3个傅里叶级数求解

这里业绩数的要求是非常好的，因为有一些使用非常广泛

这是傅里叶余弦级数。原理是先将f偶函数化，然后写成傅里叶级数。利用傅里叶级数逼近定理，我们知道S（x）会趋向于函数值。函数是偶函数延拓的，所以f（-1/4）=f(1/4)=1/4，所以S（-1/4）=1/4

bn=0【解释】[f(x)+f(-x)]/2是偶函数，所以，其傅里叶级数是余弦级数，正弦项的系数全是0即，bn=0

一般情况下，我们无法求一个三角级数的和函数。大学学习内容，是已知 f（x），由它产生一列 F 系数，生成一个三角级数。由收敛定理可以写出，这个三角级数的和函数。 查看原帖>>

把一个函数展成傅立叶级数，在收敛点上带入某个特定的值就可以得到此级数和结果如下：http://zhidao.baidu.com/question/239173597581851124.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-1489102572令x=0带入，然后就可以得到………………结果是(pi^2)/12

这个是最简单的傅立叶展开题，这个题目的意思是周期是2派，然后有公式的，把对应的a0，an和bn算出来就可以了，

设分段函数为f(x),那么S(x)与f(x)的关系如下：在f(x)的连续点处的值S(x)与f(x)一样,在f(x)的间断点处S(x)的值等于F(x)在此点处的左右极限的算术平均值.

想知道

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记住傅立叶级数的形式，把傅立叶级数中系数an,bn的公式记住然后代入公式算出积分来就可以了！因为公式太难输入了，所以只给了方法，你可以查书上公式！希望能帮到你！

如图所示，用积分相关性质以及分部积分法可以求出相应的定积分

sinx,-pi<=x<=pi

再用傅立叶级数展开成余弦级数。傅立叶级数在整个定义域上都成立。 补全为偶函数后，不用求正弦级数的部分，只用求余弦级数。 a<n>=1/A×(-A,A)∫f(

题目绿字的地方看不清

多看一些书就好啊，别人说再多也没用

这里更换了求和指标.因为当n为偶数时, 1-(-1)^n = 0, 所以求和中只剩下了n为奇数的项.设n = 2k-1, 则变为2/(2k-1)·sin((2k-1)x)对k从1到无穷求和.再把求和指标k换回n (用什么字母都一样), 就成了最后的结果.

频域分析法即傅里叶分析法，是变换域分析法的基石。其中，傅里叶级数是变换域分析法的理论基础，傅里叶变换作为频域分析法的重要数学工具，具有明确的物理意义，在不同的领域得到广泛的应用连续时间周期信号的分解：以高等数学的知识，任何周期为T的周期函数，在满足狄里赫利条件时，则该周期信号可以展开成傅里叶级数。傅里叶级数有三角形式和指数形式两种。根据欧拉公式并考虑和奇偶性可将改写为指数形式的傅里叶级数：即周期信号可分解为一系列不同频率的虚指数信号之和。扩展资料：注意事项：如果对一个系统输入复指数信号，输出必定也是复指数信号，根据复数相等实部实部相等、虚部虚部相等的原则，那么输出的实部与输入的实部：cos（wt）相对应，输出的虚部与输入的虚部：sin(wt)相对应。输入一个复指数函数就同时解决了系统输出的振幅和相位的问题：因为输出的振幅等于响应实部的平方与虚部的平方和的开方，而输出的相位等于响应虚部与实部的比值的反正切。对于线性控制系统输入是正弦的输出也是正弦的，且周期不变。参考资料来源：百度百科-余弦波参考资料来源：百度百科-傅里叶级数

利用傅立叶变换求解傅立叶级数是有公式转化的，不是定义，如果让你求的是三角函数的级数，一般采用傅立叶级数展开，就是题目中的带fn的公式，如果不是三角函数而让你求级数，往往先利用傅立叶变换公式算出其傅立叶变化然后在利用傅立叶变换和级数之间的一个简单公式就可以算出其傅立叶级数

差不多混元两句没啥变化要求操作规程一样。

傅里叶级数就那么求，看懂例题了吗？

对f(x)做周期为2π的奇拓展，将f(x)拓展为实数域上的奇函数，由狄利克雷定理可知f(x)可以拓展为傅里叶级数；设f(x)=a_{0}+ Sigma(a_{n}cosnx)+Sigma(b_{n}sinnx)；（Sigma从1到无穷求和）两边乘以cosnx，在(-π,π)上求定积分可得a_{n}=0；等式两边在(-π,π)上求定积分可得a_{0}=0；两边乘以sinnx，在(-π,π)上求定积分可得b_{n}=(-1)^{n+1}2/n；最后一步的计算过程中（sinnx）^2在(0,π)上的定积分为π/2；xsinnx在(0,π)上的定积分为}=(-1)^{n+1}π/n；

