婆罗摩笈多定理

几何学术语若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如右图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。过M做EF⊥BC于点E，交AD于点F。那么F是AD的中点。若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于该四边形一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有另一个名称,叫作"布拉美古塔定理"（又译"卜拉美古塔定理"）。婆罗摩笈多是很久很久以前印度数学家、天文学家。婆罗摩笈多定理的原型是圆中两条垂直的弦，连接圆上四点构成的四边形中，垂直弦的交点作四边形一边的垂线，则该垂线的反向延长线必过弦的中点。手拉手模型中，两个等腰直角三角形，也有类似的结论，证明中点的方法就是全等三角形的运用，可以用一线三垂直也可以边角构造法。反过来，证明垂直常见的方法是倍长中线法。本文主要采用全等三角形的构造法和倍长中线法进行证明，并提取了相应的结论，并用动图给大家演示里面存在的关系，希望能对大家的理解带来帮助。这部分内容，在中考或者平时的考试中，也是比较多的，而且易出现在压轴题中，希望程度好的同学能引起重视！

1、婆罗摩笈多定理内容：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。举例如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。2、婆罗摩笈多定理是很冷门的（被考即是因为冷门），最好题前引例证明。3、向量法证明该定理是很方便的方法。4、想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握。5、其逆定理为：若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。

如图，运用向量证明。∵B、F、A共线，由共线向量基本定理可知，存在唯一实数k，使EF=(1-k)EB+kEA。其中BF=kBA又EF⊥CD∴EF·CD=[(1-k)EB+kEA]·(CE+ED)=0展开得(1-k)EB·CE+kEA·CE+(1-k)EB·ED+kEA·ED=0∵EB⊥CE、EA⊥ED，即EB·CE=0，EA·ED=0∴kEA·CE+(1-k)EB·ED=0即k|EA||CE|cos0+(1-k)|EB||ED|cosπ=0kEA*EC=(1-k)EB*ED∵EA*EC=EB*ED(相交弦定理)∴k=1-k，k=1/2∴BF=1/2*BA，即F是BA中点 如图，运用几何证明。∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，由直角三角形斜边中线定理逆定理可知，F是AD中点

这个要具体题目具体对待，可以采取割补法进行计算。

婆罗摩笈多(Brahmagupta) 约公元598年生，约660年卒．数学、天文学．婆罗摩笈多是印度印多尔北部乌贾因地方人，原籍可能为现在巴基斯坦的信德。他编著了《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位。

我懂的留名

婆罗摩笈多Brahmagupta婆罗摩笈多（IAST: Brahmagupta，598年－668年），是一位印度数学家和天文学家，出生于印度拉贾斯坦邦宾马尔，一生可能大多数时间都在生地度过。当时上述地区属于哈尔沙帝国。婆罗摩笈多为乌贾因天文台台长，在他任职期间，书写了两部关于数学和天文学的书籍，当中包括于628年写成的《婆罗摩历算书》。婆罗摩笈多是第一个提出有关0的计算规则的数学家。婆罗摩笈多和当时许多的印度数学家一样，会将文本编排成椭圆形的句子，而且最后会有一个环状排列的诗。由于没有提出证明，不知其中的数学推导过程。

海伦公式给出三角形的面积。它是婆罗摩笈多公式取d = 0的特殊情形。婆罗摩笈多公式的基本形式和扩充形式，就像由勾股定理扩充至余弦定理一般。

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则一边中点与对角线交点的连线垂直于对边。如上图，圆内接四边形ABCD中，AC⊥BD，M是垂足。F是AD中点，则FM⊥BC。

设AE＝a﹙向量﹚, AG＝a", AD＝c, AB＝c", CH＝b,CK＝b"有 aa"＝bb"＝cc"＝0, a²＝a"², b²＝b"² ,c²＝c"²,a"b＝ab",a"c"＝-ac,a"c＝ac", bc＝b"c". b"c＝-bc"﹙*﹚FH＝-a+c+c"+b LB＝FH/2-b-c＝﹙-a-c+c"-b﹚/2, GK＝-a"+c"+c+b"从﹙*﹚：﹙-a-c+c"-b﹚•﹙-a"+c"+c+b"﹚＝……＝0. ∴LB⊥GK

婆罗摩笈多对数学的最突出贡献是解不定方程Nx2+1=y2．在欧洲，这类方程由费马提出，但后来欧拉误记为佩尔提出，并写入他的著作中。后人多称佩尔方程。沿续至今。1767年，J．L拉格朗日(Lagrange)运用连分数理论，给出了该问题的完全的解答．事实上，婆罗摩笈多在公元628年便几乎完全解出了这种方程，只是当时不为欧洲人所知．其后，婆罗摩笈多的解法又被婆什迦罗(Bh1skara)改进．

