关于求幂级数的收敛域的有限项和无限项

无穷级数常见6个公式是1除1减x等于∑x^n减1，1除1加K，1除1加K^n。这是公比为q等于x的等比级数求和公式的反过来应用，可以直接使用其中要用到收敛的等比级数的余项级数，仍然是等比级数和。无穷级数常见6个公式特点无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别，只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和，算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和有些数列可以用无穷级数方法求和。正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列，而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界，有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。

由幂级数的和函数的求解可知，一个幂级数可以在其收敛区间内表示成一个函数（和函数），在这里我把该过程理解为：多个幂函数的和可以看作一个非幂函数。   这里我们讨论的函数的幂级数展开是与此相反的问题：如何把一个函数表示成幂级数的形式，也就是一个函数如何能在某个区间内表示成多个幂函数的和。 即以上式子的形式，那么就称函数f(x)再点 处的幂级数展开式，其中D为幂级数的收敛域。 在本小节中，我们需要弄清楚两个问题：�什么样的函数能够展开成幂级数？�幂级数展开式的系数如何确定？ （1）什么样的函数能够展开成幂级数？ 如果函数f(x)在点 的某领域内任意阶导数存在，则其能被泰勒公式展开。 如果函数f(x)在点 的某领域内满足充分必要条件：拉格朗日余项满足： （2）幂级数展开式的系数如何确定？ 由泰勒公式中自变量范围的延伸可以得到幂级数的系数 为： 我们需要注意的是：如果函数能够展开为幂级数，则其展开式必为图中的形式，且是唯一的。 我的理解是，由于它是根据泰勒公式延伸得来，因此把它叫做泰勒级数也十分准确。个人认为泰勒公式和泰勒级数有两点区别：�泰勒公式是有限项的和，泰勒级数是无限项的和�泰勒级数因为是无限项，因此省去了余项的部分。 在题目当中，我们更常见的是麦克劳林级数，即当 =0时，这种泰勒级数的特殊情况也叫做麦克莱林级数。 知道了级数的来历，我们也要掌握解题的方法：这里我们介绍两种类型的题目的解题方法。 1、对于常用函数的麦克劳林级数的求法：（直接展开法） 下面是总结归纳常见函数的麦克劳林公式，同学们可以收藏起来下次直接使用哟~ 2、利用幂级数的性质和已知函数的级数，求未知函数的级数：（间接展开法）

ln(x+1)的麦克劳林级数：x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n+1)x^n/n+... x=1得ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-...（阿贝尔第二定理） -1<x<1时1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6+...+((-1)^n)(x^(2n))+..."> 两边积分得arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+... 将x=1代入得arctan1=pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...（阿贝尔第二定理） 您记忆错乱</x

无穷级数常见6个公式是ln(x+1)的麦克劳林级数：x-x^2/2+x^3/3-x^4/4+...+(-1)^(n+1)x^n/n+...。x=1得ln2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-...（阿贝尔第二定理）-1<x<1时1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6+...+((-1)^n)(x^(2n))+...两边积分得arctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+。正项级数及其敛散性：正项级数的主要特征就是如果考虑级数的部分和数列，就得到了一个单调上升数列。而对于单调上升数列是很容易判断其敛散性的：正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界。有界性可以通过许多途径来进行判断，由此我们可以得到一系列的敛散性判别法。以上内容参考：百度百科-无穷级数

您好，常数项级数是无穷级数的一种。常数项级数是数项基数，另外，还有函数项级数，数项级数和函数项级数统称级数。又因为级数也可以由有限项组成，故由无限项所组成的级数才能成为无穷级数。无穷级数理论是关于无穷多项相加的理论，就其本质而言，无穷级数是一种特殊形式的极限。无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它通常是表示函数、研究函数性质和进行数值计算的有力工具，在实际问题中，有着广泛的应用。祝学习愉快

简单计算一下即可，答案如图所示

只能无限接近2.不会=2.

没有具体一般向表达式，只能从收敛定义出发。 应用柯西审敛原理。用E-N 语言，就可以判定级数收敛。无穷级数∑(An-An-1)收敛，用柯西E-N 语言表达，而后通过放缩法，可以得到E/2,这样就可以判定∑An收敛。

数列是有限项，无穷级数是无限项，就相当于数列中的n趋于无穷大

这题是一个级数求和问题，需要求出这个无限级数的和，其中每一项是按公差为2的等差数列的逆数得到的，也就是：1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + … + 1/197 + 1/199 + …根据数学理论，这是一个调和级数，并且前n项的和为：S(n) = 1 + 1/3 + 1/5 + … + 1/(2n-1)其中n表示这个级数的项数，我们可以分别将n取2，3，4等值，然后将得到的结果累加起来，最终得到这个无限级数的和。当n=2时，S(2) = 1 + 1/3 = 4/3当n=3时，S(3) = 1 + 1/3 + 1/5 = 23/15当n=4时，S(4) = 1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 = 97/105可以发现，随着n不断增加，S(n)的值越来越接近一个极限值，即：S = 1 + 1/3 + 1/5 + … = ∑(1/(2n-1))这个级数的极限值是无限的，即它没有一个确定的有限值，但是我们可以通过数值逼近的方法求出它的值，例如取n=100或1000或更大的值进行计算。最终的求和结果约为3.14。

