线性代数自由变量

矩阵中的自由变量是指线性规划中没有非负性条件的设计变量。线性规划中没有非负性条件的设计变量是把系数矩阵化成行阶梯型，非零行的首个非零元对应的列就是主元，其余的都是自由变量。

这个？？？我不会

矩阵自由变量的选取原则：先找出列向量的最大无关线性组。先找出列向量的最大无关线性组，其余列对应的变量就是自由变量。最大无关线性组是指在线性空间中拥有向量个数最多的线性无关向量组，其主要作用为确定矩阵的秩或是讨论线性方程组的基础解系等。自由变量是指线性规划中没有非负性条件的设计变量。

三个未知变量，秩为1,则有两个自由变量。显然，x2,x3具有相关性，只要确定了x2,x3便确定了。所以，不能直接选x2,x3为自由变量。所以，可以选x1,x2,也可以选x1,x3作为自由变量

矩阵的秩和自由变量的关系是秩代表了自由变量的个数。秩代表了自由变量的个数，秩小于行数，代表约束个数大于自变量个数方程组有零解或无解，等于列数则表示约束个数与自变量个数相等，方程组有唯一解或零解。自由变量，指的是未指定符号的通配符。

线性代数解矩阵方程时，确定主变量，确定矩阵方程中的主变量和自由未知量：把系数矩阵经初等行变换化成梯矩阵。非零行的从左至右第1个不等于0的数所处的列对应的未知量是约束变量, 其余未知量就是自由未知量。一般选取单位基础向量进行赋值，例如（0，1，0）（1，0，0）等等等，保证了其线性无关性，所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系。那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系，显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个，在x1，x2，x3中任选两个，进行赋值，一般为（0，1）或者（1，0），然后确定最后一个值。证明对齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换化为阶梯型矩阵后，不全为零的行数r（即矩阵的秩）小于等于m（矩阵的行数），若m<n，则一定n>r,则其对应的阶梯型n-r个自由变元，这个n-r个自由变元可取任意取值，从而原方程组有非零解（无穷多个解）。

根据系数矩阵秩r(A)与齐次方程基础解向量个数的关系。基础解向量个数+r(A)=n而本题，r(A)=1,n=3所以基础解向量个数为2.也就是有一个自由向量。自由向量是可以任意指定的. 比如本题令(xu2083,yu2083,zu2083). 你可以认为这个自由变量为其他的两个，(xu2081,yu2081,zu2081),（xu2082,yu2082,zu2082）也可以。然后利用划出的最简关系式，求得对应的另外两个向量的解。就是如图的解答了。

增广矩阵自由变量选取的原则：1、自由变量个数等于基础解系向量个数。找出列向量的最大无关线性组，其余列对应的变量就是自由变量了。2、自由变量是指线性规划中没有非负性条件的设计变量。若问题中含有这种变量，为构成线性规划标准式，常以两个相减的非负设计变量替代之，使优化设计数学模型中的所有设计变量均为非负设计变量。

可能是说如果取x3作为自由向量x2不好表示?不如x2表示方便

不是 “矩阵中分别有几个自由变量" , 而是 “线性方程组中分别有几个自由未知量”。4 个线性方程组 系数矩阵的秩分别为 1， 1， 2， 2，未知量的个数分别为 2， 3， 4， 2自由未知量的个数分别为 2-1 = 1， 3-1 = 2， 4-2 = 2， 2-2 = 0

基础解系不唯一 求出来后正交化只有一个了

x5那里不是还有一个“6”吗？选C

自由未知量所在列之外的列构成A的列向量组的一个极大无关组，所以应该选 (A)，这是因为取 x4，x5 后，1，2，3列不构成A的极大无关组。所谓的自由变量就是当他们取定一组值时，其余变量的值可以用这些值表示出来。由阶梯形矩阵可知6x5=0，所以x5的值已定，不能作为自由变量。其余三个选项可验证满足前面要求。具体讨论，矩阵的秩是3，自由变量为5-3=2个，阶梯形矩阵有3个阶梯，每一个阶梯上选择一个变量为非自由变量，剩下的就是自由变量。所以x5肯定是非自由变量。含义谓词逻辑中的谓词的真值与谓词中的约束变量的记法无关。因此，可引入改名规则：若打算把某谓词公式中的量词(Qx)换成(Qy)，则y必须是在该(Qx)的作用域内不出现的变量，并且把该(Qx)的作用域内一切自由出现的x换成y。因此，在谓词逻辑的一个表达式中，总可以通过改名规则，使得该表达式中所有的约束变量都不是自由变量，于是，所有的自由变量也都不是约束变量。