婆罗摩笈多在30岁左右，编著了《婆罗摩修正体系》(Br1hma-sphuatasiddh1nta，公元628年)一书．该书用此名，是因为他修改和引用了印度最古老的天文学著作《婆罗摩体系》(Brāhmasiddh1nta)的内容．《婆罗摩修正体系》分为24章，其中《算术讲义》(Ganit1d"h1ya)和《不定方程讲义》(Kutakh1dyaka)两章是专论数学的，前者研究三角形、四边形、零和负数的算术运算规则、二次方程等；后者研究一阶和二阶不定方程．《婆罗摩修正体系》的其他各章是关于天文学研究的，也涉及到许多数学知识．婆罗摩笈多的另一部著作《肯达克迪迦》(Khandakh1dyaka，音译)，是天文学方面的名著．它包含8章，研究了行星的黄经，与周日运动有关的三个问题，月食、日食、星的偕日升落，以及行星的会合等．婆罗摩笈多的这些著作在拉贾斯坦邦、古吉拉特邦、中央邦、北方邦、比哈尔、尼泊尔、潘贾婆(Panjab)和克什米尔等地受到广泛重视，许多学者对其进行过研究．婆罗摩笈多的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他提出了负数概念，用小点或小圈记在数字上面以表示负数，并给出负数的运算法则，如“两个正数之和为正数，两个负数之和为负数，一个正数和一个负数之和等于它们的差”；“一个正数与一个负数的乘积为负数，两个负数的乘积为正数，两个正数的乘积为正数”等等．他的负数概念及其加减法法则，仅晚于中国(约公元1世纪成书的中国《九章算术》最早提出负数及其加减法运算的概念)而早于世界其他各国数学界；而他的负数乘除法法则，在全世界都是领先的．

垂径定理垂直于玄的直径平分玄，并且平分该玄所对弧！

从他的姓名结构中含gupta推测，他属于吠舍氏的成员，即当时的平民阶层．婆罗摩笈多长期在乌贾因工作，这里是当时印度数学、天文学活动的三个中心之一．

　　婆罗摩笈多公式的最简单易记的形式，是圆内接四边形面积计算。若圆内接四边形的四边长为a, b, c, d，则其面积为：　　 　　其中s为半周长：s=(a+b+c+d)/2 [编辑本段]证明 　　圆内接四边形的面积 = △ADB的面积 + △BDC的面积　　 =1/2pqsinA+1/2rssinC　　对△ADB和△BDC利用余弦定理，我们有：　　代入cosC = �6�1 cosA（这是由于A和C是互补角），并整理，得：　　把这个等式代入面积的公式中，得：　　它是a �6�1 b的形式，因此可以写成(a + b)(a �6�1 b)的形式：　　引入，　　两边开平方，得：　　证毕。

问题文字不标准：婆（波）罗摩笈多是古印度佛陀时期的数学家，第一个提出“0”运算规则的人。如果是笈多王朝时期，有五大制度。1、奴隶制奴隶主拥有奴隶的制度。劳力以奴隶为主，无报酬，无人身自由，贵族拥有对奴隶的生杀大权。2、中央集权制超日王（旃陀罗笈多二世）时期，最高统治者是大王，皇亲贵族和婆罗门高僧构成王室顾问和各部门重臣。全国划分若干省，省下设县；各省总督多由大王任命王子或其他亲属充任。3、村社制度农业与手工业相结合的农村公社。在笈多王朝占据统治地位。4、种姓制度传承了古印度的种姓制度。婆罗门：祭司贵族，社会地位最高。刹帝利：雅利安人军事贵族，权力滔天。波罗门、刹帝利：富有的社会统治阶级。吠舍：普通劳动者，雅利安人的中下阶层，农民、手工业者和商人。首陀罗：奴隶。5、职业世袭制度各种姓（主要是贵族），职业世袭。附：笈多王朝世系1.室利笈多2.旃陀罗笈多一世，（320年建立笈多王朝），室利笈多之孙。3.沙摩陀罗笈多，又名海护王，，旃陀罗笈多一世之子。4.旃陀罗笈多二世，又名“超日王”，沙摩陀罗笈多之子。5.鸠摩罗笈多一世，超日王之子。6.塞建陀笈多，鸠摩罗笈多一世之子。7.那罗僧诃笈多8.佛陀笈多，又名觉护王9.补卢笈多，又名幼日王10.毗湿奴笈多

