如何证明连续时间傅里叶级数的相乘性质？

傅里叶级数和傅里叶变换是用来描述信号在频域上的表示方式。傅里叶级数表示离散周期序列信号：傅里叶级数可以将周期性的离散信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，能够表示周期性信号的频域特性。傅里叶变换表示非周期信号：傅里叶变换是将时间域上的信号在连续频谱下进行表示，它可以表示所有的信号，因此也被称为傅里叶积分变换。它能够将任意信号在频域中高精度地表示出来。联系：傅里叶变换和傅里叶级数都是将时域中的信号转化到频域中，进一步研究信号的频域性质。傅里叶级数只对周期性信号适用，而傅里叶变换适用于所有信号，包括非周期性信号。在傅里叶级数中，信号在频域上的表示是通过一组基函数的线性组合来实现的；而在傅里叶变换中，信号在频域上的表示则是通过将信号在单位圆上的连续谱分解为一系列的正弦和余弦函数的组合来实现的。

你好！傅里叶级数有如下性质s(x)=[f(x+0)+f(x-0)]/2f(π+0)=-π,f(π-0)=0所以选A仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

傅立叶变换的公式为：即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。扩展资料如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间。则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

请分清Fourier级数与Fourier变换之间的区别。对于定义域为负无穷到正无穷的函数，只有周期函数才能展开成Fourier级数。Fourier级数可以看成是Fourier变换的一种离散的形式。对于定义域为负无穷到正无穷的非周期函数，其经过Fourier变换后频谱是连续谱，而只有周期函数其频谱才是离散谱，这相当于周期函数只是由可列个谐波叠加而成的，而不需要其它频率的正弦波。因此，当定义域是负无穷到正无穷的时候，只有周期函数才能展开成傅里叶级数的形式。但是，通常我们研究的实际问题的定义域一般是有限长度的，对于这种问题，我们可以对其进行周期延拓，将有限长度上的函数延拓成定义域为负无穷到正无穷的周期函数。经过延拓之后的函数，是可以展开成Fourier级数的。

傅立叶级数在负π到π,0到2π计算的结果没有区别，只是函数所在的区间不一样，傅立叶级数在负π到π区间是和y轴对称的，而0到2π是从0点到π，两个区间的数值都是2π，所以最后的计算结果没有区别。

首先一个信号，比如X(t)是一个奇形怪状的函数。我们很难对他进行分析。但是X(t)=很多有规律的函数叠加。。。于是我们就寻找这些有规律的函数来代表X(t)，这就是对X(t)进行分解。分解有很多种类，其中非常牛b的一种是正交分解。三角函数族恰好就是一个正交函数族。周期为T 2T 3T...nT的三角函数能够通过叠加组合出所有周期为T的连续函数。就是说X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n (其中基n是周期为T/n的三角函数...)。为什么会这样呢？数学分析上是使用：黎曼勒贝格引理+局部收敛+狄里赫雷核积分推出的。泛函上证明要简洁些。不过这些你都不需要太过于专注（就连傅立叶都没有证明出来的），你只需要记住周期nT三角函数叠加能表示周期为T的连续函数。X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n。那么前面的系数ai怎么求呢，这时函数正交的作用就体现出来了。直接用(x,基n)内积 ，就可以得出系数an。至于为什么，你可以自己算下，利用(基i，基j)=δij就可推出结果。当X(t)没有明确的周期的时候，我们假定他的周期是无穷大，再用复数来表示各个正交基，在系数上乘以T(这时的T是无穷大，如果不乘以T的话，L1L2空间的函数的傅立叶变变换就是无穷小了)，这样就成了傅立叶变换了。傅立叶变换难很多。因为傅立叶变换的定义域大大超过了L1L2空间。有些函数广义积分不存在，但是傅立叶变换存在。所以在处理这些积分的时候，必须要利用某些特殊函数的性质，比如冲击函数，阶跃函数等，进行反向的推导。

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.190 - p.212回想我们在连续时间周期信号的傅里叶级数线性性质中，强调了 和 需要具有相等的周期 ，这里，在非周期信号的傅里叶变换中，不需要这个条件。信号在时间上的移位，并不改变它的傅里叶变换的模，只是在其变换中引入相移 ，相移与频率 成线性关系。推导过程：对 取共轭得到，用 代替 ，可得上式就是 的傅里叶变换分析公式。 如果 为实函数，那么 ，就得到了共轭对称性，这也就是说，如果 为实函数，那么其傅里叶变换 的实部是频率的偶函数，虚部是频率的奇函数。也可以推导出， 是频率的偶函数， 是频率的奇函数。积分性质中，项 反映了由积分所产生的的直流或平均值。在时间上反转一个信号，其傅里叶变换也反转。 如果一个时间函数有某些特性，而这些特性在其傅里叶变换中隐含着一些别的什么东西，那么与频率函数有关的同一特性也会在时域中隐含着对偶的特性。常被称为信号 的能量谱密度。 帕斯瓦尔定理指出，信号 的总能量既可以用单位时间内的能量 在整个时间内积分得到，也可以用单位频率内的能量 在整个频率范围内积分得到。这个性质将两个信号时域里的卷积映射到了频域里傅里叶变换的乘积。 我们在傅里叶变换推导的那篇笔记中学习过，傅里叶变换的收敛需要能量可积和狄利赫里条件才能得以保证，这也就是说并不是所有的LTI系统都能定义出频率响应 。 然而，如果这个系统是稳定的，那么其单位冲激响应一定满足绝对可积条件，即上式就是三个狄利赫里条件之一，而只有三个狄利赫里条件全部满足才能保证 的傅里叶变换 存在。因此，假设 也满足另外两个狄利赫里条件，事实上，所有物理上或者实际上有意义的信号都是满足的，那么一个稳定的LTI系统就有一个频率响应 。 根据傅里叶变换的对偶性，既然时域的卷积可以映射到频域里傅里叶变换的相乘，那么我们有理由猜想，时域的相乘也可以映射到频域的卷积。两个信号相乘往往也称为幅度调制，因此上面这个式子也被称为调制性质。 研究下面这个常系数线性微分方程，

理解傅里叶变换的平移和伸缩性质：时域信号拉伸，相当于频率降低，所以频谱要收缩。时域信号“伸缩”后，傅里叶变换要“缩伸”并乘一个系数，是因为频域“缩伸”后能量不守恒。傅里叶变换时在频域对信号进行分析，可以把时域的信号看做是若干正弦波的叠加，傅里叶变换的作用正是求得这些信号的幅值和相位，有限的时域信号可以分解为傅里叶级数的形式，傅里叶变换和求傅里叶级数是一回事。有关傅里叶变换的FPGA实现傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。

正弦级数必过原点,正满足奇函数的性质；而且,仔细观察傅里叶级数,cos0x的系数正是a0/2,而sin0x的系数是0,所以,傅里叶级数中并没有常数项,只不过sin0x和cos0x正好是常数而已.

