级数

这个太麻烦了，主要是写太麻烦，懒得去找符号

设分段函数为f(x),那么s(x)与f(x)的关系如下：在f(x)的连续点处的值s(x)与f(x)一样,在f(x)的间断点处s(x)的值等于f(x)在此点处的左右极限的算术平均值

自己做

根据狄利克雷充分条件，f(x)的傅里叶级数在x0点收敛于1/2·[f(x0+)+f(x0-)]【x0点处f(x)左右极限的平均数】本题中，f(π-)=1+π²f(π+)=f(-π+)【根据周期性】=-1∴f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于1/2·[f(π+)+f(π-)]=1/2·(1+π²-1)=1/2·π²

直接套书上的计算公式呀

一．傅里叶级数的三角函数形式设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f,ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。上式有可改写为如下形式，即当A0，An,ψn求得后，代入式(10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有a-n=anb-n=-bnA-n=Anψ-n=-ψn即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。二．傅里叶级数的复指数形式将式（10-2-2）改写为可见与互为共轭复数。代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式。下面对和上式的物理意义予以说明：由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。

由三倍角公式，cos³x=(3cosx+cos3x)/4故f(x)=cos³x=(3/4)cosx+(1/4)cos3x这就是它的傅里叶展开式，只有2项。

题目绿字的地方看不清

多看一些书就好啊，别人说再多也没用

这里更换了求和指标.因为当n为偶数时, 1-(-1)^n = 0, 所以求和中只剩下了n为奇数的项.设n = 2k-1, 则变为2/(2k-1)·sin((2k-1)x)对k从1到无穷求和.再把求和指标k换回n (用什么字母都一样), 就成了最后的结果.

频域分析法即傅里叶分析法，是变换域分析法的基石。其中，傅里叶级数是变换域分析法的理论基础，傅里叶变换作为频域分析法的重要数学工具，具有明确的物理意义，在不同的领域得到广泛的应用连续时间周期信号的分解：以高等数学的知识，任何周期为T的周期函数，在满足狄里赫利条件时，则该周期信号可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。根据欧拉公式并考虑和奇偶性可将改写为指数形式的傅里叶级数：即周期信号可分解为一系列不同频率的虚指数信号之和。扩展资料：注意事项：如果对一个系统输入复指数信号，输出必定也是复指数信号，根据复数相等实部实部相等、虚部虚部相等的原则，那么输出的实部与输入的实部：cos（wt）相对应，输出的虚部与输入的虚部：sin(wt)相对应。输入一个复指数函数就同时解决了系统输出的振幅和相位的问题：因为输出的振幅等于响应实部的平方与虚部的平方和的开方，而输出的相位等于响应虚部与实部的比值的反正切。对于线性控制系统输入是正弦的输出也是正弦的，且周期不变。参考资料来源：百度百科-余弦波参考资料来源：百度百科-傅里叶级数

利用傅立叶变换求解傅立叶级数是有公式转化的，不是定义，如果让你求的是三角函数的级数，一般采用傅立叶级数展开，就是题目中的带fn的公式，如果不是三角函数而让你求级数，往往先利用傅立叶变换公式算出其傅立叶变化然后在利用傅立叶变换和级数之间的一个简单公式就可以算出其傅立叶级数

差不多混元两句没啥变化要求操作规程一样。

傅里叶级数就那么求，看懂例题了吗？

对f(x)做周期为2π的奇拓展，将f(x)拓展为实数域上的奇函数，由狄利克雷定理可知f(x)可以拓展为傅里叶级数；设f(x)=a_{0}+ Sigma(a_{n}cosnx)+Sigma(b_{n}sinnx)；（Sigma从1到无穷求和）两边乘以cosnx，在(-π,π)上求定积分可得a_{n}=0；等式两边在(-π,π)上求定积分可得a_{0}=0；两边乘以sinnx，在(-π,π)上求定积分可得b_{n}=(-1)^{n+1}2/n；最后一步的计算过程中（sinnx）^2在(0,π)上的定积分为π/2；xsinnx在(0,π)上的定积分为}=(-1)^{n+1}π/n；

一． 傅里叶级数的三角函数形式 　　设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 　　其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 　　上式有可改写为如下形式，即 　　当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 　　把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 　　从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 　　a-n=an 　　b-n=-bn 　　A-n=An 　　ψ-n=-ψn 　　即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 　　二． 傅里叶级数的复指数形式 　　将式（10-2-2）改写为 　　可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 　　上式即为傅里叶级数的复指数形式。 　　下面对和上式的物理意义予以说明： 　　由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 　　可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 　　的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 　　上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 　　即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 　　在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 　　引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。 　　高等数学中的傅立叶级数　　傅立叶系数　　傅立叶系数包括系数 ，积分号和它的积分域，以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的，另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的三角函数值。这个三角函数可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数。其中当n=0时，余弦值为1，此时存在一个特殊的系数 ，它只与x有关。正弦系数再成一个正弦，余弦再乘一个余弦，相加并且随n求和，再加上一半的 ，就称为了这个特别的函数f(x)的傅立叶级数。为什么它特别呢，我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已，而级数的周期就是f(x)的周期，2 。　　如果函数f(x)存在一个周期，但是不是2 了，而是关于y轴对称的任意一个范围，它还能写成傅立叶级数么？也可以的。只要把傅立叶系数里的 换成l，并且把积分号里的三角函数中的n 下除一个l，同时把系数以外的那个n 底下也除一个l。其他的都不动。也可以认为，2 周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该是 ，其他的 （积分域和系数）应该是x，只不过这时所有的l都是 罢了。　　前面提及了，周期或是积分域，是关于y轴的一个任意范围。其实周期函数不用强调这个，但是为什么还要说呢？因为要特别强调一下定义域是满的。有些函数的定义域不是满的，是0到l，当然这样它有可能不是周期的。这些函数能写成傅立叶级数么？同样可以。而且，它的写法不再是正弦和余弦函数的累积，而是单独的一个正弦函数或是余弦函数。具体怎么写，就取决于怎么做。因为域是一半的，所以自然而然想到把那一半补齐，f就成了周期函数。补齐既可以补成奇函数也可以补成偶函数。补成积函数，写成的级数只有正弦项，即 为0。补成偶函数，写成的级数就只含有余弦项和第一项，即 为0。而，傅立叶系数相比非积非偶的函数要大一倍。　　其实，如果不经延拓，上面那些对于奇偶函数同样使用。　　在做题时，常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子，这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。那么一大串，应该看什么呢？应当先看积分域，一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用