欧氏平面几何中，婆罗摩笈多公式是用以计算四边形的面积。它最常用于计算圆内接四边形面积。

婆罗摩笈多给出的四边形面积公式在只针对（）成立。 A.折四边形 B.凹四边形 C.圆内接四边形 D.圆外切四边形 正确答案：C

古印度数学经典著作《婆罗摩笈多》中提到了求解二次方程根的方法。以下是该书中给出的一种求解二次方程根的公式：设ax² + bx + c = 0是一个二次方程，其中a、b、c为已知系数且a ≠ 0，则该方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a其中±表示两个根：正根和负根；√表示开平方根符号；b²-4ac称为判别式。如果判别式大于零，即b²-4ac > 0，则方程有两个不相等的实根，分别为：x1 = (-b + √(b² - 4ac)) / 2a，x2 = (-b - √(b² - 4ac)) / 2a。如果判别式等于零，即b² - 4ac = 0，则方程有两个相等的实根：x1 = x2 = (-b) / 2a。如果判别式小于零，即b² - 4ac < 0，则方程没有实数根，而是有两个共轭复数根：x1 = [-b/(2a)] + [i√(4ac - b²)/(2a)],x2 = [-b/(2a)] - [i√(4ac - b²)/(2a)]。这里i表示虚数单位。

1、手部姿势不同：在婆罗摩笈多中，双方手掌相对，手指微微弯曲，从正面的视角看形成一个长方形。而在反向手拉手中，双方背对背，手臂伸直或者略微弯曲，从正面的视角看形成一个“T”字形。2、脚步动作不同：在婆罗摩笈多中，舞伴们的脚步通常以快速的步伐为主，可以在一个固定的位置上旋转或者移动。而在反向手拉手中，舞伴们会进行一些倒退的动作，脚步较为缓慢和平稳。

对一般四边形的面积，扩展的婆罗摩笈多公式用到了四边形的对角和：其中θ是四边形一对角和的一半。（选取另一对角也不会影响答案，因其和的一半是π − θ。而，所以。)因为圆内接四边形的对角和为，而，所以项为零，给出公式的基本形式。

谢谢采纳

悉檀多时代是印度数学的繁荣期时期，其数学内容主要是算术与代数，而且明显受到希腊数学的影响，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多、婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦罗等。现今所知的印度最早数学家是阿耶波多，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》传世。该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应，成为今天的习惯，同时他以半径的作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始。　　　婆罗摩笈多有两部天文著作《婆罗摩修正体系》和《肯德卡迪亚格》都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵。他把0作为一个数来处理，9世纪马哈维拉和施里德哈勒接受了这一传统。婆罗摩笈多对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则～

我可以给你一些，记不全了（要看定理具体内容自己搜索)：赛瓦定理、西姆松定理、圆幂定理、婆罗摩笈多定理、卡诺定理、欧拉定理、中线长定理、斯特瓦尔特定理、角平分线定理（广义）、正（余）弦定理。能称得上定理的我就记得这些了。还有那个九点圆，记不清怎么回事了；海伦公式，很实用（四边形也有相似的不等式）PS：1.我现在初三，没听着老师说这些定理是不是初中的。还有老师说高中就没有平面几何了。所以估计几何定理初中联赛都用得上。 2.我淘到的一个文章，感觉有价值：http://www.doc88.com/p-314746617272.html

很久很久以前，在拉格朗日照耀下，有几座城：分别是常微分方城和偏微分方城这两座兄弟城，还有数理方程、随机过城。从这几座城里流出了几条溪，比较著名的有：柯溪、数学分溪、泛函分溪、回归分溪、时间序列分溪等。其中某几条溪和支流汇聚在一起，形成了解析几河、微分几河、黎曼几河三条大河。 河边有座古老的海森堡，里面生活着亥霍母子，穿着德布罗衣、卢瑟服、门捷列服，这样就不会被开尔蚊骚扰，被河里的薛定鳄咬伤。城堡门口两边摆放着牛墩和道尔墩，出去便是鲍林。鲍林里面的树非常多：有高等代树、抽象代树、线性代树、实变函树、复变函树、数值代树等，还有长满了傅立叶，开满了范德花的级树...人们专门在这些树边放了许多的盖(概)桶,高桶，这是用来放尸体的，因为，挂在上面的人，太多了，太多了... 这些人死后就葬在微积坟，坟的后面是一片广阔的麦克劳林，林子里有一只费马，它喜欢在柯溪喝水，溪里撒着用高丝做成的ε-网，有时可以捕捉到二次剩鱼。 后来，芬斯勒几河改道，几河不能同调，工程师李群不得不微分流形，调河分溪。几河分溪以后，水量大涨，建了个测渡也没有效果，还是挂了很多人，连非交换代树都挂满了，不得不弄到动力系桶里扔掉。 有些人不想挂在树上，索性投入了数值逼井（近）。结果投井的人发现井下生活着线性回龟和非线性回龟两种龟：前一种最为常见的是简单线性回龟和多元线性回龟，它们都喜欢吃最小二橙。 柯溪经过不等市，渐近县和极县，这里房子的屋顶都是用伽罗瓦盖的，人们的主食是无穷小粮。 极县旁有一座道观叫线性无观，线性无观里有很多道士叫做多项士，道长比较二，也叫二项士。线性无观旁有一座庙叫做香寺，长老叫做满志，排出咀阵，守卫着一座塔方。一天二项士拎着马尔可夫链来踢馆，满志曰：“正定！正定！吾级数太低，愿以郑太求和，道友合同否？”二项士惊呼：“特真值啊！”立退。不料满志此人置信度太低，不以郑太求和，却要郑太回归。二项式大怒在密度函树下展开标准分布，布里包了两个钗钗，分别是标准钗和方钗。满志见状央（鞅）求饶命。二项式将其关到希尔伯特空间，命巴纳赫看守。后来，巴纳赫让其付饭钱，满志念已缴钱便贪多吃，结果在无参树下被噎死（贝叶斯）。

