代数

　　整式分为单项式和多项式,单项式就是数字*字母,多项式就是单项式的和 2a的m次方：a是‘底数",m是‘指数",结果是‘幂",2是系数 　公式：a的m次方*a的n次方=a的（m+n）次方,同底数幂相乘,底数不变,指数相加 （a的m次方)的n次方=a的m*n次方,幂的乘方,底数不变,指数相乘 a的m次方/a的n次方=a的（m-n)次方,同底数幂相乘,底数不变,指数相减 整式的乘法：将每个单项式都拆开,系数相乘,其余按以上公式进行 例：2a（b的三次方）*7（a的二次方）b =2*a*（b的三次方）*7*（a的二次方）*b =(2*7)*(a*a的二次方)*（b的三次方*b) =14*a的三次方*b的四次方 最后,把乘号去掉

线性代数常用公式包含：行列式、伴随矩阵的性质公式、逆矩阵的性质公式、矩阵的秩定理、矩阵的秩定理、矩阵的秩性质和抽象向量组证明无关的解法等等。线性代数是一般线性代数gl(V)的子代数。线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系问题。线性关系意即数学对象之间的关系是以一次形式来表达的。例如，在解析几何里，平面上直线的方程是二元一次方程；空间平面的方程是三元一次方程，而空间直线视为两个平面相交，由两个三元一次方程所组成的方程组来表示。含有n个未知量的一次方程称为线性方程。关于变量是一次的函数称为线性函数。线性关系问题简称线性问题。解线性方程组的问题是最简单的线性问题。所谓“线性”，指的就是如下的数学关系：f(x+y)=f(x)+f(y)。其中，f叫线性算子或线性映射。所谓“代数”，指的就是用符号代替元素和运算，也就是说：我们不关心上面的x，y是实数还是函数，也不关心f是多项式还是微分，我们统一把他们都抽象成一个记号，或是一类矩阵。合在一起，线性代数研究的就是：满足线性关系f(x+y)=f(x)+f(y)的线性算子f都有哪几类，以及他们分别都有什么性质。

逻辑代数也叫开关代数或者布尔代数. 逻辑运算： （1）逻辑加：A+B=C或者A∨B=C, 当A,B至少一个为1时,C=1 当A,B都不为1时,C=0. 加法表：0+0=0 0+1=1, 1+0=1 1+1=0（0表示断开,1表示闭合） （2）逻辑乘：A×B=C或者A∨B=C 当A,B都是一时,C=1, 当A,B至少有一个是0时,C=0. 乘法表： 0×0=0, 0×1=0 1×0=0, 1×1=1 （3）逻辑反：0（上面加一横）=1,1（上面加一横）=0 意义：0上面加一横,表示（非0）,所以只能是1. 基本关系： A+0=A,A·0=0 A+1=1,A·1=A A+A=A,A·A=A A+A（上面加一）=1,A·A（一）=0 A（上面加二）=A. A+B=B+A,AB=BA, （A+B）+C=A+（B+C） AB+AC=A（B+C） A+AB=A,A（A+B）=A 还有一些不常用,就不一一列举了.

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F=A(非)+AB+B(非)E=A"+AB+B"E=A"+B+B"E=A"+B+E

新学的？

如果数值求积公式对于任何不高于m次的代数多项式都准确成立，而对m+1次代数多项式不准确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度，简称代数精度。 梯形公式：代数精度1次。梯形求积公式，指n=1时的牛顿一科特斯公式。公式左端是以[a,b]区间上积分，右端为b一a为高、端点函数值为上下底的梯形的面积值，故通称为梯形公式，具有1次代数精确度。 矩形公式：代数精度3次。

newton公式高等代数：方程y=f(x)=0求出y"=f"(x)则x(n+1)=xn-[f(xn)/f"(xn)]其中n和n+1是下标一般先用f（a）f（b）<0来确定解得范围，在此范围选一个x1代入x（n+1）=xn-［f（xn）/f"（xn）］，求出x2，x3一直到需要的精度三次和四次有求根公式，5次及以上没有根式解高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。

1^3+2^3+3^3+....+n^3=[n^2*(n+1)^2]/4

太笼统了

乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h" 圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S"L 注：其中,S"是直截面面积， L是侧棱长 柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

初中数学公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12 两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理 (SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ( ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 (AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 (SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 (HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 ( 即等边对等角） 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 定理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45 逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称 46 勾股定理 直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 47 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形 48 定理 四边形的内角和等于 360° 49 四边形的外角和等于 360° 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（ n-2 ） × 180° 51 推论 任意多边的外角和等于 360° 52 平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53 平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54 推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积 = 对角线乘积的一半,即 S= （ a× b ） ÷ 2 67 菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68 菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角 71 定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72 定理 2 关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分 73 逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一 点平分,那么这两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等,那么在其他直线上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它 的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的 一半 L= （ a+b ） ÷ 2 S=L× h 83 (1) 比例的基本性质 如果 a:b=c:d, 那么 ad=bc 如果 ad=bc, 那么 a:b=c:d 84 (2) 合比性质 如果 a ／ b=c ／ d, 那么 (a± b) ／ b=(c± d) ／ d 85 (3) 等比性质 如果 a ／ b=c ／ d=…=m ／ n(b+d+…+n≠0), 那么 (a+c+…+m) ／ (b+d+…+n)=a ／ b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应 线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） ,所得的对应线段成比例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交,所构成的三角形与原三角形相似 91 相似三角形判定定理1 两角对应相等,两三角形相似（ASA） 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似（SAS） 94 判定定理3 三边对应成比例,两三角形相似（SSS） 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理1 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平 分线的比都等于相似比 97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆. 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它 的内对角 121①直线L和⊙O相交 d＜r ② 直线 L 和⊙ O 相切 d=r ③ 直线 L 和⊙ O 相离 d ＞ r 122 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径124 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127 圆的外切四边形的两组对边的和相等128 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129 推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等130 相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等131 推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133 推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上135 ① 两圆外离 d ＞ R+r ② 两圆外切 d=R+r ③ 两圆相交 R-r ＜ d ＜ R+r(R ＞ r) ④ 两圆内切 d=R-r(R ＞ r) ⑤ 两圆内含 d ＜ R-r(R ＞ r) 136 定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137 定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴ 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形⑵ 经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形138 定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆139 正 n 边形的每个内角都等于（ n-2 ） × 180° ／ n 140 定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形141 正 n 边形的面积 Sn=pnrn ／ 2 p 表示正 n 边形的周长142 正三角形面积 √3a ／ 4 a 表示边长143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为360° ,因此 k× (n-2)180° ／ n=360° 化为（ n-2 ） (k-2)=4 144 弧长计算公式： L=n 兀 R ／ 180 145 扇形面积公式： S 扇形 =n 兀 R^2 ／ 360=LR ／ 2 146 内公切线长 = d-(R-r) 外公切线长 = d-(R+r) 147 完全平方公式： (a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2=a^2-2ab+b^2 148 平方差公式： (a+b)(a-b)=a^2-b^2 （还有一些,大家帮补充吧）实用工具 : 常用数学公式公式分类 公式表达式乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a - b|≤|a|+|b| |a|≤b - b≤a≤b |a- b|≥|a| -|b| - |a|≤a≤|a| 一元二次方程的解 - b+√(b2 -4ac)/2a -b- √(b2 -4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac0 抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h 正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h" 圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 斜棱柱体积 V=S"L 注：其中 ,S" 是直截面面积, L 是侧棱长柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

ab为乘法交换律，即ab=ba。“乘法交换律是乘法运算的一种运算定律。两个因数相乘，交换因数的位置，积不变，叫做乘法交换律。多数相乘，任意两个数交换位置，其积不变。”

