常微分方程

例如二阶常系数齐次线性方程的形式为：y""+py"+qy=0其中p，q为常数，其特征方程为 λ^2+pλ+q=0依据判别式的符号，其通解有三种形式：1、△=p^2-4q>0，特征方程有两个相异实根λ1，λ2，通解的形式为y(x)=C1*[e^(λ1*x)]+C2*[e^(λ2*x)]；2、△=p^2-4q=0，特征方程有重根，即λ1=λ2，通解为y(x)=(C1+C2*x)*[e^(λ1*x)]；3、△=p^2-4q<0，特征方程具有共轭复根α+-(i*β)，通解为y(x)=[e^(α*x)]*(C1*cosβx+C2*sinβx)。常微分方程的定义：定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

(本笔记使用的书是丁同仁和李承治的《常微分方程教程》) 学习常微分方程之前,首先说明几个很常见的概念. 微分方程 指含有函数 和函数导数 的方程.如果未知函数是单变量函数,那么称之为 常微分方程(ODE) ;如果未知函数是多元函数,那么称之为 偏微分方程(PDE) .对于一个常微分方程,如果出现的最高求导次数项为 ,则称该方程为 阶 的;如果出现的最高次幂项为k次幂项,则称该方程为 次 的. 实际上我们研究的主要问题就是ODE解的存在性和求解问题, 至于为什么一个微分方程的通解有 个任意常数,我们暂时无法解决,但一个含有 个任意常数的函数是否对应一个n阶微分方程的解呢? 如果通解的常数都固定下来,那么就称此时的 为一个 特解 .固定任意常数的方法可以是给出的各阶导数的函数值,这样的问题我们成为 初值问题 ,也称作 .初值条件的一般形式是 实际上我们可以在初值条件 的一个邻域内类似 Ex 1 地确定通解中的所有任意常数. 以一阶微分方程为例 设它的通解是 ,显然对于I内的一个点即使我们不知道 的表达式我们仍然知道在这一点处 的斜率是 ,我们称经过 斜率为f(x_0,y_0)的一条 小线段 为在 的 线素 ,记作 ,I及其上所有线素称作 线素场 .无论 是确定值还是无穷大,我们都能得到确定的线素,如果 点的值是不定式,那么我们称这点为线素场的 奇异点 . 为了作出微分方程的线素场,我们常常用 来近似作图,这条曲线上所有线素的斜率相同,因此这条曲线被称为线素场的 等斜线 .

常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。应用：常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

常系数微分方程：凡是联系自变量x，这个自变量的未知函数y=y（x）及其直到n阶导数在内的函数方程F（x，y，y′，y″，…，y（n））=0叫做常微分方程，并称n为常微分方程的阶。一、常系数微分方程的地位和作用常微分方程是是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门专业必修课，在反映客观现实世界运动过程的量与量之间的关系中，大量存在满足常微分方程关系式的数学模型，需要求解常微分方程来了解未知函数的性质．常微分方程是解决实际问题的重要工具。二、常系数微分方程知识点1、一阶微分方程的初等解法侧重点是一些简单的微分方程的求解，注意其中一个“变量代换”的思想。2、解的存在唯一性定理解的唯一存在区间求解（定理），区域（李普希思条件必要性）第k次近似解。3、高阶微分方程齐次和常数变异法，常数变易法（高阶线性方程）。三、参考书目王高雄《常微分方程》、丁同仁《常微分方程教程》、庞特里亚金《常微分方程》、东北师范大学微分方程教研室《常微分方程》、王鸿业《常微分方程及Maple应用》。

