函数值域的求法

函数的值域可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。一、配方法将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。二、常数分离这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。三、逆求法对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。四、换元法对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。五、单调性可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。六、基本不等式根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。七、数形结合可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。八、求导法求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。函数：函数（function），最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》。之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。

求函数的值域的常用方法如下：1、图像法：根据函数图象，观察最高点和最低点的纵坐标。2、配方法：利用二次函数的配方法求值域，需注意自变量的取值范围。3、单调性法：利用二次函数的顶点式或对称轴，再根据单调性来求值域。4、反函数法：若函数存在反函数，可以通过求其反函数，确定其定义域就是原函数的值域。5、换元法：包含代数换元、三角换元两种方法，换元后要特别注意新变量的范围。6、判别式法：判别式法即利用二次函数的判别式求值域。7、不等式法：利用a+b≥2√ab（其中a，b∈R+）求函数值域时，要时刻注意不等式成立的条件，即“一正，二定，三相等”。8、折叠三角代换法：利用基本的三角关系式，进行简化求值。例如：a的平方+b的平方=1，c的平方+d的平方=1，求证：ac+bd小于或等于1。直接计算麻烦，用三角代换法比较简单。做法：设a=sinx ，b=cosx，c=siny ，d=cosy，则ac+bd=sinx*siny+cosx*cosy =cos（y-x），因为我们知道cos（y-x）小于等于1，所以不等式成立。

1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若f(x)为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：f(x)的解析式中可将关于x的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。（4）最值法：如果函数f(x)在[a,b]连续，且可求出f(x)的最大最小值M,m，则f(x)的值域为[m,M]注：一定在f(x)连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。（1）一次函数（y=kx+b）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（y=ax^2+bx+c）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）

"四．判别式法　　若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。　　例4求函数y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)的值域。　　点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。"这个“y=(2x2－2x+3)/(x2－x+1)”方程中，为什么不把2x2写成4啊？？还是这个方程不小心写错了啊？？还有，为什么：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]？？？？？还有，“　三．配方法　　当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域　　例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。”中，“y=√(－x2+x+2)”是-x^2还是2x啊？？

值域是函数值所在的集合。一旦函数的定义域和对应法则确定了，函数的值域也就随之确定。下面介绍几种常用的求函数值域的方法:1.配方法2.区间划分法3.不等式比较法4.函数变换法5.换元法6.

函数的值域问题及解法值域的概念：函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关.值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围.一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性.1．观察法用于简单的解析式.y=1-√x≤1,值域(-∞, 1]y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞).2．配方法多用于二次(型)函数.y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞）y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞）3．换元法多用于复合型函数.通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域.特别注意中间变量（新量）的变化范围.y=-x+2√( x-1)+2令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1.y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2].4．不等式法用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法.y=(e^x+1)/(e^x-1), (0由01/(e-1).y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞).5．最值法如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M].因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的.6．反函数法（有的又叫反解法）函数和它的反函数的定义域与值域互换.如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者.7．单调性法若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)].y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1).y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）,F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8].8．斜率法数形结合.求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域.把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率,则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3.圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2),解得k=(-12±√6)/15.y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15].一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域.对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域.9．导数法导数为零的点称为驻点,设f"(x0)=0,若当xx0时f"(x)>0,则f(x0)为极小值；若当x0,当x>x0时f"(x)<0,则f(x0)为极大值；再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域.

1. 函数中,因变量的取值范围叫做这个函数的值域,在数学中是函数在定义域中因变量所有值的集合 2.因为x^2>=0 所以x^2+1>=1 也就是因变量的取值范围,就是值域,其实就是Y的取值范围 3.x的取值范围叫做定义域,已知定义域为R,所以不是[1,正无穷）