取[-2,2],奇函数，周期=4，可仅用sin表示。积分求系数。

f(x)=Ancosnπx+Bnsinnπx An=∫(-1→1) x^2*cosnπx Bn=∫(-1→1) x^2*sinnπx

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数,其周期为T,频率和角频率分别为f ,ω1.由于工程实际中的非正弦周期函数,一般都满足狄里赫利条件,所以可将它展开成傅里叶级数.即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅,不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量.A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波,A1,ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍,称为二次谐波,A2,ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波,四次谐波等.基波,三次谐波,五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波,四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外,其余各项统称为高次谐波.式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加.上式有可改写为如下形式,即 当A0,An,ψn求得后,代入式 (10-2-1),即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式.把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析.工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种,它们的傅里叶级数展开式前人都已作出,可从各种数学书籍中直接查用.从式（10-2-3）中看出,将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数,bn和ψn是n的奇函数.二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数.代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式.下面对和上式的物理意义予以说明：由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn,物理意义十分明确,故称为第n次谐波的复数振幅.的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式.这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7）,通常用下列符号表示,即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得,再将所求得的代入式（10-2-7）,即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数.在（10-2-7）中,由于离散变量n是从（-∞）取值,从而出现了负频率（-nω1）.但实际工程中负频率是无意义的,负频率的出现只具有数学意义,负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的,它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量.即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便.

周期锯齿波的描述表明了它是一个奇函数（即，f(-t) = -f(t)）。我们可以求解该函数的傅里叶级数展开式。对于奇函数，我们只需要计算正弦项。首先，我们将锯齿波函数定义为：f(t) = t, 对于 -π < t < π因为这是一个周期函数，我们可以将其扩展到整个实数轴上，周期为2π。然后，我们可以计算傅里叶级数的正弦系数（An = 0，因为 f(t) 是奇函数）：Bn = (2/π) * ∫[f(t) * sin(n*t)] dt, 从 -π 到 π 积分将 f(t) = t 代入，我们得到：Bn = (2/π) * ∫[t * sin(n*t)] dt, 从 -π 到 π 积分通过分部积分（Integration by Parts）计算上述积分：令 u = t, 则 du = dt令 dv = sin(nt) dt, 则 v = (-1/n) * cos(nt)∫[t * sin(n*t)] dt = uv - ∫[v * du]= -t * (1/n) * cos(nt) - (1/n) * ∫[-cos(nt)] dt= -t * (1/n) * cos(nt) + (1/n^2) * sin(nt)在 -π 到 π 的区间上计算该表达式的值：Bn = (2/π) * [(1/n^2) * sin(nπ) - (1/n^2) * sin(-nπ) - π * (1/n) * cos(nπ) + π * (1/n) * cos(-nπ)]注意 sin(nπ) 和 sin(-nπ) 都等于0，cos(nπ) = (-1)^n，cos(-nπ) = (-1)^n。所以：Bn = (2/π) * [-π * (1/n) * (-1)^n + π * (1/n) * (-1)^n]化简得：Bn = (2*(-1)^n) / n因此，周期锯齿波的傅里叶级数展开式为：f(t) = (2/π) * Σ[((-1)^n)/n * sin(n*t)], 其中 n 从 1 到无穷。

两边同时乘以sin3x，积分。

bn=0【解释】[f(x)+f(-x)]/2是偶函数，所以，其傅里叶级数是余弦级数，正弦项的系数全是0即，bn=0

一般情况下，我们无法求一个三角级数的和函数。大学学习内容，是已知 f（x），由它产生一列 F 系数，生成一个三角级数。由收敛定理可以写出，这个三角级数的和函数。 查看原帖>>

把一个函数展成傅立叶级数，在收敛点上带入某个特定的值就可以得到此级数和结果如下：http://zhidao.baidu.com/question/239173597581851124.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-1489102572令x=0带入，然后就可以得到………………结果是(pi^2)/12

这个是最简单的傅立叶展开题，这个题目的意思是周期是2派，然后有公式的，把对应的a0，an和bn算出来就可以了，

设分段函数为f(x),那么S(x)与f(x)的关系如下：在f(x)的连续点处的值S(x)与f(x)一样,在f(x)的间断点处S(x)的值等于F(x)在此点处的左右极限的算术平均值.

想知道

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记住傅立叶级数的形式，把傅立叶级数中系数an,bn的公式记住然后代入公式算出积分来就可以了！因为公式太难输入了，所以只给了方法，你可以查书上公式！希望能帮到你！

如图所示，用积分相关性质以及分部积分法可以求出相应的定积分

sinx,-pi<=x<=pi

再用傅立叶级数展开成余弦级数。傅立叶级数在整个定义域上都成立。 补全为偶函数后，不用求正弦级数的部分，只用求余弦级数。 a<n>=1/A×(-A,A)∫f(

解：2题，f(x)=e^(2x)，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=[e^(2π)-e^(-2π)]/(2π)。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=[(-1)^n](4a0)/(n^2+4)，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=-[(-1)^n](2na0)/(n^2+4)，∴f(x)=(1/2)a0+∑[ancosnx+bnsinnx)=(a0){1/2+2∑[(-1)^n](2cosnx-nsinnx)/(n^2+4)}，其中，n=1,2，……，∞，a0=[e^(2π)-e^(-2π)]/(2π)。3题，f(x)=π/4-x/2，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=π/2。an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cosnxdx=0，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=[(-1)^n]/n，∴f(x)=(1/2)a0+∑[ancosnx+bnsinnx)=π/4+∑[(-1)^n](sinnx)/n，其中，n=1,2，……，∞。4题，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,0)f(x)dx+(1/π)∫(0,π)f(x)dx=π。按照余弦级数展开式，an=(2/π)∫(0,π)f(x)cosnxdx=2[1-(-1)^n]/(πn^2)，bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sinnxdx=0。又，当n为偶数时，an=0、当n为奇数时，an=4/(πn^2)，∴f(x)=(1/2)a0+∑ancosnx=π/2+(4/π)∑cos[(2n-1)x]/(2n-1)^2，其中，n=1,2，……，∞。供参考。

