微分方程

二阶导本来就这么定义的

一阶线性微分方程解法： dy/dx+P(x)y=Q(x)，先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0，解得y=Ce－∫P(x)dx，再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程，解得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C，所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］，即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx，∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解。 齐次方程解法： dy/dx=φ(y/x)，令u=y/x则y=xu，dy/dx=u+xdu/dx，所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x，两端积分，得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x，最后用y/x代替u，便得所给齐次方程的通解。

通解为ln(1-2y)=-X^2-2C 因为C为任意常数,所以通解形式有好多种形式,但本质是一样的,等你学到求微分方程特解时就会明白了。

微分方程的通解公式：1、一阶常微分方程通解dydx+p(x)y=0dydx+p(x)y=0。2、齐次微分方程通解y=ceu2212∫p(x)dx。3、非齐次微分方程通解y=eu2212∫p(x)dx(c+∫q(x)e∫p(x)dxdx)。4、二阶常系数齐次线性微分方程通解y′′+py′+qy=0(u2217)，其中p,q为常数求解Δ=r2+pr+q=0解出Δ两个根r1，r2。

常微分方程dy/dx＝e^（x－y）的通解为ln(e^x+c1)。解答过程如下：dy/dx=e^x/e^ye^ydy=e^xdxe^y=e^x+c1y=ln(e^x+c1)一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y"）=0标准形式：y"=f(x,y)常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

=∫(∫ f(x)dx)dx连续二次不定积分，不妨用f""(x)替代f(x)就便于理解了∫∫ f""(x)dxdx=∫ (f"(x)+C1)dx=f(x)+C1x+C2,二元才是偏微分，一元仍然是常微分。

