线性代数问题：为什么矩阵相似，对角线上的元素之和相

齐次：AX=0，CX=0由二者具有相同的解,故两个齐次方程同解的条件二者的系数矩阵(A)与(C)化为的阶梯形矩阵完全相同.非齐次：AX=BCX=D由二者具有相同的解,故两个非齐次方程同解的条件二者的增广矩阵(AIB)与(CID)化为的阶梯形矩阵完全相同.

判断两个矩阵是否相似的方法： （1）判断特征值是否相等。（2）判断行列式是否相等。（3）判断迹是否相等。（4）判断秩是否相等。两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。扩展资料：相似矩阵的性质1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。7、若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。8、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

矩阵相乘需要前面矩阵的行数与后面矩阵的列数相同方可相乘。第一步先将前面矩阵的每一行分别与后面矩阵的列相乘作为结果矩阵的行列。第二步算出结果即可。第一个的列数等于第二个的行数，A(3,4) 。B(4,2) 。C=AB，C(3,2)。扩展资料：矩阵相乘最重要的方法是一般矩阵乘积。只有在第一个矩阵的列数（column）和第二个矩阵的行数（row）相同时才有意义 。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。由于它把许多数据紧凑的集中到了一起，所以有时候可以简便地表示一些复杂的模型。

1、矩阵a和b相似则特征多项式相同，特征值相同，行列式相等，迹相等，秩相等。p^(-1)AP=B, 则称A相似B；合同， XT AX=B，则称A，B合同。单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为n。2、相似的矩阵必有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量。如果A相似B,则存在非奇异矩阵是P，有P^(-1)*A*P＝B。det(xI-B)=det(xI-P^(-1)*A*P)=det(P^(-1))=det(xI-A*)det*P)=det(xI-A)。即B的特征多项式与A的特征多项式相同，故有相同的特征值。如果A的特征向量是a的，则B的特征向量就是Pa，设x是相应的特征向量，故Ax＝ax，于是BPx=PAP^(-1)Pa=PAx=aPx。相似矩阵具有相同特征值，但特征值相同未必相似，也就是说特征值相同只是矩阵相似的必要条件，而不充分。比如A，B是两个4阶矩阵，并且有相同的4重特征值，但A有1阶和3阶的两个Jordan块，而B有两个2阶Jordan块，所以A，B不相似。判断两个矩阵是否相似要依据Jordan是否相同或初等因子是否相同或特征值的代数重数与几何重数是否相同。

1秩相等 2特征值一致，并不能保证特征子空间的几何重数一致。

这个和那个的区别是很大的，如果你不知道的话，你可以去百度一下，问问你的朋友或者什么之类的也可以的。

两个矩阵相似可以得出什么？若两个矩阵相似，则可以根据相似矩阵的公式去计算出它的值。

||AB||_F <= ||A||_F ||B||_F证明很容易，只要把A按行分块，把B按列分块就行了，注意Frobenius范数对2-范数也是相容的。相容性是对于诱导范数性质的推广或者说弱化，引进的主要目的还是为了方便不等式的缩放，给出简单的误差上界，或者说就是为了对变量进行一定程度的分离。酉不变范数定义：如果范数║·║满足║A║=║UAV║对任何矩阵A以及酉矩阵U,V成立，那么这个范数称为酉不变范数。　容易验证，2-范数和F-范数是酉不变范数。因为酉变换不改变矩阵的奇异值，所以由奇异值得到的范数是酉不变的，比如2-范数是最大奇异值，F-范数是所有奇异值组成的向量的2-范数。　反过来可以证明，所有的酉不变范数都和奇异值有密切联系：　定理(Von Neumann定理)：在酉不变范数和对称度规函数(symmetric gauge function)之间存在一一对应关系。　也就是说任何酉不变范数事实上就是所有奇异值的一个对称度规函数。

