微分方程

例如dy/dx=y/x…………可分离变量微分方程--->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程积分之棏lny=lnx+lnC--->y=Cx.(x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量--->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。

dy/dx=√(1-y^2) 分离变量得： dy/√(1-y^2)=dx 两边积分得通arcsiny=x+C 或：y=sin(x+C)

提示：2.dy/dx = tan(x)*tan(y)dy/tan(y) = tan(x)*dxcos(y)*dy/sin(y) = sin(x)*dx/cos(x)d(sin(y))/sin(y) = -d(cos(x))/cos(x)3.(x*y+x^3*y)*dy = (1+y^2)*dx(x+x^3)*y*dy = (1+y^2)*dxy*dy/(1+y^2) = dx/(x+x^3)d(y^2)/(1+y^2) = d(x^2)/(x^2+x^4)d(y^2)/(1+y^2) = d(x^2)/x^2 - d(x^2)/(x^2+1)4.y"*(1-x) = a*y^2 + a*y"y"*(1-x-a) = a*y^2 (1-x-a)*dy = a*y^2 *dxdy/(y^2) = a*dx/(1-a-x)

先看定义:形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程,称为可分离变量的微分方程.举个例子:dy/dx=xy→分离变量,得(1/y)dy=xdx(这一步其实就是移项,g(y)函数跟dy放一块,f(x)函数跟dx放一块)g(y)是y的函数f(x)是x的函数

du/dx = -[(x+2)/(x+1)] uu222bdu/u = -u222b[(x+2)/(x+1)] dxln|u| = -u222b[1+ 1/(x+1)] dx =-x -ln|x+1| +C"u = e^[-x -ln|x+1| +C"] = [C/(x+1)].e^(-x)

其实积分号∫和d直接相遇后，就等于d后面跟着的东西，这是不定积分运算法则。和d后面跟的什么东西无关。而这里，两边同时取积分也是这个意思。也可以这样理解dy/y=3xdxdy/dx*1/y*dx=3xdx，这样两边就都是对x积分了∫dy/dx*1/y*dx= ∫3xdx左边相当于凑微分即∫dy/y= ∫3xdxln|y|=3x^2/2+Cy=Ce^(3x^2/2)

形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解可分离变量的微分方程的方法为：（1）将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx。（2）等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。例如：一阶微分方程dy/dx=F(x)G(y)。第二步dy/(G(y)dx)=F(x)。第三步∫（dy/G(y)）=∫F(x)dx+C。得通解。特点常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

变量分离适用于解可以将xy分别放置等号两边的方程.形如y"=f(x)g(y)的微分方程就是可分离变量的微分方程这类方程可以用积分方法求解的化简得dy/g(y)=f(x)dx再两端积分设G(y)F(x)分别是是1/g(y)，f(x)的原函数所以G(y)=F(x)+c就是通解dy/dx=y/x是可分离变量微分方程dy/dx=y/x得到dy/y=dx/x但是很多齐次微分方程并不能将x,y分开写两边,这时候就得考虑下面了.而齐次微分方程是通过变量分离以及其他一些手段预先解出来的一个可以当作公式使用的便利形式.

先看定义:形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程,称为可分离变量的微分方程。如果方程能化为 ∫g(y)dy=∫f(x)dx，则就是分离变量的微分方程。求解可分离变量的微分方程的方法为：将方程分离变量得到:g(y)dy=f(x)dx；等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。形如f(x)g(y)dx=d(x)e(x)dy的方程叫做可分离变量微分方程。例如dy/dx=y/x……可分离变量微分方程--->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程积分之??lny=lnx+lnC--->y=Cx.(x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量--->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1--->1+y^2=C(1+x^2可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。一些复杂一点的微分方程尽可能地化成可分离变量微分方程，如果能够做到，问题就得到解决。扩展资料：常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求解可分离变量的微分方程的方法为：（1）将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx;（2）等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C参考资料来源:百度百科-可分离变量微分方程

