勾股

只有证明了是真命题了才会是定理

大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，就是：c2=（b-a)2+4*1/2ab=a2+b2

广勾股定理：在任一三角形中，(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍．(2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．证明(1)设△ABC中，BC是锐角A的对边(图2－4)．作BH⊥AC于H，因为AB2=BH2+AH2，BC2=BH2＋CH2，所以，BC2-AB2=CH2-AH2．∴BC2=AB2+CH2-AH2．(1)但是CH2=(AC－AH)2=AC2-2AC·AH+AH2．(2)将(2)代入(1)就得到BC2=AB2＋AC2-2AC·AH．(当H在AC边的延长线上时，结论是一样的．)

http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html

在三角形ABC中，角B=45度，AB=4√2，BC=7，求AC的长AC=5过点A作BC的垂线，垂足为D已知∠B=45°那么，△ADB为等腰直角三角形设AD=BD=x那么，由勾股定理得到：AD^2+BD^2=AB^2===>x^2+x^2=32===>x^2=16===>x=4即，AD=BD=4已知BC=7所以，CD=7-4=3那么，在Rt△ADC中由勾股定理得到：AC^2=AD^2+CD^2===>AC^2=4^2+3^2=16+9=25===>AC=5.

用直尺寸测量火柴盒的长和宽,同时测量对角线的长,看看长的平方与宽的平方之和是否等于对角线长的平方,如果相等,就验证出直角三角形的色股定理了.

楼上的回答是正解，同意楼上

1、先来看海伦公式：三角形面积s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2a、b、c表示三角形的边长，√表示根号，即紧跟后面的括号内的全部数开根号。2、再来看海伦公式的变形（以下所有式中的^表示平方）s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]=（1/4）√[(a+b+c）（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）]变形1=（1/4）√{[（a+b）^-c^][c^-（a-b）^]}变形2=（1/4）√{（a^+b^-c^+2ab）[-（a^+b^-c^-2ab）]}变形3=（1/4）√[4a^b^-（a^+b^-c^）^]变形43、画一个三角形（在这儿不好画，你自己画一个吧），三边分别为a、b、c。a为底边。过顶点作与a垂直的高h，把a分成两部分x、y根据勾股定理可得以下三式：x=a-y第1式h^=b^-y^第2式h^=c^-x^第3式根据第2、3式可得b^-y^=c^-x^第4式把第1式的x=a-y代入第4式并化简可得y=（a^-c^+b^）/2a第5式根据第2式可得h=√（b^-y^）=√[b^-（a^-c^+b^）/4a^]={√[4a^b^-（a^-c^+b^）^]}/2a三角形面积s=（1/2）*ah=（1/2）*a*{√[4a^b^-（a^-c^+b^）^]}/2a=（1/4）√[4a^b^-（a^+b^-c^）^]这个等式就是海伦公式的变形4，故得证。

1.a*b=h*√a^2+b^2 a^2*b^2=h^2*(a^2+b^2) 1/a^2+1/b^2=1/h^22.（1）如果a，b，c是勾股数，则 a+c=b×（b/2)

根号下3536 自己算吧

1.362.15

题目需要补充

1.c 根据两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,应该是2〈c〈4,但在锐角三角形中,当c=10的开平方时,根据勾古定理,三角形ABC是RT三角形,所以c必然小于10的开平方,所以是C.2〈c〈根号10 2.一猴子走了10+20=30m 根据勾古定理,设树高为y+10,则y+10=((30-y)^2-20^2)的开平方,y=5所以树高为y+10=15

1.有一个桌子，它的长为1.5M，宽为1M，高为0.75M，桌子的中央B处有一块糖，在桌子角A处有一只小蚂蚁要找到这块糖，则它所行走的路线最短为多少？ 解：两点之间，线段最短。蚂蚁当然会走直线了！糖在桌子中央，那么从桌子中点处做边缘的垂线。分别为1.5/2m和1/2m，这两条是三角形的直角边。斜边为它们平方的和再开方，答案为2分之根号13。（不好意思，有些符号不会打）2..在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？3.圆柱的高为10㎝，底面半径为2㎝，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米？4.在一个10*20的方格中，正方形网格的每个小正方形都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形.⑴使三角形三边3， （在图中画一个即可）⑵使三角形为直角三角形，面积为4（在图中画一个即可）⑶使三角形为钝角三角形，面积为4（在图中画一个即可）5.铁路上A、B两点相距25㎞，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15㎞，CB＝10㎞，现在要在铁路AB上修建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应修建在离A站多少千米处？6.某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度。7.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为 （ ） ㎞。8..一海轮以24n mile／h的速度从港口A出发向东南方向航行，另一海轮以18n mile／h的速度同时从港口A出发向西南方向航行，离开港口2h后，两海轮之间的距离为（ ）.A. 84n mile B. 60n mile C. 48n mile D.36 n mile另外还有其他题作补充：http://www.i3721.com/cz/tbstdq/stdqc2/hsdc2sx/200606/187724.html

1.在锐角三角形ABC中,一直其两边a=1,b=3,那么第三边c的变化范围是 （ ） A.2〈c〈4 B.2〈c≤3 C.2〈c〈根号10 D.2根号2〈c〈根号10 ∵a=1,b=3 ∴b-a＜c＜a+b ∴2＜c＜4 ∵△ABC为锐角三角形 ∴c＾2＜a＾2+b＾2(余弦定理的推论※） ∴c＾2＜1＾2+3＾2 ∴c＾2＜10 ∴c＜√10 ∴2＜c＜√10 ※注：在锐角三角形中,若它的三边分别是a、b、c（c＞b＞a）, 则c＾2＜a＾2+b＾2 2.在一棵树的10m高处有两只猴子,其中一只爬下书走向离树20m的池塘,而另一只爬到树顶后直扑池塘,如果两只猴子经过的距离相等,问这棵树有多高? 设树高为x米,因为树与地面垂直. 由题意可知,其中一只猴子共走10+20=30米 则有 x^2+20^2 =[30-(x-10)]^2 x^2+400=(40-x)^2 80x^2+400=1600-80x+x^2 80x=1200 x=15