在阶梯形矩阵中，若非零行的第一个非零元素全是1，且非零行的第一个元素1所在列的其余元素全为零，就称该矩阵为行最简形矩阵。例如矩阵：

思路仍然是一样的，但是计算过程会麻烦一些1、第3列、第5列为自由变量，其它三列为主变量2、把第3列、第5列为(1,0)和(0,1)这两种情况分别带入每一行的方程求解（从下至上求解），求出两个线性无关的解，然后得到基础解系

那为什么要取X3为自由变量了？原理是什么，首先观察矩阵，显然，x1-x3=0x2-x3=0显然 ，x3与x1,x2均相关，所以，当确定x3后，那么x1,x2也就确定了。必须是选定自由变量，那么其他的量就确定了。所以选x3最简便的确定其他的量。为什么不能取X1或者X2为自由变量？这种认为是不对的！，也可以选x1,或者x2作为自由变量。因为x2确定，那x3也确定，从而x1也确定。为什么取X3之后保证了基础解系的之间是线性无关的？（假如有2个基础解系）有多少（r）个自由变量，说明矩阵的秩为n-r那么相应的就有n-r个基础解系。其次，我们在进行赋值时，一般选取单位基础向量进行赋值，例如（0，1，0，。。）（1，0，0，。。。）等等等，保证了其线性无关性所谓自由变量，就是可以随意选择的变量，出现这种情况是因为未知数多，互异的约束方程少导致。所以少几个就有几个自由变量，从而有相应的基础解系那么他的自由变量如何确认而得到正确的基础解系显然，矩阵秩为1，那么自由变量为3-1=2个在x1,x2,x3中任选两个，进行赋值，一般为（0，1）或者（1，0）然后确定最后一个值。

对齐次线性方程组Ax=0将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵(这时可确定自由变元, 但最好化成行最简形,以便于求解)非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元, 其余变元取作自由变元.(这是一种最好掌握的取法, 别的取法就不必管它了)

有种组变量的方法，比较快。还有就是对于特征向量求解过程中选自由变量前一步需要先化简矩阵，这时候可以用到一个比较容易忽视的地方：代入特征值后的特征方程组的系数矩阵一定是相关的，也就是最后一行（观察行列式子式也可能是最后的n行)一定为0，选择较为简单的行作行变换即可。选取自由变量时首先确定组变量，然后剩下的Xi 为自由变量。

如图所示

首先，自由变量的个数等于变量总数减去系数矩阵的秩。然后，去掉自由变量后的行列式不等于零，再一个个检查是否不为零。

系数矩阵的秩为3，未知数为5个，所以自由变量的个数为5-3=2,x1,x2,x3,x4,x5一共5个未知数，但是你只有三个方程，所以就会出现两个自由变量

自由向量就是不可以解的方程的未知数

先标记每行的第一个非0数除去这些所标记的数所在的列其它列即为所求自由变量

求基础解系时,用对自由变量赋值的方法,有书上说找出一个秩为r(A)的矩阵,则其余的n-r(A)就是对应的自由变量,那第一个未知量不是主变量么,按他那么说不就可以取主变量当自由变量了?

u和t，1和0是完全一样的，它是解的两种不同表达形式而已。当你取1和0时，前面无穷多解的k1和k2换作t和u可以得到一样的结果。

对齐次线性方程组Ax=0将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵(这时可确定自由变元, 但最好化成行最简形,以便于求解答)非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元, 其余变元取作自由变元.

