代数

这是两个完全不同的概念转置是行变成列列变成行，没有本质的变换逆矩阵是和这个矩阵相乘以后成为单位矩阵的矩阵这个是一个本质的变换，逆矩阵除了一些显然的性质以外还有一些很特殊的性质，例如无论左乘还是右乘原矩阵，都是单位矩阵。

转置是把矩阵的行变为列、列变为行，无论是不是方阵，都可以转置。逆矩阵是与原矩阵的积等于单位矩阵的矩阵。仅方阵才可能存在逆矩阵。

矩阵的迹，就是对角线元素之和~

矩阵的迹和代数余子式关系是求矩阵的迹需要求代数余子式。一个矩阵的迹是其特征值的总和（按代数重数计算）。特征值之和等于主对角线元素和，特征值两两之积的和等于A11+A22+A33，三个特征值之积等于行列式。行列式：矩阵A任意一行（列）的各元素与其对应的代数式余子式乘积之和。

矩阵的迹：主对角线（左上至右下的那一条）上所有元素之和。记作tr(A)，其中A为方阵。

没有这样的结论,当然也就没法证明.这个结论是不对的.举例如A=（1,0；0,-1）,迹=1+(-1)=0,但|A|=-1.（注：矩阵的迹是主对角线元素之和,没有迹的和这一说）

你能有这样的结论是因为工科数学研究不够深入,一般只讨论实对称矩阵或对称矩阵.我来举个例子110010001与110011001两个3阶矩阵的特征值和秩都相同,却不相似(这个你不用验证,这是jordan标准型~不一样一定不相似)这样给你讲:你记得矩阵有。

1.若A,B相似,则A,B的特征值相同2.A的所有特征值的和等于A的主对角线上元素之和,记为tr(A)两者结合就有A,B相似则tr(A)=tr(B)

首先要能相似对角化

因为对角线的元素的和，等于特征值的和。

1秩相等 2特征值一致，并不能保证特征子空间的几何重数一致。

是的 在复数域存在可逆矩阵P 使得 P^(-1)AP=上三角矩阵 对角线元素为A的特征值 两端取转置有 P`A`(P`)^(-1)=下三角矩阵 对角线元素为A`的特征值

这是利用矩阵多项式的特征值，是矩阵特征值的多项式，这一原理，简单来讲，就是A-E，相当于多项式f(x)=x-1那么f(A)=A-E的全部特征值，就是f(t)=t-1，其中t是矩阵A的全部特征值

A 必有一个特征值是 2.B = 2E-A =[-1 4 4][ 0 0 0][-2 2 5]初等行变换为[-1 4 4][ 0 0 0][ 0 -6 -3]初等行变换为[ 1 -4 -4][ 0 2 1][ 0 0 0]初等行变换为[ 1 4 0][ 0 2 1][ 0 0 0]得特征向量 (4 -1 2)^T, 选 D。

　　行列式　　行列式在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述"体积"的函数。　　其定义域为nxn的矩阵A，取值为一个标量，写作det(A)或 | A | 。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对"体积"所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中(比如说换元积分法中)，行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。　　特性　　若干数字组成的一个类似于矩阵的方阵，与矩阵不同的是， 矩阵的表示是用中括号，而行列式则用线段。行列式的值是按下述方式可能求得的所有不同的积的代数和，即是一个实数:求每一个积时依次从每一行取一个元因子，而这每一个元因子又需取自不同的列，作为乘数，积的符号是正是负决定于要使各个乘数的列的指标顺序恢复到自然顺序所需的换位次数是偶数还是奇数。也可以这样解释:行列式是矩阵的所有不同行且不同列的元素之积的代数和，和式中每一项的符号由积的各元素的行指标与列指标的逆序数之和决定:若逆序数之和为偶数，则该项为正;若逆序数之和为奇数，则该项为负。　　性质　　逆序数　　在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。　　基本性质　　n阶行列式的性质:　　性质1:行列式与他的转置行列式相等。　　性质2:互换行列式的两行(列)，行列式变号。　　推论:若一个行列式中有两行的对应元素(指列标相同的元素)相同，则这个行列式为零。　　性质3:行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。　　推论:行列式中有两行(列)元素对应成比例时，该行列式等于零。　　性质4:行列式具有分行(列)相加性。　　推论:如果将行列式某一行(列)的每个元素都写成m个数(m为大于2的整数)的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。　　性质5:行列式某一行(列)各元素乘以同一个数加到另一行(列)对应元素上，行列式不变。　　二维向量组　　行列式是向量形成的平行四边形的面积　　设P是一个二维的有向欧几里得空间，即一个所谓的欧几里得平面。两个向量X和X"的行列式是:　　经计算可知，行列式表示的是向量X和X "形成的平行四边形的有向面积。并有如下性质:　　行列式为零当且仅当两个向量共线(线性相关)，这时平行四边形退化成一条直线。 如果以逆时针方向为正向的话，有向面积的意义是:平行四边形面积为正当且仅当向量X和X"逆时针排列。 行列式是一个双线性映射。　　三维向量组　　设E是一个三维的有向欧几里得空间。三个三维向量的行列式是:　　这时的行列式表示X、X"和X""三个向量形成的平行六面体的有向体积，也叫做这三个向量的混合积。同样的，可以观察到如下性质:　　行列式为零当且仅当三个向量共线或者共面(三者线性相关)，这时平行六面体退化为平面图形，体积为零。 这时行列式是一个"三线性映射"，也就是说，对第一个向量有 ，对第二、第三个向量也是如此。

方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当 可逆的时候，其逆矩阵 的行列式为 。 行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。 对于上述矩阵，如果行列式 为零的话，我们不能除以零，也就是没有逆矩阵。其主元为 和 ， 主元的乘积就是行列式的值 。 行列式有三个基本的性质，由这三个性质我们可以计算任意方阵的行列式， 的行列式记作 或者 。 由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来，当有奇数次行交换时， ；当有偶数次行交换时， 。 若某一行乘以 ，行列式就也乘以 。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。 这不意味着 ， 是对其中的每一行都乘以 2，因此要乘以 。 这就像面积或者体积一样，长方形的长和宽都变为原来的 2 倍的话，面积就会变为 4 倍。 利用性质 2，我们对这两行进行行交换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。 在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同，因此有 。 利用性质 5，将全零行加上另外一行。 利用性质 5，我们可以将对角线上面或者下面的元素通过消元法全部变成 0，这不会改变行列式的值。然后，矩阵就只有对角线上有非零值，我们再利用性质 3 将每行的系数提取出来，矩阵就变成了单位矩阵。 消元过程会让 变为 ，如果 是不可逆的，那么 中一定有全零行，其行列式为零。如果 是可逆的，那么 中的对角线为主元，其行列式为对角线的乘积，也即主元的乘积。 如果 ，那么有 ， 为对角线上为 1 的下三角矩阵，因此有 ，而 ，所以 。 一个简单的证明过程如下所示： 对比以上两项，置换矩阵的逆等于转置，所以有 ，因此它们同时为 1 或者 -1。对三角矩阵的转置不影响其对角线元素，因此行列式不变，所以有 ，所以有 。 因此， 任意应用于矩阵的行的性质都可以同时应用到矩阵的列上去 。比如，两列交换会改变行列式的符号；两列相同则行列式为零。 获取更多精彩，请关注「seniusen」!

