一组勾股数必须是整数吗

勾股数凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a2+b2=c2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2，求出正整数解。例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17、10、24、26…等。再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13，7、24、25、9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。勾股数 - 特点观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。

勾股数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数. ①观察3,4,5；5,12,13；7,24,25；…发现这些勾股数都是奇数,且从3起九没有间断过.计算0.5（9-1）,0.5（9+1）与0.5（25-1）,0.5（25+1）,并根据你发现的规律写出分别能表示7,24,25的股和弦的算式. ②根据①的规律,用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦,合情猜想他们之间的两种相等关系,并对其中一种猜想加以说明. ③继续观察4,3,5；6,8,10；8,15,17；…可以发现各组的第一个数都是偶数,且从4起也没有间断过,运用上述类似的探索方法,之间用m的代数式来表示它们的股合弦. 勾股数 - 构成直角三角形的充分且必要条件 设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a2+b2=c2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x2+y2=z2,求出正整数解. 例：已知在△ABC中,三边长分别是a、b、c,a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1),求证：∠C=90°.此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1),都可构成一组勾股数,三边分别是：2n、n2-1、n2+1.如：6、8、10,8、15、17、10、24、26…等. 再来看下面这些勾股数：3、4、5、5、12、13,7、24、25、9、40、41,11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形.由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证. 勾股数 - 特点 观察分析上述的勾股数,可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数. 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和. 掌握上述二个特点,为解一类题提供了方便. 例：直角三角形的三条边的长度是正整数,其中一条短直角边的长度是13,求这个直角三角形的周长是多少? 用特点1设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1,则有：169+x2=(x+1)2,解得x=84,此三角形周长=13+84+85=182. 用特点2此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形,因此周长=169+13=182.

问题一：勾股数有什么规律？？ 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。 问题二：勾股数有什么规律？ 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。 问题三：勾股数都具有哪些规律 两个小数的平方和是大数的平方 我们老师是这样讲的 应该对的 问题四：勾股数有哪些 常见的勾股数及几种通式有： (1) （3， 4， 5）, （6， 8，10） … … 3n,4n,5n (n是正整数) (2) （5，12，13） ,（ 7，24，25）, （ 9，40，41） … … 2n ＋ 1, 2n^2 ＋ 2n, 2n^2 ＋ 2n ＋ 1 (n是正整数) (3) (8，15，17), (12，35，37) … … 2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数) (4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n均是正整数，m>n) 简单列出一些： 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 11 60 61 13 84 85 15 112 113 8，15，17 12，35，37 20，21，29 20，99，101 48，55，73 60，91，109 问题五：勾股数有哪些 设三个数分别为i,j,k i=3 j=4 k=5； i=5 j=12 k=13； i=6 j=8 k=10； i=7 j=24 k=25； i=8 j=15 k=17； i=9 j=12 k=15； i=9 j=40 k=41； i=10 j=24 k=26； i=11 j=60 k=61； i=12 j=16 k=20； i=12 j=35 k=37； i=13 j=84 k=85； i=14 j=48 k=50； i=15 j=20 k=25； i=15 j=36 k=39； i=16 j=30 k=34； i=16 j=63 k=65； i=18 j=24 k=30； i=18 j=80 k=82； i=20 j=21 k=29； i=20 j=48 k=52； i=21 j=28 k=35； i=21 j=72 k=75； i=24 j=32 k=40； i=24 j=45 k=51； i=24 j=70 k=74； i=25 j=60 k=65； i=27 j=36 k=45； i=28 j=45 k=53； i=30 j=40 k=50； i=30 j=72 k=78； i=32 j=60 k=68； i=33 j=44 k=55； i=33 j=56 k=65； i=35 j=84 k=91； i=36 j=48 k=60； i=36 j=77 k=85； i=39 j=52 k=65； i=39 j=80 k=89； i=40 j=42 k=58； i=40 j=75 k=85； i=42 j=56 k=70； i=45 j=60 k=75； i=48 j=55 k=73； i=48 j=64 k=80； i=51 j=68 k=85； i=54 j=72 k=90； i=57 j=76 k=95； i=60 j=63 k=87； i=65 j=72 k=97这是100以内的

