代数

代数式求值的方法比较多，它是数学计算能力的体现，主要介绍代数式求值过程中常见的六种方法。在解题时，要看清条件，选择最优的解题的方法，不仅能快速解题，还不易出错。方法选对事半功倍，方法选错事倍功半。类型一：直接代入求值例题1：当x=5时，代数式x-3的值是多少？分析：当多项式不需要化简时，直接代入计算即可。但是，一定要细心，不能出现计算上的错误。本题直接将x=5代入计算可得：5-3=2.类型二：化简后代入求值例题2：求代数式的值：2a+（-2a+5）-（-3a+2），其中a=1.分析：根据同类项的概念，含有相同的字母，并且相同字母的指数相同，是同类项的两项可以合并，否则不能合并，合并同类项的法则是系数相加作为系数，字母和字母的指数不变，然后代入a的值即可求出结果。类型三：乘负系数，整体化简后代入求值比较已知与所求代数式中同一个字母的系数，确定其变化的规律，应用已知多项式整体去表示所求多项式是解题的关键。类型四：乘正系数，整体化简后代入求值与类型三的解题方法类似，系数是正的系数，不需要变号。例题4：若a+2b=3，则代数式2a+4b+10的值是多少？分析：原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值。类型五：化简后整体代入求值例题5：已知3a-7b=-3，求代数式2（2a+b-1）-5（4b-a）-3b的值。分析：原式去括号合并整理后，把已知等式代入计算即可求出值。类型六：先求多项式，再代入求值例题6：老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下：（1）求所捂的二次三项式；（2）若请给x选择一个你喜欢的数代入，求所捂二次三项式的值。分析：利用被减数=减数+差求得所求多项式是解题的关键。当然，此题也可以利用加数+加数=和的方式求解.做到能理解，会计算。

求代数式的值的方法有哪两种 求代数式值的方法有解：常用的一般有两种1、先化简在求值2、带入求值答

代数式求值的基本方法如下：方法一：添加括号后整体代入。方法二：化简后整体代入三。方法三：条件变化后整体代入。方法四：构造后整体代入五。方法五：整体加减求值。代数式相关知识是中考必考内容，整体难度不大，但是一些细节问题还是需要引起重视。1、书写代数式要规范：①系数写在字母前面；②带分数写成假分数的形式；③除号用分数线“——”代替；④两字母相乘、数字与字母相乘、字母与括号相乘以及括号与括号相乘时，乘号可以省略不写。2、列代数式要找关系：列代数式关键是要找出问题中的数量关系及公式，如打折销售中的售价=标价×折扣，路程=速度×时间等；其次是要抓住一些关键词语，如：比、是、增长、下降等。3、代数式求值的两种形式：（1）直接代入法，即把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值。（2）整体代入法，具体操作步骤为：①观察已知条件和所求代数式的关系；②将所求代数式变形后与已知代数式产生关系，一般会用到提公因式、平方差公式、完全平方公式；③把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值。

代数式化简与求值1．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式里的运算符号，计算出的结果就是代数的值。2．求代数式的值的一般步骤（1）代入，将指定的字母数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字都不能改变，对原来省略的乘号应还原。（2）计算，按照代数式指明的运算计算出结果，运算时，应分清运算种类及运算顺序，按照先乘除，后加减，有括号的先算括号的顺序进行。3．求代数式的值的一般方法：（1）直接带入求解（2）消元代入法：如果代数式中有两个或两个以上的不同字母，且条件中没有给出这几个字母各自确定的值，直接代入计算就会有一定的困难,但由于条件中已给出这几个字母的和差倍关系，那么，可设其中一个字母来表示其它字母，然后代入计算，这种求代数式的值的方法,叫做消元代入法。（3）整体代入法：将已知条件作为一个整体，代入经过化简整理后的代数式中，求代数式的值这种方法叫做整体代入法。4.求代数式的值的方法：（1）比例系数法（设k法）：对于比例式，可设定一个比例系数，并将比例式中各字母都转化为用比例系数表示的代数式，再代入所求代数式中化简求值，这种方法叫做比例系数法。 （2）特殊值法：根据题目条件选择允许的特殊值代替字母，这种方法叫做特殊值法。

　　你好，我们可以了解到代数式就是由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式，比如ax+2b。具体的可以在百度百科或书上再详细的了解一下。求代数式的值，其实就是通过题目给你的数字带入相关的代数式而求得的值。希望这个回答能对你有帮助，望采纳，谢谢！

用数值代表代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。例如：代数式a+b，当a=3，b=4时，a+b的值就是3+4=7。7就是当a=3，b=4时，代数式a+b的值。当代数式中的字母，取不同的数值时，一般的，代数式也就取不同的值。

求代数式的值如下：一、求代数式的值的方法①给出代数式中所有字母的值，该类题一般是先化简代数式，再代入字母的值，然后计算。②给出代数式中所含几个字母之间的关系，不直接给出字母的值，该类题一般是把所要求的代数式通过恒等变形，转化成为用已知关系表示的形式。③在给定条件中，字母之间的关系不明显，字母的值隐含在题设条件中，该类题应先由题设条件求出字母的值，再求代数式的值。二、代数式求值的步骤：（1）代入；（2）计算。常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。注：代数式的值的取值条件：（1）不能使代数式失去意义；（2）不能使所表示的实际问题失去意义。三、代数式的值：用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。1、代数式的值：用数值代替代数式的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果才，叫做代数式的值。2、代数式求值的步骤：（1）代入；（2）计算。常用的代入方法有直接代入法与整体代入法。注：代数式的值的取值条件：（1）不能使代数式失去意义；（2）不能使所表示的实际问题失去意义。四、代数式求值的一般步骤和注意事项1、代数式的值用数值代表代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。一个代数式的值是由代数式中字母的取值而决定的。所以代数式的值一般不是一个固定的数，它会随着代数式中字母取值的变化而变化。因此在谈代数式的值时，必须指明在什么条件下。2、求代数式的值的一般步骤在代数式的值的概念中，实际也指明了求代数式的值的方法。即一是代入，二是计算。求代数式的值时，一要弄清楚运算符号，二要注意运算顺序。在计算时，要注意按代数式指明的运算进行。3、求代数式的值时的注意事项（1）代数式中的运算符号和具体数字都不能改变。（2）字母在代数式中所处的位置必须清楚。（3）如果字母取值是分数，作乘方运算必须加上小括号，将来学了负数后，字母给出的值是负数也必须加上括号。五、代数式求值的相关例题若代数式$2x^2-3x+7$的值是8，则代数式$6x-$$4x^2-3$的值是___A．$-6$ B．0 C．$-1$ D．-5答案：D解析：根据题意得：$2x^2-3x+7=8$，∴$3x-2x^2=-1$，∴$6x-4x^2-3=$$2(3x-2x^2)-$$3=$$-2-$$3=$$-5$。故选D。

代数式是一个式子，例如a+b就是个代数式。代数式的值就是当把代数式中的字母，用数值代入后，得到的结果，是个数值。例如前面的代数式a+b，当a=3，b=4时，a+b的值就是3+4=7由此可见，当代数式中的字母，取不同的数值时，一般的，代数式也就取不同的值。不确定代数式中字母的数值，谈代数式的值就毫无意义。

代数式的值，数学名词，用数值代表代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值。7就是当a=3，b=4时，代数式a+b的值。当代数式中的字母，取不同的数值时，一般的，代数式也就取不同的值。7就是当a=3，b=4时，代数式a+b的值。当代数式中的字母，取不同的数值时，一般的，代数式也就取不同的值。理解代数式的值：一个代数式的值是由代数式中字母的取值而决定的．所以代数式的值一般不是一个固定的数，它会随着代数式中字母取值的变化而变化．因此在谈代数式的值时，必须指明在什么条件下。

