微分方程

常微分方程通解公式是：y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式，定解条件，就是边界条件，或者初始条件 。 常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程，,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。六种常见的常微分方程通解：1、一阶微分方程的普遍形式。一般形式：F（x,y,y"）=0。标准形式：y"=f(x,y)。主要的一阶微分方程的具体形式。2、可分离变量的一阶微分方程。3、齐次方程。4、一阶线性微分方程。5、伯努利微分方程。6、全微分方程。

dx/dt也就是x对于t的斜率设此斜率为k也就是k=t^2+x^2这个方程的图像为以(0,0)为圆点的同心圆，半径为k^0.5然后可以由欧拉折线作出积分曲线饿近似图

BD

1、凡含有参数，未知函数和未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶，定义式如下：F(x,y,y￠,....,y(n))=0　　2、任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解)，当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。　　3、一般地说，n阶微分方程的解含有n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。　　4、如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。http://baike.baidu.com/view/44699.htm

学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等，要以现有数据求得出形式上的函数解析式，而不是以已知函数来计算特定的未知数。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械动力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。

看不见题目

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，先考虑他的齐次形式我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成x""+ax=0借这个方程的时候设x=exp(mt)就可以得到x"=m*exp(mt)x""=(m^2)*exp(mt)然后带回原方程就可以得到方程m^2+a=0然后你就可以得到m1=+(-a)^(1/2)，m2=-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，如果你a小于零，那么-a就大于零，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是yc=c1*exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)c1c2都是常数如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。），a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2),m2=-1*a(1/2)那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin(a^(1/2))b1b2也都是常数这个时候你再来考虑非齐次的形式也就是x""+ax=b因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设非齐次方程的特殊解为yp=k0+k1x然后yp‘=k1yp""=0代回原方程就解出k1=0，k0=b/a然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp即y=yc+yp目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。

《常微分方程》（B.И́.Arnold）电子书网盘下载免费在线阅读链接: https://pan.baidu.com/s/1AUCKiRiE4b6zqjsYut8RMA 提取码: g2ty书名：常微分方程作者：B.И́.Arnold译者：沈家骐出版社：科学出版社出版年份：1985-5页数：290

定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量．

微分方程方式是乘微分的一种新方式

常微分方程通解公式是：y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式，定解条件，就是边界条件，或者初始条件 。 常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程，,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。六种常见的常微分方程通解：1、一阶微分方程的普遍形式。一般形式：F（x,y,y"）=0。标准形式：y"=f(x,y)。主要的一阶微分方程的具体形式。2、可分离变量的一阶微分方程。3、齐次方程。4、一阶线性微分方程。5、伯努利微分方程。6、全微分方程。

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 　　定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解. 　　一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 　　如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。 常微分方程常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。 　　求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 　　后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 　　一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 　　大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。常微分方程实例　　下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). 　　(1) y= kx, k 为常数； 　　(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 　　(3) mv(t) = mg - kv(t)；如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 偏微分方程分类比较繁琐，解法多样。建议找一本偏微分方程的教材来看看。会对你有很大帮助

常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是描述一个未知函数在某个自变量下的导数和该函数自身的关系的方程。解一阶或高阶常微分方程的方法主要包括以下几种：1. 变量分离法： 将方程化为 dy/dx=f(x)g(y) 的形式，然后分别对两边进行积分。2. 齐次法：将方程变为 dy/dx=f(y/x)，这样变量 y/x 可以看成一个整体，将它记做 z，则方程化为 dy/dx=z+f(z)，再变为 dz/(dx+f(z))=1。解出 z，再代回 y/x，得到 y 的通解。3. 一阶线性微分方程的通解：对于形如 dy/dx+p(x)y=q(x) 的一阶线性微分方程，先求出它的通解，再代入初始条件求出特解。4. 变量代换法：通过引入新变量，将高阶微分方程化成一阶微分方程，然后再用以上方法求解。5. 常系数齐次线性微分方程：形如 y" + ay" + by=0 的方程，先通过解特征方程求出特征根，再根据特征根的不同情况，得出解的形式。注意，常微分方程的解不是唯一的，需要给出初始条件才能得到唯一解。

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题[1]:p.1。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

1、自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，就是微分方程。 2、自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。 3、在微分方程中，自变量的个数只有一个，这种微分方程称为常微分方程；自变量的个数为两个及两个以上的微分方程成为偏微分方程。 4、微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。       一般的 阶常微分方程具有形式 ,这里 是 , , ,..., 的已知函数，而且一定含有 ; 是未知函数， 是自变量。 5、如果方程 的左端为 及 ,..., 的一次有理整式，则称该方程为 阶线性微分方程；否则，则称为非线性微分方程。 6、如果函数 代入方程 后，能使它变为恒等式，则称函数 为方程的解。如果关系式 决定的函数 是方程的解，称 为方程的隐式解，隐式解也称为“积分”。 7、把含有 个独立的任意常数 , ,..., 的解 称为 阶方程 的通解。       满足初值条件的解称为方程的特解。 8、一阶微分方程 表示 平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线，而通解 表示平面上的一族曲线，特解 则为过点 的一条积分曲线，积分曲线上过每一点的切线斜率 为方程右端 在该点处的值。 9、用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。

看y,y",y"",即y以及y的导数的次数，如果全是1次的，则是线性，否则是非线性y""+x²y+x=0线性x²y"+(x-1)y+sinx=0线性(y")²+x=0非线性y"+y²+x=0非线性m * [y(x)]"" + T * siny = 0这个方程中含y的项是siny,这是一个非线性项，所以这个微分方程是非线性的

看不懂

y"""=(y""-1)²；-y"-y²；y（0）=0，y"(0)=1，y""(0)=-1，代入：y"""(0)=(-1-1)²；-1-0²；=3y=±1，y"=y""=y"""=0，是一解。但是不满足初始条件。y"""+y"=(y""-1+y)(y""-1-y)(y""+y-1)"=(y""-1+y)(y""-1-y)设y""-1+y=u，y""-1-y=y""+y-1-2y=u-2yu"/u=u-2yu"=u²；-2uyu=0是一解：u"=0y""-1+y=0y""+y=1特征方程：λ²；+1=0，λ=±iy=C1cosx+C2sinx特解y=1，通解：y=C1cosx+C2sinx+1y"=-C1sinx+C2cosxy""=-C1cosx-C2sinxy"""=C1sinx-C2cosxy""+y=1成立。y(0)=C1+1=0，C1=-1y"(0)=C2=1y""(0)=-C1=1满足题意。y=-cosx+sinx+1(y""-1)²；-y"-y²；=(-C1cosx-C2sinx-1)²；-（-C1sinx+C2cosx）-（C1cosx+C2sinx+1）²；=C1sinx-C2cosxy"""=C1sinx-C2cosx正确。y"""(0)=-C2=-1，不正确。

移项可得 dx/(10-x)=kdt 两边同时积分 ln(10-x)=-kt+lnC C为常数则10-x=Ce^-kt 所以x=10-Ce^-kt 不懂再Hi我

常微分方程是微分方程的一部分，如果把二者看成集合的话，常微分方程是微分方程的真子集。

常微分方程，方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。 常微分方程是微分方程的一部分,如果把二者看成集合的话,常微分方程是微分方程的真子集