1.有一个桌子，它的长为1.5M，宽为1M，高为0.75M，桌子的中央B处有一块糖，在桌子角A处有一只小蚂蚁要找到这块糖，则它所行走的路线最短为多少？ 解：两点之间，线段最短。蚂蚁当然会走直线了！糖在桌子中央，那么从桌子中点处做边缘的垂线。分别为1.5/2m和1/2m，这两条是三角形的直角边。斜边为它们平方的和再开方，答案为2分之根号13。（不好意思，有些符号不会打） 2..在一棵树的10m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20m的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘。如果两只猴子经过的距离相等，问这一棵树有多高？ 3.圆柱的高为10㎝，底面半径为2㎝，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米？ 4.在一个10*20的方格中，正方形网格的每个小正方形都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形. ⑴使三角形三边3， （在图中画一个即可） ⑵使三角形为直角三角形，面积为4（在图中画一个即可） ⑶使三角形为钝角三角形，面积为4（在图中画一个即可） 5.铁路上A、B两点相距25㎞，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15㎞，CB＝10㎞，现在要在铁路AB上修建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应修建在离A站多少千米处？ 6.某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到 达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度。 7.轮船在大海中航行，它从A点出发，向正北方向航行20㎞，遇到冰山后，又折向东航行15㎞，则此时轮船与A点的距离为 （ ） ㎞。 8..一海轮以24n mile／h的速度从港口A出发向东南方向航行，另一海轮以18n mile／h的速度同时从港口A出发向西南方向航行，离开港口2h后，两海轮之间的距离为（ ）. A. 84n mile B. 60n mile C. 48n mile D.36 n mile