代数意义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。几何意义：有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数。希望能帮到你

磁通量虽然是标量，但磁感线可是有方向的。方向不同的磁感线可以相互抵消，那么你所谓的磁感线的条数也就相当于减少了……

1、浩如烟海：形容文献、资料等非常丰富。清周永年《儒藏记》：“或曰：‘古今载籍，浩如烟海。"” 浩：广大，众多。 2、恒河沙数：佛经用语。佛说法时，常以印度恒河里的细沙比喻数目极多。《金刚经·无为福胜分第十一》：“但诸恒河尚多无数，何况其沙…以七宝满尔所恒河沙数三千大千世界，以用布施。” 数（shù）。 3、不胜枚举：无法一个一个全举出来，形容同一类的人或事物很多。 4、数不胜数：数也数不过来，形容很多。 5、成千上万：形容数量非常多。也说成千累万、成千成万。 6、多如牛毛：像牛身上的毛那样多；形容极多。出自《北史·文苑列传序》。

1、浩如烟海：形容文献、资料等非常丰富。清周永年《儒藏记》：“或曰：‘古今载籍，浩如烟海。"” 浩：广大，众多。 2、恒河沙数：佛经用语。佛说法时，常以印度恒河里的细沙比喻数目极多。《金刚经·无为福胜分第十一》：“但诸恒河尚多无数，何况其沙…以七宝满尔所恒河沙数三千大千世界，以用布施。” 数（shù）。 3、不胜枚举：无法一个一个全举出来，形容同一类的人或事物很多。 4、数不胜数：数也数不过来，形容很多。 5、成千上万：形容数量非常多。也说成千累万、成千成万。 6、多如牛毛：像牛身上的毛那样多；形容极多。出自《北史·文苑列传序》。

你不嫌麻烦，用正弦定理与余弦定理算，也可以。

(1)-6+6jr=√[(-6)^2+6^2]=6√2三角式：-6+6j=6√2·(-√2/2+√2/2·j)=6√2[cos(3π/4)+jsin(3π/4)]极坐标形式：(r，θ)=(6√2，3π/4)指数式：-6+6j=6√2·e^(3πj/4)(2)3-3√3jr=√[3^2+(-3√3)^2]=6三角式：3-3√3j=6·(1/2-√3/2·j)=6√2[cos(5π/3)+jsin(5π/3)]极坐标形式：(r，θ)=(6，5π/3)指数式： 3-3√3j=6·e^(5πj/3)(3)-15jr=15三角式：-15j=15·(-j)=15[cos(3π/2)+jsin(3π/2)]极坐标形式：(r，θ)=(15，3π/2)指数式： -15j=15·e^(3πj/2)

解：1。Z1=cos(5π/3) + isin(5π/3)=1/2 - √3i/2 2。Z2=3[cos(5π/4) + isin(5π/4)]= -3√2/2 - 3√2i/2

1)z=2sin(a/2)[sin(a/2)+icos(a/2)]=2sin(a/2)e^(ai/2)2)z=e^(1+i)=e*e^i=e(cos1+isin1)

可以。在很多领域都复矩阵。例如力学，控制等等

形如a＋bi的数 .式中 a,b 为实数 ,i是 一个满足i^2＝－1的数 ,因为任何实数的平方不等于－1,所以 i不是实数,而是实数以外的新的数. 在复数a＋bi中,a 称为复数的实部,b称为复数的虚部 ,复数的实部和虚部分别用Rez和Imz表示,即Rez =a,Imz=b.i称为虚数单位.当虚部等于零时,这个复数就是实数；当虚部不等于零时,这个复数称为虚数,虚数的实部如果等于零,则称为纯虚数. 由上可知,复数集包含了实数集,因而是实数集的扩张.复数的产生来自解代数方程的需要.16世纪,意大利数学家G.卡尔达诺首先用公式表示出了一元三次方程的根,但公式中引用了负数开方的形式,并把 i＝sqrt(-1) 当作数,与其他数一起参与运算.由于人们无法理解 i的实质,所以在很长时间内不承认负数的平方根也是数,而称之为虚数.直到19世纪,数学家们对这些虚数参与实数的代数运算作出了科学的解释,并在解方程和其他领域中使虚数得到了广泛的应用,人们才认识了这种新的数. 复数的四则运算规定为： （a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i, （a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i, （a＋bi）?（c＋di）＝（ac－bd）＋（bc＋ad）i, （c与d不同时为零） （a＋bi）÷（c＋di）＝（ac+bd/c^2+d^2）＋（bc－ad/c^2+d^2） （c+di）不等于0 复数有多种表示形式,常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式. 此外有下列形式. ①几何形式.复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 Z（a,b ）表示.这种形式使复数的问题可以借助图形来研究.也可反过来用复数的理论解决一些几何问题. ②向量形式.复数z＝a＋bi用一个以原点O为起点,点Z（a,b）为终点的向量OZ表示.这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释. ③三角形式.复数z＝a＋bi化为三角形式 z＝r（cosθ＋isinθ） 式中r= sqrt(a^2+b^2),叫做复数的模（或绝对值）；θ 是以x轴为始边；向量OZ为终边的角,叫做复数的辐角.这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算. ④指 数形式.将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ),复数就表为指数形式z＝rexp(iθ) 复数三角形式的运算： 设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2＝r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] z1÷z2＝r1÷r2[cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)],若复数z的三角形式为r(cosθ+isinθ),那么z^n＝r^n(cosnθ+isinnθ),n√z＝n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n]（k＝1,2,3……）必须记住：z的n次方根是n个复数.

复数的模：将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值，记作∣z∣.即对于复数z=a+bi，它的模：∣z∣=√（a^2+b^2)复数的集合用C表示，实数的集合用R表示，显然，R是C的真子集。复数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位。在复数a+bi中，a=Re(z)称为实部，b=Im(z)称为虚部。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。复数的四则运算规定为：加法法则：（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；减法法则：（a+bi）－（c+di）=（a－c）+（b－d）i；乘法法则：（a+bi）·（c+di）=（ac－bd）+（bc+ad）i；除法法则：（a+bi）÷（c+di）=[（ac+bd）/（c2+d2）]+[（bc-ad）/（c2+d2）]i.

对复数加、减法几何意义的理解 (1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则． (2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要按照规定进行运算．(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．(3)复数的加法运算的结果仍然是复数．(4)实数的移项法则在复数中仍然成立．(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．对复数加、减法几何意义的理解(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则．(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加方便．(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．方便．

特征向量确实有很明确的几何意义，矩阵乘以一个向量的结果仍 是同维数的一个向量。因此矩阵乘法对应了一个变换，把一个向量变成同维数的另一个向量，变换的效果与矩阵的构造有密切关系，比如可 以取适当的二维方阵，使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30度。