婆罗摩笈多定理？即若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。此定理在39届IMO证明题，还有78年银川数学竞赛试题。

在古代和中世纪，万有引力被认为是位置的一种性质，而不是物质的性质。从公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德(Aristotle)起，历史上对万有引力就有着众多的猜想或解释。亚里士多德认 为没有起因就没有结果，因此没有力的作用的运动是不存在的。他推断在水晶球模型中，所有物体都有朝它们正确的位置靠近的趋势，并且物体按他们自身的重量的比例向地球的中心坠落。在公元628年，印度天文学家婆罗摩笈多(Brahmagupta)首先认识到重力是一种吸引力的作用。他解释说：“物体向地球坠落是因为地球对物体自然地吸引，就如同水自然地流动一般”(bodies fall towards theearth as it is in the nature of theearth to attract bodies,just as it is in the nature of water to flow)。他用了一个梵语术语“gruhtvaakarshan”代表重力，在发音上，与英语中的“gravity”相像，并且都表示同一个意思“吸引力”。婆罗摩笈多亦坚持阿里亚哈塔(Aryabhata)于公元499年提出的以万有引力维持的太阳为中心的太阳系观点。因此，他理解到了太阳和地球之间存在着一种吸引力的作用。从17世纪起，科学家把万有引力看作是物质的一个属性。一个物体吸引另一个物体的力量大小，视物体所含物质的多少和隔开它们的距离而定，这种力量是相互作用的。哥白尼(Nicolaus Copernicus)认为万有引力是物质集聚的一种方式，万有引力的中心是一个几何性质的点。1600年威廉·吉尔伯特(William Gilbert)提出磁力可能是维持太阳系存在的原理。他设想万有引力就是地球这块庞大磁石作用于周围物体的磁力，而且遍及整个太阳系，成为宇宙的外膜。吉尔伯特证明，磁石对一块铁的吸力大小视磁石的大小而定，磁石越大，对铁块的吸力也越大。而且吸引是互相作用的，磁石吸铁，铁也同样吸引磁石。他的研究为近代引力观念提供了一个模型。万有引力的中心并不是什么几何点，而是具体的一堆物质，它的力量随着物质数量的增加而增加。开普勒(Johannes Kepler)发展了吉尔伯特的万有引力观念，他假定万有引力是和磁力类似的东西，是同性物体之 间的一种相互感应，这种力视物体的大小而定。在这些基础上，英国数学家艾萨克·牛顿爵士(SirIsaacNewton)于1687年发表了著名的《原理》一书，第一次假定了万有引力定律。他写道：“我推断这种使行星围绕既定轨道运动的力一定与它们与绕轴转动中心的距离平方成反比；而依此将使月球围绕她的轨道运动的力与地表的重力进行比较之后，发现它们的结果是如此的接近。”(I deduced that the forces which keep the planets in their orbs must be reciprocally as the squares of their distances from the centers about which they revolve;and there by compared the force requisite to keep the Moon in her orb with force of gravit yat the surface of the Earth;and found them answer pretty nearly.)绝大多数现代非相对论性万有引力的计算都赖以牛顿当年的工作。

热力学的发展历史请看http://www.chem.pku.edu.cn/bianj/material/thermo_history.htm

适用于已知三角形的三边求面积,且三边为正整数时较易.S△=12(a+b+c)r内

嗯求解答不走有很多种方法就用真的具体不同的题要有不同的解答方法这一点五

婆罗摩修正体系中的零是一个小圆圈。婆罗摩修正体系中的零是一个小圆圈。古印度学者婆罗摩笈多，在公元628年写成《婆罗摩修正体系》一书，曾经给出零的定义，并规定零参与计算的几条规则：零是没有。零加零还是零。任何数加减零，该数不变。零乘以任何数，积为零。零除以任何数，商为零。