解：微分方程为xy"+y=xeˣ，化为(xy)"=xeˣ，xy=xeˣ-eˣ+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=eˣ-eˣ/x+c/x∵y(1)=1 ∴有1=c，微分方程的特解为y=eˣ-eˣ/x+1/x请参考随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如：牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律；天文学家亚当斯和天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。常微分方程解泛函如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。

因为特征方程的根为复数，+i和-i因此方程的解为：C1*cos(t)+C2*sin(t)，这个书上是有公式的！！

特征方程：8r²+r=0r(8r+1)=0r=0或r=-⅛微分方程的通解为y=C₁e^(-⅛x) +C₂

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

二阶常系数线性微分方程：二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用 。比较常用的求解方法是待定系数法 、多项式法、常数变易法和微分算子法等。1、二阶常系数线性微分方程 标准形式： y″+py′+qy=f(x)当 f(x)=0，即 y″+py′+qy=0为二阶常系数齐次线性微分方程当 f(x)≠0，即 y″+py′+qy=f(x)为二阶常系数非齐次线性微分方程2、特征方程：一元二次方程 r2+pr+q=0微分方程： y″+py′+qy=0特征方程： r2+pr+q=0 特征根： r1,2=−b±b2−4ac2a3、二阶常系数齐次线性微分方程求解方法 y″+py′+qy=0

你看网易公开课啊 MIT的微分方程的视频 教授一开始就说了 解析法下的微分方程表达式是坐标系里面的方向场,而微分方程的解是积分曲线,所谓的积分曲线就是他上面的每一个点的斜率都和方向场的斜率相同,这样的曲线就是积分曲线,求解微分方程的过程就是找到一个与方向场斜率相同的积分曲线.建议你别看国内的教材和听国内老师讲课,国内老师讲课基本都是放屁,完全学不到东西,听国内老师讲课只能自毁前程.回复 收起回复 8楼2013-03-29 16:21删

常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y""+py"+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β)，通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。常微分方程的定义：定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

(本笔记使用的书是丁同仁和李承治的《常微分方程教程》) 学习常微分方程之前,首先说明几个很常见的概念. 微分方程 指含有函数 和函数导数 的方程.如果未知函数是单变量函数,那么称之为 常微分方程(ODE) ;如果未知函数是多元函数,那么称之为 偏微分方程(PDE) .对于一个常微分方程,如果出现的最高求导次数项为 ,则称该方程为 阶 的;如果出现的最高次幂项为k次幂项,则称该方程为 次 的. 实际上我们研究的主要问题就是ODE解的存在性和求解问题, 至于为什么一个微分方程的通解有 个任意常数,我们暂时无法解决,但一个含有 个任意常数的函数是否对应一个n阶微分方程的解呢? 如果通解的常数都固定下来,那么就称此时的 为一个 特解 .固定任意常数的方法可以是给出的各阶导数的函数值,这样的问题我们成为 初值问题 ,也称作 .初值条件的一般形式是 实际上我们可以在初值条件 的一个邻域内类似 Ex 1 地确定通解中的所有任意常数. 以一阶微分方程为例 设它的通解是 ,显然对于I内的一个点即使我们不知道 的表达式我们仍然知道在这一点处 的斜率是 ,我们称经过 斜率为f(x_0,y_0)的一条 小线段 为在 的 线素 ,记作 ,I及其上所有线素称作 线素场 .无论 是确定值还是无穷大,我们都能得到确定的线素,如果 点的值是不定式,那么我们称这点为线素场的 奇异点 . 为了作出微分方程的线素场,我们常常用 来近似作图,这条曲线上所有线素的斜率相同,因此这条曲线被称为线素场的 等斜线 .

常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。应用：常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

常系数微分方程：凡是联系自变量x，这个自变量的未知函数y=y（x）及其直到n阶导数在内的函数方程F（x，y，y′，y″，…，y（n））=0叫做常微分方程，并称n为常微分方程的阶。一、常系数微分方程的地位和作用常微分方程是是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业必修课，在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足常微分方程关系式的数学模型，需要求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具。二、常系数微分方程知识点1、一阶微分方程的初等解法侧重点是一些简单的微分方程的求解，注意其中一个“变量代换”的思想。2、解的存在唯一性定理解的唯一存在区间求解（定理），区域（李普希思条件必要性）第k次近似解。3、高阶微分方程齐次和常数变异法，常数变易法（高阶线性方程）。三、参考书目王高雄《常微分方程》、丁同仁《常微分方程教程》、庞特里亚金《常微分方程》、东北师范大学微分方程教研室《常微分方程》、王鸿业《常微分方程及Maple应用》。

这一讲有四个部分的内容 微分方程：含有未知函数及其导数(或者微分)的方程成为微分方程，一般写成 或者 微分方程的阶 ：方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶 常微分方程 ：未知函数是一个一元函数的微分方程称为常微分方程 微分方程解出来的解是一个函数，将这个函数代入微分方程使等式恒成立，则称该函数为微分方程的解 通解 ：若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则称该解称为微分方程的通解 初始条件与特解 ：初始条件用于确定通解中的各个独立常数，将这些独立常数代入通解中得到的就是特解 这里将一阶微分方程分成了下面四种类别，实际问题中需要按照相应的类别进行解决 需要注意的是只要通解中的独立常数个数等于微分方程的次数，那么这个通解就是合格的

微积分的问题其实非常简单，只要你做题总结就可以。但是我要告诉你，你想要真正的把微积分融入到你的骨髓里面，你需要去看一些较有兴趣的书籍了。下面这段历史也许能帮你坚定学习微积分的决心：1665年，伦敦爆发鼠疫，剑桥大学关闭，一位年轻人不得不返回家乡，在家乡的两年中，他主要研究了微积分、万有引力定律和光学，这些理论对后世产生了巨大的影响，而这个年轻人正是我们所熟知的牛顿大神。这本书讲什么？这本经典著作源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程，将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在了一起，激励学生不再惧怕微积分，并在考试中获得高分。本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解答问题的能力。

答案是x=y^3+Cy^2C为常数方法就是cqgmzy说的一样等式变形为dx/dy-(2/y)x=y^2(1)求出dx/dy-(2/y)x=0的解为x=Cy^2设x=f(y)y^2带入(1)解得f(y)=y+C所以x=(y+C)y^2