复数概念的引入最初是为了求解 这样的没有实根的方程,因此复数集可以看作实数集的一个自然的扩充.为此,首先引进一个“新数”i,使它满足 ,即 适合方程 .这个新数 称为虚数单位.将 添加到实数集中去,定义:形如 ( 、 均是实数)的表达式称为一个复数.其中的 和 分别叫做复数 的实部和虚部,分别记作 一、复数 的分类当 虚部 时,复数 是实数; 当虚部 时,复数 是虚数; 当虚部 ,且实部 时,复数 是纯虚数. 如果记 ——实数集 ——复数集 ——虚数集 ——纯虚数集 就有关系 二、复数相等的充要条件 对于两个复数 , ,二者相等的充要条件是 且 ,即复数相等的充要条件是复数问题化归为实数问题的理论依据,“化虚为实”是解决复数问题的通性通法. 三、复数的运算法则 对于两个复数 、 . 加法: ; 减法: ; 乘法: ; 除法: . 四、复数的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律,也就是说,对于任何复数 、 、 均有复数的乘法满足交换律、结合律,以及乘法对于加法的分配律.也就是说,对于复数 、 、 ,均有五、共轭复数的性质 当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,就称其互为共轭复数.特别地,若复数的虚部不为零时,也称作互为共轭虚数.对于复数 ,它的共轭复数用 来表示. 共轭复数有如下基本性质: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) 是实数的充要条件是 ; 是纯虚数的充要条件是 且 . 六、复数的几何形式 复数 与复平面上的点 是一一对应的,点 和向量 也构成一—对应关系,点 和向量 均是复数 的几何形式.向量 的模 称为复数 的模 ,即 这种对应关系的构建,揭示了复数问题与向量问题之间的相互转化,说明了向量方法是解决复数问题的一条有效途径. 关于复数的模,有如下的基本性质: (1) ; (2) ; (3) .

现代数学时期是指由20世纪40年代至今，这一时期数学主要研究的是最一般的数量关系和空间形式，数和量仅仅是它的极特殊的情形，通常的一维、二维、三维空间的几何形象也仅仅是特殊情形。抽象代数、拓扑学、泛函分析是整个现代数学科学的主体部分。它们是大学数学专业的课程，非数学专业也要具备其中某些知识。变量数学时期新兴起的许多学科，蓬勃地向前发展，内容和方法不断地充实、扩大和深入。18、19世纪之交，数学已经达到丰沛茂密的境地，似乎数学的宝藏已经挖掘殆尽，再没有多大的发展余地了。然而，这只是暴风雨前夕的宁静。19世纪20年代，数学革命的狂飙终于来临了，数学开始了一连串本质的变化，从此数学又迈入了一个新的时期——现代数学时期。19世纪前半叶，数学上出现两项革命性的发现——非欧几何与不可交换代数。大约在1826年，人们发现了与通常的欧几里得几何不同的、但也是正确的几何——非欧几何。这是由罗巴契夫斯基和里耶首先提出的。非欧几何的出现，改变了人们认为欧氏几何唯一地存在是天经地义的观点。它的革命思想不仅为新几何学开辟了道路，而且是20世纪相对论产生的前奏和准备。后来证明，非欧几何所导致的思想解放对现代数学和现代科学有着极为重要的意义，因为人类终于开始突破感官的局限而深入到自然的更深刻的本质。从这个意义上说，为确立和发展非欧几何贡献了一生的罗巴契夫斯基不愧为现代科学的先驱者。1854年，黎曼推广了空间的概念，开创了几何学一片更广阔的领域——黎曼几何学。非欧几何学的发现还促进了公理方法的深入探讨，研究可以作为基础的概念和原则，分析公理的完全性、相容性和独立性等问题。1899年，希尔伯特对此作了重大贡献。在1843年，哈密顿发现了一种乘法交换律不成立的代数——四元数代数。不可交换代数的出现，改变了人们认为存在与一般的算术代数不同的代数是不可思议的观点。它的革命思想打开了近代代数的大门。另一方面，由于一元方程根式求解条件的探究，引进了群的概念。19世纪20～30年代，阿贝尔和伽罗华开创了近代代数学的研究。近代代数是相对古典代数来说的，古典代数的内容是以讨论方程的解法为中心的。群论之后，多种代数系统(环、域、格、布尔代数、线性空间等)被建立。这时，代数学的研究对象扩大为向量、矩阵，等等，并渐渐转向代数系统结构本身的研究。上述两大事件和它们引起的发展，被称为几何学的解放和代数学的解放。19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件：分析的算术化。1874年威尔斯特拉斯提出了一个引人注目的例子，要求人们对分析基础作更深刻的理解。他提出了被称为“分析的算术化”的著名设想，实数系本身最先应该严格化，然后分析的所有概念应该由此数系导出。他和后继者们使这个设想基本上得以实现，使今天的全部分析可以从表明实数系特征的一个公设集中逻辑地推导出来。现代数学家们的研究，远远超出了把实数系作为分析基础的设想。欧几里得几何通过其分析的解释，也可以放在实数系中；如果欧氏几何是相容的，则几何的多数分支是相容的。实数系(或某部分)可以用来解群代数的众多分支；可使大量的代数相容性依赖于实数系的相容性。事实上，可以说：如果实数系是相容的，则现存的全部数学也是相容的。19世纪后期，由于狄德金、康托和皮亚诺的工作，这些数学基础已经建立在更简单、更基础的自然数系之上。即他们证明了实数系(由此导出多种数学)能从确立自然数系的公设集中导出。20世纪初期，证明了自然数可用集合论概念来定义，因而各种数学能以集合论为基础来讲述。拓扑学开始是几何学的一个分支，但是直到20世纪的第二个1/4世纪，它才得到了推广。拓扑学可以粗略地定义为对于连续性的数学研究。科学家们认识到：任何事物的集合，不管是点的集合、数的集合、代数实体的集合、函数的集合或非数学对象的集合，都能在某种意义上构成拓扑空间。拓扑学的概念和理论，已经成功地应用于电磁学和物理学的研究。20世纪有许多数学著作曾致力于仔细考查数学的逻辑基础和结构，这反过来导致公理学的产生，即对于公设集合及其性质的研究。许多数学概念经受了重大的变革和推广，并且像集合论、近世代数学和拓扑学这样深奥的基础学科也得到广泛发展。一般(或抽象)集合论导致的一些意义深远而困扰人们的悖论，迫切需要得到处理。逻辑本身作为在数学上以承认的前提去得出结论的工具，被认真地检查，从而产生了数理逻辑。逻辑与哲学的多种关系，导致数学哲学的各种不同学派的出现。20世纪40～50年代，世界科学史上发生了三件惊天动地的大事，即原子能的利用、电子计算机的发明和空间技术的兴起。此外还出现了许多新的情况，促使数学发生急剧的变化。这些情况是：现代科学技术研究的对象，日益超出人类的感官范围以外，向高温、高压、高速、高强度、远距离、自动化发展。以长度单位为例、小到1尘(毫微微米，即10^-15米)，大到100万秒差距(325.8万光年)。这些测量和研究都不能依赖于感官的直接经验，越来越多地要依靠理论计算的指导。其次是科学实验的规模空前扩大，一个大型的实验，要耗费大量的人力和物力。为了减少浪费和避免盲目性，迫切需要精确的理论分机和设计。再次是现代科学技术日益趋向定量化，各个科学技术领域，都需要使用数学工具。数学几乎渗透到所有的科学部门中去，从而形成了许多边缘数学学科，例如生物数学、生物统计学、数理生物学、数理语言学等等。上述情况使得数学发展呈现出一些比较明显的特点，可以简单地归纳为三个方面：计算机科学的形成，应用数学出现众多的新分支、纯粹数学有若干重大的突破。1945年，第一台电子计算机诞生以后，由于电子计算机应用广泛、影响巨大，围绕它很自然要形成一门庞大的科学。粗略地说，计算机科学是对计算机体系、软件和某些特殊应用进行探索和理论研究的一门科学。计算数学可以归入计算机科学之中，但它也可以算是一门应用数学。计算机的设计与制造的大部分工作，通常是计算机工程或电子工程的事。软件是指解题的程序、程序语言、编制程序的方法等。研究软件需要使用数理逻辑、代数、数理语言学、组合理论、图论、计算方法等很多的数学工具。目前电子计算机的应用已达数千种，还有不断增加的趋势。但只有某些特殊应用才归入计算机科学之中，例如机器翻译、人工智能、机器证明、图形识别、图象处理等。应用数学和纯粹数学(或基础理论)从来就没有严格的界限。大体上说，纯粹数学是数学的这一部分，它暂时不考虑对其它知识领域或生产实践上的直接应用，它间接地推动有关学科的发展或者在若干年后才发现其直接应用；而应用数学，可以说是纯粹数学与科学技术之间的桥梁。20世纪40年代以后，涌现出了大量新的应用数学科目，内容的丰富、应用的广泛、名目的繁多都是史无前例的。例如对策论、规划论、排队论、最优化方法、运筹学、信息论、控制论、系统分析、可靠性理论等。这些分支所研究的范围和互相间的关系很难划清，也有的因为用了很多概率统计的工具，又可以看作概率统计的新应用或新分支，还有的可以归入计算机科学之中等等。20世纪40年代以后，基础理论也有了飞速的发展，出现许多突破性的工作，解决了一些带根本性质的问题。在这过程中引入了新的概念、新的方法，推动了整个数学前进。例如，希尔伯特1990年在国际教学家大会上提出的尚待解决的23个问题中，有些问题得到了解决。60年代以来，还出现了如非标准分析、模糊数学、突变理论等新兴的数学分支。此外，近几十年来经典数学也获得了巨大进展，如概率论、数理统计、解析数论、微分几何、代数几何、微分方程、因数论、泛函分析、数理逻辑等等。当代数学的研究成果，有了几乎爆炸性的增长。刊载数学论文的杂志，在17世纪末以前，只有17种(最初的出于1665年)；18世纪有210种；19世纪有950种。20世纪的统计数字更为增长。在本世纪初，每年发表的数学论文不过1000篇；到1960年，美国《数学评论》发表的论文摘要是7824篇，到1973年为20410篇，1979年已达52812篇，文献呈指数式增长之势。数学的三大特点—高度抽象性、应用广泛性、体系严谨性，更加明显地表露出来。今天，差不多每个国家都有自己的数学学会，而且许多国家还有致力于各种水平的数学教育的团体。它们已经成为推动数学发展的有力因素之一。目前数学还有加速发展的趋势，这是过去任何一个时期所不能比拟的。现代数学虽然呈现出多姿多彩的局面，但是它的主要特点可以概括如下：(1)数学的对象、内容在深度和广度上都有了很大的发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了惊人的变化，数学的不断分化，不断综合的趋势都在加强。(2)电子计算机进入数学领域，产生巨大而深远的影响。(3)数学渗透到几乎所有的科学领域，并且起着越来越大的作用，纯粹数学不断向纵深发展，数理逻辑和数学基础已经成为整个数学大厦基础。

