傅里叶级数可以表示为：f(x) = (a0/2) + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)这是因为在区间(0,π)上，cos(nx)和sin(nx)都是奇函数，它们的积分在(0,π)上是偶函数，因此只有an和bn中的奇数项对积分有贡献，而a0和偶数项的系数都为0。由此得到上述式子。因此，当函数在周期区间上满足连续和可导条件时，可以使用傅里叶级数在(0,π)上的求和来逼近原函数。但是需要注意的是，傅里叶级数的逼近精度与原函数的连续性和可导性有关，如果原函数在周期区间上不满足这些条件，则傅里叶级数的逼近效果可能不理想。

-π/4-1 由于你是要展开成正弦型级数,所以函数在延拓的时候需要延拓成奇函数,也就是说f(x)在[-π,π]上的定义应该如下： 当x属于[-π,-π/2)时,f(x)=x-1 当x属于[-π/2,0)时,f(x)=-1, 当x属于[0,π/2]时,f(x)=1 当x属于(π/2,π]时,f(x)=x+1 当某个x0为连续点或者第一类间断点（比如你题目中要求的那个点就是第一类间断点）时,由Dini定理可知其傅立叶级数取值为[f(x0+0)+f(x0-0)]/2,其中f(x0+0)和f(x0-0)分别表示在x0点取左右极限的函数值,当然如果这点是连续的,显然有[f(x0+0)+f(x0-0)]/2=f(x0).如果这点是第一类间断点,比如像你题目中的情况,那么有在-π/2处的左右极限分别为-π/2-1和-1,所以其值为两者相加除以2也就是 -π/4-1

都在考试范围，多元函数积分绝对是重点，每年都会有大题。傅里叶级数不算重点，比较冷门，但偶尔也会考，多是填空选择题，也就是考一道小题。不过曾经有一年出过一个大题，考翻了一堆人。我的意见：傅里叶级数的定义要知道，如何做奇延拓、偶延拓要知道；另外重点掌握傅里叶级数的和函数，在某一点的值如何计算（特别是间断点处），如果考填空或选择的话，95%的可能性是考这个地方。希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

进行偶延拓，把周期延展到2π，再带入2π为周期的傅里叶级数公式即可。（偶函数，bn项均为0，只需算a0，an）

傅里叶级数不属于高中知识。在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波（角频率为ω）和各次谐波（角频率为nω）的和，也就是级数中的各项傅里叶级数是对于周期信号来说的，如果周期信号满足绝对可积（一般都符合），那么他就可以分解成无限项正弦函数和余弦函数的加权和，这个无限项正弦函数和余弦函数的加权和就是傅里叶级数了首先我们知道线性代数里，一个n维的向量（f）可以由n个完备的正交归一基底叠加而成，叠加系数怎么求呢？就是直接用这个向量（f）点乘各基底（就是用点乘来求它在各基底的分量）。好现在你把一个函数看成一个无限维的向量，每个函数值对应的就是一维，而在这个无限维的空间里，点乘被定义为这两个函数相乘后再积分（就跟高中里a·b=axbx+ayby一个道理）。

设f是定义在[-π,π]上的偶函数,易知其傅里叶系数为an=2/π∫(0-->π)f(x)cosnxdx,n=0,1,2...bn=0其傅里叶级数为f(x)=a0/2+∑(n=1-->∞)ancosnx称为傅里叶余弦级数

分享解法如下。按照傅里叶级数定义，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx，n=1,2，……。而，f(x)=πx-x丨x丨是奇函数。∴f(x)cos(nx)是奇函数、f(x)sin(nx)是偶函数。题中积分区间对称，按照定积分的性质，有a0=0，an=0；bn=(2/π)∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx。又，应用分部积分法，∫(0,π)(πx-x²)sin(nx)dx=(1/n)∫(0,π)(π-2x)cos(nx)dx=…=(-2/n³)[(-1)^n-1]。∴n为偶数时，bn=0；n为奇数时，bn=8/(πn³)。设n=2k-1，k=1,2，……。∴n为奇数时，f(x)=∑(bn)sin(nx)=(8/π)∑[sin(nx)]/n³=(8/π)∑[sin(2k-1)x]/(2k-1)³。∴f(x)=(8/π)∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³，n=1,2，……。该级数收敛。∵丨g(x)丨=丨8∑[sin(2n-1)x]/(2n-1)³丨≤∑1/(n-1/2)³~∑1/n³，收敛。故，傅里叶级数f(x)收敛。

