公式

连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。注意事项：单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

均匀分布的概率密度函数公式是f(x)=1/(b-a)。在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b）。均匀分布对于任意分布的采样是有用的。一般的方法是使用目标随机变量的累积分布函数（CDF）的逆变换采样方法。这种方法在理论工作中非常有用。由于使用这种方法的模拟需要反转目标变量的CDF，所以已经设计了cdf未以封闭形式知道的情况的替代方法。一种这样的方法是拒收抽样。

概率密度：f(x)=(1/2√π) exp{-(x-3)²/2*2} 根据题中正态概率密度函数表达式就可以立马得到随机变量的数学期望和方差：数学期望：μ = 3方差: σ²= 2连续型随机变量的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。当概率密度函数存在的时候，累积分布函数是概率密度函数的积分。概率密度函数一般以小写标记。扩展资料：随机数据的概率密度函数表示瞬时幅值落在某指定范围内的概率。因此是幅值的函数。它随所取范围的幅值而变化。概率密度函数f(x) 具有下列性质：(1)f(x)≧0;(2)∫f(x)d(x)=1;(3) P(a<X≦b)=∫f(x)dx.

概率密度函数:在数学中，连续型随机变里的概率密度函数（在不至于混淆时可以简称为密度函数）是一个描述这个随机变里的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的函数。公式：其中入>0是分布的一个参数,常被称为率参数(rate par ameter)。即每单位时间内发生某事件的次数。指数分布的区间是[o, oo)。如果一个随机变里X呈指数分布，则可以写作:x~Exponential(入 )。分布：在概率论和统计学中，指数分布(Exponential distribution)是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。

具体回答如图：事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。扩展资料：设随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞<x<∞，由设函数g(x)处处可导且恒有g"(x)>0（或恒有g"(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量。把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。参考资料来源：百度百科——概率密度

已知概率密度f(x)，那么求F(x)对f(x)进行积分即可，在x<a时，f(x)都等于0，显然积分F(x)=0而在a<x<b时，f(x)=1/(b-a)不定积分结果为x/(b-a)，代入上下限x和a于是在a到x上积分得到概率为(x-a)/(b-a)那么x大于等于b时，概率就等于1，所以得到了上面的式子扩展资料：分布函数（英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。设离散性随机变量X的分布列为 由概率的可列可加性得  ，即  其中和式是对满足  的一切k求和．离散型随机变量的分布函数是分段函数，  的间断点就是离散型随机变量的各可能取值点，并且在其间断点处右连续．离散型随机变量 的分布函数  的图形是阶梯形曲线． 在  的一切有(正)概率的点  ，皆有一个跳跃，其跳跃度正好为  取值  的概率  ，而在分布函数  的任何一个连续点x上，  取值x的概率皆为零。离散型随机变量的分布律和它的分布函数是相互唯一决定的。它们皆可以用来描述离散型随机变量的统计规律性，但分布律比分布函数更直观简明，处理更方便。因此，一般是用分布律(概率函数)而不是分布函数来描述离散型随机变量。参考资料：百度百科-分布函数

具体回答如图：事件随机发生的机率，对于均匀分布函数，概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。扩展资料：设随机变量X具有概率密度fX(x)，-∞<x<∞，由设函数g(x)处处可导且恒有g"(x)>0（或恒有g"(x)<0），则Y=g(X)是连续型随机变量。把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。参考资料来源：百度百科——概率密度

1、A52是以下面的数（5）开始乘4乘3……所乘数的个数为上面的数（2）.如A73=7×6×5=2102、C52=A52÷2！，即这个组合数（C52）的排列数（A52）除以上面那个数（2）的阶乘（2×1）.如C73=A73÷3！=（7×6×5）÷（3×2×1）=35另外，C52=C53，即若两数之和为下面那个数（m+n=5），则C5m=C5n

1．排列及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式 从n个不同元素中,任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m); 3．其他排列与组合公式 从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类,每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为 n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标,m为上标)） Pnm=n×（n-1）.（n-m+1）；Pnm=n!/（n-m）!（注：!是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n!；0!=1；Pn1（n为下标1为上标）=n 组合（Cnm(n为下标,m为上标)） Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n!/m!（n-m）!；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m

这样想：AB都发生的概率就是B发生的概率乘以B发生的情况下A发生的概率，即就是P(A|B)*P(B)=P(AB)其实也等于P(B|A)*P(A)所以P(A|B)=P(AB)/P(B)，P(B|A)=P(AB)/P(A)只要想通就好了！！

AB上面加一个横杠表示该事件不发生的概率。求出事件发生的概率后用1减去事件发生的概率即可。1、先求P(A∩B)根据之前条件概率公式的变形：P(A∩B) = P(A) × P(B|A)。2、再求P(B)事件B有两种发生方式：与事件A一起发生，不与事件A一起发生。即可以利用下式求出P(B)：P(B) = P(A∩B) + P(A′∩B)。加法法则：定理：设A、B是互不相容事件（AB=φ），则：P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）推论1：设A1、 A2、…、 An互不相容，则：P(A1+A2+...+ An)= P(A1) +P(A2) +…+ P(An)推论2：设A1、 A2、…、 An构成完备事件组，则：P(A1+A2+...+An)=1条件概率计算公式：当P(A)>0，P(B|A)=P(AB)/P(A)。当P(B)>0，P(A|B)=P(AB)/P(B)。

　　条件概率三大公式有：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式。条件概率是指事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为：P（A|B），读作“在B的条件下A的概率”。 　　条件概率可以用决策树进行计算。条件概率的谬论是假设P(A|B)大致等于P(B|A)。数学家JohnAllenPaulos在其《数学盲》一书中指出医生、律师以及其他受过很好教育的非统计学家经常会犯这样的错误。这种错误可以通过用实数而不是概率来描述数据的方法来避免。

几何分布的期望是1/p，方差公式推导为s^2=[（x1-x）^2+（x2-x）^2+......（xn-x）^2]/（n），其中x为平均数。相关介绍：几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的几率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。在伯努利试验中，成功的概率为p，若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量，它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0<p<1)，此时称随机变量ξ服从几何分布。它的期望为1/p，方差为(1-p)/(p的平方)。求几何分布的期望公式：Eε=1/p。在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。

Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ =∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ =∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ) =∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算几何分布的学期望，Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*pEξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p ①当然(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ②①－②得p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p所以Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1) =∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1) =lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p =1/p 若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算， 其中E(ξ^2)的计算过程如下：E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*pE(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*pE(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*pE(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ①(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p ②由①得E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ③③－②得p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ④(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1) ⑤由④得E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ⑥ ⑥－⑤得.p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p =1/p＋2*(1-p)/p/p =(2-p)/p/p 若求方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2得，.Dξ =(2-p)/p/p－1/p/p =(1-p)/p^2

几何分布的期望和方差公式分别是E(n)等于1/p、E(m)等于(1-p)/p，几何分布是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。数学期望，在概率论和统计学中是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

几何分布的期望和方差公式分别是E(n)等于1/p、E(m)等于(1-p)/p，几何分布是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。数学期望，在概率论和统计学中是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