这一讲有四个部分的内容 微分方程：含有未知函数及其导数(或者微分)的方程成为微分方程，一般写成 或者 微分方程的阶 ：方程中未知函数导数的最高阶数称为微分方程的阶 常微分方程 ：未知函数是一个一元函数的微分方程称为常微分方程 微分方程解出来的解是一个函数，将这个函数代入微分方程使等式恒成立，则称该函数为微分方程的解 通解 ：若微分方程的解中含有的独立常数的个数等于微分方程的阶数，则称该解称为微分方程的通解 初始条件与特解 ：初始条件用于确定通解中的各个独立常数，将这些独立常数代入通解中得到的就是特解 这里将一阶微分方程分成了下面四种类别，实际问题中需要按照相应的类别进行解决 需要注意的是只要通解中的独立常数个数等于微分方程的次数，那么这个通解就是合格的

微积分的问题其实非常简单，只要你做题总结就可以。但是我要告诉你，你想要真正的把微积分融入到你的骨髓里面，你需要去看一些较有兴趣的书籍了。下面这段历史也许能帮你坚定学习微积分的决心：1665年，伦敦爆发鼠疫，剑桥大学关闭，一位年轻人不得不返回家乡，在家乡的两年中，他主要研究了微积分、万有引力定律和光学，这些理论对后世产生了巨大的影响，而这个年轻人正是我们所熟知的牛顿大神。这本书讲什么？这本经典著作源于风靡美国普林斯顿大学的阿德里安·班纳教授的微积分复习课程，将易用性与可读性以及内容的深度与数学的严谨完美地结合在了一起，激励学生不再惧怕微积分，并在考试中获得高分。本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解答问题的能力。

常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是描述一个未知函数在某个自变量下的导数和该函数自身的关系的方程。解一阶或高阶常微分方程的方法主要包括以下几种：1. 变量分离法： 将方程化为 dy/dx=f(x)g(y) 的形式，然后分别对两边进行积分。2. 齐次法：将方程变为 dy/dx=f(y/x)，这样变量 y/x 可以看成一个整体，将它记做 z，则方程化为 dy/dx=z+f(z)，再变为 dz/(dx+f(z))=1。解出 z，再代回 y/x，得到 y 的通解。3. 一阶线性微分方程的通解：对于形如 dy/dx+p(x)y=q(x) 的一阶线性微分方程，先求出它的通解，再代入初始条件求出特解。4. 变量代换法：通过引入新变量，将高阶微分方程化成一阶微分方程，然后再用以上方法求解。5. 常系数齐次线性微分方程：形如 y" + ay" + by=0 的方程，先通过解特征方程求出特征根，再根据特征根的不同情况，得出解的形式。注意，常微分方程的解不是唯一的，需要给出初始条件才能得到唯一解。

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题[1]:p.1。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

1、自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，就是微分方程。 2、自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。 3、在微分方程中，自变量的个数只有一个，这种微分方程称为常微分方程；自变量的个数为两个及两个以上的微分方程成为偏微分方程。 4、微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。       一般的 阶常微分方程具有形式 ,这里 是 , , ,..., 的已知函数，而且一定含有 ; 是未知函数， 是自变量。 5、如果方程 的左端为 及 ,..., 的一次有理整式，则称该方程为 阶线性微分方程；否则，则称为非线性微分方程。 6、如果函数 代入方程 后，能使它变为恒等式，则称函数 为方程的解。如果关系式 决定的函数 是方程的解，称 为方程的隐式解，隐式解也称为“积分”。 7、把含有 个独立的任意常数 , ,..., 的解 称为 阶方程 的通解。       满足初值条件的解称为方程的特解。 8、一阶微分方程 表示 平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线，而通解 表示平面上的一族曲线，特解 则为过点 的一条积分曲线，积分曲线上过每一点的切线斜率 为方程右端 在该点处的值。 9、用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。

看y,y",y"",即y以及y的导数的次数，如果全是1次的，则是线性，否则是非线性y""+x²y+x=0线性x²y"+(x-1)y+sinx=0线性(y")²+x=0非线性y"+y²+x=0非线性m * [y(x)]"" + T * siny = 0这个方程中含y的项是siny,这是一个非线性项，所以这个微分方程是非线性的

