常微分方程

常微分方程dy/dx＝e^（x－y）的通解为ln(e^x+c1)。解答过程如下：dy/dx=e^x/e^ye^ydy=e^xdxe^y=e^x+c1y=ln(e^x+c1)一阶微分方程的普遍形式一般形式：F（x,y,y"）=0标准形式：y"=f(x,y)常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，先考虑他的齐次形式我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成x""+ax=0借这个方程的时候设x=exp(mt)就可以得到x"=m*exp(mt)x""=(m^2)*exp(mt)然后带回原方程就可以得到方程m^2+a=0然后你就可以得到m1=+(-a)^(1/2)，m2=-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，如果你a小于零，那么-a就大于零，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是yc=c1*exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)c1c2都是常数如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。），a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2),m2=-1*a(1/2)那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin(a^(1/2))b1b2也都是常数这个时候你再来考虑非齐次的形式也就是x""+ax=b因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设非齐次方程的特殊解为yp=k0+k1x然后yp‘=k1yp""=0代回原方程就解出k1=0，k0=b/a然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp即y=yc+yp目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。

方程dy/dx+p(x)y=q(x)uf08c叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。如果q(x)恒等于0，则方程称为齐次的；如果q(x)不恒等于零，则方程称为非齐次的。、例如(1+x^2)dy=(x+y)dxdy/dx=（x+y）/(1+x^2)=x/(1+x^2)+y/（1+x^2)dy/dx-y/（1+x^2)=x/(1+x^2)p(x)=-1/（1+x^2)q(x)=x/(1+x^2)不恒等于0所以是一阶线性非齐次方程

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：dy/dx=sin x，其解为： y=-cos x+C，其中C是待定常数；如果知道y=f(π)=2，则可推出C=1，而可知 y=-cos x+1。一阶线性常微分方程对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：对于方程：y"+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。扩展资料：以下是常微分方程的一些例子，其中u为未知的函数，自变量为x，c及ω均为常数。

如果你是要求最优化问题，可以用牛顿法或者最速下降法。要matlab代码的话私聊我。

要看你的方程是什么的呀..不同的有不同解法..伯努利方程..里卡蒂方程..总之把复杂的化归到最一般的..齐次方程啊...线性方程啊..

在常微分方程（ODEs）的求解中，变量变换是一种广泛应用的技术，可将一个ODE转化为另一个形式更简单或更易于求解的ODE。变量变换的主要思路是，通过进行一些代数运算或数学转换，将原来的未知函数$y(x)$转化为一个或多个新的未知函数$u(z)$，然后用这个新的未知函数重新表示原方程并尝试求解它。常见的变量变换有以下几种：1.线性变换：通过进行一次线性变换，可将一类特殊的ODE转化为标准形式，比如Bernoulli方程。2.非线性变换：对于某些高阶的ODE，可以采用用一些非线性变量变换将其转化为一般形式的一阶ODE求解。3.Liouville变换：将无界函数转化为有界函数的变换。4.相似变量变换：应用于含参数ODE,即参数ODE可以通过变量变换转化为常系数ODE以实现求解。5.特殊的非线性变换：如ヤコビ乘积型变换等。其特点是可以把ODE本拟微分同构化为更易于求解的系统。总而言之，合适的变量变换能够极大地简化常微分方程便于求解。此外，变量变换还可以应用于常微分方程解的表达式的简化和求导中。通过应用合适的变量变换，有时候能够将表达式的形式化简为更加简洁、易于处理的形式。而在对求解后的表达式进行求导时，变量变换同样也是一种非常有效的工具，能够简化求导表达式，并避免出现不必要的计算错误。需要注意的是，变量变换虽然可以大大简化常微分方程的求解过程，但是变换的可行性和正确性必须经过严密的数学证明，否则所得到的解可能是不正确的。因此，在使用变量变换时，一定要根据具体的情况仔细分析其适用性，并结合上下文正确应用。