|H(jw)|e的jφ(w)次幂，φ(w)表示相位，pi，-pi当然一样。确实是 顺时针逆时针 的问题。实函数的相位只有0 和pi，习惯上还是用+pi根据相位是奇函数的性质，以及实际信号、系统，w>0的相位应该是 负的，这样系统对输入的作用是 延时的，否则是 超前的[则为非因果系统]。例如cos(2t)经过系统后输出 cos(2t+φ(w))，φ(w)不可能是正的，除非是pi，这个值很特殊。 同一个角度，规定顺时针为正，逆时针为负；假设H(jw)=R(w)+jI(w),φ(w)=arctan(I(w)/R(w)),如果I(w)/R(w)为负，则角度为负。而当I(w)=0，R(w)<0时，用φ(w)=arctan(I(w)/R(w))不好计算吧，因此H(jw)=-8[比如]=8e^jpi=8e^(-jpi)

需要正交且完备，如果这两个条件满足就行。比如你说的这个情况，如果满足条件，也可以（未具体证明，可能不满足正交完备性条件），但不叫傅里叶级数，而且傅里叶级数应用范围很广，你这个展开没有应用场合，那就没啥意义。

傅里叶级数对于求量子物理方面的问题有重要作用 一般都是通过傅里叶变化把难解的题解出 傅里叶级数可以表示在某点出现电子的概率

由于∫axcosnxdx = AX / N *罪（NX）-A / N∫罪（NX）DX = AX / N *罪（NX）+ A / N 2 * COS（NX）+ C ∫axsinnxdx = - 斧/ N * COS（NX）+ A / N∫COS（NX）DX = A / N 2 *罪（NX）-AX / N * COS（NX）+ C 这样一个=∫（ - π到π）axcosnxdx = 0 BN =∫（-π到π）axsinnxdx =-2aπ/ N * COS（Nπ）所以如果n是奇数，则BN =2aπ/ N >如果n为偶数，则BN =-2aπ/ N 所以函数f（x）是傅里叶级数为 F（X）=2aπ*的sinx-2aπ/ 2 * sin2x +2 Aπ/ 3 * sin3x-2aπ/ 4 * sin4x + ......

半波镜像周期信号的傅里叶级数展开式有以下特点：1. 只包含奇次谐波分量，因为偶次谐波对称轴上的取值恒为0。2. 基波分量为0，因为信号在周期内的平均值为0。3. 级数展开式以奇函数形式呈现，因为信号表现为半波对称。4. 在频域中，幅度为谐波频率的倒数，即低频部分幅度高，高频部分幅度低。

在非线性电流，电压或信号作用下，线性电路的分析和计算。主要在波，热传导中的计算中应用的比较多，主要是将复杂的函数转换成已知的谐波叠加。

先判断这是正项级数还是交错级数 　　一、判定正项级数的敛散性 　　1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则 　　2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则 　　3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则 　　4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等. 　　二、判定交错级数的敛散性 　　1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定. 　　2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定. 　　3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散. 　　4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定. 　　三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 　　1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域. 　　2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径. 　　四、求幂级数的和函数与数项级数的和 　　1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和. 　　2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值. 　　五、将函数展开为傅里叶级数 　　将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.

这里业绩数的要求是非常好的，因为有一些使用非常广泛

这是傅里叶余弦级数。原理是先将f偶函数化，然后写成傅里叶级数。利用傅里叶级数逼近定理，我们知道S（x）会趋向于函数值。函数是偶函数延拓的，所以f（-1/4）=f(1/4)=1/4，所以S（-1/4）=1/4

不是前面有an和bn的计算过程了么？

这是fourier级数的特别性质，对于不连续函数，但是左连续，右连续，级数收敛到左右极限的平均

令f(t)为周期信号，满足Dirichlet条件，则f(t)可以写成许多不同幅度频率和相位的余弦信号之和。其中w0 = 2pi/T0这就是三角函数形式的傅里叶级数。当然你也可以写成正弦形式或者混合形式。傅里叶级数也可以写成指数函数形式其中Fn 是复数，它的幅度和f的关系称作幅度频谱，相位和f的关系称作相位频谱显然所以幅度频谱是f的偶函数,相位频谱是f的奇函数。不知道这么说楼主有没有理解了。

他们不属于同一类概念，谈不上区别，要说关系的话，傅里叶系数是将一个函数按傅里叶级数的展开方法得到傅里叶级数后的每一个周期性的三角函数的带有常数性质的系数，级数是一种数学逼近方法，系数只是几个数罢了