我猜的。

此篇读书笔记对应于《 Ordinary Differential Equations 》（Arnold，3rd）第一章（Basic Concepts）第四节（Phase Flows）和第五节（The Action of Diffeomorphisms on Vector Fields and Direction Fields）。 首先来观察一个微分方程：如像 上一节 求解Lotka–Volterra模型那样，用(1)式除以(2)式，会发现等式两边无法分离出变量 和 ，更无法得出该方程的解析解。 但如果采用极坐标变换 ，则原方程变换为：此时再采用两式相除的方法，就能得出解析解。 这种方式，被称为 「换元（change of variables）」 。换元的具体操作很好理解，但换元的数学基础是什么？与换元所对应的理论体系又是什么？这就需要引入 「群（group）」 及其相关的大量概念。 「一一映射（one-to-one mapping）」： 在某个映射 下，对于集合 （有时也称为 「域（domain）」 ）中的不同元素，在集合 中有不同的象，反过来，集合 中的每一元素在集合 中都有原象。 「变换（transformation）」： 由某个集合 出发到集合 本身的一一映射。例如， 不是变换，因为集合 元素 找不到原象；改成 后就是变换了。 变换的 「乘积（product）」： 变换 和变换 的乘积 被定义为先执行变换 、再执行变换 ，即 。 变换的 「逆（inverse）」： 变换 的逆 满足 。 「变换群（transformation group）」： 由一组变换 构成的群。 「群（group；或抽象群，abstract group）」： 若（1）一个变换群 中的任意两个元素 的乘积仍在变换群中（加法封闭性），且（2）变换群 中任意元素 的逆仍在变换群中（逆运算封闭性），则该变换群称为抽象群。 「交换群（commutative group；或阿贝尔群，Abelian group）」： 群 中任意两个元素 满足 的群。 「作用（action）」： 群 中的每个元素 都对应于有关集合 的变换 。同时，群 中任意两个元素的乘积 也对应于变换 ，任意一个元素 的逆对应于变换 。这称为群 对集合 的作用。这听起来比较抽象，打个简单的比喻：变换 是一台机器，群 是一群机器，集合 是一堆待加工产品，其中的某个元素 代表某个产品，作用（action）表示机器开启并施加到产品上进行加工的这个动作。显然，群 可以作用于一整个集合 ，也可以只作用于某个元素 。 「轨迹（orbit）」： 群 作用于集合 中的某个元素 后形成的集合 称为点 的轨迹。 「光滑流形（smooth manifold，或微分流形）」： 可微的拓扑流形，例如欧式空间。与"集合"是同一水平的概念，但比"集合"这一概念的范畴更小、更严格。 「微分同胚（diffeomorphism）」： 映射 由光滑流形 到光滑流形 。若 均光滑，则 称为微分同胚。 「单参数群（one-parameter group）」： 是指由一系列变换 构成的群。其中 是参数，被称为 「次数（time）」 。根据群的定义，单参数群满足：对于任意实数 。有 。例如， 代表平移 个单位。 「相流（phase flow）」： 单参数群的物理意义也可按如下方式理解——某个确定性过程，在初始状态 时为 ，随后时间步每增加1，就对 作变换 。因而在时刻 时，相点位于 。在时刻 时，相点位于 。基于这种意义，单参数群也称为相流，就像一个粒子 在相空间 中随着水流在不断流动。相空间的某个点在相流作用下的轨迹就是相位曲线（phase curve）。 「相速矢量（phase velocity vector）」： 对于 「单参数微分同胚（one-parameter diffeomorphism）」 （因此可微），相流 在光滑流形 里面点 处的相速矢量定义为 ，即将要离开点时 的速度。光滑流形 中所有点的相速矢量构成相速矢量场（phase velocity field）。 「解（solution）」： 对于单参数微分同胚群，映射 可以看作是相流 关联的微分方程 的解。 综上，上述概念大致可用下图表示：有了上述概念后，再回到开头的疑问——换元所对应的数学理论基础是什么？ 给微分方程换元，就是在寻找合适的微分同胚，从而简化相速矢量场 。 「矢量 的像（image）」： 集合 中有一矢量 ，它是相点 离开点 时的相速矢量。映射 作用于矢量 后，该矢量变成集合 中的另一个矢量 。 为相点 离开点 时的相速矢量。称 是 在映射 作用下的像（图2）。「切空间（tangent space）」： 位于集合 的某个点 处的所有相速矢量所在的空间 。例如， 是个球体，则 就是个平面（图3）。 有个这些后，自然而然会问： 和 的关系是什么？ 怎么求？ 由泰勒展开可得 ，因而 是映射 的导数 （图4）。当集合 是多维空间时， 是一个矩阵，满足：「切向量（tangent vector）」： 相速矢量是在坐标系明确的情况下定义的，但当坐标系不明确时，相速矢量这个概念需要推广到更一般的情况，即切向量。切向量是指集合 中点 的切向量是指满足起始点 的一类位移 （ 为时间轴， 为相空间）。 「矢量场的像」： 像英语单词的单复数形式一样，“矢量场的像”就类似于“矢量的像”的“复数形式”。集合 中矢量场 经微分同胚 的作用后产生的集合 中另一矢量场就称为矢量场 的像，记为 （图5）。 现假设集合 是一维空间，集合 中某一矢量 的起点 ，则矢量的长度 。现使用变换 ，则 ，矢量 的长度为2（这也满足式 ）。为方便记述，记集合 中的矢量场为 ，其中 为基矢量场 「（basis vector fields）」 ，这样，经历变换 ，我们可以直接写出： ，从而知道变换后的矢量场是变换前的 （整个基矢量场缩减一半，相当于矢量场中所有矢量拉到2倍）。 对于任意微分同胚 ，其对矢量场的作用效果为： 。 当集合 属于 维空间时，任意矢量场可表示为 ，用坐标可表示为 ，其中 为基矢量场，用坐标可表示为 。 同时， 在微分同胚 的作用下，位于集合 的原相速矢量场对应的积分曲线也被映射到集合 中，而这就是对微分方程的换元。 映射不仅可以作用于集合，也可作用于映射本身。即，映射可以在一个映射的作用下成为另一个映射。 「相流的像」： 在微分同胚 的作用下，相流 的像 满足 （也就是 ，图6）。  此时，我们称相流 与 「等效（equivalent）」 （或 「相似（similar）」 、 「共轭（conjugate）」 ）。而微分同胚 被称为 「当量（equivalence）」 （或 「共轭微分同胚（conjugating diffeomorphism）」 ）。 让我们再次回顾相流的含义。 在《 Theory-based ecology — a Darwinian approach 》和《 Theoretical Ecology Principles and Applications 》两本书中都提到马尔萨斯理论的地位——“生态学第一定律”。在生态学中，马尔萨斯理论有连续形式 和离散形式 。对比两式可得 （详见 理论生态学笔记（二） ）。现在我们来看它们的数学基础是什么。 定义相流 满足 （它满足加法封闭性和逆运算封闭性），显然，相流 对任意相点 进行作用后产生的相位曲线就是离散形式的马尔萨斯模型 。 相流 的相速矢量 。 因而得到相流 所 「对应（associated）」 的微分方程 。 令 ，则 ，也就是连续形式的马尔萨斯模型 。 反过来，求解方程 ，得其解 。所以，相流 是方程 的、满足起始条件 的解，也就是 。 因此， 相流是常微分方程的离散形式，常微分方程是相流的连续形式 。 但注意，不是所有常微分方程都有对应的相流。 例如 的满足起始条件 的解是 ，令 ，其中 为单参数变换。然而， 时， 不光滑，因而不是微分同胚，因而 也自然无法成为相流。 ► 换元是求解微分方程的主要方法之一，而换元的本质是 微分同胚 对相速矢量场的变换。 ► 由集合 到集合 ，叫 映射 ；由集合 到集合 本身，叫 变换 ；光滑的映射叫 微分同胚 ；变换的“复数”，叫 变换群 ；满足加法封闭性、逆运算封闭性的变换群，可简称 群 ；单参数微分同胚构成的群，叫 相流 （图1）。 ► 相流对相点的作用可看作 离散的发展过程 （evolutionary process）。不少相流都有其对应的微分方程。上一篇： 读书笔记：常微分方程（二）——Lotka–Volterra模型 下一篇： 读书笔记：常微分方程（四）——齐次方程