如何判断一个矩阵的相似矩阵？ 【分析】 A是对角矩阵，求A的相似矩阵就是问，选项ABCD之中哪一个可以相似对角阵A。 一个矩阵相似对角阵的充分必要条件是：ni重特征值λ的特征向量有ni个。即r(λiE-A)=n-ni 【解答】特征值1为2重特征值，其对于的矩阵（E-A）的秩，r(E-A)=3-2=1 选项A，r(E-A)=2 选项B，r(E-A)=2 选项C，r(E-A)=1 选项D，r(E-A)=2 选C 【评注】 一般步骤： 1、若特征值不同，则一定不相似。 2、若特征值相同，有无重特征值。无则相似 3、有重特征值λi，是否r(λiE-A)=n-ni，是则相似。 newmanhero 2015年7月14日22:20:13 希望对你有所帮助，望采纳。 线性代数：如何判断矩阵可以相似对角化？ 如何判断两矩阵相似？ 10分 矩阵的相似： 设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)*A*P=B成立,则称矩阵A与B相似,记为A~B。 所以只要把两矩阵特征值分别求出来 若相等则相似 好像还有其他方法 我忘了 书本上有 至于判断对角化 将n阶矩阵化成阶梯形矩阵 然后看该对角化矩阵是否有n个线性无关的特征向量 也就是秩是否和n相等 若相等则可对角话 【请问】怎样判断一个矩阵是否可以相似对角化 详见: 如何判断两个矩阵相似 根据定义 A = C^-1 B C ，则A, B 相似 相同的特征值 相同的特征多项式 对应的lambda矩阵相抵 如何判断矩阵和对角矩阵是否相似 一般来讲就是判断每个特征值的代数重数和几何重数是否相等 这种问题需要把相关的概念完全搞清楚，所以你这样问也没啥用，应该先去好好看教材上的相关内容，再找具体的例子体会

若两个矩阵都可对角化, 且特征值相同则两个矩阵相似

矩阵相似则特征多项式相同, 进而有 特征值相同, 行列式相同, 并且秩相等这是定理

方阵A和B相似的充要条件是λI-A和λI-B作为λ-矩阵相抵. 由此还可以推出相似变换一系列的全系不变量,比如行列式因子,不变因子,初等因子,Frobenius标准型,Jordan标准型. 这种东西普通的教材上都有,不要凭空问,找本教材好好学一遍才是正道. 另外,讨论相似的时候不要过于依赖特征向量,除非有完全的特征向量系(也就是说所有特征向量可以张满全空间,或者说可对角化),否则特征向量总是要丢失一部分信息的. 至于你的问题,显然都是否定的. 1.即使是同一个矩阵,即使可对角化,"基础解系"也不可能是唯一的,因为基础解系是解空间的一组基,基的选取怎么可能唯一. 最多也就说相似的矩阵在计代数重数和几何重数的意义下具有相同的特征值. 2.最简单的反例 A= 0 1 0 0 和 B= 0 2 0 0 你提到的这些东西都相同又如何,也不可能唯一确定矩阵. 只有可对角化的矩阵才能通过特征值和相应的特征向量来还原,还是那句话,特征向量不够多就会丢失信息.

性质相似变换是矩阵之间的一种等价关系，也就是说满足：1、反身性：任意矩阵都与其自身相似。2、对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。3、传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。矩阵间的相似关系与所在的域无关：设K是L的一个子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L上相似。这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个置换矩阵，那么就称 A和B“置换相似”。 如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称 A和B“酉相似”。谱定理证明了每个正规矩阵都酉相似于某个对角矩阵。扩展资料：相似变换下的不变性质两个相似的矩阵有许多相同的性质：1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子

阵A与矩阵B相似 等价于 存在n阶可逆矩阵P，使得P^(-1)*A*P=B成立区别于合同矩阵。

设A，B和C是任意同阶方阵，则有： A~ A ；若A~ B，则 B~ A；若A~ B，B~ C，则A~ C；若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|(5) 若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。 若A~ B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。扩展资料：n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：1、求出全部的特征值；2、对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；3、上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。矩阵的概念最早在1922年见于中文。1922年，程廷熙在一篇介绍文章中将矩阵译为“纵横阵”。1925年，科学名词审查会算学名词审查组在《科学》第十卷第四期刊登的审定名词表中，矩阵被翻译为“矩阵式”，方块矩阵翻译为“方阵式”，而各类矩阵如“正交矩阵”、“伴随矩阵”中的“矩阵”则被翻译为“方阵”。1935年，中国数学会审查后，中华民国教育部审定的《数学名词》（并“通令全国各院校一律遵用，以昭划一”）中，“矩阵”作为译名首次出现。1938年，曹惠群在接受科学名词审查会委托就数学名词加以校订的《算学名词汇编》中，认为应当的译名是“长方阵”。中华人民共和国成立后编订的《数学名词》中，则将译名定为“（矩）阵”。1993年，中国自然科学名词审定委员会公布的《数学名词》中，“矩阵”被定为正式译名，并沿用至今。矩阵正式作为数学中的研究对象出现，则是在行列式的研究发展起来后。逻辑上，矩阵的概念先于行列式，但在实际的历史上则恰好相反。日本数学家关孝和（1683年）与微积分的发现者之一戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（1693年）近乎同时地独立建立了行列式论。其后行列式作为解线性方程组的工具逐步发展。1750年，加布里尔·克拉默发现了克莱姆法则。参考资料来源：百度百科——相似矩阵