分类: 教育/科学 >> 学习帮助 问题描述: 题目: 10000人的A军和8000人的B军相遇,现设A军的杀伤力是0.1/天,B军的杀伤力是0.12/天,战斗3天后,A军中有500名军人被俘投降,战斗6天后,B军获得1500个军人的增援,请预测和模拟这场战斗的过程和结果.fhzheng.cuit.edu/fhzheng/mylab2006/2006matlab01这里有一个例题,请对照做解 最好能在周二内完成,快者追加分数 解析: A=[1 -0.12;-0.1 1]; %声明A系数矩阵 X=[10000;8000]; %初始化XY=X; %又用X来初始化Y k=0;%%%引入新的循环计数变量 while X(1)>0&X(2)>0 %开始while循环，X（i）为访问X矩阵的位序元素，这里为一逻辑 %表达式，只要红军和蓝军还有士兵，战斗就得进行下去，只要一方 %没有士兵了，战斗就结束，循环也就终止了 X=A*X; %交锋过程模拟 k=k+1;%%%循环次数累加 if k==3 X=X-[500;0]; %%%战斗3天后,A军中有500名军人被俘投降 end if k==6 X=X+[0;1500];%%%6天后,B军获得1500个军人的增援 end Y=[Y X]; %交锋后的结果不断写入到矩阵Y中记录下来 end %循环结束 Y %输出Y No=1:k+1; %%%战斗天数 YY=[No",floor(Y")] %%%结果 %%%双方战斗人员数量图, plot(1:k+1,Y(1,:),"ro-",1:k+1,Y(2,:),"b*-") xlabel("战斗天数"),ylabel("人员变动数量") 运行结果： 战斗天数 红军人数 蓝军人数 1 10000 8000 2 9040 7000 3 8200 6096 4 6968 5276 5 6335 4579 6 5785 3945 7 5312 4867 8 4728 4335 9 4208 3862 10 3744 3442 11 3331 3067 12 2963 2734 13 2635 2438 14 2342 2174 15 2081 1940 16 1848 1732 17 1640 1547 18 1455 1383 19 1289 1237 20 1140 1108 21 1007 994 22 888 894 23 780 805 24 684 727 25 597 658 26 517 599 27 446 547 28 380 502 29 320 464 30 264 432 31 212 406 32 163 384 33 117 368 34 73 356 35 30 349 36 -12 346

线性代数中如果题目要求是:求(非)齐次线性方程组的一个特解或基础解系,是其实由行阶梯形 化成 行最简形 的过程, 就是回代的过程

基础解系就是齐次线性方程组非零解的各未知分量之间的比例关系。例如基础解系是 (a, b, c, d) 表示 x1:x2:x3:x4 = a:b:c:d

x (yz)^(-1)

什么是变量 在python中，变量的概念基本上和初中代数的方程变量是一致的def aaa(): s = 5 return sprint aaa() 或者：def aaa(): global s s = 5aaa()print s要在函数外部访问函数的内部变量，要么使用return将其返回到外部，要么用global定义为全局变量。推荐前一种。def只是定义函数，你还没有调用和执行该函数。此外，要在控制台输出，你可以在函数内部写上print s+3 ，然后调用函数aaa()。或者定义一个类：class aaa: s = 5b = aaa #初始化一个类的实例print b.s #当然，你也可以直接使用aaa.s

简单地说就是先把线性方程组化成阶梯型，然后从最后一行逐行向上的解出基变量（即每一行第一个非零数所对应的变量）等于常数加非基变量乘以常数的形式。然后按顺序补上非基变量恒等式xi=xi，最后将常数对齐非基变量前面的常数对齐，然后写成向量的形式，就是x=(h)+k1(a1)+………+kt(at)，其中(h)就是Ax=b的特解，而(a1),………(at)就是Ax=0的基础解系。bilibili里面有许多免费的学校课程您可以作为学习和参考

m*n型齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是r（A）<n自由未知量个数为n-r（A）自由未知量就是该未知量取任意值都不影响其他未知量的取值，可以取0