矩阵的积的转置等于原来两个矩阵的转置交换位置后的积。逆也一样，等于两矩阵的逆，交换位置后的积分了。

逻辑代数基本公式如下:1、常量与常量2、常量与变量3、变量与变量基本定律：逻辑代数是一门完整的科学。与普通代数一样，也有一些用于运算的基本定律。基本定律反映了逻辑运算的基本规律，是化简逻辑函数、分析和设计逻辑电路的基本方法。1、交换律2、结合律3、分配律4、反演律（德·摩根定律）逻辑代数：逻辑代数是按一定的逻辑关系进行运算的代数，是分析和设计数字电路的数学工具。在逻辑代数，只有0和1两种逻辑值， 有与、或、非三种基本逻辑运算，还有与或、与非、与或非、异或几种导出逻辑运算。逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地表示为 0 和 1 ，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0 和 1 称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。

1、函数与方程的思想：用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。2、数形结合思想：在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。3、分类讨论思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；由于图形的不确定性引起的讨论；由于题目含有字母而引起的讨论。4、等价转化思想：等价转化是指同一命题的等价形式．可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。5、整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

　　整式分为单项式和多项式，单项式就是数字*字母，多项式就是单项式的和2a的m次方：a是‘底数"，m是‘指数"，结果是‘幂"，2是系数　公式：a的m次方*a的n次方=a的（m+n）次方，同底数幂相乘，底数不变，指数相加（a的m次方)的n次方=a的m*n次方，幂的乘方，底数不变，指数相乘a的m次方/a的n次方=a的（m-n)次方，同底数幂相乘，底数不变，指数相减整式的乘法：将每个单项式都拆开，系数相乘，其余按以上公式进行例：2a（b的三次方）*7（a的二次方）b=2*a*（b的三次方）*7*（a的二次方）*b=(2*7)*(a*a的二次方)*（b的三次方*b)=14*a的三次方*b的四次方最后，把乘号去掉

线性代数公式如下：这里所谓的“线性代数公式”其实指的是，在线性代数的范畴内，用数学符号表示几个量之间关系的式子。之所以称之为公式，主要是因为这种表达关系的式子具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。公式的特点：在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义(特定于一阶逻辑)：公式是相对于特定语言而定义的。就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数来指示它所接受的参数的数目。

3^(2x+1)=(3^2x)*3=123^2x=43^x=2x=lg2/lg3=0.6309298----------------------------------------x=2.2618的话3^(2x+1)=3^5.5236>3^5

逻辑代数中，任何数都只有1和0两种可能。1代表真，0代表假+代表或（或要求两个中至少一个是真，结果就是真），·代表并且（并且要求两个中只少一个是假，结果就是假）因为逻辑代数中，只有0和1两种值所以基本计算式也少，就8个分别是4个加法：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1和4个乘法：0·0=0，0·1=1，1·0=1，1·1=1所以根据基本计算式可知，无论a是等于1，还是a等于0，和0相乘，结果都是0所以0·a=0

逻辑代数基本公式：A+AB=A（1+B）=A1。逻辑代数是一种用于描述客观事物逻辑关系的数学方法，由英国科学家乔治·布尔（George·Boole）于19世纪中叶提出，因而又称布尔代数。逻辑关系（logicrelationship）即“依赖关系”，是指在项目管理中，指表示两个活动（前导活动和后续活动）中一个活动的变更将会影响到另一个活动的关系。

F=A"+AB+B"E =A"+B+B"E=A"+B+E。

1、正弦定理：对于△ABC，三边分别为a、b、c，则有：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R （R为其外接圆半径） 2、余弦定理：对于△ABC，三边分别为a、b、c，则有：a＊2=b＊2+c＊2-2bccosA b＊2=a＊2+c＊2-2accosB c＊2=b＊2+a＊2-2bacosB 3、面积公式： S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA=abc/(4R) (a。b、c分别为三角形的三边，A为边b、c的夹角，其他类似;R为其外接圆半径） 海伦公式：设三角形三边为a、b、c，p=1/2(a+b+c) 则面积S＝√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 4、射影定理 5、相交弦定理 6、对于Rt△，斜边c，直角边a、b，内切圆半径r，则有：r=(a+b+c)/2 7、△三边中线的交点（重心）分中线为两段，这两段的长度之比为2：1

这里给出一些常见的代数式找规律的公式：1. 等差数列通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$2. 等比数列通项公式：$a_n=a_1r^{n-1}$3. 平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$4. 二次方程解的公式：$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$5. 因式分解公式：- $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$- $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$- $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$6. 求和公式：- $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$- $1+3+5+...+(2n-1)=n^2$- $1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$7. 指数与对数公式：- $a^n\times a^m=a^{n+m}$- $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$- $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$- $\log_ab=x\Leftrightarrow a^x=b$