（高中函数定义）设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。但如果一个函数是抽象的，它的定义域就难以捉摸。例如：y=f(x) 1≤x≤2与y=f(x+1）的定义域相同吗？值域相同吗？如果已知f(x）的定义域是x∈ [1,2]，f(x+1）的定义域是什么？因为f(x）的定义域是 x ∈ [1,2]，即是说对1≤x≤2中的每一个数值f(x）都有函数值，超出这个范围内的任何一个数值f(x）都没有函数值。例如3就没有函数值，即f⑶就无意义。因此，当x+1的取值超出了[1，2]这个范围，f(x+1）也就没有了函数值，所以f(x+1）的定义域是1≤x+1≤2这个不等式的解集;所以解得0≤x≤1，此时x的定义域为x∈[0,1]（定义域总是指x能取的范围与经过括号内变换后的范围不同）。定义域发生了改变。但是值域还是相同的，因为f进行变换的范围没有改变。

函数的值域可以通过观察法、配方法、常数分离法、换元法、逆求法、基本不等式法、求导法、数形结合法和判别式法等方法来求。 如何求函数的值域 一、配方法 将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。 二、常数分离 这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。 三、逆求法 对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。 四、换元法 对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 五、单调性 可先求出函数的单调性(注意先求定义域)，根据单调性在定义域上求出函数的值域。 六、基本不等式 根据我们学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。 七、数形结合 可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域。 八、求导法 求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可得到值域了。 函数的值域是什么 函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。f：A→B中，值域是集合B的子集。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。 常见函数值域： y=kx+b （k≠0）的值域为R y=k/x 的值域为(-∞,0)∪(0,+∞) y=√x的值域为x≥0 y=ax^2+bx+c 当a>0时，值域为 [4ac-b^2/4a,+∞) ； 当a<0时，值域为（-∞，4ac-b^2/4a] y=a^x 的值域为 (0,+∞) y=lgx的值域为R

设y=kxx的取值范围为定义域，y的取值范围为值域定义域就是指自变量的取值范围，值域就是随着自变量而改变的范围

请输入你的答案...其没有固定的方法和模式。但常用方法有： （1）直接法：从变量x的范围出发，推出y=f（x）的取值范围； （2）配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F（x）=af^（x） bf（x） c的函数的值域问题，均可使用配方法 （3）反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过反函数的定义域，得到原函数的值域。形如y=cx d/ax b（a≠0）的函数均可使用反函数法。此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解。 （4）换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域。形如y=ax b±根号cx d（a、b、c、d均为常数，且a≠0）的函数常用此法求解。举些例子吧！ （1）y=4-根号3 2x-x^ 此题就得用配方法:由3 2x-x^≥0,得-1≤x≤3. ∵y=4-根号-1(x-1)^ 4,∴当x=1时,ymin=4-2=2. 当x=-1或3时,ymax=4. ∴函数值域为[2,4] (2)y=2x 根号1-2x 此题用换元法: 令t=根号1-2x(t≥0),则x=1-t^/2 ∵y=-t^ t 1=-(t-1/2)^ 5/4, ∵当t=1/2即x=3/8时,ymax=5/4,无最小值. ∴函数值域为(-∞,5/4) (3)y=1-x/2x 5 用分离常数法 ∵y=-1/2 7/2/2x 5, 7/2/2x 5≠0, ∴y≠-1/2

函数求值域的方法包括配方法、常数分离法、逆求法、换元法、反函数法、单调性法、基本不等式法、数形结合法、求导法。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本"元件"。平时数学中，实行"定义域优先"的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手"硬"一手"软"，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。

当x=0时，y=0当x≠0时，函数y分子分母同时除以x，得到y=4(x+4/x)＞0x+4/x≥x×4/x=4，即y≤1，当且仅当x=2时等号成立所以函数y的值域为[0，1]

　　值域（-1,1）　　(1)定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，分别记作y=sinx，x∈R，y=cosx，x∈R，其中R当然可以换成(-∞，+∞)．　　(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以|sinx|≤1，|cosx|≤1，即-1≤sinx≤1，-1≤cosx≤1．这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1．　　其中正弦函数当且仅当时取得最大值1，当且仅当时取得最小值-1；　　而余弦函数当且仅当x=2kπ，k∈Z时取得最大值1，当且仅当x=(2k+1)π，k∈Z时取得最小值-1．　　(3)周期性由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx，cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知，正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的．　　一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．　　例如，2π，4π，…及-2π，-4π，…都是正弦函数和余弦函数的周期．　　事实上，任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．　　对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．　　例如，2π是正弦函数的所有周期中的最小正数①，所以2π是正弦函数的最小正周期．　　根据上述定义，我们有：正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π．