问题一：什么是几何分布 几何分布的公式 就一句话,一个是有放回抽取（二项分布）,另一个是无放回抽取（超几何分布）.具一个例子,20个小球里面有5个黑的,15个白的.从中抽取3次,有X个黑球.如果每次抽出都放回去,第二次再抽,就每次抽到黑球概率都是1/4,这一次与其他次都互相独立,这明显是独立重复试验,对应的概率模型是二项分布.如果每次抽取不放回去,就是拿3个,那么这3个里面出现的黑球X就是超几何分布.特征还是非常明显的.比如还是上面那个例子,我取6次,如果不放回,里面也最多有5个黑球；但是有放回抽取,可以6次都抽到黑球.它们之间还有联系,就是总体个数比起抽取次数来说非常大的时候,就相互很接近了.比如1000个球,里面200黑800白,抽取3次.如果每次放回去抽黑球的概率每次都是1/5,不放回去第一次抽到的概率是1/5,第二次如果第一次抽到白的就是200/999还是约等于1/5,第一次抽到黑的则是199/999约等于1/5,第三次抽取同理,每次概率约等于1/5,就可以近似按照二项分布的独立重复试验来计算. 问题二：几何分布的期望与方差公式怎么推导 Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ =∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ =∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ) =∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2) 所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算几何分布的学期望， Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p ① 当然 (1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p (1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ② ①－②得 p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p 所以 Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1) =∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1) =lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p =1/p 若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算， 其中E(ξ^2)的计算过程如下： E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)－E丹=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ① (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p ② 由①得 E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ③ ③－②得 p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ④ (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1) ⑤ 由④得 E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ⑥ ⑥－⑤得. p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1). p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p. p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p. E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p =1/p＋2*(1-p)/p/p =(2-p)/p......>> 问题三：什么是几何分布 几何分布的公式 就一句话,一个是有放回抽取（二项分布）,另一个是无放回抽取（超几何分布）.具一个例子,20个小球里面有5个黑的,15个白的.从中抽取3次,有X个黑球.如果每次抽出都放回去,第二次再抽,就每次抽到黑球概率都是1/4,这一次与其他次都互相独立,这明显是独立重复试验,对应的概率模型是二项分布.如果每次抽取不放回去,就是拿3个,那么这3个里面出现的黑球X就是超几何分布.特征还是非常明显的.比如还是上面那个例子,我取6次,如果不放回,里面也最多有5个黑球；但是有放回抽取,可以6次都抽到黑球.它们之间还有联系,就是总体个数比起抽取次数来说非常大的时候,就相互很接近了.比如1000个球,里面200黑800白,抽取3次.如果每次放回去抽黑球的概率每次都是1/5,不放回去第一次抽到的概率是1/5,第二次如果第一次抽到白的就是200/999还是约等于1/5,第一次抽到黑的则是199/999约等于1/5,第三次抽取同理,每次概率约等于1/5,就可以近似按照二项分布的独立重复试验来计算. 问题四：几何分布的期望与方差公式怎么推导 Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ =∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ =∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ) =∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ 因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ 所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2 而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2) 所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2 下面计算几何分布的学期望， Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p ① 当然 (1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p (1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ② ①－②得 p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p 所以 Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1) =∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1) =lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p =1/p 若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算， 其中E(ξ^2)的计算过程如下： E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)－E丹=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ① (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p ② 由①得 E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p ③ ③－②得 p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ④ (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ (1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1) ⑤ 由④得 E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1) ⑥ ⑥－⑤得. p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1). p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p. p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p. E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p =1/p＋2*(1-p)/p/p =(2-p)/p......>>

几何分布的期望和方差公式分别是E(n)等于1/p、E(m)等于(1-p)/p，几何分布是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。数学期望，在概率论和统计学中是指试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。

几何分布的期望是1/p，方差公式推导为s^2=[（x1-x）^2+（x2-x）^2+......（xn-x）^2]/（n），其中x为平均数。几何就是研究空间结构及性质的一门学科，而且它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

超几何分布公式是P(X=k)=C(M，k)×C(N-M，n-k)/C(N，n)。超几何分布是专业术语，是统计学上一种离散概率分布。它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。超几何分布中的参数是M，N，n，上述超几何分布记作X~H(n，M，N) 。超几何分布是统计学上一种离散概率分布，它描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不归还），称为超几何分布。概括来说九个字：有限总体无放回抽样。超几何分布在生活中最常用的一个例子就是：不放回抽样检查。以不放回抽样检查为例，对这个公式进行解释：有一批产品共有N件，其中有D件不合格产品，在一次抽样检查中随机抽取了n件做检查，抽中k件不合格产品的概率是多少？其中C（N，n）表示从总数量N中抽取n件产品的数目，C（D，k）表示从不合格产品数量D中抽到k件不合格产品的数目，C（N-D，n-k）表示从合格产品数量N-D中抽取n-k合格产品的数目。

Dξ=∑(ξ－Eξ)^2*Pξ=∑(ξ^2＋Eξ^2－2*ξ*Eξ)*Pξ=∑(ξ^2*Pξ＋Eξ^2*Pξ－2*Pξ*ξ*Eξ)=∑ξ^2*Pξ＋Eξ^2*∑Pξ－2*Eξ*∑Pξ*ξ因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ所以Dξ=∑ξ^2*Pξ－Eξ^2而∑ξ^2*Pξ，表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2下面计算几何分布的学期望，Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*pEξ=p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*p                 ①当然(1-p)*Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^ξ*p(1-p)*Eξ=∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p        ②①－②得p*Eξ=p＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)*p所以Eξ=1＋∑{ξ=2，∞}(1-p)^(ξ-1)=∑{ξ=1，∞}(1-p)^(ξ-1)=lim{x→∞}[1－(1-p)^x]/p=1/p若要计算方差，可以根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2计算，其中E(ξ^2)的计算过程如下：E(ξ^2)=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*pE(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ^2*(1-p)^(ξ-1)*p －∑{ξ=1，∞}ξ*(1-p)^(ξ-1)*pE(ξ^2)－Eξ=∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*pE(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p                        ①(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=1，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^ξ*p(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)*p    ②由①得E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}ξ*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p                        ③③－②得p*E(ξ^2)=1＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)*p E(ξ^2)=1/p＋∑{ξ=2，∞}2*(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)                            ④(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=2，∞}(ξ-1)*(1-p)^ξ(1-p)*E(ξ^2)=(1-p)/p＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-2)*(1-p)^(ξ-1)              ⑤由④得E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(ξ-1)*(1-p)^(ξ-1)              ⑥ ⑥－⑤得.p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*∑{ξ=3，∞}(1-p)^(ξ-1).p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*lim{x→∞}(1-p)^2*[1-(1-p)^x]/p.p*E(ξ^2)=1＋2*(1-p)＋2*(1-p)^2/p.E(ξ^2)=1/p＋2*(1-p)/p＋2*(1-p)^2/p/p=1/p＋2*(1-p)/p/p=(2-p)/p/p若求方差，根据公式Dξ =E(ξ^2)－Eξ^2得，.Dξ =(2-p)/p/p－1/p/p=(1-p)/p^2

超几何分布期望值的简单公式法，E(X)=(n*M)/N，［其中x是指定样品数，n为样品容量，M为指定样品总数，N为总体中的个体总数］，可以直接求出均值。方差有两种算法：V(X)=(X1-a)^2*P1+(x2-a)^2*P2+...+(Xn-a)*Pn。另一种是V(X)=X1^2*P1+X2^2*P2+...Xn^2*Pn-a^2。超几何分布简介：超几何分布是统计学上一种离散概率分布。它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N)。以上内容参考：百度百科-超几何分布

就一句话,一个是有放回抽取（二项分布）,另一个是无放回抽取（超几何分布）.具一个例子,20个小球里面有5个黑的,15个白的.从中抽取3次,有X个黑球.如果每次抽出都放回去,第二次再抽,就每次抽到黑球概率都是1/4,这一次与其他次都互相独立,这明显是独立重复试验,对应的概率模型是二项分布.如果每次抽取不放回去,就是拿3个,那么这3个里面出现的黑球X就是超几何分布.特征还是非常明显的.比如还是上面那个例子,我取6次,如果不放回,里面也最多有5个黑球；但是有放回抽取,可以6次都抽到黑球.它们之间还有联系,就是总体个数比起抽取次数来说非常大的时候,就相互很接近了.比如1000个球,里面200黑800白,抽取3次.如果每次放回去抽黑球的概率每次都是1/5,不放回去第一次抽到的概率是1/5,第二次如果第一次抽到白的就是200/999还是约等于1/5,第一次抽到黑的则是199/999约等于1/5,第三次抽取同理,每次概率约等于1/5,就可以近似按照二项分布的独立重复试验来计算.