很明显是发散的，因为级数的一般项当n趋于无限大时趋于1，而不趋于0，违反级数收敛的必要条件。

对，也不对。你似乎把求和指标与参数弄混了……先定义一个什么是无限个收敛级数相加。首先一个收敛级数总有收敛到一个值吧，所以到头来还是考虑无限个数相加，和是否收敛的问题。不过我觉得你想问的应该是：如果级数∑a(1,n),∑a(2,n),∑a(3,n)，...,∑a(m,n)，...都是收敛的级数，那么我定义一个新的级数：b(n)=a(1,n)+a(2,n)+...+a(m,n)+...那么∑b(n)是否收敛。请注意以上所有的和号都是对n求和的。你的问题没有明确就在于：在1/n^n中，作为底数的n是一个固定的参数，而作为指数的n是求和的指标。但是你这么一写出来，会以为是这么一个级数：1+1/2^2+1/3^3+...+1/n^n+...这和你开始写的等比级数就不是一回事了。虽然它也收敛，但结果是写不出来的。如果你取的是a(m,n)=1/n^m（这应该是你的本意？）那么b(n)=1/n+(1/n)^2+...=1/(n-1)，n>1时(n=1时b(n)没有定义）那么∑b(n)是发散的。对于正项级数来说，如果∑b(n)收敛，就一定有∑b(n)=∑a(1,n)+∑a(2,n)+∑a(3,n)+...+∑a(m,n)+...（这暗含了上式右边也是收敛的）但是如果∑b(n)发散，这时上式的右边也必然发散，我们就不去谈它们是否相等的问题。当然，你要判断的是∑b(n)的收敛性，你既可以计算b(n)，也可以计算c(m)=∑a(m,n),再看∑c(m)是否收敛，但是结果是肯定的：无限个收敛级数相加不一定收敛，在你给出的例子中就不是

在数学中，泰勒公式是将函数表示为无限级数或无限项和的一种方法。这是一种使用一系列项逼近函数的方法，随着项的数量增加，这些项变得越来越精确。泰勒公式如下：f（x）=f（a）+（x-a）f"（a）+x-a）^2f""（a）/2！+（x-a）^3f“”（a）/3！+。。。其中，f（x）是被近似的函数，f"（a）、f""（b）和f"""（c）是函数在某一点a处的一阶、二阶和三阶导数，项（x-a）^n表示x和a之间差值的递增幂。在泰勒公式中，无限级数项用于尽可能接近函数f（x）。随着级数中项的数量增加，近似值变得更精确。然而，并不总是能够使用泰勒公式精确地表示函数，并且可能存在表示近似函数和实际函数之间的差的余数或误差项。剩余项可表示为：R_n（x）=f（x）-P_n（x）其中P_n（x）是n阶泰勒多项式或使用级数的前n项的函数的近似。余项表示近似函数和实际函数之间的误差，并且随着级数中的项数增加而减小。

数得清个数的就是有限 数不清无数个即是无限？？

，你试试：先对 f 的积分上限函数F(x) = ∫[0,x]f(t)dt = sqr(1+x^2)-1展开成Miclaurin级数，再求导

π/4=1-1/3+1/5-1/7+......π²/6=1+1/2²+1/3²+1/4²+......π²/8=1+1/3²+1/5²+1/7²+......π²/12=1-1/2²+1/3²-1/4²+......π³/32=1-1/3³+1/5³-1/7³+......π⁴/90=1+1/2⁴+1/3⁴+1/4⁴+……............................................π/2=(2/1)(2/3)(4/3)(4/5).................................................4/π=1+1/(2+9/(2+25/(2+49/(2+......))))...........................................

无限级数、收敛级数。牛顿都数学上的发明有，在1664年发明无限级数、收敛级数，在1665年发明二项式定理，在1664-1665年发明用极限法做曲线的切线。艾萨克·牛顿爵士(1643年1月4日-1727年3月31)是一位英格兰物理学家、数学家、天文学家、自然哲学家和炼金术士。

数字最大无级数是2.7182818284。根据查询相关公开信息显示，无级数的定义是指一个数是否可以被无限次幂次方展开，而无级数的最大值，就是欧拉数或者叫做欧拉常数，它的数值约为2.7182818284，因此，数字最大无级数是2.7182818284。

这个很简单呀，只是用无限等比级数的公式就好了。无限等比级数的和，等于首项除以1减公比。而该等比级数的首项为e^(-2π），公比也为e^(-2π）。于是：原式 = e^(-2π） / [1-e^(-2π）]=1 / [e^(2π）-1] （分子分母同时乘以e^(2π）)因此，原等式成立。

这个命题不对。 我们只能说如果级数收敛，则它的一般项极限为零。 或者如果级数的一般项不为零，则该级数必定发散。 但不能说如果无穷级数的一般项随项数n趋于无穷大时以零为极限，则该级数必收敛。比如“调和级数”。

定义是这样说的，级数是一个数列按顺序所作的和；有限多项的和可以算是级数，此时可视为后面加上了无限多个 0。

π=3.1415926532…………

级数都是无限的。。这个其实很麻烦1.能用逐项求积分的前提是：这个级数是一致收敛的且每一项都连续2.能用逐项求导法则的前提是：级数∑Un(x)的每一项Un(x)都有连续的导函数，级数∑Un(x)收敛，且∑U"n(x)一致收敛