1、先看定义:形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程,称为可分离变量的微分方程。如果方程能化为 ∫g(y)dy=∫f(x)dx,则就是分离变量的微分方程。 2、求解可分离变量的微分方程的方法为：将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx;等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。

例如dy/dx=y/x…………可分离变量微分方程--->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程积分之棏lny=lnx+lnC--->y=Cx.(x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量--->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。

形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解可分离变量的微分方程的方法为：（1）将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx。（2）等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。例如：一阶微分方程dy/dx=F(x)G(y)。第二步dy/(G(y)dx)=F(x)。第三步∫（dy/G(y)）=∫F(x)dx+C。得通解。特点常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解可分离变量的微分方程的方法为：（1）将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx。（2）等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。例如：一阶微分方程dy/dx=F(x)G(y)。第二步dy/(G(y)dx)=F(x)。第三步∫（dy/G(y)）=∫F(x)dx+C。得通解。特点常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

1.凡经过积分的不定积分，均需加常数c(constant)，至于加c1或c2或c，这本身不是问题，你也可以用a、b等随意一个字母来表示，不过一般是用c，因为它是英文constant的首字母。只是为了区分各个步骤中的常数，防止混乱，并且每经过一步运算，常数在下一步中可能变成了另一个常数，所以变换一下，只是为了区分，没有什么意义。2。说e的c1次幂是任意常数是对的，因为c1是任意常数，当然e的幂次方也就是常数喽。用e不是随便用的，地在积分运算过程中产生的，比如e^x这样的式子积分后，或者1/x类似的式子积分后的lnx，为了便于计算，会转化为指数e的式子，如上式即是。

那lnx-1+lnC求导是啥? .....拉出去切JJ哦~Inx=1/xIn(x-1)=??

一阶微分方程的常见形式是y"=f(x,y)的样子。1、如果右边的函数f(x,y)是零次齐次函数，则这种一阶方程称为一阶齐次型方程。k次齐次函数指的是存在一个常数k，使得f(tx,ty)=t^k*f(x,y)，比如x+y是一次齐次函数，xy是二次齐次函数。如果k＝0，f(x,y)是零次齐次函数，即f(tx,ty)=f(x,y)，此时f(x,y)=f(x*1,x*y/x)=f(1,y/x)，可写成g(y/x)的结构。所以一阶齐次方程的常见形式是y"=g(y/x)的样子。2、如果右边的函数f(x,y)是关于y的线性函数P(x)y+Q(x)，则称微分方程y"=P(x)y+Q(x)为一阶线性方程，与y完全无关的项Q(x)=0时为齐次线性方程，Q(x)≠0时为非齐次线性方程。两者的交叉就是P(x)=a/x，Q(x)=0，其中a为非零常数的时候。

可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。例如：dy/dx=y/x…………可分离变量微分方程。--->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程。积分之棏lny=lnx+lnC--->y=Cx。(x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量。--->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量。积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1。可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。含义通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。

微分方程当中x,y都可以认为是函数，例如x(t)，y(t)，dx就是x对t求导，dy就是y对t求导，当然可以乘过去。3xx"=y"/y两边同时对t积分，∫3xx"dt=∫3xdx。∫y"/ydt=∫1/ydy。所以两边可以同时取积分，也自然可以移项或者通分。因为非数学或者微分相关的工科专业不涉及柯西问题，所以并不写明x,y都是t的函数，但实际上x,y本身就都是t的函数，所有的运算都是满足的，例如dy/dx=y"(t)/x"(t)=y"(x)。这一点在高数学到高阶微分方程或者微分方程组的时候有少量体现。