　　山东大学是一所历史悠久、学科齐全、实力雄厚、特色鲜明的教育部直属重点综合性大学，在国内外具有重要影响，2017年顺利迈入世界一流大学建设高校（A类）行列，山东大学既是985工程也是211工程,那么作为全国前30名的顶尖强校,2022年山东大学“825线性代数与常微分方程”考哪些内容呢？一起来看看吧。　　●、山东大学学校简介　　山东大学前身是1901年创办的山东大学堂，被誉为中国近代高等教育起源性大学。其医学学科起源于1864年，开启近代中国高等医学教育之先河。从诞生起，学校先后历经了山东大学堂、国立青岛大学、国立山东大学、山东大学以及由原山东大学、山东医科大学、山东工业大学三校合并组建的新山东大学等几个历史发展时期。120年来，山东大学始终秉承“为天下储人才，为国家图富强”的办学宗旨，深入践行“学无止境，气有浩然”的校训精神，踔厉奋发，薪火相传，积淀形成了“崇实求新”的校风，培养了60余万各类人才，为国家和区域经济社会发展作出了重要贡献。　　●、“825线性代数与常微分方程”考试性质、考查目标、考查内容等等　　一、考查目标　　线性代数与常微分方程是为招收理学数学学院各专业硕士研究生而设置的具有选拔功能的考试科目。其目的是科学、公平、有效地测试考生是否具备攻读数学专业硕士所必须的基本素质、一般能力和培养潜能，以利用选拔具有发展潜力的优秀人才入学，它的主要目的是测试考生对线性代数及常微分方程内容的掌握程度和应用相关知识解决问题的能力。要求考生比较系统地理解线性代数及常微分方程的基本概念和基本理论，掌握线性代数及常微分方程理论的基本方法。要求考生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力。　　二、考试形式和试卷结构　　1.试卷满分及考试时间　　试卷满分为150分，考试时间180分钟。　　2.答题方式　　答题方式为闭卷、笔试。　　3.题型结构　　题型为计算题及证明题。　　三、考查内容及要求　　Ⅰ．常微分方程　　1．微分方程的一些基本概念　　（1）考试内容　　1）常微分方程　　2）阶数　　3）线性与非线性　　4）解、隐式解、通解、特解　　（2）考试要求　　1）了解微分方程与客观世界中某些实际问题的关系　　2）掌握微分方程中线性与非线性、通解与特解等基本概念　　3）了解一阶方程及其解的几何意义　　2．一阶微分方程的初等解法　　（1）考试内容　　1）变量分离方程，齐次方程及可化为变量分离的方程　　2）线性方程，贝努利方程　　3）恰当方程的概念，充要条件，恰当方程的通解。积分因子的概念及其求法　　4）一阶隐式方程（四种类型方程）的解法　　（2）考试要求　　1）能正确的识别一阶方程的类型　　2）掌握变量分离方程、齐次方程及可化为变量分离方程的解法。　　3）掌握一阶线性方程、贝努利方程的解法　　4）掌握恰当方程的解法及求积分因子的基本方法　　5）掌握一阶隐式方程的解法　　3．一阶微分方程的存在定理　　（1）考试内容　　1）一阶微分方程解的存在唯一性定理求近似解及误差估计　　2）有界及无界区域中解的延拓定理　　3）解对初值的连续依赖和可微性定理　　4）奇解概念、求法及克莱罗方程　　（2）考试要求　　1）理解和掌握存在唯一性定理及其证明　　2）会求方程的近似解并估计其误差　　3）了解解的延拓定理　　4）了解解对初值的连续依赖定理和解对初值可微性定理　　5）理解奇解的概念并会求方程的奇解　　6）掌握克莱罗方程的解法　　4．高阶微分方程　　（1）考试内容　　1）齐线性方程解的性质和结构　　2）非齐线性方程通解的结构和常数变易法　　3）常系数齐次线性方程通解的求法，　　4）常系数非齐次方程特解的求法　　5）高阶方程的降阶　　（2）考试要求　　1）掌握齐次线性方程解的性质和通解的结构　　2）熟练地求解常系数齐次及非齐次线性方程　　3）会用降价法求高阶方程的解　　5．线性微分方程组　　（1）考试内容　　1）一阶线性方程组的存在唯一性定理　　2）线性方程组的一般理论　　3）常系数线性方程组的标准基解矩阵　　4）基解矩阵的计算　　（2）考试要求　　1）理解一阶线性方程组的存在唯一性定理　　2）理解线性方程组解的性质　　3）掌握线性方程组通解的结构，会用常数变易法求非齐线性方程组的一个解向量　　4）会求常系数线性方程组的基解矩阵　　Ⅱ．线性代数　　1．行列式　　（1）考试内容　　1）行列式的定义、基本性质　　2）行列式的计算　　3）行列式按行（列）展开　　（2）考试要求　　1）理解行列式的概念，会用行列式的性质计算行列式　　2）会用克莱姆法则求解线性方程组　　3）掌握行列式按行（列）展开的应用　　2．线性方程组　　（1）考试内容　　1）线性相关（无关）性，向量组的秩　　2）矩阵的秩　　3）齐次线性方程组的基础解系，通解　　4）非齐次线性方程组有解的充要条件、解的结构与通解　　（2）考试要求　　1）会讨论向量组的线性相关（无关）性，会计算矩阵的秩　　2）会计算齐次线性方程组的基础解系，通解　　3）掌握非齐次线性方程组有解的充要条件、会计算其通解　　4）掌握齐次线性方程组的基础解系和矩阵秩的联系　　3．矩阵　　（1）考试内容　　1）矩阵的运算和性质，矩阵的逆　　2）初等变换和初等矩阵　　3）乘积矩阵的秩和行列式　　4）分块矩阵的应用　　（2）考试要求　　1）理解和掌握矩阵的运算和性质　　2）会求矩阵的逆　　3）掌握初等变换和初等矩阵的联系　　4）掌握分块矩阵的应用　　4．二次型　　（1）考试内容　　1）二次型的标准型，矩阵的合同关系　　2）惯性定理　　3）正定矩阵和正定二次型　　4）半正定矩阵和半正定二次型　　（2）考试要求　　1）掌握二次型的标准型的求法　　2）掌握惯性定理及其应用　　3）熟练掌握正定矩阵和正定二次型　　4）了解半正定矩阵和半正定二次型　　5．线性空间　　（1）考试内容　　1）线性空间的基本概念、基和维数　　2）线性空间的子空间、子空间的运算，维数公式　　3）线性空间的直和分解和线性空间的同构　　（2）考试要求　　1）掌握线性空间的基本概念、基和维数　　2）掌握子空间的运算，维数公式　　3）掌握线性空间的直和分解　　6．线性变换　　（1）考试内容　　1）线性变换与矩阵　　2）特征值和特征向量，不变子空间　　3）矩阵的特征多项式和最小多项式　　4）可对角化的矩阵　　（2）考试要求　　1）掌握线性变换和矩阵之间的对应关系　　2）掌握特征值和特征向量的计算　　3）掌握矩阵可对角化的等价条件　　4）了解线性空间相对于一个线性变换的直和分解及其应用　　7．-矩阵ue814　　（1）考试内容　　1）多项式矩阵的运算和等价，多项式矩阵的带余除法　　2）数字矩阵的相似等价条件　　3）行列式因子、不变因子、初等因子　　4）矩阵的若当标准型和有理标准型　　（2）考试要求　　1）掌握矩阵的相似等价条件　　2）掌握初等因子的计算，会计算矩阵的若当标准型　　3）掌握矩阵的最小多项式与不变因子的关系　　4）了解矩阵的有理标准型　　8．欧式空间　　（1）考试内容　　1）欧式空间的基本概念、内积的性质　　2）标准正交基，正交变换与正交矩阵，对称变换与对称矩阵　　3）实对称矩阵的特征值、特征向量　　4）实二次型的主轴问题　　（2）考试要求　　1）掌握欧式空间的基本概念、内积的性质　　2）掌握实对称矩阵的相似标准型　　3）掌握正交矩阵的性质　　4）了解欧式空间关于子空间的直和分解　　考研政策不清晰？同等学力在职申硕有困惑？院校专业不好选？点击底部官网，有专业老师为你答疑解惑，211/985名校研究生硕士/博士开放网申报名中：https://www.87dh.com/yjs2/

du/dx=2x+u: 这个称为一阶非齐次线性方程，不能分离变量=> du/dx-u=2x: ..........................(.* ) 用【常数变易法】或 【公式】 先求 du/dx=u 的解 分离变量 du/u=dx 两边积分 u=Ce^x再令 u=C(x)e^x ....................(**) 是 (*)的解 得到 C"(x)=2xe^(-x) 解出C(x) 代入（**），就得到u

形如：dy/dx=f(x)g(y)的方程，称为变量分离方程；解法是把变量分离开，然后两边积分即可！

我有的~看简介嗷~

题主提供的常微分方程是可以用分离变量法来求解。求解步骤：1、将dy和dx分离到等式两边2、取积分后，求解不定积分3、从上述结果，求出y(x)的表达式 ，得到常微分方程的通解4、如有初始条件，则根据条件解出积分常数C值，得到常微分方程的特解题主的问题求解过程如下：

就是把不同的变量通过各种手段移到方程的两边，然后再方程两边同时积分，是求解常微分方程的基础手段，推荐去图书馆找本教科书看看。

你圆珠笔部分已经写出来了啊，根据已知条件，dy/dx=f(ax+by+c)=f(z)

dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx)=1/e^t*(dy/dt)d^2y/dx^2={d[1/e^t*(dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=(1/e^t)*(d^2y/dt^2-dy/dt)*(1/e^t)=(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)d^3y/dx^3={d[(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]/dt}*(dt/dx)=[(1/e^t)^2*(d^3y/dt^3-d^2y/dt^2)-2(1/e^t)^2*(d^2y/dt^2-dy/dt)]*(1/e^t)=(1/e^t)^3*(d^3y/dt^3-3d^2y/dt^2+2dy/dt)

