公式

卷积公式的使用条件是：只用来计算密度函数，不能计算分布函数。在泛函分析中，卷积是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。有一种学术的说法：卷积是将过去所有连续信号经过系统的响应之后得到的在观察那一刻的加权叠加。从打板子的例子来看结合前边提到的连续形式f和g的卷积，可以理解为f和g的卷积在n处的值是用来表示在时刻n遭受的疼痛程度。f(t)是在说t这一时刻的人打的力度，g(n-t)说的是现在站在n时刻开始统计这个t时刻打的板子本身的疼痛程度变化成了什么样子。将所有积分计算出来就可以知道到n时刻这个人有多痛。卷积是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果，而反卷积是直到最近Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了试井界的广泛注意。

卷积公式是指两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子。表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积，如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是滑动平均的推广。卷积公式特点在卷积神经网络中会用卷积函数表示重叠部分，这个重叠部分的面积就是特征，卷积公式是用来求随机变量和的密度函数pdf的计算公式，卷积公式是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷积公式解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果，而反褶积直到最近Schroeter，Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反褶积方法很快引起了试井界的广泛注意。

卷积公式如下：卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。简介：卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

卷积公式是：z（t）=x（t）*y（t）=∫x（m）y（t-m）dm。这是一个定义式。卷积公式是用来求随机变量和的密度函数（pdf）的计算公式。卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F（g（x）*f（x）） = F（g（x）)F（f（x）），其中F表示的是傅里叶变换。卷积的应用：在提到卷积之前, 重要的是要提到卷积出现的背景。卷积发生在信号和线性系统的基础上, 也不在背景中发生, 除了所谓褶皱的数学意义和积分 (或求和、离散大小) 外, 将卷积与此背景分开讨论是没有意义的公式。信号和线性系统, 讨论信号通过线性系统 (即输入和输出之间的数学关系以及所谓的通过系统) 后发生的变化。所谓线性系统的含义是, 这个所谓的系统, 产生的输出信号和输入信号之间的数学关系是一个线性计算关系。因此, 实际上, 有必要根据我们需要处理的信号形式来设计所谓的系统传递函数, 那么这个系统的传递函数和输入信号, 在数学形式上就是所谓的卷积关系。

x(t)*h(t) = h(t)*x(t)；x(t)*[g(t)+h(t)] = x(t)*g(t)+x(t)*h(t)；[x(t)*g(t)]*h(t) = x(t)*[g(t)*h(t)]。在泛函分析中，卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。应用：用卷积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反卷积方法很快引起了试井界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大。   

常用信号的卷积公式表是：z（t）=x（t）*y（t）=∫x（m）y（t-m）dm。这是一个定义式。卷积公式是用来求随机变量和的密度函数（pdf）的计算公式。注意卷积公式仅在Z与X、Y呈线性关系方可使用，因为小写z书写不方便，故用t代替。方法就是将y（或x）用x和t表达，替换原密度函数的y，对x（或y）积分，这样就可以消掉x和y，只剩下t。卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F（g（x）*f（x）） = F（g（x）)F（f（x）），其中F表示的是傅里叶变换。在泛函分析中，卷积、旋积或褶积(英语：Convolution)是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与g经过翻转和平移的重叠部分函数值乘积对重叠长度的积分。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。卷积是两个变量在某范围内相乘后求和的结果。离散情况下是数列相乘再求和。连续情况下是函数相乘再积分。卷积是两个函数的运算方式，就是一种满足一些条件（交换律、分配率、结合律、数乘结合律、平移特性、微分特性、积分特性等）的算子。用一种方式将两个函数联系到一起。从形式上讲，就是先对g函数进行翻转，相当于在数轴上把g函数从右边翻转到左边去，然后再把g函数平移到n，在这个位置上对两个函数的对应点相乘，然后相加。这就是“卷”的过程。函数翻转，滑动叠加（积分、加权求和）。有一种学术的说法：卷积是将过去所有连续信号经过系统的响应之后得到的在观察那一刻的加权叠加。从打板子的例子来看结合前边提到的连续形式f和g的卷积，可以理解为f和g的卷积在n处的值是用来表示在时刻n 遭受的疼痛程度。f(t)是在说t这一时刻的人打的力度，g(n-t)说的是现在站在n时刻开始统计 这个t时刻打的板子本身的疼痛程度变化成了什么样子。将所有积分计算出来 就可以知道到n时刻这个人有多痛。（至于积分上下限就不能用这个时刻来理解了，毕竟现在无法知道未来。）不过从这个简单的例子中还是可以窥见一些卷积公式的奥秘，我们知道在实际推导时主要是在推导两个随机变量的和的时候推导出来的。