性质1：行列式与它转置行列式相等。 性质2：若行列式两行相同，则行列式为0 性质3：行列式中两行成比例，则行列式为0性质4：把行列式一行的倍数对应加到另一行，行列式值不变 性质5：对换行列式中两行位置，行列式反号。

这个性质是某列(行)的元素若都是两个数的和,则行列式可分拆为两个行列式的和.可用定义证明,考虑行列式的第2个定义(定理2),按列标自然序展开的定义.定义中的每一项ap11ap22...apii...apnn中第i列元都替换为两个数的和则每一项可分拆成两个数的和列标排列的逆序数没有改变行列式整个和号也分拆成了两个大和号的和即行列式分拆成两个行列式的和.

行列式性质如下：在数学中，是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。行列式的基本性质n阶行列式的性质：性质1：行列式与他的转置行列式相等。性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若一个行列式中有两行的对应元素（指列标相同的元素）相同，则这个行列式为零。性质3：行列式中某行的公共因子k,可以将k提到行列式外面来。推论：行列式中有两行（列）元素对应成比例时，该行列式等于零。性质4：行列式具有分行（列）相加性。推论：如果将行列式某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可以写成m个行列式的和。性质5：行列式某一行（列）各元素乘以同一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式不变。其它性质若A是可逆矩阵， 设A‘为A的转置矩阵， （参见共轭） 若矩阵相似，其行列式相同。 行列式是所有特征值之积。这可由矩阵必和其Jordan标准形相似推导出。

行列式转置值不变。行列式任一两行对换值编号。行列式两行或两列对应相等值为零。某一行乘以一个数到另一行上去，行列式不变。行列式的某一行乘以k等于k乘以行列式

写出二次型矩阵为1 -1 -1-1 1 1-1 1 3 r2+r1,r3+r1,r3/2,交换r2r3，r1+r2～1 -1 00 0 10 0 0显然二次型的秩为2

第一步，将矩阵化为行阶梯形。化行阶梯形的步骤是先找出一个最简单的一行，移到第一行，将它依次和下面的行加减。第二步，从上往下，将不是全为零的行数数出来就是矩阵的秩。

通过初等行变换（就是一行的多少倍加的另一行，或行交换，或者某一行乘以一个非零倍数）把矩阵化成行阶梯型（行阶梯形就是任一行从左数第一个非零数的列序数都比上一行的大，形象的说就是形成一个阶梯，）。这样数一下非零行（零行就是全是零的行，非零行就是不全为零的行）的个数就是秩。例如：1 2 3 41 3 4 52 4 5 6第一行乘以负一加的第二行得1 2 3 40 1 1 12 4 5 6再把第一行乘负二加到第三行得1 2 3 40 1 1 10 0 -1 -2现在就满足行阶梯形了因为非零行有3行所以秩为3

线性代数中有2个秩的概念1、矩阵的秩。对任意m*n阶矩阵，通过初等变换（包括行初等变换和列初等变换）将其化为行阶梯型矩阵，行阶梯型矩阵中非零的行数即为该矩阵的秩；2、向量组的秩。将此向量组中每个向量按列构成一矩阵，通过求矩阵的秩得到该向量组的秩，理论依据为矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩。

用初等行变换化为行阶梯形，有多少个非零行，矩阵的秩就是多少。

首先利用行阶梯形会求秩，这是比较简单的，行阶梯形非零行的行数就是秩，然后当为满秩的时候，即非零行数等于矩阵的列数（或等于向量组中向量的个数），相当于N个方程N个未知数，定有唯一解。若不是满秩矩阵，则相当于N个未知数n（小于N）个方程，肯定会有无穷个解，也就是所谓的通解的问题。

对

试试化成阶梯矩阵根据最后一行全是0求出系数之间的关系

就是一组向量，一般最常见的是列向量组，即向量组中的向量，都是列向量。

定义 1     个有次序的数 所组成的数组称为 维向量，这 个数称为该向量的 个分量，第 个数 称为第 个分量。 维向量可写成一行或者一列，分别称为行向量与列向量，也就是行矩阵和列矩阵。 维列向量 与 维行向量 总看做是两个不同的向量。 定义 1     给定向量组 ，对于任何一组实数 ，表达式 称为向量组 的一个线性组合， 称为这个线性组合的系数。 定义 2     给定向量组 和向量 ，如果存在一组数 ，使 则向量 是向量组 的线性组合，这时称向量 能由向量组 线性表示。 定理 1     向量 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩。 定义 3     设有两个向量组 及 ，若 组中的每个向量都能由向量组 线性表示，则称向量组 能由向量组 线性表示。若 向量组 与向量组 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。 定理 2     向量组 能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即 推论     向量组 与向量组 等价的充分必要条件是 ，其中 是向量组 和 组成的矩阵。 定理 3     设向量组 能由向量组 线性表示，则 定理 4     向量 能由向量组 线性表示出 定义 1     给定向量组 ，如果存在不全为0的数 ，使 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关。 向量组 线性相关，也就是在向量组 中至少有一个向量能由其余 个向量线性表示。 定理 1     向量组 线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 的秩小于向量个数 ，向量组 线性无关的充分必要条件是 。 定理 2     (1) 若向量组 线性相关，则向量组 也线性相关。反言之，若向量组 线性无关，则向量组 也线性无关。 (2) 个 维向量组成的向量组，当维数 小于向量的个数 时一定线性相关。特别的， 个 维向量一定线性相关。 (3) 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则向量 必能由向量组 线性表示，且表示式是惟一的。 推论     若向量组 线性无关 延伸组 线性无关             若 线性相关 缩短组 线性相关 （向量组 ， ，其中 ，称 为 的延伸组（或称 为 的缩短组）） 定理 3     如果向量组 可由向量组 线性表示，而且 ，那么 线性相关。即如果多数向量组能由少数向量组线性表示，那么多数向量一定线性相关。 推论     若向量组 线性无关，且它可由 线性表示，则 。 定理 4     向量组 线性相关 略 定义 1     下列三种变换称为线性方程组的初等变换： (1) 用一个非零常数项乘方程的两边 (2) 把某方程的 倍加到另一个方程上 (3) 互换两个方程的位置 线性方程组经初等变换化为阶梯型方程组后，每个方程中的第一个未知量通常称为 主变量 ，其余的未知量称为 自由变量 。 定义 2     向量组 称为齐次线性方程组 的基础解系，如果： (1) 是 的解 (2) 线性无关 (3) 的任一解均可由 线性表示 定义 3     如果 是齐次线性方程组 的一组基础解系，那么对于任意常数 ， 是齐次方程组 的通解。 定理 1     设齐次线性方程组 系数矩阵的秩 ，则 的基础解系有 个线性无关的解向量构成。 定理 2     非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是其系数矩阵和增广矩阵的秩相等，及 若 ，则方程组有唯一解 若 ，则方程组有无穷多解 非齐次线性方程组 无解 定理 3     对非齐次线性方程组 ，若 ，且已知 是导出组 的基础解系， 是 的某个已知解，则 的通解为 其中 为任意常数。 定义 1     设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且集合 对于向量的加法和乘数都封闭，那么就称集合 为向量空间。 所谓封闭，是指在集合 中可以进行向量的加法及乘数两种运算。具体的说，就是：若 ，则 ；若 ，则 。 定义 2     设 为向量空间，如果 个向量 ，且满足 (i) 线性无关 (ii) 中任一向量均可由 线性表示 那么向量组 就称为向量空间 的一个基， 称为向量空间 的维数，并称 为 维向量空间。 定义 3     如果在向量空间 中取定一个基 ，那么 中任一向量 可唯一的表示为 数组 称为向量 在基 中的坐标。 定义 1     设有 维向量 令 称为向量 与 的内积。 内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数。如果用矩阵表示：当 都是列向量时，有 。 内积具有下列性质（其中 为 维向量， 为实数） (i) (ii) (iii) (iv) 当 时， ；当 时， ； 在解析几何中，向量的数量积表示为 且在直角坐标系中有 维向量的内积是数量积的一种推广。 定义 2     令 称为 维向量 的长度（或范数）。 当 时，称 为单位向量。 向量的长度具有下述性质： (i) 非负性 (ii) 齐次性 (iii) 三角不等式 定理 1     若 维向量 是一组两两正交的非零向量，则 线性无关。 定义 3     设 维向量 是向量空间 的一个基，如果 两两正交，且都是单位向量，则称 是 的一个规范正交基。 定义 4     如果 阶矩阵 满足 那么称 为正交矩阵，简称正交阵。 上式用 的列向量来表示，即是 亦即 这也就是 个关系式 于是可以得出：方阵 为正交阵的充分必要条件是 的列向量都是单位向量，且两两正交。 正交矩阵具有下述性质： (i) 若 为正交阵，则 也是正交阵，且 或（-1） (ii) 若 都是正交阵，则 也是正交阵。 定义 5     若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换。 正交变换线段长度保持不变。 定义 1     设 是 阶矩阵，如果数 和 维非零列向量 使关系式 成立，那么，这样的数 称为矩阵 的特征值，非零向量 称为矩阵 对应于特征值 的特征向量。 式也可写成 这是 个未知数 个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 即 上式是以 为未知数的一元 次方程，称为矩阵 的特征方程，其左端 是 的 次多项式，记作 ，称为矩阵 的特征多项式。 设 阶矩阵 的特征值为 ，则有 (i) (ii) 推论     若 是 的特征值，则 是 的特征值； 是 的特征值（其中 是 的多项式， 是 的多项式）。 定理 1     设 是方阵 的 个特征值， 是与之对应的特征向量，如果 各不相等，则 线性无关。 [图片上传失败...(image-3d48a5-1570675990073)] 定义 1     设 都是 阶矩阵，若有可逆矩阵 ，使 则称 是 的相似矩阵，或说矩阵 与 相似。对 进行运算 称为对 进行相似变换，可逆矩阵 称为把 变成 的相似变换矩阵。 定理 1     若 阶矩阵 与 相似，则 与