同问，请问你解决了吗

1.这与矩阵能否对角化有关 A可对角化的充分必要条件是对k重根,相应的齐次线性方程组的基础解系含k个向量. 二重根只取一次时,矩阵不能对角化. 至于判断是否化到了最简阶梯阵,你看看教材中的定义,一两句说不清楚

1、矩阵的维数和矩阵的秩两者范围不同：维度，是数学中独立参数的数目；而秩表示的是其生成的子空间的维度。如果还考虑m× n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵 A的线性无关纵列的极大数目。2、矩阵的维数和矩阵的秩两者用途不同：“点基于点是0维、点基于直线是1维、点基于平面是2维、点基于体是3维”。再进一步解释，在点上描述（定位）一个点就是点本身，不需要参数；在直线上描述（定位）一个点，需要1个参数（坐标值）。在平面上描述（定位）一个点，需要2个参数（坐标值）；在体上描述（定位）一个点，需要3个参数（坐标值）。而矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。3、矩阵的维数和矩阵的秩两者对应关系不同：矩阵的维数没有固定的对应关系。而对于每个矩阵A，fA都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得 f= fA。也就是说，映射是一个同构映射。所以一个矩阵 A的秩还可定义为fA的像的维度。矩阵 A称为 fA的变换矩阵。参考资料来源：搜狗百科-维度参考资料来源：搜狗百科-秩（线性代数术语）

因为矩阵的秩=1，未知量个数有3个所以自由变量有3-1=2个自由变量的选取是随意的，x1，x2，x3中任选2个作为自由变量，其它未知数用自由变量表示（表示的方法就是根据变换后的矩阵解多元一次方程）所得的解即为解（一般解）通

原因是无法找到特征向量。特征值要有自由变量的原因是矩阵的特征值必须包含自由变量，否则无法找到特征向量，即无法求解特征值和特征向量。特征值是矩阵理论中的一个重要概念，是方阵在线性代数中的基本性质之一。

? 演员表4 剧目

给你举一个简单的例子，方程组x+y=1,y+z=1,那么如果选择用x表示该线性方程组的解就是x=x.y=1-x,z=x,如果用y表示其解，那就是x=1-y,y=y,z=1-y,同样用z表示法类似；那么上述解得坐标形式分别就是（0，1，0）^T+x(1,-1,1)^T,（1，0，1）^T+y(-1,1,-1)^T,其中x,y任意。这说明自由变量可以任意选取.而自由变量的选取往往是根据方程组的各个变元的系数来选取，以使其基础解析尽量为整数解，比如说2x+3y=0，一般会选取(-3,2)或者(3,-2)来作为其基础解析。对于你上面说的那种方法是将A做初等行变换化为阶梯型的矩阵，而这种方法的实际呢是利用我们以前学的解方程组的消去法。此种方法的原理用简单的方程组给你表达就是x1+x2+...xn=0x2+x3+...+xn=0.......,xk+...+xn=0,那么从最后一个式子解出xk=-x(k+1)-...-xn,依次往上从而解出x1.当然上面的表达式省略了各个变元的系数。这就是通解，所以解方程组最重要的就是做初等变换化为阶梯型矩阵。当然就像我一开始说的特殊情况特殊对待不一定非得这样解，只不过这样解是万能的。希望楼主能理解！能采纳！