（一）谐波及其合成物理上所说的谐波是指如下的三角函数：反射波地震勘探原理和资料解释其中A称为振幅，φ称为初相，ω＝2πf称为角（圆）频率，f称为频率， 称为周期（见附图A-1）。利用三角公式可将（附A-1）式改写为S＝Acosφcosωt-Asinφsinωt若记反射波地震勘探原理和资料解释则得：反射波地震勘探原理和资料解释而反射波地震勘探原理和资料解释由此可知，若已知（附A-1）式可由（附A-2）式计算出a、b；反之，若已知（附A-3）式，可由（附A-4）式解出A和φ，故两种谐波表达式等价。附图A-1谐波是极其简单的波形，但利用谐波的合成可以得到比较复杂的波形。例如考虑三个谐波的合成：S＝sint+ 。其图形见附图A-2，它与原谐波图形已有很大差异了。下面将会看到满足一定条件的周期函数均可用谐波合成出来。附图A-2 谐波的合成（二）周期函数的傅里叶级数数学上可以证明，当一个周期为T的函数f（t）满足一个比较宽的条件时可以表示为反射波地震勘探原理和资料解释其中Akcos（kω0t+φk）称为f（t）的角频率为kω0的谐波分量。换句话说，即当f（t）满足一定条件时可分解为直流成分（常数项 ）和一系列谐波成分之和。这一系列谐波成分以 为基频，其余的角频率皆为基频的整数倍。利用（附A-2）式可将（附A-5）式改写为反射波地震勘探原理和资料解释可以证明其系数为反射波地震勘探原理和资料解释（附A-5）式和（附A-6）式右端的级数即是周期函数f（t）的傅里叶级数。Ak＝ 是f（t）的谐波分量（对应于角频率kω0）的振幅，φk是其初相。可以将傅里叶级数（附A-6）式和（附A-7）式改写为复数形式：反射波地震勘探原理和资料解释式中 是f（t）简谐分量的复数表示法，ck是个复数即 ，显然反射波地震勘探原理和资料解释也就是说，∣ck∣为简谐分量的振幅，φk为初相。将振幅∣ck∣与频率kω0的函数关系称为f（t）的振幅谱，相应地将φk与频率kω0的函数关系称为f（t）的相位谱。周期函数可以表示为傅里叶级数这一事实说明周期函数的振幅谱和相位谱都是离散的，即由一条条谱线所组成，称为线状谱。附图A-3即为附图A-2波形的线状谱。附图A-3 合成波的线状谱（三）傅里叶变换和频谱实际反射波地震资料处理中遇到的信号大多是非周期的。非周期函数在一定条件下可以利用周期函数进行研究。可将非周期函数看成是周期T为无穷大的周期函数。由前述可知基频ω0等于 ，频率间隔Δωk＝（k+1）ω0-kω0＝ω0＝ ，周期T越大时Δωk越小；当时T➝∞时，Δωk➝dω，离散的线性谱的端点逐渐连成一条曲线，离散谱逐渐变成连续谱。此时数学上傅里叶级数就变成了形式上十分类似的傅里叶积分：反射波地震勘探原理和资料解释式中F（ω）是ω的复变函数（复变谱），它可以写成F（ω）＝A（ω）eiφ（ω）。其中A（ω）和φ（ω）均为ω的实变函数，前者称为f（t）的振幅谱，后者称为f（t）的相位谱。对于一个确定的频率ω而言，A（ω）和φ（ω）是确定的实数，它们分别表示频率为ω的谐波分量的振幅值和相位。（附A-9）式的物理意义是说任何一个非周期函数f（t）均可认为是无穷多个不同频率、不同振幅和不同起始相位的谐波之和。傅里叶级数将一个周期信号分解为无穷多个谐波的离散和。这些谐波有一个基频ω0，所有谐波的频率皆是ω0的整倍数，故它们有一个共同的周期 ，叠加结果为一个周期是T的函数。傅里叶积分则把一个非周期信号分解为无穷多个谐波的连续叠加。这些谐波的频率ω可以取任意实数，虽然每一项F（ω）iωtdω都是一个周期函数，但它们之间不存在共同的周期，故叠加结果为一个非周期函数。由（附A-9）式可知，已知信号f（t）可以唯一地计算出它的复变谱F（ω）。已知信号的复变谱F（ω）也可以唯一地确定其波形f（t）。数学上是唯一的、一一对应的关系。F（ω）称为f（t）的傅里叶变换，而f（t）则称为F（ω）的反傅里叶变换。物理上将由信号f（t）求其傅里叶变换F（ω）的过程称为信号的频谱分析，附图A 4是傅里叶变换的一例。附图A-4 非周期函数（a）及其振幅谱（b）作为时间函数的地震波形与作为频率函数的振幅谱、相位谱（或复变谱）之间可以互换且一一对应，故任何复杂的波形既可以作为时间函数研究也可以作为频率函数研究。作为时间函数研究时称为时间域中的函数，作为频率函数研究时称为频率域中的函数。（四）傅里叶变换的几个基本性质（1）叠加定理（线性性质）。设信号f1（t）的频谱为F1（ω），f2（t）的频谱为F2（ω）。若f（t）＝af1（t）+bf2（t），其中a、b为任意常数，则f（t）的频谱为F（ω）＝aF1（ω）+bF2（ω）。（2）时延定理。设信号f（t）的频谱为F（ω），则延迟一段时间后τ的信号f（t-τ）的频谱为F（ω）e-iωτ。说明一个波形经延迟一段时间后，振幅谱不变，相位谱的变化与延迟时τ有关。（3）频移定理。设信号f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴移动ω0得F（ω-ω0），则与之对应的时间信号变为f（t）eiω0t。（4）时间尺度展缩定理。设f（t）的频谱为F（ω），将波形沿时间轴压缩到原来的 倍（即将时间坐标尺度扩展a倍）后的波形f（at）的频谱为 F（ ）。（5）频率尺度展缩定理。设f（t）的谱为F（ω），若将F（ω）沿ω轴压缩到原来的 倍后F（αω）所对应的时间信号为 （ ）。（6）褶积定理。设时间函数x（t）和h（t）的频谱分别为X（ω）和H（ω），则它们褶积y（t）＝x（t）*h（t）的谱Y（ω）等于X（ω）和H（ω）之积，即Y（ω）＝X（ω）·H（ω）。

您好，傅里叶级数一致收敛的情况下，就可以使用逐项积分。当然，傅里叶级数并不一定收敛，即使收敛也不一定收敛于f（x）。只有一致收敛于f（x），即f（x）＝1／2a。＋∑（ancosnx＋bnsinnx）（n＝1→∞），那么双方乘以cosnx或sinnx后，在（-兀，兀）上可以逐项积分。傅里叶级数的收敛判别法，常用的有：（1）狄利克雷判别法（2）迪尼判别法这两种判别法，对函数所提的要求都是充分条件，并非必要的。至今还没有收敛的充分且必要的条件。

