勾股定理证海伦公式

证明：如右图， ，根据勾股定理，得：　　此时化简得出海伦公式，证毕。 证明：若，则证明，如图：根据恒等式，得：将上面代入，得： ④如图可知：代入④，得：两边同乘以，得：两边开方得出海伦公式，证毕。

海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c),则S△ABC=aha=ab×sinC=rp=2R2sinAsinBsinC==其中，S△ABC=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的变形S==①=②=③=④=⑤二、海伦公式的证明证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:x=y=ha===∴S△ABC=aha=a×=此时S△ABC为变形④，故得证。证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则t2=证明：由证一可知，u=v=∴ha2=t2=－∴S△ABC=aha=a×=此时为S△ABC的变形⑤，故得证。证三：余弦定理分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S=则要证S===ab×sinC此时S=ab×sinC为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么tg·tg+tg·tg+tg·tg=1证明：如图，tg=①tg=②tg=③根据恒等式，得：++=①②③代入，得：∴r2(x+y+z)=xyz④如图可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x∴x=同理：y=z=代入④，得：r2·=两边同乘以，得：r2·=两边开方，得：r·=左边r·=r·p=S△ABC右边为海伦公式变形①，故得证。证五：半角定理半角定理：tg=tg=tg=证明：根据tg==∴r=×y①同理r=×z②r=×x③①×②×③,得：r3=×xyz

根据海伦公式求：已知三角形的三边分别是a、b、c，求面积。先算出周长的一半p=1/2(a+b+c)，然后根据公式，代入数值即可。举例过程如下：扩展资料：中国古代的数学家秦九韶的三斜求积术也是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积。它和海伦公式是等价的，证明过程如下：海伦公式特点是形式漂亮，便于记忆。中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与古希腊数学家的海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平， 是我国数学史上的一颗明珠。参考资料：百度百科-三斜求积术

证明：海伦公式：若ΔABC的三边长为a、b、c，则 SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(这是海伦公式的变形，“负号“－”从a左则向右经过a、b、c”，负号从x轴负轴向正轴扫描一个周期！我觉得这么记更简单，还设个什么l=(a+b=c)/2啊，多此一举！) 证明：设边c上的高为 h,则有 √(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c √(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2) 两边平方，化简得： 2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2 两边平方，化简得： h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2)) SΔABC=ch/2 =c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2 仔细化简一下，得： SΔABC=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4 设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

这些在百度搜“海伦公式”就会出来一大片。而且肥城准且、

S=（p（p-a）(p-b)(p-c)）^(1/2) p=(a+b+c)/2

海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c),则S△ABC=aha=ab×sinC=rp=2R2sinAsinBsinC==其中，S△ABC=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的变形S==①=②=③=④=⑤二、海伦公式的证明证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:x=y=ha===∴S△ABC=aha=a×=此时S△ABC为变形④，故得证。证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则t2=证明：由证一可知，u=v=∴ha2=t2=－∴S△ABC=aha=a×=此时为S△ABC的变形⑤，故得证。证三：余弦定理分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S=则要证S===ab×sinC此时S=ab×sinC为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么tg·tg+tg·tg+tg·tg=1证明：如图，tg=①tg=②tg=③根据恒等式，得：++=①②③代入，得：∴r2(x+y+z)=xyz④如图可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x∴x=同理：y=z=代入④，得：r2·=两边同乘以，得：r2·=两边开方，得：r·=左边r·=r·p=S△ABC右边为海伦公式变形①，故得证。证五：半角定理半角定理：tg=tg=tg=证明：根据tg==∴r=×y①同理r=×z②r=×x③①×②×③,得：r3=×xyz

如果是证明题是不能直接用这个公式的，如果是填空题或选择题，你可以用那个计算没有谁知道。海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。

