空间向量

两点间的距离公式，若A（x1,x2）B(Y1,Y2),则AB的模的绝对值=根号[(x1-Y1)^2+(x2-Y2)^2]向量的长度公式，若a的模=（a1,a2），则a的模的绝对值=根号（a1^2+a2^2)两向量夹角的坐标公式，若A（a1,a2）B(b1,b2)，则cos<a,b>=(A*B)/(|A|*|B|)(就是向量的乘积除以模的乘积）所以，cos<a,b>=(a1b1+a2b2)/[根号(a1^2+a2^2)*根号(b1^2+b2^2)]设A（x1,x2）B(Y1,Y2)，则AB的绝对值=|A*B|=|x1Y1+x2Y2|(因为向量的乘积是常量，所以常量的绝对值就是绝对值了，没其他公式啦！）

a在b上的投影是|a|cos<a,b>=a*b/|b|如：a=(1,2,3)b=(2,1,4)a在b上的投影为：a*b=2+2+12=16|b|=√(2^2+1^2+4^2)=√21a在b上的投影为：16/√21

直接设c=(m,n,p)（1）根据三个条件列方程组2m-3n+p=0m-2n+3p=0m²+n²+p²=1（这个就是单位向量就满足的条件）（2）同理列方程组2m-3n+p=0m-2n+3p=02m+n-7p=10分别解这两个三元方程组即得满足条件的向量c

向量AB=（3，-4，6），AB与平面垂直，故是平面的法向量，3*（x-2)+(-4)*(y+2)+6*(z-11)=0,∴平面方程为：3x-4y+6z-80=0,设y轴向量为n1=（0，1，0），设平面法向量AB和Y轴夹角为α1，n1·AB=-4，|n1|=1,|AB|=√61，cosα1=-4/√61，取锐角，cosα2=4/√61，设Y轴和平面所成角为α，α+α2=π/2，∴sinα=4/√61，∴平面与y轴之间夹角为arcsin(4√61/61）。

设一向量的坐标为（x，y，z），另外一向量的坐标为（a，b，c）。如果(x/a)=(y/b)=(z/c)=常数，则两向量平行，如果ax+by+cz=0，则两向量垂直。如果设a=（x，y），b=（x"，y"）如果a•b=0（a和b的数量级）即xx"+yy"=0，则a⊥b。如果a×b=0，则向量a平行与向量b；λa=b，a与b也平行。扩展资料：注意事项：在遇到实际向量问题时作图可以直观明了地解决问题，特别是空间向量。平时解题就平手做图，而考试时应当运用直尺铅笔做图，待那道题解完之后记得用中性笔加黑加粗铅笔所做图。在做空间向量的题的时候要选好法向量，规定好其方向，运用好其中的关系。参考资料来源：百度百科-空间向量参考资料来源：百度百科-平行向量

设d(x,y)因为a（-1,2）b（2,8）所以向量da=（-1-x,2-y)，向量ba=（-3，-6）因为向量da=负三分之一向量ba所以有-1-x=1,2-y=2解得x=-2,y=0所以d的坐标为（-2，0）

在空间中,任意三个向量，如果它们不在同一平面上，且两两不共线，则在空间中的任意一向量都可用它们表示，这三个向量即为空间向量基底。两个空间向量a，b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x，y，使c=ax+by。扩展资料：三个坐标面把空间分成八个部分，每个部分叫做一个卦限。含有x轴正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB。对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），则四点P、A、B、C共面。利用向量证a∥b，就是分别在a，b上取向量a=λb（λ∈R），利用向量证a⊥b，就是分别在a，b上取向量a·b=0。参考资料来源：百度百科--空间向量