一． 傅里叶级数的三角函数形式 　　设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 　　其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 　　上式有可改写为如下形式，即 　　当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 　　把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 　　从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 　　a-n=an 　　b-n=-bn 　　A-n=An 　　ψ-n=-ψn 　　即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 　　二． 傅里叶级数的复指数形式 　　将式（10-2-2）改写为 　　可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 　　上式即为傅里叶级数的复指数形式。 　　下面对和上式的物理意义予以说明： 　　由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 　　可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 　　的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 　　上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 　　即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 　　在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 　　引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。 　　高等数学中的傅立叶级数　　傅立叶系数　　傅立叶系数包括系数 ，积分号和它的积分域，以及里面的两个周期函数的乘积——其中一个是关于f的，另一个是关于x的函数f(x),另一个则是和级数项n有关的三角函数值。这个三角函数可以是正弦，也可以是余弦，因此傅立叶系数包括正弦系数和余弦系数。其中当n=0时，余弦值为1，此时存在一个特殊的系数 ，它只与x有关。正弦系数再成一个正弦，余弦再乘一个余弦，相加并且随n求和，再加上一半的 ，就称为了这个特别的函数f(x)的傅立叶级数。为什么它特别呢，我想因为这里只有它只限于一个周期函数而已，而级数的周期就是f(x)的周期，2 。　　如果函数f(x)存在一个周期，但是不是2 了，而是关于y轴对称的任意一个范围，它还能写成傅立叶级数么？也可以的。只要把傅立叶系数里的 换成l，并且把积分号里的三角函数中的n 下除一个l，同时把系数以外的那个n 底下也除一个l。其他的都不动。也可以认为，2 周期的傅立叶级数其实三角函数中x前面的系数应该是 ，其他的 （积分域和系数）应该是x，只不过这时所有的l都是 罢了。　　前面提及了，周期或是积分域，是关于y轴的一个任意范围。其实周期函数不用强调这个，但是为什么还要说呢？因为要特别强调一下定义域是满的。有些函数的定义域不是满的，是0到l，当然这样它有可能不是周期的。这些函数能写成傅立叶级数么？同样可以。而且，它的写法不再是正弦和余弦函数的累积，而是单独的一个正弦函数或是余弦函数。具体怎么写，就取决于怎么做。因为域是一半的，所以自然而然想到把那一半补齐，f就成了周期函数。补齐既可以补成奇函数也可以补成偶函数。补成积函数，写成的级数只有正弦项，即 为0。补成偶函数，写成的级数就只含有余弦项和第一项，即 为0。而，傅立叶系数相比非积非偶的函数要大一倍。　　其实，如果不经延拓，上面那些对于奇偶函数同样使用。　　在做题时，常常看到级数后面跟着一个系数还有一个正弦函数，然后后面给出了这个系数很复杂的一串式子，这时候就容易突然短路了。但是如果再定睛一看，会发现其实那个系数不过是一个有积分的傅立叶系数而已。那么一大串，应该看什么呢？应当先看积分域，一下就可以定出周期了。第二步要明确级数和函数的关系即等价关系。函数不但包含在级数中，而且函数本身也是和级数等价的。但一般那个级数里的函数是一个摆设，不起什么作用

取[-2,2],奇函数，周期=4，可仅用sin表示。积分求系数。

f(x)=Ancosnπx+Bnsinnπx An=∫(-1→1) x^2*cosnπx Bn=∫(-1→1) x^2*sinnπx

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数,其周期为T,频率和角频率分别为f ,ω1.由于工程实际中的非正弦周期函数,一般都满足狄里赫利条件,所以可将它展开成傅里叶级数.即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅,不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量.A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波,A1,ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍,称为二次谐波,A2,ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波,四次谐波等.基波,三次谐波,五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波,四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外,其余各项统称为高次谐波.式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加.上式有可改写为如下形式,即 当A0,An,ψn求得后,代入式 (10-2-1),即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式.把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析.工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种,它们的傅里叶级数展开式前人都已作出,可从各种数学书籍中直接查用.从式（10-2-3）中看出,将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数,bn和ψn是n的奇函数.二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数.代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式.下面对和上式的物理意义予以说明：由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn,物理意义十分明确,故称为第n次谐波的复数振幅.的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式.这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7）,通常用下列符号表示,即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得,再将所求得的代入式（10-2-7）,即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数.在（10-2-7）中,由于离散变量n是从（-∞）取值,从而出现了负频率（-nω1）.但实际工程中负频率是无意义的,负频率的出现只具有数学意义,负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的,它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量.即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便.