自由未知量 x1 取1, 不能取0得特征向量 (1,0,...,0)^T

自由未知量的一般选取方法:先将系数矩阵经初等行变换化成行简化梯矩阵非零行的首非零元所在列对应的是约束未知量其余未知量即为自由未知量由上面的选取方法可知:约束未知量所在列即构成A的列向量组的一个极大无关组自由未知量所在列可由此极大无关组唯一线性表示这样就能保证:对于自由未知量任取一组数都能唯一解出约束未知量把方程组表示成向量形式就更清楚了:比如, α1,...,αr 是 α1,...,αn 的一个极大无关组则 xr+1,...,xn 是自由未知量方程写成x1α1+...+xrαr = -xr+1αr+1+...-xnαn对xr+1,...,xn的任一组取值,线性组合-xr+1αr+1+...-xnαn可由α1,...,αr唯一线性表示即可唯一确定约束未知量 x1,...,xr.例: 齐次线性方程组x1-x2+x3-x4=0x1-x2-x3+x4=0x1-x2-2x3+2x4=0分析: 系数矩阵 A =1 -1 1 -11 -1 -1 11 -1 -2 2r2-r1,r3-r11 -1 1 -10 0 -2 20 0 -3 3r2*(-1/2),r3+3r2,r1-r21 -1 0 00 0 1 -10 0 0 0根据一般选取方法, x1,x3 是约束未知量, x2,x4 是自由未知量同解方程组为x1=x2x3=x4对 x2,x4 任取一组数, 可唯一解出 x1,x3.那么, 能不能取x1,x4作为自由未知量呢?按上面提到的原则是可以的因为第2,3列也是一个极大无关组已答,满意请采纳^_^

线性代数公式如下：这里所谓的“线性代数公式”其实指的是，在线性代数的范畴内，用数学符号表示几个量之间关系的式子。之所以称之为公式，主要是因为这种表达关系的式子具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。公式的特点：在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义(特定于一阶逻辑)：公式是相对于特定语言而定义的。就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数来指示它所接受的参数的数目。

对任何的自由变量都是任意取的，但是要求取得向量是线性无关的

把系数矩阵经初等行变换化成梯矩阵非零行的从左至右第1个不等于0的数所处的列对应的未知量是约束变量, 其余未知量就是自由未知量. 如A 化成1 2 3 4 50 0 6 7 80 0 0 0 9非零行的首非零元是1,6,9, 处在1,3,5列, x1,x3,x5 就是约束变量其余的 x2,x4 就是自由未知量.满意请采纳^_^.

其实这种表示方式并不科学，也很少用，因为它选定了x2作为自由变量来表达结果，实际上，针对这个方程，选择任何一个变量为自由变量都可以。比如选x3为自由变量，结果就可以表示为 x2=x3，x1=-x3。完整的情况，应该表达为向量的形式，即(x1,x2,x3)T = k(-1,1,1)T，知道了向量的形式，各个未知量之间的关系显而易见。

①克莱姆法则，②增广矩阵化行最简形，③系数矩阵求逆X＝(A逆)b。最常用且功能最强的是增广矩阵化行最简形，∵行最简形矩阵包括了解的三种情况: 唯一解、无穷多解、无解。

线性方程组的解集合的极大线性无关组就是这个方程组的基础解系。先求解方程组 解出所有解向量，然后求出其极大线性无关组就好。一般求基础解系先把系数矩阵进行初等变换成下三角矩阵，然后得出秩，确定自由变量，得到基础解系,基础解系是相对于齐次(等号右边为0)的.例如:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,其增广矩阵为1 1 1 7 21 2 1 2 35 8 5 20 132 5 2 -1 7通过初等变换为:1 1 1 7 20 1 0 -5 10 0 0 0 00 0 0 0 0秩为2，未知数个数为4，自由变量个数为4-2=2设自由变量为x3、x4,取(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入方程组(取最终变换得到的比较简单)可得:(x1,x2)=(-1,0)和(-12,5)于是基础解系的基:(-1,0,1,0)T和(-12,5,0,1)T.扩展资料线性代数通解和基础解系的区别如下：1、定义不同，对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。2、求法不同，基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

齐次线性方程组基础解系求解：1、对系数矩阵作【行】初等变换，化为阶梯形2、由值r（A）确定自由变量的个数：n-r（A）3、找出一个秩为r（A）的矩阵，则其余的n-r（A）列对应的就是自由变量4、每次给1个自由变量赋值为1，其余的自由变量赋值为0（注意共需赋值n-r（A）次）写出这n-r（A）个向量，即为基础解系。newmanhero 2015年1月18日20:39:39希望对你有所帮助，望采纳。

楼上高票回答已经很好很好了。我就再补充一下(u30fb_u30fbヾ还是按照上面的例子，x1+x2+x3+7x4＝2x1+2x2+x3+2x4＝35x1+8x2+5x3+20x4＝132x1+5x2+2x3-x4＝7它的相应矩阵为1 1 1 7 21 2 1 2 35 8 5 20 132 5 2 -1 7线性变换为1 1 1 7 20 1 0 -5 10 0 0 00 0 0 0可以看到，R（A）＝R（A，b）＝2＜n＝4有无穷多解，而解系就是针对这种情况的再第一行减去第二行化成最简阶梯1 0 1 12 10 1 0 -5 10 0 0 00 0 0 0得到x1＝-x-12x4+1 ，x2＝5x4+1x3与x4为任意常数，设为（1，0）T，（0，1）T，x1与x2的常数项为1，x3x4为任意常数，则特解就为（1.1.0.0）T故而得到解系（x1.x2.x3.x4）T＝C1（-1.0.1.0）T＋C2（-12.5.0.1）T＋（1.1.0.0）T

高斯变换后，用矩阵总列数（变量数）减去非零的行数（条件数，高斯变换保证了这些条件的独立性），就是自由变量数。至于究竟是哪几个可能是不确定的，如你这个矩阵，完成了高斯变换，自由变量数目：3-1=2，其中z是自由变量，而x和y之一可以视为自由变量，另一个根据第一个式子的条件可以由这个自由变量唯一决定。

如何确定自由变量并赋值？（1） 对系数矩阵作初等 ” 行 “ 变换化为阶梯型；（注意是行变换）（2）由秩r（A）确定自由变量的个数 n - r（A） （3）找出一个秩为r（A）的矩阵，则其余的n - r（A）列对应的就是自由变量（4）每次给一个自由变量赋值 为1 ，其余的自由变量赋值为0（注意共赋值n - r（A）次）对阶梯型方程组由下往上依次求解，就可得到方程组的解。newmanhero 2015年1月7日12:14:19希望对你有所帮助。望采纳。

对，当做到最后一步，有了自由变量后，赋值时有无穷赋值方式。你说得是常见的赋值方式，图上给出的是根据表达式的特点，能得到整数的基础解系对应的赋值方式。对自由变量赋值，只要赋值时是线性无关的向量就可以，比如x3 x4是自由变量，因此(x3 x4)＝(1 0)和(0 1)是无关的，或者图上给出的(1 －3)和(0 4)是无关的，也可以取(2 4)和(1 8)，我随便取的。

楼上的家伙在干嘛？哪里找来这么乱七八糟的东西？这是他研究的内容吗？所谓协变就是经过一个变换而本身形式保持不变的一个性质。比方相对论中的洛伦次变换就能使麦克斯韦电磁场方程具有协变性，就是说，将麦克斯韦电磁场方程组中的时空变量进行洛伦次变换，理论上证明麦克斯韦电磁场方程组保持形式不变。这是协变性的一个例子，老实说，洛伦次就是靠这一点推出他的洛伦次变换的。你说的协变量可能就是差不多这种意思，我没学过你说的那个数学，什么时候我也要研究一下，我只是拿物理上的一个例子跟你说一下而已。

具体问题是什么？

逻辑代数或称布尔代数。它虽然和普通代数一样也用字母表示变量，但变量的值只有“1”和“0”两种，所谓逻辑“1”和逻辑“0”，代表两种相反的逻辑状态。在逻辑代数中只有逻辑乘（“与”运算），逻辑加（“或“运算）和求反（”非“运算）三种基本运算。