S=1/2 a*b*SinC(Sin c)^2=1-(Cos c)^2=1-[(a^2+b^2-c^2)/(2a*b)]^2=[(c+a-b)(a+b-c)(b+c-a)]^2/(4a*b)^2代入上式既有s=[(c+a-b)(a+b-c)(b+c-a)/8]^(1/2),另l=（a+b+c)/2,则有s=[（l-a)(l-b)(l-c)]^(1/2)

把四边形分成两个三角形，用海伦公式算出面积再推倒就行了

海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz

即可

内切圆半径公式为r=（a+b-c）/2(a,b为直角边，c为斜边)。

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海伦公式的几种另证及其推广关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有：设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p=(a+b+c),则S△ABC=aha=ab×sinC=rp=2R2sinAsinBsinC==其中，S△ABC=就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的变形S==①=②=③=④=⑤二、海伦公式的证明证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:x=y=ha===∴S△ABC=aha=a×=此时S△ABC为变形④，故得证。证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则t2=证明：由证一可知，u=v=∴ha2=t2=－∴S△ABC=aha=a×=此时为S△ABC的变形⑤，故得证。证三：余弦定理分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。证明：要证明S=则要证S===ab×sinC此时S=ab×sinC为三角形计算公式，故得证。证四：恒等式分析：考虑运用S△ABC=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么tg·tg+tg·tg+tg·tg=1证明：如图，tg=①tg=②tg=③根据恒等式，得：++=①②③代入，得：∴r2(x+y+z)=xyz④如图可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x∴x=同理：y=z=代入④，得：r2·=两边同乘以，得：r2·=两边开方，得：r·=左边r·=r·p=S△ABC右边为海伦公式变形①，故得证。证五：半角定理半角定理：tg=tg=tg=证明：根据tg==∴r=×y①同理r=×z②r=×x③①×②×③,得：r3=×xyz

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=根号{s(s-a)(s-b)(s-c)}而公式里的s：s={a+b+c}{2}由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。[编辑]证明与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}从而有sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}因此三角形的面积S为S = frac{1}{2}ab sin(C)= frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}= sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}最后的等号部分可用因式分解予以导出。[编辑]外部连结香港科技大学数学系:数学数据库:阿基米德的数学成就和研究方法(http://db.math.ust.hk/articles/archimedes/c_archimedes.htm)取自"http://nvjiang.movieclub.com.cn/wiki/%E6%B5%B7%E4%BC%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F"

海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。—————————————————————————————————————————————— 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）： 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△ 2＝q, S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s： s=frac{a+b+c}{2} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 [编辑]证明 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为 cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} 从而有 sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab} 因此三角形的面积S为 S = frac{1}{2}ab sin(C) = frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 最后的等号部分可用因式分解予以导出。

海伦公式的推导过程如图：海伦公式：利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。（a、b、c分别为三角形三条边的边长，p为三角形周长的一半）。简介：海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。公式意义：海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 证明（1）： 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）： 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△ 2＝q, S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a.

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)证明可用正弦定理+余弦定理转化成边的关系而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2

S=根号s(s-a)(s-b)(s-c)s=(a+b+c)/2

海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。 假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 而公式里的s： s=frac{a+b+c}{2} 由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 [编辑]证明 与海伦在他的着作"Metrica"中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为 cos(C) = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} 从而有 sin(C) = sqrt{1-cos^2(C)} = frac{ sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab} 因此三角形的面积S为 S = frac{1}{2}ab sin(C) = frac{1}{4}sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} = sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} 最后的等号部分可用因式分解予以导出。

设三角形的三边分别是a、b、c,p=1/2(a+b+c)则根据海伦——秦九昭公式：三角形的面积=根号[p(p-a)(p-b)(p-c)]例：等边三角形的边长为10，求三角形的面积．海伦公式：S^2=p(p-a)(p-b)(p-c),p=(a+b+c)/2,a,b,c分别是三角形的三条边a=b=c时p=3/2*aS^2=3/2*a*(1/2*a)^3=3/16*a^4S=根号下3/4*a^2=25*根号3参考资料：百度