老夫掐指一算，必会有一个沙雕坐稳一楼

在数学中，三角函数(也叫做圆函数)是角的函数；它们在研究三角形和建模周期现象和许多其他应用中是很重要的。三角函数通常定义为包含这个角的直角三角形的两个边的比率，也可以等价的定义为单位圆上的各种线段的长度。更现代的定义把它们表达为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们扩展到任意正数和负数值，甚至是复数值。三角函数在数学中属于初等函数里的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。由于三角函数表现出周期性，所以它并不具有单射函数意义上的反函数。三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。目录[隐藏] 1 基本函数 2 少用函数 3 历史 4 直角三角定义 4.1 直角三角形中 4.2 直角坐标系中 5 单位圆定义 6 级数定义 6.1 与指数函数和复数的联系 7 微分方程定义 7.1 弧度的重要性 8 三角恒等式 9 三角函数的特殊值 10 反三角函数 11 性质和应用 11.1 正弦定律 11.2 余弦定律 11.3 其他有用的性质 11.4 周期函数 12 注释 13 引用 14 参见 15 外部链接 [编辑] 基本函数 函数简写关系正弦sin余弦cos正切tan(或 tg)余割csc(或 cosec)正割sec余切cot(或 ctg、ctn)[编辑] 少用函数 除六个基本函数，历史上还有下面四个函数:正矢 余矢 外正割 外余割 [编辑] 历史 随着认识到相似三角形在它们的边之间保持相同的比率，就有了在三角形的边的长度和三角形的角之间应当有某种标准的对应的想法。就是说对于任何相似三角形，(比如)斜边和剩下的两个边的比率都是相同的。如果斜边变为两倍长，其他边也要变为两倍长。三角函数表达的就是这些比率。研究三角函数的有尼西亚的喜帕恰斯(180-125 BC)，埃及的托勒密(90-180 AD)，Aryabhata (476-550)，Varahamihira，婆罗摩笈多, 花拉子密，Abū al-Wafā" al-Būzjānī，欧玛尔·海亚姆，婆什迦罗第二，Nasir al-Din al-Tusi，Ghiyath al-Kashi (14 世纪)，Ulugh Beg (14 世纪)，约翰·缪勒 (1464)，Rheticus 和 Rheticus 的学生 Valentin Otho。Madhava of Sangamagramma (c. 1400) 以无穷级数的方式做了三角函数的分析的早期研究。欧拉的《Introductio in analysin infinitorum》(1748)对建立三角函数在欧洲的分析处理做了最主要的贡献，还定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有接近现代的简写 sin.、cos.、tang.、cot.、sec. 和 cosec.。[编辑] 直角三角定义 [编辑] 直角三角形中 在直角三角形中仅有锐角三角函数的定义。一个锐角的正弦是它的对边与斜边的比值。在图中，sinA = 对边/斜边 = a/h。 一个锐角的余弦是它的邻边与斜边的比值。在图中，cosA= 邻边/斜边 = b/h。 一个锐角的正切是它的对边与邻边的比值。在图中，tanA = 对边/邻边 = a/b。 [编辑] 直角坐标系中 设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，是角的终边上一点，是P到原点O的距离，则α的六个三角函数定义为：函数名定义函数名定义正弦余弦正切余切正割余割[编辑] 单位圆定义 单位圆 六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角。它提供了一个单一的可视图像一次封装了所有重要的三角函数。根据毕达哥拉斯定理，单位圆的等式是:在图像中，给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 θ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度 1，所以有了 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。在笛卡尔平面上 f(x) = sin(x) 和 f(x) = cos(x) 函数的图像。 对于大于 2π 或小于 �6�12π 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为 2π的周期函数:对于任何角度 θ 和任何整数 k。周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”(primitive period)。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2π 弧度或 360 度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 π 弧度或 180 度。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为:在笛卡尔平面上 f(x) = tan(x) 函数的图像。 在正切函数的图像中，在角 kπ 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2)π 的时候变换迅速。正切函数的图像在 θ = (k + 1/2)π 有垂直渐进线。这是因为在 θ 从左侧接进 (k + 1/2)π 的时候函数接近正无穷，而从右侧接近 (k + 1/2)π 的时候函数接近负无穷。可作为替代选择，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别是，对于这个圆的弦 AB，这里的 θ 是对向角的一半，sin(θ) 是 AC (半弦)，这是印度的 Aryabhata(AD 476–550)介入的定义。cos(θ) 是水平距离 OC，versin(θ) = 1 �6�1 cos(θ) 是 CD。tan(θ) 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot(θ) 是另一个切线段 AF。 sec(θ) = OE 和 csc(θ) = OF 是割线(与圆相交于两点)的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE 是 exsec(θ) = sec(θ) �6�1 1 (正割在圆外的部分)。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 θ 接近 π/2 (90 度)的时候发散，而余割和余切在 θ 接近零的时候发散。[编辑] 级数定义 正弦函数(蓝色)被对中心为原点的全圆的它的 5 次泰勒级数(粉红色)紧密逼近。 只使用几何和极限的性质，可以证明正弦的导数是余弦，而余弦的导数是负的正弦。(在微积分中，所有角度都以弧度来度量)。你可以接着使用泰勒级数的理论来证明下列恒等式对于所有实数 x 都成立 :这些恒等式经常被用做正弦和余弦函数的定义。它们经常被用做三角函数的严肃处理和应用的起点(比如，在傅立叶级数中)，因为无穷级数的理论自实数系的基础上发展而来，独立于任何几何考虑。这些函数的可微性和连续性经常单独从级数定义自身确立。其他级数可见于:[1]}-这里的是 n 次上/下数， 是 n 次伯努利数， (下面的)是 n 次欧拉数。 