值域为［－1，1］，定义域为全体实数。在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v＝sinα。在RT△ABC中，如果锐角A确定，那么角A的对边与斜边的比便随之确定，这个比叫做角A的正弦，记作sinA，即sinA＝角A的对边／角A的斜边。扩展资料：正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦值之间的一个关系式。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r=D（r为外接圆半径，D为直径）。由正弦函数在区间上的单调性可知，正弦定理非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。参考资料来源：百度百科-正弦函数

a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值，……待续

定义域是x的取值范围，值域是y的取值范围，只要知道定义域，求出y就可以了

1、值域的求法有9种，过程是不同的。 2、配方法。过程：将函数配方成顶点式的格式，再根据函数的定义域，求得函数的值域。画一个简易的图能更便捷直观的求出值域。 3、常数分离。过程：这一般是对于分数形式的函数来说的，将分子上的函数尽量配成与分母相同的形式，进行常数分离，求得值域。 4、逆求法。过程：对于y=某x的形式，可用逆求法，表示为x=某y，此时可看y的限制范围，就是原式的值域了。 5、换元法。过程：对于函数的某一部分，较复杂或生疏，可用换元法，将函数转变成我们熟悉的形式，从而求解。 6、单调性。过程：可先求出函数的单调性（注意先求定义域），根据单调性在定义域上求出函数的值域。 7、基本不等式。过程：根据学过的基本不等式，可将函数转换成可运用基本不等式的形式，以此来求值域。 8、数形结合。过程：可根据函数给出的式子，画出函数的图形，在图形上找出对应点求出值域 9、求导法。过程：求出函数的导数，观察函数的定义域，将端点值与极值比较，求出最大值与最小值，就可的到值域了。 10、判别式法。过程：将函数转变成 ****=0 的形式，再用解方程的方法求出要满足的条件，求解即可。

y = 2|x-1|-3|x|x＜0时，y=2(1-x)+3x = x+2 ∈（-∞，2）0≤x≤1时，y=2(1-x)-3x=-5x+2∈【2，-3】x＞1时，y=2(x-1)-3x=-x-2∈(-∞，-3）值域（-∞，2】y=2x/(3x+1) = 2/3 * x/(x+1/3) = 2/3 * (x+1/3-1/3)/(x+1/3)= 2/3 - 2/(9x+3)-2/(9x+3)≠02/3 - 2/(9x+3) ≠ 2/3值域（-∞，2/3），（2/3，+∞）

定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。求函数的定义域需要从这几个方面入手：（1），分母不为零（2）偶次根式的被开方数非负。（3），对数中的真数部分大于0。（4），指数、对数的底数大于0，且不等于1（5）。y=tanx中x≠kπ+π/2,y=cotx中x≠kπ等等。值域是函数y=f(x)中y的取值范围。常用的求值域的方法：（1）化归法；（2）图象法（数形结合），（3）函数单调性法，（4）配方法，（5）换元法，（6）反函数法（逆求法），（7）判别式法，（8）复合函数法，（9）三角代换法

对应法则即函数自变量与因变量的对应关系,数有意义即可(当然,实际问题要考虑实际情况),主要包括:偶次根号下大于0,分母不为0,对数的真数大于0,底数大于0且不等于1,正余切函数的定义域,反三角函数的定义域,等等值域:求值域实际上就是求函数的最值问题(如无最值则为无穷大),求最值常用方法又有配方,求导,利用不等式,等等要分函数种类来讨论,与函数单调性有关 整式函数:1次直接代,2次求顶点,3次以上求导 分式函数:利用不等式(如均值不等式,x+1/x >= 2√x*√1/x =2)或求导 三角函数:每种函数都有自己的特点,各不相同 (正余弦函数为[-1,1],正余切函数为R) 指对数函数:结合它们的单调性,分a>0和0<a<1两种情况 (在全体定义域上值域:指数函数:(0,+∞),对数 函数:R,如果不是全体定义域上就要利用函数单调性求出最大值与最小值)幂函数:参见 http://baike.baidu.com/view/331644.htm 反三角函数:和三角函数类似y=x的2/3是幂函数,定义域:将其化成(3次根号下X)^2,可见其定义域为R值域:(3次根号下X)^2>=0,故值域为:[0,+∞)