倒立摆系统是一种非线性、多变量和绝对不稳定系统，倒立摆系统的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义).对二级倒立摆系统的实时稳定性进行研究是现代控制理论的一个挑战，而对倒立摆系统稳定性研究的实验则是控制理论的宝贵经验.本文从两个角度对二级倒立摆的建模进行了研究，即从便于理解的运动合成角度和从便于建模的Lagarange方程角度进行推导与比较，使具有基本力学知识的读者能对二级倒立摆系统的模型有一个较好理解.1 系统描述实验中的二级倒立摆系统有以下部分组成:有效长度为90 cm的光滑导轨，可以在导轨上来回移动的小车，材料为铝的摆杆铰接在小车上，二级摆杆以同样的方式与一级摆杆相连，它们的铰接方式决定了它们在竖直平面运动，一级摆杆和二级摆杆规格相同，有效长度为525 cm.小车的驱动系统由一直流力矩伺服电机和同步带传动系统组成，小车相对参考点(即导轨的中心位置)的相对位移由电位器0测量传动带而得到，一级摆杆与竖直方向的夹角由固定在一级摆杆和小车铰接处的电位器1测量得到，二级摆杆与竖直方向的夹角由电位器通过测量两个摆的角度差.目。而间接得到.直流伺服电机产生驱动力F 使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到二级倒立摆系统的平衡.二级倒立摆系统数学模型的建立及意义492 数学建模■级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设:1)每一级摆杆都是刚体.2)在实验过程中同步带长度保持不变.3)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于小车4)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有I孽擦力足够小，在建模过程中可忽略不计2,1根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型利用运动合成原理:绝对运动相对运动+牵连运动，首先对系统进行运动学分析，由于将动坐标系建在摆杆1、摆杆2的质心处便于理解，分析过程以此为基础.利用牛顿力学对系统进行动力学分析，由此得出二级倒立摆数学模型. ，利用力学中的隔离法，将二级倒立摆系统分为小车、摆杆1、摆杆2兰部分首先，对小车进行分析如图2所示，将摆杆1对小车的作用力分解为竖直方向的分力和水平方向的分力. 水平方向方程为:，一=mo2.对摆杆1和摆杆2进行受力分析如图3、4所示.● 摆杆】/ l ^.l/ - 一Ⅲ-g图3摆杆1的受力情况图2小车受力分析J0 / 黼1凡筐:/ F图4摆杆2受力分析利用牛顿第二定律和动量矩定理得一摆的运动学和动力学方程:2一2=ml +ml，l萌cos0 L-m，l萌sin0 Lm g一l+F2 = .，. .sin0l+m1fL~eos0ls_n )sin 。s 一(L. )COS根据牛顿第二定律和动量矩定理得到二摆的运动学和动力学方程:2=帕+m:L1O~cos0l+卅2厶/~2COSOz一卅2Ll sin0 一卅2 受sinm2g-Fz =m2L sin0l+m2L0~sin0:十m L P~eos0l+m2 cos02: l12 sin02一L,cos02 d t 。2.2拉格朗日方程为了得到二级倒立摆系统的动态方程应用拉格朗日方程，首先可写出L=T- =÷，卉+÷上+ 。+{m.{[音( + in )] +[击( 。s ] )+{ :( 击( +Lt sin口+ sin )] +[告(￡1COS +]2 COS )r)一m.gl c。s ] )一m2g(L,COS +t2 COS )拉格朗日方程的表达式为一等: _l_2? 面一一“ J一" ?为自由度数，亦即广义坐标数.对二级倒立摆系统有s=3， 即: ， 日，由于在实验中口和的值很小，所以在建模化简过程中用到以下近似:≈ ≈0; 一≈0; COS( 一)≈1; sin( 一)≈ 一; COS ≈COS ≈1:sin ≈ : sin则线性化后整理得到方程组如下( 。+m + :) +( .，.+m2L.)萌+ : 反=F (1)( .t.+m ) +( + . +m )萌+m L.厶蘸=( ，.+ :L )gO: 量+ :L. 萌+( +m 厝) 叫赢g12(2)(3)其中各变量意义如下:o 为小车质量; 为摆杆1质量;m 为摆杆2质量;厶为摆杆的长度:F为小车驱动力; 为小车相对中心位置的位移; 为摆杆1与竖直方向的夹角; 为摆杆2与竖直方向夹角:，.为摆杆1质心到铰接点处距离: 为摆杆2质心到铰接点处距离.本买验中， o=2.328 7kg， -=0.22 kg， :=0.16 kg，L =0.5m，， =0.32m，t2=0.26m. 由于二级倒立摆系统的运动是绝对不稳定的鞍点运动，由数学模型和实验结果可知，状态反馈控制中的极配置应满足鞍点特性，可使二级倒立摆永立不倒.3 应用在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性.倒摆系统作为一种控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定.倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性.倒摆系统在控制系统研究中受到普遍重视.“倒立摆系统”已被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论在教学和科研中不可多得的典型物理模型.通过对倒立摆系统的研究，二级倒立摆系统数学模型的建立及意义51不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的3个基础学科:力学、数学和电学(含计算机)有机的结合起来，在倒摆系统中进行综合应用.近代机械控制系统中，如直升飞机，火箭发射，人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等，都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题.在6O年代后期，作为一个典型的不稳定严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来，人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力.在实际教学中，作为验证控制策略的一种手段，倒立摆系统被提了出来.由于计算机仿真结果与实际实验总是存在很大的差别，二级倒立摆系统的研制为学生提供了理论与实践结合的可能.4 结论二级倒立摆系统是一个异常复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定控制问题.显然一个典型的非线性、不稳定系统的研究成果无论在理论上或是在方法论上都有重要的意义.而二级例立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用.实验证明在此建模基础上采用状态反馈法对二级倒立摆系统的稳定控制相当成功，并可在此基础}=对其进行分析，为计算机控制提供理论与实践的依据.给分吧!!!!!