勾股数的含义：勾股数，又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股定理 : 直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方(a2+b2 =c2 ) 。勾股数顺口溜3，4，5:勾三股四弦五。5，12，13:5月12记一生（13)。6，8，10:连续的偶数。8，15，17:八月十五在一起（17）。特殊勾股数:连续的勾股数只有：3，4，5。连续的偶数勾股数只有：6，8，10。

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。　　1、设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 2、任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。汇总：观察分析勾股数，可看出它们具有下列二个特点：　　1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。　　2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。（请参考 ，祝你学习进步 ^_^

∵①3=2×1+1，4=2×1 2 +2×1，5=2×1 2 +2×1+1；②5=2×2+1，12=2×2 2 +2×2，13=2×2 2 +2×2+1；③7=2×3+1，24=2×3 2 +2×3，25=2×3 2 +2×3+1；④9=2×4+1，40=2×4 2 +2×4，41=2×4 2 +2×4+1；故答案为：9，40，41．

当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1（你可以验证此规律,即是否满足勾股定理,其实这是勾股数得规律） 此题中n=5,所以b60,c=61

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

①35 12 37 3.4.5 8.6.10 15.8.17 24.10.26 你竖着看第一列+3 +5 +7 +9···第二列依次+2第三列与第一规律一样

n/uff082nuff0b1uff09

一般来说是3比4比5，也有不规律的

勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义.例如8是勾股数组中的一个数.那么8、15,17便是一组勾股数.证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.则8、15、17便是一组勾股数.阴中有阳。互相合作。

斜边是两米那么另一条直角边就是根号三米。如果两条直角边分别是一米两米，那么这边就是三米。在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。勾股数，又名毕氏三元数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。

可以找到如下规律(2n^2-1)^2+(2n)^2=(2n^2+1)^2

3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.

11,60,61 分析以上4组数据可知第一个数为3,5,7,9……为奇数递增。所以第五组数据第一个数字应为11.而前4组的后两位数的和为第一个数字的平方。如：3×3=4+5；5×5=12+13……所以第5组后两位的和=11×11=121.则（121-1）÷2=60.则第二个数=60.第三个数=61.分析：考点1：解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边斜边=ac，cosA=∠A的邻边斜边=bc，tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）

第一种：a=n+1,b=n-1,c^=2(n^+1) 第二种：a=n^-1,b=2n,c=n^+1 第三种：a=m^-n^,b=2mn,c=m^+n^ 第四种：a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1

定义：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方。证明：如图，梯形面积=(a+b)*(a+b)/2=三个三角形面积和=2*ab/2+(c^2)/2即得在Rt△中，若c为斜边，a，b为直角边，则a^2+b^2=c^2勾股数：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数常见的有3，4，5；5，12，13；7，24，25当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1^2为平方向左转|向右转

因为前4组都是按照3579所以第五组第一个数为11然后看后两个数可以看第一个数的平方是后两个数的和所以第五组为116061

勾股数中有一个一定是偶数,这是正确的！理由你去下面的网址去看。勾股数具有以下特性：1,斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数,例1,9,25,49,……，至无穷大；2,斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半,例2，8，18，32，……，至无穷大；

112+602＝612 132+842=852 152+1122=1132172+1442=1452192+1802=1812

勾股数必须是整数。勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。勾股数必须是整数。例如以下常用的勾股数都是正整数：1、（3，4，5），（6，8，10）……（3n，4n，5n）（n是正整数）。2、（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）……（2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1）（n是正整数）。3、（8，15，17），（12，35，37）……（2^2*(n+1)，^2-1，［2(n+1)]^2+1）（n是正整数）。4、（m^2-n^2，2mn，m^2+n^2）（m、n均是正整数，m>n）。勾股数的3条规律1、在一组勾股数中，当最小边是奇数时，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。2、在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。3、在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。

（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c-b=1∵a=19，a2+b2=c2，∴192+b2=（b+1）2，∴b=180，∴c=181；（2）通过观察知c-b=1，∵（2n+1）2+b2=c2，∴c2-b2=（2n+1）2，（b+c）（c-b）=（2n+1）2，∴b+c=（2n+1）2，又c=b+1，∴2b+1=（2n+1）2，∴b=2n2+2n，c=2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n=7时，2n+1=15，112-111=1，但2n2+2n=112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．