在这种形式的表达中，分母是相应的阶乘，而分子叫做“正切数”，有组合解释: 它们枚举了奇数势的有限集合的交互排列(alternating permutation)。}-在这种形式的表达中，分母是对应的阶乘，而分子叫做“正割数”，有组合解释: 它们枚举偶数势的有限集合的交互排列。从复分析的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展(analytic extension)。它们有同样的泰勒级数，所以定义在复数上三角函数使用上述泰勒级数。[编辑] 与指数函数和复数的联系 可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是复指数函数在它的自变量为纯虚数时候的虚数和实数部分:这个联系首先由欧拉注意到，而这个恒等式叫做欧拉公式。在这种方式下，三角函数在复分析的几何解释中变成了本质性的。例如，通过上述恒等式，如果你考虑在复平面中 eix 所定义的单位圆，同上面一样，我们可以依据余弦和正弦来参数化这个圆，在复指数和三角函数之间联系变得非常明显。进一步的，这允许定义对复自变量 z 的三角函数:这里的 i2 = �6�11。还有对于纯实数 x，还知道指数处理密切联系于周期行为。[编辑] 微分方程定义 正弦和余弦函数都满足微分方程就是说，每个都是它自己的二阶导数的负数。在由所有这个方程的解的二维向量空间 V 中，正弦函数是满足初始条件 y(0) = 0 和 y′(0) = 1 的唯一解，而余弦函数是满足初始条件 y(0) = 1 和 y′(0) = 0 的唯一解。因为正弦和余弦函数是线性无关的，它们在一起形成了 V 的基。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。(参见线性微分方程)。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的三角恒等式。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足 意味着它们是二阶算子的特征函数。正切函数是非线性微分方程满足初始条件 y(0) = 0 的唯一解。有一个正切函数满足这个微分方程的非常有趣的可视证明；参见 Needham 的《Visual Complex Analysis》。[2][编辑] 弧度的重要性 弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度指定一个角，并构成给正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足古典的描述它们的微分方程。如果给正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的则导数将正比于“振幅”。. 这里的 k 是表示在单位之间映射的常数。如果 x 是度，则这意味着使用度的正弦的二阶导数不满足微分方程, 而; 对余弦也是类似的。这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此正弦的四阶导数再次是正弦，只有它的辐角是弧度的条件下。[编辑] 三角恒等式 主条目：三角恒等式在三角函数相互之间存在很多恒等式。其中最常用的是毕达哥拉斯恒等式，它声称对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是 1。这可从斜边为 1 的直角三角形应用毕达哥拉斯定理得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：更常写为在正弦和余弦符号之后加“2”次幂:在某些情况下内层括号可以省略。另一个关键联系是和差公式，它把两个角的和差的正弦和余弦依据这些角度自身的正弦和余弦而给出。它们可以在几何上使用托勒密的论证方法推导出来；还可以在代数上使用欧拉公式得出。当两个角相同的时候，和公式简化为叫做二倍角公式的更简单等式。这些等式还可以用来推导积化和差恒等式，古代用它把两个数的积变换成两个数的和而像对数那样做更快速的运算。三角函数的积分和导数可参见导数表、积分表和三角函数积分表。[编辑] 三角函数的特殊值 三角函数中有一些常用的特殊函数值。函数名0sin0}-cos1}-tan01cot1sec1}-2csc2}-或者……（当然须要另外约简。）函数╲角度sincostan[编辑] 反三角函数 主条目：反三角函数三角函数是周期函数，因此不是单射函数，所以严格的说没有反函数。所以要定义一个反函数必须限制它们的定义域，使得三角函数是双射函数。在下面左边的函数由右边的等式定义；这些不证明恒等式。基本反函数通常定义为:对于反三角函数，符号 sin�6�11 和 cos�6�11 经常用于 arcsin 和 arccos。当使用这种符号的时候，反函数可能混淆于这个函数的倒数。使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔混淆于“arcsecond”。正如正弦和余弦，反三角函数也依据无穷级数来定义。例如，这些函数也可以通过证明它们是其他函数的不定积分来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分:可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用复对数，可以把这些函数推广到复辐角上:[编辑] 性质和应用 三角函数如其名字所暗示的在三角学中是至关重要的，主要是因为下列两个结果。[编辑] 正弦定律 正弦定律声称对于任意三角形，它的边是 a, b 和 c 而相对这些边的角是 A, B 和 C，有:也表示为:利萨茹曲线，一种三角基的函数形成的图像。 它可以通过把三角形分为两个直角三角形并使用正弦的上述定义证明。在这个定理中出现的公共数 (sinA)/a 是通过 A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是三角测量中常见情况。[编辑] 余弦定律 余弦定律(也叫做余弦公式)是托勒密定理的扩展:也表示为:这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定律用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。如果这个角不包含在这两个边之间，三角形可能不是唯一的(边-边-角全等歧义)。小心余弦定律的这种歧义情况。[编辑] 其他有用的性质 还有一个正切定律:[编辑] 周期函数 谐波数目递增的方波的加法解析的动画。 三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述简单谐波运动，它建模了很多自然现象，比如附着在弹簧上的重块的振动，挂在绳子上重块的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影。三角函数还被证明在一般周期函数的研究中很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，对于建模循环现象比如声波或光波是有用的。所有信号都可以写为不同频率的正弦和余弦函数的(典型的无限)和；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数被用来解微分方程的各种边界值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数在右边的动画中，可以看到只用一些项就已经生成了非常好的逼近。