普遍性的数学描述许多物理或是化学的基本定律都可以写成微分方程的形式。在生物学及经济学中，微分方程用来作为复杂系统的数学模型。微分方程的数学理论最早是和方程对应的科学领域一起出现，而微分方程的解就可以用在该领域中。不过有时二个截然不同的科学领域会形成相同的微分方程，此时微分方程对应的数学理论可以看到不同现象后面一致的原则。 例如考虑光和声音在空气中的传播，以及池塘水面上的波动，这些都可以用同一个二阶的偏微分方程来描述，此方程即为波动方程，因此可以将光和声音视为一种波，和水面上的水波有些类似之处。约瑟夫·傅立叶所发展的热传导理论，其统御方程是另一个二阶偏微分方程－热传导方程式，扩散作用看似和热传导不同，但也适用同一个统御方程，而经济学中的布莱克-休斯方程也和热传导方程有关。微分方程的解微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：frac{dy}{dx}=sin x，的解是y=-cos x+C，其中C是待定常数；例如，如果知道y=f(pi)=2，则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1，一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y"+p(x)y+q(x)=0可知其通解：y=C(x)e^{-int p(x), dx}然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值 二阶常系数齐次常微分方程对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：y""+py"+qy=0可知其通解：y=c_1 y_1+c_2 y_2其特征方程：r^2+pr+q=0根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为 （在egin{smallmatrix} r_1 = r_2 end{smallmatrix}的情况下）:y=(C_1+C_2 x) e^{r x}（在egin{smallmatrix} r_1 e r_2 end{smallmatrix}的情况下）:y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}（在共轭复数根的情况下）：y=e^{alpha x} (C_1 cos (eta x) + C_2 sin (eta x) )约束条件微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。解的存在性及唯一性存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性 。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1故 a=-2，b=1对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x设其特解为 y*=Ax+B代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x整理可得（A-1）x+（B-2A）=0所以 A=1，B=2所以特解为 y*=x+2通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2将y（0）=2，y（0）=0 代入可得C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2故答案为-xex+x+2扩展资料：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

需要。根据偏微分方程研究生的就业方向得知，互联网公司也需要研究生应用偏微分方程研发数值计算软件或者为其他行业提供技术支持,破除互联网公司中的各种壁垒。偏微分方程是以物理、化学和生物等学科中提出的偏微分方程为主要研究对象。

已知微分方程的通解怎么求这个微分方程答：求导！如：1。x^2-xy+y^2=c等式两边对x求导：2x-y-x(dy/dx)+2y(dy/dx)=0故dy/dx=(2x-y)/(x-2y)；或写成2x-y-(x-2y)y′=0若要求二阶微分方程则需再求导一次：2-y′-(1-2y′)y′+(x-2y)y〃=02。e^(-ay)=c1x+c2-ay′e^(-ay)=c₁(一阶微分方程）-ay〃e^(-ay)-ay′(-ay′)e^(-ay)=0，即a²(y′)²-ay〃=0(二阶微分方程）

常微分方程

特征方程：r^2+4=0,r=±2i,通y=C1e^(2ix)+C2e^(-2ix),其中C1、C2是常数,用尤拉公式转换成实函数,y=C1cos2x+C2sin2x),其中C1、C2是常数.含有未知函数的导数，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4都是微分方程。 一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的、叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。基本解法特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。设特征方程r*r+p*r+q=0两根为r1，r2。1．若实根r1不等于r2y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).2．若实根r1=r2y=(c1+c2x)*e^(r1x)3．若有一对共轭复根

具体如下：当C1+C2=1时，非齐次线性微分方程的两个解Y1与Y2的线性组合C1Y1+C2Y2一定还是解，代入方程，很容易验证。比如y""+ay"+by=f(x)，把Y＝C1Y1+C2Y2代入，则Y""+aY"+bY=(C1+C2)f(x)，只有C1+C2=1时，Y才会是解。微分方程含有未知函数的导数，如dy/dx=2x、ds/dt=0.4都是微分方程。一般的、凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的、叫做偏微分方程。微分方程有时也简称方程。

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y""+py"+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β)，通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。常微分方程的定义：定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

特征方程为r+1，解出根±i，然后代入eαx*（c1cosβx+c2sinβx）既是二阶齐次微分方程的通解。

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数). 根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P"(y)=Q"(x),在G内恒成立.微分方程:常微分方程和偏微分方程的总称。

解：微分方程为xdy/dx+y=xy²，化为xy"+y=xy²，有x(y"/y²)+1/y=x；设1/y=u，有u"=-y"/y²，微分方程化为-xu"+u=x，-u"/x+u/x²=1/x，-(u/x)"=1/x，-u/x=ln|x|-c(c为任意常数)，u=cx-xln|x|，1/y=cx-xln|x|，方程的通解为y=1/(cx+xln|x|) 微分方程，指的是未知函数、未知函数的导数（微分）与自变量之间的关系的方程。 随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。 微分方程为科学发现提供了有力工具，如： 牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律； 英 国天文学家亚当斯和法 国天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。 解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。

简单计算一下即可，答案如图所示

在物理学专业中，需要用到很多的常用微分方程，下面我们来一一列举。微分方程：含有未知函数及导数的一种关系式。解微分方程等于解出未知函数的解。微分方程伴随着微积分学发展的。微积分学的奠基人是牛顿和莱布尼兹，著作中都涉及到与微分方程的问题。应用十分广泛，解决与导数存在关系的问题。物理中涉及运动学、动力学，空气的阻力是落体运动等，物理学专业中，很多问题可以用微分方程进行解决。此外，在化学、经济学等领域都有其独特性。数学领域对微分方程着重几个面向，大多都是方程的解。只有少数求得解析解。没有找到解析解，可以确认解析解的性质。不能求得解析解时，利用数值分析，利用计算机找到。 动力系统理论强调量化分析，许多方法可以计算数值解，有准确度。凡表示未知函数以及导数与自变量关系的方程，叫微分方程。函数是一元，为常微分方程；是多元的叫偏微分方程。也简称方程 。研究来源：来源极广，历史久远。牛顿和莱布尼茨创造微积分运算，指出了互逆性，解决了y"=f(x)的求解。用微积分学研究几何学、物理学的问题时，微分方程大量涌现。牛顿解决二体问题：在太阳引力下，单一的行星运动。理想化为质点，得到含有3个未知函数的3个二阶方程组，经计算，可转化为含有两个未知函数的两个二阶微分方程组。用“首次积分”，解决求解问题。17世纪提出弹性，弹性导致悬链线、振动弦的方程等。力学、几何学等问题都可以用到微分方程。20世纪来，随着电磁流体力学、化学流体力学、海洋动力学等发展，出现新型。

如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 是微积分的深入知识，只要学过微积分的知识（包括对有多个自变量的偏微分），你想什么时候学就什么时候学。如函数f(x,y)=x^2+y^2 对f"x=2x f"y=2y f""xx=2 f""yy=2 由这些可构一个方程(f"x/f""xx)^2+(f"y/f""yy)^2=f f(x,y)=x^2+y^2 就是这个偏微分方程的一个解。这只是举个例子。偏微分方程的解是很复杂的，有时比方程还复杂。大部分常见方程都是由物理上得来，如果能列出一个有物理意义的新方程，基本上就可建立一门新的物理学科。 你从最简单的偏微分方程学，再学复杂的，现在你只要理解薛定谔的偏微分方程解的物理意义就可，就是研究生，不是专门研究这方面的，薛定谔的偏微分方程也不一定能明白。可以说他的解比方程还复杂。