几何分布公式：P(ξ=k)=(1-p)。几何分布（Geometricdistribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。伯努利试验（Bernoulliexperiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

几何分布的期望是1/p，方差公式推导为s^2=[（x1-x）^2+（x2-x）^2+......（xn-x）^2]/（n），其中x为平均数。几何就是研究空间结构及性质的一门学科，而且它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。

公式：X ~ G (p)它分两种情况：1. 得到1次成功而进行n次伯努利试验，n的概率分布，取值范围为『1，2，3，...』;2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为『0，1，2，3，...』.实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。这两种分布不应该混淆。前一种形式（X的分布）经常被称作shiftedgeometric distribution；但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。如果每次试验的成功概率是p，那么k次试验中，第k次才得到成功的概率是， 其中k= 1, 2, 3, ....上式描述的是取得一次成功所需要的试验次数。而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为， 其中k= 0, 1, 2, 3, ....两种情况产生的序列都是几何数列。比如，假设不停地掷骰子，直到得到1。投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合{ 1, 2, 3, ... }，并且是一个p= 1/6的几何分布。

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的抽屉原理。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。 一． 抽屉原理最常见的形式 原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。 [证明]（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k≥1)，这不可能. 原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。 [证明]（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能. 原理1 2都是第一抽屉原理的表述 第二抽屉原理： 把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。 [证明]（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能 二．应用抽屉原理解题 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 例1：400人中至少有两个人的生日相同. 解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个物体，由抽屉原理1可以得知：至少有两人的生日相同. 又如：我们从街上随便找来13人，就可断定他们中至少有两个人属相相同. “从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” 例2： 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理. 解 ：从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同. 上面数例论证的似乎都是“存在”、“总有”、“至少有”的问题，不错，这正是抽屉原则的主要作用.（需要说明的是，运用抽屉原则只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少.） 抽屉原理虽然简单，但应用却很广泛，它可以解答很多有趣的问题，其中有些问题还具有相当的难度。下面我们来研究有关的一些问题。 （一） 整除问题 把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[m-1]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，m+1，2m＋1，3m＋1，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数。 例1 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。 分析与解答 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它们的差a-b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数。 例2：对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除. 证明∵任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉： [0]，[1]，[2] ①若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，我们从这三个抽屉中各取1个，其和必能被3整除. ②若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数. ③若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除. 例2′：对于任意的11个整数，证明其中一定有6个数，它们的和能被6整除. 证明：设这11个整数为：a1，a2，a3……a11 又6=2×3 ①先考虑被3整除的情形 由例2知，在11个任意整数中，必存在： 3|a1+a2+a3，不妨设a1+a2+a3=b1； 同理，剩下的8个任意整数中，由例2，必存在：3 | a4+a5+a6.设a4+a5+a6=b2； 同理，其余的5个任意整数中，有：3|a7+a8+a9，设：a7+a8+a9=b3 ②再考虑b1、b2、b3被2整除. 依据抽屉原理，b1、b2、b3这三个整数中，至少有两个是同奇或同偶，这两个同奇（或同偶）的整数之和必为偶数.不妨设2|b1+b2 则：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11个整数，其中必有6个数的和是6的倍数. 例3： 任意给定7个不同的自然数，求证其中必有两个整数，其和或差是10的倍数. 分析：注意到这些数队以10的余数即个位数字，以0，1，…，9为标准制造10个抽屉，标以[0]，[1]，…，[9].若有两数落入同一抽屉，其差是10的倍数，只是仅有7个自然数，似不便运用抽屉原则，再作调整：[6]，[7]，[8]，[9]四个抽屉分别与[4]，[3]，[2]，[1]合并，则可保证至少有一个抽屉里有两个数，它们的和或差是10的倍数. （二）面积问题 例：九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点. 证明：如图，设直线EF将正方形分成两个梯形，作中位线MN。由于这两个梯形的高相等， 故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH| 。于是点H有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|＝2:3）. 由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成9个物体，即可得出必定有3条分割线经过同一点. （三）染色问题 例1正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆（每面只涂一种色），证明正方体一定有三个面颜色相同. 证明：把两种颜色当作两个抽屉，把正方体六个面当作物体，那么6=2×2+2，根据原理二，至少有三个面涂上相同的颜色. 例2 有5个小朋友，每人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出3枚棋子.请你证明，这5个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 分析与解答 首先要确定3枚棋子的颜色可以有多少种不同的情况，可以有：3黑，2黑1白，1黑2白，3白共4种配组情况，看作4个抽屉.根据抽屉原理，至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色在同一个抽屉里，也就是他们所拿棋子的颜色配组是一样的。 例3：假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？ 解：首先可以从这六个点中任意选择一点，然后把这一点到其他五点间连五条线段，如图，在这五条线段中，至少有三条线段是同一种颜色，假定是红色，现在我们再单独来研究这三条红色的线。这三条线段的另一端或许是不同颜色，假设这三条线段（虚线）中其中一条是红色的，那么这条红色的线段和其他两条红色的线段便组成了我们所需要的同色三角形，如果这三条线段都是蓝色的，那么这三条线段也组成我们所需要的同色三角形。因而无论怎样着色，在这六点之间的所有线段中至少能找到一个同色三角形。 例3′（六人集会问题）证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。” 例3”：17个科学家中每个人与其余16个人通信，他们通信所讨论的仅有三个问题，而任两个科学家之间通信讨论的是同一个问题。证明：至少有三个科学家通信时讨论的是同一个问题。 解：不妨设A是某科学家，他与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，他至少与其中的6位讨论同一问题。设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题。 若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立。否则他们6位只讨论乙、丙两问题。这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题，不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题。 若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了。否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立。 三．制造抽屉是运用原则的一大关键 例1 从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。 分析与解答 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉： 凡是抽屉中有两个数的，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34。现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34。 例2：从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12。 分析与解答在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。 另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）。 