把α1α2α3α4排成矩阵1　　　 3　　　 2　　　 22　　　 2　　　 3　　　 23　　　 1　　　 1　　　 2-1　　　-1　　　1　　　 -1作行初等变换（#是主元）1#　　　3　　　 2　　　 2　　　 *主行不变0　　　 -4　　　-1　　　-2　　　 这行－第1行×20　　　 -8　　　-5　　　-4　　　 这行－第1行×30　　　 2　　　 3　　　 1　　　 这行＋第1行————1　　　 -1　　　-4　　　0　　　 这行－第4行×20　　　 0　　　 5　　　 0　　　 这行＋第4行×20　　　 0　　　 7　　　 0　　　 这行＋第4行×40　　　 2　　　 3　　　 1#　　　*主行不变————1　　　 -1　　　0　　　 0　　　 这行＋第2行×4/50　　　 0　　　 5#　　　0　　　 *主行不变0　　　 0　　　 0　　　 0　　　 这行－第2行×7/50　　　 2　　　 0　　　 1　　　 这行－第2行×3/5可知极大无关组是：α1，α3，α4α2=2α4-α1

请明确问题 求秩？极大无关组？

向量组就是一组同维数向量。由一组同维数向量所做成的集合

A = (a1, a2, a3, a4) =[ 1 3 2 2][ 2 2 3 2][ 3 1 1 2][-1 -1 1 -1]初等行变换为[ 1 3 2 2][ 0 -4 -1 -2][ 0 -8 -5 -4][ 0 2 3 1]初等行变换为[ 1 3 2 2][ 0 2 3 1][ 0 0 5 0][ 0 0 7 0]初等行变换为[ 1 3 0 2][ 0 2 0 1][ 0 0 1 0][ 0 0 0 0]初等行变换为[ 1 0 0 1/2][ 0 1 0 1/2][ 0 0 1 0][ 0 0 0 0]r(a1, a2, a3, a4) = 3, a1, a2, a3, a4 线性相关。a1, a2, a3 是一个极大线性无关组。a4 = (1/2)(a1+a2)

这就是标准的非齐次线性方程组，用α1，α2，α3做为列向量构成系数矩阵A。这题就变成球Ax=β的非齐次线性方程组。方法就是将扩展矩阵（A|β）化成阶梯状，然后得出解。解即为线性表示的表示系数。

向量就是一维矩阵,列向量就是将矩阵的任意一列看做向量形成的矩阵 比如A=[A1,A2,A3,A4...] A1~An就是大小为m行1列的列向量 在这句话里,线性组合指的是由A1~An组成的一次多项式 如果取任意数列k1~kn 那么列向量的线性组合就是k1*A1+k2*A2+...+kn*An

n维向量：n个数构成的一个有序数组称为一个n维向量，记为 ,并称α为n维行向量, 称为n维列向量。 设 是n维向量， 是一组实数，则称 是 的线性组合 设向量 能表示成向量组 的线性组合，即存在 ，使得 则称向量 能被向量组 线性表出 对n维向量 ，如果存在不全为零的数使得 则称向量组 线性相关，否则，则称向量组 线性无关 含有零向量或者有成比例的向量的向量组必定线性相关 向量组 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可以由其余的n-1个向量线性表出 若向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 能被向量组 线性表出 如果向量组 可以由向量组 线性表示，且t>s则 线性相关 设m个n维向量 ，其中则向量组 线性相关的是齐次线性方程组 有非零解，其中量 能被向量组 线性表出 非齐次线性方程组 有解如果向量组 中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关 如果一组 维向量 线性无关,那么把这些向量各任意添加 个分量所得到的新向量 ( 维)组 也是线性无关的;如果 线性相关,那么它们各去掉相同的若干个分量所得到的新向埋组也是线性相关的. 在向量组 中，若存在r个向量 满足 则称 是向量组 的一个极大线性无关组 设有两个向量组（Ⅰ） ；（Ⅱ） 如果（Ⅰ）中的每个向量都可由（Ⅱ）中的向量线性表出，则称向量组（Ⅰ）可以由向量组（Ⅱ）线性表出。如果（Ⅰ）（Ⅱ）这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价，记作 向量组 的极大线性无关组 中所含的向量的个数r称为这个向量组的秩，记作 等价向量组等秩,反之未必成立. 设向量组 及 若 均可由 线性表出,则若 是 维向量空间 中的线性无关的有序向量组,则任一向量 均可由 ,线性表出，记表出式为 称有序向量组 是 的一个基,基向量的个数 称为向量空间的维数,而 ( ) 称为向量 在基 下的坐标,或称为 的坐标行(列)向量.则上式称为矩阵由基 到基 的基变换公式，矩阵C称为由基 到基 的过渡矩阵。C的第i列即是 在基 下的坐标列向量，且过渡矩阵C是可逆矩阵又基 到基 的过渡矩阵为 ,即 则 得 上式称为左边变换公式