空间向量 （英语：euclidean vector，物理、工程等也称作矢量 、欧几里得向量）是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。理论数学中向量的定义为任何在向量空间中的元素。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量（特别地，电流属既有大小、又有正负方向的量，但由于其运算不满足平行四边形法则，公认为其不属于向量）。向量常常在以符号加箭头标示以区别于其它量。与向量相对的概念称标量或数量，即只有大小、绝大多数情况下没有方向（电流是特例）、不满足平行四边形法则的量。

空间向量的知识点如下：1、空间向量的概念。具有大小和方向的量叫做向量。2、空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下。运算律：加法交换律：a+b=b+a。加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。数乘分配律：λ（a+b）=λa+λb。3、共线向量。表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量a平行于b记作a//b。当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。4、共线向量定理及其推论。共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb。推论：如果ι为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O，点P在直线ι上的充要条件是存在实数t 满足等式 OP=OA+ta。其中向量a叫做直线ι的方向向量。5、向量与平面平行。已知平面α和向量a，作OA=a，如果直线OA平行于α或在α内，那么我们说向量α平行于平面α，记作：a//α。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。卦限介绍：三个坐标面把 空间分成八个部分，每个部分叫做一个 卦限。含有x轴 正半轴、y轴正半轴、z轴正半轴的卦限称为第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按 逆时针方向确定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分别称为第五、六、七、八卦限。立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。

空间中，既有大小又有方向的量称为空间向量。与平面向量得区别就在于一个在空间中，一个在平面中，前者范围扩大了

空间向量公式D=AS*（B-Q）。空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。空间是一个相对概念，构成了事物的抽象概念，事物的抽象概念是参照于空间存在的。在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。空间直线在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

空间向量公式如下：1、空间向量线面夹角公式是cosθ=（ab的内积）/（|a||b|）。2、|a|=√(x1^2+y1^2+z1^2)，|b|=√(x2^2+y2^2+z2^2)。3、空间向量的模公式：空间向量(x，y，z)，其中x，y，z分别是三轴上的坐标，模长是：²√x²+y²+z²，平面向量（x，y），模长是：²√x²+y²。空间向量基本定理：1、共线向量定理两个空间向量a、b向量，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb。2、共面向量定理如果两个向量a、b不共线，则向量c与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x、y，使c=ax+by。3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

空间向量公式：D=AS*(B-Q)。如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。本文由101教育整理发布。向量a+向量b的模＝｜向量a+向量b|。＝根号下（向量a+向量b）²。＝根号下（｜a|²+|b|²+2|a||b|cosα）。其中：cosα是向量a和向量b的夹角。向量的大小，也就是向量的长度（或称模）。注：1．向量的模是非负实数，向量的模是可以比较大小的。2．因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

空间向量的运算如下：空间向量就是空间中具有大小和方向的量，其运算方法是：PM=xPA+yPB。1、空间向量及运算，垂直三垂线定理先看下，或者通过线面垂直得到面面垂直，或者通过两个面的法向量垂直得到这两个面垂直。线面平行得到线线平行或者面面平行，注意得是不平行的在同一个面上的两条直线分别与另一个面的两条直线平行，这两个面才平行。2、空间向量，加法与减法，空间向量的加减法与平面向量没有区别，就是平行四边形法则和三角形法则，如果两个向量初始位置没有交点的话，要移到起点相同或者首尾相接的位置。如果你是要用坐标运算，那空间向量无非就是多出一个z的分量而已，方法也是和平面一样的。3、平面向量的坐标运算，A和B中需要注意的是,一个坐标可以代表无数个向量,比如起点是(1,1),终点是(2,3)的向量,和起点是(0,0),终点在(1,2)的向量,他们的坐标表示都是(1,2)，然而这并不与A,B矛盾,注意正反的区别。

在空间中即有大小又有方向的量

1. 不对。 没考虑向量的方向。2. 对。 向量AB=向量DC 即 一对对边 平行切相等。3. 对。 向量相等具有传递性。4. 不对。 ①|a|=|b|；②a‖b 小写字母都为向量， ===> a=b 或 a=-b.5. 不对。 |a|=|b|是向量a=b的必要条件但不是充分条件

