空间向量

如果向量组中有两个非零向量成比例则向量组线性相关.所以A不对,B是必要条件，因为如(1,0,1)T,(0,1,0)T,(1,1,1)T任意两个向量之间都不成比例，但是三个向量现行相关C是充要条件，用反证法，先证充分性如果向量组线性相关则K1A1+K2A2+...KSAS=0中必然有一个K不等于0，设Ki≠0，那么Ai能被其余向量线性表示，与C题设不符，所以向量组线性无关必要性，如果有一个向量能被线性表示，设Ai=K1A1+K2A2+...+K(i-1)A(i-1)+k(i+1)A(i+1)+...+KsAs.则向量组线性相关，与向量组线性无关题设不符，所以任意一个向量不能由其余向量线性表示D关于秩的

用反证法吧.假设a1…an+2(下标,后同）两两互为钝角n维空间任意n+1个向量线性相关,即存在不全为0的数k1….kn+1使得k1a1+…+kn+1an+1=0两边跟an+2内积,k1＜a1,an+2＞+…..+ kn+1＜a1,an+2＞=0其中＜a1,an+2＞...＜a1,an+2＞全小于0,所以存在ki…大于0,kj…小于0.负的移到另一边,kiai+…=-kjaj-…=v (0项可以去掉)＜v,v＞=＜kiai+…,-kjaj-…＞=-kikj＜ai,aj＞…＜0,矛盾.

证明：若α1，α2，α3线性相关，则存在不全为0的实数x1，x2，x3使得x1α1+x2α2+x3α3=0，∵β1=α1+α2,β2=α2+α3，β3=α3+α1∴α1=(β1+β3-β2)/2，α2=(β1+β2-β3)/2，α3=(β2+β3-β1)/2，带入上式得(x1+x2-x3)β1+(x2+x3-x1)β2+(x1+x3-x2)β3=0，∵x1，x2，x3不全为0若x1+x2-x3=x2+x3-x1=x1+x3-x2=0，则解得x1=x2=x3=0，矛盾∴x1+x2-x3，x2+x3-x1，x1+x3-x2不全为0，即β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性相关=>β1，β2，β3线性相关反之，同理可证β1，β2，β3线性相关=>α1，α2，α3线性相关∴α1，α2，α3线性相关β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性无关β1，β2，β3线性无关

证明：若α1，α2，α3线性相关，则存在不全为0的实数x1，x2，x3使得x1α1+x2α2+x3α3=0，∵β1=α1+α2,β2=α2+α3，β3=α3+α1∴α1=(β1+β3-β2)/2，α2=(β1+β2-β3)/2，α3=(β2+β3-β1)/2，带入上式得(x1+x2-x3)β1+(x2+x3-x1)β2+(x1+x3-x2)β3=0，∵x1，x2，x3不全为0若x1+x2-x3=x2+x3-x1=x1+x3-x2=0，则解得x1=x2=x3=0，矛盾∴x1+x2-x3，x2+x3-x1，x1+x3-x2不全为0，即β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性相关=>β1，β2，β3线性相关反之，同理可证β1，β2，β3线性相关=>α1，α2，α3线性相关∴α1，α2，α3线性相关<=>β1，β2，β3线性相关即α1，α2，α3线性无关<=>β1，β2，β3线性无关

直接乘就好

因为如果同构，那就是n维空间本身了。除非n维空间前面有倍数，那就存在有和它同构的真子空间。

设为a，最后消掉就好了。设1不太好....还有啥问题么？你题目就问了个能不能设1，不知道你还哪需要解答....

首先找出每个平面的法向量，方法如下：对于一个平面，设一个向量x，取出两个平面内的相交向量，与x点乘，都得到零，可以求出x(不唯一，找出一个就可以）两个平面垂直，等价于这两个法向量垂直。就是点乘为零就可以了

1.找一个与这个点连接的向量pa（a在平面内）2.求出平面的法向量n3.求出cos<向量pa,向量n>4.点到平面距离d=|向量pa|*cos<向量pa,向量n>

在空间求平面的法向量的方法： （1）直接法：找一条与平面垂直的直线,求该直线的方向向量. （2）待定系数法：建立空间直角坐标系, ①设平面的法向量为 n=(x,y,z) ②在平面内找两个不共线的向量a 和 b, ③建立方程组：n点乘a=0 n点乘b=0 ④解方程组,取其中的一组解即可.

已知一个平面的两个法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均为已知 设平面法向量为n=(x,y,z) n为平面的法向量则 n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0 n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0 两个方程,三个未知数x,y,z 故设出其中一个,例如设x=1（不能为0）,从而求出y,z的值,即可得到平面的一个法向量,因为平面的法向量有无数个,且模可以任意,故可以这样假设

已知一个平面的两个法向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2) 其中x1,x2,y1,y2,z1,z2均为已知 设平面法向量为n=(x,y,z) n为平面的法向量则 n*a=0 x*x1+y*y1+z*z1=0 n*b=0 x*x2+y*y2+z*z2=0 两个方程,三个未知数x,y,z 故设出其中一个,例如设x=1（不能为0）,从而求出y,z的值,即可得到平面的一个法向量,因为平面的法向量有无数个,且模可以任意,故可以这样假设

在空间向量中，平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|。式中，n ---平面α的一个法向向量，M ----平面α内的一点，MP---向量。立体几何中，点到平面的距离没有具体的公式。在此情况下，一般是由点向平面作垂线，将垂线与平面内有关的线段构成平面几何图形，利用勾股定理或三角函数，求出要求的距离。扩展资料点到平面距离公式是：点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度叫做点到平面的距离，特殊的有，当点在平面内，则点到平面的距离为0。平面的一般式方程Ax +By +Cz + D = 0其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）。向量的模（长度）给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)。向量的点积（内积）给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2。

1、在空间向量中,平面外一点P到平面α的距离d为：d=|n.MP|/|n|.式中,n：平面α的一个法向向量,M：平面α内的一点,MP---向量。2、点到平面的距离公式：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√（A2+B2+C2）。公式描述：公式中的平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点P的坐标（x0，y0，z0），d为点P到平面的距离。

d=|n.MP|/|n|.