卷积公式是：z（t）=x（t）*y（t）=∫x（m）y（t-m）dm。卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分：可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。这就是说，把卷积代替乘法，L1（R1）1空间是一个代数，甚至是巴拿赫代数。数学定理：卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))。其中F表示的是傅里叶变换。这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换(参见Mellin inversion theorem)等各种傅里叶变换的变体同样成立。在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。利用卷积定理可以简化卷积的运算量。对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2n- 1组对位乘法，其计算复杂度为;而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为。这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

卷积公式如下：卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。简介：卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

正弦·余弦（＝）正加正。　　余弦·正弦（＝）正减正。　　余弦·余弦（＝）余加余。　　系数二分之一要牢记。　　角角关系变和差。　　公式符号记忆法　　一减余弦想正弦，　　一加余弦想余弦，　　异名减，同名加，　　幂高一次角减半

卷积公式是：z（t）=x（t）*y（t）=∫x（m）y（t-m）dm。这是一个定义式。卷积公式是用来求随机变量和的密度函数（pdf）的计算公式。卷积定理指出，函数卷积的傅里叶变换是函数傅里叶变换的乘积。即，一个域中的卷积相当于另一个域中的乘积，例如时域中的卷积就对应于频域中的乘积。F（g（x）*f（x）） = F（g（x）)F（f（x）），其中F表示的是傅里叶变换。卷积的应用：在提到卷积之前, 重要的是要提到卷积出现的背景。卷积发生在信号和线性系统的基础上, 也不在背景中发生, 除了所谓褶皱的数学意义和积分 (或求和、离散大小) 外, 将卷积与此背景分开讨论是没有意义的公式。信号和线性系统, 讨论信号通过线性系统 (即输入和输出之间的数学关系以及所谓的通过系统) 后发生的变化。所谓线性系统的含义是, 这个所谓的系统, 产生的输出信号和输入信号之间的数学关系是一个线性计算关系。因此, 实际上, 有必要根据我们需要处理的信号形式来设计所谓的系统传递函数, 那么这个系统的传递函数和输入信号, 在数学形式上就是所谓的卷积关系。

卷积公式是指两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子。表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积，如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是滑动平均的推广。卷积公式特点在卷积神经网络中会用卷积函数表示重叠部分，这个重叠部分的面积就是特征，卷积公式是用来求随机变量和的密度函数pdf的计算公式，卷积公式是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷积公式解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果，而反褶积直到最近Schroeter，Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题，使反褶积方法很快引起了试井界的广泛注意。

卷积运算公式是（f *g）∧（x）＝（x)*(x)。卷积公式是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的重叠部分的累积。如果将参加卷积的一个函数看作区间的指示函数，卷积还可以被看作是“滑动平均”的推广。卷积与傅里叶变换有着密切的关系。掌握数学公式的方法有：1、认真听课，将公式原理听明白学生在老师讲新课时，一定要听懂，尤其是讲到公式的时候，对于公式的原理一定要听懂，并能做到解释给别人听为标准，这样公式的原理才会理解透彻，而且不太容易被忘记。可能存在个别公式需要死记硬背，无需理解其原理。2、多进行涉及公式的题型练习弄明白公式的原理与会做题不是一回事，所以在理解公式后，要想真正理解透彻，还需要多进行相关题型的练习。倘若没有运用熟练，过几天，不少学生会发现公式已经忘记了，需要翻书才知道。要知道数学知识的连贯性很强，如果之前的知识不掌握，就容易在新知识中卡壳。所以在练习时，为了更透彻地掌握，不能仅局限于简单例题级别的题来做，要由易到难地练习，遇到不懂的，思考后再问。3、定期回顾随着时间的推移，之前的公式可能并不会很快出现在新知识的练习中，所以有的学生会出现“捡了芝麻丢西瓜”这种学得快忘得快的情况。学生要做的就是定期回顾公式，在脑海中回顾公式原理，再做几个代表性的题，可以忘记的知识快速补回来。而遇到需要死记硬背的公式则需要更多练习。4、公式归纳一般情况下，只需要将所学的公式都整理起来，集中写到纸上或贴于墙上，纪录在手机里等容易随时看到的地方都可以，闲暇或需要时看看。随着运用的增加，就算个别公式没有理解透，也能很好地运用起来。

卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。卷积（又名褶积）和反卷积（又名反褶积）是一种积分变换的数学方法，在许多方面得到了广泛应用。用卷积解决试井解释中的问题，早就取得了很好成果；而反卷积，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解决了其计算方法上的稳定性问题。使反卷积方法很快引起了试井界的广泛注意。有专家认为，反卷积的应用是试井解释方法发展史上的又一次重大飞跃。他们预言，随着测试新工具和新技术的增加和应用，以及与其它专业研究成果的更紧密结合，试井在油气藏描述中的作用和重要性必将不断增大。

如图

级数展开公式是：即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现。傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

题不全

你要哪个欧拉公式..有很多，应该是这个吧e^ix=cosx+isinx.傅里叶级数：http://baike.baidu.com/albums/287462/287462.html#0$8640bf8b28b5763e9e2fb482

可以先求不定积分，被积函数可以把括号打开，变成一个余弦函数，加一个t× cosnwt，方法主要是换元和分部积分法

出题者脑残，第二问已经暴露了第一问的答案。方波信号，周期，频谱无偶次谐波，奇次谐波的幅度呈4A/（Npi）递减，其中N为谐波数。2）均值为零，频率只有奇次谐波，各频率的幅值4A/（Npi），其中N为谐波数。脑残题，鄙视！

只要把函数当成偶函数就可以啦。没有条件就创造条件，数学也是如此。这是函数的“偶延拓”如图参考自《张宇高等数学18讲》北京理工大学出版社如图，如有疑问或不明白请追问哦！

离散傅里叶变换常用公式表是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布。论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)。当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

傅里叶变换是由傅里叶级数推导而来的，傅里叶级数的对象是周期信号，但是如果信号为非周期信号的话(也可视为周期信号的周期无穷大)，就推导出了傅里叶变换！

sinwt的傅里叶变换公式是cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。变换提出傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

sinwt的傅里叶变换公式是cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。变换提出傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

傅里叶级数相当于按照余弦或者正弦展开式 泰勒公式：可以按照任意函数展开

傅里叶展开式系数公式是Y=D+A·sin，傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

不妨先想想平面向量的正交分解。前者是函数在三角函数空间span{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……}下的分解，各项系数就是在各个分量上的投影。而Taylor级数则是在多项式空间span{1,x,x^2,……}下的分解。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。发现一篇文章不错，给你参考下http://www.openhw.org/module/forum/thread-595745-1-1.html

书上应该是说如果x*(t)=x(t),即x(t)为实信号，则有a(-k)=a*(k），你再看看书、、、、

意思是矩形信号的傅里叶变换的主瓣宽度吗

正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。热传导定律也称为傅里叶定律，表明单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。 我们可以用两种等效的形式来表述这个定律：整体形式以及差分形式。