圆周率的历史：一、实验时期一块古巴比伦石匾（约产于公元前1900年至1600年）清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。同一时期的古埃及文物，莱因德数学纸草书也表明圆周率等于分数16/9的平方，约等于3.1605。埃及人似乎在更早的时候就知道圆周率了。 英国作家 John Taylor (1781–1864) 在其名著《金字塔》中指出，造于公元前2500年左右的胡夫金字塔和圆周率有关。例如，金字塔的周长和高度之比等于圆周率的两倍，正好等于圆的周长和半径之比。公元前800至600年成文的古印度宗教巨著《百道梵书》显示了圆周率等于分数339/108，约等于3.139。二、几何法时期古希腊作为古代几何王国对圆周率的贡献尤为突出。古希腊大数学家阿基米德(公元前287–212 年) 开创了人类历史上通过理论计算圆周率近似值的先河。阿基米德从单位圆出发，先用内接正六边形求出圆周率的下界为3，再用外接正六边形并借助勾股定理求出圆周率的上界小于4。接着，他对内接正六边形和外接正六边形的边数分别加倍，将它们分别变成内接正12边形和外接正12边形，再借助勾股定理改进圆周率的下界和上界。他逐步对内接正多边形和外接正多边形的边数加倍，直到内接正96边形和外接正96边形为止。最后，他求出圆周率的下界和上界分别为223/71 和22/7， 并取它们的平均值3.141851 为圆周率的近似值。阿基米德用到了迭代算法和两侧数值逼近的概念，称得上是“计算数学”的鼻祖。中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即取π=3。汉朝时，张衡得出π²除以16约等于8分之5，即π约等于根号十（约为3.162）。这个值不太准确，但它简单易理解。公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，他先从圆内接正六边形，逐次分割一直算到圆内接正192边形。他说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”，包含了求极限的思想。刘徽给出π=3.141024的圆周率近似值，刘徽在得圆周率=3.14之后，将这个数值和晋武库中汉王莽时代制造的铜制体积度量衡标准嘉量斛的直径和容积检验，发现3.14这个数值还是偏小。于是继续割圆到1536边形，求出3072边形的面积，得到令自己满意的圆周率3927除以1250约等于3.1416。公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355除以133和约率22除以7。密率是个很好的分数近似值，要取到52163除以16604才能得出比355除以113略准确的近似。在之后的800年里祖冲之计算出的π值都是最准确的。其中的密率在西方直到1573年才由德国人奥托（Valentinus Otho）得到，1625年发表于荷兰工程师安托尼斯（Metius）的著作中，欧洲称之为Metius" number。约在公元530年，印度数学大师阿耶波多算出圆周率约为根号9.8684。婆罗摩笈多采用另一套方法，推论出圆周率等于10的算术平方根。阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的纪录。德国数学家鲁道夫·范·科伊伦（Ludolph van Ceulen）于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。三、分析法时期这一时期人们开始利用无穷级数或无穷连乘积求π，摆脱可割圆术的繁复计算。无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现，使得π值计算精度迅速增加。第一个快速算法由英国数学家梅钦（John Machin）提出，1706年梅钦计算π值突破100位小数大关，他利用了如下公式：π/4=4 arctan1/5-arctan 1/239,其中arctan x可由泰勒级数算出。类似方法称为“梅钦类公式”。斯洛文尼亚数学家Jurij Vega于1789年得出π的小数点后首140位，其中只有137位是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他利用了梅钦于1706年提出的数式。到1948年英国的弗格森（D. F. Ferguson）和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高纪录。四、计算机时代电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年，美国制造的世上首部电脑－ENIAC（Electronic Numerical Integrator And Computer）在阿伯丁试验场启用了。次年，里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑，计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作，扣除插入打孔卡所花的时间，等于平均两分钟算出一位数。五年后，IBM NORC（海军兵器研究计算机）只用了13分钟，就算出π的3089个小数位。科技不断进步，电脑的运算速度也越来越快，在60年代至70年代，随着美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争，π的值也越来越精确。在1973年，Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。在1976年，新的突破出现了。萨拉明（Eugene Salamin）发表了一条新的公式，那是一条二次收敛算则，也就是说每经过一次计算，有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式，但十分复杂，在那没有电脑的时代是不可行的。这算法被称为布伦特-萨拉明（或萨拉明-布伦特）演算法，亦称高斯-勒让德演算法。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷－2型（Cray-2）和IBM－3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数，后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日——法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2010年8月30日——日本计算机奇才近藤茂利用家用计算机和云计算相结合，计算出圆周率到小数点后5万亿位。2011年10月16日，日本长野县饭田市公司职员近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位，刷新了2010年8月由他自己创下的5万亿位吉尼斯世界纪录。56岁的近藤茂使用的是自己组装的计算机，从10月起开始计算，花费约一年时间刷新了纪录。