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既然函数以2π为周期, 那么区间[-π,π]与[0,2π]都是一个周期,两个区间上的逐段可微性是完全等价的.换成任何一个长为2π的闭区间都一样.换个说法, 已知一个2π周期函数在[0,2π]上的取值,可以由周期性决定其在[-π,π]上的取值,而且如果在[0,2π]上逐段可微, 则在[-π,π]上也逐段可微.又由cos(nx), sin(nx)的周期性, 可以知道在[0,2π]和[-π,π]上的Fourier系数是对应相等的,于是Fourier级数都是一样的.注意到函数本身以及其Fourier级数都具有2π周期,那么由[-π,π]上的收敛性, 不难得到[0,2π]上的收敛性.

傅里叶级数是一老大难，公式复杂，内容深奥，讲解少。 但是，他是很简单的东西。 本文不去科普，只谈理解。 一个函数，可以按傅里叶基展开，也就是可以写成这样的形式 其具体理解，可类比线性空间由此，将傅里叶级数与线性代数知识相联系 求解系数的方法，可以类比向量的内积以上推导是不够严谨的，但通常情况下是没有问题的。 线性空间到底是什么？ 线性运算只有加法和数乘吗？ 函数基与普通意义上的基有何区别与联系？代数结构仅对一种运算起作用吗，如果不是，那对那一类运算起作用，他们应具有何种性质？ 有哪些常用的代数结构？分解的思想体现在那些工作上？ 类比的思想有哪些作用？如何培养？

（一）谐波及其合成物理上所说的谐波是指如下的三角函数：反射波地震勘探原理和资料解释其中A称为振幅，φ称为初相，ω＝2πf称为角（圆）频率，f称为频率， 称为周期（见附图A-1）。利用三角公式可将（附A-1）式改写为S＝Acosφcosωt-Asinφsinωt若记反射波地震勘探原理和资料解释则得：反射波地震勘探原理和资料解释而反射波地震勘探原理和资料解释由此可知，若已知（附A-1）式可由（附A-2）式计算出a、b；反之，若已知（附A-3）式，可由（附A-4）式解出A和φ，故两种谐波表达式等价。附图A-1谐波是极其简单的波形，但利用谐波的合成可以得到比较复杂的波形。例如考虑三个谐波的合成：S＝sint+ 。其图形见附图A-2，它与原谐波图形已有很大差异了。下面将会看到满足一定条件的周期函数均可用谐波合成出来。附图A-2 谐波的合成（二）周期函数的傅里叶级数数学上可以证明，当一个周期为T的函数f（t）满足一个比较宽的条件时可以表示为反射波地震勘探原理和资料解释其中Akcos（kω0t+φk）称为f（t）的角频率为kω0的谐波分量。换句话说，即当f（t）满足一定条件时可分解为直流成分（常数项 ）和一系列谐波成分之和。这一系列谐波成分以 为基频，其余的角频率皆为基频的整数倍。利用（附A-2）式可将（附A-5）式改写为反射波地震勘探原理和资料解释可以证明其系数为反射波地震勘探原理和资料解释（附A-5）式和（附A-6）式右端的级数即是周期函数f（t）的傅里叶级数。Ak＝ 是f（t）的谐波分量（对应于角频率kω0）的振幅，φk是其初相。可以将傅里叶级数（附A-6）式和（附A-7）式改写为复数形式：反射波地震勘探原理和资料解释式中 是f（t）简谐分量的复数表示法，ck是个复数即 ，显然反射波地震勘探原理和资料解释也就是说，∣ck∣为简谐分量的振幅，φk为初相。将振幅∣ck∣与频率kω0的函数关系称为f（t）的振幅谱，相应地将φk与频率kω0的函数关系称为f（t）的相位谱。周期函数可以表示为傅里叶级数这一事实说明周期函数的振幅谱和相位谱都是离散的，即由一条条谱线所组成，称为线状谱。附图A-3即为附图A-2波形的线状谱。附图A-3 合成波的线状谱（三）傅里叶变换和频谱实际反射波地震资料处理中遇到的信号大多是非周期的。非周期函数在一定条件下可以利用周期函数进行研究。可将非周期函数看成是周期T为无穷大的周期函数。由前述可知基频ω0等于 ，频率间隔Δωk＝（k+1）ω0-kω0＝ω0＝ ，周期T越大时Δωk越小；当时T➝∞时，Δωk➝dω，离散的线性谱的端点逐渐连成一条曲线，离散谱逐渐变成连续谱。此时数学上傅里叶级数就变成了形式上十分类似的傅里叶积分：反射波地震勘探原理和资料解释式中F（ω）是ω的复变函数（复变谱），它可以写成F（ω）＝A（ω）eiφ（ω）。其中A（ω）和φ（ω）均为ω的实变函数，前者称为f（t）的振幅谱，后者称为f（t）的相位谱。对于一个确定的频率ω而言，A（ω）和φ（ω）是确定的实数，它们分别表示频率为ω的谐波分量的振幅值和相位。（附A-9）式的物理意义是说任何一个非周期函数f（t）均可认为是无穷多个不同频率、不同振幅和不同起始相位的谐波之和。傅里叶级数将一个周期信号分解为无穷多个谐波的离散和。这些谐波有一个基频ω0，所有谐波的频率皆是ω0的整倍数，故它们有一个共同的周期 ，叠加结果为一个周期是T的函数。傅里叶积分则把一个非周期信号分解为无穷多个谐波的连续叠加。这些谐波的频率ω可以取任意实数，虽然每一项F（ω）iωtdω都是一个周期函数，但它们之间不存在共同的周期，故叠加结果为一个非周期函数。由（附A-9）式可知，已知信号f（t）可以唯一地计算出它的复变谱F（ω）。已知信号的复变谱F（ω）也可以唯一地确定其波形f（t）。数学上是唯一的、一一对应的关系。F（ω）称为f（t）的傅里叶变换，而f（t）则称为F（ω）的反傅里叶变换。物理上将由信号f（t）求其傅里叶变换F（ω）的过程称为信号的频谱分析，附图A 4是傅里叶变换的一例。附图A-4 非周期函数（a）及其振幅谱（b）作为时间函数的地震波形与作为频率函数的振幅谱、相位谱（或复变谱）之间可以互换且一一对应，故任何复杂的波形既可以作为时间函数研究也可以作为频率函数研究。作为时间函数研究时称为时间域中的函数，作为频率函数研究时称为频率域中的函数。（四）傅里叶变换的几个基本性质（1）叠加定理（线性性质）。设信号f1（t）的频谱为F1（ω），f2（t）的频谱为F2（ω）。若f（t）＝af1（t）+bf2（t），其中a、b为任意常数，则f（t）的频谱为F（ω）＝aF1（ω）+bF2（ω）。（2）时延定理。设信号f（t）的频谱为F（ω），则延迟一段时间后τ的信号f（t-τ）的频谱为F（ω）e-iωτ。说明一个波形经延迟一段时间后，振幅谱不变，相位谱的变化与延迟时τ有关。（3）频移定理。设信号f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴移动ω0得F（ω-ω0），则与之对应的时间信号变为f（t）eiω0t。（4）时间尺度展缩定理。设f（t）的频谱为F（ω），将波形沿时间轴压缩到原来的 倍（即将时间坐标尺度扩展a倍）后的波形f（at）的频谱为 F（ ）。（5）频率尺度展缩定理。设f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴压缩到原来的 倍后F（αω）所对应的时间信号为 （ ）。（6）褶积定理。设时间函数x（t）和h（t）的频谱分别为X（ω）和H（ω），则它们褶积y（t）＝x（t）*h（t）的谱Y（ω）等于X（ω）和H（ω）之积，即Y（ω）＝X（ω）·H（ω）。