解：分享一种解法。根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。 an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。 bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。 ∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,…,∞。供参考。

傅里叶级数是傅里叶在研究热传导现象时提出的。傅里叶在研究热传导方程时继承了前人研究天文理论和弦震动方程的方法,直观地断定每一个周期函数都可以表示为三角级数，但他并没有给出一个函数可以展开为三角级数的条件，也没有给出严格的证明，尽管如此，傅里叶将、欧拉、黎曼等人在一些特殊情形下应用的三角级数方法发展为内容丰富的一般理论，从而开创了数学物的一个时代。在当代，傅里叶级数在物理学、计算机、移动通信等学科具有非常广泛的应用，同时也是处理工程学中诸多问题不可或缺的理论工具，在图案设计中，通过傅里叶级数的变换，可以设计出许多精美的图案，在铁路客运量预测中，通过傅里叶级数预测法，可以为铁路部门安排车次提供可靠的理论依据。对于周期函数，我们总是把它表示成三角函数组成的级数——傅里叶级数，下面我们进一步研究函数的傅里叶级数展开问题./// 函数展开成傅里叶级数 ///现在的问题是：f(x)满足什么条件才能保证级数式①收敛，并且它的和函数等于f(x)？下面给出的收敛定理就回答了这个问题/// 正弦级数和余弦级数 ///由傅里叶系数公式可见，于是有如下定理:

这题不用算傅立叶级数的系数 傅立叶级数为余弦级数 则f(x)先做了偶延拓，得到F(x) F(x)再做以4为周期的周期延拓 F(x)的傅立叶展开式＝S(x) f(x)的连续点，S(x)＝f(x) f(x)的间断点，S(x)＝左右极限的平均值 S(-1/3)＝S(1/3)＝f(1/3)＝1/3 S(7)＝...9131

傅里叶级数和傅里叶变换的关系。傅里叶级数对周期性现象做数学上的分析。傅里叶变换可以看作傅里叶级数的极限形式，也可以看作是对周期现象进行数学上的分析。除此之外，傅里叶变换还是处理信号领域的一种很重要的算法。要想理解傅里叶变换算法的内涵，首先要了解傅里叶原理的内涵。傅里叶原理表明：对于任何连续测量的数字信号，都可以用不同频率的正弦波信号的无限叠加来表示。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。傅里叶级数针对的是周期性函数，傅里叶变换针对的是非周期性函数，它们在本质上都是一种把信号表示成复正选信号的叠加。

答案：应该是-1吧！略解：s(x)是傅里叶正弦级数的和函数，意思是应该先把f(x)展开成（-pi,+pi）上的奇函数，然后周期循环。所以s（-pi/2）=-s(pi/2)=-1

第一问，考虑a是否为自然数是必要的，因为a为自然数时，函数变成sinnx（即为a=n），由于sinnx，cosnx，n=1，2,。。。是一个正交列，故其傅里叶级数变成有限项（即项角标等于a的sin系数非零，其余全是0），这个的计算不同于a非自然数，而且这个时候函数在端点值相等，拓展成周期函数时是连续的，级数在整个定义域都收敛于函数值，可以单独列出。第二问中，n不是自然数时，f（-π）不等于f（π），也就是如果把函数拓展成周期函数，那么在周期两端的地方是不连续的，故其傅里叶级数在这些点不收敛于函数值。而在周期内部是连续的，级数收敛于函数值，可以写成f（x）=级数。