傅里叶变换是由傅里叶级数推导而来的，傅里叶级数的对象是周期信号，但是如果信号为非周期信号的话(也可视为周期信号的周期无穷大)，就推导出了傅里叶变换！

傅里叶变换, 就是在用一种特殊的正交基(正交函数)在对原函数做线性变换. 简单地说, 我们有一个n维向量a, 我们总可以找到一组n维正交基e1 e2 e3......, 使得a = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 + ........................cn en我们如果想知道这些系数分别是多少, 就可以分别在等式两边用每个正交基做内积, 因为我们知道<ei, ej> = 0 if i!=j,<ei, ej> = 1 if i==j函数 可以看成一个无穷维的向量, 所以如果想要把一个函数用"正交基"来线性表示, 我们就需要使用正交的函数, 像这样的正交函数有很多, 傅里叶所选用的, 是其中一种

第2章 信号分析 本章提要  信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。  x( 质量－弹簧系统的力学模型 非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。 §2－2 周期信号与离散频谱 一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式 T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” #  傅里叶级数的三角函数展开式 （，…） 傅立叶系数： 式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式： 周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图  周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶 级数并画出频谱图 解： 解： 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式  欧拉公式 或  傅立叶级数的复指数形式  复数傅里叶系数的表达式 其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。 因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 # 即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。  cn的复指数形式 共轭性还可以表示为 即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0 （等于三角 函数模的一半） 相角相等） 用cn画频谱：双边频谱 第一种：幅频谱图:|cn|-图:n- 相频谱， 第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图： Imcn-；也就是an-和-bn-. # §2－3 非周期信号与连续频谱 分两类： a.准周期信号 定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b.瞬变非周期信号 几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成： 定义x(t)的傅里叶变换X(ω) X(ω)的傅里叶反变换x(t):  傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波 的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函 数。  对应关系： X()描述了x(t)的频率结构 X()的指数形式为  以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得 X( f ) 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图： 幅值频谱图 相位频谱图 () 实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω ) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。 二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性 （二）对称性 （注意翻转） （三）时移性质 （幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质 （注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性 （六）微分性质 （七）卷积性质 （1）卷积定义 （2）卷积定理 三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数： (t) 0) 定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值： 脉冲强度（面积） （二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质： xx(t0)(tt0) 函数值： 强度： 结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t) 在脉冲发生时刻的函数值 2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2 (b) 利用结论2 结论：平移 x(t （三）脉冲函数的频谱 均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果 （利用时移性 质） （利用对称性 质） （对上式， 再用频移性质） （四）正弦函数和余弦函数的频谱 余弦函数的频谱  (f) 正弦函数的频谱 (f)

f(t)=2u(t) u(t)为单位阶跃函数 0 (t0)

Φ＝-λA(dt/dx),q＝-λ(dt/dx)热传导定律也称为傅里叶定律，公式为Φ＝-λA(dt/dx),q＝-λ(dt/dx)傅里叶的科学成就，主要在于他对热传导问题的研究，以及他为推进这一方面的研究所引入的数学方法。傅里叶在论文中运用正弦曲线来描述温度分布，并提出一个很有争议性的结论：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。    

快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性.傅里叶变换（TransforméedeFourier）是一种积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。应用傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。概要介绍傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为C.C.Lin&L.A.Segel,MathematicsAppliedtoDeterministicProblemsintheNaturalSciences,MacmillanInc.,NewYork,1974）。傅里叶变换属于谐波分析。傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

傅里叶积分公式如下：①在任一有限区间都连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值。②在(-∞，+∞)上绝对可积，即有限；则定义[f(x)→C(ω)]。为 f(x)的（复）傅里叶变换；记C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，称 C(ω)为（复）傅里叶变换像函数。傅里叶积分是一种积分在运算过程中的变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。以傅里叶变换为工具，研究函数的许多性质，是傅里叶分析的主要内容。傅里叶变换在数学、物理以及工程技术中都有重要的应用。当一个非常复杂的函数变成多个初等正弦函数相加时，它的积分比之前对复杂函数的积分变得简单多了。法国数学家傅里叶发现了周期函数可以用一系列正弦函数组成的级数表示。先把函数作傅里叶变换，然后再利用莱布尼茨公式即可求出结果。定理：在上面定义的基础上，可以证明在间断点，右边的积分收敛到f(x)在该点左右极限的平均值。该积分为 f(x)的傅里叶复积分；f(x)为 C(ω)的（傅里叶逆变换 C(ω)→f(x)）原函数。