您好，傅里叶级数一致收敛的情况下，就可以使用逐项积分。当然，傅里叶级数并不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于f（x）。只有一致收敛于f（x），即f（x）＝1／2a。＋∑（ancosnx＋bnsinnx）（n＝1→∞），那么双方乘以cosnx或sinnx后，在（-兀，兀）上可以逐项积分。傅里叶级数的收敛判别法，常用的有：（1）狄利克雷判别法（2）迪尼判别法这两种判别法，对函数所提的要求都是充分条件，并非必要的。至今还没有收敛的充分且必要的条件。

第一章 时间离散信号与系统1.1 引言1.2 时间离散信号——序列1.2.1 常用序列举例1.2.2 序列的周期性1.2.3 序列的能量1.2.4 任意序列的δ（n）表示1.3 线性移不变系统1.4 系统的稳定性与因果性1.4.1 稳定系统1.4.2 因果系统1.5 线性常系数差分方程1.6 离散时间系统与信号频域表示1.7 傅里叶变换的一些对称性质1.8 时间连续信号的采样1.8.1 采样序列与原信号间的内在联系1.8.2 内插公式习题第二章 Z变换2.1 引言2.2 Z变换2.2.1 Z变换定义2.2.2 常用序列Z变换的收敛域2.3 Z反变换2.3.1 围线积分法（留数法）2.3.2 列表法2.3.3 幂级数法2.3.4 部分分式展开法2.4 Z变换的部分定理和基本性质2.5 系统函数习题第三章 离散傅里叶变换（DFT）3.1 引言3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）表示式3.3 离散傅里叶级数的性质3.3.1 线性关系3.3.2 序列的位移3.3.3 调制特性3.3.4 对称性3.3.5 周期卷积3.4 周期序列以离散傅里叶级数表示时的性质小结3.5 Z变换的采样3.6 有限长序列的傅里叶表示——离散傅里叶变换3.7 离散傅里叶变换的性质3.7.1 线性关系3.7.2 序列的循环位移3.7.3 对称性3.7.4 循环卷积3.8 离散傅里叶变换的性质小结3.9 以离散傅里叶变换实现线性卷积习题第四章 数字滤波器的结构表示4.1 引言4.2 数字滤波器的信号流图表示4.3 数字网络的矩阵表示4.4 无限冲激响应（IIR）系统的基本网络结构4.4.1 直接型4.4.2 级联型4.4.3 并联型4.5 转置型4.6 有限冲激响应（FIR）系统的基本网络结构4.6.1 直接型4.6.2 级联型4.6.3 线性相位有限冲激响应系统的网络结构4.6.4 线性相位有限冲激响应系统的零点对称性4.6.5 频率采样型结构习题第五章 快速傅里叶变换（FFT）5.1 引言5.2 离散傅里叶变换直接计算的难点及其解决途径5.3 按时间抽选的快速傅里叶变换算法5.3.1 原位计算5.3.2 位序的颠倒和规律5.3.3 其他形式5.4 按频率抽选的快速傅里叶变换算法5.4.1 原位计算5.4.2 转置关系5.5 快速傅里叶反变换（IFFT）算法习题第六章 数字滤波器设计第七章 离散希尔伯特变换第八章 数字信号处理技术的实现参考文献