简单的了解一下高速的话，其实是没有什么用的，如果是专业知识领域的话，可以往深入了解发展，然后当一些大学教授

《二阶变系数偏微分方程的分类》麦麦提明·阿不都克力木喀什师范学院学报 2006年 27卷 3期里面有详细介绍。你可以去下下看我截了一段图，不知道你能看到没，大概就是线性算符整理成对角阵后，系数为1，-1，0的个数为r，s，t个（r+s+t=n），按r，s，t分类r=n 椭圆r=n-1，s=1 双曲r=n-1，t=1 抛物r>1,s>1,t=1 超双曲等等

随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如： 解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。 微分方程的发展历程： 如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。 常微分方程的发展经历了几个阶段： 现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。 如果一个微分方程中出现多元未知函数的偏导数，那么这就是偏微分方程。偏微分方程作为一门学科产生于18世纪对振动弦问题的研究。在科学技术飞速发展过程中，更多的问题无法用只含一个自变量的函数来描述，多个变量的函数来描述才更合适。 到19世纪，偏微分方程得到迅速发展，数学物理问题的研究也随之繁荣起来，许多数学家都对数学物理问题的解决做出了贡献。尤其是法国数学家傅立叶，他在自己关于热传导的论文《热的解析理论》中提出了一种偏微分方程，三维空间的热方程。 偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？ 偏方程有多种类型，一般包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏微分方程 。 作为同一类现象的共同规律表示式，偏微分方程的解一般有无穷多个，而具体物理问题的解决，必须依据附加条件从中选取所需要的解。就物理现象来说，各具体问题的特殊性就在于研究对象所处的初始条件和边界条件。 初始条件和边界条件叫做定解条件。偏微分方程本身表达的是同一类物理现象的共性，是作为解决问题的依据；定解条件却反映出具体问题的个性，反映了问题的具体情况；那么方程和定解条件合二为一，就叫定解问题。 求偏微分方程的定解问题可以先求其通解，然后用定解条件找出函数。但一般在实际中来说，通解是不容易求出的，用定解条件确定函数则是更难。偏微分方程的定解常用解法： 偏微分方程的很多定解问题是不能严格解出的，退而求其次，采用近似方法求出满足实际需要的近似解。常用的方法有变分法和有限差分法：变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算。 随着物理科学所研究的广度和深度的扩展，偏微分方程的应用范围也更广泛。而从数学的角度看，偏微分方程的求解促使函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面的发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。

1、凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶，定义式如下： F(x, y, y￠, ...., y(n)) = 0 2、任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解)，当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。 3、一般地说，n 阶微分方程的解含有n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 4、如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

微分方程是含有导数或微分的方程

高数中没有偏微分方程，偏微分方程是单独一本书，难度要比高数大很多。高数中的多元函数微分学应该只是求多元函数的偏微分，而偏微分方程是求偏微分的逆过程。

函数是y=f(x) 常微分方程的未知函数仅为关于一个自变量的函数,即y仅仅是关于x的函数 相对应的,假如未知函数y是为多元函数,即关于多个自变量的函数y=f(x1,x2,...,xn),则由它构成的微分方程称为偏微分方程 如∂y/∂x1+∂y/∂x2=g(x1,x2)