||AB||_F <= ||A||_F ||B||_F证明很容易，只要把A按行分块，把B按列分块就行了，注意Frobenius范数对2-范数也是相容的。

矩阵计算公式如下：1、矩阵的计算，首先确认矩阵是否可以相乘。只有第一个矩阵的列的个数等于第二个矩阵的行的个数，这样的两个矩阵才能相乘。再计算结果矩阵的行列数。画一个空白的矩阵，来代表矩阵乘法的结果。矩阵A和矩阵B相乘得到的矩阵，与矩阵A有相同的行数，与矩阵B有相同的列数。2、矩阵指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵，由19世纪英国数学家凯利首先提出。它是高等代数学中的常见工具，其运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合，可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。3、矩阵的乘法规律：不满足交换律A×B≠B×A。满足结合律，A×B×C=A×B×C。满足分配率，A×B+C=A×B+A×C。单位矩阵：任何矩阵乘以单位矩阵都等于它本身，且此处复合交换律，及任意矩阵乘以单位矩阵＝单位矩阵乘以此矩阵，满足：A×I=I×A=A。

这是两个完全不同的概念。实对称矩阵是指某个矩阵A的元素都是实数，且满足AT=A，是对单个矩阵而言。而相似矩阵是指两个矩阵之间的关系。若矩阵A，B，存在可逆矩阵P，使得B=P^-1AP则称A与B为相似矩阵。

j

rank(A)=rank(A b),相容；rank(A)不等于rank(A b),不相容

相似的充要条件是：存在可逆矩阵P使得P^（-1）AP=B，判断是否相似只有这一个充要条件。 但选择题中判断矩阵相似，一般不用充要条件，而是找必要条件【如r（A）=r（B）；迹相等；｜A｜=｜B｜；特征值一样】不成立，当这些条件不成立时，矩阵就不相似，可以根据这一点排除错误选项。 总的来说，矩阵的必要条件并不能证明矩阵A与B相似，但是如果必要条件不成立，就可以证明矩阵A与B不相似

1、它们的秩相同；2、两个矩阵可以相互通过初等变换得到；3、A和B为同型矩阵；4、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性）；5、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价（传递性）；6、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)；7、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解。n×n的方块矩阵A的一个特征值和对应特征向量是满足 的标量以及非零向量 。其中v为特征向量， 为特征值。A的所有特征值的全体，叫做A的谱 [15] ，记为 。矩阵的特征值和特征向量可以揭示线性变换的深层特性。扩展资料：在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等 。即 例如： 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 ，矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。假设M是一个m×n阶矩阵，其中的元素全部属于域K，也就是实数域或复数域。如此则存在一个分解使得其中U是m×m阶酉矩阵；Σ是m×n阶实数对角矩阵；而V*，即V的共轭转置，是n×n阶酉矩阵。这样的分解就称作M的奇异值分解 。Σ对角线上的元素Σi,i即为M的奇异值。常见的做法是将奇异值由大而小排列。如此Σ便能由M唯一确定了。

2×2矩阵的乘法要计算矩阵乘法，请将第一个矩阵行元素（或数字）乘以第二个矩阵列元素，然后计算其总和。矩阵乘法的步骤很简单，需要加法和乘法，最后的结果必须给出正确的提示。验证矩阵是否可乘法。仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，才能将两个矩阵相乘。显示的两个矩阵可以相乘。这是因为第一个矩阵A包含三列，第二个矩阵B包含三行。计算两个结果矩阵的行数和行数。绘制表示矩阵乘法结果的空矩阵。矩阵A和矩阵B相乘的矩阵，行数与矩阵A相同，列数与矩阵B相同，首先可以画出白色网格来表示结果矩阵的行数和行数。扩展资料：1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。参考资料来源：百度百科-矩阵乘法