数学物理方法作者：王明新、石佩虎 图书详细信息：ISBN：9787302307730定价：20元印次：1-1装帧：平装印刷日期：2013-1-23图书简介：　　内 容 简 介　　本书紧密结合工科数学教学实际，系统介绍了偏微分方程模型的建立、求解三类典型方程的几种常用方法、特殊函数、线性偏微分方程定解问题的几种简单的特殊解法和一些简单的非线性偏微分方程的特殊解．本书叙述简明，条理清晰，强调数学概念和数学方法的实际背景，在注意介绍必要的理论的同时，突出解题方法．书中内容深入浅出，方法多样，文字通俗易懂，并配有大量难易兼顾的例题与习题．　　本书可作为物理、力学及工科类本科生和研究生教材，也可作为信息和计算数学专业本科生教材和教学参考书．此外，也可供数学工作者、物理工作者和工程技术人员参考．目录　　第1章典型方程的导出和定解问题 ............................................................................11.1典型方程的导出 ...........................................................................................11.1.1弦振动方程 ........................................................................................21.1.2热传导方程 ........................................................................................1.1.3传输线方程 ........................................................................................61.1.4电磁场方程 ........................................................................................71.2定解条件和定解问题 ....................................................................................81.2.1定解条件............................................................................................81.2.2定解问题..........................................................................................1.3二阶线性偏微分方程的分类 ........................................................................ 11　　习题1................................................................................................................. 12第2章傅里叶级数方法 ——特征展开法和分离变量法 ............................................. 142.1预备知识 ....................................................................................................2.1.1正交函数系 ...................................................................................... 152.1.2线性方程的叠加原理 ........................................................................ 162.2齐次化原理 ................................................................................................ 162.2.1常系数二阶线性常微分方程的齐次化原理......................................... 172.2.2弦振动方程和热传导方程初边值问题的齐次化原理........................... 192.3特征值问题 ................................................................................................2.3.1问题的提出 ...................................................................................... 202.3.2施图姆-刘维尔问题 .......................................................................... 212.3.3例子................................................................................................. 222.4特征展开法 ................................................................................................2.4.1热传导方程的初边值问题 ................................................................. 252.4.2弦振动方程的初边值问题 ................................................................. 272.5分离变量法 ................................................................................................ 292.5.1有界弦的自由振动问题.....................................................................· iv ·目录　　2.5.2有界杆上的热传导问题..................................................................... 332.5.3拉普拉斯方程的定解问题 ................................................................. 342.6非齐次边界条件的处理 ............................................................................... 382.7物理意义，驻波法与共振 ............................................................................ 41　　习题2................................................................................................................. 43第3章积分变换及其应用 ........................................................................................ 473.1傅里叶变换 ................................................................................................ 473.2傅里叶变换的应用 ...................................................................................... 503.2.1热传导方程的初值问题..................................................................... 503.2.2弦振动方程的初值问题..................................................................... 533.2.3积分方程.......................................................................................... 56.3.3半无界问题：对称延拓法 ............................................................................ 573.4拉普拉斯变换 ............................................................................................. 583.4.1拉普拉斯变换的概念 ........................................................................ 583.4.2拉普拉斯变换的性质 ........................................................................ 593.4.3拉普拉斯变换的应用 ........................................................................ 61　　习题3................................................................................................................. 65第4章双曲型方程的初值问题 ——行波法、球面平均法和降维法 ............................ 684.1弦振动方程的初值问题的行波法 ................................................................. 684.2达朗贝尔公式的物理意义 ........................................................................... 704.3三维波动方程的初值问题的球面平均法 ...................................................... 724.3.1三维波动方程的球对称解 ................................................................. 724.3.2三维波动方程的泊松公式 ................................................................. 734.4二维波动方程的初值问题的降维法 ............................................................. 754.5泊松公式的物理意义、惠更斯原理 .............................................................. 77　　习题4................................................................................................................. 78第5章位势方程的格林函数方法 ............................................................................. 815.1 δ-函数 ........................................................................................................ 815.1.1 δ-函数的概念 ................................................................................... 815.1.2 δ-函数的性质 ................................................................................... 825.2格林公式与基本解 ...................................................................................... 83目录 · v ·　　5.2.1格林公式.......................................................................................... 835.2.2基本解 ............................................................................................. 835.3调和函数的基本积分公式及一些基本性质 ................................................... 855.4格林函数 .................................................................................................... 865.5特殊区域上的格林函数及狄利克雷边值问题的解 ........................................ 885.5.1上半空间的格林函数、泊松公式 ........................................................ 885.5.2球上的格林函数、泊松公式 ............................................................... 905.6保角变换及其应用 ...................................................................................... 925.6.1解析函数的保角性............................................................................. 925.6.2常用的保角变换 ................................................................................ 945.6.3利用保角变换求解二维稳定场问题 .................................................... 99　　习题5............................................................................................................... 101第6章特殊函数及其应用 ...................................................................................... 1046.1问题的导出 .............................................................................................. 1046.2贝塞尔函数 .............................................................................................. 1066.2.1贝塞尔方程的级数解法.................................................................... 1066.2.2贝塞尔函数的性质........................................................................... 1096.2.3其他类型的贝塞尔函数.................................................................... 1146.3贝塞尔函数的应用 .................................................................................... 1166.4勒让德函数 .............................................................................................. 1196.4.1勒让德方程的幂级数解.................................................................... 1196.4.2勒让德多项式的性质 ....................................................................... 1216.4.3连带勒让德方程 .............................................................................. 1236.5勒让德多项式的应用 ................................................................................ 124　　习题6............................................................................................................... 125第7章特殊解法和特殊解 ...................................................................................... 1287.1线性发展方程初值问题的幂级数解 ........................................................... 1287.2输运方程 .................................................................................................. 1327.3 Hopf–Cole变换.......................................................................................... 1347.3.1伯格方程的Hopf–Cole变换 ............................................................... 1347.3.2 KdV方程的广义Hopf–Cole变换 ........................................................ 1367.4自相似解 .................................................................................................. 138· vi ·目录　　7.5行波解 ..................................................................................................... 1417.5.1直接积分法 ..................................................................................... 1427.5.2待定导数法 ..................................................................................... 1437.5.3待定系数法 ..................................................................................... 145　　习题7............................................................................................................... 147　　附录 A双曲函数 ................................................................................................... 149　　附录 B积分变换表 ............................................................................................... 150　　附录 C贝塞尔函数的零点表 ................................................................................. 152　　附录 D部分习题参考答案 ..................................................................................... 153　　参考文献 ................................................................................................................. 161书名:数学物理方法：普通高等教育[十五]国家级规划教材图书编号:2159044出版社:科学定价:40.0ISBN:703012173作者:邵惠民 编著出版日期:版次:1开本:16简介:本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果，是面向21世纪课程教材、普通高等教育“十五”国家级规划教材。本书系统地阐述了数学物理方法的基础理论及其在物理学、工程技术上的应用。重点不是一味追求数学的严格性和逻辑性，即纯粹数学理论的完整性，而是尽量为读者提供与数学物理方法有关的基本概念、基本定理和解题的各种方法和技巧。本书涉及的尽管是一些传统的内容，但在取材的深度和广度上都比以往教科书有所加强；同时书中也增添了不少反映学科前沿的内容，从而使学生不仅能获得相关学科的比较系统的科学知识，也能引导学生进入当代科学的前沿。此外，本书的另一特色是:读者不仅可以从本书的逻辑结构中获得简化和统一的数学基础知识，而且可以从书内的例题上看到独特的、简洁的、实用性很强的解题方法。本书可作为高等学校理工科非数学专业的本科教材，也可供有关专业的研究生、教师和广大科技人员参考。目录:第一章 复变函数1.1 复数的概念1.2 复数的几何表示法1.3 复数的运算1.4 复变函数1.5 复变函数的极限1.6 复变函数的连续习题第二章 解析函数2.1 复变函数的导数2.2 柯西-黎曼条件2.3 解析函数2.4 解析函数与调和函数的关系2.5 初等解析函数2.6 解析函数的应用——平面场的复势习题第三章 复变函数的积分3.1 基本概念3.2 复变函数和积分3.3 柯西定理3.4 柯西积分公式3.5 柯西积分公式的几个推论习题第四章 解析函数的幂级数表示法4.1 复数项级数4.2 复变函数项级数4.3 幂级数4.4 解析函数的幂级数展开4.5 解析函数的孤立奇点4.6 解析函数在无穷远点的性质4.7 解析开拓4.8 应用习题第五章 留数理论及其应用5.1 留数的基本理论5.2 用留数定理计算实积分5.3 对数留数和辐角原理习题第六章 广义函数6.1 δ函数6.2 广义函数的引入6.3 广义函数的基本运算6.4 广义函数的傅里叶变换6.5 广义解习题第七章 完备正交函数系展开法7.1 正交性7.2 零函数7.3 完备性7.4 推广第八章 斯特姆-刘维本征值问题8.1 本征值问题的提法8.2 本征值问题的主要结论8.3 其他型的本征值问题第九章 傅里叶级数和傅里叶变换9.1 周期函数和傅里叶级数9.2 完备正交函数系9.3 傅里叶级数的性质9.4 傅里叶级数的应用9.5 有限区间上的函数的傅里叶级数9.6 复指数形式的傅里叶级数9.7 傅里叶展开与罗朗展开的联系9.8 傅里叶积分与变换9.9 傅里叶变换的性质9.10 小波变换的引荐9.11 三种定义式习题第十章 拉普拉斯变换10.1 拉普拉斯变换的概念10.2 基本函数的拉氏变换10.3 拉氏变换的性质10.4 拉普拉斯逆变换10.5 应用习题第十一章 二阶线性常微分方程的级数解法11.1 常点邻域的级数解法11.2 正则奇点邻域的级数解法11.3 求第二个解的方法11.4 非正则奇点的渐近解11.5 渐近展开和最陡下降法习题第十二章 数学模型——定解问题12.1 引言12.2 数学模型的建立12.3 定解条件12.4 定解问题12.5 求解途径习题第十三章 二阶线性偏微分方程的分类13.1 基本概念13.2 二阶线性偏微分方程的分类及标准化13.3 二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简13.4 三类方程的物理内涵13.5 二阶线性偏微分方程的特征习题第十四章 行波法14.1 通解14.2 行波解14.3 达朗贝尔公式14.4 半无限长弦的自由振动14.5 两端固定的弦的自由振动14.6 齐次化原理(Duhamel原理)14.7 非线性偏微分方程习题第十五章 分离变量法15.1 分离变量15.2 直角坐标系中的分离变量法15.3 圆柱坐标系中的分离变量法15.4 球坐标系中的分离变量法习题第十六章 勒让德函数16.1 勒让德多项式的定义及表示16.2 勒让德多项式的性质16.3 第二类勒让德函数Q1(x)16.4 勒让德方程的本征值问题16.5 连带勒让德方程及其解16.6 球谐函数16.7 应用习题第十七章 贝塞尔函数17.1 贝塞尔方程及其解17.2 整数阶(第一类)贝塞尔函数17.3 修正贝塞尔方程及其解17.4 球贝塞尔方程及球贝塞尔函数17.5 广义贝塞尔函数17.6 应用习题第十八章 积分变换法18.1 傅里叶变换18.2 拉普拉斯变换18.3 傅氏正弦变换18.4 傅氏余弦变换18.5 汉克尔变换18.6 应用于有界区域的问题习题第十九章 变分法19.1 基本概念19.2 泛函的极值19.3 泛函极值与数学物理问题的关系19.4 求泛函极值的直接方法——里茨法习题第二十章 格林函数法20.1 格林公式20.2 稳态边值问题的格林函数法20.3 热传导问题的格林函数法20.4 波动问题的格林函数法20.5 格林函数的确定20.6 应用习题第二十一章 保角变换法21.1 保角变换及其基本问题21.2 常用的几种保角变换21.3 多角形的变换21.4 应用习题主要参考书目

