线性算子

一般来讲需要讲清楚两个空间各取什么范数, 这样才能谈线性算子的范数这里假定L[a,b]默认用通常的L_1范数, C[a,b]用最大模范数(也就是L_oo范数), 那么直接放缩得到 ||T(F(x))|| = max |∫_[a,x] f(t)dt| <= max ∫_[a,x] |f(t)|dt = ∫_[a,b] |f(t)|dt = ||f(x)||, 所以 ||T||<=1, 再取非零常数函数即知 ||T||=1 的等号可以取到.

不同的书上记号的用法不尽相同，最好的办法是往前翻书。

比如X和Y是Banach空间，M和M_n：X-->Y是线性算子，n=1，2，……如果对于任何x in X，y in Y^*（Y的对偶空间），有<M_n x，y>收敛到<Mx,y>（这个是在实数或者复数域内），那么称为M_n弱收敛到M。如果对于任何x in X，有M_n x收敛到Mx（按X中的范数），那么称为M_n强收敛到M。所有的M_n和M都是L(X,Y)中的元素，而L(X,Y)本身也有范数，如果在这个范数下，M_n收敛到M，那么称为依范数收敛。稍注意一下，以上三种收敛都是指 『算子』 的收敛。（如果只是给了一个Banach空间的话，其中元素的收敛只有强弱两种）对于这三种收敛，依范数收敛可以推出强收敛，强收敛可以推出弱收敛。一般情况下都不能反过来。