例3： 从1到20这20个数中，任取11个数，必有两个数，其中一个数是另一个数的倍数。 分析与解答 根据题目所要求证的问题，应考虑按照同一抽屉中，任意两数都具有倍数关系的原则制造抽屉.把这20个数按奇数及其倍数分成以下十组，看成10个抽屉（显然，它们具有上述性质）： ｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。 从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理，至少有两个数取自同一个抽屉.由于凡在同一抽屉中的两个数都具有倍数关系，所以这两个数中，其中一个数一定是另一个数的倍数。 例4：某校校庆，来了n位校友，彼此认识的握手问候.请你证明无论什么情况，在这n个校友中至少有两人握手的次数一样多。 分析与解答 共有n位校友，每个人握手的次数最少是0次，即这个人与其他校友都没有握过手；最多有n-1次，即这个人与每位到会校友都握了手.然而，如果有一个校友握手的次数是0次，那么握手次数最多的不能多于n-2次；如果有一个校友握手的次数是n-1次，那么握手次数最少的不能少于1次.不管是前一种状态0、1、2、…、n-2，还是后一种状态1、2、3、…、n-1，握手次数都只有n-1种情况.把这n-1种情况看成n-1个抽屉，到会的n个校友每人按照其握手的次数归入相应的“抽屉”，根据抽屉原理，至少有两个人属于同一抽屉，则这两个人握手的次数一样多。 在有些问题中，“抽屉”和“物体”不是很明显的，需要精心制造“抽屉”和“物体”.如何制造“抽屉”和“物体”可能是很困难的，一方面需要认真地分析题目中的条件和问题，另一方面需要多做一些题积累经验。 抽屉原理 把八个苹果任意地放进七个抽屉里，不论怎样放，至少有一个抽屉放有两个或两个以上的苹果。抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。它是组合数学中一个重要的原理。把它推广到一般情形有以下几种表现形式。 形式一：证明：设把n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于2（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜2，则因为ai是整数，应有ai≤1，于是有： a1＋a2＋…＋an≤1＋1＋…＋1＝n＜n＋1这与题设矛盾。所以，至少有一个ai≥2，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素。 形式二：设把n•m＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于m＋1。用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜m＋1，则因为ai是整数，应有ai≤m，于是有： a1＋a2＋…＋an≤m＋m＋…＋m＝n•m＜n•m＋1 n个m 这与题设相矛盾。所以，至少有存在一个ai≥m＋1 高斯函数：对任意的实数x,[x]表示“不大于x的最大整数”. 例如：[3.5]＝3，[2.9]＝2，[－2.5]＝－3，[7]＝7，……一般地，我们有：[x]≤x＜[x]＋1 形式三：证明：设把n个元素分为k个集合A1，A2，…，Ak，用a1，a2，…，ak表示这k个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个ai大于或等于[n/k]。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜[n/k]，于是有： a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k•[n/k]≤k•(n/k)＝n k个[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 这与题设相矛盾。所以，必有一个集合中元素个数大于或等于[n/k] 形式四：证明：设把q1＋q2＋…＋qn－n＋1个元素分为n个集合A1，A2，…，An，用a1，a2，…，an表示这n个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i，使得ai大于或等于qi。（用反证法）假设结论不成立，即对每一个ai都有ai＜qi，因为ai为整数，应有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n ＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1这与题设矛盾。 所以，假设不成立，故必有一个i,在第i个集合中元素个数ai≥qi 形式五：证明：（用反证法）将无穷多个元素分为有限个集合，假设这有限个集合中的元素的个数都是有限个，则有限个有限数相加，所得的数必是有限数，这就与题设产生矛盾，所以，假设不成立，故必有一个集合含有无穷多个元素。 例题1：400人中至少有两个人的生日相同.分析：生日从1月1日排到12月31日，共有366个不相同的生日，我们把366个不同的生日看作366个抽屉，400人视为400个苹果，由表现形式1可知，至少有两人在同一个抽屉里，所以这400人中有两人的生日相同. 解：将一年中的366天视为366个抽屉，400个人看作400个苹果，由抽屉原理的表现形式1可以得知：至少有两人的生日相同. 例题2：任取5个整数，必然能够从中选出三个，使它们的和能够被3整除. 证明：任意给一个整数，它被3除，余数可能为0，1，2，我们把被3除余数为0，1，2的整数各归入类r0，r1，r2.至少有一类包含所给5个数中的至少两个.因此可能出现两种情况：1°.某一类至少包含三个数；2°.某两类各含两个数，第三类包含一个数. 若是第一种情况，就在至少包含三个数的那一类中任取三数，其和一定能被3整除；若是第二种情况，在三类中各取一个数，其和也能被3整除..综上所述，原命题正确. 例题3：某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株，则至少有5人植树的株数相同. 证明：按植树的多少，从50到100株可以构造51个抽屉，则个问题就转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里. (用反证法)假设无5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有5人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，所以，每个抽屉最多有4人，故植树的总株数最多有： 4(50＋51＋…＋100)＝4× ＝15300＜15301得出矛盾.因此，至少有5人植树的株数相同. 练习：1．边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点. 2．边长为1的等边三角形内，若有n2＋1个点，则至少存在2点距离小于 . 3．求证：任意四个整数中，至少有两个整数的差能够被3整除. 4．某校高一某班有50名新生，试说明其中一定有二人的熟人一样多. 5．某个年级有202人参加考试，满分为100分，且得分都为整数，总得分为10101分，则至少有3人得分相同. “任意367个人中，必有生日相同的人。” “从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。” “从数1，2，...，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。” ... ... 大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫做抽屉原理。它的内容可以用形象的语言表述为： “把m个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。” 在上面的第一个结论中，由于一年最多有366天，因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入 366个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，...，5的手套各有两只，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。 抽屉原理的一种更一般的表述为： “把多于kn个东西任意分放进n个空抽屉（k是正整数），那么一定有一个抽屉中放进了至少k+1个东西。” 利用上述原理容易证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同，即它们两两之差是3的倍数。 如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述： “把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。” 抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。 1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目： “证明在任意6个人的集会上，或者有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不相识。” 这个问题可以用如下方法简单明了地证出： 在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD ，CD 3条连线中有一条（不妨设为BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前彼此相识：如果BC、BD、CD 3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。 六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。

指数分布的分布函数是µ=1/λ，σ2=1/λ2。指数分布的分布函数公式是µ=1/λ，σ2=1/λ2。在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。简介在概率理论和统计学中，指数分布（也称为负指数分布）是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。

指数分布的可加性公式：f(x)=λe^(-λx)。正态分布是所有分布趋于极限大样本的分布，属于连续分布。二项分布与泊松分布，则都是离散分布，二项分布的极限分布是泊松分布、泊松分布的极限分布是正态分布。即np=λ,当n很大时，可以近似相等。指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

答：指数分布公式是法国数学家、物理学家傅里叶

简单来说，在概率论和统计学中，指数分布是一种连续概率分布，如果还想了解更细的话就得先理解一下什么是“泊松过程”，而指数分布的含义就是泊松过程的事件间隔的分布。

分布函数 F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx 1.x0， F(x)=∫[-∞,x]f(x)dx=∫[-∞,0]f(x)dx+∫[0,x]f(x)dx =0+∫[0,x]λe^(-λx)dx=-∫[0,x]e^(-λx)d(-λx)=-[0,x][e^(-λx)]=1-e^(-λx) 所以F(x)=0 (x≤0) =1-e^(-λx) (x>0) 分段函数的定积分在计算时分开积分上下限即可

P(x>5 | x>3) = P(x >5,x>3) / P(x>3) = P(x>5) / P(x>3). 而P(x>3) = p(x)在[0,3]之间的积分,P(x>5) = p(x)在[0,5]之间的积分.计算得到下面结果 P(x>3) = 1-e^(-3),P(x>5) = 1-e^(-5). 所以所求条件概率的最终结果为 (1-e^(-5)) / (1-e^(-3)).