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。 视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。 p.110 - p.127 第二章我们就学到了，对于LTI系统的分析，将信号分解为基本信号的线性组合，这个方法对信号与系统的分析极为有用。 基本信号需要满足以下两个条件： 第二章我们用的是单位脉冲的移位来作为这个基本信号，并导出了卷积和与卷积积分。从这里开始学习傅里叶分析，基本信号选取的是复指数信号，即连续时间的 和离散时间的 信号，其中 和 都是复数。 对于LTI系统，复指数信号的重要性在于LTI系统对复指数信号的响应仍然是一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化，即 其中 或 是复振幅因子，一般来说是复变量 或 的函数。 一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号就是系统的特征函数，幅度因子就是特征值。 考虑连续时间LTI系统具有单位冲激响应 ，当输入 ，输出可以由卷积积分求出，有， 因为积分变量为 ，所以可以把 提出到积分外， 假设积分收敛，则 其中， 有输入 ，由卷积和得到LTI系统的输出 假设求和收敛，则 其中， 对于连续时间LTI系统而言，如果输入信号可以表示为复指数的线性组合，即 那么输出一定为， 同样的，对于离散时间LTI系统，如果输入可以表示为 那么输出一定可以表示为 一般来说， 和 可以是任意复数，但傅里叶分析仅限于 和 ，也就是只考虑 和 。 对于周期信号 ，满足该式的最小正值 就是基波周期， 为基波频率。 成谐波关系的复指数信号集就是， 这些信号的基波频率都是 的倍数，而且每个信号对 都是周期的。于是一个由成谐波关系的复指数线性组合构成的信号为， 这个信号 对 来说也是周期的。上式就称为傅里叶级数表示。 上式中， 这一项就是一个常数， 和 这两项都有基波频率等于 ，两者合在一起称为基波分量或一次谐波分量。依次有 次谐波分量。 我们一般研究实周期信号的傅里叶级数，那么就有， 对于上式中的求和，用 代替 ，于是 两式比较，发现需要 ，将 以极坐标形式写出， ，那么 可以表示为， 上式为实周期信号的傅里叶级数表示。由于复指数表示计算更为方便，我们后面都用复指数表示。 将给定的连续时间周期信号写成傅里叶级数，需要确定系数 。连续时间周期信号的傅里叶级数表示为， 左右同时乘以 ，得到 从 到 对 积分，得 交换求和与积分次序，得 对于积分 ， 综上， 因此得到， 总结一下，连续时间周期信号的傅里叶级数表达式 系数 称为 的傅里叶级数系数，或称频谱系数。 研究周期信号的有限项级数与 近似的问题， 令 为近似误差， 用一个周期内误差的能量来衡量近似误差的大小， 周期信号若想表示为傅里叶级数，必须满足两类条件， 满足这个条件并不意味着周期信号和它的傅里叶级数在每一个 值上都相等，只表示两者没有能量上的差别。 这个条件保证了每个系数 都是有限值。 对于一个不存在间断点的周期信号而言，傅里叶级数收敛且在每个 值上的级数都与原信号相等； 对于在一个周期内存在有限间断点的周期信号，除去那些间断点，级数与原信号相等；在间断点处，级数收敛于原信号不连续点处的平均值。 在这种情况下，两者没有能量上的差别。 吉布斯现象 表现为傅里叶级数在原信号不连续点处，傅里叶级数具有9%的超量，而且不论 取多大，这个超量不变。 一个不连续信号 的傅里叶级数的截断近似 ，一般来说，在接近不连续点处将呈现高频起伏和超量。 周期都为 的两个信号 和 ，其傅里叶级数系数分别是 和 ，即 那么就有 从这个性质可以看出，信号在时间上的移位，其傅里叶级数系数的模保持不变。 施加于连续时间信号上的时间反转会导致其对应的傅里叶级数系数序列的左右反转。 如果 是偶函数，那么其傅里叶级数系数也是偶函数；如果 是奇函数，那么其傅里叶级数系数也是奇函数。 可以看出时域尺度变换不会导致信号的傅里叶级数系数的变化，但其傅里叶级数表示还是变化了，因为基频变了。 有两个相同周期的连续时间周期信号 和 ，相乘后信号的傅里叶级数系数为 我们可以注意到，相同周期连续时间信号相乘后，其傅里叶级数系数 可以看作 和 的离散卷积和。我会在后面学习连续时间非周期信号傅里叶变换性质中，再次看到这个性质， 时间相乘映射到频域里的卷积 。 将一个周期信号 取其复数共轭（考虑信号为复数信号），那么其傅里叶级数系数为 当 为实函数时，那么有 ，也就是说此时 。 如果 为实偶函数，那么其傅里叶级数系数为实偶函数；如果 为实奇函数，其傅里叶级数系数为纯虚奇函数。 一个周期信号的平均功率等于其全部谐波分量的平均功率之和。 在1.3节中我们定义 当输入为 时，输出 当 为一般复数时， 称为系统函数，对于连续时间信号与系统而言，在这一章和下一章中，我们只考虑 为纯虚数， 。具有 形式的系统函数[即 被看作 的函数]，该系统函数就被称为该系统的频率响应， 令 为一个周期信号，将其写作傅里叶级数表示 那么根据线性性质，输出可以得到 也就是说，LTI系统的作用就是通过乘以相应频率点上的频率响应值来逐个改变输入信号的每一个傅里叶系数。 这一节书中的内容也不复杂，主要是了解一下，第七章会集中介绍利用傅里叶变换方法研究滤波。用于改变频谱形状的LTI系统往往称为频率成形滤波器，近似无失真通过某些频率，而显著衰减或消除另一些频率的LTI系统称为频率选择性滤波器。 参考书中p.153的电路图，一阶RC滤波器，根据选取的输出不同，如果选取电容两端的电压 为输出，系统为低通滤波器；如果选取电阻两端电压 为输出，就是高通滤波器。 假定该系统是 初始松弛 的，那么上面这个微分方程描述的就是一个LTI系统。当输入 时，输出一定为 ，将 和 代入微分方程，得到 当频率 接近0时， 趋近1；而当频率 增加时， 减小。也就是说这个系统在选取 为输出时，是一个非理想的低通滤波器。 滤波器设计中一个典型的权衡问题就是 的选取。如果我希望滤波器仅能通过很低的频率，那么 一定越大越好。但考虑其单位阶跃响应， 我们可以发现，随着 的增加，阶跃响应就需要更多的时间达到其长期稳态值1。这种在频域和时域特性之间的折中是LTI系统和滤波器分析与设计中要考虑的典型问题。 选取电阻两端电压 为输出，有 该系统的频率响应 可以求得，

