微分

二阶导本来就这么定义的

一阶线性微分方程解法： dy/dx+P(x)y=Q(x)，先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0，解得y=Ce－∫P(x)dx，再令y=ue－∫P(x)dx代入原方程，解得u=∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C，所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dxdx+C］，即y=Ce－∫P(x)dx+e－∫P(x)dx，∫Q(x)e∫P(x)dxdx为一阶线性微分方程的通解。 齐次方程解法： dy/dx=φ(y/x)，令u=y/x则y=xu，dy/dx=u+xdu/dx，所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x，两端积分，得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x，最后用y/x代替u，便得所给齐次方程的通解。

通解为ln(1-2y)=-X^2-2C 因为C为任意常数,所以通解形式有好多种形式,但本质是一样的,等你学到求微分方程特解时就会明白了。

百度上找的：实话实说微分的概念一,微分概念的引入在实际测量中,由于受到仪器精度的限制,往往会产生误差.例如x0为准确数,实际测量出是x*=x0+Δx为x0的近似数,由此产生的误差为Δx相应产生的函数值的误差Δy=f(x0+Δx)-f(x0),往往需要估计Δy的值.如果f(x0+Δx),f(x0)计算很复杂.因此计算Δy也很麻烦或者实际中只知道近似数x*与误差|Δx|≤δ,又如何估计Δy 假设f′(x)存在,则==f′(x0),有=f′(x0)+α,α=0,于是Δy=f′(x0)Δx+αΔx,而=0 (1)即 αΔx=0(Δx)(Δx→0)因此,当|Δx|很小时,Δy≈f′(x0)Δx在实际中如果不知道x0,只知道x*,由x0,x*相差很小,则Δy≈f′(x*)Δx,从而可以估计出Δy.从(1)式我们看到,f′(x0)相对Δx是一个常数,αΔx是Δx的高阶无穷小,如果Δy=AΔx+0(Δx)(Δx→0),则Δy≈AΔx,由此得到微分的概念.二,微分的概念定义 设y=f(x)在x0的某领域U(x0)内有定义,若Δy=f(x+Δx)-f(x)可表示为Δy=AΔx+o(Δx) (Δx→0)其中A是写Δx无关的常数,AΔx称为Δy的线性部.则称y=f(x)在点x处可微,称线性部AΔx为y=f(x)在点x处的微分,记为dy,即dy=AΔx.三,可微与可导的关系从概念的引入,我们可以看到可导必可微,反之也是正确的.因此有定理 函数y=f(x)在点x可微的充要条件是函数y=f(x)在点x处可导.且A=f′(x).证 充分性,由f(x)在点x处可导,有=f′(x),于是=f′(x)+α,其中α=0,有Δy=f′(x)Δx+αΔx,由=0,有αΔx=o(Δx)(Δx→0)所以Δy=f′(x)Δx+o(Δx) (Δx→0)因此,y=f(x)在点x处可微且f′(x)=A.必要性 由y=f(x)在点x处可微,由定义知Δy=AΔx+0(Δx) (Δx→0),A与Δx无关.由=[A+]=A=f′(x)所以y=f(x)在点x处可导.于是,若y=f(x)在点x处可微,则dy=AΔx,由A=f′(x),有dy=f′(x)Δx由函数x在x处可微,则dx=(x)′Δx=Δx,即自变量的改变量等于自变量的微分,因此dy=f′(x)dx等价于=f′(x)由此可见,导数f′(x)等于函数y=f(x)的微分dy与自变量x的微分dx的商.因此,导数又称为微商,这时不仅可以看成一个整体记号,也可以看成dy与dx的商. 下面举几个例子,来说明微分的一些实际意义圆面积S=πr2,其中r为圆半径,则图2-6ΔS=π(r+Δr) 2-πr2=2πrΔr+π(Δr) 2ds=2πrΔr=2πrdr当半径有增量Δr时,圆面积的增量ΔS,如图中圆环表示,用微分ds近似它即以边长为2πr(圆)环内圆长)高为圆环厚度dr的长方形面积来近似.如图2-7图2-7(2)圆柱体体积V=πr2h,其中r为圆柱体的底面半径,h为圆柱的高Δv=π(r+Δr) 2h-πr2h=2πrhΔhΔr+πh(Δr) 2dv=2πrhΔr=2πrhdr图2-8当底面半径有增量Δr时,圆柱体的增量Δv,如图中空心圆柱表示,用微分dv近似,即底面长为2πr(内圆柱底面周长)宽为h(圆柱的高)高为圆柱厚度Δr的长方体体积.如图2-9(3)球的体积v=πr3(其中r为地球半径),当半径有增量Δr时,球体积的增量(即薄球壳的体积Δv)ΔV=π(r+Δr)3-πr3=π[r3+3r2Δr+3rΔr3-πr3]=4πr2Δr+(4rπΔr+πΔr2)Δrdv=4πr2Δr即薄球壳的体积Δv用微分dv近似即以球壳内球面面积4πr2与厚dr的乘积来近似.四,微分的几何意义若y=f(x)在点x处可微,则Δy=f′(x)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx)图2-9及PT中曲线y=f(x)在曲线上点P(x,y)处的切线斜率tanα=f′(x)Δy=f(x+Δx)-f(x)=NQdy=f′(x)Δx=tanα Δx=NT图2-10 o(Δx)=Δy-dy=NQ-NT=TQ由dy≈Δy,即NT≈NQ,则|PT|=≈=|PQ|≈||因此,当|Δx|很小时,可用线段NT近似代替NQ,或者说在P点邻近,可用切线段PT近似代替曲线弧.§2.2 微分的基本性质一,微分基本公式由dy=f(x)dx,将导数公式表中每个导数乘上自变量的微分dx,便得相应的微分公式(公式略,请读者写出来).二,微分的四则运算定理 设u(x),v(x)在点x处均可微,则u±v,uv,cu(c为常数), (v≠0)在点x处都可微,且1. d(u±v)=du±dv2. d(uv)=vdu+udv特别d(cu)=cdu(c为常数)3. d()= (v≠0),特别d()=- (v≠0)注:微分的四则运算与导数的四则运算类似,只须把导数四则运算中的导数改成微分,就可得到微分的四则运算.证3 d()=()′dx=dx== (v≠0)三,一阶微分不变形定理 若u=φ(x)在x处可微,y=f(u)在点u(u=φ(x))处可微,则复合函数y=f(φ(x))在点x处可微,且dy=f′(u)du证:由复合函数的求导法则知,y=f(φ(x))在点x处可导,所以在点x处可微,且dy[WB]=f′(φ(x))φ′(x)dx=f′(φ(x))dφ′(x)=f′(u)dudy=f′(u)du,即这里u是中间变量,它与当x是自变量,y=f(x)在点x处可微,dy=f′(x)dx形式一样.我们称之为微分的一阶不变性. 例1. y=e解法一 由y′=ecos (x2+)·(2x+)于是 dy=y′dx=ecos (x2+)(2x+)dx解法2 利用微分的四则运算和微分一阶不变性dy=de=edsin(x2+)=ecos (x2+)d(x2+)=ecos (x2+)[d(x2)+d]=ecos (x2+)[2xdx+dx]=ecos(x2+)(2x+)dx从这里也可得到y′=ecos (x2+)(2x+)例2. 求由方程2y-x=(x-y) ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy解 对方程两端求微分d(2y-x)=ln (x-y)d(x-y)-(x-y)dln(x-y)得2dy-dx=ln(x-y)(dx-dy)-(dx-dy)解出dy,有dy=dx例3. 利用微分求,解:====y′从这里可以看出,只要求ψ′(t),φ′(t)存在且φ′(t)≠0,存在===dt=§2.3 近似计算与误差估计一,近似计算若y=f(x)在点x0处可微,即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f′(x0)Δx+o(Δx) (Δx→0)当|Δx|很小时,有Δy≈f′(x0)Δx (1)即f(x0+Δx))-f(x0)≈f′(x0)Δx,则f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx (2)(1)式为我们提供计算Δy近似值的公式(2)式为我们提供计算f(x0+Δx)近似值的公式特别x0=0有f(Δx)≈f(0)+f′(0)Δx设Δx=x,若|x|很小时,有f(x)≈f(0)+f′(0)x,于是当|x|很小时sin≈xtsx≈x,ln (1+x)≈xex≈1+x,(1+x)α≈1+αx (α≠0)与我们前面讲的等价无穷小量完全一致.例4. 计算的近似值解 设f(x)= f′(x)=x,f′(1)=由=f(1.002)=f(1+0.002)≈f(1)+f′(1)×0.002=1=×0.002=1.00002二,误差估计从微分概念的引入可知,应用微分来估计误差,是非常方便迅速的.设x0为准确数,x*为近似的数,则x*-x0=Δx称为准确数x0的绝对误差限,若存在正数δx,使|x*-x0|=|Δx|≤δx,则称δx为绝对误差限.称 (或)为准确数的相对误差,而 (或)为相对误差限.若y=f(x),则|Δy|≈|dy|=|f′(x0)Δx|≤|f′(x0)|δxδy于是δy=|f′(x0)|δx或|f′(x*)|δx称为y的绝对误差限=δx或δx称为y的相对误差限.例5. 为了计算出球的体积精确到1%,问度量球的直径D所允许的最大相对误差是多少 解 球的体积v= ()3=由dv=dD,于是==3由≤1%有3≤1%,即≤%≈0.33%§2.4* 高阶微分若y=f(x)在区间X上可微(x为自变量),则dy=f′(x)dx这里dy不仅与x有关,与dx=Δx也有关,而Δx是与x无关的一个量.我现在是研究dy与x之间的关系.因此,在这里Δx相对于x来说是个常数,所以dy是x的函数,如果dy又可微即f〃(x)存在,则d(dy)=d(f′(x)dx)=d(f′(x))dx=f〃(x)dxdx=f〃(x)dx2称为f(x)的二阶微分,记作d2y,即d2y=f〃(x)dx2一般地若dn-1y=f(n-1)(x)dxn-1可微,即f(n)(x)存在则d(dn-1y)=d(f(n-1) (x)dxn-1)=d(f(n-1)(x))dxn-1=f(n)(x)dx·dxn-1=f(n)(x)dxn称为f(x)的n阶微分,记作dny,即dny=f(n)(x)dxn则=f(n)(x) (x为自变量)因此f(n)(x)可看成dny与dxn的商,又称n阶微商.我们知道不论u是中间变量,还是自变量,f′(u)存在(若u是中间变量,u′(x)存在)都有一阶微分不变性.dy=f′(u)du二阶有没有微分不变性呢,若x是自变量,f〃(x)存在,则d2y=f〃(x)dx2若y=f(u),u=φ(x)且f〃(u),φ〃都存在由 dy=f′(u)du,于是d2y=d(dy)=d(f′(u)du)=du·df′(u)+f′(u)d(du)=f〃(u)du du+f′(u)d2u=f〃(u)du2+f′(u)d2u由 du=dφ(x)=φ′(x)dxd2u=φ〃(x)dx2,一般情况下d2u 0同样 f′(u)d2u0因此,不具有二阶微 不变性,因此n>1,不具有微不变性,若u是中间变量=f(n)(u),仅表示对u的n阶导数.但只能看成一个整体符号,不能看成商注:d(x2),dx2,d2x的区别d(x2)=2xdx,dx2=(dx)2d2x=d(dx) 0