点到平面的距离就是：该点与平面内任意一点连成的线段，在平面的法向量上的射影长。所以点到平面的距离公式为：设该点与平面内任意一点的连线的向量为a向量，平面的法向量为n向量，距离为d=|a*n|/|n|即：a向量与n向量的数量积除以n向量的模。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 [1] 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。

空间向量点到平面的距离公式：d=|nMP|/|n。平面，是指面上任意两点的连线整个落在此面上，一种二维零曲率广延，这样一种面，它与同它相似的面的任何交线是一条直线。是由显示生活中（例如镜面、平静的水面等）的实物抽象出来的数学概念，但又与这些实物有根本的区别，既具有无限延展性（也就是说平面没有边界），又没有大小、宽窄、薄厚之分，平面的这种性质与直线的无限延展性又是相通的。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

空间向量到平面的距离，就是向量的两个端点到平面的距离，取最短的那一个长度，就是空间向量到一个平面的问题。点到平面向量的距离：先建立空间直角坐标系，x、y、z轴。设该平面为“平面ABC”设该点为P。然后用向量表示向量PA。（愿你给个好评哟~~）

工农群众运动的领导

向量a在向量b上的投影也是一个向量，不妨记做向量c则有c与b共线，方向取决于a与b的夹角|c|=|a|*|cos<a,b>|当cos<a,b><0时候，c与b的方向相反；否则同向

对于求向量在另一个的投影，首先你需要求出夹角（或者夹角正玹值），然后把需要求的向量乘以夹角的余玹值即可。如a在b上的投影是|a|cos=a*b/|b|a=(1,2,3)b=(2,1,4)a在b上的投影为：a*b=2+2+12=16|b|=√(2^2+1^2+4^2)=√21a在b上的投影为：16/√21

要看你的向量是在哪个坐标系内的，在空间坐标系下的向量为空间向量，可以用矩阵表示

关于空间向量在立体几何中的应用问题，其中最主要的计算都是围绕平面的法向量展开的。在绝大部分题目中，空间向量是作为数学工具来解决两类问题：一、垂直问题，尤其是线面垂直问题（面面垂直基本类似）；二、角度问题，主要讲二面角的平面角通过两个平面法向量所称的角来进行转化（线面角与此类似）。而立体几何中的平行问题一般是用基本定理来进行解决的。平面法向量的基本概念。法向量是指与已知平面垂直的向量，它可以根据选取的坐标不同有无数多个，但一般取其中较为方便计算的。平面法向量的基本计算。根据图形建立合适的坐标系，设出已知平面的法向量为n(x,y,z)，在已知平面内寻找两条相交直线a,b，并用向量表示它们。由于法向量垂直于平面，则必然垂直这两条直线，利用垂直向量点乘为零列出方程组。由于有三个未知数x,y,z，一般是设其中一个为特殊值，求出另外两个（前面说过，法向量有无数多个，我们只需算出其中一个即可）。平面法向量的基本应用。在求出法向量后，如要证明线面垂直，只需证明要证明的直线平行于该平面的法向量；如要证明面面垂直，只需证明两个平面的法向量垂直；如要求直线和平面所成的角，只需求出直线和法向量所成的角（利用向量点乘公式求出这个家教的余弦值，它和所求的线面角互余）；如要求二面角大小，只需求出两个平面的法向量所成的角（同样利用点乘公式求出这个角的余弦值，它和所求的二面角的平面角相等或互补，然后只需简单判断二面角是锐角还是钝角即可）。例：二面角的棱上有A.B两点,直线AC,BD分别在这二面角的两个平面内，且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6.BD=8,CD=二倍根号17,求二面角的大小？解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，AB=4,AC=6.BD=8,CD=2√17过A作AE//BD，使AE＝BD，连接CE，DE∴AB⊥面ACE，∠CAE就是二面角的平面角CE＝√(CD^2-DE^2)=√(68-16)=2√13由余弦定理cos∠CAE=(AC^2+AE^2-CE^2)/(2AC•AE)=(36+64-52)/(2×6×8)=1/2∴二面角为60°

　　向量空间又称线性空间，是线性代数的中心内容和基本概念之一。那么你对向量空间了解多少呢?以下是由我整理关于什么是向量空间的内容，希望大家喜欢!　　向量空间的简介 　　在解析几何里引入向量概念后，使许多问题的处理变得更为简洁和清晰，在此基础上的进一步抽象化，形成了与域相联系的向量空间概念。譬如，实系数多项式的集合在定义适当的运算后构成向量空间，在代数上处理是方便的。单变元实函数的集合在定义适当的运算后，也构成向量空间，研究此类函数向量空间的数学分支称为泛函分析。 　　向量空间它的理论和 方法 在科学技术的各个领域都有广泛的应用。 　　向量空间的线性映射 　　若 V 和 W 都是域F上的向量空间，可以设定由V到W的线性变换或“线性映射”。这些由V到W的映射都有共同点，就是它们保持总和及标量商数。这个集合包含所有由V到W的线性映射，以 L(V, W) 来描述，也是一个域F上的向量空间。当 V 及 W 被确定后，线性映射可以用矩阵来表达。 　　同构是一对一的一张线性映射。如果在V 和W之间存在同构，我们称这两个空间为同构;域F上每一n维向量空间都与向量空间F同构。 　　一个在F场的向量空间加上线性映射就可以构成一个范畴，即阿贝尔范畴。 　　向量空间的额外结构 　　研究向量空间很自然涉及一些额外结构。额外结构如下： 　　一个实数或复数向量空间加上长度概念。就是范数称为赋范向量空间。 　　一个实数或复数向量空间加上长度和角度的概念，称为内积空间。 　　一个向量空间加上拓扑学符合运算的(加法及标量乘法是连续映射)称为拓扑向量空间。 　　一个向量空间加上双线性算子(定义为向量乘法)是个域代数。 　　向量空间的公理化定义 　　设F是一个域。一个F上的向量空间是一个集合V和两个运算： 　　向量加法: V + V → V, 记作 v + w, ∃ v, w∈V 　　标量乘法: F × V → V, 记作 a·v, ∃a∈F, v∈V 　　符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)： 　　向量加法结合律：u + (v + w) = (u + v) + w; 　　向量加法交换律：v + w = w + v; 　　向量加法的单位元：V 里有一个叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v; 　　向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0; 　　标量乘法分配于向量加法上：a(v + w) = a v + a w; 　　标量乘法分配于域加法上: (a + b)v = a v + b v; 　　标量乘法一致于标量的域乘法: a(b v) = (ab)v; 　　标量乘法有单位元: 1 v = v, 这里 1 是指域 F 的乘法单位元。 　　有些教科书还强调以下两个公理： 　　V 闭合在向量加法下：v + w ∈ V 　　V 闭合在标量乘法下：a v ∈ V 　　更抽象的说，一个F上的向量空间是一个F-模。V的成员叫作向量，而F的成员叫作标量。若F是实数域R，V称为实向量空间;若F是复数域C，V称为复向量空间;若F是有限域，V称为有限域向量空间;对一般域F，V称为F-向量空间。