周期函数通常使用三角函数模型来拟合，其中最常见的是正弦函数模型。正弦函数的周期性质与许多周期性现象的本质相吻合，使得正弦函数能够很好地描述周期性现象的变化规律。正弦函数的一般式为：$$f(x) = Acdot sin(omega x+phi)+D$$其中，$A$ 为振幅，表示周期函数在正弦曲线上下波动的最大值；$omega$ 为角速度，表示周期函数在单位时间内沿着正弦曲线变化的速度；$phi$ 为初相位，表示正弦曲线在 $x=0$ 处的相位；$D$ 为纵向位移，表示正弦曲线在 $y$ 轴上的位置。在实际应用中，周期函数的具体形式和参数取值需要根据具体情况进行调整和确定。此外，如果周期函数的变化规律具有多个周期，则可以使用多项式拟合等方法来进一步提高模型的精度。

其实跟树一样。无限级数。以我的经验 肯定是 比如 中国 下面在分 重庆、北京、成都等、 然后在分 重庆市、万州区。以一种树形的结构展现用xtree控件或者extree。网上搜一下。很多DEMO

分数太少！不想回答

闭式解也被称为解析解，与数值解对应。闭式解closed form solution）也叫解析解(analytical solution)，就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题。所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。 用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。 解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相应变量。所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法。比如一元二次方程： ，其求解公式是：扩展资料当解析解不存在时，比如五次以及更高次的代数方程。则该方程只能用数值分析的方法求解近似值。解析解的准确含义依赖于何种运算称为常见运算或常见函数。传统上，只有初等函数被看作常见函数，无穷级数、序列的极限、连分数等都不被看作常见函数。按这种定义，许多累积分布函数无法写成解析形式。但如果我们把特殊函数，比如误差函数或伽玛函数也看作常见函数，则累积分布函数可以写成解析形式。

你是来测智商的吗……

看不懂

你好！对的。有个定理：收敛级数加括号后仍是收敛级数。本题是这个定理的逆否命题。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

级数都是无限的。。这个其实很麻烦1.能用逐项求积分的前提是：这个级数是一致收敛的且每一项都连续2.能用逐项求导法则的前提是：级数∑Un(x)的每一项Un(x)都有连续的导函数，级数∑Un(x)收敛，且∑U"n(x)一致收敛