d(-λx)=-λ

指数分布公式是f(x)=入exp(-入x)，在概率理论和统计学中，指数分布是描述泊松过程中的事件之间的时间的概率分布，即事件以恒定平均速率连续且独立地发生的过程。这是伽马分布的一个特殊情况。它是几何分布的连续模拟，它具有无记忆的关键性质。除了用于分析泊松过程外，还可以在其他各种环境中找到。指数分布与分布指数族的分类不同，后者是包含指数分布作为其成员之一的大类概率分布，也包括正态分布，二项分布，伽马分布，泊松分布等等。

不是一也不是二 应该是f(x)=λe^(-λx) 那个积分上限应该是正无穷大.原函数是F（x）=-e^(-λx) 带入正无穷,等于0 带入1/λ,等于-e^(-1).相减,就是答案了

二项分布的分布函数公式：s^2=((m-x1)^2+(m-x2)^2+......+(m-xn)^2)/n。在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n，且对每一个k（0≤k≤n），事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（BinomialDistribution）。其分布函数公式：s^2=((m-x1)^2+(m-x2)^2+......+(m-xn)^2)/n。在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。

分布律为：P{X=k}=(nk)p^k(1-p)^(n-k)二项分布就是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。二项分布概率公式来描述：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)式中的n为独立的伯努利试验次数，π为成功的概率，（1-π）为失败的概率，X为在n次伯努里试验中出现成功的次数，表示在n次试验中出现X的各种组合情况。扩展资料：由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：P=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)。C(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。参考资料来源：百度百科——二项分布

二项分布概率公式的理解是n是试验次数，X表示随机试验的结果，k是指定事件发生的次数，p是指定事件在一次试验中发生的概率，二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次独立的伯努利试验。在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。一般的二项分布是n次独立的伯努利试验的和。它的期望值和方差分别等于每次单独试验的期望值和方差的和。

二项式分布公式：P=C(X,n)*π^X*(1-π)^(n-X)。二项分布是由伯努利提出的概念，指的是重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变。公式，在数学、物理学、化学、生物学等自然科学中用数学符号表示几个量之间关系的式子。具有普遍性，适合于同类关系的所有问题。在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。

X~B(n,p)是二项分布，即事件发生的概率为p，重复n次。它的期望E=np，方差为np(1-p)。在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。扩展资料对于固定的n以及p，当k增加时，概率P{X=k}先是随之增加直至达到最大值，随后单调减少。可以证明，一般的二项分布也具有这一性质，且: 当（n+1）p不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[(n+1)p]时达到最大值； 当（n+1）p为整数时，二项概率P{X=k}在k=(n+1)p和k=(n+1)p-1时达到最大值。

二项分布的数学期望X～b(n,p)，其中n≥1,0<p<1. P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n. EX=np,DX=np(1-p). 证明方法(一)：将X分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和： X=X1+X2+...+Xn,Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n. P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p. EXi=0*(1-p)+1*p=p, E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p, DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p). EX=EX1+EX2+...+EXn=np, DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p). 证明方法(二)：EX=∑kb(k;n,p)=∑k*C(k,n)p^kq^(n-k) =np∑C(k-1,n-1)p^(k-1)q^(n-1-k+1) =np∑C(k,n-1)p^kq^(n-1-k) =np∑b(k;n-1,p) =np DX=npq 可用公式DX=EX^2-(EX)^2求出 EX^2=∑k^2b(k;n,p) =∑[k(k-1)+k]b(k;n,p) =∑k(k-1)b(k;n,p)+∑kb(k;n,p) =n(n-1)p^2∑b(k;n-2,p)+np =n(n-1)p^2+np=n^2p^2+npq =n^2p^2+npq 所以DX=EX^2-(EX)^2=n^2p^2+npq-n^2p^2 =npq

二项分布期望公式是E(r)=np。在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。在生产实践过程中会有来自很多方面因素的影响，所有这些因素的综合作用导致过程动荡，从而体现出一些质量特性的不稳定性。概率论与数理统计的二项分布可以帮助了解和监控这些波动，朝着有利的方向发展。在生产实践中有一类现象，研究的对象只产生两种可能结果，它们的分布规律就是二项分布，二项分布应用很广泛。

你好！二项分布期望：E(x)=np.方差:D(x)=np(1-p)我的回答你还满意吗~~

用ξ表示随机试验的结果.如果事件发生的概率是P,N次独立重复试验中发生K次的概率是P(ξ=K)=Cn(k)P(k)q(n-k) 注意!:第二个等号后面里的括号里的是写在右上角的.那么就说这个就属于二项分布..记作ξ~B(n,p)期望:Eξ=np 方差:Dξ=npqq=1-p

二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。定义：在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的是/非试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布，二项分布是显著性差异的二项试验的基础。二项分布（binomialdistribution），即重复n次的伯努利试验（bernoulliexperiment），用ξ表示随机试验的结果。二项分布公式如果事件发生的概率是p,则不发生的概率q=1-p，n次独立重复试验中发生k次的概率是p(ξ=k)=c(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),其中c(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)注意！:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。那么就说这个属于二项分布。其中p称为成功概率。记作ξ~b(n,p)期望：eξ=np方差:dξ=npq其中q=1-p证明:由二项式分布的定义知，随机变量x是n重伯努利实验中事件a发生的次数，且在每次试验中a发生的概率为p.因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和.设随机变量x（k）(k=1,2,3...n)服从（0-1）分布，则x=x(1)+x(2)+x(3)....x(n).因x(k)相互独立,所以期望：e(x)=e[x(1)+x(2)+x(3)....x(n)]=np.方差：d(x)=d[x(1)+x(2)+x(3)....x(n)]=np(1-p).证毕.以上证明摘自高等教育出版社《概率论与数理统计》第四版如果1．在每次试验中只有两种可能的结果，而且是互相对立的；2．每次实验是独立的,与其它各次试验结果无关;3．结果事件发生的概率在整个系列试验中保持不变，则这一系列试验称为伯努利实验。在这试验中,事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布.二项分布可二项分布以用于可靠性试验。可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验t小时,而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率.若某事件概率为p，现重复试验n次，该事件发生k次的概率为：p=c(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k).c(n,k)表示组合数，即从n个事物中拿出k个的方法数。

二项分布公式为：P（X=k)=C (n，k)（p^k）* (1-p)^ (n-k)。下面是关于二项分布公式的一些拓展1、二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。是显著性差异的二项试验的基础，可以帮助我们了解和监控生产实践过程中由于某些因素而导致的波动。2、在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。3、二项分布和超几何分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。他们的相同点是超几何分布和二项分布都是离散型分布。4.泊松近似：当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为λ=np的泊松分布可以作为二项分布B(n,p)的近似，近似成立的前提要求n足够大，而p足够小，np不是很小。二项分布正态近似：如果n足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么B(n,p)的一个很好的近似是正态分布当n越大（至少20）且p不接近0或1时近似效果更好。不同的经验法则可以用来决定n是否足够大,以及p是否距离0或1足够远,其中一个常用的规则是np和n(1 −p)都必须大于 5。

二项分布概率公式：P（X=k）=C（n，k）（p^k）*（1-p）^（n-k）。在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n，且对每一个k（0≤k≤n），事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。概率，亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性（likelihood）大小。随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。该常数即为事件A出现的概率，常用P（A）表示。

在，在证明，数学期望的时候，p加q的二项展开的第二项出现的错误，应该是ｐ，的一次方，ｑ的n减2二次方

二项分布的期望和方差公式有：E（r）=np；Var（r）=npq。由二项式分布的定义知，随机变量X是n重伯努利实验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p。因此，可以将二项式分布分解成n个相互独立且以p为参数的（0-1）分布随机变量之和。