以前我们学习了平面向量的相关知识，现在学习空间向量，相对来说空间向量是研究空间立体中向量的相关计算，学习难度也要比平面向量大一些。不过在学习的时候我们只要理解基本的知识概念，牢记相关的计算公式，同时适当地做些习题来巩固学习的知识，也是可以很好地掌握这些知识的。要知道空间向量的一些基础知识概念，牢记相应的线性运算法则。牢记空间向量数量积的计算公式及其相关性质。要会运用共面向量定理判断线面平行。要牢记空间向量的基本定理，并知道空间向量的坐标表示。

两点间的距离公式，若A（x1,x2）B(Y1,Y2),则AB的模的绝对值=根号[(x1-Y1)^2+(x2-Y2)^2]向量的长度公式，若a的模=（a1,a2），则a的模的绝对值=根号（a1^2+a2^2)两向量夹角的坐标公式，若A（a1,a2）B(b1,b2)，则cos<a,b>=(A*B)/(|A|*|B|)(就是向量的乘积除以模的乘积）所以，cos<a,b>=(a1b1+a2b2)/[根号(a1^2+a2^2)*根号(b1^2+b2^2)]设A（x1,x2）B(Y1,Y2)，则AB的绝对值=|A*B|=|x1Y1+x2Y2|(因为向量的乘积是常量，所以常量的绝对值就是绝对值了，没其他公式啦！）

概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0。要求是：（一），熟练掌握空间向量的有关定理。1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。（二），会用空间向量进行运算。1，是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行。2，是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。

空间向量的应用主要是求各种距离，这些距离问题都可归结为通过向量数量积求一个向量在法向量上投影的长度。            在解决立体几何中距离问题的过程中，对几何元素与空间向量之间的对应及如何用空间向量表示所涉及的几何元素困难较大，这是将立体几何问题转化为空间向量问题的关键。向量是现代数学中最基本、最重要的概念之一，具有几何形式和代数形式的“双重身份”。作为一种数学工具，向量具有丰富的实际背景和广泛的应用功能，是联系多种学科内容知识的重要媒介。        向量又称为矢量，最初被应用于物理学。很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿。调查表明，一般日常生活中使用的的向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出箭头表示方向。

空间向量的应用会用向量方法进行有关角的度量计算和有关距离的计算。     有关角：  异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角。     有关距离：点到平面的距离、异面直线之间的距离。1、空间向量的有关概念空间向量的模、零向量、单位向量、一个向量的负向量、向量的夹角等概念，皆等同于平面向量的相应概念；空间向量运算（加法、减法、数乘和数量积）以及其运算律，都与平面向量的相应概念、运算及其运算律具有相同的意义。平面向量分解定理的空间推广（空间向量的基是由三个互不平行向量组成）。  2、空间向量的坐标表示     空间直角坐标系、空间位置向量和空间向量的坐标，以及空间向量运算的坐标表示；空间位置中的定比分点公式、距离公式、向量的夹角公式。

1 √[(y1-x1)^2+(y2-x2)^2]2 √(a1^2+a2^2)3 (a1b1+a2b2)/√[(a1-b1)^2+(a2-b2)^2]4 同1

|其实空间向量的运算与平面向量的运算是一样的：设：a=(1,2,3)，b=(2,1,2)，则：a·内b=(1,2,3)·(2,1,2)=2+2+6=10| i j k |a×容b=|1 2 3 |=4i+6j+k-4k-3i-2j=i+4j-3k=(1,4,-3)| 2 1 2 |向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。扩展资料：1、共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2、共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。参考资料来源：百度百科-空间向量

空间向量公式如下：1、空间向量线面夹角公式是cosθ=（ab的内积）/（|a||b|）。2、|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)。3、空间向量的模公式：空间向量(x，y，z)，其中x，y，z分别是三轴上的坐标，模长是：²√x²+y²+z²，平面向量（x，y），模长是：²√x²+y²。空间向量基本定理：1、共线向量定理两个空间向量a、b向量，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x、y，使c=ax+by。3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

空间向量与立体几何知识点：共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，这些向量也叫作共线向量或平行向量，a平行于b，记作b//a。共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b，存在实数λ，使a＝λb。空间向量的概念：在空间，把具有大小和方向的量叫作向量，向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。向量具有平移不变性。基本定理1、共线向量定理两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a//b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。3、空间向量分解定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc，任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.比较对称的图形，可以用中点，你感觉最中心的点作为远点，这个你明白2.墙角3.多做题，常用的几个图形就那么几个4.不一定要用坐标，大多数用坐标的题目可以直接用向量（很多都可以），但是用向量技术含量高点，你也要多做题，坐标是把向量数字化

空间向量平行公式坐标公式：d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2。空间中具有大小和方向的量叫作空间向量。向量的大小叫作向量的长度或模（modulus)。规定：长度为0的向量叫作零向量，记为0。空间向量平行判断方法：设一向量的坐标为（x，y，z），另外一向量的坐标为（a，b，c）。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行，如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。如果设a=（x，y），b=（x"，y"）如果a•b=0（a和b的数量级）即xx"+yy"=0，则a⊥b。如果a×b=0，则向量a平行与向量b；λa=b，a与b也平行。

|其实空间向量的运算与平面向量的运算是一样的：设：a=(1,2,3)，b=(2,1,2)，则：a·内b=(1,2,3)·(2,1,2)=2+2+6=10| i j k |a×容b=|1 2 3 |=4i+6j+k-4k-3i-2j=i+4j-3k=(1,4,-3)| 2 1 2 |向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。扩展资料：1、共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2、共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。参考资料来源：百度百科-空间向量

当然，二者其实是统一的，和谐的空间向量只不过比平面向量多了一维而已。是平面向量的一个延伸.令空间向量最后一个坐标为0，就得到了平面向量.