对于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端区域，应力分量可统一写成式（2-20）的形式：岩石断裂与损伤式中：fij（θ）为极角θ的分布函数，称为角分布函数；Km表征了裂纹尖端附近区域应力场强弱程度，其中m=Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ得到KⅠ、KⅡ、KⅢ，分别代表Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型裂纹尖端应力场的强弱程度，称为应力强度因子（K因子），定义如下：岩石断裂与损伤式中自变量ξ如图2-4所示。若已知应力场，则可用式（2-22）求应力强度因子：岩石断裂与损伤图2-4 裂纹尖端附近坐标K的量纲为：［力］［长度］-3/2；SI：N·m-3/2（10-6MPa·m1/2）。应力强度因子的确定方法有解析法、数值法、实测法等，本节分别介绍应力强度因子的确定方法。一、解析法解析法又可分为复变函数法与积分变换法，复变函数法可利用Westergaard应力函数或Muskhelishvili法，主要解决二维问题。积分变换法可求解二维、三维问题。由于工程上受力构件的边界形状和边界条件都很复杂，所以求解偏微分方程组时边界条件很难精确满足，因此解析法只适用于物体几何形状比较简单、边界条件容易满足的问题。下面仅介绍常用的复变函数法。考虑无限大平板受二向均匀拉应力，具有长度为2a的中心贯穿裂纹，由定义：岩石断裂与损伤取岩石断裂与损伤满足问题的全部边界条件，代入上式可得岩石断裂与损伤下面利用这种方法求解几个常见问题的应力强度因子。1.图2-5所示“无限大”平板中具有长度为2a的穿透板厚的裂纹，裂纹表面上x=±b处各作用一对单位厚度的集中力P由式（2-7）→∞，σx=σy=τxy=0。图2-5“无限大”平板裂纹面上作用两对集中力选取复变解析函数：岩石断裂与损伤边界条件：a.b.处，裂纹为自由表面，σy=τxy=0。c.如切出xy坐标系内的第一象限的薄平板，在x轴所在截面上内力总和为P。经检验，解析函数Z满足三个边界条件。将z=ξ+a代入复变解析函数中，得岩石断裂与损伤2.如图2-6所示，具有长度为2a的中心贯穿裂纹的无限大平板，距离x=b处作用一对单位厚度的集中力P选取复变解析函数：岩石断裂与损伤3.如图2-7所示，具有长度为2a的中心贯穿裂纹的无限大平板，距离x=±b范围内的裂纹面受均布荷载，集度为q图2-6“无限大”平板裂纹面上作用一对集中力图2-7“无限大”平板裂纹面上作用部分均布荷载利用叠加原理，根据图2-5的结果可得岩石断裂与损伤岩石断裂与损伤当整个表面受均布载荷时，如图2-8所示，b→a，则岩石断裂与损伤4.如图2-9所示，受二向均布拉力作用的无限大平板，在x轴上有一系列长度为2a，裂纹中心间距为2b的裂纹图2-8“无限大”平板裂纹面上作用均布荷载图2-9 二向均布拉力作用的具有系列裂纹的无限大平板边界条件是周期的：岩石断裂与损伤在所有裂纹内部应力为零。即：y=0，，-a±2b＜x＜a±2b，σy=τxy=0。所有裂纹前端σy＞σ。单个裂纹时：岩石断裂与损伤又Z应为2b的周期函数，故岩石断裂与损伤引入变量ξ=z-a，得岩石断裂与损伤当ξ→0时，，岩石断裂与损伤岩石断裂与损伤，称为修正系数，大于1，表示其他裂纹存在对应力强度因子的影响。若裂纹间距离比裂纹本身尺寸大很多（b≥5a），可不考虑相互作用，按单个裂纹计算。对于宽度为W含中心裂纹的有限宽板受均匀拉力，应力强度因子修正系数也可按上述值近似计算，此时用W代替2b：图2-10 受剪切作用的具有周期性裂纹的无限大平板岩石断裂与损伤5.无限大平板Ⅱ、Ⅲ型裂纹问题应力强度因子的计算Ⅱ型裂纹应力强度因子的普遍表达形式（无限大板）：岩石断裂与损伤对于无限大平板中的周期性的裂纹，如图2-10所示，且在无限远的边界上作用处于平板面内的纯剪切力作用。岩石断裂与损伤引入变量：ξ=z-a，得岩石断裂与损伤同理，对于无限大板Ⅲ型周期性裂纹应力强度因子：岩石断裂与损伤6.深埋裂纹的应力强度因子的计算深埋裂纹的计算模型是无限大体中的片状裂纹，1950年，Green和Sneddon分析了弹性物体的深埋椭圆形裂纹邻域内的应力和应变，如图2-11所示，得到椭圆表面上任意点，沿y方向的张开位移为图2-11 深埋椭圆片状裂纹岩石断裂与损伤其中：Γ为第二类椭圆积分。有岩石断裂与损伤1962年，Irwin利用上述结果计算了这种情况下的应力强度因子：岩石断裂与损伤在椭圆的短轴方向上，即，有岩石断裂与损伤此式为椭圆片状深埋裂纹危险部位的应力强度因子。当a≪c时，有岩石断裂与损伤当a=c时，为圆片状裂纹，此时岩石断裂与损伤7.半椭圆表面裂纹的应力强度因子计算工程上更多地遇到的是表面裂纹，常按照表面半椭圆裂纹考虑，但至今未得到严格的解析解，一般根据无限大体中椭圆片状裂纹的解经过修正近似处理。（1）表面浅裂纹的应力强度因子：当a≪B（板厚）可简化为浅裂纹，这时可以忽略后自由表面对N点应力强度因子的影响，如图2-12所示，近似得到N处的应力强度因子。图2-12 表面椭圆片状裂纹岩石断裂与损伤（2）表面深裂纹的应力强度因子：对于表面深裂纹，引入前后两个自由表面，使裂纹尖端的弹性约束减少，裂纹容易扩展增大。应力强度因子由下式确定。岩石断裂与损伤其中：M1为前自由表面的修正系数；M2为后自由表面的修正系数。Paris和Sih给出的修正系数为岩石断裂与损伤式中：B为板厚；a为裂纹深度；c为裂纹长度。当a/c→0时，接近于单边切口试样，M1=1.12。当a/c→1时，接近于半圆形的表面裂纹，M1=1。当a≪B时，M2≈1，即浅裂纹不考虑后自由表面的影响。对于一般工程问题，表面裂纹最深点处的应力强度因子为岩石断裂与损伤二、数值解法解析法适用于无限大平板中简单裂纹的情况，对实际构件及各种试样，当裂纹尺寸与构件或试样其他特征尺寸相比并不是很小时，应考虑自由边界对裂纹尖端应力强度因子的影响。对这类问题很难获得严格的解析解，常用数值方法求其近似解。常用的数值方法有边界配置（位）法、有限单元法、边界元法。