不需要，直接x=e^t算出来后的，直接包括所有齐次通解，你那个48算出齐次通解，然后设ax²+bx+c为特解，带进去，解abc

《常微分方程》是2008年清华大学出版社出版的图书，作者是焦宝聪，王在洪，时红延。 基本介绍 书名 ：常微分方程 作者 ：焦宝聪，王在洪，时红延 ISBN ：9787302177616 页数 ：279 定价 ：29.80元 出版社 ：清华大学出版社 出版时间 ：2008-08-01 装帧 ：平装 开本 ：1/16 图书简介,目录, 图书简介 本书分为7章： 基本概念，一阶方程的初等积分法，一阶方程的一般理论，高阶微分方程，微分方程组，定性理论与稳定性理论初步，差分方程。内容取材精练，注重概念实质的揭示、定理思路的阐述、套用方法的介绍和实际例子的分析，并配合内容引入了数学软体。每章配有习题，全部计算题都有答案，个别证明题有提示。 本书可用作师范院校、理工科大学的数学类各专业的教科书和部分理工科其他专业的参考书。 目录 第1章基本概念 1.1微分方程的例子 习题1.1 1.2基本概念 1.2.1常微分方程和偏微分方程 1.2.2解和通解 1.2.3积分曲线和积分曲线族 习题1.2 第2章 一阶方程的初等积分法 2.1变数可分离方程 习题2.1 2.2齐次方程 习题2.2 2.3一阶线性方程 习题2.3 2.4全微分方程 2.4.1全微分方程 2.4.2积分因子 习题2.4 2.5一阶隐方程 2.5.1可解出y的方程 2.5.2不显含x的方程 习题2.5 2.6套用举例 习题2.6 第3章 一阶方程的一般理论 3.1微分方程及其解的几何解释 3.1.1方向场 3.1.2图像法 3.1.3欧拉折线 习题3.1 3.2毕卡存在与唯一性定理 习题3.2 3.3解的延拓 习题3.3 3.4解对初值的连续性 习题3.4 3.5解对初值的可微性 习题3.5 3.6一阶隐方程的奇解 3.6.1一阶隐方程解的存在与唯一性定理 3.6.2p?判别曲线法 3.6.3c?判别曲线法 习题3.6 第4章高阶微分方程 4.1高阶微分方程 4.1.1引论 4.1.2高阶微分方程的降阶法 习题4.1 4.2高阶线性齐次微分方程 4.2.1线性齐次微分方程的一般理论 4.2.2常系数线性齐次微分方程的解法 4.2.3某些变系数线性齐次微分方程的解法 习题4.2 4.3二阶线性齐次微分方程的幂级数解法 4.3.1引言 4.3.2常点邻域内的幂级数解 4.3.3正则奇点邻域内的广义幂级数解 4.3.4两个特殊方程 习题4.3 4.4高阶线性非齐次微分方程 4.4.1线性非齐次微分方程的一般理论 4.4.2常系数线性非齐次微分方程的解法 习题4.4 4.5套用举例 4.5.1弹簧振动问题 4.5.2电磁振荡问题 4.5.3弹簧振动的微分方程的求解 习题4.5 第5章微分方程组 5.1微分方程组的基本概念 5.1.1引言 5.1.2解的存在唯一性定理 5.1.3化为高阶方程法和可积组合法 习题5.1 5.2线性齐次微分方程组 5.2.1线性齐次微分方程组的一般理论 5.2.2常系数线性齐次微分方程组的解法 习题5.2 5.3一阶线性非齐次微分方程组 5.3.1线性非齐次微分方程组的一般理论 5.3.2常系数线性非齐次微分方程组的解法 习题5.3 5.4套用举例 5.4.1捕食者与被捕食者的生态问题 5.4.2多回路的电路问题 习题5.4 第6章定性理论与稳定性理论初步 6.1定常系统 6.1.1动力系统、相空间与轨线 6.1.2定常系统轨线的类型 习题6.1 6.2平面定常系统的奇点 6.2.1线性系统的奇点 6.2.2非线性系统的奇点 习题6.2 6.3解的稳定性 6.3.1李雅普诺夫(Liapunov)稳定性的概念 6.3.2按线性近似法判别稳定性 6.3.3李雅普诺夫直接法 习题6.3 6.4极限环 6.4.1极限环的概念 6.4.2极限环存在性的判别 习题6.4 第7章差分方程 7.1基本概念 习题7.1 7.2一阶差分方程 7.2.1一阶线性差分方程 7.2.2一阶非线性差分方程 习题7.2 7.3高阶线性差分方程的一般理论 7.3.1解的简单性质 7.3.2通解的结构 7.3.3阿贝尔(Abel)定理 习题7.3 7.4二阶常系数线性差分方程的解法 7.4.1Rn≡0的情形 7.4.2Rn?0的情形 习题7.4 附录A常微分方程发展概要 附录B答案与提示

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我用s function 和模块分别搞了桥吊的模型 结果是一样的啊 桥吊模型是非线性 二阶的

一般形式：F（x,y,y"）=0。标准形式：y"=f(x,y) 1.可分离变量的一阶微分方程2.齐次方程。3.一阶线性微分方程。4.伯努利微分方程。5.全微分方程。如果我们依照阶数、常系数与变系数、齐次与非齐次、线性与非线性来进行分类。确实会让分类更为严谨，判断题型类别时候更加得心应手，但这有时候并不会让你更快的想到解题方法。比如说： 方程 ，按方程类型分类，应为 一阶变系数非齐次非线性方程 。这样描述你可能并不知道应该怎么求解，但是如果说它是可分离变量的微分方程，你马上就知道应该怎么做了。

缺条件

欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换可化为常系数微分方程。欧拉方程的概念：对无粘性流体微团应用牛顿第二定律得到的运动微分方程。欧拉方程是无粘性流体动力学中最重要的基本方程。应用十分广泛。1755年，瑞士数学家L.欧拉在《流体运动的一般原理》一书中首先提出这个方程。在研究一些物理问题，如热的传导、圆膜的振动、电磁波的传播等问题时，常常碰到如下形式的方程：欧拉ax²D²y+bxDy+cy=f(x),其中a、b、c是常数，这是一个二阶变系数线性微分方程。它的系数具有一定的规律：二阶导数D²y的系数是二次函数ax²，一阶导数Dy的系数是一次函数bx，y的系数是常数。这样的方程称为欧拉方程。例如：(x²D²-xD+1)y=0,(x²D²-2xD+2)y=2x³-x等都是欧拉方程。

由于题型种类与解题方法的多样性，此处的分类比较混乱。部分按方程的类型分类（如线性、非线性，齐次、非齐次），部分按解法分类（如可分离变量，可降阶），还有按其特定命名分类（如伯努利方程和欧拉方程）。 因此，需要特别说明的是，同一分支下的不同类别并不是严格互斥的。比如说：齐次方程，线性微分方程以及非线性微分方程处于同一级分支。但这并不意味着齐次方程既不是线性微分方程，也不是非线性微分方程。 如果我们依照阶数、常系数与变系数、齐次与非齐次、线性与非线性来进行分类。确实会让分类更为严谨，判断题型类别时候更加得心应手，但这有时候并不会让你更快的想到解题方法。比如说： 方程 ，按方程类型分类，应为 一阶变系数非齐次非线性方程 。这样描述你可能并不知道应该怎么求解，但是如果说它是可分离变量的微分方程，你马上就知道应该怎么做了。 可分离变量的微分方程 是指可化为 形式的微分方程，两边同时积分便可以求得结果。 如果一阶微分方程可化为 的形式，那么就称为 齐次方程 。 齐次方程的一个重要特征是，每一项关于x、y的次数和是相等的。如 、 、 都是二次项， 、 、 都可以看做一次项。因此，方程 可以用求解齐次方程的方法进行求解。值得注意的是 与 一个没有负号，一个有负号。高阶微分方程 是指二阶及二阶以上的微分方程。容易注意到，可降阶的微分方程中缺少了部分元素。 型微分方程缺少了 、 、 、 。 型的微分方程缺少了 。 型的微分方程缺少了 。也因此。后两种类型的微分方程在令 后，一个继续求对 的导数，另一个则变为了求对 的导数。 形如 ，同时 均为常数的方程叫 常系数齐次线性微分方程 。形如 ，同时 均为常数的方程叫 常系数非齐次线性微分方程 。当 为一般类型的时候，可以使用常数变易法对其进行求解。如 便可以使用常数变易法对其求解。注意，对于常系数线性微分方程组的一般题型，使用微分算子结合行列式解题比较容易。 对于常规的题型来说，先判断其方程形式，然后按部就班的使用相应的解法即可得到结果。因此，需要对各个类型的求解方式了然于胸，没有什么捷径可走。