题主想问的是常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）的数值方法区别呢还是微分方程这个领域和微分方程数值解领域的区别呢？按照前面@赵永峰 的回答，我也按照前者理解吧。毕竟后者的一些区别是显而易见的。先说一点共性。微分方程的数值方法，无论是ODE还是PDE，都是将连续的、无限未知数的问题近似为离散的、有限未知数的问题求解。从经典数值分析的角度，通常会关心下面一些问题：相容性、稳定性、收敛性、收敛阶、计算量等等。相容性是指格式在局部是不是做出了正确的近似；稳定性是说局部的近似误差会不会随着计算而积累放大；收敛性是说当离散尺度无穷小的时候数值解是否会趋向于真实解；收敛阶则刻画了收敛的速度，高阶的格式可以用较大的离散尺度获得较好的数值结果，但是代价通常是单步下稍多的计算量。因此数值方法的最终表现需要在误差和计算量之间找到一个平衡。先说说ODE。在这个领域里，无论是初值问题还是边值问题，有限差分方法都是最常用的方法，比如说著名的Runge-Kutta方法。最常用的RK4方法就有稳定性条件比较宽泛、收敛阶很高（4阶）、计算量较小的优点。ODE数值方法中，差分方法是绝对的主流。尽管有限元方法、谱方法等等也可以用于解ODE，但是差分法依然更受欢迎。即便是边值问题，基于差分法的打靶法也比有限元更受欢迎。由于ODE的解行为通常比较好，只要右端项满足一定的Lipschitz连续性，解就存在唯一，对初值参数连续依赖。所以ODE数值方法的特点是有限差分法是一种适用面非常广泛的方法。也就是说，如果你是一个工程师，对数值方法并不熟悉。你在实际工作用需要求解一个（规模不太大的）ODE，那么你闭着眼睛把这个方程扔给一个RK4标准程序，效果一般不会太差……实际应用中ODE数值方法面临的最主要问题是刚性。简单说，如果把方程组理解为一组粒子的运动，那么这些粒子的运动存在时间尺度的分离，而你的数值方法应该要抓住最小的时间尺度，这就意味着超大的计算量。这种问题在分子动力学模拟（MD）中特别常见。本来MD就要计算10^6量级的粒子，再有很强的刚性就会使得模拟几乎无法进行。实际中，无论是从理论上做渐近分析或是平均化（averaging）抑或是数值上构造稳定性条件更加宽松的数值格式都是非常有挑战性的工作。ODE数值解面对的另一个困难时长时间模拟。再好的数值格式也会有误差，误差总会随着时间积累，时间充分长之后总会让数值解变得不可信。尤其是如果方程的解包含周期结构的时候数值误差很容易在长时间上破坏解的周期性（一个典型的例子是用Euler法求解地球轨道方程，数值解最终会远离太阳而去）。因此一个很有挑战性的问题就是如何在长时间的计算中保持数值解的某种结构，比如说能量守恒。如何构造这种满足特殊要求的数值格式同时还能尽量保持高精度是需要仔细设计的。实际中如果面对超大规模方程的长时间模拟，计算量的限制使得高阶格式都难以应用的时候，其结果的可信度基本属于玄学……除此之外，ODE数值解还有一些具体的问题。比如说不适定问题的求解、方程在临近分岔时的精确求解等等。总的来说，ODE数值解的领域相对成熟，理论比较完善，有一些可以作为标准方法的解法。实际应用中，可以根据实际问题的特点在这些标准方法上做出改进。说到PDE数值解，那简直就是天坑……这个领域太大了，即便你说PDE数值解就是全部的计算数学，错的也不算离谱。教授们如果不注意维护自己的个人主页，很容易发现一所高校计算数学系教授的研究兴趣都是偏微分方程数值解……还是简单说几句好了。从方法构造上，前面@赵永峰 的答案中提到的有限差分法、有限元方法和谱方法确实是最主要的几种方法。有限差分法依然是最基础的。差分法有直观清楚、构造简单、易于编程的优点，对于没有受过专门数值方法训练的工程师来说，差分法依然是最好的选择。精心构造的差分方法可以非常高效。比如在求解流体力学方程的时候，守恒型差分格式有非常成熟的理论和方法。有限差分法的缺点主要是只能用于比较规则的区域，对于复杂区域边界的处理不但困难，而且很容易损失精度，进而影响数值解在全局的精度。一种改进的方式是有限体积法（Finite Volume Method）。有限体积法的做法是将微分方程写成积分方程，在每一个小区域中用数值积分来近似精确积分，进而求解方程组。因为数值积分的方法比较灵活，有限体积法对于区域的要求宽松许多，并且可以选择合适的积分法来保持方程的物理性质。缺点则是如果使用较高阶的数值积分方法，那么计算量将非常大，甚至需要求解非线性方程组；而如果使用较低阶的数值积分法，又不如差分法简洁。差分法的思想是在局部用差商代替微商，这是一个局部的近似。从全局看，差分法相当于用分片常数近似导数，也就是用分片线性函数近似精确解。而分片线性函数在全局其实是不可导的，所以我们通常在连续函数的最大值范数下来考察收敛性。而有限元方法（Finite Element Method）则是用分片多项式来近似精确解，我们不但可以在整体上考虑函数值的收敛性，还可以考虑导数的收敛性。有限元方法的优点在于可以用于不规则的一般区域，原则上可以构造出非常高阶的格式，收敛性和收敛阶有比较成熟的理论，缺点则是有限元的构造比较困难，也不容易写程序。在一些汉译文献中经常混淆有限体积法和有限元方法两个术语，需要特别注意。（一个特别有名的例子，LeVeque的名著“Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems”就被翻译成了有限元方法……）谱方法则是一种无网格方法。它不像差分法和有限元那样需要首先将区域做剖分，而是将解按照一组正交基做展开（也就是广义的Fourier展开），截取有限项作为近似，需要求解的是对应的Fourier系数。谱方法的好处是高精度，以及搭配一些快速算法（比如快速Fourier变换）计算速度很快，缺点则是一般只适用于非常规则的区域，并且对边界条件有比较苛刻的限制。此外，将谱方法和有限元方法结合起来的谱元法也是当下比较热门的领域。可以看到，和ODE不同，PDE数值解没有一种占绝对优势地位的方法乃至于框架。一般来说，我们需要针对不同的方程设计不同的数值方法。所以PDE方程的数值求解是一件技术含量比较高的事情。如果你是一个对数值方法不熟悉的工程师，在实际应用中需要求解一个PDE，那么最好还是找一本书简单学习一下。即便是最简单的方程、最简单的差分法，也需要一些知识来设计合适的格式（举两个学生作业中常见的例子，对流方程的差分格式需要满足CFL条件，对流占优的对流扩散方程也需要仔细设计格式来避免数值耗散对解的污染，即便这些方程都是常系数的）。PDE数值解的困难主要在于PDE的解表现出的行为太丰富了。很多时候，我们对要求解的方程性质都缺少基本的认识，更说不上根据方程的特点设计有效的算法。实际中我们只能针对一类方程来设计一类格式，这一类格式对另一类方程很可能根本就不灵。我们都知道， 和 一个符号之差就是两种完全不一样的方程。适用于前者的格式根本就解不了后者。ODE中我们提到的困难对于PDE都存在，比如刚性，比如长时间行为。但是这都不是PDE数值解的主要问题。因为PDE的数值解还远到不了讨论这么精细问题的程度，当务之急还是在有限的计算时间内解出来。对ODE数值解要求4、5阶的精度不算过分，但是PDE数值解能有时空2阶精度就非常令人满意了。和ODE相比，PDE的数值解更加强调对方程物理性质的保持。因为PDE问题通常都来自物理背景。计算流体力学中要求保持物理量的守恒性，还要能够准确的捕捉激波。既要利用数值粘性来避免数值振荡，还要尽量减小数值粘性来保持解的守恒性。这些使得某一种PDE的数值求解都变成一门需要深入研究的学问。泛泛的谈PDE的数值解通常是谈不出什么来的。PDE数值解的另一个巨大困难就是维数灾难（curse of dimensionality）。一般的说，PDE需要求解的未知数数量是随着问题维数指数增加的。这就意味着合理的计算量根本处理不了高维的问题。现今，无论是差分法、有限元还是谱方法，一般都只能处理三维以下的问题。超过三维，如果没有可以利用的对称性，基本可以宣告放弃了。然而高维的PDE求解在统计物理中随处可见。即便要求解Boltzmann方程，也是7维的，远远超出了传统方法的能力范围。对于一类特殊的PDE，我们可以将它视作是某个随机变量的期望，然后利用Monte Carlo方法来计算这个期望。众所周知，Monte Carlo方法的优点就是计算量对维数的增加不敏感，可以针对少量特殊点求解方程而不必在全局解出整个解，可并行化程度高，是求解高维PDE的一种很有吸引力的方法。当然，Monte Carlo方法的缺点也很多。比如说收敛慢（通常只有半阶）、精度低、随机误差不可避免、对问题形式要求严苛等等。总的来说，PDE的求解通常是根据具体问题设计具体方法的，泛泛地说PDE的数值方法很难深入下去。PDE求解的问题和困难非常之多，如果说解ODE的时候闭着眼睛上RK4是个不算糟糕的方案，那么解PDE就一定要对待求解的方程和数值方法理论本身都有基本的认识。

所谓全微分方程，是一类特殊的常微分方程，它是不含偏导数的。一般形式为p(x,y)dx+q(x,y)dy=0.你看到它是常微分方程。只是p(x,y)dx+q(x,y)dy是某个二元函数u(x,y)的全微分，即du=p(x,y)dx+q(x,y)dy,所以称为全微分方程，而它的通解很自然的得出u(x,y)=c.

个人觉得多元统计分析，因为偏微分方程实际上还是属于正常方程的一种，我们会有熟悉的感觉；但多元统计分析基本平常没接触，高考之后更是没接触，所以没什么熟悉感

1、常微分方程是含有自变量（一个）、未知函数和它的导数的等式,偏微分方程是含有自变量（两个或两个以上）、多元函数及其导数（偏导数）的等式； 2、常微分方程的解是一元函数；偏微分方程的解是多元函数.

用Maple解的时候你可以使用相关命令去解，一般函数方程的解法过程你可以到Maple 中文版官网里面去看看，里面有一些基本操作的介绍，你可以去参考看看

多元微分方程公式：dy/dx=1/(x+y)。一般来说，高阶微分方程的求解比较复杂，在此仅介绍几种容易求解的类型，这几种方程的解法思路主要是利用变换将高阶方程化为较低阶的方程，将这种方法称为降阶法（method of reduction of order）。含义沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 y=x2趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:例如, 含有两个变量的实数函数f(x,y)，对于每一个固定的y，f关于x的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的x，f关于y的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

偏微分方程种类很多，解法也很多，不知你说的是那一类、哪一种？

多元函数的导数称为偏导数。含有未知函数偏导数的方程叫偏微分方程。多元函数的微分是指多元函数在多个自变量变化时函数变化中的线性主部。

ode23(@(x,y),[a,b],[y1;y2;y3;y4])