这些方法都是通过数值分析求出裂纹尖端附近应力场或位移场的近似表达式，由定义建立应力强度因子的表达式。1.边界配置法边界配置法是将应力函数用无穷级数表达，使其满足双调和方程和边界条件，但不是满足所有的边界条件，而是在有限宽板的边界上，选足够多的点，用以确定应力函数，然后再由符合边界条件的应力函数确定KⅠ值。边界配置法主要用于计算平面问题的单边裂纹问题，且只限于讨论直边界问题。下面以图2-13所示的三点弯曲试样为例进行说明。1957年Williams提出一用无穷级数表示的应力函数，称为Williams应力函数：图2-13 三点弯曲试样岩石断裂与损伤该函数满足双调和方程：▽4ψ（r，θ）=0。边界条件：裂纹左、右表面（θ=±π/2），σy和τxy均为零，上式满足。在外边界上的边界条件的满足如下确定：在有限宽板的边界上选取足够的点，如图2-13所示，使这些点的边界条件满足，则可求出Cj。为了计算方便引入量纲为一的量：岩石断裂与损伤其中：B为试件厚度；W为试件高度。岩石断裂与损伤对于Ⅰ型裂纹：岩石断裂与损伤在裂纹尖端附近，θ=0，r→0。岩石断裂与损伤又因为当θ=0时，cosθ=1，当j=1时与r无关，而当j=2，3，4，…，∞时与r有关，当r→0时都为零。岩石断裂与损伤利用边界条件确定D1，取含裂纹三点弯曲试样的左半段为研究对象，取m个点分析，以2m有限级数代替无限级数精度足够。岩石断裂与损伤其中S=4W为标准试件，式（2-41）、式（2-42）为美国ASTM-E399-72规范建议的公式。2.确定应力强度因子的有限元法有限单元法以变分原理为理论基础，将连续体离散成有限单元来分析其变形和应力，然后进行整体分析求得受力物体的应力场和位移场。有限单元法能解决复杂几何形状和载荷情况比较复杂的裂纹体的应力强度因子。比较成熟的是奇异单元的应用。不同裂纹体在不同的开裂方式的应力强度因子是不同的。一些实验方法、解析方法都有各自的局限性，而有限元等数值解法十分有效地求解弹塑性体的应力和位移场，而应力和位移场与K密切相关，所以，可以通过有限元方法进行应力强度因子的计算。利用位移法求应力强度因子，如Ⅰ型裂纹：岩石断裂与损伤式中。通过有限元法求出裂纹尖端附近的位移场，计算（r，π），然后外推到裂纹尖端，这种方法为外推法。也可利用应力法求应力强度因子，这时先求应力场：，然后求当θ=0时的应力分量，即。三、实测法由于实际问题的多样性和复杂性，计算比较困难，特别是三维问题。对于弹塑性断裂问题、动态断裂问题常应用具有直观性和模拟性的实测法。常用的实则方法有柔度法、网络法、光弹性法、激光全息法、激光散斑法、云纹法等。其中光弹性法求裂纹应力强度因子的基本原理如下：对于Ⅰ型裂纹，如已求得σx、σy、τxy，则可求出最大切应力，根据光弹性原理有岩石断裂与损伤式中：n为光弹性模型的条纹级数；f为材料的条纹值；d为试样厚度。将σx、σy、τxy代入上式得：岩石断裂与损伤由光弹性实验等差线和等倾线条纹图测出ri、θi、ni，求得，得出曲线，外推至r→0处有岩石断裂与损伤四、叠加原理及其应用1.KⅠ的叠加原理及其应用线弹性叠加原理：当n个载荷同时作用于某一弹性体上时，载荷组在某一点上引起的应力和位移等于单个载荷在该点引起的应力和位移分量之总和。叠加原理适用于KⅠ。证明：岩石断裂与损伤设在F1载荷作用下，有岩石断裂与损伤设在F2载荷作用下，有岩石断裂与损伤由叠加原理有岩石断裂与损伤因此，计算复杂载荷下应力强度因子的方法：将复杂载荷分解成简单载荷，简单载荷作用下的应力强度因子可利用前述方法或查KⅠ手册。下面利用叠加原理求图2-14（a）所示铆钉孔边双耳裂纹的KⅠ值。首先将图（a）分解为图（b）+图（c）-图（d）。图2-14 铆钉孔边双耳裂纹的叠加原理计算根据叠加原理：，因为，所以：岩石断裂与损伤其中可查应力强度因子手册。岩石断裂与损伤式中：D为圆孔直径；W为板宽度；a为双耳裂纹长度。确定：无限板宽中心贯穿裂纹受集中力P作用时：岩石断裂与损伤考虑有效裂纹长度：得岩石断裂与损伤有限板宽的修正系数：岩石断裂与损伤所以岩石断裂与损伤2.应力场叠加原理及其应用应力场叠加原理：在复杂的外界约束作用下，裂纹前端的应力强度因子等于没有外界约束，但在裂纹表面上反向作用着无裂纹时外界约束在裂纹处产生的内应力所致的应力强度因子。如图2-15（a）所示为具有中心穿透裂纹的平板，在上下边界受均匀拉应力作用，将其分解为图（b）和图（c），图（b）为除板边力以外，在裂纹面上还作用一组反力，使裂纹恢复原状，从而相当于裂纹不存在。因此图（b）问题是一般的弹性力学问题。它的解在研究裂纹尖端的应力奇异性时是可以不予考虑的。图（c）代表的问题是裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。图2-15 应力场叠加原理的应用岩石断裂与损伤在裂纹端部问题的意义上，图（a）等价于图（c）。因此可用无裂纹构件中裂纹位置处由于外力作用所引起的应力——“当地应力”求解各种受力情况下的应力强度因子。对于Ⅱ型和Ⅲ型裂纹，如图2-16所示，也可将在无穷远处（板的边缘）受载荷作用而裂纹表面应力自由的裂纹问题（问题A），转化为问题B与C的叠加。问题B相当于除板边力以外，在裂纹面上还作用一组反力，使裂纹恢复原状，从而相当于裂纹不存在。问题C是裂纹表面受应力作用而板边不受力的问题。因此在裂纹端部问题的意义上，问题A等价于问题C。图2-16 叠加原理的应用对于问题C三种型式的裂纹的解有共同的表达式，裂纹面上的边界条件为Ⅰ型裂纹：Ⅱ型裂纹：Ⅲ型裂纹：应力函数Z：岩石断裂与损伤应力强度因子K：岩石断裂与损伤问题C在地学中具有实际意义。在断层问题中，依据位移测量和地震波反演，可以推测断层面上的应力场，而远场应力状态至今还没有得到可靠数据。因此，由应力场可以推断出断层应力场和位移场的变化量，研究断层的动力过程。计算各种裂纹体的应力强度因子是线弹性断裂力学中一项十分重要的任务。各种受力情况及不同裂纹位置的应力强度因子资料已编辑成手册。在中国航空研究院主编的《应力强度因子手册》中可查到大部分应力强度因子的数据，一般断裂力学教材中也附有常用应力强度表达式，故在此不再详述。