（x+10)平方+20平方=（30-x）平方

余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置 对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵如图，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。勾股定理 勾股定理: 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 定理： 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a+b=c; 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形的三条边a，b，c满足a+b=c ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）最早的勾股定理 从很多泥板记载表明，巴比伦人是世界上最早发现“勾股定理”的，这里只举一例。例如公元前1700年的一块泥板（编号为BM85196）上第九题，大意为“有一根长为5米的木梁（AB）竖直靠在墙上，上端（A）下滑一米至D。问下端（C）离墙根（B）多远？”他们解此题就是用了勾股定理，如图 设AB=CD=l=5米，BC=a，AD=h=1米，则BD=l-h=5-1米=4米 a=√[l-（l-h)]=√[5-(5-1)]=3米，∴三角形BDC正是以3、4、5为边的勾股形。《周髀算经》简介 勾股。 《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。 《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。[编辑本段]伽菲尔德证明勾股定理的故事 1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。 于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 如下: 解：在网格内，以两个直角边为边长的小三角形面积，等于以斜边为边长的的三角形面积。 勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方， a^2;+b^2;=c^2; 说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。 举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c= a+b=9+16=25 则说明斜边为5。勾股定理部分习题 第一章 勾股定理一、 勾股定理的内容，勾股定理是怎样得到的，从定理的证明过程中你得到了什么启示？ 练习: 1、在△ABC中,∠C =90°. (1) 若a =2,b =3则以c为边的正方形面积是多少? (2) 若a =5,c =13.则b是多少? .(3) 若c =61,b =11.则a是多少? (4) 若a∶c =3∶5且c =20则 b 是多少? (5) 若∠A =60°且AC =7cm则AB = ＿cm，BC = ＿cm. 2、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于 ＿cm. 3、等腰三角形的周长是20cm,底边上的高是6cm,则底边的长为 ＿cm. 4、△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AB=12cm,则BC边上的高AD = ＿cm. 5、已知：△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC= ,DB=2cm ,则BC＝＿ cm, AB= ＿cm, AC= ＿cm. 6、如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，求该河流的宽度为_______。 7、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。 8、已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A、25 B、14 C、7 D、7或25 9、小丰妈妈买了一部29英寸(74cm)电视机,下列对29英寸的说法中正确的是 A. 小丰认为指的是屏幕的长度; B. 小丰的妈妈认为指的是屏幕的宽度; C. 小丰的爸爸认为指的是屏幕的周长; D. 售货员认为指的是屏幕对角线的长度 二、 你有几种证明一个三角形是直角三角形的方法？ 练习： （×经典练习×） 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连结得一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五，后人概括为“勾三，股四，弦五”。 （1）观察：3、4、5、，5、12、13、，7、24、25，……发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9＋1）与0.5（25－1）、0.5（25＋1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式。 （2）根据（1）的规律，若用n(n为奇数且n≥3)来表示所有这些勾股数的勾，请你直接用含n的代数式来表示它们的股和弦。 答案： （1） 0.5（9+1）∧2+0.5（25-1）∧2=169=0.5（25+1）∧2 0.5（13+1）∧2+0.5（49-1）∧2=0.5（49+1）∧2 （2） 股：0.5（n^2-1) 弦：0.5（n^2+1） 三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 1、在ΔABC中,若AB2 + BC2 = AC2,则∠A + ∠C＝ °。 2、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC是（ ） （A） 直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)以上答案都不对 已知三角形的三边长分别是2n+1,2n +2n, 2n +2n+1（n为正整数）则最大角等于_________度. 三角形三个内角度数比为1:2:3,它的最大边为M,那么它的最小边是_____. 斜边上的高为M的等腰直角三角形的面积等于_____. 3、已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，求四边形ABCD的面积。 美国总统的证明方法图各具特色的证明方法三角学里有一个很重要的定理，我国称它为勾股定理，又叫商高定理。因为《周髀算经》提到，商高说过"勾三股四弦五"的话。下面介绍其中的几种证明。 最初的证明是分割型的。设a、b为直角三角形的直角边，c为斜边。考虑下图两个边长都是a+b的正方形A、B。将A分成六部分，将B分成五部分。由于八个小直角三角形是全等的，故从等量中减去等量，便可推出：斜边上的正方形等于两个直角边上的正方形之和。这里B中的四边形是边长为c的正方形是因为，直角三角形三个内角和等于两个直角。如上证明方法称为相减全等证法。B图就是我国《周髀算经》中的“弦图”。 下图是H．珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。其实这种证明是重新发现的，因为这种划分方法，labitibn Qorra（826～901）已经知道。（如：右图）下面的一种证法，是H61E61杜登尼（Dudeney）在1917年给出的。用的也是一种相加全等的证法。 如右图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。 下图的证明方法，据说是L61达61芬奇（da Vinci, 1452～1519）设计的，用的是相减全等的证明法。 欧几里得（Euclid）在他的《原本》第一卷的命题47中，给出了勾股定理的一个极其巧妙的证明，如次页上图。由于图形很美，有人称其为“修士的头巾”，也有人称其为“新娘的轿椅”，实在是有趣。华罗庚教授曾建议将此图发往宇宙，和“外星人”去交流。其证明的梗概是： (AC)2=2△JAB=2△CAD=ADKL。 同理，(BC)2=KEBL 所以 (AC)2+(BC)2=ADKL+KEBL=(BC)2 印度数学家兼天文学家婆什迦罗（Bhaskara，活跃于1150年前后）对勾股定理给出一种奇妙的证明，也是一种分割型的证明。如下图所示，把斜边上的正方形划分为五部分。其中四部分都是与给定的直角三角形全等的三角形；一部分为两直角边之差为边长的小正方形。很容易把这五部分重新拼凑在一起，得到两个直角边上的正方形之和。事实上， 婆什迦罗还给出了下图的一种证法。画出直角三角形斜边上的高，得两对相似三角形，从而有 c/b=b/m， c/a=a/n, cm=b2 cn=a2 两边相加得 a2+b2=c(m+n)=c2 这个证明，在十七世纪又由英国数学家J．沃利斯(Wallis, 1616～1703)重新发现。 有几位美国总统与数学有着微妙联系。G61华盛顿曾经是一个著名的测量员。T61杰弗逊曾大力促进美国高等数学教育。A．林肯是通过研究欧几里得的《原本》来学习逻辑的。更有创造性的是第十七任总统J．A．加菲尔德（Garfield, 1831～1888），他在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能。在1876年，（当时他是众议院议员，五年后当选为美国总统）给出了勾股定理一个漂亮的证明，曾发表于《新英格兰教育杂志》。证明的思路是，利用梯形和直角三角形面积公式。如次页图所示，是由三个直角三角形拼成的直角梯形。用不同公式，求相同的面积得 即 a2+2ab+b2=2ab+c2 a2+b2=c2 这种证法，在中学生学习几何时往往感兴趣。 关于这个定理，有许多巧妙的证法（据说有近400种），下面向同学们介绍几种，它们都是用拼图的方法来证明的。 证法1 如图26-2，在直角三角形ABC的外侧作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它们的面积分别为c2，b2和a2。我们只要证明大正方形面积等于两个小正方形面积之和即可。 过C引CM‖BD，交AB于L，连接BC，CE。因为 AB=AE，AC=AG ∠CAE=∠BAG， 所以 △ACE≌△AGB SAEML=SACFG (1) 同法可证 SBLMD=SBKHC (2) (1)+(2)得 SABDE=SACFG+SBKHC， 即 c2=a2+b2 证法2 如图26-3（赵君卿图），用八个直角三角形ABC拼成一个大的正方形CFGH，它的边长是a+b，在它的内部有一个内接正方形ABED，它的边长为c，由图可知。 SCFGH=SABED+4×SABC， 所以 a2+b2=c2 证法3 如图26-4（梅文鼎图）。 在直角△ABC的斜边AB上向外作正方形ABDE，在直角边AC上又作正方形ACGF。可以证明（从略），延长GF必过E；延长CG到K，使GK=BC=a，连结KD，作DH⊥CF于H，则DHCK是边长为a的正方形。设 五边形ACKDE的面积=S 一方面， S=正方形ABDE面积+2倍△ABC面积 =c2+ab (1) 另一方面， S=正方形ACGF面积+正方形DHGK面积 +2倍△ABC面积 =b2+a2+ab. (2) 由(1)，(2)得 c2=a2+b2 证法4 如图26-5（项名达图），在直角三角形ABC的斜边上作正方形ABDE，又以直角三角形ABC的两个直角边CA，CB为基础完成一个边长为b的正方形BFGJ（图26-5）。可以证明（从略），GF的延长线必过D。延长AG到K，使GK=a，又作EH⊥GF于H，则EKGH必为边长等于a的正方形。 设五边形EKJBD的面积为S。一方面 S=SABDE+2SABC=c2+ab (1) 另一方面， S=SBEFG+261S△ABC+SGHFK =b2+ab+a2 由(1)，(2) 得出论证都是用面积来进行验证：一个大的面积等于几个小面积的和。利用同一个面积的不同表示法来得到等式，从而化简得到勾股定理）图见 http://ett.edaedu.com/21010000/vcm/0720ggdl.doc勾股定理是数学上证明方法最多的定理之一——有四百多种证法！但有记载的第一个证明——毕达哥拉斯的证明方法已经失传。目前所能见到的最早的一种证法，属于古希腊数学家欧几里得。他的证法采用演绎推理的形式，记载在数学巨著《几何原本》里。在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a） 2 。于是便可得如下的式子： 4×（ab/2）+（b-a） 2 =c 2 化简后便可得： a 2 +b 2 =c 2 亦即：c=（a 2 +b 2 ） (1/2) 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。 以下网址为赵爽的“勾股圆方图”： http://cimg.163.com/catchpic/0/01/01F9D756BE31CE31F761A75CACC1410C.gif 以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展， 只是具体图形的分合移补略有不同而已。 例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 以下网址为刘徽的“青朱出入图”： http://cimg.163.com/catchpic/A/A7/A7070D771214459D67A75E8675AA4DCB.gif 勾股定理应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。 勾股定理在我们生活中有很大范围的运用. 勾股定理的16种验证方法（带图）：http:blog.cersp.com/UploadFiles/2007/11-25/1125862269.doc 练习题：一个等腰三角形,三个内角的比为1:1:10,腰长为10cm,则这个三角形的面积为____ 解：由题意得此三角形各角角度为15度 15的150度 设底边上的高为h 底边长为2t 易得sin15=sin60cos45-cos60sin45=h/10 解得h=5(√6-√2)/2 又tan15=(tan60-tan45)/(1-tan60tan45)=5(√6-√2)/2t 解得t=5(√6+√2) 故面积s=th=50</CN> `勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称． 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家．我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理．在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”．因此，勾股定理在我国又称“商高定理”．在公元前7~6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日． 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”．还有的国家称勾股定理为“平方定理”． 在陈子后一二百年，希腊的著明数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理．为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．

利用面积相等法可以证明

题？？？你是要题吗？

23没有整数勾股数。勾股数是指满足勾股定理条件的三个正整数，即a^2+b^2=c^2，其中a、b、c为正整数，并且a、b、c两两互质。1、首先列出a、b的所有可能取值的组合：(1,2),(1,3),(1,4),...,(1,23)(2,3),(2,4),...,(2,23)...(22,23)(23,24)。2、然后计算每组组合对应的c的平方是否等于23的平方，3、即判断是否满足勾股定理。经过计算，发现23没有整数解的勾股数。