无一般解法,特殊情况除外(线性常系数微分方程,可化为线性常系数微分方程的方程欧拉方程,某些方程可有幂级数解法).

微分方程中出现的未知函数和该函数各阶导数都是一次的，称为线性常微分方程。它的理论是常微分方程理论中基本上完整、在实际问题中应用很广的一部份。　　线性一阶常微分方程 　在初等常微分方程中已经知道方程y┡+p(x)y=Q(x)　 　 (1)及其对应的齐次线性方程y┡+p(x)y=0　 　 (2)的解法，得到(2)的通解和满足初始条件y(x0)=y0的特解分别为：(3)(1)的通解和满足初始条件y(x0)=y0的特解分别为：， (4)方程(1)、(2)及其解有以下的重要的性质。　　①y(x)呏0是(2)的解，称为明显解。如果p(x)在x0连续,则满足零初始条件y(x0)=0的解必为明显解。②方程(2)的任意两个解y1与y2的线性组合C1y1+C2y2也是(2)的解,C1,C2是任意常数。③y*(x)是(2)的满足条件y(x0)=1的特解。④(2)的解的全体构成一维线性空间，明显解是零元素。⑤ 方程(1)的通解(4)等于(1)的一个特解加上(2)的通解。⑥Y(x)是(1)的满足零初始条件y(x0)的特解。⑦若Q(x)=Q1(x)+Q2(x),又已知yi(x)是y┡+p(x)y=Qj(x),(i=1,2)的解,则y1(x)+y2(x)是方程(1)的解（叠加原理）。　　易见，线性代数方程组的解也具有类似的性质。线性常微分方程组和线性高阶常微分方程的解也有同样的性质。　　线性一阶常微分方程组 　这种方程组可写成如下形式(6)若其中αij(x),?i(x)在x的区间(α,b)上为连续，则方程(6)的满足的解(y1(x),y2(x),…,yn(x))在区间(α,b)上存在而且惟一。　　为方便计，(6)可写为向量方程(7)式中而对应的齐次方程是(8)仿照线性代数中那样，对于任意m个n元向量函数y1(x),y2(x),…,ym(x)，可以定义它们在区间(α,b)上的线性相关与线性独立。当这些函数都是同一个方程(8)的解时,它们的线性相关性或独立性可由其在(α,b)中的任一点x0为线性相关或独立来决定。特别,当m=n时成立等式(9)其中后一行列式称为y1,y2,…,yn的朗斯基行列式。由它在(α,b)中任一点的值等于零或不等于零，可判定y1，y2，…yn在(α,b)中是(8)的线性相关解或线性独立解。由此，方程(8)必存在n个线性独立解,而任何n+1个解都是线性相关的。　　对应于方程(1)与(2)的前述7条性质,方程(7)与(8)也有如下的性质。①y(x)呏0是(8)的明显解。若A(x)在x0连续，则满足条件y(x0)=0的解必为明显解。②方程(8)的任意几个解的线性组合也是(8)的解。(8)的通解可表为,其中C1，C2，…，Cn为n个任意常数，y1(x),y2(x),…,yn(x)是(8)的任何n个线性独立解,称之为(8)的一个基本解组,由它们的n2个分量构成的方阵称为基解方阵。③若y壜(x),(i=1,2,…,n)是(8)的基本解组,使对应的基解方阵Y*（x）满足初值条件Y*(x0)=E（E为单位方阵）,则(8)的任一解y(x)可表示为y(x)=Y*(x)y(x0)。但仅当与A(t)为可交换时(即B(t)A(t)=A(t)B(t)），Y*(x)才能写成的形式。④(8)的解的全体构成n维线性空间，任何一个基本解组都可作为此空间的基底，明显解是零元素。⑤方程(7)的通解等于它的一个特解加上(8)的通解，且可表示为：(10)式中y0=y(x0)。⑥(10)式右边第二项是方程(7)的满足零初始条件y(x0)=0的特解。⑦若?(x)=?1(x)+?2(x),又已知yi(x)是的解,则y1(x)+y2(x)是(7)的解。　　线性高阶常微分方程 　这种方程可写为如下形式。　(11)此方程可借助于引进新的未知函数化为一阶方程组。令y1=y,y2=y┡,y3=y″,…,yn=y(n-1)，则(11)化为若改记(12)为向量方程，则这时式(9)中的，而朗斯基行列式成为式中y1,y2,…,yn表示(11)所对应的齐次方程的任意n个解，而(11)的通解是对应的(12)的通解(10)的第一个分量。　　由于黎卡提方程y┡=p(x)y2+Q(x)y+R(x)可借代换化为u的线性二阶方程或线性方程组。所以即使是只含两个未知函数的线性方程组（或是二阶线性方程）也未必能用初等方法求出通解。但可证明：如果已知(8)或(11)所对应的齐次方程的k个线性独立解，则该齐次方程即可被降为只含n-k个未知函数的线性方程组或线性n-k阶方程。由此可得重要结论:当n=2时,如果方程y+p1(x)y┡+p2(x)y=0　 (13)的一个非零特解y1为已知，则可求出它的通解，且具有如下形式：，对n=2时的方程(8)也成立类似的结论。但对y+p1(x)y┡+p2(x)y=q(x)， 　(14)仅当已知它的两个特解时才能求出其通解;对于n=2时的方程组(7)，也是如此。　　方程(13)在应用数学中颇为重要，对它还有幂级数解法、广义幂级数解法、定积分解法以及解的定性讨论等内容。　　伴随微分方程 　以A*(x)记方程(8)中A(x)(可能为复方阵函数)的共轭转置方阵，则称(15)为(8)的伴随微分方程。不难证明：(8)的任一基解方阵φ(x)与(15)的任一基解方阵Ψ(x)必满足恒等式Ψ*(x)φ(x)=C，C是（复的）常数方阵。　　