线性代数

第一章 行列式

三点内容。

一、计算。

1、数字型行列式计算用展开公式。注意用技巧多创造0:把某一行的k 倍加到第i 行；把每一行都加到第一行；逐行相加；

爪型要变形上三角或下三角，考时不会是明明白白的爪型，故先要变成明明白白的爪型；

有时若恒等变形会把行列式本来很好的结构破坏掉，故要积累经验；

"三条线"型若是4、5阶用逐行相加或每行都加到第一行；阶数高的用数学归纳法或递推法。(数学归纳法要先打草稿才能确定用第一还是第二数学归纳法——若一个n 阶命题和1个递阶命题相关，则用第一数学归纳法；若一个n 阶命题和2个递阶命题相关，则用第二数学归纳法。)

2、抽象型行列式计算

行列式性质恒等变形；矩阵公式、法则恒等变形；E 恒等变形。特征值、相似。

二、应用

特征多项式求特征值结果往往带参数，记得求解时不要乘得混乱；克莱默法则更多用来做证明题，只在系数行列式特殊(如范德蒙)时才用来解方程组。

三、证行列式为0——反方秩特

第二章 矩阵

一、运算:n 维列向量；分块矩阵；矩阵的n 次方(三种做法:看秩是否为1；拆成单位矩阵和一个矩阵的和再用二项展开式；用相似)

二、伴随。伴随的两种求法；核心公式推导矩阵的逆、伴随、伴随的逆、逆的伴随(注意用置换)。

矩阵的秩和伴随的秩的关系及证明(思路很重要)；考秩的俩条件，一个讲大一个讲小；用行列式的元来解释矩阵的秩；

三、可逆。逆矩阵的4种求法:定义、行变换、用伴随、对角矩阵的逆。

逆和转置的运算法则比较。

四、初等矩阵。左乘右乘；初等矩阵逆矩阵的三个公式。

看到一道题不要直接看答案，要先自己思考。把真题做好。

第三章 向量

以下三大内容的计算题、证明题、选择题。

一、相关、无关

1、向量里面两个核心考点:相关无关的计算题将坐标竖过来，看齐次方程组有无非0解；线性表出的计算题研究非齐次方程组有无解。

2、证向量组无关:定义法，恒等变形——乘和重组；用秩。

若是用乘，先看能不能乘出0来；若一下子看不出乘谁得0，分两步走，研究俩式子的加加减减。

二、线性表出。

1、计算题有两种:

⑴一个向量能否用一个向量组线性表出?

两个思路:

①以克拉默法则为背景，若用克拉默法则来处理，令行列式等于0，把等于0的各种情况探讨在一起，总结归纳。

②构造非齐次线性方程组——抓0思想(注意:未知量的系数为0，若常数项不为0，则此非齐次线性方程组无解；若常数项系数为0，则有无穷多解)。

⑵一个向量组能否由另一个向量组线性表出?

①构造非齐次线性方程组(几个系数一致的非齐次线性方程组可合并系数矩阵)，抓0；

②推理，用秩思考。(观察:向量组1中所有向量都能由2中一个向量表出，则1能由2表出；若2中有一个向量不能由1线性表出，则2不能由1表出)

2、证明题和选择题思路:

⑴证一个向量能由一个向量组线性表示:

①构造非齐次线性方程组，用秩；(用秩做题要有的一个构思——构造数的不等式，夹逼思想)