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.110 - p.127 第二章我们就学到了，对于LTI系统的分析，将信号分解为基本信号的线性组合，这个方法对信号与系统的分析极为有用。 基本信号需要满足以下两个条件： 第二章我们用的是单位脉冲的移位来作为这个基本信号，并导出了卷积和与卷积积分。从这里开始学习傅里叶分析，基本信号选取的是复指数信号，即连续时间的 和离散时间的 信号，其中 和 都是复数。 对于LTI系统，复指数信号的重要性在于LTI系统对复指数信号的响应仍然是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，即 其中 或 是复振幅因子，一般来说是复变量 或 的函数。 一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号就是系统的特征函数，幅度因子就是特征值。 考虑连续时间LTI系统具有单位冲激响应 ，当输入 ，输出可以由卷积积分求出，有， 因为积分变量为 ，所以可以把 提出到积分外， 假设积分收敛，则 其中， 有输入 ，由卷积和得到LTI系统的输出 假设求和收敛，则 其中， 对于连续时间LTI系统而言，如果输入信号可以表示为复指数的线性组合，即 那么输出一定为， 同样的，对于离散时间LTI系统，如果输入可以表示为 那么输出一定可以表示为 一般来说， 和 可以是任意复数，但傅里叶分析仅限于 和 ，也就是只考虑 和 。 对于周期信号 ，满足该式的最小正值 就是基波周期， 为基波频率。 成谐波关系的复指数信号集就是， 这些信号的基波频率都是 的倍数，而且每个信号对 都是周期的。于是一个由成谐波关系的复指数线性组合构成的信号为， 这个信号 对 来说也是周期的。上式就称为傅里叶级数表示。 上式中， 这一项就是一个常数， 和 这两项都有基波频率等于 ，两者合在一起称为基波分量或一次谐波分量。依次有 次谐波分量。 我们一般研究实周期信号的傅里叶级数，那么就有， 对于上式中的求和，用 代替 ，于是 两式比较，发现需要 ，将 以极坐标形式写出， ，那么 可以表示为， 上式为实周期信号的傅里叶级数表示。由于复指数表示计算更为方便，我们后面都用复指数表示。 将给定的连续时间周期信号写成傅里叶级数，需要确定系数 。连续时间周期信号的傅里叶级数表示为， 左右同时乘以 ，得到 从 到 对 积分，得 交换求和与积分次序，得 对于积分 ， 综上， 因此得到， 总结一下，连续时间周期信号的傅里叶级数表达式 系数 称为 的傅里叶级数系数，或称频谱系数。 研究周期信号的有限项级数与 近似的问题， 令 为近似误差， 用一个周期内误差的能量来衡量近似误差的大小， 周期信号若想表示为傅里叶级数，必须满足两类条件， 满足这个条件并不意味着周期信号和它的傅里叶级数在每一个 值上都相等，只表示两者没有能量上的差别。 这个条件保证了每个系数 都是有限值。 对于一个不存在间断点的周期信号而言，傅里叶级数收敛且在每个 值上的级数都与原信号相等； 对于在一个周期内存在有限间断点的周期信号，除去那些间断点，级数与原信号相等；在间断点处，级数收敛于原信号不连续点处的平均值。 在这种情况下，两者没有能量上的差别。 吉布斯现象 表现为傅里叶级数在原信号不连续点处，傅里叶级数具有9%的超量，而且不论 取多大，这个超量不变。 一个不连续信号 的傅里叶级数的截断近似 ，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量。 周期都为 的两个信号 和 ，其傅里叶级数系数分别是 和 ，即 那么就有 从这个性质可以看出，信号在时间上的移位，其傅里叶级数系数的模保持不变。 施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的左右反转。 如果 是偶函数，那么其傅里叶级数系数也是偶函数；如果 是奇函数，那么其傅里叶级数系数也是奇函数。 可以看出时域尺度变换不会导致信号的傅里叶级数系数的变化，但其傅里叶级数表示还是变化了，因为基频变了。 有两个相同周期的连续时间周期信号 和 ，相乘后信号的傅里叶级数系数为 我们可以注意到，相同周期连续时间信号相乘后，其傅里叶级数系数 可以看作 和 的离散卷积和。我会在后面学习连续时间非周期信号傅里叶变换性质中，再次看到这个性质， 时间相乘映射到频域里的卷积 。 将一个周期信号 取其复数共轭（考虑信号为复数信号），那么其傅里叶级数系数为 当 为实函数时，那么有 ，也就是说此时 。 如果 为实偶函数，那么其傅里叶级数系数为实偶函数；如果 为实奇函数，其傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 一个周期信号的平均功率等于其全部谐波分量的平均功率之和。 在1.3节中我们定义 当输入为 时，输出 当 为一般复数时， 称为系统函数，对于连续时间信号与系统而言，在这一章和下一章中，我们只考虑 为纯虚数， 。具有 形式的系统函数[即 被看作 的函数]，该系统函数就被称为该系统的频率响应， 令 为一个周期信号，将其写作傅里叶级数表示 那么根据线性性质，输出可以得到 也就是说，LTI系统的作用就是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。 这一节书中的内容也不复杂，主要是了解一下，第七章会集中介绍利用傅里叶变换方法研究滤波。用于改变频谱形状的LTI系统往往称为频率成形滤波器，近似无失真通过某些频率，而显著衰减或消除另一些频率的LTI系统称为频率选择性滤波器。 参考书中p.153的电路图，一阶RC滤波器，根据选取的输出不同，如果选取电容两端的电压 为输出，系统为低通滤波器；如果选取电阻两端电压 为输出，就是高通滤波器。 假定该系统是 初始松弛 的，那么上面这个微分方程描述的就是一个LTI系统。当输入 时，输出一定为 ，将 和 代入微分方程，得到 当频率 接近0时， 趋近1；而当频率 增加时， 减小。也就是说这个系统在选取 为输出时，是一个非理想的低通滤波器。 滤波器设计中一个典型的权衡问题就是 的选取。如果我希望滤波器仅能通过很低的频率，那么 一定越大越好。但考虑其单位阶跃响应， 我们可以发现，随着 的增加，阶跃响应就需要更多的时间达到其长期稳态值1。这种在频域和时域特性之间的折中是LTI系统和滤波器分析与设计中要考虑的典型问题。 选取电阻两端电压 为输出，有 该系统的频率响应 可以求得，