下面我用几何法和向量法两种方法解几何法：过e点作ef⊥ad交ad于f，再作fg⊥ac交ab于g，然后过g作gh平行且等于ef，连接eh，则四边形efgh是矩形。。。因为fg⊥pa，fg⊥ac。所以eh⊥ac。eh⊥ap。所以eh⊥面pac，则h就是要求的那个点（即n）。因为ap=2,所以ef=1，所以hg=1。所以h到ab的距离是1。因为∠bac=30°，所以∠afg=30°。因为af=1/2所以ag=√3/6。所以h到ap的距离是√3/6向量法:以a为坐标原点（下面的矩形abcd哦用的顺时针）。ab为x轴，ad为y轴，ap为z轴建系。因为n在面pab内，所以设其坐标为（x,0,z）p(0,0,2)a(0,0,0,)c（√3，1，0）e（0，1/2,1)向量ap=（0，0，2）向量ac=（√3，1，0）向量eh=（x,-1/2,z-1)..因为向量eh*ap=0eh*ac=0。。能够得到x=√3/6,z=1..所以。。。跟上面一样

空间向量乘积公式是：向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2)，a·b=x1x2+y1y2=|a||b|cosθ(θ是a，b夹角)。空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

两点间的距离公式，若A（x1,x2）B(Y1,Y2),则AB的模的绝对值= 根号[(x1-Y1)^2+(x2-Y2)^2]向量的长度公式，若a的模=（a1,a2），则a的模的绝对值=根号（a1^2+a2^2)两向量夹角的坐标公式，若A（a1,a2）B(b1,b2)，则cos<a,b>=(A*B)/(|A|*|B|) (就是向量的乘积除以模的乘积）所以，cos<a,b>= (a1b1+a2b2)/[根号(a1^2+a2^2)*根号(b1^2+b2^2)]设A（x1,x2）B(Y1,Y2)，则AB的绝对值=|A*B|=| x1Y1+x2Y2 | ( 因为向量的乘积是常量，所以常量的绝对值就是绝对值了，没其他公式啦！）

 希望对你能有所帮助。

2 |AB|=√[(-3-1)^2+(x+2)^2+(2-4)^2]=√29 ，x^2+4x-5=0 ，x= 1 或 x= -5 。4 e=±a/|a|=±(6，7，-6)/√(36+49+36)=±(6/11，7/11，-6/11) 。6 cos<α，β>=α*β/(|α|*|β|)=12/20=3/5 ，因此 sin<α，β>=4/5 ，所以 |α×β|=|α|*|β|*sin<α，β>=16 。8 3(x-3)-7(y-0)+5(z+1)=0 ，化简得 3x-7y+5z-4=0 。10 2x-y+3z=12 ，x/6+y/(-12)+z/4=1 。

是高中的平面几何吗？？ 是的话你还是多看看定义， 没实例不好解释》

你画出图来 然后根据 方向倒

空间向量的应用是例举立体几何问题的解法。空间向量是空间中具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为- a方向相等且模相等的向量称为相等向量。三个坐标面把 空间分成八个部分，每个部分叫做一个 卦限。含有x轴 正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按 逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。