拉格朗日微分方程假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立

特征方程为：r^2+2r+5=0 根为：r=-1±2i 通解为：x=e^(-t)(C1cos2t+C2sin2t)

x^2+2x+5=0(x+1)^2=-4x1=-1+2ix2=-1-2ix=c1*e^(-1+2i)t+c2*e^(-1-2i) =Ae^(-t)sin(2t+B)A，B由初值决定

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，先考虑他的齐次形式我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成x""+ax=0借这个方程的时候设x=exp(mt)就可以得到x"=m*exp(mt)x""=(m^2)*exp(mt)然后带回原方程就可以得到方程m^2+a=0然后你就可以得到m1=+(-a)^(1/2)，m2=-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，如果你a小于零，那么-a就大于零，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是yc=c1*exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)c1c2都是常数如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。），a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2),m2=-1*a(1/2)那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin(a^(1/2))b1b2也都是常数这个时候你再来考虑非齐次的形式也就是x""+ax=b因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设非齐次方程的特殊解为yp=k0+k1x然后yp‘=k1yp""=0代回原方程就解出k1=0，k0=b/a然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp即y=yc+yp目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。

位移式：d^2x/(dt^2)+g=0 dx/(dt)+gt-v0=0速度式：dv/(dt)+g=0

全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。条件分析全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。若微分形式的一阶方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

这两个概念有联系也有区别.区分：以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息,那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.这是一个直接的概念.而所谓的全微分,则是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小.(你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).拓展资料：全微分方程，又称恰当方程。若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为u2202M/u2202y=u2202N/u2202x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx,Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x,y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。条件分析全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。若微分形式的一阶方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。条件分析全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。若微分形式的一阶方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。条件分析全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。若微分形式的一阶方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

解：若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P"(y)=Q"(x),在G内恒成立.过程如下：令P(x,y)=xy；Q(x,y)=1/2(x^2+y)^λ已知xydx+[1/2(x^2+y)^λ]dy=0是全微分方程，所以P"(y)=Q"(x)求得P"(y)=x； Q"(x)=λ[(x^2+y)^(λ-1)]x因为P"(y)=Q"(x)，所以λ=1。所以u(x,y)=∫[0,y][1/2(x^2+y)]dy =0.5x^2y+0.25y^2所以全微分方程为0.5x^2y+0.25y^2=C，又因为题目条件y(0)=2,所以C=2.即此时全微分方程为0.5x^2y+0.25y^2=2.

求微分方程的通解这道题很经典，是一种常用的方法，给你做了一下，但是发不上去图片，这样吧，我把完整的解题过程和一些方法发给你，写的很详细，你看看就知道了。

M1dx1 + M2dx2 +…… + Mndxn = 0全微分=>偏Mi/偏xj = 偏Mj/偏xi对任意i,j成立

若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).方程中的未知数含有微分的情况，只要有dx对于未知数x这就是个全微分方程

简介 全微分方程是常微分方程的一种，它在物理学和工程学中广泛使用。编辑本段定义 给定R2的一个单连通的开子集D和两个在D内连续的函数I和J，那么以下形式的一阶常微分方程：称为全微分方程，如果存在一个连续可微的函数F，称为势函数，使得：“全微分方程”的命名指的是函数的全导数。对于函数F(x0,x1,...,xn u2212 1,xn)，全导数为：编辑本段势函数 在物理学的应用中，I和J通常不仅是连续的，也是连续可微的。施瓦茨定理（也称为克莱罗定理）提供了势函数存在的一个必要条件。对于定义在单连通集合上的微分方程，这个条件也是充分的，我们便得出以下的定理：给定以下形式的微分方程：其中I和J在R2的单连通开子集D上是连续可微的，那么势函数F存在，当且仅当下式成立：编辑本段解 给定一个定义在R2的单连通开子集D上的全微分方程，其势函数为F，那么D内的可微函数f是微分方程的解，当且仅当存在实数c，使得：对于初值问题：我们可以用以下公式来寻找一个势函数：解方程：其中c是实数，我们便可以构造出所有的解。 参考资料：Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986. Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004. Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.