傅里叶分析（Fourier analysis）是分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质，又称调和分析。法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。由三角函数系{cosnx,sinnx} (n=0,1,2，…）组成的无穷级数称为三角级数，其中αn,bn为系数，与x无关。若级数⑴对于一切x收敛，它的和记为(x）：则(x）是一个具有周期2π的周期函数。上式两边分别乘以cosnx或sinnx，并且在（0,2π）上同时积分，就得到公式　上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性，应当对级数⑴的收敛性加以必要的限制，例如一致收敛性等。但是，上面提供的纯形式运算，却提出了一个很有意义的问题：如果(x）是一个给定的以2π为周期的周期函数，通过⑶可以得到一列系数αn,bn，从而可构造出相应的三角级数⑴。这样得到的三角级数⑴是否表示(x）？正是傅里叶，他首先认为这样得到的级数⑴可以表示(x）。给定(x），利用⑶得到的三角级数⑴，称为的傅里叶级数，而称⑶为的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别，（n=0，±1，±2，…）是[0,2π]上的规范正交函数系，函数关于它的傅里叶级数为称为 的傅里叶级数的复形式。

解：分享一种解法。根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,…,∞。供参考。

解：分享一种解法。根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。 an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。 bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。 ∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,…,∞。供参考。

20世纪 20世纪初，H.L.勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅里叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函数的傅里叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于[0,2π]上勒贝格平方可积的函数，帕舍伐尔等式成立傅里叶级数，特别是连续函数的傅里叶级数，是否必处处收敛？1876年P.D.G.杜布瓦－雷蒙首先发现，存在连续函数，它的傅里叶级数在某些点上发散；后又证明，连续函数的傅里叶级数可以在一个无穷点集上处处发散。这反面结果的发现提醒人们对傅里叶级数的收敛性应持审慎态度。 进一步的研究导致G.H.哈代以及F.（F.）里斯兄弟建立单位圆上H空间的理论。他们研究了单位圆内使有界的解析函数F(z），这里0<r<1，而p>0。这类函数的全体，称为H空间，它是近代H空间理论的先驱。通过傅里叶级数刻画函数类是傅里叶分析中的重要课题，著名的帕舍伐尔公式以及里斯-费希尔定理反映了函数类l(0,2π）的特征。如果P≠2，则有以下的豪斯多夫-杨定理。 设1<p≤2,p┡=p/(p-1），如果∈l(0,2π），Cn是的复傅里叶系数，那么反之，如果{сn}(-∞<n<；∞）是满足的复数列，那么{сn}必为中某函数的傅里叶系数，且。 20世纪50年代以前的重要工作中，还应当提到哈代与李特尔伍德的其他许多贡献。特别是30年代，他们用极大函数研究傅里叶级数，取得了很深刻的结果。