已知函数Y=跟号下ax+1(a为常数，a小于0）在区间（负无穷大，1】上有意义，求实数a的取值范围

答：arcsinx的定义域为[-1,1]。解析如下：（1）首先，由sinx可知，sinx的定义域为R，值域为[-1,1]，而sinx与arcsinx互为反函数。（2）所以，根据反函数的性质，互为反函数的两个函数中，一个函数的值域为其反函数的值域，使得arcsinx有意义的x的取值范围即定义域为其反函数的值域，即sinx的值域[-1,1]。（3）这道题考察的是定义域和反函数问题。扩展资料：反函数的性质：（1）函数f(x)与它的反函数f-1(x)图象关于直线y=x对称；函数及其反函数的图形关于直线y=x对称；（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)， 定义域是{0} 且 f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数；（5）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（6）严增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数；（7）反函数是相互的且具有唯一性；（8）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）。参考资料：百度百科-反函数

1、函数的值域，数学名词，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。 2、在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。

函数的值域问题及解法 值域的概念： 函数y=f(x)的值域是函数值的取值范围,用集合表示为{y│y=f(x),x∈A}.这里集合A是函数的定义域,由此可见,它与定义域密切相关. 值域的几何意义是函数图象上点的纵坐标的集合,也可以说成是函数图象纵向的分布范围. 一般来说,求值域比求定义域困难得多.求值域要根据解析式的结构特征选择适当的方法,具有较强的灵活性和一定的技巧性. 1．观察法 用于简单的解析式. y=1-√x≤1,值域(-∞, 1] y=(1+x)/(1-x)=2/(1-x)-1≠-1,值域(-∞,-1)∪(-1,+∞). 2．配方法 多用于二次(型)函数. y=x^2-4x+3=(x-2)^2-1≥-1,值域[-1,+∞） y=e^2x-4e^x-3=(e^x-2)^2-7≥-7,值域[-7,+∞） 3．换元法 多用于复合型函数. 通过换元,使高次函数低次化,分式函数整式化,无理函数有理化,超越函数代数以方便求值域. 特别注意中间变量（新量）的变化范围. y=-x+2√( x-1)+2 令t=√(x-1),则t≥0,x=t^2+1. y=-t^2+2t+1=-(t-1)^2+2≤2,值域(-∞, 2]. 4．不等式法 用不等式的基本性质,也是求值域的常用方法. y=(e^x+1)/(e^x-1), (0<x<1). 由0<x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 1/(e-1). y=1+2/(e^x-1)>1+2/(e-1),值域(1+2/(e-1),+∞). 5．最值法 如果函数f(x)存在最大值M和最小值m,那么值域为[m,M]. 因此,求值域的方法与求最值的方法是相通的. 6．反函数法（有的又叫反解法） 函数和它的反函数的定义域与值域互换. 如果一个函数的值域不易求,而它的反函数的定义域易求,那么我们可以通过求后者得出前者. 7．单调性法 若f(x)在定义域[a, b]上是增函数,则值域为[f(a), f(b)]；若是减函数,则值域为[f(b), f(a)]. y=x^2-4x+3, (-1≤x≤1). y=(x-2)^2-1在[-1, 1]上是减函数（单调递减）, F(-1)=8,f(1)=0,值域[0, 8]. 8．斜率法 数形结合. 求函数y=(sinx+3)/(cosx-4)的值域. 把函数y=(sinx+3)/(cosx-4)看成 单位圆上的动点M(cosx,sinx)与定点P(4,-3)连线的斜率, 则直线MP的方程为y+3=k(x-4)等价于y=kx-4k-3. 圆心(0,0)到直线的距离在相切时最大为1=|-4k-3|/√(1+k^2), 解得k=(-12±√6)/15. y max=(-12+√6)/15,y min=(-12-√6)/15 值域[(-12-√6)/15,(-12+√6)/15]. 一般的,对函数y=(sinx+a)/(cosx+b),都可以用斜率法求最值和值域. 对函数y=( cosx +a)/(sinx +b),也都可以转化后用斜率法求最值和值域. 9．导数法 导数为零的点称为驻点,设f"(x0)=0, 若当x<x0时f"(x) x0时f"(x)>0,则f(x0)为极小值； 若当x 0,当x>x0时f"(x)<0,则f(x0)为极大值； 再根据定义域求得边界值,与之比较得出最大、最小值（与最值法相通）,得出值域. http://zhidao.baidu.com/question/2009284209018995108.html </x0时f"(x) </x<1得1<e^x<e,0<e^x-1 </x<1).