1、傅立叶变换是线性算子，若赋予适当的范数，它还是酉算子。2、傅立叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。3、正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的傅立叶求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。4、著名的卷积定理指出：傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段。5、离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质，傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。 在1820年傅里叶计算出，一个物体，如果有地球那样的大小，以及到太阳的距离和地球一样，如果只考虑入射太阳辐射的加热效应，那它应该比地球实际的温度更冷。他检查了其他的观察到的可能的热源的文章，并在1824年和1827年就此发表了文章。虽然傅里叶最终建议，星际辐射可能占了其他热源的一大部分，但他也考虑到一种可能性：地球的大气层可能是一种隔热体。这种看法被广泛公认为是有关当前广为人知的“温室效应”的第一项建议。位于拉雪兹神父公墓的傅里叶的墓地傅里叶在他的文章提到了索绪尔的实验。在软木中，他插入几个透明的玻璃，借由间隔的空气分离。正午的阳光透过透明玻璃的顶部被允许进入。车厢内部的这个装置让温度变的更高。傅里叶认为气体在大气中可形成稳定的屏障，如玻璃。这一结论可能导致了后来的所使用的"温室效应"的比喻是指确定的大气温度过程。傅里叶指出，实际的机制，确定了包括温度，大气对流不存在于索绪尔的实验装置。在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波（角频率为ω）和各次谐波（角频率为nω）的和，也就是级数中的各项。一般，随着n的增大，各次谐波的能量逐渐衰减，所以一般从级数中取前n项之和就可以很好接近原周期波形。这是傅里叶级数在电子学分析中的重要应用。

在 MATLAB 中进行数据拟合，可以使用 `fit` 函数实现。`fit` 函数可以拟合一些常见的模型，如多项式模型、指数模型、幂函数模型等。以下是一个简单的示例：假设我们有一组数据 x 和 y，想要用多项式函数拟合这组数据。```matlab% 创建数据x = 1:10;y = [2.1 3.8 6.5 9.7 13.2 15.8 18.3 20 24 26.5];% 拟合多项式函数p = fit(x", y", "poly3");% 绘制图像figure();plot(p, x, y);```在上述代码中，我们先创建了一组 x 和 y 数据，然后使用 `fit` 函数拟合了一个三次多项式函数，并将拟合结果保存在变量 p 中。最后，我们使用 `plot` 函数绘制了原始数据和拟合函数的图像。需要注意的是，`fit` 函数只能拟合一些常见的模型，如果需要拟合更复杂的非线性模型，可能需要使用其他工具或者自己编写拟合算法。

可以用傅里叶级数展开证明函数f(x)=|x|在-π到π区间可以展开为f(x)=兀/2-(π/4)(cosx+1/9*cos^3x+1/25*cos^5x+……)x=0时，π^2/8=1+1/9+1/25+……设n1=1+1/9+1/25+……=π^2/8n2=1/4+1/16+1/36+……n=1+1/4+1/9+1/16+…易知n2=n/4=(n1+n2)/4,则n2=n1/3=π^2/24则n=n1+n2=π^2/6