3u30014u300155u300112u3001136u30018u3001107u300124u3001259u300140u300141

(1)第六组数为48，14，50(2）第N组数为N^2+2N,2N+2,N^2+2N+2(3)根据第（2）的 结果有(N^2+2N)^2+(2N+2)^2和(N^2+2N+2)^2展开可知道两者相等。

就你给出的几组数字,有如下规律： (2n+1)+n^2=(n+1)^2 设三个勾股数从小到大依次为a,b,c,则有： a^2=b+c c=b+1 如果设b为n, 就有上述规律.

第四组勾股数：10、24、26, 第五组勾股数：12、35、37, . 第n组勾股数：2(n+1)、(n+1)^2-1、(n+1)^2+1.

勾股数的3条规律:1、凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。2、在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。3、在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍。规律一：在勾股数（3，4，5）、（5，12，13）、（7，24，25）（9，40，41）中，我们发现：由（3，4，5）有：3 2 =9=4+5；由（5，12，13）有：5 2 =25=12+13；由（7，24，25）有：7 2 =49=24+25；由（9，40，41）有：9 2 =81=40+41。即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和。因此，我们把它推广到一般，从而可得出以下公式：∵（2n+1） 2 =4n 2 +4n+1=（2n 2 +2n）+（2n 2 +2n+1）∴（2n+1） 2 +（2n 2 +2n） 2 =（2n 2 +2n+1） 2 （n为正整数）勾股数公式一：（2n+1，2n 2 +2n，2n 2 +2n+1）（n为正整数）。规律二：在勾股数（6，8，10）、（8，15，17）、（10，24，26）中，我们发现：由（6，8，10）有：6 2 =36=2×（8+10）；由（8，15，17）有：8 2 =64=2×（15+17）；由（10，24，26）有：10 2 =100=2×（24+26）；即在一组勾股数中，当最小边为偶数时，它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：∵（2n） 2 =4n 2 =2[（n 2 -1）+（n 2 +1）]∴（2n） 2 +（n 2 -1） 2 =（n 2 +1） 2 （n≥2且n为正整数）勾股数公式二：（2n，n 2 -1，n 2 +1）（n≥2且n为正整数）。

我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征其中，a=n+(n+1)=2n+1，b=2n(n+1)=2n2 +2n，c=2n(n+1)+1=2n2 +2n+1，容易验证：(2n+1)2+(2n2 +2n)2=(2n2 +2n+1)2，即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：最短边为偶数时，a=2(n+1)=2n+2，b=n2 +2n，c=n2 +2n+2，容易验证：(2n+2)2+(n2 +2n)2=(n2 +2n+2)2，即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律拓展资料1、勾股定理的由来勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。2、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。3、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，。②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。③可运用勾股定理解决一些实际问题。

　　不积跬步无以至千里，不积小流无以至江海，知识需要不断的积累，下面由我为你精心准备了“勾股数的规律有哪些？关于勾股数的概念”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯！ 　　 勾股数的规律有哪些？ 　　规律一、通过（3，4，5）、（5，12，13，）、（7，24，25）、（9，40，41）这几组数据的举例，我们发现一个结论，在一组勾股数中，当最小边是奇数是，它的平方刚好是另外两个连续正整数的和。 　　我们还总结出来一个方便理解和记忆的方法：在一组勾股数中，若第一个数是奇数，则另外两个数，一个数是它的平方减1的一半，一个数是它的平方加1的一半。 　　规律二、在一组勾股数中，当最小边是偶数时，它的平方刚好等于两个连续奇数，或者两个连续偶数的和的2倍。 　　那么关于这一组数据，如何记忆理解，请参考规律三，我们从一道中考真题里总结出来的规律。当然，比如6，8，10，其实也是3，4，5的倍数关系。一组勾股数的相同倍数，都是一组新的勾股数。 　　我们得到关于规律二的记忆方法：在一组勾股书中，当一个数是偶数时，则另外两个数，一个数是它的一半的平方减1，另一个数是它一半的平法加1。 　　勾股数的概念 　　勾股数又名毕氏三元数，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。