在直角三角形ABC中，角C=90°，AC=6，AB=BC+2,求AB+BC的长 解： 角C=90° 所以AB^2=AC^2+BC^2 AC=6，AB=BC+2, 所以 (BC+2)^2=36+BC^2 所以 BC=8 AB=8+2=10 AB+BC=10+8=18 在三角形ABC中，角CAB=120°，AB=4，AC=2，AD垂直BC，D是垂足，求：AD的长。 做BE垂直AC,垂足为E 则AE=2 BE=2根号3 CE=4 BC方=4*4+2*2*根号3*根号3=16+12=28 BC=2根号7 根据面积公式 AC*BE=BC*AD 底*高=底*高 AD=2根号3*2/(2根号7)=2根号21/7 回答者： sss_wl0504 - 江湖少侠 六级 9-11 12:47一道初二勾股定理难题~~ 已知，三角形ABC为等腰直角三角形，角C为90度，P为三角形内一点，PA=3，PB=根号7，PC=1，求角CPB的度数。 解答: 将三角形ACP逆时针旋转90度得新的三角形BCD,连PD 因为图形旋转前后为全等形,三角形ACP全等于三角形BCD 所以CP=CD=1,AP=BD=3,角ACP=角BCD 因为角ACP+角BCP=90度,所以角BCD+角BCP=90度 所以三角形PCD为等腰直角三角形,角CPD=45度 所以勾股得PD=根2 因为(根2)^2+(根7)^2=3^2即PD^2+BP^2=BD^2 所以三角形BPD为直角三角形,所以角DPB=90度 所以角CPB=角CPD+角DPB=45度+90度=135度 回答者： 474096872 - 护国法师 十五级 9-11 12:47问题： 大家都知道3.4.5； 5，12，13； 8，15，17等都是勾股数组，有人说它们中好像有定有一个是偶数，你认为他的观点正确吗？说明你的理由。 除此之外，你还能发现勾股数具有哪些规律？ 解答： 这个观点是正确的 假设三个数都是奇数 奇数的平方也就是奇数乘以奇数，仍然是奇数 那么根据勾股定理 出现了奇数=奇数+奇数的情况 这与事实相悖， 所以原假设错误， 必有一个是偶数。 勾股数因为是满足直角三角形的数，所以也满足三角形的规律 那就是三个数中任意两个数相加都大于第三个数 任意两个数相减都小于第三个数 再一个就是 平方数的尾数只有可能为0、1、4、5、6、9 而这6个数中只有 0+1出现1 0+4出现4 0+5出现5 0+6出现6 0+9出现9 1+4出现5 1+9出现0 4+5出现9 4+6出现0 分析上面的情况可以看出，所有的情况中都含有0或5，而0或5只有尾数为0或5的数平方后才可能出现。 同时尾数为0的数和尾数为5的数都是5的倍数。 这样我们推断出一个规律： 勾股数中至少有一个数是5的倍数！ 回答者： plearin - 秀才 三级 9-11 12:48

因为 5、12、13 符合勾股定理，所以有一个角是90度。根据角A=arc sin (BC/AC)=5/13。角B=90度。根据角C=arc tan (AB/BC)=12/5。性质勾股定理又叫毕达哥拉斯定理、商高定理和毕氏定理。在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长的平方之和。勾股定理的应用非常广泛。我国战国时期另一部古籍《路史后记十二注》中就有这样的记载："禹治洪水决流江河，望山川之形，定高下之势，除滔天之灾，使注东海，无漫溺之患，此勾股之所系生也。"这段话的意思是说：大禹为了治理洪水，使不决流江河，根据地势高低，决定水流走向，因势利导，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的灾害，是应用勾股定理的结果。

当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1（你可以验证此规律,即是否满足勾股定理,其实这是勾股数得规律） 此题中n=5,所以b60,c=61

勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。根据勾股数的定义我们知道勾股数必须是整数，而且是正整数。 勾股数一定是整数吗 勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数必须是整数。例如一下常用的勾股数都是正整数： (1)(3，4，5),(6，8，10)…… 3n,4n,5n(n是正整数) (2)(5，12，13),(7，24，25),(9，40，41)…… 2n+1,2n^2+2n,2n^2+2n+1(n是正整数) (3)(8，15，17),(12，35，37)…… 2^2*(n+1),[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1(n是正整数) (4)m^2-n^2,2mn,m^2+n^2(m、n均是正整数，m>n) 勾股数的3条规律 1.在一组勾股数中，当最小边是奇数是，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。 2.在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。 3.在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。 勾股数顺口溜 3，4，5：勾三股四弦五 5，12，13：5月12记一生(13) 6，8，10：连续的偶数 8，15，17：八月十五在一起(17) 特殊勾股数： 连续的勾股数只有3，4，5。 连续的偶数勾股数只有6，8，10。

勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n"*m"^2 （6），X=n"*m"^2,且 n"为不相同素数的乘积 将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m")^2*n"*n,（n,n"为不相同素数的乘积） （7） 根据（7）知n*n"仍然为平方数，又由于n",n均为不相同素数乘积知n=n"(自行证明，比较简单） 可知a=m"*m*n c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m"^2)/2=n*(m^2+m"^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m"^2-m^2)/2 a=m*n*m"[编辑本段]勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时海可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109 …… 已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。 勾 股 数 1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。 2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等； 3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是： X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。 4． 勾股数具有以下特性： 斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大； 斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大； 5． 由以上定义我们推导出勾股公式： X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ） Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ） Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ） 6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。 7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997] 8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组： [47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]； [427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]； 9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。 例如P = 5 ，Q = 8 ，得到 X = 25 + 5×8 = 65 Y = 32 + 5×8 = 72 Z = 25 + 32 + 5×8 = 97 10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。 11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数； 当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数； 12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。 13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。 14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。[编辑本段]勾股数公式及证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得

在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2. 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数. 例如（3、4、5）,（5、12、13）,（6、8、10）,（7、24、25）等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2,因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）.显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数；反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形.因此,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义. 1．任取两个正整数m、n,使2mn是一个完全平方数,那么 c=2+9+6=17. 则8、15、17便是一组勾股数. 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n),那么 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数. 例如：当m=4,n=3时, a=42-32=7,b=2×4×3=24,c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数. 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数. 3．若勾股数组中的某一个数已经确定,可用如下的方法确定另外两个数. 首先观察已知数是奇数还是偶数. (1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数. 例如9是勾股数中的一个数, 那么9、40、41便是一组勾股数. 证明：设大于1的奇数为2n+1,那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数. 例如8是勾股数组中的一个数. 那么8、15,17便是一组勾股数. 证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.

a^2+b^2=c^21)a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)a=19 a^2=361=361*1所以c-b=1 c+b=361b=180 c=1812)当a=2n+1时（2n+1)^2=(b+c)(b-c)4n^2+4n+1=(b+c)(b-c)b+c=4n^2+4n+1c-b=1c=2n^2+2n+1b=2n^2+2n

勾股定理的逆定理，三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，这个三角形为直角三角形

因为前4组都是按照3579所以第五组第一个数为11然后看后两个数可以看第一个数的平方是后两个数的和所以第五组为116061

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数. 　　1、设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a^2+b^2=c^2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2,求出正整数解. 2、任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证. 汇总：观察分析勾股数,可看出它们具有下列二个特点： 　　1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数. 　　2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和.

勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n"*m"^2 （6），X=n"*m"^2,且 n"为不相同素数的乘积 将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m")^2*n"*n,（n,n"为不相同素数的乘积） （7） 根据（7）知n*n"仍然为平方数，又由于n",n均为不相同素数乘积知n=n"(自行证明，比较简单） 可知a=m"*m*n c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m"^2)/2=n*(m^2+m"^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m"^2-m^2)/2 a=m*n*m"[编辑本段]勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时海可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109 …… 已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。 勾 股 数 1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。 2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等； 3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是： X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。 4． 勾股数具有以下特性： 斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大； 斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大； 5． 由以上定义我们推导出勾股公式： X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ） Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ） Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ） 6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。 7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997] 8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组： [47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]； [427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]； 9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。 例如P = 5 ，Q = 8 ，得到 X = 25 + 5×8 = 65 Y = 32 + 5×8 = 72 Z = 25 + 32 + 5×8 = 97 10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。 11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数； 当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数； 12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。 13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。 14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。[编辑本段]勾股数公式及证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得

(n+1)2-n2=2n+1他是以个完全平方数2n+1=121n=60所以b=60,c=61当a为奇数时,b,c是相邻整数

基本勾股数组规律：（3+2（n-1），4（1+2+…+n），5+4｛（n-1）n-（1+2+…+（n-2）｝）前提：n需大于3 上述规律为本人自己演算出来的，欢迎纠错

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。　　1、设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 2、任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。汇总：观察分析勾股数，可看出它们具有下列二个特点：　　1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。　　2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。（请参考 ，祝你学习进步 ^_^

在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2. 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数. 例如（3、4、5）,（5、12、13）,（6、8、10）,（7、24、25）等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2,因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）.显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数；反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形.因此,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义. 1．任取两个正整数m、n,使2mn是一个完全平方数,那么 c=2+9+6=17. 则8、15、17便是一组勾股数. 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n),那么 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数. 例如：当m=4,n=3时, a=42-32=7,b=2×4×3=24,c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数. 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数. 3．若勾股数组中的某一个数已经确定,可用如下的方法确定另外两个数. 首先观察已知数是奇数还是偶数. (1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数. 例如9是勾股数中的一个数, 那么9、40、41便是一组勾股数. 证明：设大于1的奇数为2n+1,那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数. 例如8是勾股数组中的一个数. 那么8、15,17便是一组勾股数. 证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.

a^2+b^=c^2 常见的勾股数 3 4 5 ， 6 8 10，5 12 13。

勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n"*m"^2 （6），X=n"*m"^2,且 n"为不相同素数的乘积 将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m")^2*n"*n,（n,n"为不相同素数的乘积） （7） 根据（7）知n*n"仍然为平方数，又由于n",n均为不相同素数乘积知n=n"(自行证明，比较简单） 可知a=m"*m*n c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m"^2)/2=n*(m^2+m"^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m"^2-m^2)/2 a=m*n*m"[编辑本段]勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时海可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109 …… 已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。 勾 股 数 1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。 2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等； 3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是： X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。 4． 勾股数具有以下特性： 斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大； 斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大； 5． 由以上定义我们推导出勾股公式： X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ） Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ） Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ） 6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。 7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997] 8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组： [47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]； [427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]； 9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。 例如P = 5 ，Q = 8 ，得到 X = 25 + 5×8 = 65 Y = 32 + 5×8 = 72 Z = 25 + 32 + 5×8 = 97 10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。 11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数； 当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数； 12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。 13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。 14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。[编辑本段]勾股数公式及证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得

所谓勾股数,就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时,我们就称这一组数为勾股数. 那么,组成一组勾股数的三个正整数之间,是否具有一定的规律可寻呢?下面我们一起来观察几组勾股数： 规律一：在勾股数（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）（9,40,41）中,我们发现 由（3,4,5）有：32=9=4+5 由（5,12,13）有：52=25=12+13 由（7,24,25）有：72=49=24+25 由（9,40,41）有：92=81=40+41. 即在一组勾股数中,当最小边为奇数时,它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和.因此,我们把它推广到一般,从而可得出以下公式： ∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1） ∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数） 证明（略） 勾股数公式一：（2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1）（n为正整数） 规律二：在勾股数（6,8,10）、（8,15,17）、（10,24,26）中,我们发现 由（6,8,10）有：62=36+2×（8+10） 由（8,15,17）有：82=64=2×（15+17） 由（10,24,26）有：102=100=2×（24+26） 即在一组勾股数中,当最小边为偶数时,它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍,推广到一般,从而可得出另一公式： ∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）] ∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数） 证明（略） 勾股数公式二：（2n,n2-1,n2+1）（n≥2且n为正整数） 利用以上两个公式,我们可以快速写出各组勾股数.

我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征其中，a=n+(n+1)=2n+1，b=2n(n+1)=2n2 +2n，c=2n(n+1)+1=2n2 +2n+1，容易验证：(2n+1)2+(2n2 +2n)2=(2n2 +2n+1)2，即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：最短边为偶数时，a=2(n+1)=2n+2，b=n2 +2n，c=n2 +2n+2，容易验证：(2n+2)2+(n2 +2n)2=(n2 +2n+2)2，即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律拓展资料1、勾股定理的由来勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。2、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。3、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，。②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。③可运用勾股定理解决一些实际问题。

　　不积跬步无以至千里，不积小流无以至江海，知识需要不断的积累，下面由我为你精心准备了“勾股数的规律有哪些？关于勾股数的概念”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 　　 勾股数的规律有哪些？ 　　规律一、通过（3，4，5）、（5，12，13，）、（7，24，25）、（9，40，41）这几组数据的举例，我们发现一个结论，在一组勾股数中，当最小边是奇数是，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。 　　我们还总结出来一个方便理解和记忆的方法：在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。 　　规律二、在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。 　　那么关于这一组数据，如何记忆理解，请参考规律三，我们从一道中考真题里总结出来的规律。当然，比如6，8，10，其实也是3，4，5的倍数关系。一组勾股数的相同倍数，都是一组新的勾股数。 　　我们得到关于规律二的记忆方法：在一组勾股书中，当一个数是偶数时，则另外两个数，一个数是它的一半的平方减1，另一个数是它一半的平法加1。 　　勾股数的概念 　　勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征其中，a=n+(n+1)=2n+1，b=2n(n+1)=2n2 +2n，c=2n(n+1)+1=2n2 +2n+1，容易验证：(2n+1)2+(2n2 +2n)2=(2n2 +2n+1)2，即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：最短边为偶数时，a=2(n+1)=2n+2，b=n2 +2n，c=n2 +2n+2，容易验证：(2n+2)2+(n2 +2n)2=(n2 +2n+2)2，即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律拓展资料1、勾股定理的由来勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。2、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。3、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，。②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。③可运用勾股定理解决一些实际问题。