二项分布公式为：P（X=k)=C (n，k)（p^k）* (1-p)^ (n-k)。下面是关于二项分布公式的一些拓展1、二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。是显著性差异的二项试验的基础，可以帮助我们了解和监控生产实践过程中由于某些因素而导致的波动。2、在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为p。这样的单次成功/失败试验又称为伯努利试验。实际上，当n=1时，二项分布就是伯努利分布。3、二项分布和超几何分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。他们的相同点是超几何分布和二项分布都是离散型分布。4.泊松近似：当试验的次数趋于无穷大，而乘积np固定时，二项分布收敛于泊松分布。因此参数为λ=np的泊松分布可以作为二项分布B(n,p)的近似，近似成立的前提要求n足够大，而p足够小，np不是很小。二项分布正态近似：如果n足够大，那么分布的偏度就比较小。在这种情况下，如果使用适当的连续性校正，那么B(n,p)的一个很好的近似是正态分布当n越大（至少20）且p不接近0或1时近似效果更好。不同的经验法则可以用来决定n是否足够大,以及p是否距离0或1足够远,其中一个常用的规则是np和n(1 −p)都必须大于 5。

用比值法就可以.P(X=k)/P(X=k-1)=(n-k+1)p/k(1-p)所以当(n-k+1)p>k(1-p),也就是k1也就是当k<(n+1)p时,P(X=k)单调增.所以最大值是：k=(n+1)p向下取整

二项分布公式是P=p^k*p^(n-k)。在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，事件｛X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布。满足以下三个条件的分布，就是二项分布：（1）做某件事情的次数（也叫试验次数）是固定的，用n表示。例如：抛硬币3次，求婚101次等。（2）每一次事件都有两个可能的结果（成功，或者失败）。例如每次求婚都有两种可能结果，被接受（成功），被拒绝（失败）。（3）每一次成功的概率都是相等的，成功的概率用p表示。在这试验中，事件发生的次数为一随机事件，它服从二次分布。二项分布可以用于可靠性试验，可靠性试验常常是投入n个相同的式样进行试验T小时，而只允许k个式样失败，应用二项分布可以得到通过试验的概率。

在Excel中的公式为：SKEW 可以通过输入相关的代码来进行公式的填写。

峰度是统计学中用于描述数据分布形态的一种指标。它主要用于衡量概率分布曲线在其平均值处的峰度，即数据分布的尖锐程度。峰度的计算公式如下：$$  ext{Kurtosis} = frac{frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(x_i - ar{x})^4}{(frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(x_i - ar{x})^2)^2} - 3 $$其中，$n$ 表示样本数量，$x_i$ 表示第 $i$ 个样本的取值，$ar{x}$ 表示所有样本的平均值。公式中的分子部分是数据的四阶中心矩，分母部分是数据的二阶中心矩的平方。峰度的值可以为正、负或零。当数据分布比正态分布更加尖峭时，峰度为正；当数据分布比正态分布更加平坦时，峰度为负；当数据分布与正态分布相似时，峰度为零。峰度的计算可以帮助我们更好地理解数据分布的形态和特征，从而更加准确地进行数据分析和建模。

偏度是利用3阶矩定义的，偏度的计算公式为：　　　　式中，Sk——偏度；　　μ3——3阶中心矩；　　σ——标准差。　　在一般情形下，当统计数据为右偏分布时，Sk > 0，且Sk值越大，右偏程度越高；当统计数据为左偏分布时，Sk < 0，且Sk值越小，左偏程度越高。当统计数据为对称分布时，显然有Sk = 0。

偏度的计算公式 偏度是利用3阶矩定义的,偏度的计算公式为: 式中,Sk——偏度; μ3——3阶中心矩; σ——标准差。

偏度（skewness）和峰度（kurtosis）通常用于描述概率分布的特征。它们的计算公式如下：偏度：$ S = frac{frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(X_i - ar{X})^3}{sqrt{frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(X_i - ar{X})^2}^3} $其中，$n$ 为样本大小，$X_i$ 表示第 $i$ 个样本的数值，$ar{X}$ 表示样本的平均值。当 $S$ 的值为 0 时，表示数据呈对称分布；当 $S$ 的值为正数时，表示数据比平均值偏向右侧（即右偏）；当 $S$ 的值为负数时，表示数据比平均值偏向左侧（即左偏）。峰度：$ K = frac{frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(X_i - ar{X})^4}{sqrt{frac{1}{n} sum_{i=1}^{n}(X_i - ar{X})^2}^4} - 3 $当 $K$ 的值为 0 时，表示数据分布为正态分布；当 $K$ 的值大于 0 时，表示数据分布的峰度较高，分布会更加集中；当 $K$ 的值小于 0 时，表示数据分布的峰度较低，分布会更加平坦。需要注意的是，偏度和峰度的计算公式存在一些变形和拓展，不同的文献或软件可能会有所不同，需要根据具体情况进行选择。

偏态系数公式是峰度：KURT，偏度SKEW，偏态系数=SKEW（A1：A10）。偏态系数以平均值与中位数之差对标准差之比率来衡量偏斜的程度，用SK表示偏斜系数：偏态系数小于0，因为平均数在众数之左，是一种左偏的分布，又称为负偏。偏态系数大于0，因为均值在众数之右，是一种右偏的分布，又称为正偏。偏态系数是根据众数、中位数与均值各自的性质，通过比较众数或中位数与均值来衡量偏斜度的。偏度系数是描述分布偏离对称性程度的一个特征数。当分布左右对称时，偏度系数为0。当偏度系数大于0时，即重尾在右侧时，该分布为右偏。当偏度系数小于0时，即重尾在左侧时，该分布左偏。使用不同的计量单位时，偏度系数的计算公式是不同的。常见的频数分布曲线：1、钟形分布特征是“两头小，中间大”，即靠近中间的变量值分布的次数多，靠近两边的变量值分布的次数少。2、J形分布主要有正J形和反J形分布。正J形是次数随着变量值的增大而增多，反J形是次数随着变量值增大而减少。3、U形分布的特征与钟形分布相反，靠近中间的变量值分布次数少，靠近两端的变量值分布的次数多。例如人口死亡现象按年龄分布便是如此。

偏度的标准误差公式：标准误=标准差 / N的根号。样本均值分布是所有样本的均值呈现出的正态分布，坐标轴上的每一个数据都是一个样本的均值，而这个样本均值分布的均值则接近于总体的均值（期望的M）。标准误相当于样本均值分布的标准差，它衡量的是所有样本均值的离散趋势。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

列维坦相关系数公式：用于计算两个分类型变量之间的相关程度。 其公式为：r = (∑O - E) / √ (∑O - u) (∑E - u)，其中r为相关系数，O为观测频数，E为期望频数，u为期望频数的总和。皮尔逊相关系数公式：用于计算两个连续型变量之间的相关程度。 其公式为：r = ∑ (Xi - X̄) (Yi - Ȳ) / [ (n - 1)SxSy]，其中r为相关系数，Xi和Yi分别为样本中第i个观测值，X̄和Ȳ分别为样本均值，Sx和Sy分别为样本标准差。