同问。。。

f（x）＝a0 ＋ a1＊cos（wx） ＋ a2＊cos（2wx） ＋ ．．．＋ b1＊sin（wx） ＋b2＊sin（2wx） ＋．．．所以f（－x）＝a0 ＋ a1＊cos（－wx） ＋ a2＊cos（－2wx） ＋ ．．．＋ b1＊sin（－wx） ＋b2＊sin（－2wx） ＋．．．cos是偶函数，sin是奇函数，所以f（－x）＝a0 ＋ a1＊cos（wx） ＋ a2＊cos（2wx） ＋ ．．．－ b1＊sin（wx） －b2＊sin（2wx） ＋．．．所以f（－x）的a0＇就是a0，an＇就是an，但是bn＇＝－bn扩展资料：傅里叶级数的公式：给定一个周期为T的函数x(t)，那 么它可以表示为无穷级数：（j为虚数单位）（1）其中， 可以按下式计算：（2）注意到是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

二者的敛散性是一样的。标准形式是从n=0开始。n从1开始可以统一到n从0开始的形式，例如∑〔n从1开始〕1/n_=∑〔n从0开始〕1/（n+1）_。如果说到∑〔n从0开始〕1/（n+1）_与∑〔n从1开始〕1/（n+1）_，二者的敛散性是一样的，即求收敛半径时，没有影响，有影响的是二者的和。这一点，对一般的an也是这样。

傅立叶变换的公式为：即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。扩展资料如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

傅里叶反演公式是经典傅里叶反演公式的推广。傅里叶反演公式(Fourier inversion formula)经典傅里叶反演公式的推广.设G为LCA群，亡为G的对偶群.对二EG,YEG,p(G)为G上正定函数全体，fEL"(G)(}p(G),}为f的傅里叶变换，则当G上的哈尔测度d二确定后，亡上的哈尔测度dY可规范化，使之成立公式。其中Y->(x,Y)为G上的特征标.称上面的公式为傅里叶反演公式。

在数学和物理中，或者更准确一点，数学物理方法中，把一个任意函数进行fourier变换的意义等价于把一个函数进行以平面波为基的展开。这和3维下把一个矢量按照x,y,z基展开是一样的，这一点陈先生已经说明了。不但可以按平面波展开，还可以按照球面波展开。只要保证你选取的基是完全且正交的即可（应该属于泛函分析的范畴，要考虑你函数空间的性质，定义norm等）至于为什么取负，因为沿着时间向前传播的平面波，在物理和数学上写作-i omega t 。在工程上写jomega t。这是习惯；如果你取i omega t ，相当于你做了t->-t的时间反演变换，某些量子系统具有时间反演不变性，会得到一些能谱的性质（比如简并程度最大为2之类）。

首先讲一下傅里叶变换的由来和作用: 信号是有很多不同频率的波叠加在一起的，信号越简单叠加的波的频率就越少。如果要使用那些信号关键就是怎么对这些信号进行处理。在时域中看到有些信号波形非常复杂，根本无从下手。这时候有高人发现如果从频域入手分析，就发现这些无规律的信号就变成很有规律了，原来这些复杂的信号都是由很多很多不同的频率的正弦波组成的。 既然如此，时域很复杂无法处理，而在频域很有规律，就更好处理，那就到频域来处理。所以就有这些变换，傅氏变换、拉氏变换、Z变换，只是针对的对象不一样而已，目的都是把信号从时域转到频域。 转到频域后，处理的时候只要设置一些窗口函数(起分离出有用函数的作用)和待处理的频域函数相乘，就把需要的频率分离出来了。但如果先从时域转到频域，与窗口函数相乘(做需要的信号处理)，再把得出结果从频域转到时域，那样就会非常麻烦。这时候又有高人弄出一个叫卷积的东西，时域相乘频域卷积，频域相乘时域卷积。