看不懂

y"""=(y""-1)²；-y"-y²；y（0）=0，y"(0)=1，y""(0)=-1，代入：y"""(0)=(-1-1)²；-1-0²；=3y=±1，y"=y""=y"""=0，是一解。但是不满足初始条件。y"""+y"=(y""-1+y)(y""-1-y)(y""+y-1)"=(y""-1+y)(y""-1-y)设y""-1+y=u，y""-1-y=y""+y-1-2y=u-2yu"/u=u-2yu"=u²；-2uyu=0是一解：u"=0y""-1+y=0y""+y=1特征方程：λ²；+1=0，λ=±iy=C1cosx+C2sinx特解y=1，通解：y=C1cosx+C2sinx+1y"=-C1sinx+C2cosxy""=-C1cosx-C2sinxy"""=C1sinx-C2cosxy""+y=1成立。y(0)=C1+1=0，C1=-1y"(0)=C2=1y""(0)=-C1=1满足题意。y=-cosx+sinx+1(y""-1)²；-y"-y²；=(-C1cosx-C2sinx-1)²；-（-C1sinx+C2cosx）-（C1cosx+C2sinx+1）²；=C1sinx-C2cosxy"""=C1sinx-C2cosx正确。y"""(0)=-C2=-1，不正确。

移项可得 dx/(10-x)=kdt 两边同时积分 ln(10-x)=-kt+lnC C为常数则10-x=Ce^-kt 所以x=10-Ce^-kt 不懂再Hi我

常微分一般指常微分方程，是一门数学课程名，是相对于偏微分方程（数学物理方程）而言，专门研究只含一元函数的导数（微分）的方程。全微分是多元函数的先行主部，数值为各偏导数与各自增量乘积增量之和。例如z=f(x,y),dz=Z"xdx+Z"ydy

常微分方程是微分方程的一部分，如果把二者看成集合的话，常微分方程是微分方程的真子集。

常微分方程，方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。 常微分方程是微分方程的一部分,如果把二者看成集合的话,常微分方程是微分方程的真子集

解：微分方程为xy"+y=xeˣ，化为(xy)"=xeˣ，xy=xeˣ-eˣ+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=eˣ-eˣ/x+c/x∵y(1)=1 ∴有1=c，微分方程的特解为y=eˣ-eˣ/x+1/x请参考随着分析学对函数引入微分运算，表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程进入数学家的视野，这就是微分方程。微分方程的形成与发展与力学、天文学、物理学等科学技术的发展密切相关。因为在现实的世界中，物质的运动及其变化规律在数学上是用函数关系来描述的，这意味着问题的解决就是要去寻求满足某些条件的函数，而这类问题就转换为微分方程的求解问题。微分方程为科学发现提供了有力工具，如：牛顿通过使用微分方程研究天体力学和机械力学，从理论上得到行星运动规律；天文学家亚当斯和天文学家勒维烈使用微分方程，找到了海王星。解微分问题的基本思想类似于解代数方程，要把问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，进而得到包含未知函数的一个或几个方程，然后使用分析的方法去求得未知函数的表达式。常微分方程解泛函如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。现在，常微分方程在自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等学科领域内有着重要的应用。