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

函数h(x)的定义域为x∈[2，12)设2≤x1<x2<12，f(x1)-f(x2)=[√(x1-2)-log3(12-x1)]-[√(x2-2)-log3(12-x2)]=[√(x1-2)-√(x2-2)]+[log3(12-x2)-log3(12-x2)]log3x为增函数，所以log3(12-x2)-log3(12-x2)为负，而√(x1-2)-√(x2-2)也为负，所以f(x1)-f(x2)<0所以h(x)为增函数所以值域为-log310≤h(x)<√10

函数值域的几种常见方法1．直接法：利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R；反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}；二次函数 的定义域为R，当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }.例1．求下列函数的值域① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3，∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ，当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法）函数 的图像为：2．二次函数比区间上的值域(最值)：例2 求下列函数的最大值、最小值与值域：① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }.②∵顶点横坐标2 [3,4]，当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1].④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6,∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6].注：对于二次函数 ,⑴若定义域为R时，①当a>0时，则当 时，其最小值 ；②当a<0时，则当 时，其最大值 .⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值.②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值.注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.3．判别式法（△法）：判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ①当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根）∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 }方法二：把已知函数化为函数 (x12)∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论.4．换元法例4．求函数 的值域解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}.解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法.说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法.

函数值域的求法：①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

先计算增减性，然后计算出所有极值，最大最小分别就是值域的上下界。特别要注意定义域来保证极值可以取到。

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax+b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a>0时，值域为{ }；当a<0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当x>0，∴ = ， 当x<0时， =－ ∴值域是 [2，+ ).（此法也称为配方法） 函数 的图像为： 2．二次函数比区间上的值域(最值)： 例2 求下列函数的最大值、最小值与值域： ① ； 解：∵ ，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R， ∴x=2时，ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标2 [3,4]， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在[3,4]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ③∵顶点横坐标2 [0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在[0,1]上， =-2， =1；值域为[-2，1]. ④∵顶点横坐标2 [0,5]，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在[0,1]上， =-3， =6；值域为[-3，6]. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时， ①当a>0时，则当 时，其最小值 ； ②当a<0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值（a>0）时或最大值（a<0）时，再比较 的大小决定函数的最大（小）值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值； ②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法）： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 （代入①求根） ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是[3，+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等），随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法. 三、练习： 1 ； 解：∵x 0， ，∴y 11. 另外，此题利用基本不等式解更简捷： 2 ∵2 -4x+3>0恒成立(为什么？)， ∴函数的定义域为R， ∴原函数可化为2y -4yx+3y-5=0，由判别式 0， 即16 -4×2y(3y-5)=-8 +40y 0(y 0), 解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域 ① ； ② 解：①令 0,则 , 原式可化为 , ∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， ]. ②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4 在此区间内 (4x- ) =4 ，(4x- ) =0 ∴函数 的值域是{ y| 0 y 2} 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法）；二次函数值域（最值）或二次函数在某一给定区间上的值域（最值）的求法. 作业：求函数y= 值域 解：∵ ， ∴函数的定义域R，原式可化为 , 整理得 ， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y 1,∵ R，即有 0， ∴ ,解得 且 y 1. 综上：函数是值域是{y| }.