海伦公式的推导过程如图：海伦公式：利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。（a、b、c分别为三角形三条边的边长，p为三角形周长的一半）。简介：海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式。它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式。表达式为：S=√p(p-a)(p-b)(p-c)，它的特点是形式漂亮，便于记忆。相传这个公式最早是由古希腊数学家阿基米德得出的，而因为这个公式最早出现在海伦的著作《测地术》中，所以被称为海伦公式。中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术。公式意义：海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便地求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。

海伦公式的向量法证明

import java.util.*; import java.lang.Math.*; import java.text.DecimalFormat; public class A { public static void main(String args[]){ Scanner cin=new Scanner(System.in); double a,b,c,p,s; while(cin.hasNext()){ a=cin.nextDouble(); b=cin.nextDouble(); c=cin.nextDouble(); p=(a+b+c)/2; s=Math.sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)); DecimalFormat d=new DecimalFormat( "0.000" ); System.out.println(d.format(s)); } } }

已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积： △＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)这个公式叫海伦公式〔Heron"s Formula〕。 海伦公式出现在海伦的《测地术》一书中。此公式人们一直归功于海伦。但范德瓦尔登支持贝尔的主张，认为此公式实际上是阿基米德〔前287-前212〕发现的。不过在海伦的《经纬仪》和《度量》两书中都有一个证明。 我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则 Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}这个公式与海伦公式是等价的。

证明：如上图根据勾股定理，得：此时化简得出海伦公式，证毕。新的方法和思路海伦公式的提出为三角形和多边形的面积计算提供了新的方法和思路，在知道三角形三边的长而不知道高的情况下使用海伦公式可以更快更简便的求出面积，比如说在测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它完全与海伦公式等价，它填补了中国数学史中的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平。

海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 注："Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长，所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的，但多用p作为半周长。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。 证明（1）： 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为 cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2 C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明（2）：我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样，其实在《九章算术》中，已经有求三角形公式“底乘高的一半”，在实际丈量土地面积时，由于土地的面积并不是的三角形，要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积？直到南宋，我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜，所以 q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 当P＝1时，△ 2＝q, S△=√{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 因式分解得 1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得： S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致，所以这一公式也被称为“海伦－秦九韶公式”。S=c/2*根号下a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 根据海伦公式，我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题：已知四边形ABCD为圆的内接四边形，且AB=BC=4,CD=2,DA=6，求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p为周长一半，a,b,c,d,为4边）代入解得s=8√ 3海伦公式的几种另证及其推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有： 设△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，ha为a边上的高，R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径，p = (a+b+c),则 S△ABC = aha= ab×sinC = r p = 2R2sinAsinBsinC = = 其中，S△ABC = 就是著名的海伦公式，在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。 海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、 海伦公式的变形 S= = ① = ② = ③ = ④ = ⑤ 二、 海伦公式的证明 证一 勾股定理 分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。 证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴ S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。 证二：斯氏定理 分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。 斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D， 若BD=u，DC=v,AD=t.则 t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ ha 2 = t 2 = － ∴ S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。 证三：余弦定理 分析：由变形② S = 可知，运用余弦定理 c2 = a2 + b2 －2abcosC 对其进行证明。 证明：要证明S = 则要证S = = = ab×sinC 此时S = ab×sinC为三角形计算公式，故得证。 证四：恒等式 分析：考虑运用S△ABC =r p，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。 恒等式：若∠A+∠B+∠C =180○那么 tg · tg + tg · tg + tg · tg = 1 证明：如图，tg = ① tg = ② tg = ③ 根据恒等式，得： + + = ①②③代入，得： ∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知：a＋b－c = (x+z)＋(x+y)－(z+y) = 2x ∴x = 同理：y = z = 代入 ④，得： r 2 · = 两边同乘以 ，得： r 2 · = 两边开方，得： r · = 左边r · = r·p= S△ABC 右边为海伦公式变形①，故得证。 证五：半角定理 半角定理：tg = tg = tg = 证明：根据tg = = ∴r = × y ① 同理r = × z ② r = × x ③ ①×②×③,得： r3 = ×xyz ∵由证一，x = = －c = p－c y = = －a = p－a z = = －b = p－b ∴ r3 = ∴ r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。 三、 海伦公式的推广 由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。 证明：如图，延长DA，CB交于点E。 设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180○ ∠2+∠3 =180○ ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD ∴ = = = 解得： e = ① f = ② 由于S四边形ABCD = S△EAB 将①，②跟b = 代入公式变形④，得： ∴S四边形ABCD = 所以，海伦公式的推广得证。 四、 海伦公式的推广的应用 海伦公式的推广在实际解题中有着广泛的应用，特别是在有关圆内接四边形的各种综合题中，直接运用海伦公式的推广往往事半功倍。 例题：如图，四边形ABCD内接于圆O中，SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求：四边形可能为等腰梯形。 解：设BC = x 由海伦公式的推广，得： (4－x)(2＋x)2 =27 x4－12x2－16x＋27 = 0 x2(x2—1)－11x(x－1)－27(x－1) = 0 (x－1)(x3＋x2－11x－27) = 0 x = 1或x3＋x2－11x－27 = 0 当x = 1时，AD = BC = 1 ∴ 四边形可能为等腰梯形。