和，或，否

逻辑代数基本规则有：逻辑乘、逻辑加和逻辑非。逻辑加法（“或”运算）逻辑加法通常用符号“+”或“∨”来表示.逻辑加法运算规则如下：0+0=0, 0∨0=00+1=1, 0∨1=11+0=1, 1∨0=11+1=1, 1∨1=1从上式可见,逻辑加法有“或”的意义.也就是说,在给定的逻辑变量中,A或B只要有一个为1,其逻辑加的结果为1；两者都为1则逻辑加为1.逻辑乘法（“与”运算）逻辑乘法通常用符号“×”或“∧”或“·”来表示.逻辑乘法运算规则如下：0×0=0, 0∧0=0, 0·0=00×1=0, 0∧1=0, 0·1=01×0=0, 1∧0=0, 1·0=01×1=1, 1∧1=1, 1·1=1不难看出,逻辑乘法有“与”的意义.它表示只当参与运算的逻辑变量都同时取值为1时,其逻辑乘积才等于1。逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有0和1两种逻辑值， 有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

A+A=AA+AB=A(1+B)=A1+A=1

逻辑代数的变量有0和1这2种。根据查询相关公开信息显示，不管是在数学中，还是在电子学中等其它课程中所涉到的逻辑变量值都只有0、1两个。逻辑代数是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，由英国科学家乔治·布尔(George·Boole)于19世纪中叶提出，因而又称布尔代数。

根据布尔代数规则，以下结果为：1、A+A=A2、A+AB=A3、1+A=1分析：根据布尔代数规则：所有可能出现的数只有0和1两个；基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。而这里“+”代表了“或”，“*”代表“与”。"A"和“B”代表“0和1”两个变量中的任意一个。因此第一个式子“A+A”表示“A或A”，即可能性有“0或0”、“0或1”和“1或1”。这三种结果分别是0、1和1，说明“A+A”的结果可能会是0和1，而A本身就有0和1这两种情况，因此A+A=A。第二个式子“A+AB”，这里进行变形为“A*（1+B）”。首先分析括号内的“1+B”，表示“1或B”，即可能性有“1或1”和“1或0”，两种结果都为1，于是1+B=1。之后再看“A*1”，表示“A与1”，即可能性有“1与1”和“1与0”，这两种结果分别是1和0。因此A+AB=A。第三个式子“1+A”，上面分析了，结果为1。扩展资料：逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示，如A和B。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。布尔代数规定：1、所有可能出现的数只有0和1两个。2、基本运算只有“与”、“或”、“非”三种。3、与运算（逻辑与、逻辑乘）定义为：0·0=0 0·1=0 1·0=0 1·1=14、或运算（逻辑或、逻辑加）定义为：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1

不一定。但是取零容易计算。两个特解之间差一个齐次解，所以取哪个无所谓。

按照线性代数的基本定义基础解系的最大无关组的向量数就是自由变量的个数基本公式s=n-r，未知数个数n=4，秩r=3于是自由变量的个数为4-3=1

由于行列式取的是第1,3,5列, 所以这里有误, 他应该是说 也可以取 x2,x4 为自由变量(1)假设行列式等于0, 就不能取 x2,x4, 否则对于x2,x4任取一组数不能唯一确定约束变量的值(2)就是这样!

若自由变量全取0, 可得非齐次线性方程组的特解.对齐次线性方程组, 自由变量不能全取0否则, 得到的解是零解而含有零解的向量组是线性相关的, 所以自由变量不能全取0.另外, 自由变量取值的标准是它们构成的向量是线性无关的这样的话, 加上约束变量后仍线性无关, 即可构成基础解系.比如3个自由变量时, 一般取 (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)但有时为了消去分数, 可以取它们的倍数.

选出几个方程组都出现的变量，令其中一个（或多个）为1或0，解出其他值，可以得出几组解向量（基础解系）。

与，或，非与或式，或与式，与非-与非式，或非-或非式，与或非式0，1二进制编码器，二-十进制编码器，优先编码器二进制译码器，二-十进制译码器，显示译码器

put it on a shelf, let the water run into

这里讲得比较全http://www.docin.com/p-68953591.html

一个单位矩阵怎么可能表示所有矩阵？一个nxn的矩阵有n^2个自由变量，它所在空间的基至少要n^2个，至少n^2个矩阵才能表示

拉普拉斯变换

你可这样理解。假设 r = n， 即齐次方程组只有零解， 无基础解系。按你的逻辑岂不是有 n 个基础解系， 与无基础解系矛盾。所以是有 n-r 个基础解系。

线性方程组的解集合的极大线性无关组就是这个方程组的基础解系。先求解方程组 解出所有解向量，然后求出其极大线性无关组就好。一般求基础解系先把系数矩阵进行初等变换成下三角矩阵，然后得出秩，确定自由变量，得到基础解系,基础解系是相对于齐次(等号右边为0)的.例如:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,其增广矩阵为1 1 1 7 21 2 1 2 35 8 5 20 132 5 2 -1 7通过初等变换为:1 1 1 7 20 1 0 -5 10 0 0 0 00 0 0 0 0秩为2，未知数个数为4，自由变量个数为4-2=2设自由变量为x3、x4,取(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入方程组(取最终变换得到的比较简单)可得:(x1,x2)=(-1,0)和(-12,5)于是基础解系的基:(-1,0,1,0)T和(-12,5,0,1)T.扩展资料线性代数通解和基础解系的区别如下：1、定义不同，对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。2、求法不同，基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

基础解系是AX=0的所有解的极大无关组。也是AX=0解空间的基。基础解系不唯一，基础解系中向量的个数等于未知数个数减去A的秩。要注意只有AX=0才有基础解系而AX=b不存在基础解系