你好，具体解答过程可以参考下面的图片，我也是用公式编辑器打出来的详细步骤

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

先求公共周期w0=2pai/pai=2，然后直接利用欧拉公式，cos4t就等于[e^(j4t)+e^(-j4t)]/2，把这个和傅里叶级数的形式一比较得k=2 的时候, 系数就是那个1/2。同理k=-2，就是1/2sin6t可以用类似的方式展开，那个e的指数形式就对应项的傅里叶级数，前面就是他的系数了。扩展资料：傅里叶级数的性质：1、收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。2、正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性，例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线性无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线性表出。

正弦级数必过原点，正满足奇函数的性质；而且，仔细观察傅里叶级数，cos0x的系数正是a0/2，而sin0x的系数是0，所以，傅里叶级数中并没有常数项，只不过sin0x和cos0x正好是常数而已。

　　傅里叶级数展开的实际意义：　　傅立叶变换是数字信号处理领域一种很重要的算法。要知道傅立叶变换算法的意义，首先要了解傅立叶原理的意义。　　傅立叶原理表明：任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加。而根据该原理创立的傅立叶变换算法利用直接测量到的原始信号，以累加方式来计算该信号中不同正弦波信号的频率、振幅和相位。　　和傅立叶变换算法对应的是反傅立叶变换算法。该反变换从本质上说也是一种累加处理，这样就可以将单独改变的正弦波信号转换成一个信号。因此，可以说，傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号（信号的频谱），可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。　　从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。　　在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。在数学领域，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类：　　1) 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;　　2) 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;　　3) 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;　　4) 离散形式的傅立叶的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;5. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT))。正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。　　参考链接：　　傅里叶级数展开的实际意义_百度文库　　http://wenku.baidu.com/link?url=Dtzm3lpZCOiu6iRxLeW2sK0_8joYJKvidLpkzoCflNm3vdMxuXLtHTIxGRyfk287AOl3T42Yi2eYBGpcrqKqMWmGkEqWCBwJcXlk9qvIxBC

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称为傅里叶级数(法文：sériedeFourier，或译为傅里叶级数)。傅里叶系数的重要性质　列举下面两条：　　①若??(x∈l(-π,π),则??的傅里叶系数αn,bn（或сn），当n→∞时趋于0，称为黎曼-勒贝格定理。　　②若??(x∈l(-π,π)，则有。这个等式称为帕舍伐尔等式；反之假如{сk}是一列双向的数列,满足条件,那么必存在惟一的函数??(x∈l(-π,π),它的傅里叶系数等于｛сk｝(k=0，±1，±2,…)。这个逆命题称为里斯－费希尔定理。　　三角级数与单位圆内解析函数的关系设z=e(0≤x<2π)是复平面单位圆周上的点，于是级数　　　(6)的实部就是三角级数(1)，虚部　　　(7)称为三角级数(1)的共轭级数。假如(6)中的z表示单位圆内的点,即z=re(0≤r<1),那么(6)就是复变数z=re的幂级数，当它收敛时，其和函数是单位圆内的解析函数。所以三角级数(1)可以看做单位圆内解析函数边界值的实部。　　多元三角级数与多元傅里叶级数设为m维欧氏空间R的点，级数　　　(8)称为m元三角级数，其中，而n1,n2,…,nm为整数。假如??(x)＝??(x1,x2,…,xm)关于每个变量xi(1≤i≤m)都是周期为2π的周期函数，且在立方体Q:-π≤xj≤π　(j=1,2,…,m)　　　(9)上，??是勒贝格可积的。类似于(5)，如果(8)中系数那么称(8)为??的傅里叶级数，并记为多元傅里叶系数也有类似于一元傅里叶系数的许多性质，但多元三角级数与多元傅里叶级数的许多问题，却远较一元复杂。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的惟一性定理,并揭示了多元傅里叶级数的里斯-博赫纳球形平均的许多特性。

教科书上有类似的例题的，依样画葫芦即可。计算傅里叶系数 a0 = (2/π)∫[0,π]f(x)dx， an = (2/π)∫[0,π]f(x)cosnxdx， bn = 0， ……

你举个例子说明一下，怎么不同了？两者都是以2pi为周期的周期函数，应该是一样的。

傅里叶级数和傅里叶变换是用来描述信号在频域上的表示方式。傅里叶级数表示离散周期序列信号：傅里叶级数可以将周期性的离散信号表示为一系列正弦和余弦函数的叠加，能够表示周期性信号的频域特性。傅里叶变换表示非周期信号：傅里叶变换是将时间域上的信号在连续频谱下进行表示，它可以表示所有的信号，因此也被称为傅里叶积分变换。它能够将任意信号在频域中高精度地表示出来。联系：傅里叶变换和傅里叶级数都是将时域中的信号转化到频域中，进一步研究信号的频域性质。傅里叶级数只对周期性信号适用，而傅里叶变换适用于所有信号，包括非周期性信号。在傅里叶级数中，信号在频域上的表示是通过一组基函数的线性组合来实现的；而在傅里叶变换中，信号在频域上的表示则是通过将信号在单位圆上的连续谱分解为一系列的正弦和余弦函数的组合来实现的。