dy/dx是一阶微分对它的求导就是二阶微分。左边是它的简写形式。

微分方程的通解公式：1、一阶常微分方程通解dydx+p(x)y=0dydx+p(x)y=0。2、齐次微分方程通解y=ceu2212∫p(x)dx。3、非齐次微分方程通解y=eu2212∫p(x)dx(c+∫q(x)e∫p(x)dxdx)。4、二阶常系数齐次线性微分方程通解y′′+py′+qy=0(u2217)，其中p,q为常数求解Δ=r2+pr+q=0解出Δ两个根r1，r2。

常微分方程dy/dx＝e^（x－y）的通解为ln(e^x+c1)。解答过程如下：dy/dx=e^x/e^ye^ydy=e^xdxe^y=e^x+c1y=ln(e^x+c1)一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y"）=0标准形式：y"=f(x,y)常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

只需要证明：d^2x/dx^2=0.d^2x/dx^2=d(dx/dx)/dx=d(1)/dx=0

d和2之间的是什么？

=∫(∫ f(x)dx)dx连续二次不定积分，不妨用f""(x)替代f(x)就便于理解了∫∫ f""(x)dxdx=∫ (f"(x)+C1)dx=f(x)+C1x+C2,二元才是偏微分，一元仍然是常微分。

不一样。求导又名微商，计算公式：dy/dx，而微分就是dy，所以进行微分运算就是让你进行求导运算然后在结果后面加上一个无穷小量dx而已。当然这仅限于一元微积分，多元微积分另当别论。反导数，即不定积分的求法，是求导数的逆过程，求完不定积分，记住别忘了常数C。