矩阵a和b相似则特征多项式相同，特征值相同，行列式相等，迹相等，秩相等。p^(-1)AP=B, 则称A相似B；合同， XT AX=B，则称A，B合同。简而言之，相似就是两个矩阵经过初等变换能从A变到B，此时有相同的秩，特征值；合同就是两个矩阵有相同的正负惯性指数来进行判断。扩展资料：单位矩阵的性质：根据矩阵乘法的定义，单位矩阵的重要性质为：单位矩阵的特征值皆为1，任何向量都是单位矩阵的特征向量。因为特征值之积等于行列式，所以单位矩阵的行列式为1。因为特征值之和等于迹数，单位矩阵的迹为n。

矩阵相乘的时间复杂度: 假设矩阵A是n*m，矩阵B是m*p，矩阵A和B相乘得到矩阵C是n*p 矩阵C中有n*p个元素，计算每个元素需要m次乘法运算 因此总共的时间复杂度为m*n*p 这是最好理解的了矩阵相dao乘最重要的方法当然是du一般矩阵乘积zhi了，它只有在第dao一个矩版阵的行数和第二个矩权阵的列数相同时才有定义。一般单指矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则他们的乘积AB(有时记做A · B)会是一个m×p矩阵。而AB中的元素是这样得来的:设AB中的AB(i,j)=A第i行乘以B的第j列,<就是A第i行的每个元素分别对应乘以B的第j列的每个元素再全部相加所得到的和就是AB中的AB(i,j)了>

我们说A和B相抵，就是A能够经有限次的初等行 列变换变成矩阵B 以下三个命题等价： 1）B与A相抵； 2) r（A）= r（B）; 3）存在满秩方阵PQ使得B=PAQ;

因为A为n阶可逆实矩阵，构造非退化的线性变换Y=AX则对任意的X≠0,必有Y≠0,令Y=(y1,y2,...,yn)T则XT(ATA)X=(XTAT)(AX)=(AX)T(AX)=YTY=y1^2+y2^2+...+yn^2>0由正定矩阵的定义即知ATA是正定矩阵。正定矩阵是一种实对称矩阵。正定二次型f(x1，x2，…，xn)=X′AX的矩阵A(或A的转置)称为正定矩阵。在线性代数里，正定矩阵(positivedefinitematrix)有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式（复域中则对应埃尔米特正定双线性形式）。正定矩阵有以下性质：（1）正定矩阵的行列式恒为正；（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵；（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

这两个矩形相乘怎么算这个你得去问你的数学老师，这个我也不太会了吧，你问你的数学老师，他会帮你找出答案的。

10的n-1次方（这是个数）乘以后面的矩阵，得到的就是个新的矩阵啊，符合要求啊。任何常数乘以矩阵，得到的新矩阵就是原矩阵所有元素都乘以该常数。

1、合同即特征值正负0个数分别相同；2、相似，特征值相同且都可以对角化或者说特征值相同且都有n个线性无关特征向量；3、等价，秩相等；合同和相似是特殊的等价关系。等价一般是指可以通过初等变换变成另一个，本质上只需要两个矩阵秩相同就可以了。是个很宽泛的条件，应用不大。A相似于B，是存在非异矩阵P，使得PAP^-1=B,这个是线性代数或者高等代数里面最重要的关系，高等代数一半左右都在研究这个。相似可以推出等价。合同和上面看起太有点像，是存在非异矩阵P，使得PAP‘=B，注意，这里P"是P的转置，而非逆阵。这一般应用在二次型理论上面。合同也可以推出等价。合同的条件是两个矩阵惯性系数一样。就是说正特征，负特征数目一样。如果矩阵是正规矩阵，那么相似可以推出合同。ps，研究合同时往往要求矩阵是对称阵。对称阵都是正规阵。扩展资料：合同关系是一个等价关系，也就是说满足：1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；4、合同矩阵的秩相同。矩阵合同的主要判别法：设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵，则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同。设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵，则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。设A，B是数域P上两个n*n矩阵：(1) A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵  与  等价。(2) A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子。(3) 两个同级复数矩阵相似的充分必要条件是它们有相同的初等因子。参考资料来源：百度百科——合同矩阵参考资料来源：百度百科——矩阵相似参考资料来源：百度百科——等价矩阵

设A,B为数域F上两个n阶矩阵，如果可以找到数域F上的n阶可逆矩阵P，使得B=P^(－1)AP，则称A相似于B，记为A∽B。相似关系是矩阵之间的一种等价关系。线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反之，如果矩阵相似，那么它们可以看作是同一个线性变换在两组不同基下对应的矩阵。相似矩阵具有相同的特征值、迹、行列式、特征多项式和极小多项式等。任何矩阵可以相似于Jordan标准型，特别地，实对阵矩阵总可以相似于某个实对角矩阵。