我们知道，像3，4，5这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数有什么规律,下面就让我们分类探究一下:1、最短边的长度为奇数，观察下表中的勾股数：根据上面的表格，我们可以发现以上勾股数具备一定的特征其中，a=n+(n+1)=2n+1，b=2n(n+1)=2n2 +2n，c=2n(n+1)+1=2n2 +2n+1，容易验证：(2n+1)2+(2n2 +2n)2=(2n2 +2n+1)2，即当最短边的长度为奇数时，勾股数符合上面的规律2、最短边的长度为偶数时,观察下面表格中的勾股数：最短边为偶数时，a=2(n+1)=2n+2，b=n2 +2n，c=n2 +2n+2，容易验证：(2n+2)2+(n2 +2n)2=(n2 +2n+2)2，即当最短边的长度为偶数时，勾股数符合以上规律拓展资料1、勾股定理的由来勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。2、勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。3、勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，。②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。③可运用勾股定理解决一些实际问题。

分类: 教育/学业/考试 >> 学习帮助 解析: 在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

基本勾股数组规律：（3+2（n-1），4（1+2+…+n），5+4｛（n-1）n-（1+2+…+（n-2）｝）前提：n需大于3 上述规律为本人自己演算出来的，欢迎纠错

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。 例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。 1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么 c=2+9+6=17。 则8、15、17便是一组勾股数。 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么 a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。 例如：当m=4，n=3时， a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数。 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数。 3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。 首先观察已知数是奇数还是偶数。 (1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。 例如9是勾股数中的一个数， 那么9、40、41便是一组勾股数。 证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。 例如8是勾股数组中的一个数。 那么8、15，17便是一组勾股数。 证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。　　1、设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 2、任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。汇总：观察分析勾股数，可看出它们具有下列二个特点：　　1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。　　2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。（请参考 ，祝你学习进步 ^_^

在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2. 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数. 例如（3、4、5）,（5、12、13）,（6、8、10）,（7、24、25）等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2,因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）.显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数；反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形.因此,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义. 1．任取两个正整数m、n,使2mn是一个完全平方数,那么 c=2+9+6=17. 则8、15、17便是一组勾股数. 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n),那么 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数. 例如：当m=4,n=3时, a=42-32=7,b=2×4×3=24,c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数. 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数. 3．若勾股数组中的某一个数已经确定,可用如下的方法确定另外两个数. 首先观察已知数是奇数还是偶数. (1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数. 例如9是勾股数中的一个数, 那么9、40、41便是一组勾股数. 证明：设大于1的奇数为2n+1,那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数. 例如8是勾股数组中的一个数. 那么8、15,17便是一组勾股数. 证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.

a^2+b^=c^2 常见的勾股数 3 4 5 ， 6 8 10，5 12 13。

勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n"*m"^2 （6），X=n"*m"^2,且 n"为不相同素数的乘积 将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m")^2*n"*n,（n,n"为不相同素数的乘积） （7） 根据（7）知n*n"仍然为平方数，又由于n",n均为不相同素数乘积知n=n"(自行证明，比较简单） 可知a=m"*m*n c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m"^2)/2=n*(m^2+m"^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m"^2-m^2)/2 a=m*n*m"[编辑本段]勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时海可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109 …… 已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。 勾 股 数 1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。 2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等； 3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是： X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。 4． 勾股数具有以下特性： 斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大； 斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大； 5． 由以上定义我们推导出勾股公式： X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ） Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ） Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ） 6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。 7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997] 8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组： [47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]； [427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]； 9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。 例如P = 5 ，Q = 8 ，得到 X = 25 + 5×8 = 65 Y = 32 + 5×8 = 72 Z = 25 + 32 + 5×8 = 97 10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。 11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数； 当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数； 12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。 13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。 14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。[编辑本段]勾股数公式及证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得