分类: 教育/学业/考试 >> 学习帮助 解析: 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

勾股数的3条规律:1、凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。2、在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。3、在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍。规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现：由（3，4，5）有：3 2 =9=4+5；由（5，12，13）有：5 2 =25=12+13；由（7，24，25）有：7 2 =49=24+25；由（9，40，41）有：9 2 =81=40+41。即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：∵（2n+1） 2 =4n 2 +4n+1=（2n 2 +2n）+（2n 2 +2n+1）∴（2n+1） 2 +（2n 2 +2n） 2 =（2n 2 +2n+1） 2 （n为正整数）勾股数公式一：（2n+1，2n 2 +2n，2n 2 +2n+1）（n为正整数）。规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现：由（6，8，10）有：6 2 =36=2×（8+10）；由（8，15，17）有：8 2 =64=2×（15+17）；由（10，24，26）有：10 2 =100=2×（24+26）；即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：∵（2n） 2 =4n 2 =2[（n 2 -1）+（n 2 +1）]∴（2n） 2 +（n 2 -1） 2 =（n 2 +1） 2 （n≥2且n为正整数）勾股数公式二：（2n，n 2 -1，n 2 +1）（n≥2且n为正整数）。

(1)第六组数为48，14，50(2）第N组数为N^2+2N,2N+2,N^2+2N+2(3)根据第（2）的 结果有(N^2+2N)^2+(2N+2)^2和(N^2+2N+2)^2展开可知道两者相等。

就你给出的几组数字,有如下规律： (2n+1)+n^2=(n+1)^2 设三个勾股数从小到大依次为a,b,c,则有： a^2=b+c c=b+1 如果设b为n, 就有上述规律.

勾股数中有一个一定是偶数,这是正确的！理由你去下面的网址去看。勾股数具有以下特性：1,斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数,例1,9,25,49,……，至无穷大；2,斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半,例2，8，18，32，……，至无穷大；

112+602＝612 132+842=852 152+1122=1132172+1442=1452192+1802=1812

勾股数必须是整数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数必须是整数。例如以下常用的勾股数都是正整数：1、（3，4，5），（6，8，10）……（3n，4n，5n）（n是正整数）。2、（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）……（2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1）（n是正整数）。3、（8，15，17），（12，35，37）……（2^2*(n+1)，^2-1，［2(n+1)]^2+1）（n是正整数）。4、（m^2-n^2，2mn，m^2+n^2）（m、n均是正整数，m>n）。勾股数的3条规律1、在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。2、在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。3、在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c-b=1∵a=19，a2+b2=c2，∴192+b2=（b+1）2，∴b=180，∴c=181；（2）通过观察知c-b=1，∵（2n+1）2+b2=c2，∴c2-b2=（2n+1）2，（b+c）（c-b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，又c=b+1，∴2b+1=（2n+1）2，∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15，112-111=1，但2n2+2n=112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．

3u30014u300155u300112u3001136u30018u3001107u300124u3001259u300140u300141

3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

11,60,61 分析以上4组数据可知第一个数为3,5,7,9……为奇数递增。所以第五组数据第一个数字应为11.而前4组的后两位数的和为第一个数字的平方。如：3×3=4+5；5×5=12+13……所以第5组后两位的和=11×11=121.则（121-1）÷2=60.则第二个数=60.第三个数=61.分析：考点1：解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

第一种：a=n+1,b=n-1,c^=2(n^+1) 第二种：a=n^-1,b=2n,c=n^+1 第三种：a=m^-n^,b=2mn,c=m^+n^ 第四种：a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1

定义：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方。证明：如图，梯形面积=(a+b)*(a+b)/2=三个三角形面积和=2*ab/2+(c^2)/2即得在Rt△中，若c为斜边，a，b为直角边，则a^2+b^2=c^2勾股数：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数常见的有3，4，5；5，12，13；7，24，25当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1^2为平方向左转|向右转

因为前4组都是按照3579所以第五组第一个数为11然后看后两个数可以看第一个数的平方是后两个数的和所以第五组为116061

斜边是两米那么另一条直角边就是根号三米。如果两条直角边分别是一米两米，那么这边就是三米。在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。勾股数，又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

可以找到如下规律(2n^2-1)^2+(2n)^2=(2n^2+1)^2

①35 12 37 3.4.5 8.6.10 15.8.17 24.10.26 你竖着看第一列+3 +5 +7 +9···第二列依次+2第三列与第一规律一样

n/uff082nuff0b1uff09

一般来说是3比4比5，也有不规律的

勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.例如8是勾股数组中的一个数.那么8、15,17便是一组勾股数.证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.则8、15、17便是一组勾股数.阴中有阳。互相合作。

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

勾股数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数. ①观察3,4,5；5,12,13；7,24,25；…发现这些勾股数都是奇数,且从3起九没有间断过.计算0.5（9-1）,0.5（9+1）与0.5（25-1）,0.5（25+1）,并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式. ②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明. ③继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦. 勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件 设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解. 例：已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1),求证：∠C=90°.此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1),都可构成一组勾股数,三边分别是：2n、n2-1、n2+1.如：6、8、10,8、15、17、10、24、26…等. 再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13,7、24、25、9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形.由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证. 勾股数 - 特点 观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数. 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和. 掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便. 例：直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少? 用特点1设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有：169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182. 用特点2此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182.