倒立摆系统是一种非线性、多变量和绝对不稳定系统，倒立摆系统的运动轨道可以是水平的，还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义).对二级倒立摆系统的实时稳定性进行研究是现代控制理论的一个挑战，而对倒立摆系统稳定性研究的实验则是控制理论的宝贵经验.本文从两个角度对二级倒立摆的建模进行了研究，即从便于理解的运动合成角度和从便于建模的Lagarange方程角度进行推导与比较，使具有基本力学知识的读者能对二级倒立摆系统的模型有一个较好理解.1 系统描述实验中的二级倒立摆系统有以下部分组成:有效长度为90 cm的光滑导轨，可以在导轨上来回移动的小车，材料为铝的摆杆铰接在小车上，二级摆杆以同样的方式与一级摆杆相连，它们的铰接方式决定了它们在竖直平面运动，一级摆杆和二级摆杆规格相同，有效长度为525 cm.小车的驱动系统由一直流力矩伺服电机和同步带传动系统组成，小车相对参考点(即导轨的中心位置)的相对位移由电位器0测量传动带而得到，一级摆杆与竖直方向的夹角由固定在一级摆杆和小车铰接处的电位器1测量得到，二级摆杆与竖直方向的夹角由电位器通过测量两个摆的角度差.目。而间接得到.直流伺服电机产生驱动力F 使小车根据摆角的变化而在导轨上运动，从而达到二级倒立摆系统的平衡.二级倒立摆系统数学模型的建立及意义492 数学建模■级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设:1)每一级摆杆都是刚体.2)在实验过程中同步带长度保持不变.3)驱动力与放大器输入成正比并无延迟的直接施加于小车4)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有I孽擦力足够小，在建模过程中可忽略不计2,1根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型利用运动合成原理:绝对运动相对运动+牵连运动，首先对系统进行运动学分析，由于将动坐标系建在摆杆1、摆杆2的质心处便于理解，分析过程以此为基础.利用牛顿力学对系统进行动力学分析，由此得出二级倒立摆数学模型. ，利用力学中的隔离法，将二级倒立摆系统分为小车、摆杆1、摆杆2兰部分首先，对小车进行分析如图2所示，将摆杆1对小车的作用力分解为竖直方向的分力和水平方向的分力. 水平方向方程为:，一=mo2.对摆杆1和摆杆2进行受力分析如图3、4所示.● 摆杆】/ l ^.l/ - 一Ⅲ-g图3摆杆1的受力情况图2小车受力分析J0 / 黼1凡筐:/ F图4摆杆2受力分析利用牛顿第二定律和动量矩定理得一摆的运动学和动力学方程:2一2=ml +ml，l萌cos0 L-m，l萌sin0 Lm g一l+F2 = .，. .sin0l+m1fL~eos0ls_n )sin 。s 一(L. )COS根据牛顿第二定律和动量矩定理得到二摆的运动学和动力学方程:2=帕+m:L1O~cos0l+卅2厶/~2COSOz一卅2Ll sin0 一卅2 受sinm2g-Fz =m2L sin0l+m2L0~sin0:十m L P~eos0l+m2 cos02: l12 sin02一L,cos02 d t 。2.2拉格朗日方程为了得到二级倒立摆系统的动态方程应用拉格朗日方程，首先可写出L=T- =÷，卉+÷上+ 。+{m.{[音( + in )] +[击( 。s ] )+{ :( 击( +Lt sin口+ sin )] +[告(￡1COS +]2 COS )r)一m.gl c。s ] )一m2g(L,COS +t2 COS )拉格朗日方程的表达式为一等: _l_2? 面一一“ J一" ?为自由度数，亦即广义坐标数.对二级倒立摆系统有s=3， 即: ， 日，由于在实验中口和的值很小，所以在建模化简过程中用到以下近似:≈ ≈0; 一≈0; COS( 一)≈1; sin( 一)≈ 一; COS ≈COS ≈1:sin ≈ : sin则线性化后整理得到方程组如下( 。+m + :) +( .，.+m2L.)萌+ : 反=F (1)( .t.+m ) +( + . +m )萌+m L.厶蘸=( ，.+ :L )gO: 量+ :L. 萌+( +m 厝) 叫赢g12(2)(3)其中各变量意义如下:o 为小车质量; 为摆杆1质量;m 为摆杆2质量;厶为摆杆的长度:F为小车驱动力; 为小车相对中心位置的位移; 为摆杆1与竖直方向的夹角; 为摆杆2与竖直方向夹角:，.为摆杆1质心到铰接点处距离: 为摆杆2质心到铰接点处距离.本买验中， o=2.328 7kg， -=0.22 kg， :=0.16 kg，L =0.5m，， =0.32m，t2=0.26m. 由于二级倒立摆系统的运动是绝对不稳定的鞍点运动，由数学模型和实验结果可知，状态反馈控制中的极配置应满足鞍点特性，可使二级倒立摆永立不倒.3 应用在稳定性控制问题上，倒立摆既具有普遍性又具有典型性.倒摆系统作为一种控制装置，它结构简单、价格低廉，便于模拟和数字实现多种不同的控制方法，作为一个被控对象，它是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合的快速系统，只有采用行之有效的控制策略，才能使其稳定.倒立摆系统可以用多种理论和方法来实现其稳定控制，如PID、自适应、状态反馈、智能控制、模糊控制及人工神经元网络等，都能在倒立摆系统控制上得到实现，而且当一种新的控制理论和方法提出以后，在不能用理论加以严格证明时，可以考虑通过倒立摆装置来验证其正确性和实用性.倒摆系统在控制系统研究中受到普遍重视.“倒立摆系统”已被公认为自动控制理论中的典型试验设备，也是控制理论在教学和科研中不可多得的典型物理模型.通过对倒立摆系统的研究，二级倒立摆系统数学模型的建立及意义51不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的3个基础学科:力学、数学和电学(含计算机)有机的结合起来，在倒摆系统中进行综合应用.近代机械控制系统中，如直升飞机，火箭发射，人造卫星运行及机器人举重物、做体操和行走机器人步行控制等等，都存在有类似于倒立摆的稳定控制问题.在6O年代后期，作为一个典型的不稳定严重非线性系统的例证，倒立摆系统的概念被提了出来，人们习惯于用它来检验控制方法对不稳定、非线性和快速系统的控制处理能力.在实际教学中，作为验证控制策略的一种手段，倒立摆系统被提了出来.由于计算机仿真结果与实际实验总是存在很大的差别，二级倒立摆系统的研制为学生提供了理论与实践结合的可能.4 结论二级倒立摆系统是一个异常复杂而又对准确性、快速性要求很高的非线性不稳定控制问题.显然一个典型的非线性、不稳定系统的研究成果无论在理论上或是在方法论上都有重要的意义.而二级例立摆数学模型的建立对研究其稳定性具有指导作用.实验证明在此建模基础上采用状态反馈法对二级倒立摆系统的稳定控制相当成功，并可在此基础}=对其进行分析，为计算机控制提供理论与实践的依据.给分吧!!!!!