本节首先讲解了矩阵变换的两种形式： 阶梯形 和 简化阶梯形 ，并讲述了这两种变换之间的关系（最重要的关系是二者的主元位置和主元列是相同的）。之所以引入这两种变换，是为了给解线性方程组和研究线性方程组解的性质提供方便。接下来，讲解了利用 简化阶梯形 求解线性方程组解的方法，最后讨论了利用 阶梯形 矩阵判断方程组解的 存在性 和 唯一性 的方法，并得出了 解线性方程组的一般步骤 。 非零行： 矩阵中至少包含一个非零元素的行 非零列： 矩阵中至少包含一个非零元素的列 先导元素： 非零行中最左边的非零元素 一个矩阵称为 阶梯形 (或 行阶梯形 )，若它有以下三个性质： 若一个阶梯形矩阵还满足以下性质，则称它为 简化阶梯形 （或 简化行阶梯形 ）: 下面是 阶梯形矩阵 的例子，先导元素用 表示， 表示任意元素。 下面是一个 简化阶梯形矩阵 的例子： 任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）为阶梯形矩阵。若矩阵 行等价于阶梯形矩阵 ，则称 为 的阶梯形；若 是简化阶梯形，则称 为 的简化阶梯形。 需要注意： 阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变 。因简化阶梯形是唯一的，故当给定矩阵化为任何一个阶梯形时，先导元素总是在相同的位置上。 定义： 矩阵中的 主元位置 是 中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。 主元列 是 的含有 主元位置 的列。 下面的例子说明了可以通过把一个矩阵变换为阶梯形矩阵来求取主元位置 : 有如下矩阵： 经过行化简后，可以变换为如下形式： 这个矩阵符合如下一般形式： 由上述对 主元位置 和 主元列 的定义，可知，该矩阵的主元分别是 ， ， ，主元列分别是第一、二、四列。 下面的例子说明了求取简化阶梯形的两个步骤，第一个步骤先将矩阵变换为阶梯形矩阵，第二个步骤再将阶梯形矩阵化简为简化阶梯形矩阵 ： 有如下矩阵： 通过一系列的初等行变换（ 这一步骤称为行化简算法的向前步骤 ），可以得到其阶梯形矩阵： 接下来，为了得到简化阶梯形，需要将主元通过变换变为1，并且，通过将这一行乘以适当的倍数，加到其余的行，来使得该主元列其他的元素都变为0。这一步骤称为 行化简的向后步骤 。 经过这一步骤后，可以得到该矩阵的简化阶梯形： 本节讲述的 阶梯形 、 简化阶梯形 可以为下一节所述的解线性方程组提供方便。 行化简算法应用于方程组的 增广矩阵 时，可以得出线性方程组解集的一种显式表示法。 例如，设某个线性方程组的增广矩阵已经化为等价的 简化阶梯形 : 对应的线性方程组为： 对应于主元列的变量 和 称为 基本变量 ，其他变量称为 自由变量 。 由于简化阶梯形使每个基本变量仅包含在一个方程中（由于每一先导元素1是该元素所在列的唯一非零元素，所以除了该先导元素所在的行，其他行对应列的位置的元素都是零了），因此可以在每一个方程中用自由变量表示基本变量，便可以得到方程组的解。 上述方程组的通解为： 另外 是自由变量。所谓的自由变量，是指它可取任意的值。 的不同选择确定了方程组的不同的解，方程组的每个解由 的值的选择来确定。 形如上述方程组的表示式称为解集的参数表示，其中自由变量作为参数。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。 需要注意，在上述方程组中，把 作为自由变量只是一种约定，其实它们之间中的任何一个都可以作为所谓的自由变量，来表示两外两个未知数。 确定下列方程组的解是否存在且唯一： 由上述 阶梯形 与 简化阶梯形 之间的关系（阶梯形矩阵化简为简化阶梯形时，先导元素的位置并不改变。），判断线性方程组解的 存在性 与 唯一性 问题，只需要将矩阵变换为 阶梯形 就可以了。 例如，将上述方程组化简为如下阶梯形： 可以判断出，基本变量是 ， ， ，自由变量是 ， 。这里没有类似 等明显不成立的方程，所以该方程是有解的。同时，解不是唯一的，因为有自由变量的存在。 由此引出了下面的定理： 通过上面的讨论，也可以总结出解线性方程组的一般步骤： 例题：假设一个方程组的 系数矩阵有4个主元，这个方程组是相容的吗？如果它是相容的，有多少解？ 解：由于系数矩阵有4个主元，因此系数矩阵的每行有一个主元。这意味着系数矩阵是行简化的，它没有0行，因此相应的行简化增广矩阵没有形如 的行，其中 是一个非零数。由本文所述定理知，方程组是相容的。此外，因为系数矩阵有7列且仅有4个主元列，所以将有3个自由变量构成无穷多解。

把方程组的系数矩阵用初等行变换（加减消元）化成行阶梯，如果有自由变量的话，会发现有全部为0 的一行，意思也就是把某一个变量消没了，哪个变量没的了，这个就是自由变量了，非0行第一个元素就是主元，其他的在根据矩阵的秩和方程的关系想清楚不成问题的。以上我是用自己话说的，不严谨，确定自由变量的方法本质就是这个东西吧。

