函数

(1)f(x)=a(x-3/2)^2-1/4f(1)=-1/2-1/2=a/4-1/4a/4=-1/4a=-1f(x)= - (x-3/2)^2-1/4f(x)= -x^2+3x-5/2(2)f(x)= -x^2+3x-5/2抛物线开口向下，对称轴为：x=3/2当x∈(﹣∞,3/2)时，函数单调增；当x∈(3/2,+∞)时，函数单调减；3/2的端点也可以取闭的，也可以取开的；

二次函数解析式的三种形式是哪三种？ (1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。顶点座标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) (2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0). (3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)（又叫两点式，两根式等） 二次函数的图像和解析式中的参数有什么关系？ 高低是由顶点纵座标：(4ac-b^2)/4a确定，宽窄由|a| 大小确定，|a|越小，开口越窄， 位置由顶点座标确定：(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。 二次函数解析式有哪几种形式?已知二次函数图像上的几个点的座标,可以求出这个 因为二次函数解析式含有三个待定系数，所以已知三个点，列三个方程，解之。 二次函数有三种常用的表达式，可以根据不同的情况选用. 一般式y=ax2+bx+c (a≠0). 顶点式y=a(x-h)2+k (a≠0).其中，点(h，k)是抛物线的顶点. 零点式y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0).其中，x1，x2是二次函数零点.

已知二次函数图像的对称轴为X=1,设二次函数解析式为Y=a(X-1)?+k 把坐标a(2,3),b(5,6)代入解析式Y=a(X-1)?+k中求出a,k的值,在写出表达式

先根据抛物线的对称轴方程得到,解得,然后把点坐标代入,求出的值即可.解:此二次函数图象的对称轴为,,解得,此二次函数的表达式为,点在此函数图象上,.解得,此二次函数的表达式为.本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式:在利用待定系数法求二次函数关系式时,要根据题目给定的条件,选择恰当的方法设出关系式,从而代入数值求解.一般地,当已知抛物线上三点时,常选择一般式,用待定系数法列三元一次方程组来求解;当已知抛物线的顶点或对称轴时,常设其解析式为顶点式来求解;当已知抛物线与轴有两个交点时,可选择设其解析式为交点式来求解.

y=x2+bx+c 经过(-1,0), (1,-2)解得y =x2-x-2 令y=o 所以这个二次函数与x轴的交点为2和-1 ，又因为二次函数图象朝上，二次函数的对称轴为x=0.5

已知二次函数y=x2+x+11是否存在这样的点，横坐标是正整数，纵坐标是完全b2=a2+a+11. 将a2移到左侧,整理得: (b+a)(b-a)=(a+11)*1 因

第一题：因为于X轴有焦点，a小于0顶点坐标是（2，1），对称轴X=2X(1,0)(3,0)1=4A+2B+C0=A+B+C0=9A+3B+C解得a=1/6b=-2/3c=1/2

在x轴上截得线段长为2，则|X1|+|X2|=2~用韦恩定理求，再把X=2,Y=2代入~另外也可以用导数求解，但根据题目难度，认为不是高中数学，故不赘述~

000000000000000000000000

图

http://wenku.baidu.com/view/575f522b4b73f242336c5f20.html这是二次函数知识点的总结，你可以看一下，很详细的然后就是要多做些题目好好练习一下了，看下图

解：将y=2代入直线y=x+1上，得x=1， 故该二次函数的顶点为（1，2） 所以y=a(x-1)^2+2=ax^2-2ax+a+2 则有：b=-2a…………………………（1） c=a+2…………………………（2） 又函数图像经过点（3，-6） 将点（3，-6）代入该二次函数中， 则有：-6=9a+3b+c……………………（3） 将（1）式、（2）式代入（3）中，有：-6=9a-6a+a+2，得：a=-2 所以b=4，c=0

解：由题意可设f(x)=ax^2+bx则f(x+1)=ax^2+(2a+b)x+a^2+b=f(x)+2x+8=ax^2+(b+2)x+8即ax^2+(2a+b)x+a^2=ax^2+(b+2)x+8系数对比得2a+b=b+2a^2+b=8解得a=1 b=7故f(x)=x^2+7x