极大函数是一种算子，它的定义是极大函数M ()(x）比函数自身要大，用它来控制傅里叶分析中某些算子，可以达到估计其他算子的目的。50年代以前，傅里叶分析的研究领域基本上限于一维的具体空间，50年代以后的研究，逐渐向多维和抽象空间推广。 积分理论名称：考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论由于偏微分方程等许多数学分支发展的需要，50年代出现的考尔德伦－赞格蒙奇异积分理论，标志了调和分析进入了一个新的历史时期。例如，当∈l(Rn），泊松方程Δu=的基本解u(x）的二阶导函数，在一定条件下（例如具有Lipα连续性），可以表成如下的奇异积分сn为某常数，仅与维数n有关。积分 ⑻作为勒贝格积分一般是发散的；注意到Ωj(y）在R的单位球面S上的积分为0，可以证明，积分⑻在柯西主值意义下存在，并且作为x的函数是连续的，从而u(x）是泊松方程的解。考尔德伦、赞格蒙研究了一类相当广泛的奇异积分算子⑼的性质，这里Ω(y) 是具有一定光滑性的零阶齐次函数，且满足条件。他们证明了这种积分算子具有l有界性（p>1）；利用这些性质，可以得到某类微分方程中解的“先验估计”。h空间理论的近代发展 E.M.施坦、G.韦斯于20世纪60年代，引进了上半空间上的h空间，它们是n=1的推广。当n=1时，h(p>0）空间中的函数在R=(-∞，∞）上的边值函数几乎处处以及在l范数下都存在，施坦、韦斯定义的多维空间，显然是一维h(R崹）空间的推广。人们自然要问，经典的h(R崹）空间中最基本的性质，例如边值函数的存在性等，在多维空间中是否还被保留？施坦、韦斯首先发现，p>(n-1)/n时，答案是肯定的；例如他们证明，若F∈，p>(n-1)/n，那么几乎处处以及在L范数意义下都存在。1964年，考尔德伦、赞格蒙利用高阶梯度概念，原则上把h空间的上述限制p>(n-1)/n放宽为p>0，但他们的方法比较复杂，随着指标p的不同，h空间定义的一致性，当时并不清楚。70年代初，h空间的近代理论经历了引人注目的发展。D.L.伯克霍尔德、R.F.冈迪、M.L.西尔费斯坦于1971年，首先就一维的情形，证明的充分且必要的条件是，F(x+iy）的实部u(x,y）的角形极大函数，稍后，C.费弗曼、施坦又把上述特征推广到多维中去，并且进一步指出，当0<p<；∞时，(x）作为中某函数的边值函数的充分且必要的条件是：存在充分光滑的函数φ(x），，使得关于φ的角形极大函数，这样，作为h(R）函数的实变函数论特征，它完全可以脱离泊松核，也无需借助于解析函数或调和函数的概念，而纯粹是实变函数论的一种内在特性的反映，这是出乎人们的想象的。 对于R=(-∞，∞）上定义的非周期可积函数(x），傅里叶积分代替了傅里叶级数⑴，而称为的傅里叶变换。傅里叶级数⑴ 和傅里叶积分⑽的具体形式不同，但都反映了一个重要的事实，即它们都把函数分解为许多个分量e(-∞<z<；∞）或e(n=0，±1，±2，…）之和。例如对于傅里叶级数⑴，(x）分解为сne(n=0，±1，±2，…）之和；而傅里叶积分⑽则表明，(x）可以分解为无穷个弮（z)e(-∞<z<；∞）之“和”。分量的系数сn(n=0，±1，±2，…）以及弮（z)(-∞<z<；∞）的确定，也有类似之处。事实上，它们都可以用下面的形式来表达：。　⑾当为具有2π周期的周期函数时，G=(0，2π），，测度 是G=[0,2π]上的勒贝格测度，此时，即傅里叶系数⑷；当 为定义在（-∞，∞） 上的非周期函数时，x(t)=(-∞<x<；∞），而是（-∞，∞）上的勒贝格测度，公式⑾即为傅里叶变换。把函数分解为许多个“特殊”函数{e}之和的思想，启发人们考虑更为深刻的问题。事实上，从群的观点看，无论是周期函数还是非周期函数，它们的定义域都是拓扑群G，就是说，G有一个代数运算，称为群运算，以及与之相协调的极限运算，称为G的拓扑。