线性方程组的解集合的极大线性无关组就是这个方程组的基础解系。先求解方程组 解出所有解向量，然后求出其极大线性无关组就好。一般求基础解系先把系数矩阵进行初等变换成下三角矩阵，然后得出秩，确定自由变量，得到基础解系,基础解系是相对于齐次(等号右边为0)的.例如:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,其增广矩阵为1 1 1 7 21 2 1 2 35 8 5 20 132 5 2 -1 7通过初等变换为:1 1 1 7 20 1 0 -5 10 0 0 0 00 0 0 0 0秩为2，未知数个数为4，自由变量个数为4-2=2设自由变量为x3、x4,取(x3,x4)=(1,0)和(0,1)代入方程组(取最终变换得到的比较简单)可得:(x1,x2)=(-1,0)和(-12,5)于是基础解系的基:(-1,0,1,0)T和(-12,5,0,1)T.扩展资料线性代数通解和基础解系的区别如下：1、定义不同，对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解的统一形式，称为通解。基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。2、求法不同，基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

自由未知量的个数 = n - r(A)其中 n 是未知量的个数, r(A) 是系数矩阵的秩当系数矩阵化成梯矩阵或行最简形时, r(A) 就是非零行 的行数.一般这样选取自由未知量:非零行的首非零元所在列为约束未知量 (例1中的 x2; 例2中的 x1和x2)其余未知量取作自由未知量 (例1中的 x1和x3; 例2中的 x3)你说的: 可是在做题时只取第三个1对应的X3为自由变量，这是为什么呢？这不对, 这个例子中自由未知量只有 x3, 取x3=1, 得基础解系 (0,-1,1)".

实际上选哪个为向量无所谓的把方程组化简为x1+x2+x3=0之后显然矩阵的变量有3个，而其秩为1于是n-r(A)有3-1=2个解向量x1，x2，x3里面选哪两个都可以只是在通常情况下更习惯用后面的向量作为自由变量

非零行的首非零元所在列对应的未知量是约束的其余的是自由未知量你的题目 自由未知量应该取 x2,x4事实上, 自由未知量所在列应该可由其余列线性表示, 也说是说其余的列应该是列向量组的一个极大无关组不过一般用上面的方法就可以了有疑问请追问

不知道

把它们分别表示为t1,t2，然后就当常数带进去算即可。这里t1,t2属于矩阵所属数域中的任意值。

未必。是否有无穷多解，只能判断r（A）是否＝r（A，b）

肯定是1啊

当R(A)不等于n时 就说明有自由变量 数量是n-R(A)比如有x1 x2 x3三个未知数 那么如果有一个自由变量 你任选一个给他赋任意值就行了 只要保证结果x1 x2 x3不全为0即可

设齐次线性方程组AX=0将A用初等行变换化成行简化梯矩阵,比如1 2 0 3 40 0 1 5 60 0 0 0 00 0 0 0 0则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量,例中为 x1,x3其余变量即为自由变量,例中为 x2,x4,x5

设齐次线性方程组AX=0将A用初等行变换化成行简化梯矩阵,比如1 2 0 3 40 0 1 5 60 0 0 0 00 0 0 0 0则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量,例中为 x1,x3其余变量即为自由变量,例中为 x2,x4,x5

设齐次线性方程组AX=0将A用初等行变换化成行简化梯矩阵,比如1 2 0 3 40 0 1 5 60 0 0 0 00 0 0 0 0则非零行的首非零元所在列对应的就是约束变量,例中为 x1,x3其余变量即为自由变量,例中为 x2,x4,x5

对齐次线性方程组Ax=0将系数矩阵A用初等行变换化成梯矩阵(这时可确定自由变元, 但最好化成行最简形,以便于求解)非零行的首非零元所在列对应的变元为约束变元, 其余变元取作自由变元.(这是一种最好掌握的取法, 别的取法就不必管它了)

实际上无所谓的式子化为x1+x2+x3=0矩阵的变量有3个，而秩为1于是有3-1=2个解向量x1，x2，x3里面选哪两个都可以而通常情况下更习惯用后面的向量