②定理3.6——一组向量线性无关，加入一个相关，则加入的那个向量可用其余向量表出，且表示法唯一。

③证出某个K≠0，让K当分母。

⑵证不能线性表示:反证法。

三、秩。

1、向量组的秩考点

①求极大无关组:如经初等行变换得到秩为3的矩阵，就找3阶行列式不为0的向量；

②将其他向量用极大无关组表出。

用不同语言解释向量组列(行)满秩，则列(行)向量线性无关:用极大线性无关组解释；用齐次线性方程组只有0解解释。

线性代数里好多知识点可以用不同角度解释、理解——做题开拓思路，同一件事情，从不同角度解释。

极大线性无关组与整个向量组等价，应用到求齐次线性方程组的解，要用有限个解描述无穷个解，则求解解向量的极大无关组——基础解系。

2、矩阵的秩

矩阵的秩用行列式得不得0来定义，矩阵的行秩和列秩是向量组的秩，指向量组的极大无关组有几个向量。两者是完全不同的概念，但都是数值，数值大小一样。

矩阵秩的几个公式及证明。

求n阶矩阵的秩有3个方法:①经初等行变换矩阵的秩不变；②用秩的概念——行列式；③用特征值。

第四章 方程组

这章三点内容，考计算，动手做题发现很多问题。

1、齐次线性方程组

把系数矩阵化成行最简(把自由变量的系数写成相反数)还是阶梯型(代入求解)要灵活处理。选择计算量最小、不易出错的。

基础解系如何找自由变量?——从系数矩阵找单位矩阵(或行列式不为0的矩阵)，挡掉的就是自由变量。

2、非齐次线性方程组

求非齐次特解时，自由变量全为0，其余变量按从上往下顺序抄常数项。

3、公共解、同解

公共解两种考题:①题目说两个方程组有公共解，则联立方程组；②一个给方程组，一个给基础解系，则解方程组，用两个基础解系表示公共解，移项，构造齐次方程组，解出系数，代入任意一组基础解系即可。

同解要注意验证必要条件——秩相等。

第五章 特征值

考试重点，三点内容。

1、求特征值、特征向量。

①定义法。(推理分析)

②特征多项式，特征方程。(通过基础解系求特征向量)

这里的加减消元要学会投机取巧，不要一点一点消，先把最复杂的一个方程全写成0；特征向量尽可能求成整数。

③相似(两矩阵相似，特征值一样，特征向量有关联，背过直接用)

做题技巧:

已知一个矩阵的特征值、特征向量，直接写与其相关矩阵(多项式、幂、逆、伴随、相似)的特征值、特征向量；

把一个矩阵写成一个简单矩阵(秩为1的矩阵特征值有一个为矩阵的迹，另外的全是0)与单位矩阵的和；

齐次方程组的解也是特征值0对应的特征向量；

2、相似

①相似的4个必要条件(行列式、秩、特征多项式和特征值、迹相等)；

②在两个矩阵的相似上注意3条线索:若一个矩阵的行列式和秩不好求，则求与其相似矩阵的行列式、秩；通过相似于对角矩阵求矩阵的幂；证明两矩阵相似，选一个对角矩阵作为中介。

③一个矩阵相似于对角阵的定义——矩阵有n个无关的特征向量。

判断方法:两个充分条件(有n个不同特征值；对称矩阵)；1个充要条件(n重特征值有n个无关的特征向量)。

④求可逆矩阵使矩阵A对角化。题目中不直接告诉A矩阵，此时要予处理。3种题型。

给相似:用相似的必要条件(迹、行列式相等、特征值相同)构造方程组；

给特征向量:用特征值、特征向量定义构造方程组；

特征值有重根:研究秩。

⑤以前是给一个矩阵，求其特征值、特征向量，现在正好反过来，要求A，准备好两套东西——n个特征值、n个特征向量。两个思路:用矩阵方程，用相似。

3、实对称矩阵

①4个特点

②用正交矩阵相似对角化。前3步与用可逆矩阵相似对角化一致，第4步是将求得的特征向量正交化(施密特)、单位化(别带分母，就写整数部分)。

第六章 二次型

1、标准型

二次型化标准型的问题，在正交变换下就演变成求A 的特征值、特征向量。

2、正定

判断矩阵是否正定?①先检验A 对称②证明A 正定(主对角线上的元素都大于0是正定的必要条件；顺序主子式全大于0；特征值全大于0)

证明正定?①定义法②特征值法③A 与单位矩阵合同(正惯性指数为n )

3、合同

相似一定合同，合同一定等价。反之不成立。

举例矩阵特征值相同但不相似→要举反例，特征值必须是重根。

等价u21d4同型矩阵秩相等

证明相似(n 阶)→相似于同一个对角矩阵

证明不相似→用相似的4个充分条件；一个相似于对角矩阵，一个不能相似对角化。

实对称矩阵相似u21d4特征值相同

合同(n 阶实对称)u21d4正负惯性指数相等。

六章全结束，祝顺利。