　　代数是初中数学的一个重要的运算理论和方法，它最早在1859年被使用。下面是我给大家整理的初中代数公式，供大家参阅! 　　初中代数公式 　　乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 　　三角不等式 |a+b|u2264|a|+|b| |a-b|u2264|a|+|b| |a|u2264b<=>-bu2264au2264b 　　|a-b|u2265|a|-|b| -|a|u2264au2264|a| 　　一元二次方程的解 -b+u221a(b2-4ac)/2a -b-u221a(b2-4ac)/2a 　　根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 　　判别式 　　b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 　　b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 　　b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 　　三角函数公式 　　两角和公式 　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 　　ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 　　倍角公式 　　tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 　　cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 　　半角公式 　　sin(A/2)=u221a((1-cosA)/2) sin(A/2)=-u221a((1-cosA)/2) 　　cos(A/2)=u221a((1+cosA)/2) cos(A/2)=-u221a((1+cosA)/2) 　　tan(A/2)=u221a((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-u221a((1-cosA)/((1+cosA)) 　　ctg(A/2)=u221a((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-u221a((1+cosA)/((1-cosA)) 　　和差化积 　　2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 　　2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 　　sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) 　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 　　ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 　　某些数列前n项和 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+u2026+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+u2026+(2n-1)=n2 　　2+4+6+8+10+12+14+u2026+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+u2026+n2=n(n+1)(2n+1)/6 　　13+23+33+43+53+63+u2026n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+u2026+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 　　正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径 　　余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 　　圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 　　圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 　　抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 　　直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h 　　正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h" 　　圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 　　圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 　　弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形 面积公式 s=1/2*l*r 　　锥体 体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 　　斜棱柱体积 V=S"L 注：其中，S"是直截面面积， L是侧棱长 　　柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h 　　代数的起源与发展 　　初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。 　　代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解bx+k=0这类用符号表示的方程的技巧。那么，这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。 　　如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪 古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。而在 中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。 　　“代数”作为一个数学专有名词、代表一门数学分支在中国正式使用，最早是在1859年。那年，清代数学家里 李善兰和英国人 韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，中国古代早就产生了，比如《九章算术》中就有方程问题。 　　初等代数的内容 　　中心内容 　　初等代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 　　初等代数是更古老的算术的推广和发展。在古代，当算术里积累了大量的，关于各种数量问题的解法后，为了寻求有系统的、更普遍的方法，以解决各种数量关系的问题，就产生了以解方程的原理为中心问题的初等代数。 　　代数是由算术演变来的，这是毫无疑问的。至于什么年代产生的代数学这门学科，就很不容易说清楚了。比如，如果你认为“代数学”是指解ax2+bx+c=0这类用符号表示的方程的技巧。那么，这种“代数学”是在十六世纪才发展起来的。 　　如果我们对代数符号不是要求象现在这样简练，那么，代数学的产生可上溯到更早的年代。西方人将公元前三世纪古希腊数学家刁藩都看作是代数学的鼻祖。而在中国，用文字来表达的代数问题出现的就更早了。 　　那年，清代数学家里李善兰和英国人韦列亚力共同翻译了英国人棣么甘所写的一本书，译本的名称就叫做《代数学》。当然，代数的内容和方法，中国古代早就产生了，比如 《九章算术》中就有方程问题。 　　初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。 　　要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成 代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。 　　在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。 　　有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。 　　那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢?数学家们说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理— 代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日 瑞士数学家 欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家、 德国的 高斯在1799年给出了严格的证明。 　　把上面分析过的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是： 　　三种数——有理数、无理数、复数 　　三种式——整式、分式、根式 　　中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。 　　初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格地说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容;函数是分析数学的内容;不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围;坐标法是研究解析几何的u2026u2026。这些都只是历史上形成的一种编排方法。 　　初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。 　　这十条规则是： 　　五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律; 　　两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变;等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变; 　　三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加;指数的乘方等于底数不变指数想乘;积的乘方等于乘方的积。 　　初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组;另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了 　　初等代数的中心内容是解方程，因而长期以来都把代数学理解成方程的科学，数学家们也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度计算性的。 　　中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。 　　要讨论方程，首先遇到的一个问题是如何把实际中的数量关系组成代数式，然后根据等量关系列出方程。所以初等代数的一个重要内容就是代数式。代数式的定义是：由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子。例如：ax+2b，-2/3等。由于事物中的数量关系的不同，大体上初等代数形成了整式、分式和根式这三大类代数式。代数式是数的化身，因而在代数中，它们都可以进行四则运算，服从基本运算定律，而且还可以进行乘方和开方两种新的运算。通常把这六种运算叫做代数运算，以区别于只包含四种运算的算术运算。 　　基本内容 　　在初等代数的产生和发展的过程中，通过解方程的研究，也促进了数的概念的进一步发展，将算术中讨论的整数和分数的概念扩充到有理数的范围，使数包括正负整数、正负分数和零。这是初等代数的又一重要内容，就是数的概念的扩充。 　　有了有理数，初等代数能解决的问题就大大的扩充了。但是，有些方程在有理数范围内仍然没有解。于是，数的概念在一次扩充到了实数，进而又进一步扩充到了复数。 　　那么到了复数范围内是不是仍然有方程没有解，还必须把复数再进行扩展呢?数学家们说：不用了。这就是代数里的一个著名的定理—代数基本定理。这个定理简单地说就是n次方程有n个根。1742年12月15日瑞士数学家欧拉曾在一封信中明确地做了陈述，后来另一个数学家、德国的高斯在1799年给出了严格的证明。 　　把上面分析过的内容综合起来，组成初等代数的基本内容就是： 　　三种数——有理数、无理数、复数 　　三种式——整式、分式、根式 　　与中学代数课程内容的差异 　　初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，但又不完全相同。比如，严格地说，数的概念、排列和组合应归入算术的内容;函数是分析数学的内容;不等式的解法有点像解方程的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学的范围;坐标法是研究解析 几何的u2026u2026。这些都只是历史上形成的一种编排方法。 　　

这个代数里的公式是很多的这个都是基础，所以每课的基础部分都是很重要的

公式代数(algebra of formulas)一种特殊的布尔代数。令L是关于命题或一阶逻辑的语言，T是L中语句的任一集合，对于L中的公式a，月定义a ^-月，当且仅当T卜a}--，月，即当且仅当a}--，月在命题(或谓词)演算中从公理T形式可证明。“一”是在一切公式集上的一个等价关系，令「司是a关于一的等价类，且令B(T)={「司，a是L的一个公式}。式中Q。是任一公式，则<BTlf}f·f / f 1 f构成布尔代数，称此布尔代数为关于T的公式代数，公式代数建立了布尔代数与逻辑之间的联系，进而可以证明，每个布尔代数同构于某个公式代数B(T)。

初中数学公式是同学们在数学复习中必须要掌握的知识点， 中整理了《2017中考生必读：初中数学公式之代数公式》，供大家参考。 　　一、初中数学代数公式 　　1、 乘法与因式分解 　　a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 　　2、 三角不等式 　　|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b-b≤a≤b 　　|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 　　3、 一元二次方程的解 　　-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a 　　4、 根与系数的关系 　　X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 　　5、 判别式 　　①b2-4a=0 注：方程有相等的两实根 　　②b2-4ac>0 注：方程有一个实根 　　③b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根 　　6、 三角函数公式 　　①两角和公式 　　sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA 　　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB 　　tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 　　ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 　　②倍角公式 　　tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga 　　cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 　　③半角公式 　　sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) 　　cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) 　　tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) 　　ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 　　④和差化积 　　2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 　　2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) 　　sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) 　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB 　　ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 　　⑤某些数列前n项和 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 　　1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 　　2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 　　12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 　　13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 　　1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 　　⑥正弦定理 　　a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 　　⑦余弦定理 　　b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 　　⑧圆的方程 　　圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标 　　圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0 　　⑨立体体积与侧面积 　　直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c"*h 　　正棱锥侧面积 S=1/2c*h" 正棱台侧面积 S=1/2(c+c")h" 　　圆台侧面积 S=1/2(c+c")l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2 　　圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l 　　弧长公式 l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r 　　锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h 　　斜棱柱体积 V=S"L 注：其中,S"是直截面面积， L是侧棱长 　　柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h

代数部分 一、数与代数 1． 数与式 （1） 实数 实数的性质： ①实数a的相反数是—a,实数a的倒数是 （a≠0）； ②实数a的绝对值： ③正数大于0,负数小于0,两个负实数,绝对值大的反而小. （2）整式与分式 ①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘,底数不变,指数相加,即 （m、n为正整数）； ②同底数幂的除法法则：同底数幂相除,底数不变,指数相减,即 （a≠0,m、n为正整数,m>n）； ③幂的乘方法则：幂的乘方,底数不变,指数相乘,即 （n为正整数）； ④零指数：（a≠0）； ⑤负整数指数：（a≠0,n为正整数）； ⑥平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方,即 ； ⑦完全平方公式：两数和（或差）的平方,等于它们的平方和,加上（或减去）它们的积的2倍,即 ； 分式 ①分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变,即 ； ,其中m是不等于零的代数式； ②分式的乘法法则：； ③分式的除法法则：； ④分式的乘方法则：（n为正整数）； ⑤同分母分式加减法则：； ⑥异分母分式加减法则：； 2． 方程与不等式 ①一元二次方程 (a≠0）的求根公式： ②一元二次方程根的判别式： 叫做一元二次方程 （a≠0）的根的判别式： 方程有两个不相等的实数根； 方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根； ③一元二次方程根与系数的关系：设 、 是方程 （a≠0）的两个根,那么 + = ,= ； 不等式的基本性质： ①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变； ②不等式两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变； ③不等式两边都乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向改变； 3． 函数 一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的图象是过点（0,b）且与直线y=kx平行的一条直线； 一次函数的性质：设y=kx+b（k≠0）,则当k>0时,y随x的增大而增大；当k0时,y随x的增大而增大； ②当k0,则当x>0时或x