伊萨克。牛顿还是英国皇家造币厂厂长，年薪2000多英镑，是铸币大臣。

　　先验证该级数在 (0,+∞) 内闭一致收敛，其余就好办了。　　对 (0,+∞) 的任意一点 x0，取 (0,+∞) 的包含 x0 的闭子区间 [a,b]，有　　　　|ne^(-nx)|≤ ne^(-an)，x∈[a,b]，而级数Σne^(-an) 收敛，据 M-判别法，得知原级数在 [a,b] 上一致收敛。又 ne^(-nx) 在 [a,b] 上连续（或无限次可导），可知原级数在 [a,b] 上连续（或无限次可导），且逐项可导。……

高斯判别法没见过，其他的我们都是直接用，你是数学专业的？要证明这些

error correction常见释义[词典]    error correction; error recovery;    [例句]前向纠错技术中卷积交织器的FPGA实现FPGA Implementation of Interleaver in Forward Error Correction Technique                                    相似单词error n.[C] 1. 错误，谬误，差错 2. 错误状态；犯错误，出错 3. 谬见，错误想法；（基督教科学派所宣称的）意识错误 4. 过失；罪过；不正行为 5. 误差 6.（棒球运动等中的）失Error 误差，错（=ERR） 由计算或量测出来的值与理论上正确的值之偏差。 由于可确定的特别原因所造成的误差部分，例如一个四舍五入误差，严格的讲这种误差是不可避免而且随时会发生的，又如无限级数所用的近似值也ERROR 错误,失误,差错[C]error checking 验错,检验误差的error prone adj. 易错的error production 误差产生式error tested 误差检验multiple error 多重误差zero error 【电】 零误差go error 着手的错误 指公司对一项不良的构想或商品，竟也着手于开发和商业化的努力。

利用级数收敛的必要条件，我们考察n!/10^n是否趋向于0注意到当n>10时，n!/10^n关于n是递增的（因为每次分子上乘上一个大于10的数，分母上只除了10），所以通项不收敛到0，因此级数发散。

无穷级数是研究有次序的可数无穷个数或者函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和；发散的无穷级数没有和。算术的加法可以对有限个数求和，但无法对无限个数求和，有些数列可以用无穷级数方法求和。 包括数项级数、函数项级数（又包括幂级数、Fourier级数）。如假定有一个无穷数列： u1,u2,u3,...un,... 其前n项的和为： sn = u1 + u2 + u3 + ... + un 由此得出另一个无穷数列： s1,s2,s3,...sn,... 它是由上一个无穷数列持续相加造成的。例如，如果u是任意的： u1=1，u2=3，u3=5，...un ... 但s不会是任意的，它是和任意数列有逐级加和关系的： s1=1，s2=4，s3=9，...sn，... 当n无限增加时，sn趋向一个极限 如果极限存在，这个无穷数列就叫做是收敛的无穷级数，如果极限不存在，这个数列就是发散的。只有收敛的无穷级数存在一个和s。 s = u1 + u2 + u3 + ... + un + ...

级数(n+1)(u[n+1]-u[n])收敛，那么前n项和（部分和）Sn" = 2(u[2]-u[1]) +3(u[3]-u[2])+。。。+(n+1)(u[n+1]-u[n]) = -2u[1]-u[2]-u[3]-。。。-u[n]+(n+1)u[n+1] = -u[1] -Sn + (n+1)u[n+1] 那么当zhin→∞时， S" = -u[1] - S + 0 其中0为nu[n]的极限。 故un收敛。按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。扩展资料等差数列的其他推论：① 和=（首项+末项）×项数÷2；②项数=（末项-首项）÷公差+1；③首项=2x和÷项数-末项或末项-公差×（项数-1）；④末项=2x和÷项数-首项；⑤末项=首项+（项数-1）×公差；⑥2(前2n项和-前n项和)=前n项和+前3n项和-前2n项和。

∑1/2^n=(1/2)*(1-(1/2^(n))/(1-1/2)=1-1/2^n=1∑1/3^n=(1/3)*(1-(1/3^n))/(1-1/3)=(1/2)(1-1/3^n)=1/2∑1/4^n=(1/4)(1-(1/4^n))/(1-1/4)=(1/3)(1-1/4^n)=1/3∑1/n^n=(1/n)(1-(1/n^n))/(1-1/n)=(1/(n-1))(1-1/n^n) =1/(n-1)