向量空间的基底就是线性空间的基，所谓基就是一组向量，满足以下两个条件：1、这组向量线性无关；2、向量空间中任何向量均可有这组向量线性表示出。书上有定义啊

向量的维数和秩无关维数之和向量本身有关，但是秩总是小于等于维数。

没有区别, 同一个概念的两种名字而已

没什么区别。空间维数的定义是，该空间一组坐标基向量中向量的个数。

向量空间是现代数学的一个重要课题；因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何,线性代数得以被具体表示.线性代数的理论已被泛化为算子理论.由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型,使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中.x0d由于费马和笛卡儿的工作,线性代数基本上出现于十七世纪.直到十八世纪末,线性代数的领域还只限于平面与空间.十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡 矩阵论始于凯莱,在十九世纪下半叶,因若当的工作而达到了它的顶点．1888年,皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间.托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理,即是说不依赖于基的选择.不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域,这就引向模的概念,这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况.x0d“代数”这一个词在我国出现较晚,在清代时才传入中国,当时被人们译成“阿尔热巴拉”,直到1859年,清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”,一直沿用至今.x0d线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究.在这里,一个向量是一个有方向的线段,由长度和方向同时表示.这样向量可以用来表示物理量,比如力,也可以和标量做加法和乘法.这就是实数向量空间的第一个例子.x0d现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间.一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间.在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间.尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量,这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效.由于作为 n 元组,向量是 n 个元素的“有序”列表,大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据.比如,在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）.当所有国家的顺序排定之后,比如 (中国,美国,英国,法国,德国,西班牙,印度,澳大利亚),可以使用向量 (v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8) 显示这些国家某一年各自的 GNP.这里,每个国家的 GNP 都在各自的位置上.x0d作为证明定理而使用的纯抽象概念,向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分,而且已经非常好地融入了这个领域.一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群,向量空间的线性映射的环.线性代数也在数学分析中扮演重要角色,特别在 向量分析中描述高阶导数,研究张量积和可交换映射等领域.x0d向量空间是在域上定义的,比如实数域或复数域.线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间）,保持向量空间上加法和标量乘法的一致性.所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间.如果一个线性空间的基是确定的,所有线性变换都可以表示为一个数表,称为矩阵.对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分.x0d我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的.比如微分学研究很多函数线性近似的问题.在实践中与非线性问题的差异是很重要的.x0d线性代数方法是指使用线性观点看待问题,并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法.这是数学与工程学中最主要的应用之一.

求排列 2， 4， ...... , (2n), 1, 3, 5，...... , (2n-1) 的逆序总数.前面省略号是依次变大的偶数，后面省略号是依次变大的奇数。逆序数就是某个数码后面比它小的数码的个数。偶数 2 后面 比 2 小的数码 1 个， 逆序数是 1；偶数 4 后面 比 4 小的数码 2 个， 逆序数是 2；......................偶数 2n 后面 比 2n 小的数码 n 个， 逆序数是 n。奇数的逆序数均为 0.则逆序总数是 1+2+......+n = (1/2)n(n+1)。

线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数非线性（non-linear）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数。线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为 n 的向量空间叫做 n 维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非常有效。由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8）显示这些国家某一年各自的 GNP。这里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

γ = x1 α1 + x2 α2 = y1 β1 + y2 β2移项后：x1 α1 + x2 α2 - y1 β1 - y2 β2 = 0因为 α1、α2、β1、β2 为3维向量，最多有3个线性无关，所以它们4个线性相关。所以，能找到不全为0的 x1、x2、-y1、-y2 使得上式为0不妨设 x1 不为0由于 α1、α2 线性无关，所以 γ = x1 α1 + x2 α2 ≠ 0具体到：α1 = [1,0,2]^Tα2 = [2,-1,3]^Tβ1 = [-3,2,-5]^Tβ2 = [0,1,1]^T设3*4的矩阵：A = [α1 α2 β1 β2]，我们求解 AX = 0，得到 X = k [-2,1,0,1]^T也就是：k (-2 α1 + α2 + β2) = 0所以：γ = k (-2 α1 + α2) = k (-β2) = k [0, -1, -1]^T其中 k 为任意实数。

S³对应四元数体H中的单位四元数, 在乘法和取逆下封闭,因此四元数乘法给出S³上的一个群结构.又可验证该群结构与S³的微分结构是相容的, 故S³是一个Lie群.Lie群的切丛总是平凡的, 因为一点处的线性无关的切向量可以左平移得到点点线性无关的向量场.所以四元数的存在导致S³的切丛平凡.但是反过来的推理不能简单进行, 因为不清楚S²与假定存在的"三元数"会有怎样的联系.不过由S²的切丛非平凡说明S²没有Lie群结构是没问题的.注: 其实S³作为Lie群同构于SU(2).

多项式中,每个单项式叫做多项式的一个项；次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数.系数就是： 代数式和单项式中的数字因数就是它的系数.例如：x^4+x^2-44是四次三项式,就是说这个多项式的最高次数是4次,并且由3个单项式组成.第一个单项式系数为一,第三个单项式系数为-44.

多项式中，每个单项式叫做多项式的一个项；次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。系数就是： 代数式和单项式中的数字因数就是它的系数。例如：x^4+x^2-44是四次三项式，就是说这个多项式的最高次数是4次，并且由3个单项式组成。第一个单项式系数为一，第三个单项式系数为-44。

代数

设一向量组含有非零向量。该向量组的极大线性无关组唯一的充要条件是：存在一个向量组的排列次序，使得每一个向量都不能被其后面的向量线性表示。换句话说，对于向量组中的每一个向量，它都不能由该向量组中它后面的向量线性表示出来。同时，将任意一个向量添加到该向量组中，就会导致线性相关性。这个满足条件的向量组的排列次序就是该向量组的极大线性无关组，且这个极大线性无关组是唯一的。

F = (AB+C)"+ B"C = (AB)"C"+ B"C = (A"+B")C"+ B"C = A"C"+ B"C"+B"C = A"C"+ B"= (A"C")"B = (A+C)B

给定一个集合：B,设它的任何两个元素X和Y,都有B中的两个元素：XY和X+Y与之对应，并满足：1）交换律：XY=YXX+Y=Y+X2)结合律：X(YZ)=(XY)ZX+(Y+Z)=X+(Y+Z)3)吸收律：X+(XY)=(X+Y)X=X4)分配律：X(Y+Z)=XY+XZX+YZ=(X+Y)(X+Z)5)互补律：B中，有元素0和1，且对应一个X，就有一个X"，满足：X+X"=1,XX"=0.此时称B为布尔代数。且X"为X的补元。B中的元素非0即1，只有两个元素。布尔代数，是英国数学家G.布尔为了研究思维规律（逻辑学、数理逻辑)于1847和1854年提出的数学模型。它由在布尔代数的元素间永远成立的关系组成，而不管具体的那个布尔代数。布尔代数起源于数学领域，是一个用于集合运算和逻辑运算的公式：〈B，∨，∧，?〉。其中B为一个非空集合，∨，∧为定义在B上的两个二元运算，?为定义在B上的一个一元运算。通过布尔代数进行集合运算可以获取到不同集合之间的交集、并集或补集，进行逻辑运算可以对不同集合进行与、或、非。 布尔代数定律：互补律：第一互补律：若A=0，则~A=1,若A=1，则~A=0 注：~A =NOT　A 第二互补律：A*~A=0 第三互补律：A+~A=1 双重互补律：/=//A=A 交换律： AND交换律：A*B=B*A OR交换律： A+B=B+A 结合律： AND结合律：A=C* OR结合律：　A+=C+ 分配律：第一分配律：　A*=+ 第二分配律：　A+=* 重言律：第一重言律： A*A=A 若A=1，则A*A=1；若A=0，则A*A=0。因此表达式简化为A 第二重言律： A+A=A 若A=1，则1+1=1；若A=0，则0+0=0。因此表达式简化为A 带常数的重言律： A+1=1 A*1=A A*0=0 A+0=A 吸收率：第一吸收率： A*=A 第二吸收率： A+=A