满足 的a称为一个n次单位根,若 ,而 时, ,则称a为n次本原单位根 一个n次本原单位根可生成所有的n次单位根 方程 在复数范围内有n个根 ,其中 令 ,则S关于复数的乘法法构成一个n阶循环群,故 是本原单位根 n元多项式 ,若 ,有 ,则称为对称多项式 对称多项式与对称群 有关 中的元 是 这n个数码的一个置换 设 为任一多项式,定义 在 上的作用： 故 是对称多项式 ,有 由任一置换都可表成一些对换的乘积,故 是对称多项式 ,有 例：n=3时, ,取 ,则 是一个对称多项式 若取 ,则也是一个对称多项式 例：在苯环上结合 ,一共可形成多少种不同的化合物 解：RSA公钥密码 成立一个密码管理中心,使用密码的每个用户都需要取密码管理中心登记,每个用户在登记时,密码管理中心为用户选取一个大整数 ,其中p和q是两个不同的大素数 中心可计算欧拉函数 ,用户选择一个小于 且与它互素的正整数e 由辗转相除法可得整数d,l使 ,即 用户将n和e公开,将d,p,q保密,仅用户与中心知道 e称为该用户的公开密钥或加密密钥,d称为该用户的秘密密钥或解密密钥 在选择n时,n要选得足够大,使得在现有的技术条件下,因子分解n是不可能的 若不知道p和q则无法计算欧拉函数 只要知道了一个用户(A)的公开密钥e,任何人(B)都可向他发送加密信息,在计算机中,一个信息都由0和1组成的数字串表示,设B要发给A的信息m为 ,利用二进制,可将m表为一个整数 ,假设 ,B可利用A的公开密钥e将信息m加密,得到密文 ,B将密文c通过公开的信道发给A,A收到密文后,利用他的秘密密钥d解密,计算 ,由欧拉定理, ,A就从密文c得到了明文m 注：假设m与n互素,实际上m为p或q的倍数的可能性很小 任何人都可从公开信道上截获密文c,但由于他不知道A的秘密密钥d,因而很难从c算出m,若秘密密钥d泄露出去,该密码就被破译了 若不知道 ,很难从已知的公开密钥e推算出秘密密钥d,若知道 ,就相当于知道n的因子分解 由 可知p和q是二次方程 的根,故RSA公钥密码的安全性与因子分解问题密切相关,若n能被分解,该密码就能破了