1、可分离变量的方程经简单变形后，等式左边只出现变量y（没有x），等式右边只出现x（没有y），故名“可分离变量的方程”2、齐次方程可变形为 y"=φ(y/x)，若将y换成x、2x等，则右式变为常数。右式称为齐次函数，故名“齐次方程”3、一阶线性微分方程形如 y"+p(x)y=q(x)，如果写作y"+p(x)y-q(x)＝0，再将x换成常数，则左式为y"和y的线性函数由于不含二阶以上导数，因此称“一阶”综上，故名“一阶线性微分方程”4、可降阶的高阶方程阶是指导数的阶数，含二阶以上导数的称高阶方程。如二阶方程y"=2y"，将2y"换成u，则方程变为u"=2，降为一阶方程。这就是“可降阶的高阶方程”5、线性微分方程线性是指线性函数，如a1x1+a2x2+…+anxn+a0就是x1,x2,…,xn的线性函数。例如二阶线性微分方程形如y"+p1(x)y"+p2(x)y-f(x)=0如果将x换成常数，则左式变为y",y",y的线性函数。

化为可分离变量方程是解一阶微分方程的方法

形如y"=f(x)g(y)的微分方程就是可分离变量的微分方程 这类方程可以用积分方法求解的 化简得 dy/g(y)=f(x)dx 再两端积分 设 G(y)F(x)分别是是1/g(y),f(x)的原函数 所以 G(y)=F(x)+c就是通解 没法通俗 记住就行了

具体是什么方程呢，实际上可以通过很多方法来做的

解：∵dT/dt=-k(T-20)==>dT/(T-20)=-kdt==>lnlT-20l=lnlCl-kt (C是非零常数)==>T-20=Ce^(-kt)==>T=Ce^(-kt)+20∴此方程的通解是T=Ce^(-kt)+20 (C是非零常数)

指可以将y，dy和x，dx分别归到等号的一边的微分方程。

你这道题不是二阶微分方程吗？二阶微分方程还能用分离变量的方法求吗？书上说：“能化为g（y）dy=f(x)dx的一阶微分方程就称为可分离变量的微分方程..你这应该是二阶常系数线性齐次微分方程了吧..其一般形式是（d^2 y)/dx^2+p（x）dy/dx+Q(x)y=0本想帮你把二阶常系数线性齐次微分方程的解法打上来，但符号太麻烦了...baidu还比较白..你再网上一查就能查到...对微分方程略知一二，有不对的地方..包涵..

因为齐次的式子等号右边为0 等号左边的变量就可以移到等号右边去 就可以分离变量 如果是非其次 右边还多常数项 问题就变得复杂了 不能分离变量

定义：形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解可分离变量的微分方程的方法为：（1）将方程分离变量得到：dyg(y)=f(x)dx;（2）等式两端求积分，得通解：∫dyg(y)=∫f(x)dx+c.例如：一阶微分方程dy/dx=f(x)g(y)第二步dy/(g(y)dx)=f(x)第三步∫（dy/g(y)）=∫f(x)dx+c得通解。

微分方程当中x,y都可以认为是函数,例如x(t),y(t),dx就是x对t求导,dy就是y对t求导,当然可以乘过去.3xx"=y"/y两边同时对t积分,∫3xx"dt=∫3xdx.∫y"/ydt=∫1/ydy.所以两边可以同时取积分,也自然可以移项或者通分.因为非数学或者微分相关的工科专业不涉及柯西问题,所以并不写明x,y都是t的函数,但实际上x,y本身就都是t的函数,所有的运算都是满足的,例如dy/dx=y"(t)/x"(t)=y"(x).这一点在高数学到高阶微分方程或者微分方程组的时候有少量体现.

是为了方便计算

步骤为：先分离变量，将y与x分开，得到f(y)dy=g(x)dx的形式，然后两边分别积分，得到F(y)=G(x)+c，就可以求出通解

例如 dy/dx=y/x…………可分离变量微分方程 --->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程 积分之棏lny=lnx+lnC--->y=Cx. (x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量 --->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量 积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1 可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程.