　　空间向量及其运算 　　●考试目标 主词填空 　　1.空间向量基本定理及应用 　　空间向量基本定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p存在惟一的有序实数组x、y、z,使p=x a+ y b+ z c. 　　2.向量的直角坐标运算： 　　设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3), 　　A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2). 　　则a+b= . 　　a-b= . 　　ab= . 　　若a、b为两非零向量，则a⊥b ab=0 =0. 　　●题型示例 点津归纳 　　【例1】已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC= 　　∠AOC,且OA=OB=OC.，N分别是OA，BC的中点，G是 　　N的中点. 　　求证：OG⊥BC. 　　【解前点津】 要证OG⊥BC，只须证明 即可. 　　而要证 ,必须把 、 用一组已知的空间基向量表示.又已知条为∠AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC，因此可选 为已知的基向量. 　　【规范解答】 连ON由线段中点公式得： 　　又 , 　　所以 ) 　　因为 . 　　且 ，∠AOB=∠AOC. 　　所以 =0,即OG⊥BC. 　　【解后归纳】 本题考查应用平面向量、空间向量和平面几何知识证线线垂直的能力. 　　【例2】 在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求：异面直线BA1与AC所成的角. 　　【解前点津】 利用 ，求出向量 与 的夹角〈 , 〉，再根据异面直线BA1，AC所成角的范围确定异面直线所成角. 　　【规范解答】 因为 , 　　所以 　　因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC， 例2图 　　所以 =0, 　　=-a2. 　　所以 =-a2. 　　又 　　所以〈 〉=120°. 　　所以异面直线BA1与AC所成的角为60°． 　　【解后归纳】 求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须会把所求向量用空间的一组基向量表示. 　　【例3】 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分 　　别是BB1、DC的中点. 　　(1)求AE与D1F所成的角； 　　(2)证明AE⊥平面A1D1F. 　　【解前点津】 设已知正方体的棱长为1，且 =e1， 　　=e2， =e3，以e1，e2,e3为坐标向量，建立空间直角坐标系D—xyz, 　　则：(1)A(1，0，0)，E(1，1， )，F(0， ，0)，D1(0，0，1)， 　　所以 =(0,1, ), =(0, ,-1). 　　所以 =(0,1 ),(0, ,-1)=0. 　　所以 ⊥ ，即AE与D1F所成的角为90°． 　　(2)又 =(1,0,0)= ， 　　且 =(1,0,0)(0,1, )=0. 　　所以 AE⊥D1A1，由(1)知AE⊥D1F，且D1A1∩D1F=D1. 　　所以AE⊥平面A1D1F. 　　【解后归纳】本题考查应用空间向量的坐标运算求异面直线所成的角和证线面垂直的方法. 　　【例4】 证明：四面体中连接对棱中点的三条直线交于一点且互相平分(此点称为四面体的重心). 　　【规范解答】∵E,G分别为AB,AC的中点, 　　∴EG ,同理HF ，∴EG HF . 　　从而四边形EGFH为平行四边形，故其对角线EF, 　　GH相交于一点O,且O为它们的中点,连接OP,OQ. 　　只要能证明向量 =- 就可以说明P,O,Q三点共线且O 　　为PQ的中点,事实上, ,而O为GH的中点, 例4图 　　∴ CD,QH CD, 　　∴= =0. 　　∴ =,∴PQ经过O点,且O为PQ的中点. 　　【解后归纳】本例要证明三条直线相交于一点O,我们采用的方法是先证明两条直线相交于一点,然后证明 两向量共线,从而说明P、O、Q三点共线进而说明PQ直线过O点. 　　●对应训练 分阶提升 　　一、基础夯实 　　1.在下列条中,使与A、B、C一定共面的是( ) 　　A. B. 　　C. D. 　　2.与向量a=(12,5)平行的单位向量是( ) 　　A. B. 　　C. D. 　　3.若向量｛a， b，c｝是空间的一个基底，向量m＝a+b，n＝a-b，那么可以与m、n构成空间另一个基底的向量是( )? 　　A.a B.b ? C. c D.2a? 　　4. a、b是非零向量，则〈a，b〉的范围是 ( )? 　　A.(0， ) B.［0， ］? C.(0，π)? D.［0，π］? 　　5.若a与b是垂直的，则ab的值是( )? 　　A.大于0 B.等于零? ?C.小于0 D.不能确定 　　6.向量a＝(1，2，-2)，b＝(-2，-4，4)，则a与b( ) 　　A.相交 B.垂直? C.平行 ?D.以上都不对 　　7. A(1，1，-2)、B(1，1，1)，则线段AB的长度是( )? 　　A.1 B.2 C.3 D.4 　　8. m＝｛8，3，a｝，n＝｛2b,6,5｝，若m∥n，则a+b的`值为( ) 　　A.0 B. C. D.8 　　9. a＝｛1,5,-2｝，b＝｛m,2,m+2｝，若a⊥b，则m的值为( )? 　　A.0B.6 C.-6 D.±6 　　10. A(2，-4，-1)，B(-1，5，1)，C(3，-4，1)，令a＝ ，b＝ ，则a+b对应的点为( ) 　　A.(5，-9，2) B.(-5，9，-2) C.(5，9，-2) D.(5，-9，2) 　　11. a＝(2，-2，-3)，b＝(2,0,4)，则a与b的夹角为( ) 　　A.arc cos B. C. D.90° 　　12.若非零向量a＝｛x1，y1，z1｝，b＝｛x2，y2，z2｝,则 是a与b同向或反向的( ) 　　A.充分不必要条 B.必要非充分条? 　　C.充要条 D.不充分不必要条 　　二、思维激活 　　13.已知向量a, b, c满足a+b+c=0,a=3, b=1, c=4.则ab+bc+ca= .? 　　14.已知a＝2 ，b＝ ，ab＝- ，则a、b所夹的角为 . 　　15.已知空间三点A、B、C坐标分别为(0，0，2)，(2，2，0)，(-2，-4，-2)，点P在xOy平面上且PA⊥AB，PA⊥AC，则P点坐标为 . 　　16.已知a＝｛8,-1,4｝，b＝｛2,2,1｝，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为 . 　　三、能力提高 　　17.已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且与α所成的角是30°，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D之间的距离. 　　18.长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、B1C1中点，若AB＝BC＝2，AA1＝4，试用向量法求： 　　(1) 的夹角的大小. 　　(2)直线A1E与FC所夹角的大小. 　　19.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、DC的中点，求证：D1F⊥平面ADE. 　　20.如图所示,已知 ABCD,O是平面AC外的一点, ,求证:A1,B1,C1,D1四点共面. 　　空间向量及其运算习题解答 　　1.C 由向量共线定义知.? 　　2.C 设此向量为(x,y),∴ ，?∴ 　　3.C 　　4.D 根据两向量所成的角的定义知选D. 　　5. B 当a⊥b时，ab=0(cos 〈a, b〉=0)? 　　6.C a=(1,2,-2)=- b ∴a∥b. 　　7.C AB= =3.? 　　8.C ∵m∥n,故(8,3,a)=k(2b,6,5)，?∴8=2bk,3=6k,a=5k，? 　　∴k= 故a= ,b=8,∴a+b= +8= 　　9.B ∵a⊥b ∴1m+52-2(m+2)=0. ∴m=6. 　　10.B =(-1,0,-2), =(-4,9,0)，∴a+b=(-5,9,-2). 　　11.C cos(ab)= =- . 　　12.A?若 ，则a与b同向或反向，反之不成立. 　　13.-13 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,? 　　∴ab+bc+ca=- (a2+b2+c2)=- (9+1+16)=-13. 　　14. ?cos〈a, b〉= .∴a,b所夹的角为 . 　　15.(-8,6,0) 由向量的数量的积求得. 　　16.9 S=absin〈a, b〉求得. 　　17.如图，由AC⊥α，知AC⊥AB.? 　　过D作DD′⊥α，D′为垂足，则∠DBD′＝30°， 　　〈 〉＝120°， 　　∴CD2= 　　＝b2+a2+b2+2b2cos120°＝a2+b2. 　　∴CD＝ 　　点评：本题把线段转化成向量表示，然后利用向量进行运算. 　　18.如图，建立空间坐标系，则D(0，0，0)、A(2，0，0)，B(2，2，0) 　　、C(0，2，0)、A1(2，0，4)、B1(2，2，4)、C1(0，2，4). 　　由题设可知E(2，1，0)，F(1，2，4). 　　(1)令 的夹角为θ，? 　　则cosθ＝ . 　　∴ 的夹角为π-arccos . 　　(2)∴直线A1E与FC的夹角为arccos 　　19.如图所示，不妨设正方体的棱长为1，且设 ＝i， ＝j， ＝k， 　　以i、j、k的坐标向量建立空间直角坐标系D—xyz， 　　则 ＝（－1，0，0）， ＝(0, ,-1)，? 　　 ＝(-1，0，0)(0， ，-1)＝0，∴AD⊥D1F. 　　又 ＝(0，1， )， ＝(0， ，-1)， 　　∴ ＝(0，1， )(0， ，-1)＝ - ＝0. 　　∴AE⊥D1F，又AE∩AD＝A， ∴D1F⊥平面ADE. 　　点评：利用向量法解决立体几何问题，首先必须建立适当的坐标系. 　　20.证明：∵ 　　=2 　　∴A1,B1,C1,D1四点共面.