拉格朗日微分方程假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立

特征方程为：r^2+2r+5=0 根为：r=-1±2i 通解为：x=e^(-t)(C1cos2t+C2sin2t)

x^2+2x+5=0(x+1)^2=-4x1=-1+2ix2=-1-2ix=c1*e^(-1+2i)t+c2*e^(-1-2i) =Ae^(-t)sin(2t+B)A，B由初值决定

这两个当然不相等了. ∫2xdx中微元是x,或者自变量是x,而∫2xd2x中微元是2x, 因此 ∫2xdx＝x^2+C ∫2xd2x1/2*(2x)^2+C=2x^2+C

d2x/dy2是二阶导数,d2x/dy2=d(dx/dy)/dy 就是二阶导数的定义. 对于这种算符的规定,你提出质疑了? 一阶导数知道吧?dx/dy? d是算符,可不能把d直接约掉写成dx/dy=x/y呀.

首先你两个做法最后都少写了任意常数c。其次。ln(2x)=ln2 +lnx，所以两种写法只差一个常数，都是可以的。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

不可以

微分d(2x)后面的数能提到前面。df(x)=f`(x)dx，所以其实就是将2x+1对x进行求导，结果就是2，所以d(2x+1)=2dx，d叫做求微分，其实和求导一样，只不过要在求出来的导数最后加上dx。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f"(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。定义设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不随Δx改变的常量，但A可以随x改变），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。

因为这个是约定俗成的记号。二阶导，求两次导。就记作这个，其实是d/dx（dy/dx）=d^2y/dx^2。二阶导数是一阶导数的导数。从原理上看，它表示一阶导数的变化率；从图形上看，它反映的是函数图像的凹凸性。一阶导数与二阶导数简单来说，一阶导数是自变量的变化率，二阶导数就是一阶导数的变化率，也就是一阶导数变化率的变化率。连续函数的一阶导数就是相应的切线斜率。一阶导数大于0，则递增；一阶倒数小于0，则递减；一阶导数等于0，则不增不减。而二阶导数可以反映图象的凹凸。二阶导数大于0，图象为凹；二阶导数小于0，图象为凸；二阶导数等于0，不凹不凸。结合一阶、二阶导数可以求函数的极值。当一阶导数等于零，而二阶导数大于零时，为极小值点；当一阶导数等于零，而二阶导数小于零时，为极大值点；当一阶导数、二阶导数都等于零时，为驻点。

就是这样分部积分。若是定积分，仍可如此。定积分注意若更换积分变量，相应更换积分上下限。

二阶导数记号应该看一个整体，不能简单的看成两个符号的商，因而就不能在运算中约去其中的一部分。d2x是对x的二阶微分，d2x=d(dx)。dx2，是对x一阶微分的平方，(dx)^2=(dx)*(dx)。对于学物理的人来说，数学的基本概念、公式务必要搞清楚，但是一些数学上的问题不要钻得太深，不是所有数学上的东西都能在物理中找到解释。介绍微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。微分概念是在解决直与曲的矛盾中产生的，在微小局部可以用直线去近似替代曲线，它的直接应用就是函数的线性化。

微分d2x为2dx。微分d2x是对2x求微分，也就是对2x求导数。2x的导数是2，所以微分d2x为2dx。常用导数公式：1、y=c(c为常数) y"=02、y=x^n y"=nx^(n-1)3、y=a^x y"=a^xlna，y=e^x y"=e^x4、y=logax y"=logae/x，y=lnx y"=1/x5、y=sinx y"=cosx6、y=cosx y"=-sinx7、y=tanx y"=1/cos^2x8、y=cotx y"=-1/sin^2x9、y=arcsinx y"=1/√1-x^2

1、U=L(dI/dt)也就是U=电感乘以电流对时间的倒数。2、U=L*di/dt。L是电感量，di/dt代表电流对时间的导数，可以理解为电流变化的快慢。3、di/dt代表电流对时间的导数。电感L是基本单位。dI/dt是微分，表示的是单位时间内通过线圈的电流。4、电感两端的电压的相关计算公式：U=L*di/dt。L是电感量，di/dt代表电流对时间的导数，可以理解为电流变化的快慢。自感电压要看线圈两端电压变化的快慢程度，电压大小以及磁通量的变化，而次级线圈的互感电压取决与初级线圈的电压，电流和磁通量。

SI制中:div(E)=ruo/eps_0CGS制中：eps_0=1

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，先考虑他的齐次形式我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成x""+ax=0借这个方程的时候设x=exp(mt)就可以得到x"=m*exp(mt)x""=(m^2)*exp(mt)然后带回原方程就可以得到方程m^2+a=0然后你就可以得到m1=+(-a)^(1/2)，m2=-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，如果你a小于零，那么-a就大于零，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是yc=c1*exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)c1c2都是常数如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。），a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2),m2=-1*a(1/2)那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin(a^(1/2))b1b2也都是常数这个时候你再来考虑非齐次的形式也就是x""+ax=b因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设非齐次方程的特殊解为yp=k0+k1x然后yp‘=k1yp""=0代回原方程就解出k1=0，k0=b/a然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp即y=yc+yp目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。

1、求导、求微分，在英文中，是没有区别的，都是differentiate。区别是我们汉译时， 硬生生地加进去的。 2、我们把求导、求微分作了这样的区别： dy/dx，是求导，国内以绝对的优势比例，压倒性地使用y‘，对dy/dx，兴趣缺缺； dx、dy，是微分。 所以，求微分时，必须先求导。 例如， y = sinx，dy = cosx dx，看上去是微分，其实cosx的来源，就是求导的结果。 3、lim(f（x+△x）-f(x)) 这是求导的定义式中的分子部分，当然也可以当成是微分的定义式。 如果当成微分的定义式，那么lim(f（x+△x）-f(x)) = f"(x) dx 4、为什么△x=dx？ △x 是有限小的增量， dx 是无限小的增量，也就是无穷小的增量。 当△x 趋向于0时，就等于dx 。△x 中的 △ 表示的是增量，是 increasement。

1、求导、求微分，在英文中，是没有区别的，都是differentiate。区别是我们汉译时， 硬生生地加进去的。 2、我们把求导、求微分作了这样的区别： dy/dx，是求导，国内以绝对的优势比例，压倒性地使用y‘，对dy/dx，兴趣缺缺； dx、dy，是微分。 所以，求微分时，必须先求导。 例如， y = sinx，dy = cosx dx，看上去是微分，其实cosx的来源，就是求导的结果。 3、lim(f（x+△x）-f(x)) 这是求导的定义式中的分子部分，当然也可以当成是微分的定义式。 如果当成微分的定义式，那么lim(f（x+△x）-f(x)) = f"(x) dx 4、为什么△x=dx？ △x 是有限小的增量， dx 是无限小的增量，也就是无穷小的增量。 当△x 趋向于0时，就等于dx 。△x 中的 △ 表示的是增量，是 increasement。

新年好！Happy Chinese New Year ！1、全微分，total differentiation，又翻译成全导数。 意思：由于各个自变量的无穷小的变化，所引起的函数的无穷小变化。2、全增量，total increasement。 意思：由于各个自变量的有限小的变化，所引起的函数的有限小变化。3、方向导数，directional differentiation / directional derivative 意思：函数沿着某个特殊方向的空间变化率。4、全微分、全增量、方向导数，都可能正，可能负。 是正是负，由函数确定，由函数所表示的物理概念所确定。