傅里叶级数或傅里叶积分的任务，正是研究G上定义的函数(x）分解为群上许多“特殊”函数（例如e或e）之和的可能性，以及通过傅里叶系数或傅里叶变换来研究自身的性质。对于一般的拓扑群G，相当于{e}或{e}的“特殊”函数是哪种函数；把这种“特殊”函数x(t）代入公式⑾，又必须确定G上的测度μ，以求出 的傅里叶变换，这是在群上建立傅里叶分析理论所必须解决的两个基本问题。对于直线群R=(-∞，∞），它的 “特殊”函数x(t)=e(-∞<x<；∞）的特殊性，就在于它们满足以下的三个条件：①x(t+s)=x(t)x(s），②|x(t)|=1，③x(t）是t的连续函数。用群表示论的术语来说，条件①、②、③合起来，正好说明x(t）是群R的一个酉表示，而且进一步可以证明，满足①、②、③的不可约的酉表示的全体就是 {e}(-∞<x<；∞）。对圆周群T而言，T的“特殊”函数全体xn(t)=e(n=0，±1，±2，…）除满足①～③以外，还满足条件④xn(2π)=1。从群表示论的观点看，条件①～④合起来，说明T的“特殊”函数正好是群T的酉表示；进一步则可证明，T的一切不可约酉表示正好就是{e|n=0，±1，±2，…}。这样，寻找一般抽象群G上合适的“特殊”函数的问题，就转化为研究和寻找群G上一切不可约酉表示的问题。对于紧群或局部紧的交换群，群表示论的结果已经相当丰富，相应的“特殊”函数的研究也比较成熟。至于既非交换又非紧的拓扑群，寻找相应的“特殊”函数，尚是一个值得探索的难题。研究拓扑群上的测度是建立群上傅里叶分析的另一个基本课题，因为群上的积分⑾离不开相应的测度。以可加的局部紧拓扑群R=(-∞，∞）为例，经典的勒贝格测度的主要特点是：①R中任一紧集的勒贝格测度必为有限；②R中任何可测集的勒贝格测度关于右（或左）平移是不变的。人们自然要问，一般的拓扑群上，具有①、②两条件的测度（现在称为哈尔测度）是否存在？存在的话，是否唯一？这个问题，自1930年以来，经A.哈尔，A.韦伊以及И。М.盖尔范德等人的努力，已经证明，在局部紧的拓扑群上，满足条件①、②的哈尔测度是一定存在的，并且相互间仅差常数倍。例如，以乘法为群运算的全体正实数构成一拓扑群R，它的拓扑就是欧氏空间的拓扑， 那么测度dμ=xdx就是R上的哈尔测度。这是因为，对于任意的，这说明测度dμ=xdx关于位移是不变的。如果进一步求出群R的一切不可约酉表示，则经过计算，可以证明R的一切不可约酉表示就是{x|- ∞<t<；∞}。这样，由公式⑾，对于群R上的可积函数(x), 的傅里叶变换。上式表达的弮（t）正好又是经典的所谓梅林变换M (x），是R.H.梅林19世纪末为研究狄利克雷级数的有关性质时引进的。这个特例说明，群上的傅里叶分析，不仅把梅林变换统一到傅里叶变换中来，更重要的是，群论观点的引入，使得隐藏在某些现象背后的内在联系，被揭示得更清楚更深刻了。 A.Zygmund,Trigonometric Series,2nd ed.,Cam-bridge Univ.Press,Cambridge,1959.E.M.Stein,Singular Integrals and Differen-tiability Properties of Functions，Princeton Univ. Press,Princeton,1970.G.M.Stein and G.Weiss，Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces，Princeton Univ.Press,Princeton,1971.E.Hewitt and K.A.Ross,Abstract harmonicAnalysisVol.1～2,Springer-Verlag. Berlin,1963.1970.