区别是矩阵左乘之后得到的结果是向量，而矩阵右乘得到的是矩阵。比如说，用矩阵a左乘矩阵b得到的是矩阵ab，用矩阵c右乘矩阵b得到的是矩阵bc。在计算过程当中需要注意运算方向和运算顺序，找准顺序后再进行计算。左乘：设A为m*p的矩阵，B为p*n的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，称为A左乘以B。右乘：设A为m*p的矩阵，B为p*n的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，称为B右乘以A。初等矩阵应用：（1）在解线性方程组中的应用：初等行变换不影响线性方程组的解，也可用于高斯消元法，用于逐渐将系数矩阵化为标准形。初等行变换不改变矩阵的核（故不改变解集），但改变了矩阵的像。反过来，初等列变换没有改变像却改变了核。（2）用于求解一个矩阵的逆矩阵：有的时候，当矩阵的阶数比较高的时候，使用其行列式的值和伴随矩阵求解其逆矩阵会产生较大的计算量。这时，通常使用将原矩阵和相同行数（也等于列数）的单位矩阵并排，再使用初等变换的方法将这个并排矩阵的左边化为单位矩阵，这时，右边的矩阵即为原矩阵的逆矩阵。

1 矩阵的相似 1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件 3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】） 矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似 定义1.1：设A,B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得BX1AX，就说A相似于B记作A∽B 1.2 相似的性质 （1）反身性A∽A：；这是因为AE1AE. （2）对称性：如果A∽B，那么B∽A；如果A∽B,那么有X，使BX1AX，令YX1，就有AXBX1Y1BY，所以B∽A。 （3）传递性：如果A∽B，B∽C，那么A∽C。已知有X,Y使BX1AX， CY1BY。令ZXY，就有CY1X1AXYZ1AZ，因此，A∽C。 1.3 相似矩阵的性质 若A,BCnn，A∽B，则： （1）r(A)r(B)； Q是nn可逆矩阵，引理：A是一个sn矩阵，如果P是一个ss可逆矩阵，那么秩（A） =秩（PA）=秩（AQ） 证明：设A,B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得BC1AC,由引理2可知，秩 1 （B）=秩（BCAC）=秩（AC）=秩（A） （2）设A相似于B，f(x)是任意多项式，则f(A)相似于f(B)，即 P1APBP1f(A)Pf(B) 证明：设f(x)anxan1x nn n1  a1xa0 a1Aa0E a1Ba0E 于是，f(A)anAnan1An1 f(B)anBan1B n1 kk 由于A相似于B，则A相似与B，（k为任意正整数），即存在可逆矩阵X,使得 BkX1AkX， 11 anAnan1An1因此 XfAXX a1Aa0EX anX1AnXan1X1An1X anBnan1Bn1 f(B) 所以f(A)相似于f(B)。 a1X1AXa0E a1Ba0E （3）相似矩阵有相同的行列式，即AB,trAtrB； 证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得BC1AC，两边取行列式 11 ACAC1CA，从而相似矩阵有相同的行列式。 得：BCACC 又由性质（2）知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的特征值1,2, A的迹trA12 矩阵有相同的迹 ,n，而 n，B的迹trB12n，从而trAtrB，即相似 （4）A与B有相同的Jordan标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。 证明：设A与B相似，由性质2可知AB，若A可逆，即A0，从而B0，故B 可逆；若A不可逆，即A=0，从而B=0,故B不可逆。 （6）若 1 证明：A与B相似，即存在可逆矩阵P,使得BPAP,C与D相似，即存在可逆矩阵Q, A与B相似，B与D相似，则 A0B0 与相似。 0C0D B0P10A0P0 使得DQCQ，由于= 10D0C0Q0Q 1 P0A0P0 = 0Q0C0Q 1 P0A0B0 显然与相似。 是可逆矩阵。由此可见，则 0C0D0Q 定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。 证明：先证前一部分。设线性空间V中线性变换A 在两组基： 1,2,,n （1） 1,2,.,n（2） 下的矩阵分别为A和B,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X，则： (A1,A2,(A1,A2,(1,2, 于 是 ,An)(1,2,.,n)A， ,An)(1,2, ,n)B ,n)(1,2,.,n)X (A1,A2,,An)A(1,2,,n)A[(1,2,.,n)X] (A1,A2,,An)X (1,2, 1 ,.n)AX (1,2,.,n)X1AX 由此可得 BXAX 现在证后一部分。