空间向量基本定理，回答如下：空间向量基本定理是用数学方式表达的一种空间概念，表达式为p=xa+yb+zc d=AB*AB*n。若存在三个不共面向量a，b，c，那么对空间任一向量p，存在唯一有序实数组{x，y，z}使得成立。这里科普一下，空间向量。空间向量（space vector）是一个数学名词，是指空间中具有大小和方向的量。向量规定：向量的大小叫做向量的长度或模(modulus)。1.长度为0的向量叫做零向量，记为0。2.模为1的向量称为单位向量。3.与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a。4.方向相等且模相等的向量称为相等向量。基本定理：1、共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0)，a//b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2、共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3、空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc。任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

　　科学是人类的共同财富，而真正科学家的任务就是丰富这个全人类都能受益的知识宝库。下面是我为大家整理的高二数学空间向量的公式及定理，希望大家喜欢。 　　空间向量 　　一、空间向量知识点 　　1.空间向量的概念： 　　定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。 　　具有大小和方向的量叫做向量注： 　　⑴空间的一个平移就是一个向量 　　⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 　　⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 　　ⅰ定理：如果三个向量 不共面，那么对于空间任一向量 ，存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。且把 叫做空间的一个基底， 都叫基向量。 　　ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。 　　ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用 表示。 　　ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使 。 　　2.空间向量的运算 　　二、复习点睛： 　　1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 　　2、根据空间向量的基本定理，出现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，形成了用空间坐标研究空间图形的坐标法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量运算，三回到图形问题。其实质是数形结合思想与等价转化思想的运用。 　　3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合律，因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式仍然适用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个公式较为常用，请务必记住并学会应用： 。 　　2、空间向量的坐标表示： 　　(1)空间直角坐标系： 　　①空间直角坐标系O-xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底 ，以点O为原点，分别以 的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，向量 叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面。 　　②右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向; 　　③构成元素：点(原点)、线(x、y、z轴)、面(xOy平面，yOz平面，zOx平面); 　　④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O-xyz时，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠yOz=90°，z轴垂直于y轴，z轴、y轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的一半; 　　(2)空间向量的坐标表示： 　　①已知空间直角坐标系和向量 ，且设 为坐标向量(如图)， 　　由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组 叫做向量在此直角坐标系中的坐标，记作 。 　　②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量 ，若 ，则有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的"坐标，记为A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 　　③空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面(或垂面)，分别交坐标轴于A、B、C三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当 与 的方向相同时，x>0，当 与 的方向相反时，x<0，同理可确y、z(如图)。 　　④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。 　　⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 　　(3)空间向量的直角坐标运算： 　　⑦空间两点间距离： ; 　　⑧空间线段 的中点M(x，y，z)的坐标： ; 　　⑨球面方程： 　　4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别叫做z轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴);统称坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线;它们的正方向要符合右手规则，即以这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。 　　5、空间直角坐标系中的特殊点: 　　(1)点(原点)的坐标：(0,0,0); 　　(2)线(坐标轴)上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0,y,0)，z轴上的坐标为(0,0,z); 　　(3)面(xOy平面、yOz平面、zOx平面)内的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标为(0,y,z)、平面上的坐标为(x,0,z) 　　6、要使向量 与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量 与哪一个坐标轴垂直，只要向量 的相应坐标为0即可。 　　7、空间直角坐标系中，方程x=0表示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平面，方程x=a表示平行于平面yOz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平行于平面xOy平面; 　　8、只要将 和 代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样; 　　9、由空间向量基本定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成.任意不共面的三个向量 都可以构成空间的一个基底，此定理是空间向量分解的基础。