楼上的回答是正解，同意楼上

海伦公式在解题中有十分重要的应用。　　一、海伦公式的变形　　S=　　=①　　=②　　=③　　=④　　=⑤　　二、海伦公式的证明　　证一勾股定理　　分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC=aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。　　证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得:　　x=y=　　ha===　　∴S△ABC=aha=a×=　　此时S△ABC为变形④，故得证。　　证二：斯氏定理　　分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。　　斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，　　若BD=u，DC=v,AD=t.则　　t2=　　证明：由证一可知，u=v=　　∴ha2=t2=－　　∴S△ABC=aha=a×　　=　　此时为S△ABC的变形⑤，故得证。　　证三：余弦定理　　分析：由变形②S=可知，运用余弦定理c2=a2+b2－2abcosC对其进行证明。　　证明：要证明S=　　则要证S=　　=　　=ab×sinC　　此时S=ab×sinC为三角形计算公式，故得证。　　证四：恒等式　　分析：考虑运用S△ABC=rp，因为有三角形内接圆半径出现，可考虑应用三角函数的恒等式。　　恒等式：若∠A+∠B+∠C=180○那么　　tg·tg+tg·tg+tg·tg=1　　证明：如图，tg=①　　tg=②　　tg=③　　根据恒等式，得：　　++=　　①②③代入，得：　　∴r2(x+y+z)=xyz④　　如图可知：a＋b－c=(x+z)＋(x+y)－(z+y)=2x　　∴x=同理：y=z=　　代入④，得：r2·=　　两边同乘以，得：　　r2·=　　两边开方，得：r·=　　左边r·=r·p=S△ABC右边为海伦公式变形①，故得证。　　证五：半角定理　　半角定理：tg=　　tg=　　tg=　　证明：根据tg==∴r=×y①　　同理r=×z②r=×x③　　①×②×③,得：r3=×xyz　　∵由证一，x==－c=p－c　　y==－a=p－a　　z==－b=p－b　　∴r3=∴r=　　∴S△ABC=r·p=故得证。　　三、海伦公式的推广　　由于在实际应用中，往往需计算四边形的面积，所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设p=,则S四边形=　　现根据猜想进行证明。　　证明：如图，延长DA，CB交于点E。　　设EA=eEB=f　　∵∠1+∠2=180○∠2+∠3=180○　　∴∠1=∠3∴△EAB～△ECD　　∴===　　解得：e=①f=②　　由于S四边形ABCD=S△EAB　　将①，②跟b=代入公式变形④，得：　　∴S四边形ABCD=　　所以，海伦公式的推广得证。