序 言001第1章 数列和数学模型1.1 樱花树下0011.2 自己家0041.3 数列智力题没有正确答案006第2章 一封名叫数学公式的情书2.1 在校门口0112.2 心算智力题0122.3 信0132.4 放学后0142.5 阶梯教室0142.5.1 质数的定义0162.5.2 绝对值的定义0192.6 回家路上0212.7 自己家0232.8 美露嘉的解答0262.9 图书馆0272.9.1 方程式和恒等式0282.9.2 积的形式与和的形式0312.10 在数学公式另一头的人到底是谁？034第3章 ω的华尔兹3.1 图书馆0373.2 振动和旋转0393.3 ω045第4章 斐波那契数列和母函数4.1 图书馆0514.1.1 找规律0524.1.2 等比数列的和0534.1.3 向无限级数进军0544.1.4 向母函数进军0544.2 抓住斐波那契数列的要害0564.2.1 斐波那契数列0564.2.2 斐波那契数列的母函数0584.2.3 封闭表达式0594.2.4 用无限级数来表示0604.2.5 解决0624.3 回顾065第5章 相加相乘的平均关系5.1 在“神乐”0675.2 满是疑问0695.3 不等式0715.4 再进一步看看0785.5 关于学习081第6章 在美露嘉身旁6.1 微分0876.2 差分0916.3 微分和差分0936.3.1 一次函数x0936.3.2 二次函数x20946.3.3 三次函数x30966.3.4 指数函数ex0976.4 两个世界中的来回旅行099第7章 卷积7.1 图书馆1017.1.1 美露嘉1017.1.2 铁户罗1047.1.3 推导公式1057.2 在回家路上进行的一般化计算1077.3 在名为“豆”的咖啡店谈二项式定理1097.4 在自己家里解母函数1167.5 图书馆1217.5.1 美露嘉的解1217.5.2 研究母函数1267.5.3 围巾1287.5.4 最后的要塞1297.5.5 攻陷1317.5.6 半径是0的圆134我的笔记136第8章 调和数8.1 寻宝1378.1.1 铁户罗1378.1.2 美露嘉1398.2 图书馆里的对话1408.2.1 部分和与无限级数1408.2.2 从理所当然的地方开始1438.2.3 命题1448.2.4 所有的……1478.2.5 存在1498.3 螺旋式楼梯的音乐教室1538.4 令人扫兴的zeta函数1548.5 过高评价1558.6 在教室中研究调和函数1618.7 两个世界、四种演算1648.8 已知的钥匙、未知的门1698.9 如果世界上只有两个质数1728.9.1 卷积1728.9.2 收敛的等比数列1738.9.3 质因数分解的唯一性1748.9.4 质数无限性的证明1758.10 天象仪179我的笔记182第9章 泰勒展开和巴塞尔问题9.1 图书馆1839.1.1 两张卡片1839.1.2 无限次的多项式1859.2 自学1889.3 宾斯1899.3.1 微分的规则1899.3.2 更进一步微分1929.3.3 sinx的泰勒展开1949.3.4 极限函数的图像1979.4 自己家2009.5 代数学的基本定理2029.6 图书馆2079.6.1 铁户罗的尝试2079.6.2 要到达哪里？2099.6.3 向无限挑战216第10章 分割数10.1 图书馆22110.1.1 分割数22110.1.2 举例22310.2 回家路上22810.2.1 斐波那契签名22810.2.2 分组23010.3 “豆”咖啡店23110.4 自己家23310.5 音乐教室23710.5.1 我的发言（分割数的母函数）23810.5.2 美露嘉提出的数列的上限24310.5.3 铁户罗的发言24810.6 教室25210.7 寻找更好的上限之旅25410.7.1 以分析母函数为出发点25410.7.2 “开始的转角”积变形为和25510.7.3 “东之森林”泰勒展开25610.7.4 “西之丘陵”调和数26010.7.5 旅行结束26110.7.6 铁户罗的回顾26410.8 明天见265尾 声267后 记271

闭式解也被称为解析解，与数值解对应。解析解(analytical solution)就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题.所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques、analytic methods〉，解析法即是常见的微积分技巧，例如分离变量法等。解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数，因此对任一独立变量，我们皆可将其带入解析函数求得正确的相依变量。因此，解析解也被称为闭式解（closed-form solution）（复制来的）

力学三大定律微积分奠基人万有引力定律等等

要看出一个小数是无限不循环，小数还是无限循环小数，只凭看小数部分是无法判定的，必须要看他它的计算方法。所有的分数计算的结果肯定不是无限不循环的小数，要么是有限小数，要么是无限循环小数。但是开平方，开立方，求对数，无限级数求和等等计算的结果是无限不循环的小数。