你好！傅里叶级数有如下性质s(x)=[f(x+0)+f(x-0)]/2f(π+0)=-π,f(π-0)=0所以选A仅代表个人观点，不喜勿喷，谢谢。

请分清Fourier级数与Fourier变换之间的区别。对于定义域为负无穷到正无穷的函数，只有周期函数才能展开成Fourier级数。Fourier级数可以看成是Fourier变换的一种离散的形式。对于定义域为负无穷到正无穷的非周期函数，其经过Fourier变换后频谱是连续谱，而只有周期函数其频谱才是离散谱，这相当于周期函数只是由可列个谐波叠加而成的，而不需要其它频率的正弦波。因此，当定义域是负无穷到正无穷的时候，只有周期函数才能展开成傅里叶级数的形式。但是，通常我们研究的实际问题的定义域一般是有限长度的，对于这种问题，我们可以对其进行周期延拓，将有限长度上的函数延拓成定义域为负无穷到正无穷的周期函数。经过延拓之后的函数，是可以展开成Fourier级数的。

cos(kwt+sita)[级数中的每一项都bai是这样]，时移某个t0，仅仅相位变了，体现在系数中，就是ak×daoe^-jkwt0；时域尺度变化，ak×cos(m ×kwt+sita)，说明ak是第mk次分量的系数，所谓的"ak后面的基却变了"，说明只有m的整数倍次分量。这个积分是不能直接计算的，因为不满足绝对可积条件。根据欧拉公式，cosω0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。直流信号的傅里叶变换是2。扩展资料：f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

傅立叶级数在负π到π,0到2π计算的结果没有区别，只是函数所在的区间不一样，傅立叶级数在负π到π区间是和y轴对称的，而0到2π是从0点到π，两个区间的数值都是2π，所以最后的计算结果没有区别。

首先一个信号，比如X(t)是一个奇形怪状的函数。我们很难对他进行分析。但是X(t)=很多有规律的函数叠加。。。于是我们就寻找这些有规律的函数来代表X(t)，这就是对X(t)进行分解。分解有很多种类，其中非常牛b的一种是正交分解。三角函数族恰好就是一个正交函数族。周期为T 2T 3T...nT的三角函数能够通过叠加组合出所有周期为T的连续函数。就是说X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n (其中基n是周期为T/n的三角函数...)。为什么会这样呢？数学分析上是使用：黎曼勒贝格引理+局部收敛+狄里赫雷核积分推出的。泛函上证明要简洁些。不过这些你都不需要太过于专注（就连傅立叶都没有证明出来的），你只需要记住周期nT三角函数叠加能表示周期为T的连续函数。X(t)=a1*基1+a2*基2....＋an*基n。那么前面的系数ai怎么求呢，这时函数正交的作用就体现出来了。直接用(x,基n)内积 ，就可以得出系数an。至于为什么，你可以自己算下，利用(基i，基j)=δij就可推出结果。当X(t)没有明确的周期的时候，我们假定他的周期是无穷大，再用复数来表示各个正交基，在系数上乘以T(这时的T是无穷大，如果不乘以T的话，L1L2空间的函数的傅立叶变变换就是无穷小了)，这样就成了傅立叶变换了。傅立叶变换难很多。因为傅立叶变换的定义域大大超过了L1L2空间。有些函数广义积分不存在，但是傅立叶变换存在。所以在处理这些积分的时候，必须要利用某些特殊函数的性质，比如冲击函数，阶跃函数等，进行反向的推导。

正弦级数必过原点,正满足奇函数的性质；而且,仔细观察傅里叶级数,cos0x的系数正是a0/2,而sin0x的系数是0,所以,傅里叶级数中并没有常数项,只不过sin0x和cos0x正好是常数而已.

既然函数以2π为周期, 那么区间[-π,π]与[0,2π]都是一个周期,两个区间上的逐段可微性是完全等价的.换成任何一个长为2π的闭区间都一样.换个说法, 已知一个2π周期函数在[0,2π]上的取值,可以由周期性决定其在[-π,π]上的取值,而且如果在[0,2π]上逐段可微, 则在[-π,π]上也逐段可微.又由cos(nx), sin(nx)的周期性, 可以知道在[0,2π]和[-π,π]上的Fourier系数是对应相等的,于是Fourier级数都是一样的.注意到函数本身以及其Fourier级数都具有2π周期,那么由[-π,π]上的收敛性, 不难得到[0,2π]上的收敛性.

傅里叶级数是一老大难，公式复杂，内容深奥，讲解少。 但是，他是很简单的东西。 本文不去科普，只谈理解。 一个函数，可以按傅里叶基展开，也就是可以写成这样的形式 其具体理解，可类比线性空间由此，将傅里叶级数与线性代数知识相联系 求解系数的方法，可以类比向量的内积以上推导是不够严谨的，但通常情况下是没有问题的。 线性空间到底是什么？ 线性运算只有加法和数乘吗？ 函数基与普通意义上的基有何区别与联系？代数结构仅对一种运算起作用吗，如果不是，那对那一类运算起作用，他们应具有何种性质？ 有哪些常用的代数结构？分解的思想体现在那些工作上？ 类比的思想有哪些作用？如何培养？

第一问，考虑a是否为自然数是必要的，因为a为自然数时，函数变成sinnx（即为a=n），由于sinnx，cosnx，n=1，2,。。。是一个正交列，故其傅里叶级数变成有限项（即项角标等于a的sin系数非零，其余全是0），这个的计算不同于a非自然数，而且这个时候函数在端点值相等，拓展成周期函数时是连续的，级数在整个定义域都收敛于函数值，可以单独列出。第二问中，n不是自然数时，f（-π）不等于f（π），也就是如果把函数拓展成周期函数，那么在周期两端的地方是不连续的，故其傅里叶级数在这些点不收敛于函数值。而在周期内部是连续的，级数收敛于函数值，可以写成f（x）=级数。

解：分享一种解法。根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而，a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。 an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。 bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。 ∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,…,∞。供参考。