证明（1）与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为cosC=(a^2+b^2-c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1-cos^2C)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]设p=(a+b+c)/2则p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得： S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长： p=(a+b+c)/2 就这么简单

角PAC等于角ABC（弦切角定理）因为CB平行于PO所以角ABC=角AOP所以角PAC=角AOP角ODA=180-角AOP-角DAO=180-角PAC-角DAO=90度再用全等三角形就可以证明三角形PAO全等三角形PCO所以是pc与圆是相切的关系然后你列方程设pc是xx是根号下2+2倍根号65htp://zhidao.baidu.com/question/193273117.html

是合数，因为1111111=239*4649

图呢

二进制数1111111对应的十进制数 等于2的7次方减1，等于127。二进制数1111111 = 二进制数 10000000-1 = 十进制 2的7次方 减 1 =127。所以 二进制数1111111对应的十进制数是 127

证明：因为AB是直径所以∠ACB=90°所以∠ACO+∠OCB=90°因为OA=OC所以∠A=∠ACO所以∠A+∠OCB=90°因为∠A=∠DCB,所以∠DCB+∠OCB=90°即∠OCD=90°因为C在圆上所以CD是圆的切线

这种情况基本上都是键盘老化或者受潮进水损坏了，更换新键盘就可以解决。键盘失灵不能使用的原因多是：1，键盘本身受潮进液或者老化损坏了，更换键盘试试；2，主板控制键盘的芯片损坏了，需要送修；3，还有一种情况是系统问题，重装系统就没事了。维修经验分享，希望能帮到您

hra、hrb、hrc等中的a、b、c为三种不同的标准。洛氏硬度是以压痕塑性变形深度来确定硬度值的指标，以0.002毫米作为一个硬度单位。在洛氏硬度试验中采用不同的压头和不同的试验力，会产生不同的组合，对应于洛氏硬度不同的标尺。常用的有3个标尺，其应用涵盖了几乎所有常用的金属材料。洛氏硬度（hr）测试当被测样品过小或者布氏硬度（hb）大于450时，就改用洛氏硬度计量。试验方法是用一个顶角为120度的金刚石圆锥体或直径为1.5875mm/3.175mm/6.35mm/12.7mm的钢球，在一定载荷下压入被测材料表面，由压痕深度求出材料的硬度。最常用的三种标尺为a、b、c，即hra、hrb、hrc，要根据实验材料硬度的不同，选用不同硬度范围的标尺来表示：hra是采用60kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度较高的材料。例如：钢材薄板、硬质合金。hrb是采用100kg载荷和直径1.5875mm淬硬的钢球求得的硬度，用于硬度较低的材料。例如：软钢、有色金属、退火钢等。hrc是采用150kg载荷和钻石锥压入器求得的硬度，用于硬度较高的材料。例如：淬火钢、铸铁等。

图在哪

独一无二，一成不变

你要求证什么了~！？

角abc等于40度 因为AB为直径 所以角ACB=90度 所以角BAC=50度 所以角BAD=25度 角BOD=50度 因为OB=OD 所以角abd=角OBD=（180-50）/2=65度

因为要填的第一个数是偶数项， 所以117+3=120， 因为要填的第二个数是奇数项， 所以92-2=90， 故答案为：120；90．

1111111=10000000-1 所以转化为10进制为2^7-1=127

如图,AB是圆O的直径,AC是圆O的弦,D是弧AC的中点,DE垂直AB于点E,交AC于F,DB交AC于G,求证AF等于FG。证明；连AD，由∠ABD夹弧AD，∠DAC夹弧CD，弧AD=CD，∴∠ABD=∠DAC又∠ADE+∠DAE=90º，∠ABD+∠DAE=90º，∴∠ADE=∠ABD，得∠ADE=∠DAC，∴AF=DF∵∠ADE+∠BDE=90º，∠DAC+∠AGD=90º，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG得AF=FG。