每个布尔代数 (A,<math>land</math>,<math>lor</math>) 都引出一个环 (A,+,*)，通过定义 a + b = (a <math>land</math> &not;b) <math>lor</math> (b <math>land</math> &not;a) (这个运算在集合论中叫做对称差在逻辑中叫做XOR(异或)) 和 a * b = a <math>land</math> b。这个环的零元素符合布尔代数的 0；环的乘法单位元素是布尔代数的 1。这个环有对于 A 中的所有的 a 保持 a * a = a 的性质；有这种性质的环叫做布尔环。反过来，如果给出布尔环A，我们可以把它转换成布尔代数，通过定义 x <math>lor</math> y = x + y + xy 和 x <math>land</math> y = xy。因为这两个运算是互逆的，我们可以说每个布尔环引发一个布尔代数，或反之。此外，映射 f : A → B 是布尔代数的同态，当且仅当它是布尔环的同态。布尔环和代数的范畴是等价的。布尔代数 A 的理想是一个子集 I，对于在 I 中的所有 x,y 我们有 x <math>lor</math> y 在 I 中，并且对于在 A 中的所有 a 我们有 a <math>land</math> x 在 I 中。理想的概念符合在布尔环 A中环理想的概念。A 的理想 I 叫做素理想，如果 I ≠ A；并且如果 a <math>land</math> b 在 I 中总是蕴涵 a 在 I 中或 b 在 I 中。A 的理想 I 叫做极大理想，如果 I ≠ A 并且真正包含 I 的唯一的理想是 A 自身。这些概念符合布尔环A 中的素理想和极大理想的环理论概念。理想的对偶是滤子。布尔代数 A 的滤子是子集 p，对于在 p 中的所有 x,y 我们有 x <math>land</math> y 在 p 中，并且对于在 A 中的所有 a，如果 a <math>lor</math> x = a 则 a 在 p 中。 可以证实所有的有限的布尔代数都同构于这个有限集合的所有子集的布尔代数。此外，所有的有限的布尔代数的元素数目都是二的幂。Stone 的著名的布尔代数的表示定理陈述了所有的布尔代数 A 都在某个(紧凑的完全不连通的 Hausdorff)拓扑空间中同构于所有闭开集的布尔代数。 在 1933 年，美国数学家 Edward Vermilye Huntington (1874-1952) 展示了对布尔代数的如下公理化：交换律： x + y = y + x。结合律： (x + y) + z = x + (y + z)。Huntington等式： n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x。一元函数符号 n 可以读做"补"。Herbert Robbins 接着摆出下列问题： Huntington等式能否缩短为下述的等式，并且这个新等式与结合律和交换律一起成为布尔代数的基础? 通过一组叫做 Robbins 代数的公理，问题就变成了： 是否所有的 Robbins 代数都是布尔代数?Robbins 代数的公理化：交换律： x + y = y + x。结合律： (x + y) + z = x + (y + z)。Robbins等式： n(n(x + y") + n(x + n(y))) = x。这个问题自从 1930 年代一直是公开的，并成为 Alfred Tarski 和他的学生最喜好的问题。在 1996 年，William McCune 在 Argonne 国家实验室，建造在 Larry Wos、Steve Winker 和 Bob Veroff 的工作之上，肯定的回答了这个长期存在的问题： 所有的 Robbins 代数都是布尔代数。这项工作是使用 McCune 的自动推理程序 EQP 完成的。 代入法则 它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z代替，等式仍然成立。对偶法则 它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”，“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。我们可以看出基本公式是成对出现的，二都互为对偶式。反演法则 有原函数求反函数就称为反演（利用摩根定律），我们可以把反演法则这样描述：将原函数F中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变，就得到原函数的反函数。 互补律：第一互补律：若A=0，则~A=1,若A=1，则~A=0 注：~A =NOT　A第二互补律：A*~A=0第三互补律：A+~A=1双重互补律：/<~A>=//A=A交换律：AND交换律：A*B=B*AOR交换律： A+B=B+A结合律：AND结合律：A<B*C>=C*<A*B>OR结合律：　A+<B+C>=C+<A+B>分配律：第一分配律：　A*<B+C>=<A*B>+<A*C>第二分配律：　A+<B*C>=<A+B>*<A+C>重言律：第一重言律： A*A=A 若A=1，则A*A=1；若A=0，则A*A=0。因此表达式简化为A第二重言律： A+A=A 若A=1，则1+1=1；若A=0，则0+0=0。因此表达式简化为A带常数的重言律：A+1=1A*1=AA*0=0A+0=A吸收率：第一吸收率： A*<A+B>=A第二吸收率： A+<A*B>=A 在k元素集合X上有k个n元运算f: X→X，因此在{0,1}上有2个n元运算。所以得出所有布尔代数，不论大小都两个常量或“零元”运算，四个一元运算，16个二元运算，256个三元运算，以此类推，它们叫做给定布尔代数的布尔运算。只有一个例外就是一个元素的布尔代数，它叫做退化的或平凡的（被一些早期作者禁用），布尔代数的所有运算可以被证明是独特的。（在退化情况下，给定元数的所有运算都是同样的运算因为对所有输入都返回同样结果。）在{0,1}上的运算可以用真值表展出，选取0和1为真值假和真。它们可以按统一和不依赖应用的方式列出，允许我们命名或至少单独列出它们。这些名字对布尔运算提供方便的简写。n元运算的名字是2位的二进制数。有2个这种运算，你不能得到更简明的命名法了!下面展示元数从0到2的所有运算的这种格局和关联的名字。直到2元的布尔运算的真值表常量 f0 f1 0 1 一元运算 x0 　f0 f1 f2 f3 0 　0 1 0 1 1 　0 0 1 1 二元运算 x0 x1 　f0 f1 f2 f3 f4 f5 f6 f7 f8 f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 0 0 　0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 　0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 　0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 　0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 这些表格继续到更高元数上，对n元有2行，每个行给出n个变量x0,…xn−1的一个求值或绑定，而每列都有表头fi，它们给出第i个n元运算fi(x0,…,xn−1)在这个求值下的值。运算包括变量本身，例如f2是x0而f10是x0 (作为它的一元对应者的两个复件)而f12是x1 (没有一元对应者)。否定或补¬x0出现为f1再次出现为f5，连同f3 (¬x1在1元时没有出现)，析取或并x0∨x1出现为f14，合取或交x0∧x1出现为f8，蕴涵x0→x1出现为f13，异或或对称差x0⊕x1出现为f6，差集x0−x1出现为f2等等。对布尔函数的其他命名或表示可参见零阶逻辑。作为关于它的形式而非内容的次要详情，一个代数的运算传统上组织为一个列表。我们这里通过在{0,1}上有限运算索引了布尔代数的运算，上述真值表表示的排序首先按元数，其次为每个元数运算的列出表格。给定元数的列表次序是如下两个规则确定的。 (i)表格左半部分的第i行是i的二进制表示，最低有效位或第0位在最左（“小端”次序，最初由艾伦·图灵提议，所以可不无合理的叫做图灵序）。 (ii)表格的右半部分的第j列是j的二进制表示，还是按小端次序。在效果上运算的下标就是这个运算的真值表。

