级数

很明显收敛的啊，积分审敛法直接判别！

有极限就收敛。 这个summation函数 有 bound。

截图来自同济6下

(n+1)^(1/2) - n^(1/2) = 1 / ((n+1)^(1/2) - n^(1/2)) 相当于 1/2 * n^(1/2)ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) 相当于 1/n所以 n->无穷大时，求和号内部是 n^(-3/2) 数量级的，于是绝对收敛

比较判别法：(k+n)/n^2 > n/n^2 = 1/n，由于 ∑（1/n） 发散，因此原极限发散 。

这个是我见过最简单的。。。。

ln n/(n^p) j大于零。求绝对收敛即求ln n/(n^p) 的收敛性，当p<0时，ln n/(n^p) 趋于无穷。所以ln n/(n^p) 发散。所以级数发散。当n大于3时，ln n/(n^p) >1/n^p的，而当p>=1时，1/n^p是发散的，ln n/(n^p)也是发散的。当0<P<1时，[ln n/(n^p)]/[1/n^p]的极限为0，而1/n^p收敛，则ln n/(n^p)收敛。因些当0<P<1时，级数绝对收敛。条件收敛则根据莱布尼兹定理当p>=1时，ln n/(n^p) 趋于零。而对ln n/(n^p)求导得到的分子为1-p*ln n,当n>=3时，1-p*ln n小于0。符合定理，因些收敛，所以此时条件收敛。题目信息好乱，求正解~只是个人的理解，抛砖引玉吧~求楼主指导~

莱布尼兹判别法，后面的用积分中值定理

收敛域 [-1，1)。记和函数为 f(x)，则 [xf(x)]" = ∑x^n = 1/(1-x)，积分可得 xf(x) = -ln(1-x)，所以 f(x) = ｛-1/x*ln(1-x)(x≠0)， ｛0 (x=0) 。

题目要求的级数，n^0.5f(1/n)的绝对值比n^1.5 ，应该等于0.5×f""(0)的绝对值才对。而f""(0)肯定是一个有界值，因为f(x)是在x=0的某邻域内二阶连续可导，所以f""(0)是有界值。又知道 n^0.5f(1/n)的绝对值比n^1.5 =0.5×f""(0)的绝对值 ，即两者同时敛散性。所以该级数绝对收敛， 其实用泰勒公式比较好做，毕竟超过了一阶可导。

利用积分∫(2,+∞)1/xlnxdx=ln|lnx||(2,+∞)可以发现发散。

这个是交错级数，可有莱布尼兹解，lim(n→∞) ln (e^n)/n=∞的，所以倒过来就是趋向于0上面两个不相等

　　解：题目中n的取值范围应该是2到∞。分享一种解法。　　设f(x)=1/[x(lnx)^2]，则f(x)在[2,+∞)非负、单调减少、且连续，　　又，∫(2,+∞)dx/[x(lnx)^2]与级数∑1/[n(lnn)^2]有相同的敛散性，而∫(2,+∞)dx/[x(lnx)^2]=-1/lnx丨(x=2,∞)=1/ln2，收敛。　　∴级数∑1/[n(lnn)^2]收敛。供参考。

条件收敛

收敛半径由柯西-阿达马公式知道是1，收敛域是单位圆盘去掉点i和-i。定义函数f(x)为1/(1+te^{2ix})对t从0到1积分。此f为pi周期函数，在]-pi/2,pi/2[上光滑，而且是L^2可积的（因为1/(1+te^{2ix})对于(t,x)是L^2可积的）。f(pi/2)=f(-pi/2)=正无穷大。目标是证明f(x)=∑(-1)^ne^{2nix}/2n+1对x属于]-pi/2,pi/2[成立。利用Fubini定理容易验证式子右边的级数实际上是f的傅立叶级数。利用f在]-pi/2,pi/2[上的光滑性和Dini定理，有在]-pi/2,pi/2[上Fourier级数逐点收敛到f。所以，在||x||=1，x非i,-i时，∑(-1)^nx^(2n+1)/2n+1收敛。

从定义上看：fn一致收敛到f：对于任意的e>0,存在一个N>0，使对于任意的x在定义域和n>N, |f(x)-fn(x)|<efn逐点收敛到f：对于任意的e>0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x>0，使任意的和n>N_x, |f(x)-fn(x)|<e这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。一致收敛指所有fn(x)大约“同步”地收敛到整个f(x)。另一套解释：点点收敛,是每一个点都收敛到极限函数，但收敛快慢没有限制，比如在（0，1）区间Fn(x)=x^n会收敛到F(x)=0，但收敛速度有快有慢，x越接近于1，收敛速度越慢。（甚至可以任意慢，对任意ε＞0，任意N＞0，存在n＞N,x0,使得abs[Fn(x0)-F(x0)]＞ε；abs（f）表示f的绝对值）一致收敛，不仅仅每一个点都收敛到极限函数，而且收敛速度要好于一个共同的标准（一致性）。，比如在（0，0.5）区间Fn(x)=x^n会收敛到F(x)=0，虽然收敛速度有快有慢，但是都比0.5^n要快。（对任意ε＞0，存在N＞0，任意n＞N,x0,使得abs[Fn(x0)-F(x0)]＜ε；abs（f）表示f的绝对值）函数序列的三种收敛之间的关系是：一致收敛一定点点收敛和弱收敛，反之不然点点收敛与弱收敛之间没有必然联系