你举个例子说明一下，怎么不同了？两者都是以2pi为周期的周期函数，应该是一样的。

傅里叶展开式(Fourier expansion)函数用三角级数表示的形式.即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼.若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式.

这个函数符合狄里克雷收敛定理f(x)是周期为2π的周期函数；在一个周zhi期内连续或只有第一类间断点，在一个周期内至多只有有限个极值点。所以x是f(x)的连续点时，级数收敛于x，x是f(x)的间断点时，级数收敛于1/2[f(x+)+f(x-)]，这题就是3。解：根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。 an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。 bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。 ∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,∞。扩展资料：傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。参考资料来源：百度百科-傅里叶级数

隔年考一次。傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在收敛于此函数本身时的一种称呼，基本上隔年考一次。

你举个例子说明一下，怎么不同了？两者都是以2pi为周期的周期函数，应该是一样的。

傅里叶级数和傅里叶变换是用来描述信号在频域上的表示方式。傅里叶级数表示离散周期序列信号：傅里叶级数可以将周期性的离散信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，能够表示周期性信号的频域特性。傅里叶变换表示非周期信号：傅里叶变换是将时间域上的信号在连续频谱下进行表示，它可以表示所有的信号，因此也被称为傅里叶积分变换。它能够将任意信号在频域中高精度地表示出来。联系：傅里叶变换和傅里叶级数都是将时域中的信号转化到频域中，进一步研究信号的频域性质。傅里叶级数只对周期性信号适用，而傅里叶变换适用于所有信号，包括非周期性信号。在傅里叶级数中，信号在频域上的表示是通过一组基函数的线性组合来实现的；而在傅里叶变换中，信号在频域上的表示则是通过将信号在单位圆上的连续谱分解为一系列的正弦和余弦函数的组合来实现的。

你好！傅里叶级数有如下性质s(x)=[f(x+0)+f(x-0)]/2f(π+0)=-π,f(π-0)=0所以选A仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

傅立叶变换的公式为：即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。扩展资料如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间。则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

请分清Fourier级数与Fourier变换之间的区别。对于定义域为负无穷到正无穷的函数，只有周期函数才能展开成Fourier级数。Fourier级数可以看成是Fourier变换的一种离散的形式。对于定义域为负无穷到正无穷的非周期函数，其经过Fourier变换后频谱是连续谱，而只有周期函数其频谱才是离散谱，这相当于周期函数只是由可列个谐波叠加而成的，而不需要其它频率的正弦波。因此，当定义域是负无穷到正无穷的时候，只有周期函数才能展开成傅里叶级数的形式。但是，通常我们研究的实际问题的定义域一般是有限长度的，对于这种问题，我们可以对其进行周期延拓，将有限长度上的函数延拓成定义域为负无穷到正无穷的周期函数。经过延拓之后的函数，是可以展开成Fourier级数的。

cos(kwt+sita)[级数中的每一项都bai是这样]，时移某个t0，仅仅相位变了，体现在系数中，就是ak×daoe^-jkwt0；时域尺度变化，ak×cos(m ×kwt+sita)，说明ak是第mk次分量的系数，所谓的"ak后面的基却变了"，说明只有m的整数倍次分量。这个积分是不能直接计算的，因为不满足绝对可积条件。根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。直流信号的傅里叶变换是2。扩展资料：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

傅立叶级数在负π到π,0到2π计算的结果没有区别，只是函数所在的区间不一样，傅立叶级数在负π到π区间是和y轴对称的，而0到2π是从0点到π，两个区间的数值都是2π，所以最后的计算结果没有区别。

首先一个信号，比如X(t)是一个奇形怪状的函数。我们很难对他进行分析。但是X(t)=很多有规律的函数叠加。。。于是我们就寻找这些有规律的函数来代表X(t)，这就是对X(t)进行分解。分解有很多种类，其中非常牛b的一种是正交分解。三角函数族恰好就是一个正交函数族。周期为T 2T 3T...nT的三角函数能够通过叠加组合出所有周期为T的连续函数。就是说X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n (其中基n是周期为T/n的三角函数...)。为什么会这样呢？数学分析上是使用：黎曼勒贝格引理+局部收敛+狄里赫雷核积分推出的。泛函上证明要简洁些。不过这些你都不需要太过于专注（就连傅立叶都没有证明出来的），你只需要记住周期nT三角函数叠加能表示周期为T的连续函数。X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n。那么前面的系数ai怎么求呢，这时函数正交的作用就体现出来了。直接用(x,基n)内积 ，就可以得出系数an。至于为什么，你可以自己算下，利用(基i，基j)=δij就可推出结果。当X(t)没有明确的周期的时候，我们假定他的周期是无穷大，再用复数来表示各个正交基，在系数上乘以T(这时的T是无穷大，如果不乘以T的话，L1L2空间的函数的傅立叶变变换就是无穷小了)，这样就成了傅立叶变换了。傅立叶变换难很多。因为傅立叶变换的定义域大大超过了L1L2空间。有些函数广义积分不存在，但是傅立叶变换存在。所以在处理这些积分的时候，必须要利用某些特殊函数的性质，比如冲击函数，阶跃函数等，进行反向的推导。