所谓勾股数,就是当组成一个直角三角形的三边长都为正整数时,我们就称这一组数为勾股数. 那么,组成一组勾股数的三个正整数之间,是否具有一定的规律可寻呢?下面我们一起来观察几组勾股数： 规律一：在勾股数（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）（9,40,41）中,我们发现 由（3,4,5）有：32=9=4+5 由（5,12,13）有：52=25=12+13 由（7,24,25）有：72=49=24+25 由（9,40,41）有：92=81=40+41. 即在一组勾股数中,当最小边为奇数时,它的平方刚好等于另外两个连续的正整数之和.因此,我们把它推广到一般,从而可得出以下公式： ∵（2n+1）2=4n2+4n+1=（2n2+2n）+（2n2+2n+1） ∴（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n+1）2（n为正整数） 证明（略） 勾股数公式一：（2n+1,2n2+2n,2n2+2n+1）（n为正整数） 规律二：在勾股数（6,8,10）、（8,15,17）、（10,24,26）中,我们发现 由（6,8,10）有：62=36+2×（8+10） 由（8,15,17）有：82=64=2×（15+17） 由（10,24,26）有：102=100=2×（24+26） 即在一组勾股数中,当最小边为偶数时,它的平方刚好等于两个连续整数之和的二倍,推广到一般,从而可得出另一公式： ∵（2n）2=4n2=2[（n2-1）+（n2+1）] ∴（2n）2+（n2-1）2=（n2+1）2（n≥2且n为正整数） 证明（略） 勾股数公式二：（2n,n2-1,n2+1）（n≥2且n为正整数） 利用以上两个公式,我们可以快速写出各组勾股数.

凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,称之为勾股数. 　　1、设直角三角形三边长为a、b、c,由勾股定理知a^2+b^2=c^2,这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件.因此,要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2,求出正整数解. 2、任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数,实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数,其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1,这可以通过勾股定理的逆定理获证. 汇总：观察分析勾股数,可看出它们具有下列二个特点： 　　1、直角三角形短直角边为奇数,另一条直角边与斜边是两个连续自然数. 　　2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和.

勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n"*m"^2 （6），X=n"*m"^2,且 n"为不相同素数的乘积 将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m")^2*n"*n,（n,n"为不相同素数的乘积） （7） 根据（7）知n*n"仍然为平方数，又由于n",n均为不相同素数乘积知n=n"(自行证明，比较简单） 可知a=m"*m*n c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m"^2)/2=n*(m^2+m"^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m"^2-m^2)/2 a=m*n*m"[编辑本段]勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时海可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109 …… 已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。 勾 股 数 1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。 2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等； 3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是： X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。 4． 勾股数具有以下特性： 斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大； 斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大； 5． 由以上定义我们推导出勾股公式： X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ） Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ） Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ） 6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。 7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997] 8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组： [47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]； [427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]； 9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。 例如P = 5 ，Q = 8 ，得到 X = 25 + 5×8 = 65 Y = 32 + 5×8 = 72 Z = 25 + 32 + 5×8 = 97 10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。 11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数； 当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数； 12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。 13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。 14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。[编辑本段]勾股数公式及证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得