你好，具体解答过程可以参考下面的图片，我也是用公式编辑器打出来的详细步骤

傅立叶变换　　定义f(t)满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的象函数，f(t)叫做F(ω)的象原函数。 应用 　　　　傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。　　概要介绍　　* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。 　　* 傅里叶变换属于谐波分析。 　　* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似; 　　* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取; 　　* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段; 　　* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)). 　　基本性质　　线性性质　　两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f left( x ight )和g left(x ight)的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则mathcal[alpha f+eta g]=alphamathcal[f]+etamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；　　频移性质　　若函数f left( x ight )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i omega_ x}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f(x)e^{i omega_ x}]=F(omega + omega _0 ) 。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位sqrt；　　微分关系　　若函数f left( x ight )当|x| ightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f"(x)的傅里叶变换存在，则有mathcal[f"(x)]=-i omega mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 �6�1 iω 。更一般地，若f(pminfty)=f"(pminfty)=ldots=f^{(k-1)}(pminfty)=0，且mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i omega)^ mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( �6�1 iω)k。　　卷积特性　　若函数f left( x ight )及g left( x ight )都在(-infty,+infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty} f(x-xi)g(xi)dxi的傅里叶变换存在，且mathcal[f*g]=mathcal[f]cdotmathcal[g] 。卷积性质的逆形式为mathcal^[F(omega)G(omega)]=mathcal^[F(omega)]*mathcal^[G(omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。　　Parseval定理　　若函数f left( x ight )可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty} f^2 (x)dx = frac{2pi}int_{-infty}^{+infty} |F(omega)|^domega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。　　傅里叶变换的不同变种　　连续傅里叶变换　　主条目：连续傅立叶变换 　　一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。　　f(t) = mathcal^[F(omega)] = frac{sqrt{2pi}} intlimits_{-infty}^infty F(omega) e^{iomega t},domega. 　　上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。　　一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。　　当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).　　另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(�6�1ω) = F(ω)*成立.　　傅里叶级数　　主条目：傅里叶级数 　　连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：　　f(x) = sum_{n=-infty}^{infty} F_n ,e^ , 　　其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：　　f(x) = fraca_0 + sum_{n=1}^inftyleft[a_ncos(nx)+b_nsin(nx) ight], 　　其中an和bn是实频率分量的振幅。　　离散时间傅里叶变换　　主条目：离散时间傅里叶变换 　　离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。 http://baike.baidu.com/view/191871.htm

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

先求公共周期w0=2pai/pai=2，然后直接利用欧拉公式，cos4t就等于[e^(j4t)+e^(-j4t)]/2，把这个和傅里叶级数的形式一比较得k=2 的时候, 系数就是那个1/2。同理k=-2，就是1/2sin6t可以用类似的方式展开，那个e的指数形式就对应项的傅里叶级数，前面就是他的系数了。扩展资料：傅里叶级数的性质：1、收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。2、正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

正弦级数必过原点，正满足奇函数的性质；而且，仔细观察傅里叶级数，cos0x的系数正是a0/2，而sin0x的系数是0，所以，傅里叶级数中并没有常数项，只不过sin0x和cos0x正好是常数而已。

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：sériedeFourier，或译为傅里叶级数)。傅里叶系数的重要性质　列举下面两条：　　①若??(x∈l(-π,π),则??的傅里叶系数αn,bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。　　②若??(x∈l(-π,π)，则有。这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数??(x∈l(-π,π),它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2,…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。　　三角级数与单位圆内解析函数的关系设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数　　　(6)的实部就是三角级数(1)，虚部　　　(7)称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=re的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。　　多元三角级数与多元傅里叶级数设为m维欧氏空间R的点，级数　　　(8)称为m元三角级数，其中，而n1,n2,…,nm为整数。假如??(x)＝??(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体Q:-π≤xj≤π　(j=1,2,…,m)　　　(9)上，??是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数那么称(8)为??的傅里叶级数，并记为多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

上的专业课有通信原理、随机过程、信号与系统、通信电子线路等等。考研就考信号与系统，用的是奥本海姆的《signal and system》

教科书上有类似的例题的，依样画葫芦即可。计算傅里叶系数 a0 = (2/π)∫[0,π]f(x)dx， an = (2/π)∫[0,π]f(x)cosnxdx， bn = 0， ……

华中科技大的研究生网站上就有，我前几天还看的，不过忘了，了最好自己把它记下

这是fourier级数的特别性质，对于不连续函数，但是左连续，右连续，级数收敛到左右极限的平均

主要是微积分！大一的数学比较简单，学分也最多，得好好重视，你可以去买一些试题看一下，在那些大一点的图书馆或者书店都有，有时可以多去大学转转。和学长聊聊也挺有好处的！

令f(t)为周期信号，满足Dirichlet条件，则f(t)可以写成许多不同幅度频率和相位的余弦信号之和。其中w0 = 2pi/T0这就是三角函数形式的傅里叶级数。当然你也可以写成正弦形式或者混合形式。傅里叶级数也可以写成指数函数形式其中Fn 是复数，它的幅度和f的关系称作幅度频谱，相位和f的关系称作相位频谱显然所以幅度频谱是f的偶函数,相位频谱是f的奇函数。不知道这么说楼主有没有理解了。

他们不属于同一类概念，谈不上区别，要说关系的话，傅里叶系数是将一个函数按傅里叶级数的展开方法得到傅里叶级数后的每一个周期性的三角函数的带有常数性质的系数，级数是一种数学逼近方法，系数只是几个数罢了

第6章 多元函数微积分6.1 空间向量6.1.1 空间直角坐标系6.1.2 向量的坐标表示6.1.3 数量积和向量积6.2 空间平面和直线6.2.1 平面方程6.2.2 空间直线方程6.3 曲面方程6.3.1 曲面与方程6.3.2 旋转曲面6.3.3 柱面6.4 多元函数的极限与连续6.4.1 二元函数的概念6.4.2 二元函数的极限6.4.3 二元函数的连续性6.5 偏导数6.5.1 偏导数6.5.2 全微分6.5.3 二元复合函数的求导法则6.5.4 二元函数的极值与最值6.6 二重积分6.6.1 二重积分的概念6.6.2 二重积分的性质6.6.3 二重积分的计算方法本章小结综合练习6第7章 常微分方程7.1 微分方程的概念7.1.1 两个实际问题7.1.2 微分方程的概念7.1.3 微分方程的几何意义7.1.4 特殊的微分方程7.2 一阶微分方程7.2.1 可分离变量的微分方程7.2.2 齐次方程7.2.3 一阶线性微分方程7.3 二阶常系数线性微分方程7.3.1 常系数线性微分方程解的结构7.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程7.4 微分方程应用举例本章小结综合练习7第8章 级数8.1 无穷级数的概念8.1.1 无穷级数的基本概念8.1.2 无穷级数的基本性质8.1.3 级数收敛的必要条件8.2 数项级数的审敛法8.2.1 正项级数审敛法8.2.2 交错级数审敛法8.2.3 条件收敛与绝对收敛8.3 幂级数8.3.1 幂级数的概念及收敛域8.3.2 幂级数的性质8.3.3 几种基本初等函数的幂级数展开式8.3.4 幂级数的简单应用8.4 傅里叶级数8.4.1 周期函数与三角函数8.4.2 三角函数系的正交性8.4.3 周期为2∏的函数展开为傅里叶级数8.4.4 奇函数与偶函数的傅里叶级数展开式8.4.5 在[0，∏]上将函数展开为正弦级数或余弦级数本章小结综合练习8第9章 行列式、矩阵与线性方程组9.1 行列式9.1.1 二元线性方程组与二阶行列式9.1.2 三元线性方程组与三阶行列式9.1.3 n阶行列式9.1.4 克莱姆法则9.2 矩阵的概念和矩阵的运算9.2.1 矩阵的概念9.2.2 矩阵的加法与减法9.2.3 矩阵与数相乘9.2.4 矩阵与矩阵相乘9.2.5 利用矩阵表示线性方程组9.3 逆矩阵、矩阵的秩与初等矩阵9.3.1 逆矩阵9.3.2 矩阵的秩与初等变换9.4 一般线性方程组解的讨论9.4.1 高斯消元法9.4.2 用初等变换求逆矩阵9.4.3 一般线性方程组解的讨论9.4.4 齐次线性方程组解的讨论本章小结综合练习9第10章 概率统计初步10.1 随机事件与概率10.1.1 随机事件10.1.2 随机事件的概率10.2 概率的性质及条件概率10.2.1 随机事件概率的性质10.2.2 条件概率与乘法公式10.3 事件的独立性10.3.1 事件的独立性10.3.2 n次独立重复试验10.4 随机变量及其分布10.4.1 随机变量10.4.2 随机变量的分布函数10.4.3 几种常见离散型随机变量的分布10.4.4 几种常见连续型随机变量的分布10.5 随机变量的数字特征10.5.1 数学期望10.5.2 方差与标准差10.5.3 常用分布的期望和方差10.6 数理统计方法简介10.6.1 总体和样本10.6.2 数据的整理10.6.3 几个常用统计量的分布本章小结综合练习10