一般用来做参照的级数最常用的是等比级数和P级数，其实，用比较判别法基本上是用P级数作为参照级数，如果用来参照的级数是等比级数，那就不必用比较判别法，而应用比值判别法了。用比较判别法的技巧是：先判断级数一般项极限是否为零，不为零，则级数发散，若一般项极限为零，找与一般项同阶的无穷小，而且通常是P级数的一般项，从而由此P级数的敛散性确定原级数的敛散性。

实际上，只要f(x)可积，就可写出傅立叶系数，因而可写出傅立叶级数，但该傅立叶级数未必收敛于f(x)，而是在x处收敛于　　　　[f(x-0)+f(x+0)]/2，也就是说，当x是连续点时该傅立叶级数才收敛于f(x)。

1、对于所有级数都适用的根本方法是：柯西收敛准则。因为它的本质是将级数转化成数列，从而这是一个最强的判别法，柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件。局限性：有一些数列的特征太过明显，可以用更加简洁的判别法去判别，用柯西收敛原理是浪费时间；另一方面，如果级数本身过于复杂，用柯西收敛准则也未必能很快得到证明。2、对于正项级数，一个基本但不常用的方法是部分和有界，这同样是级数收敛的充分必要条件，这是正项级数中最强的判别法之一，局限性也是显然的：通常来说一个级数的和函数并不好求，用这种方法行不通，因此这个方法通常只有理论上的意义。3、对于正项级数，比较判别法是一个相当有效的判别法，通过找一个新正项级数，比较通项，如果原级数的通项小，新级数收敛，则原级数收敛；如果新级数发散，原级数通项大，则原级数发散，通常在判别过程中使用其极限形式。局限性：当级数过于复杂时，要找的那个新级数究竟是什么很难判断，通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开，以找到与之等价的p级数。4、对于正项级数，有积分判别法：如果x>=1且f（x）〉=0且递减，则无穷级数（通项为f（n））与1到正无穷对f（x）作的积分同敛散。这个办法对于某些级数特别有效。局限性：由于其本质是将级数化成了反常积分，如果化成的反常积分的收敛性难以判断，则有可能该方法就把问题复杂化了。5、对于正项级数，还有拉贝判别法与高斯判别法。拉贝判别法是将级数与通项为1/（n^alpha）的级数做比较，如果当n充分大时，n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1，那么级数收敛。高斯判别法将级数与通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数做比较，如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn），其中beta〉1，则级数收敛。局限性：这两个判别法已经很强了，大部分级数都可以用这两个判别法去估计，但是仍然不是全部级数都有效的，如果级数比通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数收敛得还慢，就无效了，这时应该去想比较判别法或者其他办法，可能需要比较强的技巧。6、对于交错级数，有莱布尼兹判别法：如果级数符号交替且通项绝对值递减，则级数收敛。局限性：如果级数不满足上述条件，显然就失效了。7、一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法：阿贝尔判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调有界，以另一部分为通项的级数收敛，那么原级数收敛。狄利克雷判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积，其中一部分随下标单调趋于零，以另一部分为通项的级数的部分和有界，那么原级数收敛。这两个判别法对于一些通项为两项以上乘积形式的级数非常有效。局限性：如果拆不出来，那就没办法了。不过通常的题最多就考到这里，基本上应该可以判别。

我刚学数列的收敛与发散,或许能帮上你11/21/3…1/n…是调和级数,老师讲的,这种级数就是发散的11/81/27…1/（n^3)…=11/2^31/3^3...1/n^3...这种是p级数p就是那个指数如果p>1,那这个级数就是收敛的.如果p<1,那这个级数就是发散的.如果p=1,那么这个级数就是调和级数,也是发散的

正项级数审敛法:(1)比较判别法:正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界;(2)比值判别法:对于正项级数,n-->正无穷时,设p=u(n+1)/u(n),则有:p<1时,级数收敛,p>1时,级数发散.(3)根值判别法:对正项级数,n-->正无穷时,设p=sqrt(u(n)),p为有限数或正无穷,则p<1时级数收敛,p>1时级发散.(4)积分判别法:对正项级数,若连续函数f(x)在区间[1,正无穷)上单调递减,且u(n)=f(n),(n=1,2,3...),则级数与f(x)dx有[1,正无穷)上的广义积分有相同的敛散性.其中,sqrt为根号下.