布尔函数可以唯一的写为积（AND）之和（XOR）。这叫做代数范式（ANF），也叫做Zhegalkin多项式。这里的序列 的值因此还唯一的表示一个布尔函数。布尔函数的代数次数被定义为出现在乘积项中的 xi 的最高次数。所以 f(x1,x2,x3） = x1 + x3 有次数 1 （线性），而 f(x1,x2,x3） = x1 + x1x2x3 有次数 3 （立方）。对于每个函数 f 都有一个唯一的 ANF。只有四个函数有一个参数: f(x) = 0,f(x) = 1,f(x) = x,f(x) = 1 + x （它们都可以在 ANF 中给出），要表示有多个参数的函数，可以使用如下等式： ，这里的 并且。实际上，如果 x1 = 0 则 x1h = 0 并因此 ；如果 x1 = 1 则 x1h = h 并因此。因为 g 和 h 二者都有比 f 少的参数，可以得出递归的使用这个过程将完成于只有一个变量的函数。例如，让我们构造一个 （逻辑或）的 ANF: f(x,y) = f(0,y) + x(f(0,y) + f（1,y））；因为 并且 ，可以得出 f(x,y) = y + x(y + 1）；通过打开括号我们得到最终的 ANF: f(x,y) = y + xy + x = x + y + xy。在应用程序中的布尔函数一个布尔函数介绍了如何确定一个布尔值输出基于某种逻辑输入计算的布尔值。这些职能发挥作用的问题的基本理论，复杂性 ，以及作为设计的电路芯片和数字电脑。布尔函数的性质研究中发挥关键作用密码学 ，特别是在设计的对称密钥算法 （见替代框）。布尔函数通常代表中的句子命题逻辑 ，有时作为多元多项式超过绿 ⑵，但更有效的申述， 二元决策图 （BDD）的， 正常的否定形式 ，与命题向无环图 （PDAG）。在合作博弈论，布尔函数被称为游戏） 简单的游戏 （表决；这个概念应用到解决问题的社会选择理论。

科技名词定义中文名称：卷积 英文名称：convolution 定义：数学中关于两个函数的一种无穷积分运算。对于函数f1(t)和f2(t)，其卷积表示为：式中：“”为卷积运算符号。 所属学科： 电力(一级学科) ；通论(二级学科) 本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 百科名片卷积运算图在泛函分析中，卷积(卷积)、旋积或摺积(英语：Convolution)是通过两个函数f 和g 生成第三个函数的一种数学算子，表徵函数f 与经过翻转和平移与g 的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。目录[隐藏]基本内涵定义快速卷积算法多元函数卷积性质卷积定理在群上的卷积应用基本内涵 定义 快速卷积算法 多元函数卷积性质 卷积定理 在群上的卷积 应用 [编辑本段]基本内涵 简单介绍 卷积是分析数学中一种重要的运算。设: f(x),g(x)是R1上的两个可积函数，作积分： 可以证明，关于几乎所有的 ，上述积分是存在的。这样，随着 x 的不同取值，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为函数f 与g 的卷积，记为h(x)＝(f*g)(x)。容易验证，(f * g)(x) ＝ (g * f)(x)，并且(f * g)(x) 仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。 卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。 由卷积得到的函数f*g 一般要比f 和g 都光滑。特别当g 为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积f * g 也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs，这种方法称为函数的光滑化或正则化。 卷积的概念还可以推广到数列、测度以及广义函数上去。[编辑本段]定义 函数f 与g 的卷积记作，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数。 积分区间取决于f 与g 的定义域。 对于定义在离散域的函数，卷积定义为快速卷积算法 当 是有限长度 N ，需要约 N 次运算。藉由一些快速算法可以降到 O(N log N) 复杂度。 最常见的快速卷积算法是藉由圆周摺积利用快速傅里叶变换。也可藉由其它不包含 FFT 的做法，如数论转换。多元函数卷积 按照翻转、平移、积分的定义，还可以类似的定义多元函数上的积分：[编辑本段]性质 各种卷积算子都满足下列性质： 交换律 结合律 分配律 数乘结合律 其中a为任意实数（或复数）。 微分定理 其中Df 表示f的微分，如果在离散域中则是指差分算子，包括前向差分与后向差分两种： 前向差分： 后向差分：[编辑本段]卷积定理 卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。 其中表示f 的傅里叶变换。 这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换（参见Mellin inversion theorem）等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n - 1组对位乘法，其计算复杂度为；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。[编辑本段]在群上的卷积 若G 是有某m测度的群（例如豪斯多夫空间上Harr测度下局部紧致的拓扑群），对于G 上m-勒贝格可积的实数或复数函数f 和g，可定义它们的卷积： 对于这些群上定义的卷积同样可以给出诸如卷积定理等性质，但是这需要对这些群的表示理论以及调和分析的Peter-Weyl定理。[编辑本段]应用 卷积在工程和数学上都有很多应用： 统计学中，加权的滑动平均是一种卷积。 概率论中，两个统计独立变量X与Y的和的概率密度函数是X与Y的概率密度函数的卷积。 声学中，回声可以用源声与一个反映各种反射效应的函数的卷积表示。 电子工程与信号处理中，任一个线性系统的输出都可以通过将输入信号与系统函数（系统的冲激响应）做卷积获得。 物理学中，任何一个线性系统（符合叠加原理）都存在卷积。 卷积是一种线性运算,图像处理中常见的mask运算都是卷积，广泛应用于图像滤波。castlman的书对卷积讲得很详细。 高斯变换就是用高斯函数对图像进行卷积。高斯算子可以直接从离散高斯函数得到： for(i=0; i<N; i++) { for(j=0; j<N; j++) { g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2)); sum += g[i*N+j]; } } 再除以 sum 得到归一化算子 N是滤波器的大小，delta自选 首先，再提到卷积之前，必须提到卷积出现的背景。卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的，脱离这个背景单独谈卷积是没有任何意义的，除了那个所谓褶反公式上的数学意义和积分（或求和，离散情况下）。 信号与线性系统，讨论的就是信号经过一个线性系统以后发生的变化（就是输入 输出 和所经过的所谓系统，这三者之间的数学关系）。所谓线性系统的含义，就是，这个所谓的系统，带来的输出信号与输入信号的数学关系式之间是线性的运算关系。 因此，实际上，都是要根据我们需要待处理的信号形式，来设计所谓的系统传递函数，那么这个系统的传递函数和输入信号，在数学上的形式就是所谓的卷积关系。 卷积关系最重要的一种情况，就是在信号与线性系统或数字信号处理 中的卷积定理。利用该定理，可以将时间域或空间域中的卷积运算等价为频率域的相乘运算，从而利用FFT等快速算法，实现有效的计算，节省运算代价。

一般可用这个方法你先试一下|A-λE|c1+c3r3-r1这样就可以按第1列展开, 提出了 1-λ之后的2次多项式用十字相乘法分解你体会一下上面的做法, 是将 (2,1) 元素化为0的同时, (1,1) 与 (3,1) 元素成比例