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。以下用向量法求解的简单常识：1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同）2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）．4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量．5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题．6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：．7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．首先该图形能建坐标系如果能建则先要会求面的法向量求面的法向量的方法是1。尽量在空中找到与面垂直的向量2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z）然后因为法向量垂直于面所以n垂直于面内两相交直线可列出两个方程两个方程，三个未知数然后根据计算方便取z（或x或y）等于一个数然后就求出面的一个法向量了会求法向量后1。二面角的求法就是求出两个平面的法向量可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积：cos<a,b>=|n·n1|/|n|如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角2。点到平面的距离就是求出该面的法向量在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν则线线平行l∥m<=>a∥b<=>a=kb；线面平行l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0；面面平行α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν线线垂直l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0；线面垂直l⊥α<=>a∥μ<=>a=kμ；面面垂直α⊥β<=>μ⊥ν<=>μ·ν=0

向量a=（x1，y1，z1），向量b=（x2，y2，z2）。向量a+向量b=（x1+x2，y1+y2，z1+z2）。

空间向量加减法的运算方法为：设a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)；a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。空间向量（space vector）是一个数学名词，是指空间中具有大小和方向的量。立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行。二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

|其实空间向量的运算与平面向量的运算是一样的：设：a=(1,2,3)，b=(2,1,2)，则：a·内b=(1,2,3)·(2,1,2)=2+2+6=10| i j k |a×容b=|1 2 3 |=4i+6j+k-4k-3i-2j=i+4j-3k=(1,4,-3)| 2 1 2 |向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。扩展资料：1、共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2、共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。参考资料来源：百度百科-空间向量

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。以下用向量法求解的简单常识：1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得或对空间一定点O有2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）．4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量．5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题．6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：．7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．首先该图形能建坐标系如果能建则先要会求面的法向量求面的法向量的方法是1。尽量在空中找到与面垂直的向量2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z）然后因为法向量垂直于面所以n垂直于面内两相交直线可列出两个方程两个方程，三个未知数然后根据计算方便取z（或x或y）等于一个数然后就求出面的一个法向量了会求法向量后1。二面角的求法就是求出两个面的法向量可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交那么上面两向量的夹角就是所求2。点到平面的距离就是求出该面的法向量然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影）求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求

相乘

用空间向量处理某些立体几何问题,可以为学生提供新的视角.在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量,可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具,从而提高学生的空间想象能力和学习效率. 　　高中数学新教材中讲述空间向量的部分约占14课时(当然它的应用不止在这14课时),它被包含在第九章“直线、平面、简单几何体”(简称“9(B)”)中,含有空间向量的高二下学期的数学教科书简称“第二册(下B)”；与它平行,仍用传统方法来阐述高中立体几何内容的教科书简称“第二册(下A)”.两本教科书第九章的章名一样,并且都用36课时进行教学. 　　综上,“空间向量”这部分内容具有“必学”和“选学”两重性.按照大纲第10页的脚注规定“直线、平面、简单几何体的教学内容和教学目标在9(A)和9(B)两个方案中只选一个执行”,9(B)具有选学的性质；但大纲把“直线、平面、简单几何体”作为必学内容,如果学生不按“第二册(下A)”教科书来学习,那么空间向量对于他们就是必学内容. 　　“空间向量”这部分内容,大致可分成“空间向量及其运算”与“空间向量的应用”这两个模块. 　　(1)空间向量及其运算.包括： 　　①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程. 　　②理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法、数乘及其坐标表示,了解空间向量基本定理及其意义；掌握空间坐标系,能将空间向量用坐标轴上的单位向量线性表示,掌握空间向量的坐标表示. 　　③掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线或垂直. 　　(2)空间向量的应用.包括： 　　①理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念. 　　②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系. 　　③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理. 　　④能用空间坐标系与向量方法解决夹角与距离的计算问题,体会向量方法在研究几何问题中的作用. 教学中,应引导学生运用类比的方法,经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,应注意由于维数增加所带来的影响.

就是一组由三个空间向量构成的线性无关向量组,这三个向量两两都不共面,含义是对于向量空间的任意元向量都可以唯一表示成这组向量的线性组合

空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。　　如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．　　立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。　　以下用向量法求解的简单常识：　　1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得或对空间一定点O有　　2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：（其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面．　　3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）．　　4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量．　　5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题．　　6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：．　　7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．

|其实空间向量的运算与平面向量的运算是一样的：设：a=(1,2,3)，b=(2,1,2)，则：a·内b=(1,2,3)·(2,1,2)=2+2+6=10| i j k |a×容b=|1 2 3 |=4i+6j+k-4k-3i-2j=i+4j-3k=(1,4,-3)| 2 1 2 |向量的记法：印刷体记作粗体的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。扩展资料：1、共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2、共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。参考资料来源：百度百科-空间向量

空间向量的方法：首先要熟知共线向量定理、共面向量定理、空间向量分解定理。1.共线向量定理：两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a//b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2.共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x,y,使p=ax+by。3.空间向量分解定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。然后利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标。我们在知道定理之后，就要多做一些不同的题型，以此来巩固和加深知识，然后才可以灵活运用知识。