你举个例子说明一下，怎么不同了？两者都是以2pi为周期的周期函数，应该是一样的。

这个函数符合狄里克雷收敛定理f(x)是周期为2π的周期函数；在一个周zhi期内连续或只有第一类间断点，在一个周期内至多只有有限个极值点。所以x是f(x)的连续点时，级数收敛于x，x是f(x)的间断点时，级数收敛于1/2[f(x+)+f(x-)]，这题就是3。解：根据傅里叶级数的定义，f(x)=(a0)/2+∑[(an)cos(nx)+(bn)sin(nx)]，其中，n=1,2,…,∞。而a0=(1/π)∫(-π,π)f(x)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)dx=2(π2+1)。 an=(1/π)∫(-π,π)f(x)cos(nx)dx=(1/π)∫(-π,π)(3x2+1)cos(nx)dx=12(-1)^n/n2。 bn=(1/π)∫(-π,π)f(x)sin(nx)dx。∵f(x)sin(nx)在积分区间是奇函数，其值为0，∴bn=0。 ∴f(x)=π2+1+12∑[(-1)^n/n2]cos(nx)，其中，n=1,2,∞。扩展资料：傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取（1）式右边的无穷级数中的有限项作和x(t)，那么x(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。参考资料来源：百度百科-傅里叶级数

隔年考一次。傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在收敛于此函数本身时的一种称呼，基本上隔年考一次。

傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。傅里叶展开式系数公式是a0=π平方/3，傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。傅立叶级数(三角级数)f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dxan=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦 第一，二象限为正， 第三，四象限为负余弦 第一，四象限为正 第二，三象限为负正切 第一，三象限为正 第二，四象限为负 sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的定义域为x不等于π/2+kπ,值域为Rcot(x)的定义域为x不等于kπ,值域为R y=sinx---y"=cosxy=cosx---y"=-sinxy=tanx---y"=1/(cosx)^2y=cotx---y"=-1/(sinx)^2y=arcsinx---y"=1/√1-x^2y=arccosx---y"=-1/√1-x^2y=arctanx---y"=1/(1+x^2)y=arccotx---y"=-1/(1+x^2) 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。反三角函数实际上并不能叫做函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。其概念首先由欧拉提出，并且首先使用了arc+函数名的形式表示反三角函数，而不是f-1(x).反三角函数主要是三个：y=arcsin(x)，定义域[-1,1]，值域[-π/2,π/2]，图象用红色线条；y=arccos(x)，定义域[-1,1]，值域[0,π]，图象用兰色线条；y=arctan(x)，定义域(-∞,+∞)，值域(-π/2,π/2)，图象用绿色线条；sinar

根据傅里叶级数的定义，对于一个周期为2π的周期函数f(x)，它的傅里叶级数可以表示为：f(x) = a0 + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)其中，an和bn是傅里叶系数，它们的计算公式为：an = (1/π) ∫[f(x)cos(nx)]dx （从-π到π的积分）bn = (1/π) ∫[f(x)sin(nx)]dx （从-π到π的积分）如果函数f(x)在周期为2π的区间上满足连续和可导，且在端点处左右极限相等，则可以证明在区间(0,π)上f(x)的傅里叶级数可以表示为：f(x) = (a0/2) + ∑[ancos(nx) + bnsin(nx)] (n从1到正无穷)这是因为在区间(0,π)上，cos(nx)和sin(nx)都是奇函数，它们的积分在(0,π)上是偶函数，因此只有an和bn中的奇数项对积分有贡献，而a0和偶数项的系数都为0。由此得到上述式子。因此，当函数在周期区间上满足连续和可导条件时，可以使用傅里叶级数在(0,π)上的求和来逼近原函数。但是需要注意的是，傅里叶级数的逼近精度与原函数的连续性和可导性有关，如果原函数在周期区间上不满足这些条件，则傅里叶级数的逼近效果可能不理想。

-π/4-1 由于你是要展开成正弦型级数,所以函数在延拓的时候需要延拓成奇函数,也就是说f(x)在[-π,π]上的定义应该如下： 当x属于[-π,-π/2)时,f(x)=x-1 当x属于[-π/2,0)时,f(x)=-1, 当x属于[0,π/2]时,f(x)=1 当x属于(π/2,π]时,f(x)=x+1 当某个x0为连续点或者第一类间断点（比如你题目中要求的那个点就是第一类间断点）时,由Dini定理可知其傅立叶级数取值为[f(x0+0)+f(x0-0)]/2,其中f(x0+0)和f(x0-0)分别表示在x0点取左右极限的函数值,当然如果这点是连续的,显然有[f(x0+0)+f(x0-0)]/2=f(x0).如果这点是第一类间断点,比如像你题目中的情况,那么有在-π/2处的左右极限分别为-π/2-1和-1,所以其值为两者相加除以2也就是 -π/4-1

都在考试范围，多元函数积分绝对是重点，每年都会有大题。傅里叶级数不算重点，比较冷门，但偶尔也会考，多是填空选择题，也就是考一道小题。不过曾经有一年出过一个大题，考翻了一堆人。我的意见：傅里叶级数的定义要知道，如何做奇延拓、偶延拓要知道；另外重点掌握傅里叶级数的和函数，在某一点的值如何计算（特别是间断点处），如果考填空或选择的话，95%的可能性是考这个地方。希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

进行偶延拓，把周期延展到2π，再带入2π为周期的傅里叶级数公式即可。（偶函数，bn项均为0，只需算a0，an）

傅里叶级数不属于高中知识。在电子学中，傅里叶级数是一种频域分析工具，可以理解成一种复杂的周期波分解成直流项、基波（角频率为ω）和各次谐波（角频率为nω）的和，也就是级数中的各项傅里叶级数是对于周期信号来说的，如果周期信号满足绝对可积（一般都符合），那么他就可以分解成无限项正弦函数和余弦函数的加权和，这个无限项正弦函数和余弦函数的加权和就是傅里叶级数了首先我们知道线性代数里，一个n维的向量（f）可以由n个完备的正交归一基底叠加而成，叠加系数怎么求呢？就是直接用这个向量（f）点乘各基底（就是用点乘来求它在各基底的分量）。好现在你把一个函数看成一个无限维的向量，每个函数值对应的就是一维，而在这个无限维的空间里，点乘被定义为这两个函数相乘后再积分（就跟高中里a·b=axbx+ayby一个道理）。