借助于(12)，易证线性齐次高阶方程Lny=y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pny=0 　 　(16)的伴随方程是　对于(16)和(17)成立拉格朗日恒等式：设pi(x)在区间(α,b)上为n-i次连续可微，u(x)与v(x)在(α,b)上为n次连续可微，则有， 　(18)式中。把(18)在(α,b)的任一子区间(x1,x2)上积分,即得格林公式：(19)这两个公式对讨论边值问题很有用处。此外，由(18)还可看出:如果υ(x)是(17)的非零解，则尌(x)是(16)的积分因子。　　常系数线性方程组与常系数线性高阶方程 　对于常系数一阶线性非齐次方程组(20)及其对应的齐次方程组。 　(21)按照前述线性一阶常微分方程组的理论和矩阵函数的知识可得(21)的通解为。　 　(22)(20)的通解为。　 (23)为了实用上的需要，还须知道eAx的具体表达式。　　称λ的n次代数方程│A-λE│=0为(21)的特征方程，它的根为(21)的特征根。可以证明：若λi是特征根,Γi是对应的特征向量,则eΓi是(21)的解；又若λi≠λj都是特征根,则eΓi与eΓj是(21)的两个线性独立解。因此,如果(21)有n个不同的特征根λ1,λ2,…,λn,则它的通解是。一般,当特征方程可能有重根时,可借助于线性代数中化矩阵为若尔当法式的理论来求(21)的通解。设非奇异方阵p使p-1Ap=B具若尔当法式，则线性变换y=pz可以化(21)为, (24)其中Bj为nj阶若尔当块,n1+n2+…+nr=n。若记Bj=λjEj+Nj则有而(24)的通解为(21)的通解是(25)由此可见у的各个分量都具有(26)的形式，pkj(x)是x的次数不大于(nj-1)的多项式，系数是C1,C2,…,Cn的齐次线性组合。　　若(20)与(21)是由线性常系数高阶方程y(n)+p1y(n-1)+…+pny=q(x)　 (27)与y(n)+p1y(n-1)+…+pny=0　 (28)化来，则特征方程是λn+p1λ(n-1)+…+pn-1λ+pn=0，　 　(29)而(26)中的y1即(28)的通解。这时A的右上角有一个n-1阶子行列式之值为1，故(29)的每一i重根λ*只对应于一个i阶若尔当块，而y1中前面的多项式必为i-1次。又若(27)为实系数而有复特征根，则必成对出现。实用上常以 eαxcosβx与eαxsinβx这两实解代替两个共轭复解。　　虽然从理论上说，(20)或(27)的特解可按公式(23)右边的第二项来求,其中eAtt=peBttp-1。但在具体计算时是相当麻烦的。当q(x)或?(x)的各分量为多项式、正弦余弦函数、指数函数、或三者的乘积之和时，不难得知对应的特解所应具有的形式，然后可用待定系数法来求特解。此外，也可采用符号方法或拉普拉斯变换法求特解。拉氏变换法是把常系数线性微分方程的求解问题化为线性代数方程或方程组的求解问题，求解时把初始条件一起考虑在内，不必先求通解再求特解，在工程技术中有广泛的应用。此外，还有用留数理论求方程(20)或(21)解的方法。　　欧拉方程和周期系数线性方程 　这是两种可化为常系数的变系数线性方程。二者有本质的不同，前者是切实可行的，后者只有理论上的价值。欧拉方程是形如xny(n)+α1x(n-1)y(n-1)+…+αn-1xy┡+αny=?(x)　(30)的方程，经自变量的代换x=et就可化为常系数，这时有，不难写出所对应的、以t为自变量的常系数线性方程。对比(30)更一般的方程(αx+β)ny(n)+α1(αx+β)(n-1)y(n-1)+…+αny=?(x)可作代换αx+β=et。又对方程组(7),只要αij(x)=αijφ(x)对一切i，j，则用代换总可把(7)化为常系数。　　若(8)中的A(x)对x有周期ω，而Y(x)是一基解方阵，则Y(x+ω)也是，故Y(x+ω)=Y(x)C,C为非奇异方阵。由线性代数知有方阵B使C=eωB,令p(x)=Y(x)e-Bx，则p(x)也有周期ω。若在(8)中作变换y=p(x)z,则z将满足常系数方程。 (31)C的特征根ρi与B的特征根λi之间存在关系,ρi与λi分别称为周期系数方程(8)的特征乘数和特征指数。由（31）易见这时(8)的任意解的每一分量是形如e·φi(x)的函数的线性组合,其中φi(x)为x的多项式,系数是x的周期为ω的周期函数。但即使对于极简单的马蒂厄方程y+(λ+μcosx)y=0，　 　 　(32)对应的一阶方程组的变换方阵C也写不出来，而只知有ρ1ρ2=1这个关系式。为研究 (32)的解的性质，只能在(λ，μ)平面中画出无数条曲线（它们的方程只能近似地确定）,分此平面为无数个属于两种类型的区域,然后说明在两类区域中或位于曲线上的点(λ，μ)，其所对应的方程(32)的解会具有一些什么样的性质。关于方程(32)以及比它更广的很有实用价值的希尔方程y+φ(x)y=0，φ(x+π)=φ(x)都有专著。　　参考书目　　叶彦谦编：《常微分方程讲义》,第2版，人民教育出版社，北京，1982。　　R.贝尔曼著，张燮译：《常微分方程的解的稳定性理论》,科学出版社，北京,1957。(R.Bellman,StαbilityTheory of Differentiαl Equαtions , McGraw-Hill,New York, 1953.)　　E.L.Ince,Ordinαry Differentiαl Equαtions , Dover, New York, 1944.