能直接计算级数和的等式

椭圆周长没有精准的计算公式；利用椭圆周长的公式可以计算和描述天体的运动，天体的运动轨道呈现似椭圆形，利用椭圆周长的计算公式，可以得到极高的精度。

cd 改变当前目录: 这是让使用者用来转移工作目录用的。 cd .. 返回上一级目录： 让你返回到上一级目录。 chdir 的用法如下: chdir dirname 如此你就可以将目前的目录转移到 dirname 这一个目录去。 或使用 "chdir .." 来转移到上一层目录。 chmod 改变文件存取模式:chmod 为变更档案模式用( change mode ) . 这个指令是用来更改档案的存取模 式( access mode )。在 UNIX 一个档案上有可读(r)可写(w)可执行(x)三种模式, 分别针对该档案的拥有者( onwer )、同群者( group member )( 你可以 ls -lg 来观看某一档案的所属的 group )，以及其他人( other )。一个档案如果改成可 执行模式则系统就将其视为一个可执行档，而一个目录的可执行模式代表使用者 有进入该目录之权利。chmod 就是用来变更一些档案的模式，其使用方式如下: chmod [ -fR ] mode filename ... 其参数的意义如下: -f Force. chmod 不会理会失败的动作。 -R Recurive. 会将所有子树下的所有子目录及档案改为你所要改成的模式。 mode 可以为一个三位或四位的八进位数字，来表示对某些对象的存取权。详情 可参阅 chmod(1) 的 manual page 中有关 Absolute Modes 的说明。 或是用一个字串来表示，请参考 chmod(1) 的说明。 cp 复制文件:cp 这个指令的意义是复制("COPY") , 也就是将一个或多个档案复制成另 一个档案或者是将其复制到另一个目录去。 cp 的用法如下: cp f1 f2 : 将档名为 f1 的档案复制一份为档名为 f2 的档案。 cp f1 f2 f3 ... dir : 将档案 f1 f2 f3 ... 都以相同的档名复制一 份放到目录 dir 里面。 cp -r dir1 dir2 : 将 dir1 的全部内容全部复制到 dir2 里面。 cp 也有一些参数，如下: -i : 此参数是当已有档名为 f2 的档案时，若迳自使用 cp 将会将原来 f2 的内容掩盖过去，因此在要盖过之前必须先询问使用者一下。如使用者 的回答是y(yes)才执行复制的动作。 -r : 此参数是用来做递回复制用，可将一整颗子树都复制到另一个 目录中。 Date: 显示现在时间和日期的命令。。 df 显示可用磁盘空间: 打开后可以详细你所用的磁盘个数和空间信息。 exit 进程中止：退出的命令，不多说了 find find命令是功能最强的命令之一，但同时也是命令行结构最难以掌握的命令之一。 find / -print | wc-l 显示系统中所有文件和目录的数目 find / -user $LOGNAME -print 显示系统中该用户所有文件和目录 find / -size 100 -print 显示文件大小为100 blocks的文件 find /-size -100-print 显示文件大小小于100的文件 blocks find / -size +100 -print 显示文件大小大于100的文件 blocks find / -name core -exec rm {}; 查找并删除core文件。 find . -exec chown $LOGNAME {} ; 修改一个目录下所有文件的用户所属 find .-type d -exec chmod 770 {}; 修改一个目录下的所有目录的权限 fsck 文件系统检查和修复：相当于windwos的文件系统检查功能。 id 显示用户号：显示你的用户名称和id号码。。。 kill 中止指定进程: kill 指令的用途是送一个 signal 给某一个 process 。因为大部份送的都是 用来杀掉 process 的 SIGKILL 或 SIGHUP ，因此称为 kill 。kill 的用法 为: kill [ -SIGNAL ] pid ... kill -l SIGNAL 为一个 singal 的数字，从 0 到 31 ，其中 9 是 SIGKILL ，也就是一 般用来杀掉一些无法正常 terminate 的讯号。其馀讯号的用途可参考 sigvec(2) 中对 signal 的说明。 你也可以用 kill -l 来察看可代替 signal 号码的数目字。kill 的详细情形 killall 中止所有活动进程：一般不用吧》！！！呵呵！ login 注册：重新注册你的登录名和密码。。 logname 获取注册名。 ls 目录列表: 这是最基本的档案指令。 ls 的意义为 "list"，也就是将某一个目录或是 某一个档案的内容显示出来。 如果你在下 ls 指令后头没有跟著任何的档名，它将会显示出目前目录中所 有档案。 也可以在 ls 后面加上所要察看的目录名称或档案的名称，如 % ls /home2/X11R5 % ls first mkdir 建立目录：想建立什么名称，由你定。。。不支持中文名，呵呵！别扔砖！！ mv 移动文件: mv 的意义为 move , 主要是将一档案改名或换至另一个目录。如同 cp ，它也有 三种格式: mv f1 f2 : 将档名为 f1 的档案变更成档名为 f2 的档案。 mv dir1 dir2 : 将档名为 dir1 的目录变更成档名为 dir2 的目录。 mv f1 f2 f3 ... dir : 将档案 f1 f2 f3 ... 都移至目录 dir 里面。 mv 的参数有两个，-f 和 -i , 其中 -i 的意义与 cp 中的相同，均是 interactive 询问之意。而 -f 为强迫( force ) , 就是不管有没有同名的档案，反正我就是要 搬过去，所有其他的参数遇到 -f 均会失效。 mvdir 移动目录:mkdir 是一个让使用者建立一个目录的指令。你可以在一个目录底下使用 mkdir 建立一个子目录，使用的方法如下 mkdir dirname1 [ dirname2 ... ] 如此你就可以建立一个或多个目录。 passwd 改变口令:passwd 是用来更改你的使用密码，用法为: passwd [ username ] 在使用 passwd 的时候，它会先问你的旧密码，然后询问两次要更改的密码，确定 无误后才将你的密码改掉。 pwd 显示当前工作目录:pwd 会将目前目录的路径( path )显示出来 return 返回语句：返回到你上次的输入状态。。 rm 删除文件:rm 的意义是 remove ，也就是用来杀掉一个档案的指令。在 UNIX 中一 个被杀掉的档案除非是系统恰好有做备份，否则是无法像 DOS 里面一样还能够救回 来的。所以在做 rm 动作的时候使用者应该要特别小心。 rm 的格式如下: rm f1 f2 f3 ..... 而 rm 的参数比较常用的有几个: -f , -i , 与 -r -f : 将会使得系统在删除时，不提出任何警告讯息。 -i : 在除去档案之前均会询问是否真要除去。 -r : 递回式的删除。 小心不要随便使用 rm -rf , 否则有一天你会"欲哭无泪"...... rmdir 删除目录:相对於 mkdir ，rmdir 是用来将一个"空的"目录杀掉的。如果一个目录下面 没有任何档案，你就可以用 rmdir 指令将其除去。rmdir 的使用法如下: rmdir dirname1 [ dirname2 .... ] 如果一个目录底下有其他的档案， rmdir 将无法将这个目录杀掉，除非使用 rm 指令的 -r 选项。 uname 显示系统名

叫做正项级数

小度角49等于49，也可以等于7×7，40+9，50-1等等49，它是介于48和50之间的自然数。它也是一个奇数、合数、平方数。中文名四十九大写肆拾玖质因数分解72罗马数字XLIX二进制110001数学性质数字应用联系列表TA说数学性质奇数乘法口诀：七七四十九第33个合数，正因数有1、7和49。前一个为48、下一个为50。第38个亏数，真因数和为8，亏度为41。前一个为47、下一个为50。第17个半质数（49=7×7）。前一个为46、下一个为51。第7个平方数，为7的平方。前一个为36、下一个为64。第26个十进制的等数位数。前一个为47、下一个为53。中心八边形数第11个快乐数：49→42+92=97→92+72=130→12+32+02=10→12+02=1任何以3,7结尾的数的10次方最后两位都是4949的倒数，1/49 = 0.020408163265306122448979591836734693877551 ...（循环节有42节）是首项0.02、公比0.02的无限级数之和。

因为离散周期信号可以看成三角基下的有限维线性空间。