求值域的五种方法：1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)</p><p>先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1扩展资料：值域，在函数经典定义中，因变量改变而改变的取值范围叫做这个函数的值域，在函数现代定义中是指定义域中所有元素在某个对应法则下对应的所有的象所组成的集合。如：f(x)=x，那么f(x)的取值范围就是函数f(x)的值域。在实数分析中，函数的值域是实数，而在复数域中，值域是复数。定义域、对应法则、值域是函数构造的三个基本“元件”。平时数学中，实行“定义域优先”的原则，无可置疑。然而事物均具有二重性，在强化定义域问题的同时，往往就削弱或淡化了，对值域问题的探究，造成了一手“硬”一手“软”，使学生对函数的掌握时好时坏，事实上，定义域与值域二者的位置是相当的，绝不能厚此薄彼，何况它们二者随时处于互相转化之中（典型的例子是互为反函数的定义域与值域的相互转化）。如果函数的值域是无限集的话，那么求函数值域不总是容易的，反靠不等式的运算性质有时并不能奏效，还必须联系函数的奇偶性、单调性、有界性、周期性来考虑函数的取值情况。才能获得正确答案，从这个角度来讲，求值域的问题有时比求定义域问题难。实践证明，如果加强了对值域求法的研究和讨论，有利于对定义域内函数的理解，从而深化对函数本质的认识。参考资料：百度百科-值域（数学名词，函数经典定义）

1.(-1,2];2.y=log 3^(x-1);3.(0,+¤¤),[k*PI,k*PI+PI/2];4.(0,1],[2k*PI,2k*PI+PI].

我们可以通过分析正弦函数、余弦函数的主要性质来得出我们所求的值域!(1)定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R,分别记作y=sinx,x∈R,y=cosx,x∈R,其中R当然可以换成(-∞,+∞)．(2)值域因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以|sinx|≤1,|cosx|≤1,即-1≤sinx≤1,-1≤cosx≤1．这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1．其中正弦函数当且仅当时取得最大值1,当且仅当时取得最小值-1；而余弦函数当且仅当x=2kπ,k∈Z时取得最大值1,当且仅当x=(2k+1)π,k∈Z时取得最小值-1．(3)周期性由诱导公式sin(x+2kπ)=sinx,cos(x+2kπ)=cosx(k∈Z)可知,正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的．图4-20正是按此性质画出的．一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．例如,2π,4π,…及-2π,-4π,…都是正弦函数和余弦函数的周期．事实上,任何一个常数2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期．对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．例如,2π是正弦函数的所有周期中的最小正数①,所以2π是正弦函数的最小正周期．根据上述定义,我们有：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期,最小正周期是2π．

（一）函数的定义域与值域的定义：函数y=f(x)中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)│x∈A}叫做函数的值域。（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x的集合常用依据如下：①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0； ③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：①已知f[g(x)]的定义域为x∈（a,b）求f(x)的定义域，方法是：利用a②已知f(x)的定义域为x∈（a,b）求f[g(x)]的定义域

定义域通常用 D 表示，值域一般不用字母表示 。

求函数的值域首先必须明确两点：一点是值域的概念，即对于定义域A上的函数y=f(x)其值域就是指集合C={y|y=f(x),x∈A};另一点是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据。求值域的方法：观察法：对于一些简单的函数，可以通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域！配方法：对于含二次三项式的有关问题，常常根据求解的问题上的要求，采用配方的方法来解决，对于含有三次三项式的函数，也常用配方的方法求值域。代换法：对一些无理函数，或超越函数，通过代换把它化成有理函数，然后利用有理函数求值域的一些方法可间接地把原函数伯值域求出。