因为特征方程的根为复数，+i和-i因此方程的解为：C1*cos(t)+C2*sin(t)，这个书上是有公式的！！

特征方程：8r²+r=0r(8r+1)=0r=0或r=-⅛微分方程的通解为y=C₁e^(-⅛x) +C₂

以二阶微分方程为例（高阶的以此类推）：经过化简，可以变形为这种形式的称为线性微分方程：P(x)y"+Q(x)y"+R(x)y=S(x) （其中，P(x)，Q(x)，R(x)，S(x)都是已知的x的函数式）无论如何怎么化简，方程中都带有y或者y的导数的非一次方的微分方程就是非线性微分方程。例如y"y=y²，虽然y不是一次方，但是我通过等价变形可以变成y(y"-y)=0，即y=0或者y"-y=0，因为y和y"都是一次方，因此他们是线性微分方程。而他们的系数都是常数，所以可以称之为常系数微分方程。再如(sinx)y"-y=0，因为y"和y的次数都是1（含有x的函数项不算），所以是线性微分方程。而y"的系数是sinx，因此是变系数线性常微分方程。再如y"y=1，无论如何化简（例如把y除过去），都不能变成y"和y次数都是1的形式，因此该方程为非线性微分方程。再加一句：线性微分方程都有解析解，就是可以写成函数解析式y=f(x)的形式。但是非线性微分方程就很难说了。一般来说，部分一阶非线性微分方程有解析解。但是二阶或二阶以上的非线性微分方程很难有解析解。

二阶常系数线性微分方程：二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用 。比较常用的求解方法是待定系数法 、多项式法、常数变易法和微分算子法等。1、二阶常系数线性微分方程 标准形式： y″+py′+qy=f(x)当 f(x)=0，即 y″+py′+qy=0为二阶常系数齐次线性微分方程当 f(x)≠0，即 y″+py′+qy=f(x)为二阶常系数非齐次线性微分方程2、特征方程：一元二次方程 r2+pr+q=0微分方程： y″+py′+qy=0特征方程： r2+pr+q=0 特征根： r1,2=−b±b2−4ac2a3、二阶常系数齐次线性微分方程求解方法 y″+py′+qy=0

你看网易公开课啊 MIT的微分方程的视频 教授一开始就说了 解析法下的微分方程表达式是坐标系里面的方向场,而微分方程的解是积分曲线,所谓的积分曲线就是他上面的每一个点的斜率都和方向场的斜率相同,这样的曲线就是积分曲线,求解微分方程的过程就是找到一个与方向场斜率相同的积分曲线.建议你别看国内的教材和听国内老师讲课,国内老师讲课基本都是放屁,完全学不到东西,听国内老师讲课只能自毁前程.回复 收起回复 8楼2013-03-29 16:21删

常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。

BD

1、凡含有参数，未知函数和未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶，定义式如下：F(x,y,y￠,....,y(n))=0　　2、任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解)，当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。　　3、一般地说，n阶微分方程的解含有n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。　　4、如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。http://baike.baidu.com/view/44699.htm

学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等，要以现有数据求得出形式上的函数解析式，而不是以已知函数来计算特定的未知数。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械动力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。

看不见题目

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，先考虑他的齐次形式我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成x""+ax=0借这个方程的时候设x=exp(mt)就可以得到x"=m*exp(mt)x""=(m^2)*exp(mt)然后带回原方程就可以得到方程m^2+a=0然后你就可以得到m1=+(-a)^(1/2)，m2=-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，如果你a小于零，那么-a就大于零，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是yc=c1*exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)c1c2都是常数如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。），a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2),m2=-1*a(1/2)那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin(a^(1/2))b1b2也都是常数这个时候你再来考虑非齐次的形式也就是x""+ax=b因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设非齐次方程的特殊解为yp=k0+k1x然后yp‘=k1yp""=0代回原方程就解出k1=0，k0=b/a然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp即y=yc+yp目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。

《常微分方程》（B.И́.Arnold）电子书网盘下载免费在线阅读链接: https://pan.baidu.com/s/1AUCKiRiE4b6zqjsYut8RMA 提取码: g2ty书名：常微分方程作者：B.И́.Arnold译者：沈家骐出版社：科学出版社出版年份：1985-5页数：290

定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。通常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量．

微分方程方式是乘微分的一种新方式

常微分方程通解公式是：y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式，定解条件，就是边界条件，或者初始条件 。 常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程，,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。六种常见的常微分方程通解：1、一阶微分方程的普遍形式。一般形式：F（x,y,y"）=0。标准形式：y"=f(x,y)。主要的一阶微分方程的具体形式。2、可分离变量的一阶微分方程。3、齐次方程。4、一阶线性微分方程。5、伯努利微分方程。6、全微分方程。