方程的含义是，胁迫振动。一般是弹簧连着一个物体做简谐运动，但在这基础上，还加了一个周期性的外力。mx""表示牛顿第二定律，原方程应该是ma=-kx+Fsinωt，-kx表示弹簧的回复力，Fsinωt表示一个周期性的外力。解方程的话，就是一般的二阶线性常系数的解法

(1+e^x)yy"=e^x2ydy=2e^xdx/(1+e^x)dy^2=2dln(1+e^x)y^2=2ln(1+e^x)+C

这是解微分方程呀，按照书上要求的步骤去做就可以啦

由2ydy=-2xdx积分：y^2=-x^2+c代入y(1)=0, 得：0=-1+c, 得：c=1所以 y^2=1-x^2即x^2+y^2=1. 此为圆。

如图

不可以！分离变量必须分离的干干净净！也就是dx这边不能有y，dy这边不能有dx。此题可以用dx/dy=(y-x)/y 来求解!dx/dy+1/y *x=1属于一截线性非齐次微分方程x=e^(∫-1/ydy) *(c+∫1*e^(∫1/ydy) dy)=1/y（c+1/2y^2)=c/y+y/2

x^2+c=y^2

dy/dx=x/y ydy=xdx∫ydy=∫xdx 1/2 y^2=1/2 x^2+c1，c1≠0 y^2=x^2+C,C≠0

乘以 2 得 2ydy=2xdx ，积分得 y^2=x^2+C 。

dy/dx=lnx/(xy)u222bydy = u222blnx/x dx(1/2)y^2 = u222blnx dlnx=(1/2)(lnx)^2 + Cy(1)=2 => C=2(1/2)y^2=(1/2)(lnx)^2 + 2y^2=(lnx)^2 + 4

x^2+c=y^2

dx^2 =-dy^2x^2 =-y^2+C

xdx=x^2/2ydy=y^2/2x=正负y

谁都对。

你确定你没少写什么吗

两边求积分得1/2y^2=1/2x^2+cx^2-y^2+c=0

少了括号 两边积分∫y/(y^2-1)dy＝∫1/(x-1)dx 得1/2×ln(y^2-1)＝ln(x-1)＋1/2lnC 等式的前两部分的对数都没有加绝对值,所以常数项用lnC,一是为了容易消去对数运算,二是把y^2-1,x-1的正负号都放到C中去,即消去对数运算后,C的取值只要没有限制就任意取值,可正可负可以为零 结果是y^2－1＝C(x-1)^2,C是任意实数

这是n=-1的伯努利微分方程，首先令z=y^2, 再用常数变易法，这样就能求出来，这样就能到z=c（x）*e^(-2x),在求出d（c（x））/dx=2cos(x).e^2x ,这样求出c（x），这样就能求出z，再把z变成y就会得出结论，后面没仔细去算啦，过程应该就是这样的！

p"+p=e^(-x)letpg= Ae^(-x)p* = Bxe^(-x)p*" = B( 1-x)e^(-x)p*" +p* =e^(-x)B( 1-x)e^(-x) +Bxe^(-x) = e^(-x)=> B = 1通解： p = pg+p* = Ae^(-x) + xe^(-x)

对于一阶微分方程,形如:y"+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的但y"=y^2不是线性的注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2 不是线性的x*y"=2 是线性的(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y 是线性的y"=sin(y)y 是非线性的(3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y 是线性的y"=y^2 是非线性的

方程dy/dx+p(x)y=q(x)叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果q(x)恒等于0，则方程称为齐次的；如果q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。、例如(1+x^2)dy=(x+y)dxdy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)p(x)=-1/（1+x^2)q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0所以是一阶线性非齐次方程

对于一阶微分方程,形如:y"+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的但y"=y^2不是线性的注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2 不是线性的x*y"=2 是线性的(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y 是线性的y"=sin(y)y 是非线性的(3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y 是线性的y"=y^2 是非线性的

实际上公式：y＇＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C。而本题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）无法算出具体的原函数，所以要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每个题都可写上下限。本题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成本题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y（0）＝0，求出C。扩展资料一阶线性微分方程的定义：关于未知函数y及其一阶导数的一次方程，称之为一阶线性微分方程。(1)、写出对应于非齐次线性方程的齐次线性方程，求出该齐次线性方程的通解。(2)、通过常数易变法，求出非齐次线性方程的通解。

y"+P(x)y=Q(x)对应公式是y=e^(-∫P(x)dx)[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C] 补充：标准形式为y"+ytanx=secx，则P=tanx，Q=secx，所以有：∫P(x)dx=-ln|cosx|；e^(-∫P(x)dx)=cosx；e^(∫P(x)dx)=secx；∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx=∫(secx)^2dx=tanx；所以通解为：y=cosx(tanx+C)=sinx+Ccosxy(0)=10+C=1C=1y=sinx+cosx答案是不是错了