二次函数开口方向是当a>0时，函数开口方向向上。当二次项项系数大于0时二次函数开口向上；当二次项系数小于0时二次函数开口向下。而它们在X轴上面的图像部分，也就是这个二次函数中X的取值范围。二次函数的历史大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。但这一点在他的时代存在着争议。这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方引自婆什迦罗第二。

负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号（Minus Sign，即相当于减号）“－”和一个正数标记，如2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。一个负数是其绝对值的相反数。负数都比零小，则负数都比正数小。零既不是正数，也不是负数。则-a。负数中没有最小的数，也没有最大的数。去除负数前的负号等于这个负数的绝对值。如-2、-5.33、-45等：-2的绝对值为2，-5.33的绝对值为5.33，-45的绝对值为45等。分数也可做负数，如：-2/5。负数的平方根用虚数单位“i”表示。（实数范围内负数没有平方根）最大的负整数为：－1。没有最小的负数。负数可以广泛应用于温度、楼层、海拔、水位、盈利、增产/减产、支出/收入、得分/扣分等等的这些方面中。现小学六年级学。（初一也有学）。

用消元法，包括加减法和代入法！加减法是指两个方程相减或相加，去掉一个未知数，再由求出的数算出另一个未知数。代入法使用的较普遍但比较麻烦，是用一个方程求出其中一个未知数的解析式，再代入另一个里面，求出两个未知数！

1.此定理是很冷门的（被考即是因为冷门），最好题前引例证明2.向量法证明是很方便的方法，特别是另一版本的证明，自己想出来的，比我看的任何证明过程都简单很多3.想要抓住联赛的几何题，类似的冷门定理要多掌握

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。

∵MA⊥MD，F是AD中点∴AF=MF∴∠CAD=∠AMF∵∠CAD=∠CBD，∠AMF=∠CME∴∠CBD=∠CME∵∠CME+∠BME=∠BMC=90°∴∠CBD+∠BME=90°∴EF⊥BC ∵F是BA中点∴EF=1/2*(EA+EB)CD=CE+EDEF·CD=1/2*(EA+EB)·(CE+ED)EF·CD=1/2*(EA·CE+EA·ED+EB·CE+EB·ED)EF·CD=1/2*(EA*EC-EB*ED)=0∴EF⊥CD

RT三角形的一般解：a=2mn，b=m2-n2，c=m2+n2(m，n是任意不相等的有理数）；但他没有证明。

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。不需要全等三角形就可以证明。如图，∵AC⊥BD，ME⊥BC∴∠CBD=∠CME∵∠CBD=∠CAD，∠CME=∠AMF∴∠CAD=∠AMF∴AF=MF∵∠AMD=90°，同时∠MAD+∠MDA=90°∴∠FMD=∠FDM∴MF=DF，即F是AD中点

最简单就是建立空间直角坐标系，求出两直线的向量的坐标，如果两向量的积为0，那么两直线就垂直啦

问题好象有点不对啊,哪弄的?

准确答案应该是10

现在消费者的选择性比较多，垂直领域电商可能比较单一。

把一本书反复做,很有效果的

这题解答如下:

斜边=4.5的平方加上6.3的平方，再把和开平方