问题一：勾股数有什么规律？？ 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。 问题二：勾股数有什么规律？ 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。 问题三：勾股数都具有哪些规律 两个小数的平方和是大数的平方 我们老师是这样讲的 应该对的 问题四：勾股数有哪些 常见的勾股数及几种通式有： (1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） … … 3n,4n,5n (n是正整数) (2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41） … … 2n ＋ 1, 2n^2 ＋ 2n, 2n^2 ＋ 2n ＋ 1 (n是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … … 2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数) (4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n均是正整数，m>n) 简单列出一些： 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 13 84 85 15 112 113 8，15，17 12，35，37 20，21，29 20，99，101 48，55，73 60，91，109 问题五：勾股数有哪些 设三个数分别为i,j,k i=3 j=4 k=5； i=5 j=12 k=13； i=6 j=8 k=10； i=7 j=24 k=25； i=8 j=15 k=17； i=9 j=12 k=15； i=9 j=40 k=41； i=10 j=24 k=26； i=11 j=60 k=61； i=12 j=16 k=20； i=12 j=35 k=37； i=13 j=84 k=85； i=14 j=48 k=50； i=15 j=20 k=25； i=15 j=36 k=39； i=16 j=30 k=34； i=16 j=63 k=65； i=18 j=24 k=30； i=18 j=80 k=82； i=20 j=21 k=29； i=20 j=48 k=52； i=21 j=28 k=35； i=21 j=72 k=75； i=24 j=32 k=40； i=24 j=45 k=51； i=24 j=70 k=74； i=25 j=60 k=65； i=27 j=36 k=45； i=28 j=45 k=53； i=30 j=40 k=50； i=30 j=72 k=78； i=32 j=60 k=68； i=33 j=44 k=55； i=33 j=56 k=65； i=35 j=84 k=91； i=36 j=48 k=60； i=36 j=77 k=85； i=39 j=52 k=65； i=39 j=80 k=89； i=40 j=42 k=58； i=40 j=75 k=85； i=42 j=56 k=70； i=45 j=60 k=75； i=48 j=55 k=73； i=48 j=64 k=80； i=51 j=68 k=85； i=54 j=72 k=90； i=57 j=76 k=95； i=60 j=63 k=87； i=65 j=72 k=97这是100以内的

勾股数的含义：勾股数，又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理 : 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a2+b2 =c2 ) 。勾股数顺口溜3，4，5:勾三股四弦五。5，12，13:5月12记一生（13)。6，8，10:连续的偶数。8，15，17:八月十五在一起（17）。特殊勾股数:连续的勾股数只有：3，4，5。连续的偶数勾股数只有：6，8，10。

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。　　1、设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 2、任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。汇总：观察分析勾股数，可看出它们具有下列二个特点：　　1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。　　2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。（请参考 ，祝你学习进步 ^_^

∵①3=2×1+1，4=2×1 2 +2×1，5=2×1 2 +2×1+1；②5=2×2+1，12=2×2 2 +2×2，13=2×2 2 +2×2+1；③7=2×3+1，24=2×3 2 +2×3，25=2×3 2 +2×3+1；④9=2×4+1，40=2×4 2 +2×4，41=2×4 2 +2×4+1；故答案为：9，40，41．

当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1（你可以验证此规律,即是否满足勾股定理,其实这是勾股数得规律） 此题中n=5,所以b60,c=61

勾股数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。勾股数 - 特点观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。

《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、 《九章算术》　　生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图，今传本已只剩下正文了。 《九章算术》共收有246个数学问题，分为九章、它们的主要内容分别是： 第一章“方田”：田亩面积计算；提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式；分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。 第二章“粟米”：谷物粮食的按比例折换；提出比例算法，称为今有术；衰分章提出比例分配法则，称为衰分术； 第三章“衰分”：比例分配问题；介绍了开平方、开立方的方法，其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。 第四章“少广”：已知面积、体积，反求其一边长和径长等； 第五章“商功”：土石工程、体积计算；除给出了各种立体体积公式外，还有工程分配方法； 第六章“均输”：合理摊派赋税；用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。 第七章“盈不足”：即双设法问题；提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。 第八章“方程”：一次方程组问题；采用分离系数的方法表示线性方程组， 勾股定理求解　　相当于现在的矩阵；解线性方程组时使用的直除法，与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。 第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式：若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦，则，m>n。在西方，毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况，直到3世纪的丢番图才取得相近的结果，这已比《九章算术》晚约3个世纪了。勾股章还有些内容，在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式，在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。　　主要特点　　《九章算术》确定了中国古代数学的框架，以计算为中心的特点，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的的风格。其影响之深，以致以后中国数学着作大体采取两种形式：或为之作注，或仿其体例着书；甚至西算传入中国之后，人们着书立说时还常常把包括西算在内 《九章算术》　　的数学知识纳入九章的框架。 然而，《九章算术》亦有其不容忽视的缺点：没有任何数学概念的定义，也没有给出任何推导和证明。魏景元四年(263年)，刘徽给《九章算术》作注，才大大弥补了这个缺陷。 刘徽是中国数学家之一。他的生平现在知之甚少。据考证，他是山东邹平人。刘徽定义了若干数学概念，全面论证了《九章算术》的公式解法，提出了许多重要的思想、方法和命题，他在数学理论方面成绩斐然。 刘徽对数学概念的定义抽象而严谨。他揭示了概念的本质，基本符合现代逻辑学和数学对概念定义的要求。而且他使用概念时亦保持了其同一性。如他提出凡数相与者谓之率，把率定义为数量的相互关系。又如他把正负数定义为今两算得失相反，要令正负以名之，摆脱了正为余，负为欠的原始观念，从本质上揭示了正负数得失相反的相对关系。 《九章算术》的算法尽管抽象，但相互关系不明显，显得零乱。刘徽大大发展深化了中算中久已使用的率概念和齐同原理，把它们看作运算的纲纪。许多问题，只要找出其中的各种率关系，通过乘以散之，约以聚之，齐同以通之，都可以归结为今有术求解。 一平面(或立体)图形经过平移或旋转，其面积(或体积)不变。把一个平面(或立体)图形分解成若干部分，各部分面积(或体积)之和与原图形面积(或体积)相等。基于这两条不言自明的前提的出入相补原理，是中国古代数学进行几何推演和证明时最常用的原理。刘徽发展了出入相补原理，成功地证明了许多面积、体积以及可以化为面积、体积问题的勾股、开方的公式和算法的正确性。　　数学成就　　《九章算术》中的数学成就是多方面的： (1)、在算术方面的主要成就有分数运算、比例问题和“盈不足”算法。《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作，在第二、三、六章中有许多比例问题，在世界上也是比较早的。“盈不足”算法需要给出两次假设，是一项创造，中世纪欧洲称它为“双设法”，有人认为它是由中国经中世纪阿拉伯国家传去的． (2)、在几何方面，主要是面积、体积计算。 (3)、在代数方面，主要有一次方程组解法、平方、立方、一般二次方程解法等。“方程”一章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则．作为一部世界科学名著，《九章算术》在隋唐时期就已传入朝鲜、日本。现在它已被译成日、俄、德、英、法等多种文字。 《九章算术方程》章共18问，全都是一次方程组问题，未知数最多时可达五个。其解法，首先以竖行用算筹列出各方程的系数，如“方程”章第一题，它相当于求解： 《九章算术》　　3x+2+=39，(1) 2x+3+=34，(2) x+2+3=26。(3) 列出的筹式如 123 232 311 263439 [3][2][1]， 竖行[1]、[2]、[3]，即相当于上面的式(1)、(2)、(3)。其消元方法就是令左右行连续相减(如以3乘[2]再连续减[1]即可消去x项系数)。“程”是指“计算”、“方”是指这样列出的筹式是方形的，这才是“方程”这一数学术语的原意。《九章算术》中的这项成果，比世界其它国家和地区的同类成果要早很多年。“方程”章还在世界数学史上首次引入了负数及其加减法运算法则。 在《九章算术》中，开平方和开立方时所列筹式以及演算过程，其意义和求解x=、x=的数值解法是相同的。这样，在开平方的过程中便可很自然地引出一般二次方程的解法。由此出发，更开宋元时期高次方程数值解法的先声。　　历史考证　　现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释。 关于对《九章算术》所做的校注主要有：西汉张苍增订、删补，三国时曹魏刘徽注，唐李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明，尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释。80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版。　　后世影响　　《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的著作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显著特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。 《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。 所以，《九章算术》是中国为数学发展做出的一杰出贡献。　　历史影响　　现传本《九章算术》成书于何时， 目前众说纷纭，多数 祖冲之　　认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后，《九章算术》的作者不详。很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶。由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释。 关于对《九章算术》所做的注住要有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉着《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所着《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明，尤其是图文并茂之作。现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释。80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版。 《九章算术》是世界上最早系统叙述了分数运算的着作；其中盈不足的算法更是一项令人惊奇的创造；“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。在代数方面，《九章算术》在世界数学史上最早提出负数概念及正负数加减法法则；现在中学讲授的线性方程组的解法和《九章算术》介绍的方法大体相同。注重实际应用是《九章算术》的一个显着特点。该书的一些知识还传播至印度和阿拉伯，甚至经过这些地区远至欧洲。 《九章算术》是几代人共同劳动的结晶，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．后世的数学家，大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻，这是世界上最早的印刷本数学书。可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。