设Y=aX^2+bX+c, X用点横坐标,Y用点的纵坐标代入, 得到一个三元一次方程组, 通过解方程组得到a、b、c的值, 从而得到二次函数解析式.

f(x-1)=2x^2-1, x-1=0,x=1 f(1-1)=f(0)=2×1^2-1=1 则f(0)=1 x-1=1,x=2 f(2-1)=f(1)=2×2^2-1=7 ,f(1)=7

这才两个条件，还需要一个条件才能确定二次函数。已知对称轴为x=h,已知一个点为(p,q)则它的对称点为(2h-p,q)由这一对对称点，可设方程为y=a(x-p)(x-2h+p)+q,这里p,q,h都为已知，但a仍未知，需要增加一个条件才能求得a.

C ①根据图示知，二次函数与x轴有两个交点，所以△=b 2 -4ac＞0；故本选项正确；②根据图示知，该函数图象的开口向上，∴a＞0；又对称轴x=- =1，∴ ＜0，∴b＜0；又该函数图象交于y轴的负半轴，∴c＜0；∴abc＞0；故本选项正确；③∵对称轴x=- =1，∴b=-2a，可将抛物线的解析式化为：y=ax 2 -2ax+c（a≠0）；由函数的图象知：当x=-2时，y＞0；即4a-（-4a）+c=8a+c＞0，故本选项正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：（-1，0）关于对称轴的对称点是（3，0）；当x=-1时，y＜0，所以当x=3时，也有y＜0，即9a+3b+c＜0；故本选项正确；所以这四个结论都正确．故选D

已知二次函数的表达式为y＝x＾2一2x＋1，当x＝一1时，y＝4≠2，所以，点P（一1，2）不在函数的图像上！

已知顶点坐标，根据公式法：只能求出各系数之间的关系，求不出来各系数，所以不能求出解析式。

二次函数f(x),其图像顶点是(1,2),所以f(x)=a(x-1)^2+2 且经过坐标原点,即f(0)=a(0-1)^2+2=0 得a=-2 即f(x)=-2(x-1)^2+2=-2x^2+4x.

已知二次函数解析式求坐标的方法很简单，将X的值带进解析式求出Y即可反过来必须知道3点的坐标才能求出二次函数的解析式（用3元一次方程组解）

已知二次函数，求切点的方法如下：1、将二次函数求导，求出其对应的一次函数的方程。2、将一次函数的方程求解，即可求出其切点坐标。切点即为原方程的根。

待定系数法。设f(x)=ax^2+bx+c，将已知条件代入得（1）c=2（2）a-b+c=1（3）4a+2b+c=-1解上述方程组，得a=-5/6，b=1/6，c=2，因此二次函数解析式为y=-5/6*x^2+1/6*x+2。

1、二次函数的图像过原点 c=0设解析式为y=ax^2+bx过(-2,0)(-1,3)则4a-2b=0a-b=3解得a=-3 b=-6y=-3x^2-6x祝你好运2、设y=ax^2+bx+c过A(1,-4) B(-1,0) C(-2,5) 则a+b+c=-4a-b+c=04a-2b+c=5解得a=1 b=-2 c=-3y=x^2-2x-3祝你好运

1当与X轴交于两点时，设Y=k(x-m)(x-n)(m,n为已知的两点横坐标)，此时图像应该还过一个点（可能是原点也可能是已知点），代入求出k值，相应的abc轻松求出。2当给出顶点坐标时，则写出顶点式。Y=k(x-m)^2+n，此时同样还要给一个点坐标。代入即可。3随意给出三个点坐标，分别代入联立求出abc即可

有最小值说明a小于0，将x=2，y=-1代入函数，得b=-2a，将b=-2a带入原函数得y=ax^2-2ax-1,根据公式x=-b/2a=1时，y为最值，将（1,-3）代入y=ax^2-2ax-1，得a=2，所以b=-4，解得y=2x^2-4x-1大学才上一年，东西就忘得差不多了。。。。。。哎

1) f(x) =a（X-1)^2-2 ,点P(2,-1)代入 得a=1 ,即函数f(x)的解析式f(x)=X^2-2X-12) 若x∈[-4,2]， 当X=-4时,函数的最大值=23 ,在顶点处即X=1,函数的最小值=-2