做圆周运动，经dt运动的弧长为vdt，对应的圆心角为da=vdt/R，所以dv=2vsinda/2=vda=v^2*dt/R，因为g=dv/dt，所以v=根号(gR)。

第一宇宙速度的推导其实并不是很麻烦的过程。把这个推导的过程需要的分析方法和公式掌握了，理解了其前因后果关系，对高中物理必修2中《万有引力与航天》这个章节的学习是非常有帮助的。在讲解第一宇宙速度的推导过程前，同学们一定要知道第一宇宙速度的含义；其实，我们就是根据其含义推导的。 笔者希望同学们能够通过这篇文章，了解到所有的推论，其实都源于基本概念。高中物理必修2课本上关于第一宇宙速度的概念描述： 【物体在地面附近绕地球作匀速圆周运动的速度，叫做第一宇宙速度。第一宇宙速度大小为7.9km/s；】 宇宙速度这种解释是有前提描述的，假设为地球是一个绝对的球体（没有山脉等），同时也忽视了地球表面大气层。 绕地做圆周运动，也必然满足圆周运动的前提条件，必须有外力提供向心力。而唯一存在的指向圆心的外力，也就是地球对该物体的万有引力。 王尚注：物体已经离开地面，成为一颗“自由”的卫星，因此不再受到地面的支持力作用；只有万有引力作用在该物体上。 理解了上面的分析过程，下面的方程推导过程就很容易理解了。 第一宇宙速度的推导过程第一宇宙速度计算结果有两个表达公式，我们分别来做推导。如下：（1）因靠近地面时，轨道半径近似等于地球半径R，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地球表面所受的重力．也就是说重力提供向心力：physics如果速度小于physics，那wuli.in么由于重力比所需的向心力大，导致卫星掉回地面，故这也是最小的发射速度。（2）第一宇宙速度还可用physics来导出v=physics在卫星同绕地球运行的轨道中，地球半径是最小的轨道半径，可知此速度是最大的绕行速度。第一宇宙速度的解释第一宇宙速度分为两个别称：航天器最小发射速度、航天器最大运行速度。课堂上老师们还有一个口头禅来描述第一宇宙速度，就是擦地卫星速度。在一些问题中说，当某航天器以第一宇宙速度运行，则说明该航天器是沿着地球表面运行的。按照力学理论可以计算出v1=7.9公里/秒。在地面上向远处发射炮弹，炮弹速度越高飞行距离越远，当炮弹的速度达到“7.9千米/秒”时，炮弹不再落回地面（不考虑大气作用），而环绕地球作圆周飞行，这就是第一宇宙速度。第一宇宙速度也是人造卫星在地面附近绕地球做“匀速圆周运动”所必须具有的速度。但是随着高度的增加，地球引力下降，环绕地球飞行所需要的飞行速度也降低，所有航天器都是在距地面很高的大气层外飞行，所以它们的飞行速度都比第一宇宙速度低。

这最基本的定理，课本上应该有证明的撒，打这种符号最讨厌的说

你可以理解为：罗尔定理是证明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的一个工具，多看看课本认真理解一下

通过导数来计算原函数的奇偶性，需要验证导函数的奇偶性（导函数可以为非0的常数）。因为原函数与导函数的周期始终不变，原函数与导函数的奇偶性互换。函数的奇偶性判断，对于函数f(x)⑴如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x），那么函数f(x）就叫做奇函数。⑵如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x），那么函数f(x）就叫做偶函数。⑶如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x）与f(-x)=f(x）同时成立，那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。⑷如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x）或f(-x)=f(x）都不能成立，那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。例如：求f(x)=x^2+1（x∈R）的奇偶性求导得：f"(x)=2x，f"(x)=2x是奇函数，所以原函数f(x)=x^2+1为偶函数。

这个其实真的很复杂,具体问题要具体分析的,积分的难点就在于没有固定方法. 这个问题笼统点回答就是： 1、当我们遇到 ∫ f(g(x))g"(x)dx 时,如果发现 ∫f(u)du这个积分较简单, 则将 ∫ f(g(x))g"(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x)),来计算,这就是凑微分法（也叫第一类换元）； 2、换元法正好相反,我们遇到的是∫f(u)du,不好做,需要令u=g(x)化为∫ f(g(x))g"(x)dx, 并且∫ f(g(x))g"(x)dx较为简单,这个时候用换元法（也叫第二类换元）. 简单来说就是：凑微分是∫ f(g(x))g"(x)dx= ∫ f(g(x))d (g(x)) 换元法是倒过来：∫ f(g(x))d (g(x))=∫ f(g(x))g"(x)dx 另外理论上来说,两个方法是相通的,能用这个就一定能用另一个,当然实际当中观察会有很大困难.

电容电量变化dq电路就流过电量dq，用时间dt，电流I=dq/dt根据电容公式q=Cu，dq=Cdu得I=dq/dt=Cdu/dt线性电容元件的电压电流关系：1：设电压、电流为时间函数，现在求其电压、电流关系。当极板间的电压变化时，极板上的电荷也随之变化，于是在电容元件中产生了电流。此电流可由下式求得 ：I=dq/dt =C(du/dt) 　　2：上式表明，电流的大小与方向取决于电压对时间的变化率。3：电压增高时，du/dt〉0，则dq/dt〉0，i〉0,极板上电荷增加，电容器充电；电压降低时，du/dt〈0，则dq/dt〈0，i〈0,极板上电荷减少，电容器反向放电。当电压不随时间变化时，du/dt=0，则I=0,这时电容元件的电流等于零，相当于开路。故电容元件有隔断直流的作用。

function[x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点,n=floor((b-a)/h);%求步数x(1)=a;%时间起点y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数forii=1:nx(ii+1)=x(ii)+h;k1=ufunc(x(ii),y(:,ii));k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k1/2);k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k2/2);k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+h*k3);y(:,ii+1)=y(:,ii)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;%按照龙格库塔方法进行数值求解end这是给你编的定步长龙哥库塔，即ode4