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空间向量是三维空间中的一个有向线段，可以用一组三个实数表示其在空间中的位置和方向。这组三个实数被称为空间向量的坐标或分量，通常用三个大写字母表示，如A(x,y,z)。具体来说，空间向量的坐标可以通过以下步骤计算：确定坐标系。在三维空间中，我们通常使用笛卡尔坐标系，也就是直角坐标系，来表示空间向量的位置和方向。笛卡尔坐标系由三个相互垂直的坐标轴组成，分别为x轴、y轴和z轴。确定空间向量的起点和终点。空间向量的起点可以任意选择，但是其终点必须确定，通常可以通过给出空间向量的长度和方向角来确定。计算空间向量的坐标。对于起点为原点的空间向量A(x,y,z)，其坐标可以通过以下公式计算：x = x₂ - x₁y = y₂ - y₁z = z₂ - z₁其中，(x₁,y₁,z₁)为起点的坐标，(x₂,y₂,z₂)为终点的坐标。需要注意的是，不同的坐标系和不同的起点选择可能会导致不同的坐标表示。此外，对于同一个向量，其长度和方向角不同也会导致不同的坐标表示。因此，在实际应用中，需要根据具体的需求和情况选择合适的坐标表示方式。

sinBAD/BD=sinBDA/c，sinCAD/CD=sinADC/b，sinBAD=sinCAD,sinBDA=sinADC。有：BD/c=CD/b，BD/c=CD/b=(BD+CD)/(b+c)=BC/(b+c)，BD=c/(b+c)*BC，r=c/(b+c)。运算，数学上，运算是一种行为，通过已知量的可能的组合，获得新的量。运算的本质是集合之间的映射。一般说来，运算都指代数运算，它是集合中的一种对应。对于集合A中的一对按次序取出的元素a、b，有集合A中唯一确定的第三个元素c和它们对应，叫作集合A中定义了一种运算。由这个运算可以得出两个运算，就是把a、b中的一个当作所求的，而把c当作已知的，这样得出的运算，叫作原来运算的逆运算。基本概念例如，算术中的加法 5 + 3 = 8，这里 5 和 3 是输入，8 是结果，而加号“+”表明这是一个加法运算。这是一个常见的二元运算，本质上是A×B→C形式的映射。其他常见的运算包括绝对值、三角函数、反三角函数、逻辑非等等，这些都是一元运算，本质上是A→B形式的映射。代数运算都是二元运算。二元运算的例子有很多。象数与数之间的加、减、乘、除、乘方、开方、对数；集合与集合之间的交、并、补、差、笛卡尔积；逻辑且、逻辑或等。

两点间的距离公式，若A（x1,x2）B(Y1,Y2),则AB的模的绝对值= 根号[(x1-Y1)^2+(x2-Y2)^2]。空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。基本定理：1、共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。

空间向量是一个数学名词，是指空间中具有大小和方向的量。具有大小和方向的量叫做向量。1、空间的一个平移就是一个向量。2、向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。3、空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。这是高三数学的知识点。

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。第一步：按照图形建立三维坐标系O-xyz之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。第二步：求平面的法向量：令法向量n=（x,y,z）因为法向量垂直于此平面所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)可列出两个方程 n·a=0,n·b=0两个方程，三个未知数然后根据计算方便取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.会求法向量后1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν 则线线平行 l∥m<=>a∥b <=> a=kb线面平行 l∥α<=>a⊥μ <=>a·μ=0面面平行 α∥β<=>μ∥ν <=>μ=kν线线垂直 l⊥m<=>a⊥b <=>a·b=0线面垂直 l⊥α <=>a∥μ <=> a=kμ面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν <=>μ·ν=05.向量的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则1.|a|=√（x1²+y1²)2.a+b=(x1+x2,y1+y2)3.a-b=(x1-x2,y1-y2)4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)5.a·b=x1x2+y1y26.a∥b<=> x1y2=x2y1(一般写为：x1y2-x2y1=0)7.a⊥b<=> a·b=0<=>x1x2+y1y2=08.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2) / [ √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²) ]注：x1中的1为下标，以此类推

空间向量是高中数学必修二的，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（modulus)。规定：1.长度为0的向量叫做零向量，记为0。2.模为1的向量称为单位向量。3.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a。4.方向相等且模相等的向量称为相等向量。

1解题时先用几何法，找一找题目中的题点2几何法不好解，就立即用向量法看看需要建系不，好建系就用坐标法最简单

空间向量是高中数学必修二中的。空间向量是指空间中具有大小和方向的量。空间向量基本定理是用数学方式表达的一种空间概念，表达式为p=xa+yb+zc d=AB*AB*n。若存在三个不共面向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}使得成立。空间向量的教学要求：了解空间向量的基本概念；掌握空间向量的加、减、数乘、及数量积的运算；了解空间向量共面的概念及条件；理解空间向量基本定理。理解空间直角坐标系的概念，会用坐标来表示向量；理解空间向量的坐标运算；掌握空间中两点间距离、两向量的夹角公式及∥的坐标表示；会求平面的法向量。