比较省敛 比值省敛 根植省敛

比如1/n发散1/n^2收敛交错级数比如1-11-1.。。。。。。发散高数课本好好看，记住了。

有极限（极限不为无穷）就是收敛，没有极限（极限为无穷）就是发散。例如：f（x）=1/x 当x趋于无穷是极限为0，所以收敛。f（x）= x 当x趋于无穷是极限为无穷，即没有极限，所以发散。在数学分析中，与收敛（convergence)相对的概念就是发散(divergence)。扩展资料：如果一个级数是收敛的，这个级数的项一定会趋于零。因此，任何一个项不趋于零的级数都是发散的。不过，收敛是比这更强的要求：不是每个项趋于零的级数都收敛。其中一个反例是调和级数。调和级数的发散性被中世纪数学家奥里斯姆所证明。一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛则称级数Σun绝对收敛经济学中的收敛，分为绝对收敛和条件收敛条件收敛指的是技术给定，其他条件一样的话，人均产出低的国家，相对于人均产出高的国家，有着较高的人均产出增长率，一个国家的经济在远离均衡状态时，比接近均衡状态时，增长速度快。一般的级数u1+u2+...+un+...，它的各项为任意级数，如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛，则称级数Σun绝对收敛。如果级数Σun收敛，而Σ∣un∣发散，则称级数Σun条件收敛。

如图参考

常用的充分条件是这样的：如果函数f(x)可以延拓为复变函数f(z)(即x可以是复数,记为z以示区别)，并且f(z)在以z0为圆心，半径为R的圆内解析（复可导），则f(z)在z0处的泰勒级数在该圆内处处收敛到f(z)。这个定理不仅说明了泰勒级数的收敛性、收敛到的值，还给出了判定收敛半径的方法。对于初等函数来说，这个定理是非常易用的。当然前提得懂复变函数的基础知识，比如解析是什么意思，如何判定奇点等。...再唠叨两句吧举例来说，1/(9-x^2)在x=0处展开。1/(9-z^2)在z=3,-3处没定义（奇点），其余处处可导，故在半径R=3的圆内解析，展开的Taylor级数在其内收敛于f(x)

从定义上看：fn一致收敛到f：对于任意的e>0,存在一个N>0，使对于任意的x在定义域和n>N, |f(x)-fn(x)|<efn逐点收敛到f：对于任意的e>0,对于任意的x在定义域，存在一个N_x>0，使任意的和n>N_x, |f(x)-fn(x)|<e这里注意到，我在逐点收敛的N上标了一个下标x，表示N和x是有关系的。而一致收敛的N是先取的，是对所有x都适用的。这个就是最大的区别：逐点收敛指在每个点，函数值fn(x)都收敛到f(x)，但是不同点收敛快慢可能不一样。柯西准则：级数的收敛问题是级数理论的基本问题。从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则 ：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数 p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。

利用泰勒公式：e^x=Sum{x^n/n!} {n=0到正无穷}e^x=Sum{3^n/n!}=Sum{3^n/n!}+1Sum{3^n/n!}=e^x-1

等比级数 ∑<1,∞> aq^(n-1) -1<q<1 时收敛p-级数 ∑<1,∞> 1/n^p, p>1 时收敛交错 p-级数 ∑<1,∞> (-1)^n/n^p, 0<p≤1时条件收敛，p>1 时绝对收敛可拆项级数 ∑<1,∞> 1/[n(n+1)] 收敛∑<1,∞> 1/n！ 收敛

Step 1首先，拿到一个数项级数，我们先判断其是否满足收敛的必要条件：若数项级数收敛，则 n→+∞ 时，级数的一般项收敛于零。（该必要条件一般用于验证级数发散，即一般项不收敛于零。）Step 2若满足其必要性。接下来，我们判断级数是否为正项级数：若级数为正项级数，则我们可以用以下的三种判别方法来验证其是否收敛。（注：这三个判别法的前提必须是正项级数。）Step 2”三种判别法1.比较原则；2.比式判别法，（适用于含 n！ 的级数）；3.根式判别法，（适用于含 n次方 的级数）；（注：一般能用比式判别法的级数都能用根式判别法）Step 3若不是正项级数，则接下来我们可以判断该级数是否为交错级数：Step 4若不是交错级数，我们可以再来判断其是否为绝对收敛的级数：6Step 5如果既不是交错级数又不是正项级数，则对于这样的一般级数，我们可以用阿贝尔判别法和狄利克雷判别法来判断。