常用的微分运算法则 万次阅读 2015-09-28 22:16:39机器学习涉及到较多的数学知识，在工程应用领域，这些数学知识不是必要的，其实...本文直接给出常用的微分运算法则，并运用这些法则来计算分类回归算法 (Logistic Regression) 预测模型 Sigmoid Function 的微分公式。 展开全文 机器学习 数学 函数 算法微分的概念和微分的基本公式与运算法则 千次阅读 2019-11-06 16:54:53本文主要介绍了微分的概念，微分的基本公式与运算法则，复合函数的微分法则 展开全文 向量微分公式_loyxCCS的博客-CSDN博客函数对向量的微分 运算法则: 线性法则:u2207 x ( a f ( x ) + b g ( x ) ) = a u2207 x f ( x ) + b u2207 x g ( x ) , a , b ∈ R...机器学习--基础--微分_xiaoxifei的专栏-CSDN博客第三种方案,符号微分的方案也并不是非常完美,以下面的示例为例: 可以看出,当函数简单时d f d x frac{df}{dx}dxdfu200b的形式比较简单,但是从链式法则的定义...Matlab学习——求解微分方程(组) 万次阅读 多人点赞 2018-05-29 17:18:58函数 dsolve 用来解决常微分方程（组）的求解问题，调用格式为 X=dsolve(‘eqn1","eqn2",…) 如果没有初始条件，则求出通解，如果有初始条件，则求出特解 系统缺省的自变量为 t。 2.函数d... 展开全文 matlab微分方程解法总结 万次阅读 多人点赞 2019-06-19 17:59:45微分方程是一种描述函数与其导数关系的数学方程，它的解通常是函数，而初等代数中方程的解通常为数值。 2，分类 2.1 常微分方程与偏微分方程 常微分方程的未知数是单一变量的函数。表达通式为： f(x,y,y′,y′′,...... 展开全文 高等数学:第二章 导数与微分(3)函数微分 近似计算_Garf..._CSDN博客五、基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 由于函数的微分与导数是等价的,因此,函数的求导法则与求导公式,可以照搬到函数的微分。微分_weixin_45781827的博客-CSDN博客二阶微分:若dy=f"(x)dx可微时,称它的微分d(dy)为y的二阶微分,当二阶微分可微时,称它的微分为三阶微分,一般的,当y的n-1阶微分可微时,称它的微分为...微分方程 千次阅读 2019-10-14 23:52:254.1 秘籍内容 前人的不断探索，才有现在的好功夫，但是我们学习同时懂得创新。 此功夫在科技、工程、经济管理以及生态、环境、人口、交通等各个领域大有作为，因为是研究函数变化规律的有力工具。... 数学建模matlab求解常微分方程（组）---dsolve、ode系列函数详解（含例程） 万次阅读 多人点赞 2019-01-22 17:08:13本文主要介绍matlab中求解常微分方程（组）的dsolve和ode系列函数，并通过例子加深读者的理解。 一、符号介绍 D: 微分符号；D2表示二阶微分，D3表示三阶微分，以此类推。 二、函数功能介绍及例程 1、dsolve ...微积分公式与解法大全_lenggege1的博客-CSDN博客1 微积分运算法则 设函数 u u u、 v v v均为可导函数, k k k、 l l l为常数。 序号导数微分 1 ( k u + l v ) ′ = k u ′ + l v ′...计算方法(向量/矩阵微分)_Raywit的博客-CSDN博客_向量矩阵计算公式f ( x ) = ( x , a ) = a T x = x T a 因 此 d f d x = a f(x)=(x,a)=a^{T}x=x^{T}a 因此frac{df}{dx}=af(x...用MATLAB求解微分方程及微分方程组 2015-04-03 20:25:35用MATLAB求解微分方程及微分方程组方法介绍和例子。Matlab偏微分方程 基础知识（线性偏微分方程+常系数线性偏微分方程） | 偏微分方程（一） 2020-05-03 00:55:49偏微分方程：指含有多元未知函数u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)u=u(x),x=(x1u200b,x2u200b,...,Xnu200b)及其若干阶偏导数的关系式 F(x,u,u2202uu2202x1,u2202uu2202x2,...,u2202uu2202xn,...,u2202muu2202x1m1u2202x2m2...u2202xnmn)=0 ...祝你学习进步，逢考必过，鹏程万里，前程似锦，金榜题名。

位移式：d^2x/(dt^2)+g=0 dx/(dt)+gt-v0=0速度式：dv/(dt)+g=0

先求导，微分＝导数×dxdy＝y‘dx过程如下图：微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。拓展资料设函数y = f(x)在x的邻域内有定义，x及x + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x是可微的，且AΔx称作函数在点x相应于因变量增量Δy的微分，记作dy，即dy = AΔx。函数的微分是函数增量的主要部分，且是Δx的线性函数，故说函数的微分是函数增量的线性主部（△x→0）。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f"(x)dx。函数因变量的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。参考资料：百度百科-微分

例如xe^x，根据函数乘积的微分公式，有d(xe^x)=dx*e^x+xd(e^x)=e^xdx+xe^xdx，因此有xe^xdx=d(xe^x)-e^xdx，两边积分得，∫xe^xdx=∫d(xe^x)-∫e^xdx=xe^x-∫e^xdx，这不正是和按照分部积分公式得出的结果一样吗，继续计算就有∫xe^xdx=xe^x-e^x

全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。条件分析全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。若微分形式的一阶方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

x=1,y=2z= ln(1+x^2+y^2)dz = 2(xdx+ydy)/(1+x^2+y^2)dz|(x,y)=(1,2)=2(dx+2dy)/(1+1+4)=(1/3)(dx+2dy)

全微分存在的充要条件：如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微，那么该函数在该点的偏导数必定存在。如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量。Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)。可以表示为：Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分。扩展资料判别可微方法：(1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微；(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微；(3)若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy或dz=f"x(x, y)Δx + f"y(x, y)Δy

高等数学全微分公式如下：设函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)，可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])；此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy，该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。扩展资料：1、如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。2、若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。3、若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。4、若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。

全微分存在的充要条件：如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微，那么该函数在该点的偏导数必定存在。如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量。Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)。可以表示为：Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分。扩展资料判别可微方法：(1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微；(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微；(3)若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

考虑全微分都是分两步走：第一步，先计算偏导数。af/ax=1+ycosxy，x>0时；=--1+ycosxy，当x<0时；在x=0的点（即y轴上）没有偏导数；因此f不可微。只要偏导数不存在，则函数必不可微。第二步：在偏导数存在的前提条件下，若偏导数是连续函数，则必可微；若偏导数不连续，没有别的方法了，只能用定义来判断是否可微。

这两个概念有联系也有区别.区分：以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息,那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.这是一个直接的概念.而所谓的全微分,则是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小.(你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).拓展资料：全微分方程，又称恰当方程。若存在一个二元函数u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端为全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，则称其为全微分方程。全微分方程的充分必要条件为u2202M/u2202y=u2202N/u2202x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。如果函数z=f(x,y)在(x,y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx,Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x,y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx+BΔy该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

这个是楼上没求完

全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。条件分析全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。若微分形式的一阶方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

dz=AΔx +BΔy该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。为了引进全微分的定义，先来介绍全增量。设二元函数z = f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx，Δy时函数取得的增量。判别可微方法(1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微；(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微；

1、函数z=f(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和。 2、fx(x,y)△x+fy(x,y)△y。 3、若该表达式与函数的全增量△z之差， 4、当ρ→0时，是ρ()的高阶无穷小， 5、那么该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。 6、记作：dz=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y。