知道对称轴x=m则二次函数式可写作y=a(x-m)^2+c知道图像上的两个点（x1,y1),(x2,y2)：得：y1=a(x1-m)^2+c ......(1)y2=a(x2-m)^2+c ......(2)解联立方程（1）、（2）求得a，c即可。

c

总体方法：待定系数法具体方法：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。 补充：1、一般式：y=ax^2+bx+c (a≠0)。 2、顶点式：y=a(x－h)^2+k (a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。 3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2) (a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。

由题意知：a=2 对称轴为x=-b/4=-3 故b=12把（-3,4）代入y=2x^2+12x+c,得4=2*（-3）^2-12*3+c 解得c=22故y=2x^2+12x+22=2(x+3)^2+4 是将y=2x^2向左移动3个单位，然后向上平移4个单位得到

由图像可知a>0，-b/2a=1，c<0所以2a+b=0，b=-2a<0x=-1时，a-b+c<0x=3时，9a+3b+c>0x=2根号2时，8a+c=-2根号2b>0x=m时，am^2+bm+c=0，m(am+b)=-c，x=1时，y=a+b+c最小所以正确的有1,3,4,5,6,7

二次函数的解析式有三种基本形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)。2、顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h。3、交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标。4.对称点式： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。3、若给出抛物线与x轴的交点或对称轴或与x轴的交点距离，通常可设交点式。4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x1、m)(x2、m),则设成： y=a(x－x1)(x－x2)+m(a≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a的值，再化成一般形式即可。二次函数的性质（1）二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。（2）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。|a|越大，则抛物线的开口越小；|a|越小，则抛物线的开口越大。（3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧。（4）常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c）。

关于二次函数的解析式，我没有什么长篇大论，精炼而扎实基础才能有利于提高阿二次函数一般形式：y=ax2+bx+c（已知任意三点）顶点式：y=a(x+d)2+h(已知顶点和任意除顶点以外的点）有的版本教材也注原理相同例：已知某二次函数图像顶点（-2，1）且经过（1,0)，求二次函数解析式解：设y=a(x+2)2+1注意：y=a(x-d)2+h中d是顶点横坐标，h是顶点纵坐标由于二次函数图像过点（1，0）因此a*3的平方+1=0解得a=-1/9所以所求作二次函数解析式为y=-1/9(x+2)2+1(此题是样题，所以就不进一步化简成一般形式）两根式：已知函数图像与x轴两交点与另外一点首先必须有交点(b2-4ac>0)y=a(x-x1)(x-x2)其中x1,x2是图像与x轴两交点并且是ax2+bx+c=0的两根如果已知二次函数一般形式和与x轴的一个交点，则可以求出另一个交点利用根与系数的关系例：y=x2+4x+3与x轴的一个交点是（-1,0)，求其与x轴的另一交点坐标解：由根与系数的关系得：x1+x2=-b/a=-4则x2=-4-x1=-4-(-1)=-3所以与x轴的另一交点坐标为（-3,0)另外将y=ax2+bx+c向右平移2个单位可得y=a(x-2)2+b(x-2)+c再向下平移2个单位得：y=a(x-2)2+b(x-2)+c-2记住：“左加右减上加下减”本回答纯属原创如有雷同不是巧合

图

（1）c=b 2 ，9；（2）7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5． 试题分析：（1）①根据二次函数的图象与x轴只有一个交点，则b 2 -4ac=0，由此可得到b、c 应满足关系；②把A（m，n）、B（m+6，n）分别代入抛物线的解析式，再根据①的结论即可求出n的值；（2）因为y=x 2 -2bx+c图象与x轴交于C（6，0），即可得到36-12b+c=0，所以c=12b-36，进而得到k=2b-6，再根据C、D之间的整数和为21，即可求出b的取值范围．（1）①∵二次函数的图象与x轴只有一个交点，∴b 2 -4ac=0，∴c=b 2 ，②由 ，得b=m+3，则c=（m+3） 2 ；于是，n=m 2 -2（m+3）m+（m+3） 2 =9；（2）∵y=x 2 -2bx+c图象与x轴交于C（6，0）∴36-12b+c=0，∴c=12b-36∴y=x 2 -2bx+12b-36，令y=0得x 2 -2bx+12b-36=0解得：x 1 =6，x 2 =2b-6，即k=2b-6；∵C、D之间的整数和为21，∴由8≤k＜9，或-1＜k≤1，∴8≤2b-6＜9，或-1＜2b-6≤1，解得7≤b＜7.5或2.5＜b≤3.5．