大数定律公式为g=log*vn。概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向随机变量各数学期望的算术平均值收敛的定律。大数定律概述大数定律的定义是，当随机事件发生的次数足够多时，随机事件发生的频率趋近于预期的概率。可以简单理解为样本数量越多，其平概率越接近于期望值。大数定律的条件：1、独立重复事件；2、重复次数足够多。与“大数定律”对应的，就是“小数定律”， 小数定律的内容：如果样本数量比较小，那么什么样的极端情况都有可能出现。但是我们在判断不确定事件发生的概率时，往往会违背大数定律。伯努利大数定律公式：伯努利大数定律设fn为n重伯努利实验中事件A发生的次数，p为A在每次实验中发生的概率，则对任意给定的实数ε>0，则成立。基本内容设有一 随机变量 序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从 大数定律。（又译为“贝努力大数定律”）伯努利大数定律设fn为n重 伯努利实验中事件A发生的 次数，p为A在每次实验中发生的 概率，则对任意给定的实数ε>0，有 成立。即n趋向于无穷大时，事件A在n重伯努利事件中发生的频率fn/n无限接近于事件A在一次实验中发生的概率p。

相关系数是怎么求出来的？有哪些公式？相关系数是一种评估两个变量之间的线性关系强度的量度。其中常用的公式有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和Kendall相关系数。皮尔逊相关系数可用以下公式表示： r=N∑xy-(∑x)(∑y) / sqrt[N∑x^2-(∑x)^2] * sqrt[N∑y^2-(∑y)^2]其中，N为两个变量的样本数，x和y分别表示变量X和Y的值；∑xy表示X、Y对应值的乘积之和，∑x表示变量X的值之和，∑y表示变量Y的值之和，∑x2表示变量X的平方和，∑y2表示变量Y的平方和。

cov(X,Y)=[E(XY)-E(X)E(Y)]/{sqrt[D(X)]*sqrt[D(Y)]}

协方差公式为：COV(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。其中X和Y为两个实随机变量，E[X]与E[Y]为其期望值。协方差（Covariance）在概率论和统计学中用于衡量两个变量的总体误差。若两个变量的变化趋势一致，即如果其中一个变量大于自身的期望值，另一个变量也大于自身的期望值，则两个变量之间的协方差就是正值。若两个变量的变化趋势相反，即其中一个变量大于自身的期望值，另一个变量却小于自身的期望值，则两个变量之间的协方差就是负值。

协方差计算公式 1. 公式:cov (x, y)=EXY-EX * EY协方差的定义，EX为随机变量x的数学期望，同理，EXY为XY的数学期望。 2. 协方差是概率论和统计学中用来度量两个变量的总体误差。方差是协方差的一种特殊情况，即当两个变量相同时。 3.协方差表示两个变量的总误差，不同于方差只表示一个变量的误差。如果两个变量的变化趋势一致，即其中一个大于其期望值，另一个大于其期望值，则两个变量之间的协方差为正。

定义 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差,记作COV(X,Y),即COV(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]。注意 E[(X-E(X))(Y-E(Y))]= E(XY)-E(X)E(Y) 。一：举例（1）Xi 1.1 1.9 3Yi 5.0 10.4 14.6E(X) = (1.1+1.9+3)/3=2E(Y) = (5.0+10.4+14.6)/3=10E(XY)=(1.1×5.0+1.9×10.4+3×14.6)/3=23.02Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=23.02-2×10=3.02。二：（1）协方差表示的是两个变量的总体的误差，这与只表示一个变量误差的方差不同。 如果两个变量的变化趋势一致，也就是说如果其中一个大于自身的期望值，另外一个也大于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是正值。（2） 如果两个变量的变化趋势相反，即其中一个大于自身的期望值，另外一个却小于自身的期望值，那么两个变量之间的协方差就是负值。（3）如果X与Y是统计独立的，那么二者之间的协方差就是0，因为两个独立的随机变量满足E[XY]=E[X]E[Y]。（4）反过来并不成立。即如果X与Y的协方差为0，二者并不一定是统计独立的。（5）协方差Cov(X,Y)的度量单位是X的协方差乘以Y的协方差。而取决于协方差的相关性，是一个衡量线性独立的无量纲的数。协方差为0的两个随机变量称为是不相关的。三：性质若两个随机变量X和Y相互独立，则E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=0，因而若上述数学期望不为零，则X和Y必不是相互独立的，亦即它们之间存在着一定的关系。协方差与方差之间有如下关系D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)协方差与期望值有如下关系：Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)。

1.方差 s=[(x1-x)^2 +(x2-x)^2 +.(xn-x)^2]/n 　　(x为平均数)2.标准差=方差的算术平方根

若x1,x2,x3.xn的平均数为m 则方差s^2=1/n[(x1-m)^2+(x2-m)^2+.+(xn-m)^2] 方差即偏离平方的均值,称为标准差或均方差,方差描述波动程度. 平方差公式： a^2-b^2=(a+b)(a-b) 如果本题有什么不明白可以追问,

一般情况下求D(S^2)并不容易，但如果总体服从正态分布N(μ,σ^2)，则(n-1)S^2/σ^2服从自由度为n-1的卡方分布，从而D[(n-1)S^2/σ^2]=2(n-1)，可由此间接求出D(S^2)。在许多实际情况下，人口的真实差异事先是不知道的，必须以某种方式计算。 当处理非常大的人口时，不可能对人口中的每个物体进行计数，因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。扩展资料：如果大数定律的条件对于平方观测值同样适用，则s2是σ2的一致估计量。 可以看出，估计的方差趋于零。 在Kenney and Keeping（1951：164），Rose和Smith（2002：264）和Weisstein（n.d.）中给出了渐近等效的公式。正态总体的样本均值和样本方差相互独立。方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差、方差越大，离散程度越大）若X的取值比较集中，则方差D（X）较小，若X的取值比较分散，则方差D（X）较大。因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量取值分散程度的一个尺度。参考资料来源：百度百科——样本方差

方差和标准差： 英文：variation and standard deviation 右图为计算公式 Variance"s formula 样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。 数学上一般用E{[X-E(X)]^2}来度量随机变量X与其均值E(X)即期望的偏离程度，称为X的方差。 定义 设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X)或DX。即D(X)=E{[X-E(X)]^2}，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的量纲）称为标准差或均方差。 由方差的定义可以得到以下常用计算公式： D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 S^2=[(x1-x拔)2+（x2-x拔)^2+(x3-x拔)^2+…+(xn-x拔)^2]/n 方差的几个重要性质（设一下各个方差均存在）。 （1）设c是常数，则D(c)=0。 （2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。 （3）设X，Y是两个相互独立的随机变量，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 （4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，其中E(X)=c。 方差是标准差的平方

E(X) = X1*p(X1） + X2*p(X2） + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2） + …… + Xn*fn(Xn)X ；1,X ；2,X ；3，……，X。n为这离散型随机变量，p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1）,p(X2）,p(X3），……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xn).扩展资料在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。参考资料：百度百科词条 数学期望