1、形如y=f(x)g(y)的微分方程就是可分离变量的微分方程 2、这类方程可以用积分方法求解的 3、化简得 dy/g(y)=f(x)dx 再两端积分 4、设 G(y)F(x)分别是是1/g(y),f(x)的原函数 5、所以 G(y)=F(x)+c就是通解 没法通俗 记住就行了

1、先看定义:形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程,称为可分离变量的微分方程。如果方程能化为∫g(y)dy=∫f(x)dx,则就是分离变量的微分方程。2、求解可分离变量的微分方程的方法为：将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx;等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。

形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。求解可分离变量的微分方程的方法为：（1）将方程分离变量得到：g(y)dy=f(x)dx。（2）等式两端求积分，得通解：∫g(y)dy=∫f(x)dx+C。例如：一阶微分方程dy/dx=F(x)G(y)。第二步dy/(G(y)dx)=F(x)。第三步∫（dy/G(y)）=∫F(x)dx+C。得通解。特点常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。例如：dy/dx=y/x…………可分离变量微分方程。--->dy/y=dx/x……已分离变量微分方程。积分之棏lny=lnx+lnC--->y=Cx。(x+xy^2)dx=(y+yx^2)dy…………可分离变量。--->ydx/(1+y^2)=xdy/(1+x^2)……已分离变量。积分得到1/2*ln(1+y^2=1/2*ln(1+x^2+lnC1。可分离变量微分方程是最为简单的一种微分方程。含义通过方程求解可以免去逆向思考的不易，直接正向列出含有欲求解的量的等式即可。方程具有多种形式，如一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等等，还可组成方程组求解多个未知数。在数学中，一个方程是一个包含一个或多个变量的等式的语句。 求解等式包括确定变量的哪些值使得等式成立。 变量也称为未知数，并且满足相等性的未知数的值称为等式的解。

数学术语形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。[1]中文名可分离变量微分方程外文名Separable Equation定义形如dy/dx=f(x)/g(y)的微分方程方程分离变量dyg(y)=f(x)dx通解∫dyg(y)=∫f(x)dx+C数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述、推导的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。从这个意义上，数学属于形式科学，而不是自然科学。不同的数学家和哲学家对数学的确切范围和定义有一系列的看法。在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，同时也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

饿微分?我看不需要Laplace它需要事物~~~

还是没有回答问题啊，我知道它是可以简化运算，可是为什么啊？为什么所有的微分方程都要跟e的指数有关？这才是拉氏变换可以用于解微分方程的原因：拉氏变换是一个以e的指数衰减的积分变换，而目前在教学中接触的初等微分方程的解一般都是e的指数，所以才能用拉氏变换简化。更复杂的方程要么解起来很难要么根本不可解，对那些方程拉氏变换已经没用了。

拉普拉斯变换是求解微分方程的一种方法。其求解步骤如下：1、对已知的微分方程取拉氏变换，如y"+2y"-3y=e^(-t),y(0)=0,y"(0)=1，则s²Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=1/(s+1)2、解含有未知变量Y(s)的方程，即Y(s)=(s+2)/[(s+1)(s-1)(s+3)]3、将上式转换成部分分式的形式，即Y(s)=-1/[4(s+1)]+3/[8(s-1)]-1/[8(s+3)]4、取逆拉氏变换，可以得到微分方程的解y(t)=[3e^t-2e^(-t)-e^(-3t)]/8

拉普拉斯变换是求解微分方程的一种方法。其求解步骤如下：1、对已知的微分方程取拉氏变换，如y"+2y"-3y=e^(-t),y(0)=0,y"(0)=1，则s²Y(s)-1+2sY(s)-3Y(s)=1/(s+1)2、解含有未知变量Y(s)的方程，即Y(s)=(s+2)/[(s+1)(s-1)(s+3)]3、将上式转换成部分分式的形式，即Y(s)=-1/[4(s+1)]+3/[8(s-1)]-1/[8(s+3)]4、取逆拉氏变换，可以得到微分方程的解y(t)=[3e^t-2e^(-t)-e^(-3t)]/8