如果你把A*x=lambda*x中的A看做一种变换，一种作用，那么那些在这种作用下，只改变长短不改变方向的那些向量x就是特征向量，而特征值就是lambda，是伸缩系数，起能量增幅或者削减作用。特征值特征向量在各学术领域均有很高级的作用，首先介绍PCA，主成分分析。如果你面前有大维数组，处理起来非常棘手，直接带入问题处理速度又慢，第一想法就是能不能从中取出最有用，最有代表性的内容，俗话说：捞干的。回想tr迹这个性质，trA=A所有特征向量的和，主对角线元的意义非凡，暂且认为主对角线和就是这个矩阵所蕴含的能量。而特征向量就是这些能量集中爆发的方向，如果你很清楚特征分解的几何意义，就知道特征向量就是数据在空间中的对称轴，特征分解就是把其他方面的能量都投影在对称轴上，所以特征分解完或者说投影完，中间就只剩一个对角阵了，非对角元全是0. 此时你把最大的那几个特征向量摘出来，其余的抛掉，如此能很大程度降低你数据的维度，但信息损失仍在可控的范围。假设你求出100个特征值，头五个最大的和能达到这100个和的95%，那么其余95个丢掉，相对应的特征向量也丢掉。此时你的100*100的方阵只剩下5*5了，但信息量保存了95%。 金融业，银行业，保险业大量使用。互联网，Google的PageRank，就是 对www链接关系的修正邻接矩阵的，主要特征向量的投影分量，给出了页面平分。也就是搜索排名，凭什么我靠前你靠后。人像识别，我们把图像A看成矩阵，进一步看成线性变换矩阵，把这个训练图像的特征矩阵求出来(假设取了n个能量最大的特征向量)。用A乘以这个n个特征向量，得到一个n维矢量a，也就是A在特征空间的投影。还有聚类分析，信号处理等等。所以这块你一定要学透。

这种题就是先把方程完全写成一元三次方程，再带根试，-5到5，因为是正常做题，只要自己没做错的话肯定至少能试出一个根，然后就可以分解因式了，像这题就可以试出-4和5.其实一般的题3以内就能试出来。试的时候也不要死算，看奇偶啊，正负啊，个位数啊有时候就可以排除。

结构是布尔巴基学派看待数学的一种观点。序结构，代数结构和拓扑结构是最主要的几大类结构。用实数举例，实数可以比较大小，也就是定义一个元素x小于或等于另一个元素y，比如记为xRy。它满足一些公理：1、对任何x，xRx；2、由xRy和yRx可以推出x=y；3、xRy且yRz推出xRz。满足这组公理的集合就被称为有序结构。同样，实数可以加减乘除（除数不为0），所以它们满足域公理，这就是代数结构。实数还有邻域、开集等等概念，由此可以引出极限、连续等等概念，这就是拓扑结构（即满足拓扑空间的公理）。有些集合只有一两个结构，比如：素数集合只有序结构；整数集合没有拓扑结构；矩阵只有代数结构。希尔伯特的几何公理也可以看成是根据结构分的，比如第二组公理就是序公理，第五组公理是拓扑公理。

偏度不属于代数特征。偏度属于统计特征之一，不属于代数特征。偏度（skewness）是统计学中用于反映数据分布偏斜方向和程度的指标，描述一个数据分布的不对称性。在概率统计中，偏度是用来衡量某个数据集的非对称程度，通常导致某个方向上的扭曲。偏度（skewness）也称为偏态、偏态系数，是统计数据分布偏斜方向和程度的度量，是统计数据分布非对称程度的数字特征。表征概率分布密度曲线相对于平均值不对称程度的特征数。直观看来就是密度函数曲线尾部的相对长度。正态分布的偏度为0，两侧尾部长度对称。若以bs表示偏度。bs<0称分布具有负偏离，也称左偏态，此时数据位于均值左边的比位于右边的少，直观表现为左边的尾部相对于与右边的尾部要长，因为有少数变量值很小，使曲线左侧尾部拖得很长；bs>0称分布具有正偏离，也称右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的少，直观表现为右边的尾部相对于与左边的尾部要长，因为有少数变量值很大，使曲线右侧尾部拖得很长；而bs接近0则可认为分布是对称的。若知道分布有可能在偏度上偏离正态分布时，可用偏离来检验分布的正态性。右偏时一般算术平均数>中位数>众数，左偏时相反，即众数>中位数>平均数。正态分布三者相等。偏度和峰度表中的区别偏度表和峰度表都是统计学中常用的概率分布特征参数表，它们的区别在于统计的角度不同。偏度表通常用来衡量数据分布的偏斜程度，通过描述数据分布的左右对称性来反映分布的偏度大小。通常用 Pearson 系数、偏差系数、 Fisher 系数等来描述。峰度表用来衡量数据分布的峰态程度，也就是数据分布峰顶的尖锐程度。峰度表通常用 Fisher 系数、 Pearson 系数等来描述。总之，偏度和峰度都是用来描述概率分布的特征参数，但是偏度描述的是分布的偏向程度，而峰度描述的是分布的峰态程度。在应用中通常同时掌握两种特征参数的情况下，更能判断所研究的数据是否符合正态分布等假设。

SVD这是线性代数现在的重中之重，相比之前，约旦标准型的光辉岁月已经退去了、SVD中文叫奇异值分解。线性代数里面X"X矩阵是非常重要的矩阵 因为既保留了X的所有信息 又把这种信息的载体优化了，具备了很好的性质，比如如果X列满秩或者行满秩，X"X就是可逆的，对称的，而且可以构造投影矩阵，这是最小二乘的基础。 但是X不一定就能满秩，所以X"X就不是满秩方阵，也就不可逆，但是有逆这个性质我们非常想得到，SVD就出现了。SVD的第一大应用就是使得非满秩的X"X有逆，国外称作伪逆，我们叫广义逆，其实国内的广义逆有很多不唯一，SVD可以帮你找到最好的那个。这样最小二乘法就能继续得到应用。

矩阵的迹：主对角线(左上至右下的那一条)上所有元素之和。MATLAB里用trace(A)来计算

A~B 表示两矩阵相似

比如说 A，B都是二阶方阵。则 A|B 就是一个2行4列的矩阵，左边2列是A，右边两列是B。如果A，B的元素是已知的，可以用初等变换化阶梯形求得R（A|B）矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。扩展资料：矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。参考资料来源：百度百科——矩阵

比如说 A，B都是二阶方阵。则 A|B 就是一个2行4列的矩阵，左边2列是A，右边两列是B。如果A，B的元素是已知的，可以用初等变换化阶梯形求得R（A|B）矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。扩展资料：矩阵是用来描述构成实验粒子物理基石的散射实验的重要工具。当粒子在加速器中发生碰撞，原本没有相互作用的粒子在高速运动中进入其它粒子的作用区，动量改变，形成一系列新的粒子。这种碰撞可以解释为结果粒子状态和入射粒子状态线性组合的标量积。在线性代数中，三角矩阵是方形矩阵的一种，因其非零系数的排列呈三角形状而得名。三角矩阵分上三角矩阵和下三角矩阵两种。参考资料来源：百度百科——矩阵

b能被a整除

矩阵 的因式分解是把 表示为两个或更多个矩阵的乘积。 当 时，方程 可写成 。把 写成 ，可以由解下面一对方程来求解 ： 可以证明 应用 的 分解来解 ，其中 。 解：解 。 ～ 对 进行行化简的向后步骤。 ～ 故 。 分解的计算依赖于如何求 和 。 设 可以化为阶梯形 ，化简过程中仅用行倍加变换，即把一行的倍数加于它下面的另一行。这样，存在单位下三角初等矩阵 使 。于是 ，其中 。可以证明 是单位下三角矩阵。 注意将 化为阶梯形 过程中的行变换，它把 化为 。这写行变换也把 化为 ，这是因为 分解的算法： 求下列矩阵的 分解： 解：因 有4行，故 应为 矩阵。 的第一列应该是 的第一列除以它的第一行主元素： 比较 和 的第一列。把 的第一列的后三个元素变成零的行变换同时也将 的第一列的后三个元素变成0。 ～ ～ ～ 上式中标出的元素确定来将 化为 的行化简。在每个主元列，把标出的元素除以主元后将结果放入 ： 。 容易证明，所求出的 和 满足 。