考研数学一考二阶线性微分方程,因为考研数一大纲里有高阶常系数线性微分方程求解的内容,所以,出题的机率还是比较大的。查看更多

变系数二阶常微分方程无一般解法，求解非一般的困难可参考一下这篇论文：http://wenku.baidu.com/view/862d5d0f52ea551810a68731.html以及这篇文章：http://wenku.baidu.com/view/d1d7244c2e3f5727a5e962e4.html

二阶变系数常微分方程解法 无一般解法,特殊情况除外(线性常系数微分方程,可化为线性常系数微分方程的方程尤拉方程,某些方程可有幂级数解法). 变系数二阶常微分方程～ x(x-1)y""+(3x-2)y"+y=2x 等价于 [x(x-1)y" + (x-1)y]" =2x x(x-1)y" + (x-1)y = x^2 +C0 化为一阶线性微分方程 y" +(1/x)y = (x^2 +C0)/[x(x-1)] 套用公式 e^(∫1/xdx) =x y = (1/x)∫(x^2 +C0)/[x(x-1)]*x dx = (1/x)∫(x^2 +C0)/(x-1) dx 其中(x^2 +C0)/(x-1) = (x+1) + (C0+1)/(x-1) =(x+1) + C1/(x-1) y= (1/x)[(x+1)^2/2 +C1*ln(x-1) +C2] MATLAB 二阶常微分方程 clear all clc f=@(t,x)([x(2);-x(2)+100*x(1)+1+200*cos(2.5*t)]); [t,X]=ode45(f,[0 1],[1 42.510604]); plot(X(:,1),X(:,2)) 画出来的不是周期图，检查一下方程 matlab 中二阶常微分方程的数值解法 odefun=@(t,x)[x(2);3*x(2)-2*x(1)+1]; [t,y]=ode45(odefun,[0:0.01:2],[1 0]); plot(t,y) [t y] 结果 y(0.5000)=0.7896 y= dsolve("D2y-3*Dy+2*y=1","Dy(0)=0","y(0)=1"); >> y y = exp(t) - exp(2*t)/2 + 1/2 >> feval(@(t)exp(t) - exp(2*t)/2 + 1/2,0.5) ans = 0.7896 一类二阶常微分方程的几种解法 1、引言常微分方程有着深刻而生动的实际背景,它从生产实践与科学技术中产生,而又称为现代科学技术中分析问题与解决问题的一个强有力的工具。人们对二阶及以上微分方程(包括线性、常系数、隐性)的研究,产生了许多理论成果。如胡爱莲[1],屈英[2],汪涛[3]等。对于变系数的常微分方程尤其是高阶常微分方程,一般没有确定的解法,通常的方法就是“降阶法”,即通过变换将高阶常微分方程的求解问题转换为较低阶的常微分方程来求解(见文献[4-5])。本文通过一个具体的例子,说明一类二阶可降阶的常微分方程的几种解法。2、特殊的二阶常微分方程的解法即:(18)解法三:根据高等数学在数学软体Matlab中的应用[6],从而得到启发,应用Matlab来求解此类方程。故在开启的命令视窗输入下述命令:>>symsty;>>y=dsolve("D2y=1+Dy^2")y=1/2*log(1+tan(t+C1)^2)+C2上述结果只要作如下的变形就与解法一、解法二的结果是一致的。 matlab求解二阶常微分方程 用dsolve（）函式，就可以解决。 dsolve("3*D2x+500*Dx+2000*x","Dx(0)=2.5","x(0)=0.1") ans = (565^(1/2)*exp(t*((10*565^(1/2))/3 - 250/3))*(2*565^(1/2) + 65))/22600 + (565^(1/2)*(2*565^(1/2) - 65))/(22600*exp(t*((10*565^(1/2))/3 + 250/3))) %x(t) 二阶常微分方程问题 将x = u(t+s)代入得到等式: u"(t+s) = F(u(t+s),u"(t+s),t). 换元t = T-s得: u"(T) = F(u(T),u"(T),T-s). 上式是恒等式, 也即: u"(t) = F(u(t),u"(t),t-s). 而将x = u(t)代入方程得到: u"(t) = F(u(t),u"(t),t). 于是有F(u(t),u"(t),t-s) = F(u(t),u"(t),t), 对任意实数t, s与方程的任意解u成立. 当F连续, 对任意实数X, Y, 方程存在满足u(0) = X, u"(0) = Y的解. 代入得F(X,Y,-s) = F(X,Y,0)对任意实数s成立. 因此X, Y给定时, F(X,Y,-s)是与s无关的常数, F与第三个分量无关. 另外如果条件只是存在一个解x = u(t)使x = u(t+s)也是该方程的解, 则结论不能成立. 例如x" = xt, 有解x = 0. 一阶常微分方程的解法 用三要素法试试，屡试不爽的呵 二元二阶非线性常微分方程matlab解法 matlab里面常使用龙格库塔方法求解常微分方程组，命令是ode45，还有其他一些函式，但是最常用的是ode45，lz可以help一下，很简单的，另外给你一个文件，讲的还是比较详细，希望可以帮到你 :wenku.baidu./view/922e6feae009581b6bd9eb6c. 常微分方程解 ∵x""+x=0的特征方程是r^2+1=0，则r=±i（复数根） ∴此方程的通解是x=C1cost+C2sint (C1,C2是常数)。

对于 形式的微分方程，主要求解步骤为：猜根；刘维尔公式；常数变易。 得到一个特解后，使用刘维尔公式 ，或者另一形式的刘维尔公式 （以上 ），即可求得另一特解。 于是便得到了对应齐次方程的通解。 假如通过以上步骤得到齐次方程的通解为 ，常数变易法令非齐次的通解为 。所以有 简写做， 于是便可以解得 ，积分得到 后，代入即可得到非齐次方程的通解。

二阶常系数非齐次线性微分方程特解如下：二阶常系数非齐次线性微分方程的表达式为y""+py"+qy=f(x)，其特解y*设法分为：1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。特解y*设法1、如果f(x)=P（x），Pn（x）为n阶多项式。若0不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=0，λ＝0；因为Qm(x)与Pn（x）为同次的多项式，所以Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。比如如果Pn（x）＝a（a为常数），则设Qm(x)=A（A为另一个未知常数）；如果Pn（x）＝x，则设Qm(x)=ax+b；如果Pn（x）＝x^2，则设Qm(x)=ax^2+bx+c。若0是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=1，λ＝0，即y*=x*Qm(x)。若0是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，λ＝0，即y*=x^2*Qm(x)。2、如果f(x)=P（x）e^αx，Pn（x）为n阶多项式。若α不是特征值，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=0，即y*=Qm(x)*e^αx，Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定。若α是特征方程的单根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^αx中，k=1，即y*=x*Qm(x)*e^αx。若α是特征方程的重根，在令特解y*=x^k*Qm(x)*e^λx中，k=2，即y*=x^2*Qm(x)*e^αx。3、如果f(x)=e^αx，Pl（x）为l阶多项式，Pn（x）为n阶多项式。若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*e^αx中，k=0，m=max{l,n}，Rm1(x)与Rm2(x)设法要根据Pl（x）或Pn（x）的情况而定（同Qm(x)设法要根据Pn（x）的情况而定的原理一样）。即y*=e^αx若α±iβ不是特征值，在令特解y*=x^k*e^αx中，k=1，即y*=x*e^αx。

二阶非齐次线性微分方程的通解如下：y1,y2,y3是二阶微分方程的三个解，则：y2-y1,y3-y1为该方程的两个线性无关解，因此通解为：y=y1+C1(y2-y1)+C2(y3-y1)。方程通解为：y=1+C1(x-1)+C2(x^2-1)。二阶常系数线性微分方程是形如y""+py"+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y""+py"+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的；若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。常微分方程在高等数学中已有悠久的历史，由于它扎根于各种各样的实际问题中，所以继续保持着前进的动力。二阶常系数常微分方程在常微分方程理论中占有重要地位，在工程技术及力学和物理学中都有十分广泛的应用。比较常用的求解方法是待定系数法、多项式法、常数变易法和微分算子法等。

较常用的几个：1、Ay""+By"+Cy=e^mx 特解    y=C(x)e^mx2、Ay""+By"+Cy=a sinx + bcosx    特解    y=msinx+nsinx3、Ay""+By"+Cy= mx+n                 特解    y=ax通解1、两个不相等的实根：y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)2、两根相等的实根：y=(C1+C2x)e^(r1x)3、一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)扩展资料：标准形式   y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)解法通解=非齐次方程特解+齐次方程通解对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay""+by"+cy=p(x)  的特解y*具有形式y*= 其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。多项式法：设常系数线性微分方程y""+py"+qy =pm  (x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz) 。则方程可化为：F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。升阶法：设y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得y"""+p(x)y""+q(x)y"=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。参考资料：百度百科——二阶常系数线性微分方程