根据性质L(f"(x)) = sF(s) - f(0)推广：L(f""(x)) = sF"(s) - f"(0) = s ( sF(s) - f(0) ) - f"(0) = s^2F(s) - sf(0) - f"(0)可继续推导出f(x)的n阶导的拉变换代入初始条件后可得f(x)的拉变换，再进行拉式反变换即可得到原函数f(x)

哥们，你懂了吗？

薛定谔方程（Schrdingerequation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。

你好，我不是物理专业的，但我知道薛定谔方程分别对于x，y，z，t是线性的，知道上有

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：{ partial^2 u over partial t^2 } = c^2 abla^2u这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率（对于空气中的声波大约是330米/秒，参看音速）。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：v_mathrm = frac{omega}.注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子（对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负）。u = u(x,t），是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。 abla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。对于一维标量波动方程的一般解是由达朗贝尔给出的：u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数，分别对应于前进行波，和后退行波。要决定F和G必须考虑两个初始条件：u(x,0)=f(x)u_{,t}(x,0)=g(x)这样达朗贝尔公式变成了：u(x,t) = frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + frac int_^{x+ct} g(s) ds在经典的意义下，如果f(x) in C^k并且g(x) in C^则u(t,x) in C^k.一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个质量为m的小质点的队列，互相用长度h的弹簧连接。弹簧的硬度为k :这里u (x）测量位于x的质点偏离平衡位置的距离。对于位于x+h的质点的运动方程是：m{partial^2u(x+h,t) over partial t^2}= kLINK其中u(x）的时间依赖性变成显式的了。

动力系统，自动控制，偏理论,工程

这个高等数学买本参考书就行了

dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=1/e^t*(dy/dt)d^2y/dx^2={d[1/e^t*(dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=(1/e^t)*(d^2y/dt^2-dy/dt)*(1/e^t)=(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)d^3y/dx^3={d[(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=[(1/e^t)^2*(d^3y/dt^3-d^2y/dt^2)-2(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]*(1/e^t)=(1/e^t)^3*(d^3y/dt^3-3d^2y/dt^2+2dy/dt)

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

分子式：CAS号：性质：又称理想流体运动微分方程。它是1775年著名数学家和力学家欧拉根据理想流体的运动规律，奠定了理想流体力学基础。欧拉运动方程是非线性微分方程。不能提出一般的积分式，但在某些特定的假设下，可以积分理想流体的柏努利方程（假定流体是不可压缩的、流动是稳定的、质量力是Z轴方向的重力、运动是沿流线的等），为欧拉运动方程的积分式。理想流体的运动理论是有实用意义的。在研究计算流体经浸没物体边界层外侧的压力分布时，理想流体的运动理论更为有用。

不需要，直接x=e^t算出来后的，直接包括所有齐次通解，你那个48算出齐次通解，然后设ax²+bx+c为特解，带进去，解abc

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

ax2D2y+bxDy+cy=f(x)其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D2y的系数是二次函数ax2，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

常系数有通解，变系数看情况。http://baike.baidu.com/link?url=FPDFxyEGtVCbkWe3-l2kUGYFldkhx7tdyFY2LCzZJTJ8G6mnSb1YE6x8iqRkSlJq5grVMRNFl322L5tooieBWkPlyhFn9gt1txBQsp2du3yyWw5ke3WBIoasAa-OrCcE7iVji0EVIU9ektG_vsbTRs3R75ra_owR_aDuQcFxWJlL0P5yJoazIkQhpblRf8mQWunr7TJ1gtSr9sI_spzceq