斜边的平方 等于 两 直角边平方的和 c^2 = a^2 + b^2

勾股定理这个东西大家肯定都耳熟能详，他是一个很著名的数学定理。上图就是勾股定理的图形语言，符号语言与文字语言。那接下来让我们一起走进勾股定理。去探究勾股定理是如何证明的。在证明的过程中，我们也就可以和古人产生了共鸣。 直角三角形有什么性质呢？ 第一个就是所有三角形都有的性质。 三角形内角和等于180度。 任意一个外角等于两个不相邻的内角之和。 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 接下来我们来说一说知道三角形的性质，第1个。直角三角形的三条边里斜边最长。 第2个就是我们今天的主角——勾股定理。第一个板块，是证明勾股定理，第2个就是，勾股定理的应用。今天我们先来谈一谈，证明勾股定理。 但我们需要知道勾股定理的这个现象。所以我们第1步并不是直接去推，而是先去数格子。当个位数一下格子就会发现 Sa+SB就等于SC。9+9=18.简单的一道加法算式，就可以让你清楚的认识到勾股定理的存在。 接下来我们就开始证明了。我们用的还是这个格子，他们这次用的方法是割补法。我们学的第1个方法，咱就是割，先把一个正方形割成4个和本体全等的三角形。这样我们就可以轻松的知道斜边等于几了，也可以轻松的知道，斜边的平方。这样我们就只需要把两个直边的平方相加，看是否等于斜边的平方就可以了。但是勾股定理的证明不单单是这样。这样是可以证明出来直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方，但是我们这里用的是一个特例，并不具备普遍性。还有一种方法是补。在 C的那个小正方形外再补一个大长方形。最后我们拿三角形的面积乘以8再除以2有的需要+1，有的不需要。 接下来我们为了证明，又开始了进一步的探索。这次探索我们采用了补的方法。和上面一样，也是在C的正方形外补一个大正方形，然后我们再算出这个大正方形的面积，记住要用两种方法算，这是一个很重要的步骤。因为两个式子表示的都是大正方形的面积，所以就会画上等号。于是我们就可以得出一个等式。（a+b）平方=2ab+c平方我们再化简一下，前面的( A + B）平方就可以得到 a平方，加B平方等于C平方。我们还需要另外一种证明方法，是美国一个总统的证明方法。这个方法也可以证明勾股定理。这就是第2种方法的推理过程。

勾股定理的解释 [Pythagorean theorem] 《周髀算经》 记载 :西周初年商高提出的勾三股四弦五。这是勾股定理的一个特例。勾股定理就是 直角 三角形斜边上的正方形面积,等于两直角边上的正方形面积之和。 中国 古代称两直角边为勾和股,斜边为弦。勾三股四弦五就是:勾三的平方九,加股四的平方十六,等于弦五的平方二十五。说明我国很早就掌握勾股定理,西方的希腊到 公元 前六世纪的毕达哥拉斯时,才发现这 一定 理 详细解释 在直角三角形中，两直角边平方的和等于斜边的平方。在中国古代，称直角三角形中较短的一条直角边为勾，较长的一条直角边为股，斜边为弦，定理因而得名。古代算书 《周髀算经》 所载商高的谈话中曾提出勾股定理的特例“勾三股四弦五”，故又称“商高定理”。在西方，它被称为“毕达哥拉斯定理”。 词语分解 勾股的解释 直角三角形夹直角的两边，短边为“勾”，长边为“股”；在立竿测太阳高度时，日影为勾，标竿为股。广义说法，包括勾股定理的 研究 和应用。参阅《周髀算经》卷上。 定理的解释 通过理论证明能用来作为 原则 或 规律 的命题或公式详细解释.确定的法则或 道理 。《韩非子·解老》：“凡理者， 方圆 、短长、麤靡、坚脆之分也。故理定而后可得道也。故定理有存亡，有死生，有盛衰。夫物 之一 存一亡，乍

勾股定理勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理（Pythagoras Theorem）．在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a的平方＋b的平方＝c的平方;，即α*α+b*b=c*c推广：把指数改为n时，等号变为小于号据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的第一章,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”就是说，矩形以其对角相折所称的直角三角形，如果勾（短直角边）为3，股（长直角边）为4，那么弦（斜边）必定是5。从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要的数学原理了。在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表中共刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。） 人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。 从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。 若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。 如此等等。

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。勾股定理是余弦定理的一个特例。勾股定理约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。“勾三股四弦五”是勾股定理最基本的公式。勾股数组方程a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)。(3,4,5)就是勾股数。也就是说，设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。