常微分方程解析理论-正文 复域上的常微分方程理论；应用复变函数论研究微分方程的性状，以及把微分方程的解视为由方程定义的解析函数，并直接从微分方程本身研究解的性质的理论。这是基于A.-L.柯西的基本定理,即在对微分方程作极为广泛的假设下，它的积分是复变数的解析函数。常微分方程解析理论与复变函数理论的发展密切相关。它的先驱性工作是由柯西、（G.F.）B.黎曼、I.L.富克斯、（J.-）H.庞加莱以及P.班勒卫等人所作。 解的存在性和惟一性定理 微分方程理论中最基本的问题是已给的方程是否有解，早先的数学家们力图通过已知初等函数的有限组合来表示微分方程的解，但在这个观念下大多数微分方程不可积。这实际上是要求方程的大范围通解，是不合适的，因为典型的分析运算与极限过程只要求局部的观点。另一方面，在物理和力学中的问题常是只要求适合某些补充条件的特解。于是柯西提出考虑如下的问题：方程 (1)的右端?(z,w)在(z0,w0)点的某个邻域内解析，问是否存在z的解析函数w(z;z0,w0)，它在w0点的邻域满足方程(1)，并且满足初值条件w(z0;z0,w0)=w0。他证明了在上述假设下，解是存在且惟一。这个定理称为柯西存在性定理。在复域中通常应用幂级数展开式给出惟一的形式解，然后用与某个已知的收敛幂级数相比较的方法（优函数方法）给出形式解的收敛性证明，从而完成存在性和惟一性定理的证明。 奇点 柯西存在性定理所证明的微分方程的解是局部的。即给出了一个解析函数元素，应用外尔斯特拉斯的解析开拓（见常微分方程初值问题）的方法，从z0点的邻域沿一途径Г开拓这个函数元素，如果方程(1)的右端也能沿Γ开拓，则解的开拓元素也满足方程。如果沿着所有可能的途径进行开拓，则得到的所有函数元素构成的集合在大范围定义了一个单值的或多值的函数。现在重要的问题是在解的整个存在区域上来研究它，而解的存在区域和解的性质是由它的奇点所决定的，这里奇点是指柯西存在性定理不成立的那些点。因此需要研究所考虑的方程的解的奇点的位置和性质。 微分方程的解出现的奇点较解析函数论中的情况要复杂得多。首先当自变量围绕某些点转一圈以后，函数从一个值变为另一个值，称这些点为分支点。代数函数可能具有的奇点称为代数奇点。非代数奇点的分类基于不定区的概念,函数?在z0点的不定区是指以z0为中心的小圆在?映射下的像集合当圆半径趋于0时的极根集合。若点z0的不定区由一点组成，则称z0为超越奇点，否则称为本性奇点。富克斯还对微分方程解的奇点提出一种重要的区分，即分为固定奇点和流动奇点。前一种由微分方程本身给出其位置和性质,与方程的个别解无关,也即与通解中所含的任意常数无关。后者则依赖于柯西问题的初始值,也就是依赖于特解的选择,它与任意常数一起变动。例如方程 的解以整数和无穷远点为固定奇点（极点）；和 分别有解为 和此时с分别是流动代数分支点，流动对数分支点和流动本性奇点。 班勒卫曾证明如下的定理（称班勒卫定理）：若z0是方程（1）的解的奇点，则（z0，w0）不是方程右端?(z,w)的全纯点。 这个定理首次确定解的奇点和方程奇点的关系，同时还说明在方程右端 ?（z, w）的全纯点处除了全纯解之外，不存在非全纯的解。当方程右端是w 的有理函数时,班勒曾卫列举可能出现奇点的种种情况。此外,如果?(z,w)=P(z,w)/Q(z,w),(z0,w0)是P(z,w)和Q(z,w)的全纯点, 但P(z0,w0)=Q(z0,z0)=0，这种不确定的情形下,即使在P(z,w)和Q(z,w)是z 和w 的线性函数的情形，其解在z0点的邻域的性质也相当复杂。 一般地,当对方程的性状加上某些限制以后,也带给解的奇点某些限制，例如线性微分方程的解无流动奇点。1887年班勒卫曾证明，未知函数及其导数代数地出现于方程，而系数是z的解析函数的一阶代数微分方程,它的解无流动超越奇点和流动本性奇点。 反过来,如果对解的奇点作某些限制时,微分方程也要适合某些条件,例如其解无任何奇点的方程必为一个重要的结论是:如果方程(1)的右端是w 的有理函数，其解无流动代数分支点,则方程(1)必化为如下的黎卡提方程 (2) 线性常微分方程 一类很重要的常微分方程，未知函数的最高阶导数是较低阶导数的线性函数，一般可写成 如果右端恒为零，则称为齐次线性微分方程。如果知道了齐次方程的通解，则能通过参数变动法（或称常数变易法，见初等常微分方程）得到非齐次方程的解。因此线性方程的中心问题是研究齐次方程,而n阶齐次线性方程的通解能由 n个线性独立的特解线性地表示出来。这个基本性质大大简化了对线性方程的研究。此外，在力学和电路理论中有关振动问题常化归为二阶线性方程，纯粹数学中的许多完美思想也是从这类方程的研究中产生,而且常常能展现出n阶线性方程的许多性质。所以大量的工作是关于二阶线性方程的。它的一般形式可写成 (3)已知线性方程的解只有固定奇点，即解w(z)在一点的性质依赖于方程系数 p(z)和 q(z)在该点的性质。许多物理问题引起的微分方程都有奇点，因而对适应这种物理情况的解有较详细的讨论。在奇点领域,方程（3）的解能有如下表示式：设w1(z)和w2(z)是奇点 z0邻域的两个线性独立解，当围绕z0转一周时，它们接受一个线性变换，即 令λ1和λ2是A=的特征根,则当λ1≠λ2时，(3)的解能写为 当λ1=λ2时，则为 式中ck(k=0,1,2)是常数，uk(z)(k=1,2,3)是在z0点邻域的洛朗级数。这个表示式的作用在于将解的单值解析部分和多值解析部分明显地表示出来。另一方面在大多数物理问题中,奇异性比较“弱”,出现较弱奇异性的点称为正则奇点,其定义如下:若在z0点，uk(z)(k=1,2,3)只有极点,则称z0为正则的;若uk(z)中至少有一个以z0为本性奇点，则称z0是非正则的。 下述几个特殊的二阶线性方程在实际应用和理论中都很重要。 富克斯方程 它是奇点全为正则奇点的方程。由于z0为正则奇点的充分必要条件是(z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在z0点领域全纯，因此富克斯方程可写为 (4)它也是具有正则奇点的仅有的方程,其中p1(z)、q1(z)在αk点全纯；并称 img src=image/67-7.gif align=absmiddle> (5)为在αk点的指标方程，其中,。方程(5)的根称为指标数，记为且有著名的富克斯关系式这里αn+1=。如果奇点的个数<4且都位于有限平面内，则方程能由奇点的位置和相应的指标数完全确定。特别是当 n=3时即导出超几何方程。对这个方程的研究有着悠久的历史，许多杰出的数学家如L.欧拉、C.F.高斯、E.E.库默尔和黎曼等人都有重要的贡献。这类方程在很多情形中出现，它与共形映射、差分方程、连分数和自守函数都有关系；且其理论具有形式上的高度完美性，今设 αk(k=1,2,3)为奇点，()为相应的指标数，则方程可写为 这个形式为黎曼所提出,又称为黎曼方程,它的积分(解)能由黎曼的P函数所表示，通常记为 一个相关的问题是确定一切多值函数，它们仅以给定的αk(k=1,2,3)为奇点,它的奇异性满足一定的要求，在每个奇点附近，此函数有两个独立的值，而任意三个值w1(z)、w2(z)、w3(z)线性相关，这个问题称为黎曼问题。它能化为黎曼方程的积分，一般地可通过超几何函数表示出来，这个问题先后由D.希尔伯特、J.普莱姆利和G.D.伯克霍夫解决和推广。 若富克斯方程的奇点为0、1和，则引入超几何函数中常用的参数之后能导出高斯的标准形式 称为高斯方程或称超几何方程。它的解可表为超几何级数 式中(p)n=p(p+1)(p+2)…(p+n-1)。库默尔于1834年找出24个变换，使得具有三个至多是简单奇点的二阶富克斯方程化为具有不同参数的超几何方程。这24个变换对应着解由超几何级数表示的24个表达式。 勒让德方程 它是形如 的方程。A.-M.勒让德于1785年首先考虑α=n为非负整数的情形。若令t=(1-z)/2,则它能化为以n+1、-n和1为参数的超几何方程，在z=1的全纯解为n阶勒让德多项式 。 贝塞尔方程 它是形如 的方程。它的解称贝塞尔函数（见特殊函数），它和黎卡提方程密切相关，最早出现于丹尼尔第一·伯努利对悬链振动的研究中并为欧拉和贝塞尔所研究，近代又发现它在物理和工程上有多方面的应用，在纯粹数学的许多问题中也用到贝塞尔函数。 施瓦兹方程 它是与二阶线性微分方程紧密相关的一类方程, 它由共形地映w上半平面为z平面上圆弧多边形内部的函数所满足，方程为 (6)式中称为施瓦兹导数;α1,α2,…,αn为多边形的角点, P2n-4(w)和2n-4次多项式。方程(6)的解具有一个重要的性质,即当围绕奇点环行一周时,它接受一个分式线性变换 又知二阶线性方程的两个线性独立的解之比亦具有相同的性质，因此方程（6） 的求解问题能化为适当选取的二阶线性方程的求解。设G是一分式线性变换群,?（z）为一单值亚纯函数，如对于任一g∈G有?(g(z))=?（z）,则称?（z）是关于群 G的自守函数。自守函数与二阶微分方程有下述的关系：设w＝?(z)为自守函数，则z作为w 的函数可用微分方程z〃+uz=0的两个独立解z1(w)和z2(w)之商表示<即的反函数为w＝?(z)。 非线性微分方程 由于许多物理系统是非线性的，从而描述它们的微分方程也是非线性的，即未知函数或其导数非线性地出现于方程之中。对于非线性方程一般性质的了解不像线性方程那样完备和深入，而是知道得很少，而且它具有线性方程理论中所未见的新现象。下面只叙述非线性方程理论中的一些事实。 1856年C.A.布里奥和J.-C.布凯考虑如下的方程 (7)式中 F(z,w) 是在某个双圆柱内两个变量的全纯函数。首要的问题是方程(7)是否存在全纯解。他们证明:如果q不是正整数。则（7）在z=0有惟一的全纯解w(z)，且w(0)=0。若q=1，p≠0，则不存在全纯解。若p=0，q=1，则有无穷多个全纯解。他们还讨论下面的方程 (8)式中P(x,y)是x和y的常系数多项式,并称(8)为k阶布里奥－布凯方程,或简称BB方程。他们指出,每一椭圆函数满足某个k阶BB方程,并且BB方程具有大范围单值亚纯解的必要条件是代数曲线P(x,y)=0的亏格为0或1。 19世纪末，班勒卫首先讨论了方程式中F(z,w,w┡)是w和w┡的有理函数，系数为z的解析函数。他考虑定出只具有固定分支点和本性奇点的方程。B.O.冈比埃和富克斯对此问题亦作出重要贡献。一般方法是由班勒卫提出,基本技巧是他的α－方法。他们找到了50个不同的类型,但大多数能化为已知的方程,如线性方程或黎卡提方程。只有 6种类型的方程导出新的超越亚纯函数,这些方程是: < align=center> 等等，并称这些方程为班勒卫方程,它们的解称为班勒卫函数。1913～1914年，P.L.布特鲁对一类二阶方程发展了渐近积分的方法，并指出班勒卫方程的解在某种意义下渐近于外尔斯特拉斯椭圆函数。 常微分方程理论中奈望林纳理论的应用 20世纪20年代芬兰数学家R.奈望林纳创立了亚纯函数值分布理论。不久日本数学家吉田耕作应用此理论于一类非线性常微分方程的研究。50年代H.维蒂希更系统地研究了奈望林纳理论对常微分方程理论的意义，使得这一理论成为研究一类方程解的某些大范围性质（解的增长性，值分布性质，因子分解等）的重要工具。作为柯西存在惟一性定理的直接推论是下述常系数微分方程 (9)的每一非常数亚纯解 w(z)都不取αj(j=1,2,…,n)为值。另方面，根据亚纯函数皮卡定理，任一非常数亚纯函数能取所有的复值为值，至多除去两个例外。因此，如果方程(9)具有非常数亚纯解,则必有方程(9)的右端对w的次数≤2。对此,在1913年J.马尔姆奎斯特得到了重要的推广,他证明了下述的马尔姆奎斯特定理：设方程(1)的右端是z和w的有理函数，如果方程存在全平面单值超越亚纯解,则(1)必为黎卡提方程。1933～1934年吉田耕作应用奈望林纳理论给出这个定理一个漂亮的证明，并且大大推进了结果。由于微分方程的解更多出现为有限多值的解析解，即代数体函数解，他还考虑了方程 (10)的代数体解存在的必要条件,其中P(z,w)和Q(z,w)分别是w 的p次和q次多项式，系数是z的有理函数。他证明：若方程（10）存在v值超越代数体解，则必有p≤2nv和q≤2n(v-1)。特别地,当 n=v=1时即是马尔姆奎斯特定理。 上述类型的定理有种种证明和推广，其中一个重要的补充是由N.施泰因梅茨所得，他证明了：若(10)存在超越亚纯解, 则经过适当的分式线性变换能化为6类标准的方程之一或它们的幂。这些方程除黎卡提方程外是: 等等。 此外，对于代数微分方程亦有相应的结果，中国数学工作者对相当广泛的高阶代数微分方程存在“较快”增长的代数体函数解的必要条件亦得到精确形式的马尔姆奎斯特型定理。近年来奈望林纳理论还被用来研究常微分方程复振荡理论、解的增长性估计和解的因子分解等。