y=ax^2+bx+c-b/2a=24a+2b+c=3a+b+c=0方程式解得 a,b,c 值

二次函数y=ax^2+bx+c在定义域内有解则a≠0，且b^2-4ac≥0 如果定义与不在全体实数范围内的话，首先你需要确定这个函数的二次项系数为正数还是负数，如果为正数的话，二次函数开口向上，根据数形结合法，只要保证函数在定义域内的最小值≤0就有解；如果二次项系数即a为负数，那么二次函数的开口向下，只需保证函数在定义域范围内的最大值≥0就行啦。

方法1：设顶点式;y=a(x+2)^2+3, 代入点（1，0）得：9a+3=0, 得：a=-1/3,故y=-1/3*(x+2)^2+3方法2：过点(1.,0)，则x=1为一个零点，又对称轴为x=-2, 因此另一个零点为-5所以由零点式可设y=a(x-1)(x+5), 代入顶点(-2, 3),得：a*(-3)*3=3，得：a=-1/3, 故y=-1/3*(x-1)(x+5)

开口向上与x轴有可确定焦点（根10，0）或（0，根10）你带入就是了

已知二次函数解析式求坐标的方法很简单 ,将X的值带进解析式求出Y即可 反过来 必须知道3点的坐标才能求出二次函数的解析式（用3元一次方程组解）

解：（1）∵二次函数 的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入得： ，解得：m=±1。∴二次函数的解析式为： 或 。（2）∵m=2，∴二次函数为： 。∴抛物线的顶点为：D（2，－1）。当x=0时，y=3，∴C点坐标为：（0，3）。（3）存在，当P、C、D共线时PC+PD最短。过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴△COP∽△CED。∴ ，即 ，解得： ∴PC+PD最短时，P点的坐标为：P（ ，0）。 试题分析：（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可。（2）把m=2，代入求出二次函数解析式，利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可。（3）根据两点之间线段最短的性质，当P、C、D共线时PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性质得出PO的长即可得出答案。

y=f(x)的图像的对称轴是x=-2 设二次函数：y=a(x+2)^2+b 它在x轴截得的线段长为6 过（-5 0）和（1 0） 0=a(-5+2)^2+b.1 抛物线过点(-1,-4) -4=a(-1+2)^2+b.2 解1,2得a=1/2 b=-9/2 y=1/2(x+2)^2-9/2

已知二次函数y=-x^2+2bc+c当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围是解析：∵函数y=-x^2+2bx+c，当x＞1时，y随x的增大而减小，y=-(x-b)^2+c-b^2∴函数y的图像为开口向下的抛物线，其对称轴为x=b∴b<=1即实数b的取值范围是b∈(-∞,1]

已知二次函数y=ax2+bx+c经过一,三,四象限(不经过原点和第二象限) 则a<0,b>0,c<0 ∴a<0,bc<0,直线y=ax+bc不经第一象限,选A正确. 在抛物线y=ax^2+bx+c中,当x=0时,y=c,因此(0,c)是抛物线与y轴的交点,故看c的符号是看抛物线与y轴的交点在正（负）半轴得出

设2次函数为ax*x+bx+c=y带入A、B、C三点的值9a+3b+c=04a+2b+c=-3c=-3解得c=-3、a=1、b=-2则2次函数为y=x*x-2x-3对其两边求一阶导数得到对称轴线为2x-2=0x=1假设存在设P点坐标为（1，y），则有（3-1）*（3-1）+y*y=（2-1）*（2-1）+[y-(-3)]*[y-(-3)]解得y=-1P（1，-1）