我们知道，整数环中的每一个合数都可以唯一地分解成素数的乘积； 域 F 上每个次数大于零的可约多项式，都可以唯一地分解成不可约多项式的乘积。这是整数环和多项式环中元素的最基本最重要的性质之一。下面我们将把整数环和多项式环的一些性质推广到更一般通用的环上去。 环的直和分解将大环分解为小环，使得结构更加简单。从整数的算术基本定理得到启发，我们还可以从乘法分解的角度来研究环。要使这个定向研究得到有用的结论，还需对环作一些限制。既然我们关注是因子，乘法顺序就显得多余且碍事，所以要求环是可交换的。另外零因子的讨论也是没有意义的，故规定所有非零元素都是正则元。故我们只需讨论整环中元素的乘法分解，为简化描述，以下将忽略对零元素的讨论。 和初等数论中一样，若 ，称 b 整除 a，或 b 是 a 的 因子 ，记作 ，否则记作 。关于整除的常规讨论都比较简单，这里不再赘述。我们把注意力放在分解的多种可能性上，最后试图得到类似算术基本定理的结论。在分解的过程中，可逆元总是可以随处出现或消除，它就像整数环中的±1，并不影响分解的本质。这就是为什么可逆元 也叫 单位 ，如果 ，我们 a, b 称是 相伴 的，相伴元在分解中可以可作是等价的，相伴还有一种等价定义：如果 ，同时 ，则称 a, b 是 相伴 的。既然要考虑可逆元，就必须要求乘法存在单位元，故以下讨论仅针对有单位元的整环。 对任意元素 ，它的所有相伴元和单位都是 a 的 平凡因子 ，其它的则是 真因子 。有真因子的元素叫 可约元 ，否则叫不可约元，显然整数环的不可约元就是素数。有了因子和不可约元的定义，我们就可以尝试模仿算术基本定理了。通过这里的讨论，你会明白算术基本定理的确不是显而易见的，它是需要一定条件的。首先每个元素都要有有限分解，其次分解在相伴元的意义下要是唯一的，满足这两个条件的元素称为可 唯一分解 的，所有元素满足条件的环就叫 唯一分解环 。由于环的元素没有大小的概念，无限分解是可能的，而且容易举出有多种分解的例子。 u2022 讨论 的单位及 9 在其中的分解。 现在我们的问题自然是，什么样的环才是唯一分解环？先来看看唯一分解环的性质，对不可约元p如果有 ，则由唯一分解性容易证明， 和 至少有一个成立。现在把这个概念抽取出来，满足以上条件的元素称为环的 素元 ，素元肯定是不可约元，唯一分解环中的不可约元都是素元。对于一般的环，当素元和不可约元重合时，可以由反证法得知，只能有限分解的元素是唯一分解的。从而一个环唯一分解的充要条件就是，环的元素有限分解且素元和不可约元等价。 得到唯一分解环后，可以同初等数论中一样定义公约数。若 c 是 共同的因子，则称c为它们的公因子。环的元素没有大小的概念，所以不好直接定义最大公因子，回顾最大公约数的多个等价定义，找一个仅使用了整除的定义即可。如果 d 是 的公因子，且任何公因子都是 d 的因子，称 d 为 最大公因子 ，最大公因子为单位的元素称为 互素 的。最大公因子不一定存在，但对于唯一分解环，容易得到最大公因子的存在性。 素元的定义一定程度上就是唯一分解本身，这个判断条件并不能带给我们更多有用的信息，判断和构造唯一分解环仍然不是一件容易的事情。整数环中引入带余除法后，可以得到最大公约数的更多性质，这些性质也能得到算术基本定理。但由于一般环中没有大小的概念，这些性质不一定成立，但却启发了我们如何构造更一般的唯一分解环。这里介绍两个重要的唯一分解环，它们的定义中都有着整数环最大公约数的影子。 整数环的任何理想都有一个最小数，这个数是理想的最大公约数，且它的所有倍数都在理想中，即该理想是其最大公约数生成的主理想。任何理想都是主理想的环被称为 主理想环 。主理想环首先保证了分解的有限性，因为无限分解列的生成理想也是主理想，该主理想的生成元既是分解列的结尾。另外，设主理想环R中的不可约元 ，考察 ，容易证明它必是极大理想。从而商环 为域，而 ，故必有 或 ，即 或 。这样就证明了，主理想环是唯一分解环。 u2022 求证高斯整数环是主理想环。（提示：考察绝对值最小的元素） 研究唯一分解环更直接的方法当然是在环R中定义带余除法，为此定义一个从非零元素到正整数的映射φ，对环中的任何元素 存在 ，其中 或 。如果这样映射存在，R 被称为欧式环。若 且 在 N 中值最小，由定义容易证明N中的任何元素都以 a 为因子，从而 N 为主理想，进而 R 是唯一分解环。 　　 　　u2022 求证高斯整数环是欧式环；（提示：在 中逼近） 　　u2022 求证域上的多项式环 是欧式环。（提示：考虑阶） 高斯整数环 是对整数环的扩充，它的元素是所有 形式的复数。 称为 z 的 范数 ，容易证明范数有以下性质。上面的习题已经证明了高斯整数环是唯一分解环，以此为例子，我们来简单分析一下这个环的分解情况。首先比较容易得到，G 的单位集合为 。接下来就是研究 的素元，为了区别起见，这里先把整数环的素数叫做有理素数。 高斯整数环是整数环的子环，故每个高斯整数首先可以按照算术基本定理分解为有理素数之积。再由分解的唯一性，素元必定是某个有理素数的因子，所以我们只需研究有理素数 p 的分解。p 的范数为 ，故它的因子不可能超过两个，这就说明了 p 要么自身为素元，要么有两个共轭素元 ，且 。进一步地，其实就是研究不定方程 是否有解。 首先对唯一的偶素数有 ，所以 2 不是素元，它有素因子 。对 p 为奇数的场景，可以得到 ，由初等数论的知识可知，等式成立的必要条件是 ，即 。所以当 时，p 本身就是素元。而当 时， 有解，从而 ，但是 ，所以 p 不是素元（注意 不一定是素元）。 在结束环的讨论之前，我们以多项式环为例来看看环理论的应用。高等代数中讨论的是域上的多项式，这里我们先从一般的环开始，然后再在特殊的环中进行研究，你会得到更高的视角看待多项式。之前我们已经给出过多项式环的定义，这里进一步研究多项式的根和因式分解。 对多项式 ，考虑将 带入其表达式，得到的结果 叫 在 处的值，满足 的 称为多项式的 根 或 零点 。这里要注意带入的多项式必须是完全展开的，对非交换环 R，若 ，显然不一定有 ，当然这个等式对交换环是一定成立的。为方便讨论，把 的次数记作 ，显然有以下关系式。当首相系数不是零因子时，还有 。 　　 　　有了这些基本概念，我们接着讨论根与多项式分解的关系。对域上的多项式 ，高等代数中使用除法，可以得到以下公式（3），且 唯一。回顾计算过程，其实对含幺环上的多项式，只需要求 的首项系数是单位即可。所以这个结论对一般含幺环也可以成立，只需选择合适的 。特别地，对任意 ，如果取 ，则有 。将右边展开并将 代入两边，整理后（ 与 可交换）得到 ，这就是 余数定理 （公式（4））。要注意这个证明中并不能直接将a代入，因为R不一定是交换环。 接着上面的讨论，当 a 是 的根时，可以得到 。反之如果 ，则有 ，在交换环中该式为 0（非交换环中不一定成立）。这样我们就有结论：交换含幺环中，有公式（5）的等价关系。再假设含幺环的多项式 的不同零点为 ，则首先有 。若为交换环，则有 ，若还为无零因子环，则 ，故 。以此类推，容易知道根的个数不大于多项式的次数 n，在 个不同的点值相同的多项式是唯一的。总结就是：含幺整环上的多项式 最多有 个根。这个结论看似显然，但每个条件都是不可或缺的，比如在四元数除环 H 中， 的根显然不止一个。 　　u2022 求证：在整数环上， 不可约。（提示：反证） 以上定理给出了含幺整环上的多项式的因式分解方法，但还有两个问题需要解决。一个就是如何找到根，目前还没有一般性的方法，这里只介绍一种求商域根的方法。设 为整环 的商域，考察 在 中的解 ，带入方程并展开。如果假设 （这就要求整环是唯一分解环），则有 且 。它可以作为方程解的筛选方法，比如求解整系数方程的有理解。 u2022 求多项式 的有理根。 另一个问题就是如果有 ，该如何判定定 甚至确定 n 的值？当 时，n 称为根 a 的 重数 ，特别地 时，a 称为 重根 ，否则称为 单根 。微积分中使用多项式的导数判断重根，这个方法在环中还是可以成立的。我们把 称为 的 形式微商 ，容易验证在含幺整环中微商的一般性质仍然成立。和微积分中一样，a为重根的充要条件是 ，一直使用这个结论就还可以得到重数。另外由于域上的多项式环唯一分解，若 ，则 没有共同根，故 没有重根。 多项式的因式分解一般并不容易，但在常见数域中已经有一些比较有用的结论。比如由代数基本定理（复变函数中介绍）可知，复数域上的多项式都可以分解为若干个一次因式。进而容易证明，实系数多项式根的共轭也是根（共轭运算的性质），所以实数域的多项式都可以分解为若干个一次和二次因式。而对有理数域上的多项式，都可以转化成对整数环多项式的讨论。下一节中将给出求解有理根的方法，和判定多项式不可约的一个充分条件，一定程度可以帮助有理数域多项式的分解。 现在继续讨论多项式的因式分解，如果要考察其唯一分解性，首先当然要求系数环R是唯一分解环。分解中系数的公因子总可以先提取出来，系数公因子只有单位的多项式被称为本原多项式，这个概念可以简化讨论。我们自然有个小问题，本原多项式的因式当然一定是本源多项式，那么反过来呢？本原多项式的积还是本原的吗？结论是肯定的，观察多项式乘积每一项的组成形式（参考下图），若 p 是乘积展开式的公因子，如图考察 次项有 ，矛盾。这就证明了本原多项式的乘积也是本原多项式，该结论也叫高斯引理。 多项式 可以分解为 ，其中 为本原多项式。要证 的唯一分解性，只需证 的唯一分解性。由于 的阶数有限，且其因式也是本原的，所以 上的分解首先一定是有限的。现在只需讨论唯一性，前面的习题中已经得到，域上的多项式环是唯一分解环，而每个整环都有其商域。为了考察唯一分解环 R 上多项式环 ，可以借助 的商域的多项式环 的唯一分解性。 对 中的不可约的本源多项式 ，在 中讨论其分解性，当然我们只关注阶数大于 的因式。如果在 中有 ，总可以添加一些系数 ，使得等式（6）成立，其中 为 中的本原多项式。根据高斯引理， 也是本原多项式，容易证明 相伴，消去 即得 与 也相伴。这和 不可约矛盾，故 在 也是不可约的。从而如果本原多项式 有不同的分解方法，它们在 中也是不同的分解，这与 的唯一分解性矛盾，我们得到的结论就叫 高斯定理 。 具体分解本原多项式 并没有一般方法，即使判断本原多项式是否可约都是困难的，这里只介绍一个不可约的充分条件： 爱森斯坦判别法 （Eisenstein）。若存在素元 p 使得 但 ，参考高斯定理的证明方法，可判定本原多项式不可约。首先可以假定 ，由于 ，总可以找到 而 。考察 容易证 ，与条件矛盾，故 f(x) 不可约。 爱森斯坦判别法虽然不是不可约多项式的必要条件，但它对不可约本原多项式的判定非常有用，比如可以肯定任意次本原多项式都有不可约多项式 。值得一提的是，容易验证 与 的可约性是一样的，灵活使用这个变形有时可以构造出判别法的结构。 　　u2022 求证： 在唯一分解环中不可约； 　　u2022 求证： 在有理数域中不可约； 　　u2022 求证： 在有理数域中不可约。 多元多项式环 有一个特殊的子环 Σ，其中的每个元素都非常“对称”。准确来讲就是， 对 的任意置换都保持不变，这样的多项式就叫做 对称多项式 。在这些多项式中，有几个是最基础的（公式（7）），它们被称为 基本对称多项式 。这些式子也许你并不陌生，这正是闭域上 n 次多项式方程的 韦达定理 ，它给出了方程根与系数的关系（公式（8））。 在中学你多少都接触过对称多项式，我们这里介绍它们的一个漂亮结论。你可以想象，将这 n 个元素带入任何一个 n 元多项式，得到的仍然是对称多项式。我们的结论正是它的反命题：任何多项式 都可以用这 n 个元素的多项式表示，即公式（9）成立，以下证明过程其实也是生成多项式的构造过程。首先一个对称多项式可以按照项的次数分成几个多项式之和 ，其中 中的每一项的次数都是 k。容易证明 也是对称多项式，一般称之为 齐次对称多项式 ，基本多项式就是典型例子。如果我们能证明结论在齐次多项式中成立，则在一般多项式中也成立。 为了便于讨论，我们将 m 次齐次多项式 的项 以 进行字典排序。考虑到的 展开后的最大项为式子（10），可以反向构造 N使得其最大项与 的最大项 M 相等，两式相减后的最大项一定小于之前的最大项。这个过程可以在有限步后结束，构造出的所有 N 便是生成多项式的项， 对称多项式基本定理 得证。这个结论对任意环 R 都是成立的，由证明过程还可以知道，当 R 为整环时生成多项式是唯一的。 再回顾构造过程，每次选取的 的最大项的次数都是 m，故满足条件（11）。根据这个结论，我们可以使用待定系数法更快地得到某个具体的生成多项式。比如 ，设 ，取 的不同值带入，解方程组便得到生成多项式。 最后来讨论一下一类常用的对称多项式，它们是元素的 等幂和 ，我们需要知道它们和基本对称多项式的关系。为了得到结论，以下设 ，充分利用韦达定理和 的形式特点，构造次数小于 n 的多项式 ，可以得到式（12）。比较等式两边的 n 次项，就得到著名的牛顿公式（公式（13）(14)），这个公式可以在 和 之间进行转换。 域是一种比较“完整”的结构，它的限制条件比较多，结构自然也就不是很多样。现在我们来初步研究一下域的结构，研究的方法当然是从小域向大域扩展，若 F 是 E 的子域，E 也叫 F 的 扩域 或 扩张 。扩张当然要从最简单的域开始，我们比较熟悉的简单域有哪些？最简单的无穷域是有理数域，它是最小的数域，任何数域都包含有理数域；最简单的有限域是整数在素数 p 下的剩余类域 。这两种域都不再有真子域，我们把没有真子域的域称为 素域 ，一般记作 。 那么除了这两种熟知的素域外，还有别的素域吗？每个域都含有单位元 ，由 生成的域就是所有的素域，而它又是某个生成环的商域，故我们可以从 的生成环 讨论起。当 时， 与整数环 Z 同构，从而它们的商域同构，即 。当 时，前面已经讨论过，这样的环 都同构于同余环 ，进而有 。这样看来，同构意义的下的素域只有 Q 和 ，而且任何域都包含且仅包含一个素域。 有了最简单的域，接下来就开始对域进行扩张，并需要研究新添加元素的性质，以及扩域的结构特点。在F的扩域E中取子集S，F中添加S后生成的扩域记作 ，要注意这个定义总是以扩域E的存在为前提的。我们来讨论这种扩域累加起来有什么性质，考察 ，由定义知它是包含 的域，而 是包含 的最小域，故有 。同样也可以推到 ，这样就得到了公式（1）。 以上结论说明扩域 等价于有限步的局部扩张，而且扩张的顺序不影响结果。对局部扩张的研究会有助于整个扩域，特别地我们可以先专注于 的扩域 ，它们被称为 单扩域 。由域的定义及分式的特点，容易知道 中的元素都有格式 ，其中 为 F中的多项式。所有分式构成了单扩域，但不同分式是有可能指向相同元素的，下面我们就从这里出发，研究单扩域的结构。 多项式是扩域中的基础结构，对它的讨论可以帮助我们分析域的结构。将 代入 F 中的所有多项式 ，得到的值可能两两不同，也可能出现重复。当出现重复时，将多项式相减就会得到 ，存在这样多项式的 α 称为 F 的 代数元 ，否则称为 超越元 。代数元和超越元存在着本质的差异，需要从这个角度讨论单扩域的结构。对于有理数域在实数域内的扩张，代数数就是代数元，超越数就是超越元，这里实际上是对它们的扩展讨论。 对于诸多满足 的多项式，总可以找到次数最低的一个首 1 多项式。容易证明对代数元 α，这个多项式存在且唯一，它被称为α在F上的最小多项式 。最小多项式的次数也被称为代数元的次数，显然F中元素的次数都为1。最小多项式有些简单的性质，首先它在F上是不可约的，否则它必有一个因子满足 ，与最小多项式的定义矛盾。其次，对任何满足 的多项式，必有 ，否则使用带余除法可构造出次数更小的多项式满足 。 围绕着元素类型或最小多项式，单扩域的结构就比较明显了。虽然直觉已经告诉了你最终答案，但还是要用严格的推理来验证猜想。推理方法当然是从定义合适的同态映射开始，先验证生成环的同构，再推演到商域的同构，请自行验证。当 α 为超越元时，生成环显然和 同构，从而 同构于其商环 。当α为代数元时，可以证明生成环 同构于 ，由于 不可约，该表达式就是一个域，故有 。从而代数元的单扩域就是以 为模的多项式环（公式（2）），这个结论展示了单代数扩域的简洁结构，也说明了研究代数扩域的重要性。 以上的结果还表明，若 α 的次数为 n，则 的任何元素都是某个次数次数小于 n 的多项式的值 ，换句话说每个元素都是 在 F 上的线性组合，且容易证明表示法唯一。用线性代数的语言就是，单代数扩域 是F上的一个n维空间，空间的基为 。从这个角度分析单代数扩域也是很有用的。 在弄清楚单代数扩域的结构后，我们希望进一步研究由更多代数元生成的扩域，或所有元素都是代数元的扩域。首先一个自然的问题是，这两种扩域一样吗？为讨论方便，我们定义后者为 代数扩域 ，含有超越元的扩域则叫 超越扩域 。由于代数扩域总是由代数元生成的，刚才的问题自然变成：由代数元集合 S 生成的扩域 是否一定是代数扩域？直觉告诉我们这个结论是成立的，但仔细琢磨却又不那么明显。现在我们分两步来证明这个猜测，先考虑S为有限集的场景，然后再推广到无穷集。 单代数扩域的线性空间结构提示我们研究更一般扩域的维数，如果扩域 是 F 上的线性空间，这个空间的维数被称为 E 在 F 上的 次数 ，记作 。 有限时，E 称为 F 的 有限次扩域 ，否则叫 无限次扩域 。通过线性代数的简单推演，我们可以得到次数的累加性（公式（3））。以有限次扩域为例，设E 在 K 上的基为 ，K 在 F 上的基为 ，容易证明 就是 E 在 F 上的基（用线性表示并证明无关性）。