看已知条件，一般是是线性代数方程。I=YU

不对，y的一阶导数是p，y的二阶导数是dp/dx

《常微分方程》是2008年清华大学出版社出版的图书，作者是焦宝聪，王在洪，时红延。 基本介绍 书名 ：常微分方程 作者 ：焦宝聪，王在洪，时红延 ISBN ：9787302177616 页数 ：279 定价 ：29.80元 出版社 ：清华大学出版社 出版时间 ：2008-08-01 装帧 ：平装 开本 ：1/16 图书简介,目录, 图书简介 本书分为7章： 基本概念，一阶方程的初等积分法，一阶方程的一般理论，高阶微分方程，微分方程组，定性理论与稳定性理论初步，差分方程。内容取材精练，注重概念实质的揭示、定理思路的阐述、套用方法的介绍和实际例子的分析，并配合内容引入了数学软体。每章配有习题，全部计算题都有答案，个别证明题有提示。 本书可用作师范院校、理工科大学的数学类各专业的教科书和部分理工科其他专业的参考书。 目录 第1章基本概念 1.1微分方程的例子 习题1.1 1.2基本概念 1.2.1常微分方程和偏微分方程 1.2.2解和通解 1.2.3积分曲线和积分曲线族 习题1.2 第2章 一阶方程的初等积分法 2.1变数可分离方程 习题2.1 2.2齐次方程 习题2.2 2.3一阶线性方程 习题2.3 2.4全微分方程 2.4.1全微分方程 2.4.2积分因子 习题2.4 2.5一阶隐方程 2.5.1可解出y的方程 2.5.2不显含x的方程 习题2.5 2.6套用举例 习题2.6 第3章 一阶方程的一般理论 3.1微分方程及其解的几何解释 3.1.1方向场 3.1.2图像法 3.1.3欧拉折线 习题3.1 3.2毕卡存在与唯一性定理 习题3.2 3.3解的延拓 习题3.3 3.4解对初值的连续性 习题3.4 3.5解对初值的可微性 习题3.5 3.6一阶隐方程的奇解 3.6.1一阶隐方程解的存在与唯一性定理 3.6.2p?判别曲线法 3.6.3c?判别曲线法 习题3.6 第4章高阶微分方程 4.1高阶微分方程 4.1.1引论 4.1.2高阶微分方程的降阶法 习题4.1 4.2高阶线性齐次微分方程 4.2.1线性齐次微分方程的一般理论 4.2.2常系数线性齐次微分方程的解法 4.2.3某些变系数线性齐次微分方程的解法 习题4.2 4.3二阶线性齐次微分方程的幂级数解法 4.3.1引言 4.3.2常点邻域内的幂级数解 4.3.3正则奇点邻域内的广义幂级数解 4.3.4两个特殊方程 习题4.3 4.4高阶线性非齐次微分方程 4.4.1线性非齐次微分方程的一般理论 4.4.2常系数线性非齐次微分方程的解法 习题4.4 4.5套用举例 4.5.1弹簧振动问题 4.5.2电磁振荡问题 4.5.3弹簧振动的微分方程的求解 习题4.5 第5章微分方程组 5.1微分方程组的基本概念 5.1.1引言 5.1.2解的存在唯一性定理 5.1.3化为高阶方程法和可积组合法 习题5.1 5.2线性齐次微分方程组 5.2.1线性齐次微分方程组的一般理论 5.2.2常系数线性齐次微分方程组的解法 习题5.2 5.3一阶线性非齐次微分方程组 5.3.1线性非齐次微分方程组的一般理论 5.3.2常系数线性非齐次微分方程组的解法 习题5.3 5.4套用举例 5.4.1捕食者与被捕食者的生态问题 5.4.2多回路的电路问题 习题5.4 第6章定性理论与稳定性理论初步 6.1定常系统 6.1.1动力系统、相空间与轨线 6.1.2定常系统轨线的类型 习题6.1 6.2平面定常系统的奇点 6.2.1线性系统的奇点 6.2.2非线性系统的奇点 习题6.2 6.3解的稳定性 6.3.1李雅普诺夫(Liapunov)稳定性的概念 6.3.2按线性近似法判别稳定性 6.3.3李雅普诺夫直接法 习题6.3 6.4极限环 6.4.1极限环的概念 6.4.2极限环存在性的判别 习题6.4 第7章差分方程 7.1基本概念 习题7.1 7.2一阶差分方程 7.2.1一阶线性差分方程 7.2.2一阶非线性差分方程 习题7.2 7.3高阶线性差分方程的一般理论 7.3.1解的简单性质 7.3.2通解的结构 7.3.3阿贝尔(Abel)定理 习题7.3 7.4二阶常系数线性差分方程的解法 7.4.1Rn≡0的情形 7.4.2Rn?0的情形 习题7.4 附录A常微分方程发展概要 附录B答案与提示