希望。期望值的公式代表于他们的攻势等数据统计不一样。

概率和统计知识是数据科学和机器学习的核心； 我们需要统计和概率知识来有效地收集、审查、分析数据。 现实世界中有几个现象实例被认为是统计性质的（即天气数据、销售数据、财务数据等）。 这意味着在某些情况下，我们已经能够开发出方法来帮助我们通过可以描述数据特征的数学函数来模拟自然。 “概率分布是一个数学函数，它给出了实验中不同可能结果的发生概率。” 了解数据的分布有助于更好地模拟我们周围的世界。 它可以帮助我们确定各种结果的可能性，或估计事件的可变性。 所有这些都使得了解不同的概率分布在数据科学和机器学习中非常有价值。 在本文中，我们将介绍一些常见的分布并通过Python 代码进行可视化以直观地显示它们。 最直接的分布是均匀分布。 均匀分布是一种概率分布，其中所有结果的可能性均等。 例如，如果我们掷一个公平的骰子，落在任何数字上的概率是 1/6。 这是一个离散的均匀分布。 但是并不是所有的均匀分布都是离散的——它们也可以是连续的。 它们可以在指定范围内取任何实际值。 a 和 b 之间连续均匀分布的概率密度函数 (PDF) 如下： 让我们看看如何在 Python 中对它们进行编码： 高斯分布可能是最常听到也熟悉的分布。 它有几个名字：有人称它为钟形曲线，因为它的概率图看起来像一个钟形，有人称它为高斯分布，因为首先描述它的德国数学家卡尔·高斯命名，还有一些人称它为正态分布，因为早期的统计学家 注意到它一遍又一遍地再次发生。 正态分布的概率密度函数如下： σ 是标准偏差，μ 是分布的平均值。 要注意的是，在正态分布中，均值、众数和中位数都是相等的。 当我们绘制正态分布的随机变量时，曲线围绕均值对称——一半的值在中心的左侧，一半在中心的右侧。 并且，曲线下的总面积为 1。 对于正态分布来说。 经验规则告诉我们数据的百分比落在平均值的一定数量的标准偏差内。 这些百分比是： 68% 的数据落在平均值的一个标准差内。 95% 的数据落在平均值的两个标准差内。 99.7% 的数据落在平均值的三个标准差范围内。 对数正态分布是对数呈正态分布的随机变量的连续概率分布。 因此，如果随机变量 X 是对数正态分布的，则 Y = ln(X) 具有正态分布。 这是对数正态分布的 PDF： 对数正态分布的随机变量只取正实数值。 因此，对数正态分布会创建右偏曲线。 让我们在 Python 中绘制它： 泊松分布以法国数学家西蒙·丹尼斯·泊松的名字命名。 这是一个离散的概率分布，这意味着它计算具有有限结果的事件——换句话说，它是一个计数分布。 因此，泊松分布用于显示事件在指定时期内可能发生的次数。 如果一个事件在时间上以固定的速率发生，那么及时观察到事件的数量（n）的概率可以用泊松分布来描述。 例如，顾客可能以每分钟 3 次的平均速度到达咖啡馆。 我们可以使用泊松分布来计算 9 个客户在 2 分钟内到达的概率。 下面是概率质量函数公式： λ 是一个时间单位的事件率——在我们的例子中，它是 3。k 是出现的次数——在我们的例子中，它是 9。这里可以使用 Scipy 来完成概率的计算。 泊松分布的曲线类似于正态分布，λ 表示峰值。 指数分布是泊松点过程中事件之间时间的概率分布。指数分布的概率密度函数如下： λ 是速率参数，x 是随机变量。 可以将二项分布视为实验中成功或失败的概率。 有些人也可能将其描述为抛硬币概率。 参数为 n 和 p 的二项式分布是在 n 个独立实验序列中成功次数的离散概率分布，每个实验都问一个是 - 否问题，每个实验都有自己的布尔值结果：成功或失败。 本质上，二项分布测量两个事件的概率。 一个事件发生的概率为 p，另一事件发生的概率为 1-p。 这是二项分布的公式： 可视化代码如下： 学生 t 分布（或简称 t 分布）是在样本量较小且总体标准差未知的情况下估计正态分布总体的均值时出现的连续概率分布族的任何成员。 它是由英国统计学家威廉·西利·戈塞特（William Sealy Gosset）以笔名“student”开发的。 PDF如下： n 是称为“自由度”的参数，有时可以看到它被称为“d.o.f.” 对于较高的 n 值，t 分布更接近正态分布。 卡方分布是伽马分布的一个特例； 对于 k 个自由度，卡方分布是一些独立的标准正态随机变量的 k 的平方和。 PDF如下： 这是一种流行的概率分布，常用于假设检验和置信区间的构建。 让我们在 Python 中绘制一些示例图： 掌握统计学和概率对于数据科学至关重要。 在本文展示了一些常见且常用的分布，希望对你有所帮助。 作者：Kurtis Pykes

p1 +p2 +... +pn =1pi>=0Eξ=x1P1+x2p2 + ... +xnpn

若概率密度函数为f（x），且F"（x）=f（x），则概率分布函数为F（x）+C，C为常数，可以根据x趋于无穷时概率分布函数等于1求得。扩展资料：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 物质的双体分布函数示意图称为X的分布函数。对于任意实数x1，x2(x1＜x2)，有 P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)。因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1，x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量·。如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间（-∞，x]上的概率·。参考资料来源：百度百科-分布函数

若概率密度函数为f（x），且F"（x）=f（x），则概率分布函数为F（x）+C，C为常数，可以根据x趋于无穷时概率分布函数等于1求得。扩展资料：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 物质的双体分布函数示意图称为X的分布函数。对于任意实数x1，x2(x1＜x2)，有 P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}-P{X≤x1}=F(x2)-F(x1)。因此，若已知X的分布函数，就可以知道X落在任一区间(x1，x2]上的概率，在这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性。分布函数是一个普遍的函数，正是通过它，我们将能用数学分析的方法来研究随机变量·。如果将X看成是数轴上的随机点的坐标，那么分布函数F(x)在x处的函数值就表示X落在区间（-∞，x]上的概率·。参考资料来源：百度百科-分布函数

离散型随机变量的方差：D(X) = E{[X - E(X)]^2}；（1）=E(X^2) - (EX)^2；（2）（1）式是方差的离差表示，,如果不懂，可以记忆（2）式（2）式表示：方差 = X^2的期望 - X的期望的平方。X和X^2都是随机变量，针对于某次随机变量的取值， 例如： 随机变量X服从“0 - 1”：取0概率为q，取1概率为p，p+q=1 则： 对于随即变量X的期望 E(X) = 0*q + 1*p = p 同样对于随即变量X^2的期望 E(X^2) = 0^2 * q + 1^2 * p = p 所以由方差公式（2）得：D(X) = E(X^2) - (EX)^2 = p - p^2 = p(1-p) = pq 无论对于X或者X^2，都是一次随机变量，或者一次实验，不是什么未知的函数， 要通过题目的的随机变量到底是服从什么分配，然后才可以判断出该随机变量具有什么性质或者可以得出什么条件。扩展资料：机变量的期望，离散情形：如果X是离散随机变量，具有概率质量函数p（x），那么X的期望值定义为E[X]= 。换句话说，X的期望是X可能取的值的加权平均，每个值被X取此值的概率所加权。连续情形：也可以定义连续随机变量的期望值。如果X是具有概率密度函数f（x）的连续随机变量，那么X的期望就定义为E[X]= = =β+a/2。换句话说，在（a，β） 上均匀分布的随机变量的期望值正是区间的中点。随机变量在不同的条件下由于偶然因素影响，可能取各种不同的值，故其具有不确定性和随机性，但这些取值落在某个范围的概率是一定的，此种变量称为随机变量。随机变量可以是离散型的，也可以是连续型的。如分析测试中的测定值就是一个以概率取值的随机变量，被测定量的取值可能在某一范围内随机变化，具体取什么值在测定之前是无法确定的，但测定的结果是确定的，多次重复测定所得到的测定值具有统计规律性。随机变量与模糊变量的不确定性的本质差别在于，后者的测定结果仍具有不确定性，即模糊性。参考资料：百度百科-随机变量

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