婆罗摩笈多定理

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。不需要全等三角形就可以证明。如图，∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中点

1.此定理是很冷门的（被考即是因为冷门），最好题前引例证明2.向量法证明是很方便的方法，特别是另一版本的证明，自己想出来的，比我看的任何证明过程都简单很多3.想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。

∵MA⊥MD，F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC ∵F是BA中点∴EF=1/2*(EA+EB)CD=CE+EDEF·CD=1/2*(EA+EB)·(CE+ED)EF·CD=1/2*(EA·CE+EA·ED+EB·CE+EB·ED)EF·CD=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0∴EF⊥CD

RT三角形的一般解：a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2(m，n是任意不相等的有理数）；但他没有证明。

如图，运用向量证明。∵B、F、A共线，由共线向量基本定理可知，存在唯一实数k，使EF=(1-k)EB+kEA。其中BF=kBA又EF⊥CD∴EF·CD=[(1-k)EB+kEA]·(CE+ED)=0展开得(1-k)EB·CE+kEA·CE+(1-k)EB·ED+kEA·ED=0∵EB⊥CE、EA⊥ED，即EB·CE=0，EA·ED=0∴kEA·CE+(1-k)EB·ED=0即k|EA||CE|cos0+(1-k)|EB||ED|cosπ=0kEA*EC=(1-k)EB*ED∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)∴k=1-k，k=1/2∴BF=1/2*BA，即F是BA中点 如图，运用几何证明。∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，由直角三角形斜边中线定理逆定理可知，F是AD中点

我懂的留名

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。如上图，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中点，则FM⊥BC。

设AE＝a﹙向量﹚, AG＝a", AD＝c, AB＝c", CH＝b,CK＝b"有 aa"＝bb"＝cc"＝0, a²＝a"², b²＝b"² ,c²＝c"²,a"b＝ab",a"c"＝-ac,a"c＝ac", bc＝b"c". b"c＝-bc"﹙*﹚FH＝-a+c+c"+b LB＝FH/2-b-c＝﹙-a-c+c"-b﹚/2, GK＝-a"+c"+c+b"从﹙*﹚：﹙-a-c+c"-b﹚•﹙-a"+c"+c+b"﹚＝……＝0. ∴LB⊥GK

谢谢采纳

婆罗摩笈多定理：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。过M做EF⊥BC于点E，交AD于点F。那么F是AD的中点。婆罗摩笈多（Brahmagupta，约598-660）是古印度卓越的天文学家和数学家，生于乌贾因（当时属于乌长国，是研究天文学的中心）。婆罗摩笈多在30岁左右，编著了《婆罗摩修正体系》（Brahma-sphuatasiddhlnta，628年）一书。该书用此名，是因为他修改和引用了印度最古老的天文学著作《婆罗摩体系》的内容《婆罗摩修正体系》分为24章，其中《算术讲义》和《不定方程讲义》两章是专论数学的，前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、给出二次方程的求根公式；后者研究一阶和二阶不定方程，给出了方程ax+by=c（a、b、c是整数）的第一个一般解。婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形的对角线互相垂直相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点。几何语言：圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD,过点M作NH⊥BC，那么N为AD中点.

几何学术语若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如右图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。过M做EF⊥BC于点E，交AD于点F。那么F是AD的中点。若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于该四边形一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称,叫作"布拉美古塔定理"（又译"卜拉美古塔定理"）。婆罗摩笈多是很久很久以前印度数学家、天文学家。婆罗摩笈多定理的原型是圆中两条垂直的弦，连接圆上四点构成的四边形中，垂直弦的交点作四边形一边的垂线，则该垂线的反向延长线必过弦的中点。手拉手模型中，两个等腰直角三角形，也有类似的结论，证明中点的方法就是全等三角形的运用，可以用一线三垂直也可以边角构造法。反过来，证明垂直常见的方法是倍长中线法。本文主要采用全等三角形的构造法和倍长中线法进行证明，并提取了相应的结论，并用动图给大家演示里面存在的关系，希望能对大家的理解带来帮助。这部分内容，在中考或者平时的考试中，也是比较多的，而且易出现在压轴题中，希望程度好的同学能引起重视！

1、婆罗摩笈多定理内容：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。举例如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。2、婆罗摩笈多定理是很冷门的（被考即是因为冷门），最好题前引例证明。3、向量法证明该定理是很方便的方法。4、想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握。5、其逆定理为：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。