定义：设R是有单位元的交换环,x是一个文字,和式 称为环R上的多项式,简称x的多项式,其中每个 ,且只有有限多个 ,即 ,使 ,其中x也称为不定元 称为 的系数,所有的 都称为多项式的系数 若 ,则上述定义中的多项式简写成 若多项式f(x)的每一个系数都为0,则称为零多项式,记作 设 , 若 ,有 ,则称f(x)与g(x)相等,记作 设 为R上的非零多项式, ,其中 ,非负整数n称为f(x)的次数,记作 , 称为首项系数 当 时,对 不定义次数中定义加法和乘法 设 则 其中 两个多项式相加即对应系数相加, 是 中一个确定的多项式 若 中 , 中 ,取 若 ,则 的表达式中 ,其中 故每一项 中,或者 ,或者 故 或 ,从而 定理： 对以上定义的加法和乘法作成一个环,且若R为整环,则 也是一个整环 证明：定理：设R是一个整环, 是 中的非零多项式,则 注： 1.两个定理中 是一个整环很重要,例如 ,则 中, ,但 是一个有零因子的环,2和3都是 的零因子 2. 称为R上的多项式环 定义：设D是一个UFD, 是 中一个次数 的多项式, ,若系数 的最大公因子是D中的单位,则称f(x)是一个本原多项式 例： 中, 是本原多项式, 不是本原多项式 易知, 中的次数 的不可约多项式一定是本原多项式,反之不一定成立 例： 中, 是本原多项式, 是可约的 引理：设D是一个UFD,则 中任一次数 的多项式都可写成 ,其中 , 为 中的本原多项式,且c和 在相差一个D中的单位因子的意义下唯一确定 证明：引理：设D是一个UFD,则 中的两个本原多项式的乘积还是本原多项式 推广：有限多个本原多项式的乘积依然是一个本原多项式 引理：设D是一个UFD,F是D的分式域, ,且 ,若f(x)是D[x]中的不可约多项式,则f(x)在F[x]中也是不可约的,若 是 中的本原多项式,且 在 中是不可约的,则 在 中也是不可约的 证明：注： 1.若D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的不可约多项式只有两类：D中的不可约元和在F[x]中不可约的本原多项式 2.若取D为 ,则F为 ,即整数环上的本原多项式在整数环上不可约当且仅当它在有理数域上不可约 引理(推论)：设D是一个UFD,F是D的分式域,则D[x]中的一个次数 的多项式f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积当且仅当f(x)能分解为两个次数较低的 中的多项式的乘积 定理：设D是一个UFD,则 也是一个UFD 证明：例： 是一个UFD,故 是一个UFD,同时 不是一个PID 例如 就不是一个主理想 唯一分解整环不一定是主理想整环