能看懂的人都很少貌似是说这个方程虽然得出来但极其复杂以至于无法求解

数学上的 东西 不是几句话能明了的！即使说了一大堆不见得 你就能明白

自由粒子的薛定谔方程是：k^2 ＝ 2mE / h^2。解是：当包含相位因子时，我们得到： 其中A 是粒子沿矢量k方向传播的概率，而B 2是粒子沿与k相反的方向传播的概率。 请记住| k|²=k²。 由于粒子是自由的，因此后一个概率为零，解为： 这个解告诉我们，自由粒子像波一样传播，从而解决了波粒二象性悖论。自由粒子的知识扩展：自由粒子是在微观尺度下不受力的粒子，不受任何约束，因而会自由移动，在运动中不改变能量。由于事实上不存在绝对不受力的粒子，所以自由粒子是一个理想的物理模型。

泛泛的讨论薛定谔方程的解释没有意义的薛定谔方程的解是波函数Ψ（r，t）求解薛定谔方程必须由一定的条件在给定初始条件和边界条件以及波函数所满足的单值、有限、连续的条件下，可以解出波函数Ψ（r，t）但是只有某些情形能够解出解析解很多情况下需要进行简化或者处理，而且仅能解出数值性的解。

薛定谔方程（Schrodinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

　　薛定谔方程得出的线索是量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。 　　薛定谔方程，又称薛定谔波动方程，是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。 　　它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。薛定谔方程表明量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。

和女生聊天的幽默技巧理论知识（1）人只有放松的时候才能幽默。你无法在紧张时幽默，所以，先放松你自己。（2）幽默和性有相通的结构。都是先制造紧张，然后释放紧张。（3）男人和女人的幽默感略有区别。有些笑话男人觉得好笑的，女人未必觉得好笑第一个和女生聊天幽默技巧：咬住话尾，胡说八道。 这个技巧很实用，学会这个技巧，任何时候都可以幽默，只要对方有讲话。 什么是咬住话尾呢？也就是俗称的“接话瓣儿”接话瓣儿就是别人说了一句话，你在别人说的这句话基础上再做发挥，通常是曲解、夸张、引申、演绎等。很多小孩子都有这个幽默天赋。比如老师在上面讲课，小学生会在老师讲的每句话间隙插科打诨。老师说： “这个星期天在家别光顾着玩，要好好写作业……” 捣蛋鬼： “也别光顾着写作业，玩也是很重要滴。 ” 老师说： “期末考试快到了……” 捣蛋鬼： “期末开始到了，暑假还会远吗？” 看了上面两个例子，大家应该都明白了。 这里再给出一个我和女生聊天的实例：女孩：看来你挺喜欢搭讪的嘛！ 我：看来你挺享受被搭讪的嘛！ 女孩：哪有呢…随便聊聊而已… 我：原来你是很随便的人啊，没看出来，后悔认识你了 女孩：晕了…闲聊啊…别想那么复杂… 我：真的晕了吗？那看来只有我亲自出马把你吻醒了。 （如果女孩调皮说“就不醒” ，你就进一步夸张说“那就吻你的脚趾头” ） 网上有个叫泡圣老鱼的家伙，写得追妹纸的文章特别干货，粉丝无数，我以前也是一个挫男后来学习 了他很多文章，才进入把妹的另外一个世界，现在交往的女朋友一个比一个好看，最后搞得结婚都很 纠结，我太贪了，不过想要看的的兄弟可以去找一下泡圣老鱼就可以看到他写的文章。