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解：方程为x²-xy+y²=c(c为任意常数)，两边同时求导，有2x-y-xy"+2yy"=0，微分方程为y"=(2x-y)/(x-2y)方程为e⁻ᵃʸ=c₁x+c₂，两边同时求导，有-ae⁻ᵃʸy"=c₁，-ae⁻ᵃʸy"+a²e⁻ᵃʸy"²=0，微分方程为y"=ay"²请参考，希望对你有帮助求解隐式微分方程常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 学习《常微分方程》的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础。同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：其解为：其中C是待定常数；如果知道则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y"+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。二阶常系数齐次常微分方程对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：可知其通解：其特征方程：根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为：若则有若则有在共轭复数根的情况下：r=α±βi扩展资料一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y"）=0标准形式：y"=f(x,y)主要的一阶微分方程的具体形式约束条件微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。唯一性存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4]  则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。参考资料来源：百度百科-常微分方程参考资料来源：百度百科-微分方程

用等价无穷小来做。当x→0的时候，1-cosx→0；2x²→0所以tan（1-cosx）和1-cosx是等价无穷小；sin（2x²）和2x²是等价无穷小所以原极限=lim（x→0）（1-cosx）/2x²而当x→0的时候，1-cosx和x²/2是等价无穷小所以原极限=lim（x→0）x²/2*2x²=1/4

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