1/(dy/dx)=dx/dy令x/y=t然后代入即可

1、对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。2、对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程：解为：令C=u(x)，得：带入原方程得：对u"（x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：主要思想：数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。参考资料来源：百度百科－一阶线性微分方程

一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式应用“常数变易法”求解. ∵由齐次方程dy/dx+P(x)y=0 ==>dy/dx=-P(x)y ==>dy/y=-P(x)dx ==>ln│y│=-∫P(x)dx+ln│C│ (C是积分常数) ==>y=Ce^(-∫P(x)dx) ∴此齐次方程的通解是y=Ce^(-∫P(x)dx) 于是,根据常数变易法,设一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的解为 y=C(x)e^(-∫P(x)dx) (C(x)是关于x的函数) 代入dy/dx+P(x)y=Q(x),化简整理得 C"(x)e^(-∫P(x)dx)=Q(x) ==>C"(x)=Q(x)e^(∫P(x)dx) ==>C(x)=∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C (C是积分常数) ==>y=C(x)e^(-∫P(x)dx)=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) 故一阶线性微分方程dy/dx+P(x)y=Q(x)的通解公式是 y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)dx+C]e^(-∫P(x)dx) (C是积分常数).

一阶线性微分方程公式是：y"+P(x)y=Q(x)。形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的次数为0或1。一阶线性微分推导：实际上公式：y＇＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C。而本题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）无法算出具体的原函数，所以要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每个题都可写上下限。本题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成本题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y（0）＝0，求出C。

1、对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。2、对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程：解为：令C=u(x)，得：带入原方程得：对u"（x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：主要思想：数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。参考资料来源：百度百科－一阶线性微分方程

一阶微分方程包括一阶线性微分方程和一阶非线性微分方程。前者未知数项移到左边后，右边为零，后者移动后，右侧为非零常数。高数（二）中相关章节有标准形式，对照标准形式理解更好。祝你学业有成！

一阶线性齐次微分方程公式：y"+P（xy）=Q（x）。Q（x）称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。对于一阶线性微分方程的求解， 可以从不同的角度、不同的思路去观察和思考，其解题的方法不是唯一的，这可以开阔我们的思路、丰富我们的解题方法。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

方程dy/dx+p(x)y=q(x)uf08c叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果q(x)恒等于0，则方程称为齐次的；如果q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。、例如(1+x^2)dy=(x+y)dxdy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)p(x)=-1/（1+x^2)q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0所以是一阶线性非齐次方程

1严谨来说y应该加绝对值，后面的C也应该写绝对值，写成ln|C|。不过x+1就可以不用了，因为原题中有(x+1)^(3/2)，x+1做为底数了。2最好化成最简形式，如果得到e^C1也换成e^C1=C

一阶线性微分方程求解方法如下：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。微分方程简介：微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题。如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。以上内容参考：百度百科—微分方程

1、楼主问的问题是涉及积分因子的问题，而求积分因子的目的是在寻求全微分；2、也就是说，在微分方程的左侧乘以一个积分因子，就使得左侧变成全微分形式。3、如果在积分中加入积分因子，结果只是等于在积分因子前，乘上了一个e^c的常数，这个常数对全微分没有丝毫贡献，也没有丝毫影响。所以，通常就省去了。4、左侧乘上积分因子后，右侧同样乘以积分因子，因为左侧的导函数、原函数都一次性地解决了，方程的右侧变成了一个单纯的积分问题，不再涉及导函数与原函数的纠缠。如有不明白之处，欢迎追问。

菲力普斯曲线应用微分方程。菲利普斯曲线是应用微分方程研究宏观经济现象的典型例子之一，它是描述物价水平和失业率之间关系的一种经济学模型，它最初是由新西兰经济学家威廉·A·菲利普斯于1958年提出的。在菲利普斯曲线模型中，物价水平和失业率被视为两个宏观经济变量，通过微分方程联系起来。通过微分方程进行求解，可以得到物价水平和失业率之间的关系式，因此菲利普斯曲线应用微分方程了。