设n级矩阵A和B相似，那么它们可以 看作是n维线性空间V中一个线性变换 在基1,2,.的矩阵。因为BX1AX，令： ,n下 (1,2,,n)(1,2,,.n)X,显然，1,2,n 也是一组基，A在这组基下的 矩阵 就是B。 1 例一：证明 1,2, 2 i1与n  i2   相似，其中 i,i, 12 in ,in 是 ,n的一个排列。 证明：设： A(1,2,n)(1,2, 1 n) 2 n ，则 A(1, 2 n,,)1 i1 (n2  , i2 , 1，,.因为)in 2  和n i1  i2  是线性变换A在不同基下的矩阵，故它们相似。 in 定理2.1：设A,B是数域P上的两个n级矩阵，A与B相似的充要条件是它们的特征矩阵 EA和EB等价。 bcacab  例一：设a,b,c是实数，Acab，Babc,证明A与B相似。 abcbca 证明： aabcbbcca  EAcabcabbca aabcbcabcbca  abcEB bca 故EA和EB等价，从而A∽B 3，矩阵相似的应用 3.1相似矩阵与特征矩阵 定义3.1.1：把矩阵A（或线性变换A ）的每个次数大于零的不变因子分解成互相同的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换A ）的初等因子。 定理3.1.1：数域F上的方阵A与B相似的充要条件是EA和EB有相同的列式因子。 定理3.1.2：两个同级复数矩阵相似充要条件是它们有相同的初等因子。 例1：证明：任何方阵A与其转置方阵A 相似。 证明：因为EA与EA 互为转置矩阵，它们对应k阶子式互为转置行列式，故相等。从而两者有完全相同的各阶行列式因子，于是两者有完全相同的不变因子。故EA与EA 等价，从而A与A 相似。 例2：证明：相似方阵有相同的最小的多项式。 证法一：设A与B相似，即可存在可逆矩阵Q，使BQ1AQ，又设A与B的最小 多项式分别为g1,g2，于是：g1Bg2Q1AQQ1g1AQ0,但是， B的最小多项式整除任何以B为根的多项式，故g1g2 证法二：设A与B相似，则EA和EB等价，从而有完全相同的不变因子，但最后一个不变因子就是最小多项式，故A与B有相同的最小的多项式。 4 相似矩阵与矩阵的对角化 矩阵的对角化问题的解法及其应用都有其明显特色，因而线性代数中通常被单独处理，尽管矩阵相似是完全独立的另一概念，但是却与对角化问题有重要的关联。 定义3.1.2：数域F上方阵A，如果与一个F上的对角方阵相似，则称A在F上可对角化。 定理3.2.3：复数矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A的初等因子全是一次的。 定理3.2.4：复数矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是A的不变因子都没有重根。 定理3.2.5：复数域上方阵A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是A的最小多项式没有重根。 定理3.2.6：设A是n阶方阵，则以下条件是等价的：（1）A相似于对角矩阵；（2）属于A的不同特征值的特征向量线性无关；（3）A有n个线性无关的特征向量；（4）A的每一特征值的代数重数都等于它的几何重数。 例4：设复矩阵A的最小多项式f2k1，证明：A与对角阵相似。 证明：f,f2k1,2k2k11 ，即A的最小多项式无重根，所以A的初等因子都是一次的，所以A相似于对角阵。 例5：设A为n阶方阵，fE 是A的特征多项式，并令： G f f,f，证明：A与一个对角矩阵相似的充分必要条件是 gA0。 证明：设fEA1 n1 2 n2 r n ，其中1,2,...r 互不相等，且n1n2 nrn，则：g12r。如果A 与一个对角矩阵相似，则EA的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是1,2, ,r ，它们的乘积就是EA最后一个不变因子 但dn 就 是EArg。 亦即dn12dn， 的 最 小 多 项 式 ， 所 以gAdnA0。反之，若gA0，则A的最小多项式dn整除g，因而dn没有重根，故A与对角矩阵相似。 131  例7：设A210 ，试证明： 311 （1）A在复数域上可对角化；（2）A在有理数域上不可对角化。 证明：⑴fEA332128 ,f32612, 用辗转相除法可证得f,f1，故在复数域上A相似于对角矩阵。 （2）若A在有理数域上可对角化，那么A的特征值必须都是有理数，从而f有有理根，而f的首项系数为1，从而f的有理根必为整数根。由于f的常数项为-8，如果f有整数根必为1,2,4,8，用综合除法验算它们都不是f的根，因此f无有理根，从而得证A在有理数域上不可对角化。 注：两个矩阵是否相似同数域的大小无关，但是，一个矩阵是否可对角化 01 （即与一个对角矩阵相似）却同数域的大小有关，例如，二阶方阵A在 10实数域上不可对角化，但在复数域上却可以对角化，因为此时它与对角矩阵 i0111B ，即有PAPB。  相似，事实上，取P ii0i