1、微分中值定理成立的条件是闭区间连续，这个闭区间连续是你用定理的区间，不一定是题目给的区间。因此f(x)在[1/(n+1)，1/n】上连续，在(1/(n+1)，1/n)上可导，就可以用中值定理。2、要严格的话，你可以将级数从n＝2开始相加，这样就不会出现f(1)了。改变级数的有限项不影响级数的敛散性，只可能影响到级数的和的大小。其实只要涉及到极限的东西，一般都不需要考虑前面有限多项的值的大小及存在性。当然，其实本题的条件能保证f(1)可以是存在的，即lim f(x)存在，当x趋于1时；有兴趣的话你可以证明一下。不过不是用题目的结论证明，而是用Cauchy收敛原理。

常用的充分条件是这样的：如果函数f(x)可以延拓为复变函数f(z)(即x可以是复数,记为z以示区别)，并且f(z)在以z0为圆心，半径为R的圆内解析（复可导），则f(z)在z0处的泰勒级数在该圆内处处收敛到f(z)。这个定理不仅说明了泰勒级数的收敛性、收敛到的值，还给出了判定收敛半径的方法。对于初等函数来说，这个定理是非常易用的。当然前提得懂复变函数的基础知识，比如解析是什么意思，如何判定奇点等。...再唠叨两句吧举例来说，1/(9-x^2)在x=0处展开。1/(9-z^2)在z=3,-3处没定义（奇点），其余处处可导，故在半径R=3的圆内解析，展开的Taylor级数在其内收敛于f(x)

1、楼主的说法，没有错，完全正确。2、一个函数写成无穷项的级数形式时，是展开，是expand。 把一个具有无穷项的级数，合成一个函数时，是求和，是找function。3、并不是总能如愿以偿地进行上面的事情，通常都是有条件限制的。 这个条件就是收敛域，也就是在一点，或在一点以及周围的领域。4、收敛于一个函数，是不确切的说法。意思是无穷级数的计算结果， 跟函数计算的结果是完全一致的。确切的说法是：在某某某某区域 内，级数收敛于某某函数。

因为f(x)单调减少 所以当x>1 f(x)<f(1)=1 又sinx在(0,1)上单增 所以sinf(x)单调减少

函数收敛定义方式与数列收敛类似。柯西收敛准则：关于函数f(x)在点x0处的收敛定义。对于任意实数b>0,存在c>0,对任意x1,x2满足0<|x1-x0|<c,0<|x2-x0|<c,有|f(x1)-f(x2)|<b。

考察函数 f(x)＝ln(1＋x) - x ，x ≥ 0，由于 f"(x)＝1/(1＋x) - 1＝ - x/(1＋x)＜0，因此函数在 [0，＋∞) 上递减，所以对任意 x ＞ 0，有 f(x)＜f(0)，也即 ln(1＋x)＜x，x＞0，由此得 ln(1＋1/2ⁿ)＜1/2ⁿ，由于 ∑ (1/2ⁿ) 收敛，因此原级数收敛。

解：∵tan(1/√n)≥1/√n （函数f(x)=tanx-x在它的定义域内是单调递增函数） 又广义调和级数∑1/√n发散 ∴根据比较判别法，知级数∑tan1/√n发散。

试试看stolz定理

幂级数收敛半径是一个非负的实数或无穷大，使得在|z-a|<r时幂级数收敛，在|z-a|>r时幂级数发散。根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：如果幂级数满足，则：ρ是正实数时，R=1/ρ；ρ=0时，R=+∞；ρ=+∞时，R=0。根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。收敛半径可以被如下定理刻画：一个中心为a的幂级数f的收敛半径R等于a与离a最近的使得函数不能用幂级数方式定义的点的距离。到a的距离严格小于R的所有点组成的集合称为收敛圆盘。最近点的取法是在整个复平面中，而不仅仅是在实轴上，即使中心和系数都是实数时也是如此。

假设他是一个函数f(n),f（n）是周期函数，当n为十二的倍数时，f（n）=0.（可以自己带进去试试）因此对于任意f（n），都有f(n)=f(n-12k)也就是任意f(n)减掉周期后都等于f(1)的f(12)中的一个，以十二为周期循环，因此f(n)是没有极限的。

函数列的收敛和一致收敛的根本区别在于N的选取有无依赖x的选择。具体说来，前者的定义是而后者的定义是

f(x)在x=0的领域可导不可以推出f(x)在x=0连续如f(x)=1/x如果是在0点可导则一定能得到在0点连续f(x)在0点可导，f(x)在0点领域一定连续连续是可导必要条件