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 　　定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解. 　　一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 　　如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。 常微分方程常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。 　　求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 　　后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 　　一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 　　大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。常微分方程实例　　下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). 　　(1) y= kx, k 为常数； 　　(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 　　(3) mv(t) = mg - kv(t)；如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 偏微分方程分类比较繁琐，解法多样。建议找一本偏微分方程的教材来看看。会对你有很大帮助

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凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y"+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。微分方程，是指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：其解为：其中C是待定常数；如果知道则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y"+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。二阶常系数齐次常微分方程对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解对于方程：可知其通解：其特征方程：根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解一般的通解形式为：若则有若则有在共轭复数根的情况下：r=α±βi扩展资料一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y"）=0标准形式：y"=f(x,y)主要的一阶微分方程的具体形式约束条件微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。唯一性存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理 [4]  则可以判别解的存在性及唯一性。针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。 皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。参考资料来源：百度百科-常微分方程参考资料来源：百度百科-微分方程

常系数齐次线性微分方程的解法如下：二阶常系数齐次线性微分方程一般形式为： y"+py"+qy=0 （1-1） 其中p，q为常数。 以r^k代替上式中的y（k）(k=0，1，2) ，得一代数方程 r²+pr+q=0 这方程称为微分方程（1-1）的特征方程 按特征根的情况，可直接写出方程1-1的通解。常微分方程及偏微分方程都可以分为线性及非线性二类。若微分方程中没有出现自变数及微分项的平方或其他乘积项，也没有出现应变数及其微分项的乘积，此微分方程为线性微分方程，否则即为非线性微分方程。齐次线性微分方程是线性微分方程中更细的分类，微分方程的解乘上一系数或是与另一个解相加后的结果仍为微分方程的解。若线性微分方程的系数均为常数，则为常系数线性微分方程。常系数线性微分方程可以利用拉氏转换转换为代数方程，因此简化求解的过程。针对非线性的微分方程，只有相当少数的方法可以求得微分方程的解析解，而且这些方法需要微分方程有特别的对称性。长时间时非线性微分方程可能会出现非常复杂的特性，也可能会有混沌现象。有关非线性微分方程的一些基本问题，例如解的存在性、唯一性及初始值非线性微分方程的适定性问题，以及边界值非线性微分方程都是相当难的问题，甚至针对特定非线性微分方程的上述基本问题都被视为是数学理论的一大突破。例如2000年提出的7个千禧年大奖难题中，其中一个是纳维-斯托克斯存在性与光滑性，都是探讨纳维－斯托克斯方程式其解的数学性质，截至2018年8月此问题仍尚未被证明。

常微分方程通解公式是：y=y(x)。隐式通解一般为f(x,y)=0的形式，定解条件，就是边界条件，或者初始条件 。 常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程，,比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。六种常见的常微分方程通解：1、一阶微分方程的普遍形式。一般形式：F（x,y,y"）=0。标准形式：y"=f(x,y)。主要的一阶微分方程的具体形式。2、可分离变量的一阶微分方程。3、齐次方程。4、一阶线性微分方程。5、伯努利微分方程。6、全微分方程。

啊和服务了就快了就后发了会回家更何况更好发给鬼地方发给回家

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y"+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。扩展资料：以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

此题解法如下：∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C (C是常数)∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

令y=xu 则y"=u+xu"方程化为：x²u²+x²(u+xu")=x²u(u+xu")u+xu"=xuu"xu"(u-1)=udu(u-1)/u=dx/xdu(1-1/u)=dx/x积分：u-ln|u|=ln|x|+C1e^u/u=Cx得：e^(y/x)=Cy

常微分方程属于数学的基础数学分支常微分方程。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支

解:请把微分方程的题目图片发过来，这里无法显示图片。希望对你有帮助！