不是前面有an和bn的计算过程了么？

傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。 f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。①傅立叶变换 ②傅立叶逆变换 * 傅里叶变换属于谐波分析。* 傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;* 正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取；*卷积定理指出：傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段；* 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速地算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT)).

1. 对于任意实数x，f(-x)=-f(x)；简单来说，奇函数的函数值在关于原点的对称轴上对应的函数值相反。例如，函数f(x)=x就是一个奇函数，因为f(-x)=-(-x)=x，且f(0)=0。2. 奇函数的积分在区间[-a,a]上等于0，其中a为任意正实数；下面我们来举一个例子，说明奇函数的应用。1. 奇函数的图像关于原点对称；这些性质使得奇函数在数学中具有广泛的应用。例如，在物理学中，奇函数常常用来描述对称性和反对称性；在信号处理中，奇函数可用于滤波和去噪；在数学分析中，奇函数是傅里叶级数的重要组成部分。

哥们，你懂了吗？

|H(jw)|e的jφ(w)次幂，φ(w)表示相位，pi，-pi当然一样。确实是 顺时针逆时针 的问题。实函数的相位只有0 和pi，习惯上还是用+pi根据相位是奇函数的性质，以及实际信号、系统，w>0的相位应该是 负的，这样系统对输入的作用是 延时的，否则是 超前的[则为非因果系统]。例如cos(2t)经过系统后输出 cos(2t+φ(w))，φ(w)不可能是正的，除非是pi，这个值很特殊。 同一个角度，规定顺时针为正，逆时针为负；假设H(jw)=R(w)+jI(w),φ(w)=arctan(I(w)/R(w)),如果I(w)/R(w)为负，则角度为负。而当I(w)=0，R(w)<0时，用φ(w)=arctan(I(w)/R(w))不好计算吧，因此H(jw)=-8[比如]=8e^jpi=8e^(-jpi)

需要正交且完备，如果这两个条件满足就行。比如你说的这个情况，如果满足条件，也可以（未具体证明，可能不满足正交完备性条件），但不叫傅里叶级数，而且傅里叶级数应用范围很广，你这个展开没有应用场合，那就没啥意义。

您好！我有，建议您直接看附件。附件是上册高数，只能传一个附件。建议您自己试试下载下册高数。希望可以帮到您！

傅里叶变换时在频域对信号进行分析，我的理解是可以把时域的信号看做是若干正弦波的叠加，傅里叶变换的作用正是求得这些信号的幅值和相位，有限的时域信号可以分解为傅里叶级数的形式，傅里叶变换和求傅里叶级数是一回事。既然固定的时域信号是若干固定正弦信号的叠加，在不改变幅值的情况下，在时间轴上移动信号，也就相当于同时移动若干正弦信号，这些正弦信号的相位改变幅值不变，在频域的作用也就是傅里叶的模不变 相位改变。信号初级入门者，理解的不对欢迎指正，共同学习。

傅里叶级数对于求量子物理方面的问题有重要作用 一般都是通过傅里叶变化把难解的题解出 傅里叶级数可以表示在某点出现电子的概率

由于∫axcosnxdx = AX / N *罪（NX）-A / N∫罪（NX）DX = AX / N *罪（NX）+ A / N 2 * COS（NX）+ C ∫axsinnxdx = - 斧/ N * COS（NX）+ A / N∫COS（NX）DX = A / N 2 *罪（NX）-AX / N * COS（NX）+ C 这样一个=∫（ - π到π）axcosnxdx = 0 BN =∫（-π到π）axsinnxdx =-2aπ/ N * COS（Nπ）所以如果n是奇数，则BN =2aπ/ N >如果n为偶数，则BN =-2aπ/ N 所以函数f（x）是傅里叶级数为 F（X）=2aπ*的sinx-2aπ/ 2 * sin2x +2 Aπ/ 3 * sin3x-2aπ/ 4 * sin4x + ......

半波镜像周期信号的傅里叶级数展开式有以下特点：1. 只包含奇次谐波分量，因为偶次谐波对称轴上的取值恒为0。2. 基波分量为0，因为信号在周期内的平均值为0。3. 级数展开式以奇函数形式呈现，因为信号表现为半波对称。4. 在频域中，幅度为谐波频率的倒数，即低频部分幅度高，高频部分幅度低。

一样，都是n欧米伽处一个强度为e-jn欧米伽t的冲击！

在非线性电流，电压或信号作用下，线性电路的分析和计算。主要在波，热传导中的计算中应用的比较多，主要是将复杂的函数转换成已知的谐波叠加。

先判断这是正项级数还是交错级数 　　一、判定正项级数的敛散性 　　1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则 　　2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则 　　3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则 　　4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等. 　　二、判定交错级数的敛散性 　　1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定. 　　2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定. 　　3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散. 　　4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定. 　　三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 　　1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域. 　　2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径. 　　四、求幂级数的和函数与数项级数的和 　　1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和. 　　2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值. 　　五、将函数展开为傅里叶级数 　　将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.