告诉你一个判断的诀窍：因为要考虑n趋向无穷，总可以将n加有限数的那些有限数或略，如n+1用n代替等等。再用p级数判别法。收敛的是：A,EHKLNP,其余发散。

1题、这个f(x)=(2+x²)^(2/x²)在x→0的极限是2^∞=∞不存在,这种情况不能补充定义使f(x)在x=0处连续2题、①“因为x→0的极限=0,所以0不是间断点”这句话是对的②因为x→1(m=1)tan π/2=∞,所以f(x)的极限=0,所以m=1不是间断点（同理m=±1,±3,…不是间断点）③因为x→2(m=2)tan π=0,所以f(x)的极限=∞不存在,所以m=2是间断点（同理m=±2,±4,…是间断点）3题、直接把0代入的话,分母是代不成的,方法是用洛必达法则,得1/94题、这道题的题意是①先把x看成确定的实数,求n-->∞的极限,得到不含有n、对只含有变量x的函数f(x)②对只含有变量x的函数f(x)判断连续性③题中中括号的第1项就是x³吗?还是x³／﹙1＋x²﹚啊?注意一下,求极限时,在很多时候是不能“代入”的,比如3题和2题里都有这种情况

对于函数 1/√(1+x) 的幂级数展开式，它的 Maclaurin 展开式为：1/√(1+x) = 1 - x/2 + x^2/8 - x^3/16 + ...幂级数的每一项系数可以通过牛顿级数法或者牛顿-Cotes 公式求得。

解：分享一种解法。【用“[.]"”表示求导】设S(x)=∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^n，则S(x)=x∑[(-1)^(n+1)](n^2)x^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][nx^n]"，又，∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x∑[(-1)^(n+1)]nx^(n-1)=x∑[(-1)^(n+1)][x^n]"，而在其收敛域内，∑[(-1)^(n+1)][x^n]=x/(1+x)，∴∑[(-1)^(n+1)][nx^n]=x[x/(1+x)]"=x/(1+x)^2，∴S(x)=x[x/(1+x)^2]"=x(1-x)/(1+x)^3。

收敛级数任意添加括号后仍然收敛。在原级数里这样添加的括号可以是有限个，也可以是无限个，只要原级数收敛，添加括号后得到的新级数就一定收敛。但注意：原来带括号收敛的级数，去掉括号后却未必仍收敛。例：级数：a1+a2+a3+.+an+。收敛 ，lim(a1+a2+a3+.+an)=A现任意加括号所得级数为：b1+b2+b3+.+bm+.设m=kn+h，则当m趋于无穷大时，n趋于无穷lim(b1+b2+b3+.+bm)=lim(a1+a2+a3+.+an+...+a(kn+h))=A扩展资料级数收敛的条件级数收敛的必要条件是通项an趋于0。 一般验证一个级数是否收敛，首先看通项an是否趋于0，若不满足这条则可以判断该级数发散。如果这条满足，并不能保证级数收敛。需要继续验证别的条件，例如用比较判别法（和一个知道的收敛级数比较）。例如an=1/n，通项趋于0，但是发散。判断级数是条件收敛还是绝对收敛一个收敛的级数，如果在逐项取绝对值之后仍然收敛，就说z它是绝对收敛的；否则就说它是条件收敛的。简单的比较级数就表明，只要∑|un|收敛就足以保证级数收敛；因而分解式不仅表明∑|un|的收敛隐含着原级数∑un的收敛，而且把原级数表成了两个收敛的正项级数之差。由此易见，绝对收敛级数同正项级数一样，很像有限和，可以任意改变项的顺序以求和，可以无限分配地相乘。

　　级数理论是分析学的一个分支；它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。

数学常量e可以用以下级数展开：e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。这个级数收敛于e，因此可以用来计算e的值。如果用一个元素表示这个级数，可以用以下符号表示：e = Σ(n=0, ∞) 1/n!其中Σ表示求和符号，n=0表示从n=0开始求和，∞表示一直求和下去。1/n!表示每一项的值，表示n的阶乘的倒数。符号中的“|||”不是一个表示数学常量e的元素，而是表示级数的尾部继续延伸，表示级数无限求和的意思。

利用泰勒展开式可以吗？因为e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...同理，e^(-ax) = e^(-a) + (-a)(e^(-ax)) + (-a)^2*(e^(-2ax))/2! + ...搜搜泰勒展开式吧，能帮到你的希望能帮到你，记得采纳哦