二阶是指最高阶只有二阶即y" 常系数是指y", y",y前面的系数是常数 齐次是指微分方程等是右边为0线性是指微分方程的形式y"+P(x)y"+Q(x)y=0

二阶齐次微分方程的通解是：y=e^(αx)(C1cos(βx)+C2*sin(βx))。二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为：y"+py"+qy=0 ，其中p，q为常数。以r^k代替上式中的y（k）(k=0,1,2) ，得一代数方程：r²+pr+q=0，这方程称为微分方程的特征方程，按特征根的情况，可直接写出方程的通解。二阶线性微分方程的求解方式分为两类，一是二阶线性齐次微分方程，二是线性非齐次微分方程。前者主要是采用特征方程求解，后者在对应的齐次方程的通解上加上特解即为非齐次方程的通解。二阶微分方程的通解公式有以下：第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关，通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。第三种：先求对应的齐次方程2y""+y"-y=0的通解。

欧拉方程，即运动微分方程，属于无黏性流体动力学中最重要的基本方程，是指对无黏性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程应用十分广泛。1755年，瑞士数学家欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。用途欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。

欧拉方程微分方程详解：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。用途欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。本条目假设经典力学适用；当可压缩流的速度接近光速时，详见相对论性欧拉方程。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。以上内容参考：百度百科-微分方程

欧拉方程微分方程详解如下：在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：ax²D²y+bxDy+cy=f(x)。其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。化学中足球烯即C-60和此方程有关。应用：在物理学上，欧拉方程统治刚体的转动，可以选取相对于惯量的主轴坐标为体坐标轴系，这使得计算得以简化，因为我们如今可以将角动量的变化分成分别描述的大小变化和方向变化的部分，并进一步将惯量对角化。在流体动力学中，欧拉方程是一组支配无黏性流体运动的方程，以莱昂哈德·欧拉命名。方程组各方程分别代表质量守恒（连续性）、动量守恒及能量守恒，对应零黏性及无热传导项的纳维斯托克斯方程。历史上，只有连续性及动量方程是由欧拉所推导的。然而，流体动力学的文献常把全组方程，包括能量方程——称为“欧拉方程”。跟纳维－斯托克斯方程一样，欧拉方程一般有两种写法：“守恒形式”及“非守恒形式”。守恒形式强调物理解释，即方程是通过一空间中某固定体积的守恒定律；而非守恒形式则强调该体积跟流体运动时的变化状态。欧拉方程可被用于可压缩性流体，同时也可被用于非压缩性流体——这时应使用适当的状态方程，或假设流速的散度为零。

根据那高数书上的例题，再结合自己做题经验来，

xy"""+3x^2y""+(4+5x+100x^5)y"+y=x+exp(x^3)

本书是高等学校本科生“微分方程”课程双语教学的教材，主要介绍各类微分方程的解法，全书共分6章，主要包括：微分方程模型与基本概念；一阶常微分方程（包括一阶显式常微分方程和一阶隐式常微分方程）的解法；常系数高阶线性微分方程的解法、变系数微分方程的解法以及边值问题和可降阶的高阶微分方程的解法；线性方程组的基本原理、常系数齐次线性方程组的解法、常系数非齐次线性方程组的解法；首次积分；解的定性分析方法和稳定性原理；一阶和二阶偏微分方程的解法。全书各章均编写了习题（答案附在全书的最后）。本书除了适合作为高等学校本科生“微分方程”双语课程教学使用外，也可作为自学读本和研究生参考书。

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一般需要知道3个特解才能求出该方程的通解而且题目中给出的第二个特解不对不是方程的解