因为二次函数值恒小于零，所以抛物线开口向下m＜0.并且最大值小于零。供参考，请笑纳。

由图知，a<0,c>0,又-b/(2a)=1>0,所以b>0，所以abc>0不正确.由图知：当y=0时，2<x<3或-1<x<0,所以当x=-1时，y<0,即a-b+c<0,即b>a+c，第二个结论正确.当x＝2时，y＝4a+2b+c，由图知大于0，所以第三个结论成立；由图知，x=0与x=2是两个对称点，故4a+2b+c=c,可得a=-b/2,代入b>a+c，可得2c<3b，所以第四个结论正确。当x=1时，y=a+b+c有最大值，x取任何其它值如m，y值都要小于a+b+c,所以第五个结论成立。

的

正弦：y=sinx定义域：实数值域：[-1,1]余弦：y=cosx定义域：实数值域：[-1,1]正切：y=tanx定义域：x为实数，且x不等于k兀+兀/2 (k为整数)值域：实数余切：y=cotx定义域：x为实数，且x不等于k兀 (k为整数)正割：y=secx定义域：x为实数，且x不等于k兀+兀/2 (k为整数)值域：实数余割：y=cscx定义域：x为实数，且x不等于k兀 (k为整数)值域：实数“兀”代表圆周率

函数值域的定义是:函数的函数值的集合称为函数的值域。要注意，必须是函数值的集合，就跟定义域一样，都是集合。

定义域超过一个周期或正好为一周期或【π/2*c，π/4*c】的值域为【-a，a】其他的视情况定，主要用画图来解决

(1) (-∞,0)∪(0,+∞)(2) [4/3,+∞)

求函数值域与最值的常用方法，几乎囊括了数学常用的方法.观察法、配方法、分离常数法、反解法、换元法、判别式法、均值定理法、单调性法、数形结合法和导数法等.有时需要综合几种方法，才能求出值域.

1、y=4^x+2^(x-1)+12、y=3^x / (3^x +1)解：1、y=4^x+2^(x-1)+1 =(2^x)^2+(2^x)/2+1设 t=2^x t>0 则 y=t^2+t/2+1 =(t+1/4)^2+15/16 因为 t>0所以 y的最小值为 1 但是取不到所以值域为 (1,正无穷)2、y=3^x / (3^x +1) 设 t=3^x t>0则 y=t/(t+1) =1/(1+1/t)因为 t>0 所以 1/t>0 1+1/t>1所以 y<1所以 值域为 (0,1)

建议去看C教程！

[0, ] 试题分析：根据题意，由于 ，当 ，可知 ，那么结合正弦函数的图像可知，函数的值域为 那么 的值域为[0, ]。点评：主要是考查了三角函数的单一函数的变形以及性质的运用，属于基础题。

定义域通常用 D 表示，值域一般不用字母表示 。

求函数的值域首先必须明确两点：一点是值域的概念，即对于定义域A上的函数y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x),x∈A};另一点是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据。求值域的方法：观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域！配方法：对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解的问题上的要求，采用配方的方法来解决，对于含有三次三项式的函数，也常用配方的方法求值域。代换法：对一些无理函数，或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数伯值域求出。

2sin（2π-3分之π）的值域为-[-2,2]所以y=2sin（2π-3分之π）+1 的值域为[-1,3]注：Asin(ωx+φ)，A>0在R上的值域为[-A,A]

y=sinx∵sinx在区间（2kπ-π/2，2kπ+π/2）单调增，在区间（2kπ+π/2，2kπ+3π/2）单调减。在x=2kπ-π/2时取最小值-1；在x=2kπ+π/2时取最大值1。∴在x∈[π/6,2π/3]时：在区间（π/6，π/2)单调增；在区间（π/2，2π/3）单调减。x=π/2时取最大值1x=π/6距离x=π/2更远，∴x=π/6时取最小值1/2值域为【1/2，1】y=2√2cosx+1x为任意实数时cosx都有意义，∴定义域x属于r∵对于余弦函数cosx，在区间（2kπ-π，2kπ）单调增，在区间（2kπ，2kπ+π）单调减。在x=2kπ时取最大值1。x=2kπ+π时取最小值-1。∴-1≤cosx≤1-2√2≤2√2cosx≤2√21-2√2≤2√2cosx+1≤1+2√2值域【1-2√2，1+2√2】

y=1+2/(2cosx-1)值域为（-无穷，0）∪（0，正无穷）

（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x)中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)│x∈A}叫做函数的值域。（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x的集合常用依据如下：①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0； ③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x∈（a,b）求f(x)的定义域，方法是：利用a②已知f(x)的定义域为x∈（a,b）求f[g(x)]的定义域

1.(-1,2];2.y=log 3^(x-1);3.(0,+¤¤),[k*PI,k*PI+PI/2];4.(0,1],[2k*PI,2k*PI+PI].