泰勒公式，应用于 数学 、 物理 领域， 是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。 如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶 导数 值的情况之下，泰勒公式可以 用这些导数值 做 系数 构建一个 多项式 来 近似 函数在这一点的 邻域中的值 。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。 泰勒公式是将一个在x=x 0 处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x 0 ）的n次 多项式 来逼近函数的方法。 若函数f（x）在包含x 0 的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶 导数 ，则对 闭区间 [a,b]上任意一点x，成立下式： 其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x 0 处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项， 是（x-x 0 ）x n 的高阶无穷小。 泰勒公式的余项Rn（x）可以写成以下几种不同的形式： 1、佩亚诺（Peano）余项： 这里只需要n阶导数存在。 2、施勒米尔希-罗什（Schlomilch-Roche）余项： 其中θ∈（0,1），p为任意正整数。（注意到p=n+1与p=1分别对应拉格朗日余项与柯西余项） [3] 3、拉格朗日（Lagrange）余项： 其中θ∈（0,1）。 4、柯西（Cauchy）余项： 其中θ∈（0,1）。 5、积分余项： 其中以上诸多余项事实上很多是等价的。 我们知道，根据 拉格朗日中值定理 导出的有限增量定理有： 于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： 来近似地表示函数f（x）且要写出其误差f（x）-P（x）的具体表达式。 于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An，显然有： 至此，多项的各项系数都已求出，得： 以上就是函数的泰勒展开式。 接下来就要求误差的具体表达式了。设，令得到： 其中θ1在x和x0之间； 继续使用柯西中值定理得到： 其中θ2在θ1和x0之间； 连续使用n+1次后得到： 其中θ在x和x 0 之间； 同时： 而： 进而： 综上可得： 一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把R n （x）写为R n 。 在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式—— 级数 来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的 导数 求得。 定义 ：如果 f(x)在点x=x 0 具有任意阶导数，则幂级数 在泰勒公式中，取x0=0，得到的级数 注意：如果f(x)的麦克劳林级数在点的某一 邻域 内 收敛 ，它不一定收敛于f（x）。因此，如果f（x）在某处有各阶 导数 ，则f（x）的麦克劳林级数虽然能算出来，但这个级数能否在某个区域内收敛，以及是否收敛于f（x）还需要进一步验证。 f(x)设函数f(x)在x 0 的某个邻域 如果f(x)在区间 能展开成泰勒级数 下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数 指数函数 ： 自然对数 ： 几何级数 ： 正弦函数 ： 余弦函数 ： 正切函数: 参考博客

①肯定是的错的，反例：交错级数1，-1,1，-1……②是对的。③是的。如果原任意项级数是收敛的，加上括号之后，一定是收敛的。

比较判别法、D"Alembert判别法、Cauchy根式判别法以及Cauchy积分判别法其实说到底都是比较判别法~~有这方面的问题可以联系我哦http://wenku.baidu.com/view/f27390c24028915f804dc24c.html

简单计算一下即可，答案如图所示

正项级数审敛法:(1)比较判别法:正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有界;(2)比值判别法:对于正项级数,n-->正无穷时,设p=u(n+1)/u(n),则有:p<1时,级数收敛,p>1时,级数发散.(3)根值判别法:对正项级数,n-->正无穷时,设p=sqrt(u(n)),p为有限数或正无穷,则p<1时级数收敛,p>1时级发散.(4)积分判别法:对正项级数,若连续函数f(x)在区间[1,正无穷)上单调递减,且u(n)=f(n),(n=1,2,3...),则级数与f(x)dx有[1,正无穷)上的广义积分有相同的敛散性.其中,sqrt为根号下.

是旅游签证的话正常签下来需要3-5个工作日。但是新加坡的旅游签证是否顺利出签以及快慢与否也经常被一些因素所影响：1. 申请者年龄，职位，户籍，婚姻状况，来新加坡目的，近期往返新加坡次数，当前新加坡游客数等因素可能影响申请概率；2. 一般情况下，年轻单身女性申请者、离异、近期往返新加坡次数过多者的被拒概率会稍高。五、有一种更加快捷的方式, 可以联系靠谱的申请机构，比如新加坡直通车快速办理旅游签证

{xn}为函数f(x)的定义域内任意收敛于x0的数列,有3层意思：1）{xn}收敛于x0，2）xn属于f(x)的定义域，3）{xn}是满足上述两个条件的任意数列.

常数项级数的概念和性质如下：常数项级数，指矢量场的散度在体积τ上的体积分等于矢量场在限定该体积的闭合曲面s上的面积分附。性质：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。拓展：常数项级数是数项基数，另外，还有函数项级数，数项级数和函数项级数统称级数。又因为级数也可以由有限项组成，故由无限项所组成的级数才能成为无穷级数。无穷级数理论是关于无穷多项相加的理论，就其本质而言，无穷级数是一种特殊形式的极限。无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它通常是表示函数、研究函数性质和进行数值计算的有力工具，在实际问题中，有着广泛的应用。判断常数项级数收敛的方法有正项级数及其收敛性判别法、交错级数及其收敛性判别法、绝对收敛与条件收敛。收敛是一个经济学、数学名词，是研究函数的一个重要工具，是指会聚于一点，向某一值靠近。收敛类型有收敛数列、函数收敛、全局收敛、局部收敛。多项式里，不含字母的项叫常数项。是指一个数值不变的常量，与之相反的是变量。跟大多数物理常数不一样的地方是，数学常数的定义是独立于所有物理测量的。