(n+1)2-n2=2n+1他是以个完全平方数2n+1=121n=60所以b=60,c=61当a为奇数时,b,c是相邻整数

勾股数又名毕氏三元数 凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数。 ①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…发现这些勾股数都是奇数，且从3起就没有间断过。计算0.5（9-1），0.5（9+1）与0.5（25-1），0.5（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。 ②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。 ③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。 设直角三角形三边长为a、b、c，由勾股定理知a^2+b^2=c^2，这是构成直角三角形三边的充分且必要的条件。因此，要求一组勾股数就是要解不定方程x^2+y^2=z^2，求出正整数解。 例：已知在△ABC中，三边长分别是a、b、c，a=n2-1,b=2n,c=n2+1(n＞1)，求证：∠C=90°。此例说明了对于大于2的任意偶数2n(n＞1)，都可构成一组勾股数，三边分别是：2n、n2-1、n2+1。如：6、8、10，8、15、17，10、24、26…等。 再来看下面这些勾股数：3、4、5，5、12、13，7、24、25，9、40、41，11、60、61…这些勾股数都是以奇数为一边构成的直角三角形。由上例已知任意一个大于2的偶数可以构成一组勾股数，实际上以任意一个大于1的奇数2n+1(n＞1)为边也可以构成勾股数，其三边分别是2n+1、2n2+2n、2n2+2n+1，这可以通过勾股定理的逆定理获证。 观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点： 1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。 2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与短边自身的和。 掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。 例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？ 用特点1解：设这个直角三角形三边分别为13、x、x+1，则有：169+x2=(x+1)2，解得x=84，此三角形周长=13+84+85=182。 用特点2解：此直角三角形是以奇数为边构成的直角三角形，因此周长=169+13=182。 勾股数的通项公式： 题目：已知a^2+b^2=c^2,a,b,c均为正整数，求a,b,c满足的条件. 解答： 结论1：从题目中可以看出,a+b>c （1）,联想到三角形的成立条件容易得出。 结论2：a^2=c^2-b^2=(c+b)*(c-b) （2） 从（2）中可以看出题目的关键是找出a^2做因式分解的性质，令X=c+b,Y=c-b 所以：a^2=X*Y,(X>Y,a>Y) （3） 首先将Y做分解，设Y的所有因子中能写成平方数的最大的一个为k=m^2,所以Y=n*m^2 （4） 又（3）式可知a^2=X*n*m^2 （5） 比较(5)式两边可以a必能被m整除,且n中不可能存在素数的平方因子，否则与（4）中的最大平方数矛盾。 同理可知a^2=Y*n"*m"^2 （6），X=n"*m"^2,且 n"为不相同素数的乘积 将（5）式与（6）式相乘得a^2=(m*m")^2*n"*n,（n,n"为不相同素数的乘积） （7） 根据（7）知n*n"仍然为平方数，又由于n",n均为不相同素数乘积知n=n"(自行证明，比较简单） 可知a=m"*m*n c=(X+Y)/2=(n*m^2+n*m"^2)/2=n*(m^2+m"^2)/2 b=(X-Y)/2=n*(m"^2-m^2)/2 a=m*n*m"[编辑本段]勾股数的常用套路 所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(a,b,c)。 即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N 又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。 关于这样的数组，比较常用也比较实用的套路有以下两种： 1、当a为大于1的奇数2n+1时，b=2*n^2+2*n, c=2*n^2+2*n+1。 实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如： n=1时(a,b,c)=(3,4,5) n=2时(a,b,c)=(5,12,13) n=3时(a,b,c)=(7,24,25) ... ... 这是最经典的一个套路，而且由于两个连续自然数必然互质，所以用这个套路得到的勾股数组全部都是互质的。 2、当a为大于4的偶数2n时，b=n^2-1, c=n^2+1 也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如： n=3时(a,b,c)=(6,8,10) n=4时(a,b,c)=(8,15,17) n=5时(a,b,c)=(10,24,26) n=6时(a,b,c)=(12,35,37) ... ... 这是次经典的套路，当n为奇数时由于(a,b,c)是三个偶数，所以该勾股数组必然不是互质的；而n为偶数时由于b、c是两个连续奇数必然互质，所以该勾股数组互质。 所以如果你只想得到互质的数组，这条可以改成，对于a=4n (n>=2), b=4*n^2-1, c=4*n^2+1，例如： n=2时(a,b,c)=(8,15,17) n=3时(a,b,c)=(12,35,37) n=4时(a,b,c)=(16,63,65) ... ... ========Edward补充======== 对于N 为质因数比较多的和数时海可以参照其质因数进行 取相应的勾股数补充，即1个N会有多对的勾股数,例如： n=9时（a,b,c）=（9,24,25）or (9,12,15) --------3* (3,4,5) n=12时（a,b,c）= (12,35,37) or (12,16,20) ----- 4*（3,4,5） =========ShangJingbo补充======= 还有诸如此类的勾股数，20、21、29； 119、120、169； 696、697、985； 4059、4060、5741； 23660、23661、33461； 137903 137904 195025 803760 803761 1136689 4684659 4684660 6625109 …… 已有三千年研究历史的勾股定理还有研究的空间吗? 我用本文试探索。 勾 股 数 1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。 2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，例[30，40，50] 等； 3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是： X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。 4． 勾股数具有以下特性： 斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大； 斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大； 5． 由以上定义我们推导出勾股公式： X = P＾2 + PQ （X等于P平方加PQ） Y = Q＾2/ 2 + PQ （Y等于二分之Q方加PQ） Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ （Z等于P平方加二分之Q方加PQ） 6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。 7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997] 8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组： [47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]； [427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]； 9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。 例如P = 5 ，Q = 8 ，得到 X = 25 + 5×8 = 65 Y = 32 + 5×8 = 72 Z = 25 + 32 + 5×8 = 97 10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。 11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数； 当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数； 12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。 13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。 14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。[编辑本段]勾股数公式及证明 a=2mn b=m^2-n^2 c=m^2+n^2 证： 假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可） 如果a,b均奇数，则a^2 + b^2 = 2(mod 4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k 等式化为4k^2 = (c+b)(c-b) 显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾） 作代换：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，显然M，N为正整数 现在往证：(M,N)=1 如果存在质数p，使得p|M,p|N, 那么p|M+N(=c), p|M-N(=b), 从而p|c, p|b, 从而p|a，这与(a,b)=1矛盾 所以(M,N)=1得证。 依照算术基本定理，k^2 = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 * ...，其中a1,a2...均为偶数，p1,p2,p3...均为质数 如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾 所以对于所有质因子,pi^2|M, pi^2|N，即M，N都是平方数。 设M = m^2, N = n^2 从而有c+b = 2m^2, c-b = 2n^2，解得