一阶线性齐次微分方程公式：y"+P（xy）=Q（x）。Q（x）称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。对于一阶线性微分方程的求解， 可以从不同的角度、不同的思路去观察和思考，其解题的方法不是唯一的，这可以开阔我们的思路、丰富我们的解题方法。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

对不起 这方面知识我不懂 那个纲要是我从百度百科上找来的，有什么问题问问百度吧

1、对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。2、对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程：解为：令C=u(x)，得：带入原方程得：对u"（x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：主要思想：数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。参考资料来源：百度百科－一阶线性微分方程

对于一阶齐次线性微分方程，其通解形式为：对于一阶非齐次线性微分方程，其通解形式为：微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。扩展资料形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的次数为0或1。通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。百度百科-一阶线性微分方程

1、对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。2、对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程：解为：令C=u(x)，得：带入原方程得：对u"（x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：主要思想：数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。参考资料来源：百度百科－一阶线性微分方程

看成x是y的函数，就得到一阶线性非齐次微分方程，可以利用公式，也可以同待定系数法。

一阶线性齐次微分方程公式：y"+P（xy）=Q（x）。Q（x）称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。对于一阶线性微分方程的求解， 可以从不同的角度、不同的思路去观察和思考，其解题的方法不是唯一的，这可以开阔我们的思路、丰富我们的解题方法。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

　　一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程，数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算。而在微分方程中，自变量对未知函数y而言相当于常数，微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数。而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式 　　当Q(x)≡0时，方程为y"+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。(因为y"是关于y及其各阶导数的1次的，P(x)y是一次项，它们同时又是关于x及其各阶导数的0次项，所以为齐次。) 　　当Q(x)≠0时，称方程y"+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。(由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。)。

对于一阶微分方程,形如:y"p(x)yq(x)=0的称为"线性"例如:y"=sin(x)y是线性的但y"=y^2不是线性的注意两点:(1)y"前的系数不能含y,但可以含x,如:y*y"=2不是线性的x*y"=2是线性的(2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如:y"=sin(x)y是线性的y"=sin(y)y是非线性的(3)整个方程中,只能出现y和y",不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如:y"=y是线性的y"=y^2是非线性的

对于一阶齐次线性微分方程，其通解形式为：对于一阶非齐次线性微分方程，其通解形式为：微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。扩展资料形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的次数为0或1。通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。百度百科-一阶线性微分方程

一阶线性微分方程公式是：y"+P(x)y=Q(x)。形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的次数为0或1。一阶线性微分推导：实际上公式：y＇＋Py＝Q之通解为y＝［e＾（－∫Pdx）］｛∫Q［e＾（∫Pdx）］dx＋C｝中要求每一个不定积分都要算出具体的原函数且不再加C。而本题∫Pdx＝ax，但∫Q［e＾（ax）］dx＝∫f（x）［e＾（ax）］dx中，因为有抽象函数f（x）无法算出具体的原函数，所以要用不定积分与变限积分的公式：∫f（x）dx＝∫［a→x］f（t）dt＋C（所以每个题都可写上下限。本题用此公式取上式的a＝0，C换为C1，（当然被积函数也要换成本题的被积函数），代入公式后C1＋C换为C2再换为C。这样才能代入初始条件y（0）＝0，求出C。

这是一类具有非齐次项的线性微分方程，其中一阶非齐次线性微分方程的表达式为y"+p(x)y=Q(x)；二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)。研究非齐次线性微分方程其实就是研究其解的问题，它的通解是由其对应的齐次方程的通解加上其一个特解组成。一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y"+p(x)y=Q(x)。齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。

一阶线性齐次微分方程公式：y"+P（xy）=Q（x）。Q（x）称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。通解求法：一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。对于一阶线性微分方程的求解， 可以从不同的角度、不同的思路去观察和思考，其解题的方法不是唯一的，这可以开阔我们的思路、丰富我们的解题方法。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。