常系数线性齐次微分方程y"+y=0的通解为：y=（C1+C2 x）ex故 r1=r2=1为其特征方程的重根，且其特征方程为 （r-1）2=r2-2r+1故 a=-2，b=1对于非齐次微分方程为y″-2y′+y=x设其特解为 y*=Ax+B代入y″-2y′+y=x 可得，0-2A+（Ax+B）=x整理可得（A-1）x+（B-2A）=0所以 A=1，B=2所以特解为 y*=x+2通解为 y=（C1+C2 x）ex +x+2将y（0）=2，y（0）=0 代入可得C1=0，C2=-1。故所求特解为 y=-xex+x+2故答案为-xex+x+2扩展资料：形如y"+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y"的指数为1。一般的凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

A 是假设的待定常数。代入微分方程中确定 A 的值。

原式=∫arctanye^(arctany)d(arctany)令arctany=t原式=∫te^t dt下面自己解即可。

对于第一个圈，是因为他是3阶微分方程，这就和你二阶y""-y"会写成r^2-r一个道理，格式如此，就当提醒你有3个解吧。至于下面的也是步骤格式，当然这步随便跳，他写的详细可能是让人好理解。我们设特解为e^ax*q(x),,其中a=右式中e的相对应数（我没法打出任姆达，这里就用a代表了）。这里就是告诉你a是怎么来的，等于多少，因为a是否与特征根相等涉及到我们设特解时括号外的x是几次方。这里a=0，和原式两个根相同，所以x为2次方。然后括号内x的次数与右式x相同，特解形式就设出来了。

∫-lnxdx=-∫lnxdx=-lnx*x+∫xd(lnx)=-lnx*x+∫dx=-lnx*x+x+C，其中C是任意常数

我建议你去图书馆翻两本书 问题很快就可以解决了

常微分方程，陈文灯微分算子法。无穷级数幂级数求和函数。不定积分结果不唯一求导验证应该能够提高凑微分的计算能力先写别问唉。

方程为：为欧拉方程，采用传统的解法设那么因此从而并有因此原方程化为即这时候可以采用待定系数法求特解，通过特征根法求对应齐次方程的基础解系(1)待定系数法求特解由于上式中几个导数的加减得到关于t的单项式(多项式)，因此可以猜想y是关于t的多项式，设那么代入最后的微分方程得到对比系数，得因此求得特解为(2)特征值法求基础解系最后的非齐次微分方程对应的齐次方程为对应的特征方程为得到三个特征根为这里得到的是数值解，如果要根式解，可以通过盛金公式自己计算。这三个特征根分别记为因此齐次方程的基础解系为因此齐次方程的通解为综上所述，非齐次方程的通解为图片总数已经达到上限，如果需要解答请追问

常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。

化简一下：dv * 2v/(-2v²+3v+2) = dt/t-dv * 2v/[(2v+1)(v-2)] = dt/t-dv * [0.4/(2v+1) + 0.8/(v-2)] = dt/t -0.4dv/(2v+1) - 0.8dv/(v-2) = dt/t-0.2 *d(2v+1)/(2v+1) - 0.8 * d(v-2)/(v-2) = dt/t这个方程两边同时积分，可以得到：-0.2*∫d(2v+1)/(2v+1) - 0.8 *∫d(v-2)/(v-2) = ∫dt/t-0.2 * ln(2v+1) - 0.8 * ln(v-2) = ln(t) + c-0.2 * [ln(2v+1) + 4*ln(v-2)] = ln(t) + cln[(2v+1) * (v-2)^4] = -5 * ln(t) - 5c(2v+1) * (v-2)^4 = 1/t^5 * e^(-5c) = C/t^5

标记一下

此题解法如下：∵ (1+y)dx-(1-x)dy=0==>dx-dy+(ydx+xdy)=0==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0==>x-y+xy=C (C是常数)∴ 此方程的通解是x-y+xy=C。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

令y=xu 则y"=u+xu"方程化为：x²u²+x²(u+xu")=x²u(u+xu")u+xu"=xuu"xu"(u-1)=udu(u-1)/u=dx/xdu(1-1/u)=dx/x积分：u-ln|u|=ln|x|+C1e^u/u=Cx得：e^(y/x)=Cy

常微分方程属于数学的基础数学分支常微分方程。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支

希望有所帮助

方程在R×(0,+∞)和R×(-∞,0)的子域上都是满足唯一性条件的，因为这些区域都不包含y=0的点，而在这些区域上，f(y)=(3/2)y^(1/3)，df/dy存在且连续，所以在这些区域内的每一点都是满足局部李氏条件。所以在这两个区域中的一个内，满足初值条件（τ，ξ）的两个解，一定在它们共同的存在区间上相等，它们都存在与这个区间上，所以他们也一定相等。显然满足初值条件的解是：y^(2/3)-ξ^(2/3)=x-τ，它最大存在区间就是(τ-ξ^(2/3),+∞)（ξ＞0时）因为这个解已经到达了区域的边界，已经是饱和了，所以在任何子区域内，解都只是它的一部分，又因为在共同存在区间上与它相同，所以在这个区间上解是唯一的。ξ＜0时也一样，只不过最大存在区间变成了(-∞,τ-ξ^(2/3))。过(0,0)的解有：①y=x^(3/2)②c≤0y^(2/3)=x+c,当x≥-c时y=0，当x＜-c时③c≥0y^(2/3)=x+c,当x≤-c时y=0，当x＞-c时

dy/dx=(2x-y)/(x-2y)令u=y/x，则dy/dx=u+xdu/dx=(2-u)/(1-2u)(1-2u)/(2-2u+2u²)du=dx/x(2u-1)/((2u-1)²+3)d(2u-1)=-2dx/x各自积分ln((2u-1)²+3)=-4lnx+lnCx^4((2u-1)²+3)=C最后u=y/x代入整理

dx/dt也就是x对于t的斜率设此斜率为k也就是k=t^2+x^2这个方程的图像为以(0,0)为圆点的同心圆，半径为k^0.5然后可以由欧拉折线作出积分曲线饿近似图

BD

1、凡含有参数，未知函数和未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程，微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶，定义式如下：F(x,y,y￠,....,y(n))=0　　2、任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解)，当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。　　3、一般地说，n阶微分方程的解含有n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。　　4、如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。http://baike.baidu.com/view/44699.htm

学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等，要以现有数据求得出形式上的函数解析式，而不是以已知函数来计算特定的未知数。物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个未知的函数。解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。牛顿研究天体力学和机械动力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。

看不见题目

这是个非齐次的二阶常微分方程，所以，先考虑他的齐次形式我就假设是x对t求导了啊，那这个方程的齐次形式就可以写成x""+ax=0借这个方程的时候设x=exp(mt)就可以得到x"=m*exp(mt)x""=(m^2)*exp(mt)然后带回原方程就可以得到方程m^2+a=0然后你就可以得到m1=+(-a)^(1/2)，m2=-(-a)^(1/2)这个时候还要分类讨论，如果你a小于零，那么-a就大于零，那么你上面方程的解就是两个的实根，这个时候你这个其次形式的方程的解的形式就是yc=c1*exp(m1*x)+c2*exp(m2*x)c1c2都是常数如果你a大于零（我也不知道简谐振动里允不允许有复数形式。。。。），a大于零就是m为两个复根。那你就把m写成复数的形式，比如说m1=+i*a^(1/2),m2=-1*a(1/2)那你的齐次形式的方程的解就是yc=b1*cos（a^(1/2)+b2*sin(a^(1/2))b1b2也都是常数这个时候你再来考虑非齐次的形式也就是x""+ax=b因为你的b是个常数，所以用待定系数法做就是设非齐次方程的特殊解为yp=k0+k1x然后yp‘=k1yp""=0代回原方程就解出k1=0，k0=b/a然后这个非齐次方程的通解就是你见面求出来的那个yc加上这个yp即y=yc+yp目测是这样了。。。。。希望是对的。。。。