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ab=根号15,135=根号9ab即3ab

中国古代数学体系的形成 　　秦汉是封建社会的上升时期，经济和文化均得到迅速发展。中国古代数学体系正是形成于这个时期，它的主要标志是算术已成为一个专门的学科，以及以《九章算术》为代表的数学著作的出现。 　　《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。 　　《九章算术》有几个显著的特点：采用按类分章的数学问题集的形式；算式都是从筹算记数法发展起来的；以算术、代数为主，很少涉及图形性质；重视应用，缺乏理论阐述等。 　　这些特点是同当时社会条件与学术思想密切相关的。秦汉时期，一切科学技术都要为当时确立和巩固封建制度，以及发展社会生产服务，强调数学的应用性。最后成书于东汉初年的《九章算术》，排除了战国时期在百家争鸣中出现的名家和墨家重视名词定义与逻辑的讨论，偏重于与当时生产、生活密切相结合的数学问题及其解法，这与当时社会的发展情况是完全一致的。 　　《九章算术》在隋唐时期曾传到朝鲜、日本，并成为这些国家当时的数学教科书。它的一些成就如十进位值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过印度、阿拉伯传到欧洲，促进了世界数学的发展。 　　中国古代数学的发展 　　魏、晋时期出现的玄学，不为汉儒经学束缚，思想比较活跃；它诘辩求胜，又能运用逻辑思维，分析义理，这些都有利于数学从理论上加以提高。吴国赵爽注《周髀算经》，汉末魏初徐岳撰《九章算术》注，魏末晋初刘徽撰《九章算术》注、《九章重差图》都是出现在这个时期。赵爽与刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理论基础。 　　赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾股形的五个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。 　　刘徽约与赵爽同时，他继承和发展了战国时期名家和墨家的思想，主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以严格的定义，认为对数学知识必须进行“析理”，才能使数学著作简明严密，利于读者。他的《九章算术》注不仅是对《九章算术》的方法、公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述的过程中有很大的发展。刘徽创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用理论的方法算得圆周率为 157/50和 3927/1250。 　　刘徽用无穷分割的方法证明了直角方锥与直角四面体的体积比恒为2:1，解决了一般立体体积的关键问题。在证明方锥、圆柱、圆锥、圆台的体积时，刘徽为彻底解决球的体积提出了正确途径。 　　东晋以后，中国长期处于战争和南北分裂的状态。祖冲之父子的工作就是经济文化南移以后，南方数学发展的具有代表性的工作，他们在刘徽注《九章算术》的基础上，把传统数学大大向前推进了一步。他们的数学工作主要有：计算出圆周率在3.1415926～3.1415927之间；提出祖(日恒)原理；提出二次与三次方程的解法等。 　　据推测，祖冲之在刘徽割圆术的基础上，算出圆内接正6144边形和正12288边形的面积，从而得到了这个结果。他又用新的方法得到圆周率两个分数值，即约率22/7和密率355/113。祖冲之这一工作，使中国在圆周率计算方面，比西方领先约一千年之久； 　　祖冲之之子祖(日恒)总结了刘徽的有关工作，提出“幂势既同则积不容异”，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖(日恒)公理。祖(日恒)应用这个公理，解决了刘徽尚未解决的球体积公式。 　　隋炀帝好大喜功，大兴土木，客观上促进了数学的发展。唐初王孝通的《缉古算经》，主要讨论土木工程中计算土方、工程分工、验收以及仓库和地窖的计算问题，反映了这个时期数学的情况。王孝通在不用数学符号的情况下，立出数字三次方程，不仅解决了当时社会的需要，也为后来天元术的建立打下基础。此外，对传统的勾股形解法，王孝通也是用数字三次方程解决的。 　　唐初封建统治者继承隋制，656年在国子监设立算学馆，设有算学博士和助教，学生30人。由太史令李淳风等编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，明算科考试亦以这些算书为准。李淳风等编纂的《算经十书》，对保存数学经典著作、为数学研究提供文献资料方面是很有意义的。他们给《周髀算经》、《九章算术》以及《海岛算经》所作的注解，对读者是有帮助的。隋唐时期，由于历法的需要，天算学家创立了二次函数的内插法，丰富了中国古代数学的内容。 　　算筹是中国古代的主要计算工具，它具有简单、形象、具体等优点，但也存在布筹占用面积大，运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错误等缺点，因此很早就开始进行改革。其中太乙算、两仪算、三才算和珠算都是用珠的槽算盘，在技术上是重要的改革。尤其是“珠算”，它继承了筹算五升十进与位值制的优点，又克服了筹算纵横记数与置筹不便的缺点，优越性十分明显。但由于当时乘除算法仍然不能在一个横列中进行。算珠还没有穿档，携带不方便，因此仍没有普遍应用。 　　唐中期以后，商业繁荣，数字计算增多，迫切要求改革计算方法，从《新唐书》等文献留下来的算书书目，可以看出这次算法改革主要是简化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一个横列中进行运算，它既适用于筹算，也适用于珠算。

B

(a^2)/（bc）+(b^2)/(ac)+(c^2)/ab =(a^3)/（abc）+(b^3)/(abc)+(c^3)/abc (分子分母扩大相同倍数,大小不变） =[a^3+b^3+c^3]/abc(接下来分解因式即可） =[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3/abc =[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2) /abc =[(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b)]/abc =[(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b)]/abc =[(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)+3abc]/abc =[0+3abc]/abc =3

a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab=a^3/abc+b^3/abc+c^3/abc=(a^3+b^3+c^3)/abc如果直接将a+b+c立方，凑a^3+b^3+c^3比较麻烦。利用公式(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc，左边=0，可得a^3+b^3+c^3=3abc原式=(a^3+b^3+c^3)/abc=3abc/abc=3

a^2/bc+b^2/ac+c^2/ab=a^3/abc+b^3/abc+c^3/abc=(a^3+b^3+c^3)/abc如果直接将a+b+c立方，凑a^3+b^3+c^3比较麻烦。利用公式(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc，左边=0，可得a^3+b^3+c^3=3abc原式=(a^3+b^3+c^3)/abc=3abc/abc=3

∵实数m是关于x的方程x2-2x-3=0的一个根，∴m2-2m-3=0，∴m2-2m=3，∴2m2-4m+2=2（m2-2m）+2=2×3+2=8．故填：8．

对称矩阵未必是正定矩阵，比方零元素方阵。

AA^T=E，|A|×|A^T|=|A|^2=1，|A|=1或－1。|A|＜0，所以|A|=-1。A+E=A+AA^T=A(E+A^T)|A+E|=|A|×|E+A^T|=|A|×|A+E|=-|A+E|，所以|A+E|=0

做法比较多,可以考虑以A的N+1次方和A的N次方为系数的齐次线性方程组的解空间.这里介绍一种使用Jordan典范型的证法.设A的Jordan典范型为J,则存在可逆阵使得A=T^(-1)*J*T,A^(n)=T^(-1)*J^(n)*T,A^(n+1)=T^(-1)*J^(n+1)*T,故只要证J^(n)和J^(n+1)的秩相等.如果你了解Jordan典范型的话,我想这是显然的.