1、函数z=f(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)分别与自变量的增量△x,△y乘积之和。2、fx(x,y)△x+fy(x,y)△y。3、若该表达式与函数的全增量△z之差，4、当ρ→0时，是ρ()的高阶无穷小，5、那么该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于△x,△y)的全微分。6、记作：dz=fx(x,y)△x+fy(x,y)△y。

全微分存在的充要条件：如果函数z=f（x，y）在点（x，y）可微，那么该函数在该点的偏导数必定存在。如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量。Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)。可以表示为：Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分。扩展资料判别可微方法：(1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微；(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微；(3)若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。

1、含义上的区别全导数：设z是u、v的二元函数z=f(u,v)，u、v是x的一元函数u=u(x)、v=v(x)，z通过中间变量u、v构成自变量x的复合函数。这种两个中间变量、一个自变量的多元复合函数是一元函数，其导数称为全导数。全微分：表达式dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。2、定理上的区别全导数：一一型锁链法则在中间变量只有一个时可得；二一型锁链法则，设u=u(x)、v=v(x)在x可导，z=f(u,v)在相应点(u,v)有连续偏导数，则复合函数z=f(u(x),v(x))在x可导；三一型锁链法则，在中间变量多于两个时可得。全微分：函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B；若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。3、特性上的区别全导数的出现可以作为一类导数概念的补充，其中渗透着整合全部变量的思想。全微分可推广到三元及三元以上函数。函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数。参考资料来源：百度百科-全导数参考资料来源：百度百科-全微分

全微分的定义 函数z=f(x, y) 的两个偏导数f"x(x, y), f"y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和 f"x(x, y)△x + f"y(x, y)△y 若该表达式与函数的全增量△z之差, 当ρ→0时,是ρ( ) 的高阶无穷小, 那末该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分. 记作：dz=f"x(x, y)△x + f"y(x, y)△y

全微分是先对X求导,所得乘d(X),在对Y求导,所得乘d(Y),再把两个先加就是全微分全增量是这点的X增加△X,Y增加△Y.△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）.且对△Z取极限等于0.那么△Z就是函数Z=f(X,Y)在点（X1,Y1）处的全增量.也就是X,Y同时获得增量.1.全微分就是全增量的增量趋近0时的极限。2.以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息, 那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.3.全微分,是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小. (你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).

全微分基本公式是dz=z"(x)dx+z"(y)dy。如果函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])。全微分定义全微分是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部，一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微，存在条件全微分继承了部分一元函数实函数的微分所具有的性质。但两者间也存在差异，从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理，充分条件一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是，此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续。

高等数学全微分公式如下：设函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)，可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])；此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy，该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。扩展资料：1、如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。2、若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。3、若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。4、若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。

dz是先对x求偏导，再对y求偏导，再相加。dz ＝ z＇（x） dx ＋ z＇（y） dy ＝ ydx ＋xdy其中z＇（x）是z对x求偏导数，那个公式字符不太好显示，就是和dz／dx对应的那个偏的。为了引进全微分的定义，先来介绍全增量。设二元函数z = f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx，Δy时函数取得的增量。判别可微方法：(1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。

你铅笔标示地方的原因是：引着OA，因为在x轴上，y=0，所以xy2=0，所以积分等于0； 这个问题考察的知识点可以这样考虑：知道一个二元函数U（x,y）的微分表达式，如何去求这个二元函数。 注意到du=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，而是否任意的形如“P(x,y)dx+Q(x,y)dy”都是某个二元函数的全微分形式呢？不是的。如dx+xdy就不会是某个二元函数的微分形式。 能写成某个二元函数的全微分形式必定满足： 这样，原式是某个二元函数的全微分形式。而且这个函数在平面内都是可微的。现在要求原函数的表达式，即求函数在（x，y）点的值,需要将全微分形式在两个点之间的路径上求积分。而由格林公式，可以知道，积分值与路径无关。这里的左边恰好等于0，L是闭路，可以拆成两条路径（方向相反）。因此就有了答案所示。答案不完善的地方是，题目应该给定在（0，0）点出函数值为0。

微分在数学中的定义：由函数B=f(A)，得到A、B两个数集，在A中当dx靠近自己时，函数在dx处的极限叫作函数在dx处的微分，微分的中心思想是无穷分割。微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分。记为dz即dz=AΔx +BΔy该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。扩展资料：判别可微方法（1）若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。（2）若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。微分是一个鉴别函数（在指定定义域内）为增函数或减函数的有效方法。鉴别方法：dy/dx与0进行比较，dy/dx大于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为正值，所以函数为增函数；dy/dx小于0时，说明dx增加为正值时，dy增加为负值，所以函数为减函数。例1：分析函数y=x^2-1 的增减性∵y=x^2-1∴dy/dx=2x当x>0时，dy/dx>0，所以函数y=x^2-1在x>0时是增函数；当x<0时，dy/dx<0，所以函数y=x^2-1在x<0时是减函数。参考资料：百度百科-微分参考资料：百度百科-全微分

全微分方程是指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。它与微分方程区别是常微分方程主要是解得的未知函数是一元函数的微分方程，而偏微分方程主要内容为解得的未知函数是多元函数的微分方程。条件分析全微分方程的充分必要条件为∂M/∂y=∂N/∂x。为了求出全微分方程的原函数，可以采用不定积分法和分组法，对于不是全微分方程，也可以借助积分因子使其成为全微分方程，再通过以上方法求解。若微分形式的一阶方程P(x，y)dx+Q(x，y)dy=0的左端，而恰好是一个二元函数U（x，y）的全微分，即 dU(x，y)=P(x，y)dx+Q(x，y)dy。

1、含义上的区别全导数：设z是u、v的二元函数z=f(u,v)，u、v是x的一元函数u=u(x)、v=v(x)，z通过中间变量u、v构成自变量x的复合函数。这种两个中间变量、一个自变量的多元复合函数是一元函数，其导数称为全导数。全微分：表达式dz=fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy，称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。2、定理上的区别全导数：一一型锁链法则在中间变量只有一个时可得；二一型锁链法则，设u=u(x)、v=v(x)在x可导，z=f(u,v)在相应点(u,v)有连续偏导数，则复合函数z=f(u(x),v(x))在x可导；三一型锁链法则，在中间变量多于两个时可得。全微分：函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B；若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。3、特性上的区别全导数的出现可以作为一类导数概念的补充，其中渗透着整合全部变量的思想。全微分可推广到三元及三元以上函数。函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数。参考资料来源：百度百科-全导数参考资料来源：百度百科-全微分

全微分是先对X求导,所得乘d(X),在对Y求导,所得乘d(Y),再把两个先加就是全微分全增量是这点的X增加△X,Y增加△Y.△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）.且对△Z取极限等于0.那么△Z就是函数Z=f(X,Y)在点（X1,Y1）处的全增量.也就是X,Y同时获得增量.1.全微分就是全增量的增量趋近0时的极限。2.以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息, 那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.3.全微分,是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小. (你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).