用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而提高学生的空间想象能力和学习效率。　　高中数学新教材中讲述空间向量的部分约占14课时(当然它的应用不止在这14课时)，它被包含在第九章“直线、平面、简单几何体”(简称“9(Ｂ)”)中，含有空间向量的高二下学期的数学教科书简称“第二册(下Ｂ)”；与它平行，仍用传统方法来阐述高中立体几何内容的教科书简称“第二册(下Ａ)”。两本教科书第九章的章名一样，并且都用36课时进行教学。　　综上，“空间向量”这部分内容具有“必学”和“选学”两重性。按照大纲第10页的脚注规定“直线、平面、简单几何体的教学内容和教学目标在9(Ａ)和9(Ｂ)两个方案中只选一个执行”，9(Ｂ)具有选学的性质；但大纲把“直线、平面、简单几何体”作为必学内容，如果学生不按“第二册(下Ａ)”教科书来学习，那么空间向量对于他们就是必学内容。　　“空间向量”这部分内容，大致可分成“空间向量及其运算”与“空间向量的应用”这两个模块。　　(1)空间向量及其运算。包括：　　①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。　　②理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法、数乘及其坐标表示，了解空间向量基本定理及其意义；掌握空间坐标系，能将空间向量用坐标轴上的单位向量线性表示，掌握空间向量的坐标表示。　　③掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线或垂直。　　(2)空间向量的应用。包括：　　①理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。　　②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。　　③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理。　　④能用空间坐标系与向量方法解决夹角与距离的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。教学中，应引导学生运用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，应注意由于维数增加所带来的影响。

空间向量 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键． 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得 或对空间一定点O有 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若： （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量 （k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量 ． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取 ，求： 的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题： ． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线 可列出两个方程 两个方程，三个未知数 然后根据计算方便 取z（或x或y）等于一个数 然后就求出面的一个法向量了 会求法向量后 1。二面角的求法就是求出两个面的法向量 可以求出两个法向量的夹角为两向量的数量积除以两向量模的乘积 如过在两面的同一边可以看到两向量的箭头或箭尾相交 那么二面角就是上面求的两法向量的夹角的补角 如果只能看到其中一个的箭头和另一个的箭尾相交 那么上面两向量的夹角就是所求 2。点到平面的距离就是求出该面的法向量 然后在平面上任取一点（除平面外那点在平面内的射影） 求出平面外那点和你所取的那点所构成的向量记为n1 点到平面的距离就是法向量与n1的数量积的绝对值除以法向量的模即得所求

空间向量只是平面向量的扩展,加减法运算法则完全遵循平面向量的法则

空间向量点到直线距离公式解：设点A坐标（x1，y1）直线方程：ax+by+c=0A到直线的距离=|ax1+by1+c|÷√（a²+b²） 直线Ax+By+C=0 坐标（Xo，Yo）那么这点到这直线的距离就为：公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。公式中的直线方程为Ax+By+C=0，点P的坐标为(x0,y0)。连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。①：过点上做一向量垂直于已知直线，做一平面垂直于刚作直线，设该平面的法向量为m 在该平面上找一点与已知点连接，设该向量为a，则距离d=|a*m|/|m| ②：平移任一直线，使两直线相交，过两条相交直线做一平面，法向量为m 在两直线上连接任意两点，设该向量为a,则距离d=|a*m|/|m|

空间自由向量只区分向量的长度和方向，不区分起点位置，所以空间自由向量可以用以原点为起点的向量来代表，其坐标表示就是以原点为起点的向量的终点的坐标.比如，我们以有序实数组(1,2,3)表示3维欧几里德空间中的一个点P；P也相当於以原点O为起点P为终点的向量OP，我们用它来代表所有和OP等长且同方向的空间向量，这样的空间自由向量的坐标也是(1,2,3).点的坐标和自由向量的坐标没有区别.不过向量有方向、长度的概念，以及平行、垂直的概念和内积运算，把它们理解成有向线段就比较直观，但把它们认为是3维欧几里德空间中的点的性质也是完全没有问题的.