如图

第一章 行列式 三点内容。 一、计算。 1、数字型行列式计算用展开公式。注意用技巧多创造0:把某一行的k 倍加到第i 行；把每一行都加到第一行；逐行相加； 爪型要变形上三角或下三角，考时不会是明明白白的爪型，故先要变成明明白白的爪型； 有时若恒等变形会把行列式本来很好的结构破坏掉，故要积累经验； "三条线"型若是4、5阶用逐行相加或每行都加到第一行；阶数高的用数学归纳法或递推法。(数学归纳法要先打草稿才能确定用第一还是第二数学归纳法——若一个n 阶命题和1个递阶命题相关，则用第一数学归纳法；若一个n 阶命题和2个递阶命题相关，则用第二数学归纳法。) 2、抽象型行列式计算 行列式性质恒等变形；矩阵公式、法则恒等变形；E 恒等变形。特征值、相似。 二、应用 特征多项式求特征值结果往往带参数，记得求解时不要乘得混乱；克莱默法则更多用来做证明题，只在系数行列式特殊(如范德蒙)时才用来解方程组。 三、证行列式为0——反方秩特 第二章 矩阵 一、运算:n 维列向量；分块矩阵；矩阵的n 次方(三种做法:看秩是否为1；拆成单位矩阵和一个矩阵的和再用二项展开式；用相似) 二、伴随。伴随的两种求法；核心公式推导矩阵的逆、伴随、伴随的逆、逆的伴随(注意用置换)。 矩阵的秩和伴随的秩的关系及证明(思路很重要)；考秩的俩条件，一个讲大一个讲小；用行列式的元来解释矩阵的秩； 三、可逆。逆矩阵的4种求法:定义、行变换、用伴随、对角矩阵的逆。 逆和转置的运算法则比较。 四、初等矩阵。左乘右乘；初等矩阵逆矩阵的三个公式。 看到一道题不要直接看答案，要先自己思考。把真题做好。 第三章 向量 以下三大内容的计算题、证明题、选择题。 一、相关、无关1、向量里面两个核心考点:相关无关的计算题将坐标竖过来，看齐次方程组有无非0解；线性表出的计算题研究非齐次方程组有无解。 2、证向量组无关:定义法，恒等变形——乘和重组；用秩。若是用乘，先看能不能乘出0来；若一下子看不出乘谁得0，分两步走，研究俩式子的加加减减。 二、线性表出。 1、计算题有两种: ⑴一个向量能否用一个向量组线性表出? 两个思路:①以克拉默法则为背景，若用克拉默法则来处理，令行列式等于0，把等于0的各种情况探讨在一起，总结归纳。 ②构造非齐次线性方程组——抓0思想(注意:未知量的系数为0，若常数项不为0，则此非齐次线性方程组无解；若常数项系数为0，则有无穷多解)。 ⑵一个向量组能否由另一个向量组线性表出? ①构造非齐次线性方程组(几个系数一致的非齐次线性方程组可合并系数矩阵)，抓0； ②推理，用秩思考。(观察:向量组1中所有向量都能由2中一个向量表出，则1能由2表出；若2中有一个向量不能由1线性表出，则2不能由1表出) 2、证明题和选择题思路:⑴证一个向量能由一个向量组线性表示: ①构造非齐次线性方程组，用秩；(用秩做题要有的一个构思——构造数的不等式，夹逼思想) ②定理3.6——一组向量线性无关，加入一个相关，则加入的那个向量可用其余向量表出，且表示法唯一。 ③证出某个K≠0，让K当分母。 ⑵证不能线性表示:反证法。 三、秩。 1、向量组的秩考点 ①求极大无关组:如经初等行变换得到秩为3的矩阵，就找3阶行列式不为0的向量； ②将其他向量用极大无关组表出。 用不同语言解释向量组列(行)满秩，则列(行)向量线性无关:用极大线性无关组解释；用齐次线性方程组只有0解解释。 线性代数里好多知识点可以用不同角度解释、理解——做题开拓思路，同一件事情，从不同角度解释。 极大线性无关组与整个向量组等价，应用到求齐次线性方程组的解，要用有限个解描述无穷个解，则求解解向量的极大无关组——基础解系。 2、矩阵的秩 矩阵的秩用行列式得不得0来定义，矩阵的行秩和列秩是向量组的秩，指向量组的极大无关组有几个向量。两者是完全不同的概念，但都是数值，数值大小一样。 矩阵秩的几个公式及证明。 求n阶矩阵的秩有3个方法:①经初等行变换矩阵的秩不变；②用秩的概念——行列式；③用特征值。 第四章 方程组 这章三点内容，考计算，动手做题发现很多问题。 1、齐次线性方程组 把系数矩阵化成行最简(把自由变量的系数写成相反数)还是阶梯型(代入求解)要灵活处理。选择计算量最小、不易出错的。 基础解系如何找自由变量?——从系数矩阵找单位矩阵(或行列式不为0的矩阵)，挡掉的就是自由变量。 2、非齐次线性方程组 求非齐次特解时，自由变量全为0，其余变量按从上往下顺序抄常数项。 3、公共解、同解 公共解两种考题:①题目说两个方程组有公共解，则联立方程组；②一个给方程组，一个给基础解系，则解方程组，用两个基础解系表示公共解，移项，构造齐次方程组，解出系数，代入任意一组基础解系即可。 同解要注意验证必要条件——秩相等。 第五章 特征值 考试重点，三点内容。 1、求特征值、特征向量。 ①定义法。(推理分析) ②特征多项式，特征方程。(通过基础解系求特征向量) 这里的加减消元要学会投机取巧，不要一点一点消，先把最复杂的一个方程全写成0；特征向量尽可能求成整数。 ③相似(两矩阵相似，特征值一样，特征向量有关联，背过直接用) 做题技巧: 已知一个矩阵的特征值、特征向量，直接写与其相关矩阵(多项式、幂、逆、伴随、相似)的特征值、特征向量； 把一个矩阵写成一个简单矩阵(秩为1的矩阵特征值有一个为矩阵的迹，另外的全是0)与单位矩阵的和； 齐次方程组的解也是特征值0对应的特征向量； 2、相似 ①相似的4个必要条件(行列式、秩、特征多项式和特征值、迹相等)； ②在两个矩阵的相似上注意3条线索:若一个矩阵的行列式和秩不好求，则求与其相似矩阵的行列式、秩；通过相似于对角矩阵求矩阵的幂；证明两矩阵相似，选一个对角矩阵作为中介。③一个矩阵相似于对角阵的定义——矩阵有n个无关的特征向量。 判断方法:两个充分条件(有n个不同特征值；对称矩阵)；1个充要条件(n重特征值有n个无关的特征向量)。 ④求可逆矩阵使矩阵A对角化。题目中不直接告诉A矩阵，此时要予处理。3种题型。 给相似:用相似的必要条件(迹、行列式相等、特征值相同)构造方程组； 给特征向量:用特征值、特征向量定义构造方程组； 特征值有重根:研究秩。 ⑤以前是给一个矩阵，求其特征值、特征向量，现在正好反过来，要求A，准备好两套东西——n个特征值、n个特征向量。两个思路:用矩阵方程，用相似。 3、实对称矩阵 ①4个特点 ②用正交矩阵相似对角化。前3步与用可逆矩阵相似对角化一致，第4步是将求得的特征向量正交化(施密特)、单位化(别带分母，就写整数部分)。 第六章 二次型 1、标准型 二次型化标准型的问题，在正交变换下就演变成求A 的特征值、特征向量。 2、正定 判断矩阵是否正定?①先检验A 对称②证明A 正定(主对角线上的元素都大于0是正定的必要条件；顺序主子式全大于0；特征值全大于0) 证明正定?①定义法②特征值法③A 与单位矩阵合同(正惯性指数为n ) 3、合同 相似一定合同，合同一定等价。反之不成立。 举例矩阵特征值相同但不相似→要举反例，特征值必须是重根。 等价u21d4同型矩阵秩相等 证明相似(n 阶)→相似于同一个对角矩阵 证明不相似→用相似的4个充分条件；一个相似于对角矩阵，一个不能相似对角化。 实对称矩阵相似u21d4特征值相同 合同(n 阶实对称)u21d4正负惯性指数相等。 六章全结束，祝顺利。

那为什么要取X3为自由变量了?原理是什么，首先观察矩阵，显然，x1-x3=0x2-x3=0显然 ，x3与x1,x2均相关，所以，当确定x3后，那么x1,x2也就确定了。必须是选定自由变量，那么其他的量就确定了。所以选x3最简便的确定其他的量。为什么不能取X1或者X2为自由变量?这种认为是不对的!，也可以选x1,或者x2作为自由变量。因为x2确定，那x3也确定，从而x1也确定。为什么取X3之后保证了基础解系的之间是线性无关的?(假如有2个基础解系)有多少(r)个自由变量，说明矩阵的秩为n-r那么相应的就有n-r个基础解系。其次，我们在进行赋值时，一般选取单位基础向量进行赋值，例如(0，1，0，。。)(1，0，0，。。。)等等等，保证了其线性无关性所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个在x1,x2,x3中任选两个，进行赋值，一般为(0，1)或者(1，0)然后确定最后一个值。

题目中最后有笔误，应为“就可以取 x2， x4 为自由未知量呢？”因齐次方程组的系数矩阵 A ，实际就是 5 个列向量组成的向量组，向量组的秩为 r(A)=3, 则最大无关组由 3 个向量组成。但最大无关组并不唯一，可以是 x1, x3, x4, 也可以是x1, x3, x5，还可以是 x2, x3, x4, 或 x2, x3, x5,总之是 x1, x2 中取1个， x4，x5 中取1个，与 x3 组成最大无关组。无关组之外的向量可以用无关组线性表示，故可作自由未知量。所以当 |x1, x3, x5| ≠ 0, 得 x1, x3, x5 线性无关时，就可以取 x2， x4 为自由未知量。