全微分的条件是： 全微分于某点存在的充分条件：函数在该点的某邻域内存在所有偏导数且所有偏导数于此点连续。 全微分于某点存在的必要条件：该点处所有方向导数存在(还有函数于该点连续等一堆显然的推论。 全微分于某点存在的充要条件：对于二元函数事实上就是其几何意义。

dz是先对x求偏导，再对y求偏导，再相加。dz ＝ z＇（x） dx ＋ z＇（y） dy ＝ ydx ＋xdy其中z＇（x）是z对x求偏导数，那个公式字符不太好显示，就是和dz／dx对应的那个偏的。为了引进全微分的定义，先来介绍全增量。设二元函数z = f (x, y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，当变量x、y点(x,y)处分别有增量Δx，Δy时函数取得的增量。判别可微方法：(1)若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。(2)若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。

全微分基本公式是dz=z"(x)dx+z"(y)dy。如果函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])。全微分定义全微分是微积分学的一个概念，指多元函数的全增量的线性主部，一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续，则此函数在该点可微，存在条件全微分继承了部分一元函数实函数的微分所具有的性质。但两者间也存在差异，从全微分的定义出发，可以得出有关全微分存在条件的多个定理，充分条件一个多元函数在某点的全微分存在的充分条件是，此函数在该点某邻域内的各个偏导数存在且偏导函数在该点都连续。

函数z=f(x, y) 的两个偏导数f"x(x, y), f"y(x, y)分别与自变量的增量△x, △y乘积之和f"x(x, y)△x + f"y(x, y)△y若该表达式与函数的全增量△z之差，当ρ→0时，是ρ( )的高阶无穷小，那么该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于△x, △y)的全微分。记作：dz=f"x(x, y)△x + f"y(x, y)△y定理1如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。定理2若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。以上内容参考：百度百科-全微分

简单计算一下即可，答案如图所示

全微分是先对X求导,所得乘d(X),在对Y求导,所得乘d(Y),再把两个先加就是全微分全增量是这点的X增加△X,Y增加△Y.△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）.且对△Z取极限等于0.那么△Z就是函数Z=f(X,Y)在点（X1,Y1）处的全增量.也就是X,Y同时获得增量.1.全微分就是全增量的增量趋近0时的极限。2.以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息, 那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.3.全微分,是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小. (你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).

可以利用微分的性质直接计算全微分或先求出一阶偏导数再求全微分。设函数z=f(x，y)在(x，y)处的全增量Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)，可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx，Δy，仅与x，y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])此时称函数z=f(x，y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x，y)在点(x，y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx+BΔy，该表达式称为函数z=f(x，y)在(x，y)处(关于Δx，Δy)的全微分。

　　微分是对函数的局部变化的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的变化量取值作足够小时，函数的值是怎样改变的。比如，x的变化量△x趋于0时，则记作微元dx。　　全微分定义：　　函数z=f(x,y)的两个偏导数f"x(x,y),f"y(x,y)分别与自变量的增量Δx,Δy乘积之和　　fx(x,y)Δx+fy(x,y)Δy或f"x(x,y)Δx+f"y(x,y)Δy　　若该表达式与函数的全增量Δz之差，　　是当ρ→0时的高阶无穷小（ρ=√[(Δx)2+(Δy)2]）,　　那么该表达式称为函数z=f(x,y)在(x,y)处(关于Δx,Δy)的全微分。　　在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量映射到变化量的线性部分的线性映射。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

全微分是先对X求导,所得乘d(X),在对Y求导,所得乘d(Y),再把两个先加就是全微分全增量是这点的X增加△X,Y增加△Y.△Z=f(X1+△X,Y1+△Y)-f(X1,Y1）.且对△Z取极限等于0.那么△Z就是函数Z=f(X,Y)在点（X1,Y1）处的全增量.也就是X,Y同时获得增量.1.全微分就是全增量的增量趋近0时的极限。2.以二元函数z=f(x,y)为例,考虑一点(x,y),当该点受到扰动后,我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息, 那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)就是全增量.3.全微分,是对全增量一个较好的近似,按照处理问题的习惯,全微分是全增量的线性主要部分,也就意味着全微分是dz=AΔx+BΔy的形式,同时,作为主要部分,dz-Δz必须是(Δx^2+Δy^2)^(1/2)高阶无穷小. (你无法用Δx或者Δy来衡量,因此选择上述形式).

解析如下：设z=xy，则两个偏导数分别为zx=y，zy=x。所以，dz=zx·dx+zy·dy=ydx+xdy。如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A、B不依赖于Δx, Δy，仅与x,y有关，ρ趋近于0(ρ=√[(Δx)2+(Δy)2])，此时称函数z=f(x, y)在点（x，y）处可微分，AΔx+BΔy称为函数z=f(x, y)在点(x, y)处的全微分，记为dz即dz=AΔx +BΔy。该表达式称为函数z=f(x, y) 在(x, y)处(关于Δx, Δy)的全微分。相关定义：1、如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。2、若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。3、若f (x,y)在点(x0, y0)不连续，或偏导不存在，则必不可微。4、若f (x,y)在点(x0, y0)的邻域内偏导存在且连续必可微。

全微分是先对X求导，所得乘d(X)，在对Y求导，所得乘d(Y)，再把两个先加就是全微分。全增量是这点的X增加△X，Y增加△Y，△Z=f(X1+△X，Y1+△Y)-f(X1，Y1），且对△Z取极限等于0，那么△Z就是函数Z=f(X，Y)在点（X1,Y1）处的全增量，也就是X，Y同时获得增量。全微分就是全增量的增量趋近0时的极限。以二元函数z=f(x，y)为例，考虑一点(x，y)，当该点受到扰动后，我们实际要处理的点是(x+Δx,y+Δy)处的信息，那么然后前后函数值的变化Δz=f(x+Δx，y+Δy)-f(x，y)就是全增量。扩展资料：如果函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处可微，则z=f（x，y）在p0（x0，y0)处连续，且各个偏导数存在，并且有f′x（x0，y0）=A，f′y（x0，y0）=B。若函数z=f（x，y）在点p0（x0，y0）处的偏导数f′x，f′y连续，则函数f在点p0处可微。函数若在某平面区域D内处处可微时，则称这个函数是D内的可微函数，全微分的定义可推广到三元及三元以上函数。设函数z=f（x,y）在点P（x,y）的某邻域内有定义，P‘（x+△x，y+△y）为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差△z=f（x+△x，y+△y）- f（x，y）称为函数在点P（x,y）对应自变量△x，△y的全增量。参考资料来源：百度百科--全增量参考资料来源：百度百科--全微分