空间向量（space vector）是空间中具有大小和方向的量。向量的大小叫做向量的长度或模（modulus)。 规定，长度为0的向量叫做零向量，记为 0. 模为1的向量称为单位向量。 与向量 a长度相等而方向相反的向量，称为 a的相反向量。记为- a 方向相等且模相等的向量称为相等向量。中文名空间向量外文名space vector基本定理1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的 实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的 充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3 空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。卦限三个坐标面把 空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴 正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按 逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。[1]空间向量的八个卦限的符号　　ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++----问题立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。常识以下用向量法求解的简单常识：1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的 有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面．3、利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．4、利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0 ．5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取a,b，求：<a,b>的问题．6、利用向量求距离即求向量的模问题．7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标．计算第一步：按照图形建立三维坐标系O-xyz空间向量之后，将点的坐标带进去，求出所需向量的坐标。第二步：求平面的法向量：令法向量n=（x,y,z）因为法向量垂直于此平面所以n垂直于此面内两相交直线（其方向向量为a，b)可列出两个方程n·a=0,n·b=0两个方程，三个未知数然后根据计算方便取z（或x或y）等于一个数（如：1，√2等）代入即可求出面的一个法向量n的坐标了.会求法向量后1.斜线与平面所成的角就是求出斜线的方向向量与平面的法向量n的夹角，所求角为上述夹角的余角或者夹角减去π/2.2.点到平面的距离就是求出该面的法向量n在平面上任取(除被求点在该平面的射影外）一点，求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量，记为a点到平面的距离就是法向量n与a的数量积的绝对值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.3.二面角的求法就是求出两个平面的法向量可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 ：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)那么二面角就是上面求的两法向量的夹角或者它的补角。4.设直线l,m的方向向量分别为a,b，平面α,β的法向量分别为μ,ν则线线平行 l∥m<=>a∥b<=>a=kb线面平行 l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0面面平行α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν空间向量线线垂直 l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0线面垂直 l⊥α<=>a∥μ<=>a=kμ面面垂直α⊥β<=>μ⊥ν<=>μ·ν=05.向量的坐标运算：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，则1.|a|=√（x1²+y1²)2.a+b=(x1+x2,y1+y2)3.a-b=(x1-x2,y1-y2)4.ka=k(x1,y1)=(kx1,ky1)5.a·b=x1x2+y1y26.a∥b<=>x1y2=x2y1(一般写为：x1y2-x2y1=0)7.a⊥b<=>a·b=0<=>x1x2+y1y2=08.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2) / [ √(x1²+y1²)·√(x2²+y2²) ]注：x1中的1为下标，以此类推

在空间中,任意三个向量，如果它们不在同一平面上，且两两不共线，则在空间中的任意一向量都可用它们表示，这三个向量即为空间向量基底。两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。扩展资料：三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB。对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面。利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R），利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0。参考资料来源：百度百科--空间向量

运算如下：1、共线向量定理。两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a//b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理。如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by。3、空间向量分解定理。如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。相关问题立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。

那要看你是点乘还是叉乘呢

空间向量平行公式坐标公式：d=|Ax0+By0+C|/√A^2+B^2。空间中具有大小和方向的量叫作空间向量。向量的大小叫作向量的长度或模（modulus)。规定：长度为0的向量叫作零向量，记为0。空间向量平行判断方法：设一向量的坐标为（x，y，z），另外一向量的坐标为（a，b，c）。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行，如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。如果设a=（x，y），b=（x"，y"）如果a•b=0（a和b的数量级）即xx"+yy"=0，则a⊥b。如果a×b=0，则向量a平行与向量b；λa=b，a与b也平行。

概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0。要求是：（一），熟练掌握空间向量的有关定理。1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。（二），会用空间向量进行运算。1，是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行。2，是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。

空间向量的：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。向量的表示：几何表示：用有向线段表示用有向线段的起点与终点字母：→AB

空间向量的夹角公式：cosθ=a*b/(|a|*|b|)。1、a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)。a*b=x1x2+y1y2+z1z2。2、|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)。3、cosθ=a*b/(|a|*|b|)，角θ=arccosθ。长度为0的向量叫做零向量，记为0。模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。共面向量定理：若两个向量a和B不共线，那么向量C和向量a和B共面当且仅当存在唯一的实数对x和y，使得C=ax如果三个向量a、B和C不共面，那么对于空间中的任何向量p，存在唯一的有序实数组x、y和Z，使得P=Xa、Yb和ZC。任意三个非共面向量都可以作为空间的基，零向量的表示是唯一的。

这么多题，一点奖励也没有么？难怪这么长时间没人帮你。建议你以后一题一问，有的放矢，便于人们解答。1、（a，b，c） 关于 XOY 面的对称点是（a，b，-c），关于 YOZ 面的对称点是（-a，b，c），关于 XOZ 面的对称点是（a，-b，c），关于 x 轴的对称点是（a，-b，-c），关于 y 轴的对称点是（-a，b，-c），关于 z 轴的对称点是（-a，-b，c）。2、设点坐标为 D（0，b，c），由两点间距离公式得 |AD|^2=|BD|^2 ====> 9+(b-1)^2+(c-2)^2=16+(b+2)^2+(c+2)^2 ，-------------①|BD|^2=|CD|^2 ====> 16+(b+2)^2+(c+2)^2=(b-5)^2+(c-1)^2 ，------------②以上两式解得 b=1 ，c= -2 ，因此所求点坐标为 D（0，1，-2）。3、AB=（3，5，-4），因此 |AB|=√(9+25+16)=5√2 ，方向余弦为 cosα=3/(5√2)=3√2/10 ，cosβ=5/(5√2)=√2/2 ，cosγ= -4/(5√2)= -2√2/5 。4、M1M2=（-1，0，1），M1M3=（0，-1，1），与 M1M2、M1M3 都垂直的向量为 M1M2×M1M3=（1，1，1），单位化可得所求向量为 ±（√3/3，√3/3，√3/3）。5、连接两点向量为 v1=（2，2，2），平面法向量为 v2=（1，2，3），因此所求平面法向量为 n=v1×v2=（2，-4，2），所以，所求平面方程为 2(x-2)-4(y+1)+2(z-3)=0 ，化简得 x-2y+z-7=0 。

平面向量基本定理是任一向量都可以由两个不共线的向量线性表出；空间向量共面定理是任意向量都可以经平移使其在同一个平面上!

空间向量的数量积公式是λa·b=a·λb，空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。规定长度为0的向量叫做零向量，记为0，模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、Z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。基本定理1、共线向量定理两个空间向量a，b向量（b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量  1、定义：如果a，那么向量a叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量(,,1)nxy[或(,1,)nxz，或(1,,)nyz]，在平面内任找两个不共线的向量,ab。由n，得0na且0nb，由此得到关于,xy的方程组，解此方程组即可得到n。第一种是最常规的做法，列两个方程，然后取值求解。第二种是建立空间直角坐标系，然后再求需要求法向量的平面的平面方程，然后可以直接看出。第三种是利用叉乘法，知道平面内相交的两条边的空间向量，就可以利用公式直接套。法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

a、b的叉乘a×b仍是一个向量，这个向量与a、b都垂直，且长度|a×b|=|a||b|sin<a，b>。如果a、b同向，则夹角为0，因此叉乘也是0。