你好、很高兴回答你的问题对于高阶的微分方程，考纲里只规定常系数的，变系数的你放心，数几都不会考到。

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

我用s function 和模块分别搞了桥吊的模型 结果是一样的啊 桥吊模型是非线性 二阶的

各阶导数的系数是常数或者是(非常数的)函数

通解表为贝赛尔函数的组合：A = _C1*sqrt(r)*BesselJ(sqrt(5), 2*sqrt(-k^2)*sqrt(r))+_C2*sqrt(r)*BesselY(sqrt(5), 2*sqrt(-k^2)*sqrt(r))

一般形式：F（x,y,y"）=0。标准形式：y"=f(x,y) 1.可分离变量的一阶微分方程2.齐次方程。3.一阶线性微分方程。4.伯努利微分方程。5.全微分方程。如果我们依照阶数、常系数与变系数、齐次与非齐次、线性与非线性来进行分类。确实会让分类更为严谨，判断题型类别时候更加得心应手，但这有时候并不会让你更快的想到解题方法。比如说： 方程 ，按方程类型分类，应为 一阶变系数非齐次非线性方程 。这样描述你可能并不知道应该怎么求解，但是如果说它是可分离变量的微分方程，你马上就知道应该怎么做了。

一般来说，微分方程的特解需要具体问题具体分析。一些常见的方法包括：1. 变量分离法。2. 常数变易法。3. 常系数非齐次线性微分方程的特解可以采用待定系数法。假设特解为一组函数的线性组合，并代入原方程，求出未知系数的值。4. 非常系数非齐次线性微分方程则可以尝试用变量系数法或者常数变易法求解。5. 一些具体问题可能需要采用其他方法，如拉普拉斯变换、傅里叶变换等。需要注意的是，以上是一些常见的求解方法，但并不是所有微分方程都可以用这些方法求解。具体问题需要结合具体方法分析。

三阶变系数齐次线性微分方程虽没有统一适用的解法，但降阶无疑会使该种微分方程的求解得到简化．     本文所讨论的三阶变系数齐次线性微分方程的标准形式为  0)()()(=+′+′′+′′′yxryxqyxpy                    （1）  其中)(xp，)(xq，)(xr均为x的连续函数．  引理1 三阶变系数齐次线性微分方程（1）经过变换∫=xxxzxyd)(e)()(ϕ（其中)(xϕ为待定函数），可化为微分方程0)()()(=+′+′+′′zxCzxBzxAz的充分条件是：)()(3)(xpxxA+=ϕ，++′=)(3)(3)(2xxxBϕϕ )()()(2xqxxp+ϕ，)()()()()()()()()()(3)()(23xrxxqxxpxxxpxxxxC++++′+′+′′=ϕϕϕϕϕϕϕ．  证明  由 ∫=xxxzxyd)(e)()(ϕ，有∫+′=′xxxxzxzxyd)(e)]()()([)(ϕϕ，++′+′′=′′)([)()(2)({)(2xxzxxzxyϕϕ  ∫′xxxzxd)(e)}()](ϕϕ，)}()]()()(3)([)()](3)(3[)()(3)({)(32xzxxxxxzxxxzxxzxyϕϕϕϕϕϕϕ+′+′′+′′++′′+′′′=′′′ ∫xxd)(eϕ．故微分方程（1）可化为+′′+′+++′+′′++′′)([)()]()()(2)(3)(3[)()]()(3[)(2xxzxqxxpxxxzxpxxzϕϕϕϕϕ 0)()]()()()()()()()()()(323=++++′+′xzxrxxqxxpxxxpxxϕϕϕϕϕϕ．   若令)()(3)(xpxxA+=ϕ，)()()(2)(3)(3)(2xqxxpxxxB+++′=ϕϕϕ，ϕϕϕϕ′+′+′′=)()()(3)()(xpxxxxC )()()()()()()(23xrxxqxxpxx++++ϕϕϕ，则微分方程（1）可化为0)()()(=+′+′+′′zxCzxBzxAz．   证毕．