、性质 麦克劳林级数：是函数在x=0处的泰勒级数，是牛顿的学生麦克劳林于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件。泰勒级数：用无限项连加式——级数来表示

把2看成根2的平方就好做了

至少现在还没这个功能嗯。不过使用SeriesCoefficient可以近似实现这个功能。（它给出每项系数的通式，这和得到了无限项展开式其实没什么区别。）

理论上缺一项就可以叫缺项幂级数

一、定义区别1、麦克劳林级数：函数在x=0处的泰勒级数，它是牛顿(I.Newton)的学生麦克劳林(C.Maclaurin)于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件。克劳林级数是泰勒级数的一个特例。2、泰勒级数：用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。二、命名人不同1、麦克劳林级数：牛顿(I.Newton)的学生麦克劳林(C.Maclaurin)于1742年给出的，以麦克劳林命名。2、泰勒级数：英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名。三、计算过程不同1、麦克劳林级数：设函数f(x)的麦克劳林级数的收敛半径R>0，当n→∞时，如果函数f(x)在任一固定点x处的n阶导数f(n)(x)有界，则函数f(x)在收敛区间(-R，R)内能展开成麦克劳林级数。

说确限逼近级数收敛于数S..其实给级数等于2限趋向于2极限2说等于2

简单的说级数是指无限数列的求和（或是部分和的极限），有的级数1+1+1+1+。。。就没有极限，但1,1,1,1,1,1。。。。。作为数列是有极限的，是1第二个问题一两句话解释不清，因为从有限项过渡到无限项时很多经验都失效了，建议楼主多看几遍高数书，多做题就容易理解了

“薰衣草0715”的方法逻辑欠妥！LZ的追问是对的，lim[a(k)^1/k] =1中的a(k)是个数列，不是常数，所以这个式子缺乏根据。事实上，如果a(k)趋于0的速度极快，比如a(k)=e^(-k^2)时, a(k)^1/k->0 (k->∞时), 此时“薰衣草0715”所用的比较判别法失效！我的方法是情况讨论一下，具体见下。a(k)=b(k)^(k/k+1). a(k)>0=>b(k)>0, Σb(k)收敛=>b(k)->0(k->∞). 下面分情况讨论。1. b(k)>1/k^3对所有k恒成立. 此时b(k)/a(k)=b(k)^[1/(k+1)]>(1/k^3)^[1/(k+1)]=exp(1/(k+1))*ln(1/k^3)=exp{[k/(k+1)]*exp[(1/k)*ln(1/k)]}. 由洛必达法则易证：x->0+时x*lnx->0, 所以k->∞时(1/k)*ln(1/k)->0. 故b(k)/a(k)->exp(0*1)=1. 此时由比较判别法的极限形式，知Σb(k)收敛=>Σa(k)收敛。2. b(k)≤1/k^3对所有k恒成立. 此时a(k)=b(k)^(k/k+1)≤(1/k^3)^(k/k+1)≤(1/k^3)^(0.5)=k^(-1.5). 第二个不等式是由于1/k^3≤1而(k/k+1)≥0.5. 由于Σk^(-1.5)收敛，由比较判别法可知Σa(k)收敛。3. 对某些k, b(k)>1/k^3；对另一些k, b(k)≤1/k^3. 此时可以将所有k按b(k)是否>1/k^3分为两部分，只要证每一部分对应的a(k)求和以后都收敛即可。注意，每一部分可能是有限和，也有可能是无限和。如果有限的话当然收敛，如果是无限和，上面的1与2可保证其收敛性。所以Σa(k)收敛。简单总结下思路：如果b(k)/a(k)->1，按“薰衣草0715”的方法即可。问题是当b(k)非常小时，b(k)/a(k)->1不成立。但是b(k)非常小时a(k)本身就很小，因此对这些k, Σa(k)收敛. 把两部分合并起来就证明了结论。

看图片：

抓大头可以用于一些函数的求值，但并不是所有情况都适用。在级数求和中，如果级数收敛速度比较慢，抓大头可能会导致非常大的误差。抓大头也无法准确考虑每一项的贡献，因此不适用于计算级数的求和。 在求和时，通常需要将级数不断分解成更小的部分，并对每个部分进行逐一计算，以确保计算的精度和准确性。这需要使用更为复杂的数学技巧和方法，如极限理论、级数收敛测试、递推公式等等，通常需要有相应的数学知识和技能才能进行有效的计算。因此，在计算级数求和时，抓大头并不是一个有效的方法。