可以从n阶线性微分方程的形式来看:y^(n)+a1(x)×y^(n-1)+a2(x)×y^(n-2)+……+an(x)×y=f(x)应该满足条件:n阶导数的系数为常数，其线性满足，若n阶导数的系数不为常数，可做变换将其变为常数，且在将方程的n阶导数变换为常数后，方程中只能含有y的一次方(也可能没有)，但不能含有y的其他次方。例如提问中yy"-2xy=3，最终可化成y"-2x=3/y，最高阶是一阶，但是存在1/y，故不是一阶线性微分方程第二个式子含有cosy更不可能是第三个变换后也可看得不是再理解一阶线性微分方程的定义:y"+P(x)y=Q(x)线性其实是满足在变换后只存在y的一次方。

看方程的形式。形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，所以通过看方程的形式就可以确定这个方程是不是一阶线性微分方程。一阶线性微分方程求解一般是采用常数变异法，通过常数变异法可以求出一阶线性微分方程的通解。

形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（2）的通解，第二性是非齐线性方程式（1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

x ≠ 0 时， 微分方程变为 y"-3y/x = x^3e^x 为一阶线性微分方程，y = e^(∫3dx/x) [∫x^3e^xe^(-∫3dx/x)dx + C]= x^3(∫e^xdx + C) = x^3(e^x+C)x = 0 时， y = 0， 上述解也满足。故通解是 y = x^3(e^x+C)

1、对于一阶齐次线性微分方程：其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。2、对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程：解为：令C=u(x)，得：带入原方程得：对u"（x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：主要思想：数学上，分离变量法是一种解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用这方法，可以借代数来将方程式重新编排，让方程式的一部分只含有一个变量，而剩余部分则跟此变量无关。这样，隔离出的两个部分的值，都分别等于常数，而两个部分的值的代数和等于零。利用高数知识、级数求解知识，以及其他巧妙的方法，求出各个方程的通解。最后将这些通解“组装起来”。分离变量法是求解波动方程初边值问题的一种常用方法。参考资料来源：百度百科－一阶线性微分方程

首先：f1/(ylny)dy=f1/(lny)d(lny)=ln(lny)+c则：e^f1/(ylny)dy=e^c * e^ln(lny)=C1lny则：f[1/y *fe^f1/(ylny)dy]dy=c1f(1/y * lny)dy=c1f(lny)d(lny)=c1/2ln^2y+c2由于一阶性微分方程：y"+f(x)y=g(x)中，代公式不需要考虑f(f(x)dx及f(g(x)e^f(f(x)dxdx)的常数项，故c1,c2都可以去掉！如是：就得到你的结果。

首先要明白微分方程中的阶的意义：一个微分方程中含有的导数或微分的最高阶数,就叫做这个微分方程的阶.如y"+xy=ysinx就是二阶微分方程了.一阶微分方程就是指只有一阶导数或微分的微分方程.数学中的线性运算是指加减或乘以常数的运算.而在微分方程中,自变量对未知函数y而言相当于常数,微分方程中的线性是指未知函数y和它的各阶导数或微分只有加减或只是乘以自变量或自变量的函数.而未知函数y和它的各阶导数或微分之间没有相乘或其他形式的运算或函数形式.最终都可以化为形如dy/dx ＋p(x)y=q(x)的微分方程就叫做一阶线性微分方程,其中p(x),q(x)可以是自变量的任意函数.q(x)恒为零,则式子为一阶线性齐次方程,否则为一阶线性非齐次方程.因此齐次方程与非齐次方程是一阶线性微分方程的两大分类,一个一阶线性微分方程不是齐次方程就是非齐次方程.至于伯努利方程,实际上是一种非线性的一阶微分方程,但是经过适当的变量变换之后,它可以化成一阶线性方程.要转化之后才是一阶线性方程,因此你提问中的说法也是不对的,不是“一阶线性微分方程中,除了……和伯努利方程之外”,因为伯努利方程不在一阶线性方程中. 至于其他更详细的分类或者说其他形式的分类当然也有,如可分离变量的一阶线性微分方程等,不过一阶线性微分方程应该是最简单的微分方程了,过多分类已经没有什么必要,在此也就不一一枚举了.

特解+C(常数)