首先要能相似对角化

将这两个矩阵看成相加不就得了，只是对应的加号改成‘U"，取两个相同对应位置中最大的数

充要条件：1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。任意两个3阶矩阵A，B相似的方法：1、先求特征多项式,f(λ)=|λE-A|,g(λ)=|λE-B|。2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A,B不相似。3。若f(λ)=g(λ),且有3个不同根,则矩阵A,B相似。4、若f(λ)=g(λ),且有2个不同根,即f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0, 则矩阵A,B相似。两个矩阵的特征值相等的时候不一定相似。但当这两个矩阵是实对称矩阵时， 有相同的特征值必相似。比如当矩阵A与B的特征值相同，A可对角化，但B不可以对角化时，A和B就不相似。

证明两个矩阵相似的充要条件：1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。任意两个3阶矩阵A，B相似的方法。1、先求特征多项式,f(λ)=|λE-A|，g(λ)=|λE-B|。2、若f(λ)≠g(λ)则矩阵A,B不相似。3。若f(λ)=g(λ),且有3个不同根,则矩阵A，B相似。4、若f(λ)=g(λ),且有2个不同根，即。f(λ)=g(λ)=(λ-a)^2(λ-b)，(aE-A)(bE-A)=(aE-B)(bE-B)=0, 则矩阵A,B相似。相关如下相似矩阵定理：定理1 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现：（1） 求出全部的特征值；（2）对每一个特征值,设其重数为k,则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量；（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。

判断两个矩阵是否相似的方法： （1）判断特征值是否相等。（2）判断行列式是否相等。（3）判断迹是否相等。（4）判断秩是否相等。两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。扩展资料：相似矩阵的性质1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。7、若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。8、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。参考资料来源：百度百科-相似矩阵

判断两个矩阵是否相似的方法： （1）判断特征值是否相等。（2）判断行列式是否相等。（3）判断迹是否相等。（4）判断秩是否相等。两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。扩展资料：相似矩阵的性质1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。7、若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。8、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。参考资料来源：百度百科-相似矩阵

怎样判断两个矩阵是否相似集在线？ 如果他俩在线上，如果路途是一边儿长的就是相等的。

　　若A~B，则有: 　　1、A与B有相同的特征值、秩、行列式。 　　2、|A|=|B| 　　3、tr(A)=tr(B) 　　4、r(A)=r(B) 　　5、A^k~B^k 扩展资料 　　6、A与B同时可逆或同时不可逆，且可逆时A^-1~B^-1。 　　7、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的"逆矩阵也相似。 　　8、对称性:有A~B则有B~A 　　9、若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。

充要条件：特征值相同，且对应的特征多项式｜λE-A｜的秩相同。（当然，特征多项式不是矩阵，没有秩的概念，正确说法是特征方程的k重根有k个线性无关的解向量，即可以看作特征矩阵“秩”相同（等价））