在数学中，一个又穷或无穷的序列u 0 , u 1 , u 2 , u 3 … 的和s=u 0 +u 1 +u 2 +u 3 +… 称为级数。 幂级数（power series）是一类形式简单而应用广泛的函数级数，变量可以是一个或多个。单变量的幂级数形式为：鉴于幂级数的良好分析性质以及对其深入的研究，如果将要研究得到函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。 将一个函数展开成无穷级数的概念来自14世纪印度的马德哈瓦。他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开。 泰勒级数用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克.泰勒来命名的。 泰勒公式：Taylor"s Formula 是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。这个公式来自于微积分的泰勒定理（Taylor"s theorem）,泰勒定理描述了一个可微函数，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值，这个多项式称为泰勒多项式。 泰勒公式的初衷时用多项式来近似表示函数在某点周围的情况。比如说： 称为指数函数在0处的n阶泰勒展开公式。这个公式只对0附近的x有用，x离0越远，这个公式就越不准确。 通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做麦克劳林级数，以苏格兰数学家科林.麦克劳林的名字命名。 更一般的，将一个函数写成∑a n (x-c) n 的形式称为将函数在c处展开成幂级数。在电力工程学中，幂级数则被称为Z-变换。 鉴于幂级数的良好分析性质以及对其深入的研究，如果将要研究得到函数以幂级数形式来表示，将有助于对其性质的研究。 常见函数的幂级数展开 幂级数 级数 级数类别 泰勒级数 泰勒公式

“等比数列求和”针对于有限项级数求和，n取值在（1，+∞）,n∈Z，上是无限项级数求和，故只能使用几何级数法

f(z)=1/(z+1)(z+2)在z=2的领域内展成c的解答过程如下：在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。扩展资料：泰勒级数的发现历史：希腊哲学家芝诺 （Zeno of Elea）在考虑了利用无穷级数求和来得到有限结果的问题，得出不可能的结论 -芝诺悖论。后来，亚里士多德相对于芝诺悖论提出了一个哲学的决议，但显然此部分数学内容没有得到解决直到被德谟克利特接手以及后来的阿基米德。 正是用了阿基米德的穷举法才使得一个无穷级数被逐步的细分，实现了有限的结果。进入14世纪，Mādhava of Sa&ntilde;gamāgrama最早使用了泰勒级数以及相关的方法。虽然没有保留他的工作记录，但后来印度数学家的著作表明他发现了一些特殊的泰勒级数，这些级数包括正弦，余弦，正切，和反正切三角函数等等。之后，喀拉拉邦的天文与数学学校在他的基础上进行了一系列的延伸与合理逼近，一直持续到16世纪。到了17世纪，詹姆斯格雷戈 （James Gregory）同样继续着这方面的研究并且发表了若干麦克劳林级数。没到1715年，布鲁克泰勒 （Brook Taylor） 提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数。这就是后来被人们所熟知的泰勒级数。 麦克劳林级数是以爱丁堡大学教授麦克劳林来命名的。他在18世纪发表了泰勒级数的特例。

在数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。泰勒级数是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）的名字来命名的。通过函数在自变量零点的导数求得的泰勒级数又叫做迈克劳林级数，以苏格兰数学家科林·麦克劳林的名字命名。 泰勒级数在近似计算中有重要作用。

1、性质麦克劳林级数：是函数在x=0处的泰勒级数，是牛顿的学生麦克劳林于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件。泰勒级数：用无限项连加式——级数来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得；是以于1715年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克·泰勒的名字来命名的。2、表示麦克劳林级数：泰勒级数：扩展资料：泰勒级数的意义：1、幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。2、一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开区域上的泰勒级数通过解析延拓得到的函数，并使得复分析这种手法可行。3、泰勒级数可以用来近似计算函数的值。参考资料来源：百度百科-泰勒级数参考资料来源：百度百科-麦克劳林级数

叫做正项级数

因为离散周期信号可以看成三角基下的有限维线性空间。

1/n趋于0只是级数和收敛的“必要”条件，不是“充分”条件

麦克劳林级数(Maclaurin series)是函数在x=0处的泰勒级数。它是牛顿(I.Newton)的学生麦克劳林(C.Maclaurin)于1742年给出的，用来证明局部极值的充分条件，他自己说明这是泰勒级数的特例，但后人却加了麦克劳林级数这个名称。麦克劳林展式中最后有一项余项，幂级数没有。 其中，麦克劳林展式：sinx=x-x^3/6+o(x^3),幂级数：sinx=x-x^3/6+... 我们可以粗略地理解为，幂级数后面省略号部分用一个余项代替之后，就成了麦克劳林展式了；反过来，如果麦克劳林展式中保留的项很多，也就趋于幂级数了 说明：第一点中说到的幂级数为无限项，这是一个普遍的性质，假如某个幂级数只有有限项（例如2+x+4*x^2）,应该看作无限项的特殊情况，即后面的系数全为零。

==========补充======== 请看图片：