周期锯齿波的描述表明了它是一个奇函数（即，f(-t) = -f(t)）。我们可以求解该函数的傅里叶级数展开式。对于奇函数，我们只需要计算正弦项。首先，我们将锯齿波函数定义为：f(t) = t, 对于 -π < t < π因为这是一个周期函数，我们可以将其扩展到整个实数轴上，周期为2π。然后，我们可以计算傅里叶级数的正弦系数（An = 0，因为 f(t) 是奇函数）：Bn = (2/π) * ∫[f(t) * sin(n*t)] dt, 从 -π 到 π 积分将 f(t) = t 代入，我们得到：Bn = (2/π) * ∫[t * sin(n*t)] dt, 从 -π 到 π 积分通过分部积分（Integration by Parts）计算上述积分：令 u = t, 则 du = dt令 dv = sin(nt) dt, 则 v = (-1/n) * cos(nt)∫[t * sin(n*t)] dt = uv - ∫[v * du]= -t * (1/n) * cos(nt) - (1/n) * ∫[-cos(nt)] dt= -t * (1/n) * cos(nt) + (1/n^2) * sin(nt)在 -π 到 π 的区间上计算该表达式的值：Bn = (2/π) * [(1/n^2) * sin(nπ) - (1/n^2) * sin(-nπ) - π * (1/n) * cos(nπ) + π * (1/n) * cos(-nπ)]注意 sin(nπ) 和 sin(-nπ) 都等于0，cos(nπ) = (-1)^n，cos(-nπ) = (-1)^n。所以：Bn = (2/π) * [-π * (1/n) * (-1)^n + π * (1/n) * (-1)^n]化简得：Bn = (2*(-1)^n) / n因此，周期锯齿波的傅里叶级数展开式为：f(t) = (2/π) * Σ[((-1)^n)/n * sin(n*t)], 其中 n 从 1 到无穷。

两边同时乘以sin3x，积分。

法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。

这个太麻烦了，主要是写太麻烦，懒得去找符号

设分段函数为f(x),那么s(x)与f(x)的关系如下：在f(x)的连续点处的值s(x)与f(x)一样,在f(x)的间断点处s(x)的值等于f(x)在此点处的左右极限的算术平均值

自己做

根据狄利克雷充分条件，f(x)的傅里叶级数在x0点收敛于1/2·[f(x0+)+f(x0-)]【x0点处f(x)左右极限的平均数】本题中，f(π-)=1+π²f(π+)=f(-π+)【根据周期性】=-1∴f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于1/2·[f(π+)+f(π-)]=1/2·(1+π²-1)=1/2·π²

直接套书上的计算公式呀

一．傅里叶级数的三角函数形式设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f,ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。上式有可改写为如下形式，即当A0，An,ψn求得后，代入式(10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有a-n=anb-n=-bnA-n=Anψ-n=-ψn即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。二．傅里叶级数的复指数形式将式（10-2-2）改写为可见与互为共轭复数。代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式。下面对和上式的物理意义予以说明：由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。

由三倍角公式，cos³x=(3cosx+cos3x)/4故f(x)=cos³x=(3/4)cosx+(1/4)cos3x这就是它的傅里叶展开式，只有2项。

把一个函数展成傅立叶级数，在收敛点上带入某个特定的值就可以得到此级数和结果如下：http://zhidao.baidu.com/question/239173597581851124.html?oldq=1&from=evaluateTo#reply-box-1489102572令x=0带入，然后就可以得到………………结果是(pi^2)/12

傅里叶级数干什么的，这个给你讲起来很复杂。在不同的领域有不同的应用。简单说就是可以从频域去分析一个函数。比如说在通信领域，时域分析一个信号有时候计算非常复杂，相反在频域会很简单。我们把它延拓是为了更方便写出它的傅里叶级数。但是，根据这个写出的傅里叶级数不完全等价于原函数。等价的是延拓的函数。这样有它的意义就是，这个延拓的函数在(0,1）区间内与原来的函数是一样的。其实傅里叶不需要周期函数的界定，非周期的你可以认为它是周期无穷大的.不懂的在追问吧,

ccccccc

如图所示：

一般情况下,我们无法求一个三角级数的和函数.大学学习内容,是已知 f（x）,由它产生一列 F 系数,生成一个三角级数.由收敛定理可以写出,这个三角级数的和函数.查看原帖>>

根据狄利克雷充分条件，f(x)的傅里叶级数在x0点收敛于1/2·[f(x0+)+f(x0-)]【x0点处f(x)左右极限的平均数】本题中，f(π-)=1+π²f(π+)=f(-π+)【根据周期性】=-1∴f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于1/2·[f(π+)+f(π-)]=1/2·(1+π²-1)=1/2·π²

都忘了

是。根据查询傅里叶级数的内容得知：在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都绝对收敛，函数的傅立叶级数也是绝对收敛的。傅里叶级数是法国数学家傅里叶认为，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数。

因为他是级数。级数为什么要收敛？再说f(x)的傅里叶在一个周期都是恒等于f(x)的。如果不收敛，那在不收敛的点f(x)=正无穷或负无穷。唯一可能就是fx在那个点不连续，那傅里叶就无意义

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先判断这是正项级数还是交错级数 　　一、判定正项级数的敛散性 　　1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则 　　2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则 　　3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则 　　4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等. 　　二、判定交错级数的敛散性 　　1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定. 　　2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定. 　　3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散. 　　4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定. 　　三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域 　　1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域. 　　2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径. 　　四、求幂级数的和函数与数项级数的和 　　1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和. 　　2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值. 　　五、将函数展开为傅里叶级数 　　将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.

在非线性电流，电压或信号作用下，线性电路的分析和计算。主要在波，热传导中的计算中应用的比较多，主要是将复杂的函数转换成已知的谐波叠加。