这个例子x1，x2，x3三者中任意一个都能做自由变量。

" 组员“ 是什么意思 ？ ”主元“ ？你也可以设 x3 是主元， x2 是自由变量啊。

对齐次线性方程组Ax=0将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵(这时可确定自由变元, 但最好化成行最简形,以便于求解)非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元, 其余变元取作自由变元.(这是一种最好掌握的取法, 别的取法就不必管它了)

肯定是1啊

当R(A)不等于n时 就说明有自由变量 数量是n-R(A)比如有x1 x2 x3三个未知数 那么如果有一个自由变量 你任选一个给他赋任意值就行了 只要保证结果x1 x2 x3不全为0即可

给你举一个简单的例子，方程组x+y=1,y+z=1,那么如果选择用x表示该线性方程组的解就是x=x.y=1-x,z=x,如果用y表示其解，那就是x=1-y,y=y,z=1-y,同样用z表示法类似；那么上述解得坐标形式分别就是（0，1，0）^T+x(1,-1,1)^T,（1，0，1）^T+y(-1,1,-1)^T,其中x,y任意。这说明自由变量可以任意选取.而自由变量的选取往往是根据方程组的各个变元的系数来选取，以使其基础解析尽量为整数解，比如说2x+3y=0，一般会选取(-3,2)或者(3,-2)来作为其基础解析。对于你上面说的那种方法是将A做初等行变换化为阶梯型的矩阵，而这种方法的实际呢是利用我们以前学的解方程组的消去法。此种方法的原理用简单的方程组给你表达就是x1+x2+...xn=0x2+x3+...+xn=0.......,xk+...+xn=0,那么从最后一个式子解出xk=-x(k+1)-...-xn,依次往上从而解出x1.当然上面的表达式省略了各个变元的系数。这就是通解，所以解方程组最重要的就是做初等变换化为阶梯型矩阵。当然就像我一开始说的特殊情况特殊对待不一定非得这样解，只不过这样解是万能的。希望楼主能理解！能采纳！

本节首先讲解了矩阵变换的两种形式： 阶梯形 和 简化阶梯形 ，并讲述了这两种变换之间的关系（最重要的关系是二者的主元位置和主元列是相同的）。之所以引入这两种变换，是为了给解线性方程组和研究线性方程组解的性质提供方便。接下来，讲解了利用 简化阶梯形 求解线性方程组解的方法，最后讨论了利用 阶梯形 矩阵判断方程组解的 存在性 和 唯一性 的方法，并得出了 解线性方程组的一般步骤 。 非零行： 矩阵中至少包含一个非零元素的行 非零列： 矩阵中至少包含一个非零元素的列 先导元素： 非零行中最左边的非零元素 一个矩阵称为 阶梯形 (或 行阶梯形 )，若它有以下三个性质： 若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为 简化阶梯形 （或 简化行阶梯形 ）: 下面是 阶梯形矩阵 的例子，先导元素用 表示， 表示任意元素。 下面是一个 简化阶梯形矩阵 的例子： 任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）为阶梯形矩阵。若矩阵 行等价于阶梯形矩阵 ，则称 为 的阶梯形；若 是简化阶梯形，则称 为 的简化阶梯形。 需要注意： 阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变 。因简化阶梯形是唯一的，故当给定矩阵化为任何一个阶梯形时，先导元素总是在相同的位置上。 定义： 矩阵中的 主元位置 是 中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。 主元列 是 的含有 主元位置 的列。 下面的例子说明了可以通过把一个矩阵变换为阶梯形矩阵来求取主元位置 : 有如下矩阵： 经过行化简后，可以变换为如下形式： 这个矩阵符合如下一般形式： 由上述对 主元位置 和 主元列 的定义，可知，该矩阵的主元分别是 ， ， ，主元列分别是第一、二、四列。 下面的例子说明了求取简化阶梯形的两个步骤，第一个步骤先将矩阵变换为阶梯形矩阵，第二个步骤再将阶梯形矩阵化简为简化阶梯形矩阵 ： 有如下矩阵： 通过一系列的初等行变换（ 这一步骤称为行化简算法的向前步骤 ），可以得到其阶梯形矩阵： 接下来，为了得到简化阶梯形，需要将主元通过变换变为1，并且，通过将这一行乘以适当的倍数，加到其余的行，来使得该主元列其他的元素都变为0。这一步骤称为 行化简的向后步骤 。 经过这一步骤后，可以得到该矩阵的简化阶梯形： 本节讲述的 阶梯形 、 简化阶梯形 可以为下一节所述的解线性方程组提供方便。 行化简算法应用于方程组的 增广矩阵 时，可以得出线性方程组解集的一种显式表示法。 例如，设某个线性方程组的增广矩阵已经化为等价的 简化阶梯形 : 对应的线性方程组为： 对应于主元列的变量 和 称为 基本变量 ，其他变量称为 自由变量 。 由于简化阶梯形使每个基本变量仅包含在一个方程中（由于每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素，所以除了该先导元素所在的行，其他行对应列的位置的元素都是零了），因此可以在每一个方程中用自由变量表示基本变量，便可以得到方程组的解。 上述方程组的通解为： 另外 是自由变量。所谓的自由变量，是指它可取任意的值。 的不同选择确定了方程组的不同的解，方程组的每个解由 的值的选择来确定。 形如上述方程组的表示式称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。 需要注意，在上述方程组中，把 作为自由变量只是一种约定，其实它们之间中的任何一个都可以作为所谓的自由变量，来表示两外两个未知数。 确定下列方程组的解是否存在且唯一： 由上述 阶梯形 与 简化阶梯形 之间的关系（阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变。），判断线性方程组解的 存在性 与 唯一性 问题，只需要将矩阵变换为 阶梯形 就可以了。 例如，将上述方程组化简为如下阶梯形： 可以判断出，基本变量是 ， ， ，自由变量是 ， 。这里没有类似 等明显不成立的方程，所以该方程是有解的。同时，解不是唯一的，因为有自由变量的存在。 由此引出了下面的定理： 通过上面的讨论，也可以总结出解线性方程组的一般步骤： 例题：假设一个方程组的 系数矩阵有4个主元，这个方程组是相容的吗？如果它是相容的，有多少解？ 解：由于系数矩阵有4个主元，因此系数矩阵的每行有一个主元。这意味着系数矩阵是行简化的，它没有0行，因此相应的行简化增广矩阵没有形如 的行，其中 是一个非零数。由本文所述定理知，方程组是相容的。此外，因为系数矩阵有7列且仅有4个主元列，所以将有3个自由变量构成无穷多解。

自由未知量的个数 = n - r(A)其中 n 是未知量的个数, r(A) 是系数矩阵的秩当系数矩阵化成梯矩阵或行最简形时, r(A) 就是非零行 的行数.一般这样选取自由未知量:非零行的首非零元所在列为约束未知量 (例1中的 x2; 例2中的 x1和x2)其余未知量取作自由未知量 (例1中的 x1和x3; 例2中的 x3)你说的: 可是在做题时只取第三个1对应的X3为自由变量，这是为什么呢？这不对, 这个例子中自由未知量只有 x3, 取x3=1, 得基础解系 (0,-1,1)".

1.这与矩阵能否对角化有关 A可对角化的充分必要条件是对k重根,相应的齐次线性方程组的基础解系含k个向量. 二重根只取一次时,矩阵不能对角化. 至于判断是否化到了最简阶梯阵,你看看教材中的定义,一两句说不清楚