2sin（2π-3分之π）的值域为-[-2,2]所以y=2sin（2π-3分之π）+1 的值域为[-1,3]注：Asin(ωx+φ)，A>0在R上的值域为[-A,A]

y=sinx∵sinx在区间（2kπ-π/2，2kπ+π/2）单调增，在区间（2kπ+π/2，2kπ+3π/2）单调减。在x=2kπ-π/2时取最小值-1；在x=2kπ+π/2时取最大值1。∴在x∈[π/6,2π/3]时：在区间（π/6，π/2)单调增；在区间（π/2，2π/3）单调减。x=π/2时取最大值1x=π/6距离x=π/2更远，∴x=π/6时取最小值1/2值域为【1/2，1】y=2√2cosx+1x为任意实数时cosx都有意义，∴定义域x属于r∵对于余弦函数cosx，在区间（2kπ-π，2kπ）单调增，在区间（2kπ，2kπ+π）单调减。在x=2kπ时取最大值1。x=2kπ+π时取最小值-1。∴-1≤cosx≤1-2√2≤2√2cosx≤2√21-2√2≤2√2cosx+1≤1+2√2值域【1-2√2，1+2√2】

y=1+2/(2cosx-1)值域为（-无穷，0）∪（0，正无穷）

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[0, ] 试题分析：根据题意，由于 ，当 ，可知 ，那么结合正弦函数的图像可知，函数的值域为 那么 的值域为[0, ]。点评：主要是考查了三角函数的单一函数的变形以及性质的运用，属于基础题。

(1) (-∞,0)∪(0,+∞)(2) [4/3,+∞)

求函数值域与最值的常用方法，几乎囊括了数学常用的方法.观察法、配方法、分离常数法、反解法、换元法、判别式法、均值定理法、单调性法、数形结合法和导数法等.有时需要综合几种方法，才能求出值域.

1、y=4^x+2^(x-1)+12、y=3^x / (3^x +1)解：1、y=4^x+2^(x-1)+1 =(2^x)^2+(2^x)/2+1设 t=2^x t>0 则 y=t^2+t/2+1 =(t+1/4)^2+15/16 因为 t>0所以 y的最小值为 1 但是取不到所以值域为 (1,正无穷)2、y=3^x / (3^x +1) 设 t=3^x t>0则 y=t/(t+1) =1/(1+1/t)因为 t>0 所以 1/t>0 1+1/t>1所以 y<1所以 值域为 (0,1)

1.直接法：从自变量的范围出发，推出值域。2.观察法：对于一些比较简单的函数，可以根据定义域与对应关系，直接得到函数的值域。3.配方法：（或者说是最值法）求出最大值还有最小值，那么值域就出来了。例题：y=x^2+2x+3x∈【-1，2】先配方，得y=(x+1)^2+1∴ymin=(-1+1)^2+2=2ymax=(2+1)^2+2=114.拆分法：对于形如y=cx+d，ax+b的分式函数，可以将其拆分成一个常数与一个分式，再易观察出函数的值域。5.单调性法：y≠ca.一些函数的单调性，很容易看出来。或者先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的值域。6.数形结合法，其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。7.判别式法：运用方程思想，根据二次方程有实根求值域。8.换元法：适用于有根号的函数例题：y=x-√（1-2x)设√（1-2x)=t(t≥0)∴x=(1-t^2)/2∴y=(1-t^2)/2-t=-t^2/2-t+1/2=-1/2(t+1)^2+1∵t≥0，∴y∈（-∝，1/2）9：图像法，直接画图看值域这是一个分段函数，你画出图后就可以一眼看出值域。10：反函数法。求反函数的定义域，就是原函数的值域。例题：y=(3x-1)/(3x-2)先求反函数y=(2x-1)/(3x-3)明显定义域为x≠1所以原函数的值域为y≠1

函数值域的定义是:函数的函数值的集合称为函数的值域。要注意，必须是函数值的集合，就跟定义域一样，都是集合。

定义域超过一个周期或正好为一周期或【π/2*c，π/4*c】的值域为【-a，a】其他的视情况定，主要用画图来解决