《常微分方程》（B.И́.Arnold）电子书网盘下载免费在线阅读链接: https://pan.baidu.com/s/1AUCKiRiE4b6zqjsYut8RMA 提取码: g2ty书名：常微分方程作者：B.И́.Arnold译者：沈家骐出版社：科学出版社出版年份：1985-5页数：290

定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①①对应的特征方程为：λ3-2λ2+λ-2=0，②将②化简得：（λ2+1）（λ-2）=0，求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，从而方程①的通解为：y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量．

微分方程方式是乘微分的一种新方式

凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下： F(x, y, y¢, ...., y(n)) = 0 　　定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解. 　　一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 　　如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。 常微分方程常微分方程的概念、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。下面就方程解的有关几点简述一下，以了解常微分方程的特点。 　　求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解。也可以由通解的表达式，了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。 　　后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。 　　一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。 　　大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。当然，这个近似解的精确程度是比较高的。另外还应该指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决。常微分方程实例　　下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数). 　　(1) y= kx, k 为常数； 　　(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； 　　(3) mv(t) = mg - kv(t)；如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 偏微分方程分类比较繁琐，解法多样。建议找一本偏微分方程的教材来看看。会对你有很大帮助

常微分方程（Ordinary Differential Equations，ODEs）是描述一个未知函数在某个自变量下的导数和该函数自身的关系的方程。解一阶或高阶常微分方程的方法主要包括以下几种：1. 变量分离法： 将方程化为 dy/dx=f(x)g(y) 的形式，然后分别对两边进行积分。2. 齐次法：将方程变为 dy/dx=f(y/x)，这样变量 y/x 可以看成一个整体，将它记做 z，则方程化为 dy/dx=z+f(z)，再变为 dz/(dx+f(z))=1。解出 z，再代回 y/x，得到 y 的通解。3. 一阶线性微分方程的通解：对于形如 dy/dx+p(x)y=q(x) 的一阶线性微分方程，先求出它的通解，再代入初始条件求出特解。4. 变量代换法：通过引入新变量，将高阶微分方程化成一阶微分方程，然后再用以上方法求解。5. 常系数齐次线性微分方程：形如 y" + ay" + by=0 的方程，先通过解特征方程求出特征根，再根据特征根的不同情况，得出解的形式。注意，常微分方程的解不是唯一的，需要给出初始条件才能得到唯一解。

微分方程指描述未知函数的导数与自变量之间的关系的方程。微分方程的解是一个符合方程的函数。而在初等数学的代数方程，其解是常数值。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题[1]:p.1。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部份性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。

1、自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，就是微分方程。 2、自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。 3、在微分方程中，自变量的个数只有一个，这种微分方程称为常微分方程；自变量的个数为两个及两个以上的微分方程成为偏微分方程。 4、微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。       一般的 阶常微分方程具有形式 ,这里 是 , , ,..., 的已知函数，而且一定含有 ; 是未知函数， 是自变量。 5、如果方程 的左端为 及 ,..., 的一次有理整式，则称该方程为 阶线性微分方程；否则，则称为非线性微分方程。 6、如果函数 代入方程 后，能使它变为恒等式，则称函数 为方程的解。如果关系式 决定的函数 是方程的解，称 为方程的隐式解，隐式解也称为“积分”。 7、把含有 个独立的任意常数 , ,..., 的解 称为 阶方程 的通解。       满足初值条件的解称为方程的特解。 8、一阶微分方程 表示 平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线，而通解 表示平面上的一族曲线，特解 则为过点 的一条积分曲线，积分曲线上过每一点的切线斜率 为方程右端 在该点处的值。 9、用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。

看y,y",y"",即y以及y的导数的次数，如果全是1次的，则是线性，否则是非线性y""+x²y+x=0线性x²y"+(x-1)y+sinx=0线性(y")²+x=0非线性y"+y²+x=0非线性m * [y(x)]"" + T * siny = 0这个方程中含y的项是siny,这是一个非线性项，所以这个微分方程是非线性的

看不懂

y"""=(y""-1)²；-y"-y²；y（0）=0，y"(0)=1，y""(0)=-1，代入：y"""(0)=(-1-1)²；-1-0²；=3y=±1，y"=y""=y"""=0，是一解。但是不满足初始条件。y"""+y"=(y""-1+y)(y""-1-y)(y""+y-1)"=(y""-1+y)(y""-1-y)设y""-1+y=u，y""-1-y=y""+y-1-2y=u-2yu"/u=u-2yu"=u²；-2uyu=0是一解：u"=0y""-1+y=0y""+y=1特征方程：λ²；+1=0，λ=±iy=C1cosx+C2sinx特解y=1，通解：y=C1cosx+C2sinx+1y"=-C1sinx+C2cosxy""=-C1cosx-C2sinxy"""=C1sinx-C2cosxy""+y=1成立。y(0)=C1+1=0，C1=-1y"(0)=C2=1y""(0)=-C1=1满足题意。y=-cosx+sinx+1(y""-1)²；-y"-y²；=(-C1cosx-C2sinx-1)²；-（-C1sinx+C2cosx）-（C1cosx+C2sinx+1）²；=C1sinx-C2cosxy"""=C1sinx-C2cosx正确。y"""(0)=-C2=-1，不正确。

移项可得 dx/(10-x)=kdt 两边同时积分 ln(10-x)=-kt+lnC C为常数则10-x=Ce^-kt 所以x=10-Ce^-kt 不懂再Hi我

常微分方程是微分方程的一部分，如果把二者看成集合的话，常微分方程是微分方程的真子集。

常微分方程，方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。

凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程。 常微分方程是微分方程的一部分,如果把二者看成集合的话,常微分方程是微分方程的真子集

因为特征方程的根为复数，+i和-i因此方程的解为：C1*cos(t)+C2*sin(t)，这个书上是有公式的！！

特征方程：8r²+r=0r(8r+1)=0r=0或r=-⅛微分方程的通解为y=C₁e^(-⅛x) +C₂

你看网易公开课啊 MIT的微分方程的视频 教授一开始就说了 解析法下的微分方程表达式是坐标系里面的方向场,而微分方程的解是积分曲线,所谓的积分曲线就是他上面的每一个点的斜率都和方向场的斜率相同,这样的曲线就是积分曲线,求解微分方程的过程就是找到一个与方向场斜率相同的积分曲线.建议你别看国内的教材和听国内老师讲课,国内老师讲课基本都是放屁,完全学不到东西,听国内老师讲课只能自毁前程.回复 收起回复 8楼2013-03-29 16:21删

常微分方程，学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。