我们可以通过分析正弦函数、余弦函数的主要性质来得出我们所求的值域!(1)定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,分别记作y=sinx,x∈R,y=cosx,x∈R,其中R当然可以换成(-∞,+∞)．(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1．这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1．其中正弦函数当且仅当时取得最大值1,当且仅当时取得最小值-1；而余弦函数当且仅当x=2kπ,k∈Z时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时取得最小值-1．(3)周期性由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的．一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函数和余弦函数的周期．事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．例如,2π是正弦函数的所有周期中的最小正数①,所以2π是正弦函数的最小正周期．根据上述定义,我们有：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期是2π．

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ， 当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法） 函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当 时，其最小值 ； ②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习： 1 ； 解：∵x 0， ，∴y 11. 另外，此题利用基本不等式解更简捷： 2 ∵2 -4x+3>0恒成立(为什么？)， ∴函数的定义域为R， ∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0，由判别式 0， 即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0), 解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域 ① ； ② 解：①令 0,则 , 原式可化为 , ∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ]. ②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4 在此区间内 (4x- ) =4 ，(4x- ) =0 ∴函数 的值域是{ y| 0 y 2} 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法. 作业：求函数y= 值域 解：∵ ， ∴函数的定义域R，原式可化为 , 整理得 ， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y 1,∵ R，即有 0， ∴ ,解得 且 y 1. 综上：函数是值域是{y| }.

先计算增减性，然后计算出所有极值，最大最小分别就是值域的上下界。特别要注意定义域来保证极值可以取到。

函数值域的求法可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。一、配方法：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。二、常数分离：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。三、逆求法：对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。四、换元法：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。五、单调性：可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式：根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。七、数形结合：可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。

1、函数的值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。 2、在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

函数的值域问题及解法 值域的概念： 函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关. 值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围. 一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性. 1．观察法 用于简单的解析式. y=1-√x≤1,值域(-∞, 1] y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞). 2．配方法 多用于二次(型)函数. y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞） y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞） 3．换元法 多用于复合型函数. 通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域. 特别注意中间变量（新量）的变化范围. y=-x+2√( x-1)+2 令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1. y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2]. 4．不等式法 用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法. y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1). 由0<x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 1/(e-1). y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞). 5．最值法 如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M]. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6．反函数法（有的又叫反解法） 函数和它的反函数的定义域与值域互换. 如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者. 7．单调性法 若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)]. y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1). y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）, F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8]. 8．斜率法 数形结合. 求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域. 把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成 单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率, 则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3. 圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2), 解得k=(-12±√6)/15. y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15 值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15]. 一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域. 对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域. 9．导数法 导数为零的点称为驻点,设f"(x0)=0, 若当x<x0时f"(x) x0时f"(x)>0,则f(x0)为极小值； 若当x 0,当x>x0时f"(x)<0,则f(x0)为极大值； 再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域. http://zhidao.baidu.com/question/2009284209018995108.html </x0时f"(x) </x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 </x<1).

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

函数h(x)的定义域为x∈[2，12)设2≤x1<x2<12，f(x1)-f(x2)=[√(x1-2)-log3(12-x1)]-[√(x2-2)-log3(12-x2)]=[√(x1-2)-√(x2-2)]+[log3(12-x2)-log3(12-x2)]log3x为增函数，所以log3(12-x2)-log3(12-x2)为负，而√(x1-2)-√(x2-2)也为负，所以f(x1)-f(x2)<0所以h(x)为增函数所以值域为-log310≤h(x)<√10

函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ，当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）函数 的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数 ,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当 时，其最小值 ；②当a<0时，则当 时，其最大值 .⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根）∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }方法二：把已知函数化为函数 (x12)∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数 的值域解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

已知函数Y=跟号下ax+1(a为常数，a小于0）在区间（负无穷大，1】上有意义，求实数a的取值范围

定义域是x的取值范围，值域是y的取值范围，只要知道定义域，求出y就可以了