在直角三角形中,若以a、b表示两条直角边,c表示斜边,勾股定理可以表述为a2+b2=c2. 满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数. 例如（3、4、5）,（5、12、13）,（6、8、10）,（7、24、25）等一组一组的数,每一组都能满足a2+b2=c2,因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）.显然,若直角三角形的边长都为正整数,则这三个数便构成一组勾股数；反之,每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形.因此,掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义. 1．任取两个正整数m、n,使2mn是一个完全平方数,那么 c=2+9+6=17. 则8、15、17便是一组勾股数. 证明： ∴a、b、c构成一组勾股数 2．任取两个正整数m、n、(m＞n),那么 a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2构成一组勾股数. 例如：当m=4,n=3时, a=42-32=7,b=2×4×3=24,c=42+32=25 则7、24、25便是一组勾股数. 证明： ∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2 =m4-2m2n2+n4+4m2n2 =m4+2m2n2+4n2 =(m2+n2)2 =c2 ∴a、b、c构成一组勾股数. 3．若勾股数组中的某一个数已经确定,可用如下的方法确定另外两个数. 首先观察已知数是奇数还是偶数. (1)若是大于1的奇数,把它平方后拆成相邻的两个整数,那么奇数与这两个整数构成一组勾股数. 例如9是勾股数中的一个数, 那么9、40、41便是一组勾股数. 证明：设大于1的奇数为2n+1,那么把它平方后拆成相邻的两个整数为 (2)若是大于2的偶数,把它除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数. 例如8是勾股数组中的一个数. 那么8、15,17便是一组勾股数. 证明：设大于2的偶数2n,那么把这个偶数除以2后再平方,然后把这个平方数分别减1,加1所得的两个整数为n2-1和n2+1 ∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1 =n4+2n2+1 =(n2+1)2 ∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数.

a^2+b^2=c^21)a^2=c^2-b^2=(c-b)(c+b)a=19 a^2=361=361*1所以c-b=1 c+b=361b=180 c=1812)当a=2n+1时（2n+1)^2=(b+c)(b-c)4n^2+4n+1=(b+c)(b-c)b+c=4n^2+4n+1c-b=1c=2n^2+2n+1b=2n^2+2n

勾股定理的逆定理，三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，这个三角形为直角三角形

因为前4组都是按照3579所以第五组第一个数为11然后看后两个数可以看第一个数的平方是后两个数的和所以第五组为116061

当a为大于1的奇数2n+1时,b=2*n^2+2*n,c=2*n^2+2*n+1（你可以验证此规律,即是否满足勾股定理,其实这是勾股数得规律） 此题中n=5,所以b60,c=61

1.（2n ＋ 1）^2= (2n^2 ＋ 2n)+(2n^2 ＋ 2n ＋ 1)2.因为(2n^2 ＋ 2n ＋ 1)^2-(2n^2 ＋ 2n)^2=[(2n^2 ＋ 2n ＋ 1)+(2n^2 ＋ 2n)][(2n^2 ＋ 2n ＋ 1)-(2n^2 ＋ 2n)]=(4n^2+4n+1)·1=(2n+1)^2