这个用克莱母法则，系数矩阵的行列式不得0，说明齐次方程组只有全0解，非齐次方程组有解且唯一。

∵AA*=A*A=|A|E，而A*=A′，∴AA′=|A|E，设：A=（aij），AA′=（cij），则：cii＝(ai1，ai2，…，ain)ai1ai2…ain=ai12+ai22+…+ain2，而A为n阶非零方阵，因而至少存在一个aij≠0，则：cii＞0，根据AA′=|A|E，知AA′的第i行第i列元素等于|A|，∴|A|=cii＞0

A^2-E=0，则(A+E)(A-E)=0，所以R(A+E)+R(A-E)≤n。R(A+E)+R(A-E)=R(A+E)+R(E-A)≥R(A+E+E-A)=R(2E)=n。所以R(A+E)+R(A-E)=n。

因为与x取值无关 所以式子中含x的项和为0 得到一个式子(2+b/2)X的平方+（a+503）x=0 得到b=-4 a=-503 将 4A＋［(2A-B)-3(A＋B)］ 化简得 3A-4B 根据求出的 a b以及A=4a的平方-ab＋4b，B=3a的平方-ab＋3b的平方 将A B 求出 代入到化简得式子 3A-4B 即可。

因为值与x 无关，所以 2x^2+ax-2bx^2+3x=常数，所以 2=2b, b=1,a=-3则 a^3/3-2b^2-a^3/4+3b^2=a^3/12+b^2=(-3)^3/12+1=21/12

代进去解二元二次方程了

将2带入-1=4a-4*2-ba4a-ba=7当x=-3时，A=9a+12-ba=19+5a,算不出具体值

当×＝-3时

用顶点坐标公式y=a(x-k)2+h

把x=4代入上式有 -1=a4^2-4*4-6a=10a-16,所以a=3/2,代数式为A=3/2x^2-4x-9, 当x=2时A=3/2*2^2-4*2-9=-11希望能帮到你有什么不明白可以追问望采纳答案

代入得方程组：1-a+b=51+a+b=-1解得:a=-3b=1

∵代数式2x的平方+ax-y+6-2bx的平方-3x+5y-1的值与字母x的取值无关，∴2-2b=0 a-3=0 b=1 a=3∴a+b=3+1=4

2x的平方+ax+6-2bx的平方+3x-1 = 2(1-b)x的平方+(a+3)x+5 值与字母x的取值无关： 1-b=0,a+3 = 0 a=-3,b=1 a的三次方-2b的平方 = (-3)的三次方-2*1的平方 = -27-2 = -29

(2x^2 + ax + y + 6) - ( 4bx^2 - 2x + 5y + 4）= 2x^2 + ax + y + 6 - 4bx^2 + 2x - 5y - 4= (2 - 4b)x^2 + (a + 2)x - 4y + 2因为这个代数式的值与x的取值无关，故含x项的系数为0，则有 2 - 4b = 0 a + 2 = 0解得： b = 1/2 a = - 2 因此： (a^2 - 2ab - b^2) - 2(4a^2 + ab + b^2) = a^2 - 2ab - b^2 - 8a^2 - 2ab - 2b^2 = -7a^2 - 4ab - 3b^2 = -7 ×(-2)^2 - 4×(-2)×(1/2) - 3×(1/2)^2 = - 28 + 4 - 3/4 = -24又3/4

你可以先从前面的那个式子把a求出来的，就是把右边的式子张开，与左边的式子对应，可算出a等于8，再带到后面的式子里面，具体的你好好看看吧。。

根据韦达定理，可知两个解的积为-10，所以另一个解是-5。将2和-5分别代入原一元二次方程，便可得到关于A和B的两个二元一次方程组，然后得出A和B的解就可以求代数式的值了。结果A＝1，B＝3,，所以代数式的值为1.5。

根据已知条件列方程：(a+b)/(c+d)=-1 (1)b/d=2 (2)(-a+b)/(c+d)=2 (3)由第（1）、（3）式可得：-2(a+b)=-a+b，整理得：a=-3b (4)由第（2）式得：d=b/2 (5)将第（4）、（5）式代入第（1）式可得：c=-5b/2当x=2时，原式=(2a+b)/(4c+d)=(-6b+b)/(-10b+b/2)=10/19

0=a+b+c1=4a+2b+c21=4a-2b+c解得：a=2，b=-5，c=3

当x=2时，代数式ax的四次方+bx的平方等于16a+4b=8；当x=-2时，代数式ax的四次方+bx的平方等于16a+4b；所以，ax的四次方+bx的平方+3=16a+4b+3=8+3=11

整理得：(A-2B)X^2+(3B+4)XY-3X-Y+6若没有二次项，则需二次项的系数为0即：A-2B=0 3B+4=0A=-8/3;B=-4/3A^2+B^2=5B^2=80/9

答案：20.axx+bx-5=10,axx+bx-15=0,axx+bx+5-20=0,axx+bx+5=20.

等于8+3=11

三元一次方程都不爱算 你可真懒x2-5x+6

y=ax^2+bx+c当x=1和x=-3时她的值均为5；当x=0时,它的值为1代入a+b+c=59a-3b+c=50+0+c=1c=1所以a+b=49a-3b=4所以3a+3b=12相加12a=16a=4/3,b=4-a=8/3y=(4/3)x^2+(8/3)x+1x=-3/4y=(4/3)*(9/16)-(8/3)*(3/4)+1=3/4-2+1=-1/4

两边乘12.550x-50-x=1550x-x=50+1549x=65x=65/49 3/5+3（x-1/2003）=4/5所以3（x-1/2003）=4/5-3/53（x-1/2003）=1/5两边乘1030（x-1/2003）=2同时加上77+30（x-1/2003）=7+2=9

4a -2b -3 = -104a -2b = -7 (1)36a +6b -3 = 6 36a +6b = 9 (2)(1) x 312a -6b = -21 (3)(2) + (3)48a = -12 a = -1/4 b = 3(-1/4)x^2 + 3x -3

可以明天再告诉你么？我们明天上午评讲。

解：a*(2^3)+(1/2)*b*(-4)+5=2015=> 8a-2b=2010 => 4a-b=1005∴ 3ax-24by^3+5031=3a*(-4)-24b*(-1/2^3)+5031=-12a+3b+5031=-3(4a-b)+5031=-3*1005+5031=3015-5031=-2016

令a=3b/2，有2乘以3b/2x的平方加bx的平方等于3，解得b=4/3，把b=4/3代入a=3b/2得a=5/6，把a，b代入所求式子得，原式=6麻烦采纳，谢谢!

当x=1时，a+b+c=2....①当x=3时，9a+3b+c=0....②当x=-2时，4a-2b+c=20....③三元一次方程。①-②得出：4a+b=-1 得出：b=-1-4a....④②-③得出：a+b=-4 把④代入得出：a=1 代入④得出b=-5 代入①得出c=6

a+b+c=-449a+7b+c=825a+5b+c=0解得a=1/2 b=-2 c=-5/2x=-1时是a-b+c=0

把对应的x的值带到代数式列三元方程解出来就行了

x=-1时代数式ax的平方+bx=-3a*(-1)^2+b*(-1)=-3∴a-b=-3

可以把题目拍一下吗

当x=2时，代数式ax的四次方+bx的平方等于16a+4b=8；当x=-2时，代数式ax的四次方+bx的平方等于16a+4b；所以，ax的四次方+bx的平方+3=16a+4b+3=8+3=11

由已知分别代入x，y得：a+b+c=-4 ①a-b+c=-12 ② 9a+3b+c=-20 ③①-②=2b=8 , b=4③-①=8a+2b=8a+8=-16 , a=-3c=-4-a-b=-5综上所求：a=-3,b=4,c=-5