矩阵相似与矩阵合同具体的不同点在于：矩阵相似的例子中，P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似。2. 矩阵合同的例子中，CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。3. 总结：矩阵的相似和矩阵的合同都是由线性空间中坐标系的转换引起的。我们在线性空间中定义矩阵和向量的乘法，并将矩阵理解成线性空间中“运动”的施加，变换坐标系之后，同一个“运动”在不同坐标系下是相似的关系。我们在线性空间中定义向量的内积（或者说双线性型），同一个双线性型运算在不同坐标系下相差合同矩阵。之所以要换坐标系，就是为了在最简单的坐标系下看清问题的本质。扩展资料一.矩阵相似：1.概念：定义1设A,B都是n阶矩阵, 若存在 可逆矩阵P,使P^(-1)AP=B,则称B是A的相似矩阵, 并称矩阵A与B 相似。记为A~B.对进行运算称为对进行相似变换, 称可逆矩阵为相似变换矩阵.矩阵的相似关系是一种等价关系，满足：(1) 反身性: 对任意阶矩阵,有相似;(2) 对称性: 若相似, 则与相似;(3) 传递性: 若与相似, 则与相似。2.性质：定理:若n阶矩阵A与B相似,则A与B的特征多项式相同,从 A与B的特征值亦相同.相似矩阵的其它性质:(1) 相 矩阵的秩相等;(2) 相似矩阵的行列式相等;(3) 相似矩阵具有相同的可逆性, 当它们可逆时,则它们的逆矩阵也相似。二. 合同矩阵 ：1.定义:同矩阵：设A,B是两个n阶方阵，若存在可逆矩阵C，使得则称 方阵A与B合同，记作。在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。一般在线代问题中，研究合同矩阵的场景是在二次型中二次型用的矩阵是 实对称矩阵。两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。由这个条件可以推知，合同矩阵等秩。2.性质：合同关系是一个等价关系，就是说满足：1、 反身性：任意矩阵都与其自身合同；2、 对称性： A合同 B，则可以推出 B合同于 A；3、 传递性： A合同于B，B合同于C，则可以推出 A合同 C；4、合同矩阵的 秩相同。3.矩阵合同的主要判别法：（1）B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在 复数域上合同 等价于A与B的秩相同.（2）B均为实数域上的 n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负的个数对应相等）。参考资料矩阵相似_百度百科合同矩阵_百度百科

设A，B和C是任意同阶方阵，则bai有： A~ A；若A~ B，则 B~ A；若A~ B，B~ C，则A~ C；若A~ B，则r(A)=r(B)，|A|=|B|(5) 若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且B~ A。 若A~ B，则A与B有相同的特征方程，有相同的特征值。 扩展资料 　　若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。 　　相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的`逆矩阵也相似。 　　相似矩阵有： 　　相同的秩 　　相同的迹 　　相同的特征值 　　相同的Jondan标准型 　　相同的特征多项式 　　相同的最小多项式

两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似； 在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。 扩展资料 　　相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。 　　n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量。 　　注： 定理的证明过程实际上已经给出了把方阵对角化的方法。 　　若矩阵可对角化，则可按下列步骤来实现： 　　（1） 求出全部的特征值； 　　（2）对每一个特征值，设其重数为k，则对应齐次方程组的基础解系由k个向量构成，即为对应的线性无关的特征向量； 　　（3）上面求出的特征向量恰好为矩阵的各个线性无关的特征向量。 　　矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。 在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。 矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的`组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。对一些应用广泛而形式特殊的矩阵，例如稀疏矩阵和准对角矩阵，有特定的快速运算算法。关于矩阵相关理论的发展和应用，请参考《矩阵理论》。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。

矩阵相似的充要条件：1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。矩阵等式：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

1. 是的，因为循序可交换2. 否。反例：要把矩阵的基向量调换位置，他们的征值及重数，阶数，特征向量，解空间基础解析 都相同。

设A，B和C是任意同阶方阵，则有：[1]（1）反身性：A~ A（2）对称性：若A~ B，则B~ A（3）传递性：若A~B，B~ C，则A~ C（4）若A~ B，则 r(A)=r(B)，|A|=|B|，tr（A）=tr（B）。（5）若A~ B，且A可逆，则B也可逆，且 B~ A。（6）若A~ B，则A与B• 两者的秩相等；• 两者的行列式值相等；• 两者的迹数相等；• 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同；• 两者拥有同样的特征多项式；• 两者拥有同样的初等因子。（7）若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。（8）相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。

再AB可以对角化的情况下，一定不同，如果AB（A不等于B）都相似与同一对角阵C，假如他们的特征向量相同的话，则对角化所用的可逆矩阵P必然相同，即P^(-1)AP=c=P^(-1)Bp,左乘P右乘P^(-1)。则A=B矛盾故两不同矩阵相似，其特征向量不等，不能对角化的时候，一般情况下也是不同的，但不是一定不同。总之，通过相似是不能判定特征值相同的这个考试一般就作为很常识的判断，记住就行查看原帖>>

判断两个矩阵是否相似的方法： （1）判断特征值是否相等。（2）判断行列式是否相等。（3）判断迹是否相等。（4）判断秩是否相等。两个矩阵相似充要条件是：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。两个矩阵若相似于同一对角矩阵，这两个矩阵相似。扩展资料：相似矩阵的性质1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。7、若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。8、相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。参考资料来源：百度百科-相似矩阵