参考:设A是秩为1的n阶方阵, 则1. A可表示为αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0).反之,若A=αβ^T,其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0), 则r(A)=1.2. A^k = (β^Tα)^(k-1)A3. A的特征值为 α^Tβ(=β^Tα),0,0,...,04. tr(A)=α^Tβ说明:1. 方法: 取A的一个非零的行向量,设为 β^T,则其余各行是此行的ki倍.令α=(k1,...,kn)^T, 则 A=αβ^T.反之, 若A=αβ^T, 其中α,β为n维非零列向量(或β^Tα≠0)则 A≠0, 所以 r(A)>=1又因为 r(A)=r(αβ^T)<=r(α)=1所以 r(A)=1.2. A^k=(αβ^T)(αβ^T)(αβ^T)...(αβ^T)= α(β^Tα)(β^Tα)(β^T...α)β^T= (β^Tα)^(k-1)αβ^T= (β^Tα)^(k-1)A3.因为 Aα=(αβ^T)α=α(β^Tα)=(β^Tα)α所以α是A的属于特征值β^Tα(≠0)的特征向量因为r(A)=1所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系含 n-1 个向量即A的属于特征值0的线性无关的特征向量有n-1个所以0至少是A的n-1重特征值而n阶方阵有n个特征值所以A的特征值为 β^Tα,0,0,...,0(n-1重)属于特征值0的特征向量:设β=(b1,b2,...,bn)^T≠0, 不妨设b1≠0则A经初等行变换化为b1 b2...bn0 0 ... 0... ...0 0 ... 0Ax=0的基础解系为(b2,-b1,0,...,0)^T(b3,0,-b1,...,0)^T...(bn,0,0,...,-b1)^T此即为A的属于特征值0的n-1个线性无关的特征向量

等比级数又称几何级数，没听说过与几何级数对应的代数级数

数学分析当然是基础了，抽象代数，微分几何，拓扑，微分方程这些是本科高年级学的，实分析复分析，泛函，李群这些应该算研究生内容。

泛函分析和代数几何有关系。数学分析和高代是泛函分析的基础，泛函分析研究的是函数映射到函数的空间，数学分析研究的是数值映射到数值上的空间。泛函分析所研究的一个重要对象是巴拿赫空间和希尔伯特空间上的连续线性算子。这类算子可以导出C*代数和其他算子代数的基本概念。泛函分析的技巧：把有限维换成无限维，以及欧式度量换成抽象度量，想法还是有限维的想法，但现象却是作为拓扑、代数、几何与分析的融合体的泛函分析了。研究泛函一般都是先从线性泛函入手，内容上以线性泛函分析中的赋范线性空间及其上的有界线性算子理论为主，目的是熟悉抽象分析的语言, 并能够解决一些简单问题。

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你的猜测是对的。我们不妨从初等函数的定义来窥视高等函数（特别注意引号部分）：由基本初等函数和常数经过“有限次”四则运算和“有限次”复合步骤所构成的并可以用一个式子表示的函数叫初等函数。如果无限次呢？就是高等函数。一般的高等函数用极限（包括导数、微积分、无穷级数）等高级运算来定义。有人说高等函数也包括著名的狄利克雷函数。

变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。 如对数函数，反三角函数，指数函数，三角函数等就属于超越函数，如y=f(x),y=cosx。它们属于初等函数中的初等超越函数。 超越函数是指那些不满足任何以多项式作系数的多项式方程的函数。说的更技术一些，单变量函数若为代数独立于其变量的话，即称此函数为超越函数。 对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数。 一函数的不定积分运算是超越函数的丰富来源，如对数函数便来自倒数函数的不定积分。在微分代数里，人们研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数，例如将三角函数与多项式的合成取不定积分。补充 在数学领域中, 超越函数与代数函数相反, 是指那些不满足任何以多项式方程的函数, 即函数不满足以变量自身的多项式为系数的多项式方程.换句话说, 超越函数就是"超出"代数函数范围的函数, 也就是说函数不能表示为有限次的加、减、乘、除和开方的运算. 严格的说, 关于变量 z 的解析函数 f(z) 是超越函数, 如果该函数是关于变量z是代数独立的. 对数和指数函数即为超越函数的例子. 超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数, 例如正弦,余弦,正割,余割,正切,余切,正失,半正失等. 非超越函数则称为代数函数. 代数函数的例子有多项式和平方根函数. 对代数函数进行不定积分运算能够产生超越函数. 如对数函数便是在对双曲角围成的面积研究中, 对倒数函数y = ?x不定积分得到的. 以此方式得到的双曲函数sinh, cosh, tanh 都是超越函数. 微分代数的某些研究人员研究不定积分如何产生与某类“标准”函数代数独立的函数, 例如将三角函数与多项式的合成取不定积分.编辑本段量纲分析 在量纲分析里，超越函数是很非常有用的，因为它们只在其引数无量纲时才有意义。因此，超越函数可以是量纲错误的显著来源。例如，log(10 m) 是个毫无意义的表示式. log(10 m)不同于 log(5 m / 3 m) 和 log(3) m, 后两者是有实际意义的. log(10 利用对数恒等式, 将m)展开为log(10) + log(m)能够更清晰的说明该问题: 一个有量纲的非代数运算会产生毫无意义的结果.

代数函数是由多项式构建并与+*-/符号组合的函数. 超越函数不是由多项式（如X的Pie加1的幂）建立的. 这个函数是超越的，因为幂pi不是整数，因此它不可能是多项式.

根据不同的例子可以加深对定义的理解。定义域：就是函数中使得自变量有意义或者人工规定的自变量的取值范围,如y=√x定义域为x>=0,因为x=0,x不等于0,当然还有这些简单形式的复合情况。值域：函数y=f(x)的取值范围就是值域， 根据函数的类型或定义域不同，求值域的方法也不同。 例如y=sinx的值域就是[-1，1]。上域：设f : A -----> B为一个映射，A叫做这个映射的定义域(domain)，B叫做这个映射的陪域(codomain)（或称上域、到达域），f(A)={ f(a) | a属于A} 叫做这个映射的象域（如果B中的元素有值的概念（例如B是实数集）的话，也称为值域）。显然有f(A)是B的子集。

u上的。在一个上字作文章就够了吧，恒等必定是同余的。

应该是一样的。因为由a^2=a,用归纳法可证a^n=a*a^(n-1)=a*a=a，所以等幂元一定是幂等元，反之若a^n=a对一切N成立，则对n=2也成立，所以幂等元一定是等幂元。

有。幂等律是1993年公布的数学名词，出自《数学名词》第一版，幂集代数（algebraofpowersets）一种特殊的布尔代数，有幂等律。