sinwt的傅里叶变换公式是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。傅里叶变换就是把信号表示成正弦波的叠加。经过傅里叶变换，信号f(t)变为F(w)，F(w)的大小表征了频率为w的正弦波的强度。你的问题是要解释一下为什么这样变换就可以做到这件事。数学上，我们说正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw"t)积分后是delta函数，w"=w时为无穷大，否则为0。试 类比矢量的正交，设x,y分别是二维空间里两个方向的单位矢量，他们正交是指他们之间的点积x.x=y.y=1, x.y=0。傅里叶变换的相关公式：e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)sin(wt) = (1/2j) [e^(jwt) - e^(-jwt)]cos(wt) = (1/2j) [e^(jwt) + e^(-jwt)]有了以上公式，就可将傅里叶级数、傅里叶变换/反变换等相关公式，改写成“指数形式（e的指数形式）”。它同时展示了一点：e^(jwt) 在复平面中，可以作为一个“基”，因为它已经包含了实轴（实数单位“1”）上和虚轴（虚数单位“j”）上两个正交的“基”。这也从另一个方面解释了，为什么总是可以用之前傅里叶的方法，来“分解”很多函数。

矩形波的傅里叶变换图形是sinc函数，也就是数学中的Sinx/x函数模型。该函数在x=0时，sinc函数值等于1。傅里叶变换(1807年傅里叶提出概念)：傅里叶变换，表示能够将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

卷积公式如下：卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。简介：卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

我觉得傅里叶变换是拉普拉斯的子集,前者是0+bj内变换,后者是在整个复域a+bj内变换.单纯数学公式与定义来理解这个变换比较抽象.能进行傅里叶变换的函数f(t)都可以有无限个连续频率n的正（负）弦函数A(n)cos(nwt)叠加而成。傅里叶在线性系统里面有对应的物理现象的，就是时域（t）到频域（nw）的关系。cos(nwt)经欧拉公式转化成(jnwt)的形式.（当n是离散是就是离散傅里叶了）而拉普拉只是jnw扩展到整个复域a+jnw内。我说的可能有错了，很久没有学啦，错了你补充！

matlab不是就有傅里叶转化的直接方法吗，理解这个你最好好好看看数字信号处理吧，这个也没有办法跟你讲清楚。你就记住也就是高频率对应着图像变化快的地方，低频率对应着图像变化慢的地方就行了。

周期为N的周期序列<math>left{ a_n ight}</math>，其离散傅里叶级数为<math>left{ x_k ight}</math>：<math>x[k]=sum_{n=<N>} a_ncdot e^{-jn(frac{2pi}{N})k}</math>其中，DFS的逆变换序列：<math>a_n=frac{1}{N}sum_{k=<N>} x[k]cdot e^{jn(frac{2pi}{N})k}</math> （k=<N>表示对一个周期N内的值求和）

连续傅里叶变换 一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。 这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。 连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform) 为 即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。 一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。 除此之外，还有其它型式的变换对，以下两种型式亦常被使用。在通信或是信号处理方面，常以 来代换，而形成新的变换对 : 或者是因系数重分配而得到新的变换对： 一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。 当f(t)为偶函数(或奇函数)时,其正弦(或余弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦变换(cosine transform) 或 正弦变换(sine transform). 另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(�6�1ω) = F * (ω) 成立. 参考资料: http://zh.wikipedia.org/wiki/傅里叶变换

  公式如下图：  傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。  Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。  傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。f(t)是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t)的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F(ω)的傅立叶逆变换。F(ω)叫做f(t)的像函数，f(t)叫做F(ω)的像原函数。F(ω)是f(t)的像。f(t)是F(ω)原像。   ①傅里叶变换  ②傅里叶逆变换  傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。

傅里叶变换的公式表如下：关于傅里叶变幻的介绍如下：傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅里叶变换是数字信号处理中的基本操作，广泛应用于表述及分析离散时域信号领域。但由于其运算量与变换点数N的平方成正比关系，因此，在N较大时，直接应用DFT算法进行谱变换是不切合实际的。然而，快速傅里叶变换技术的出现使情况发生了根本性的变化。本文主要描述了采用FPGA来实现2k/4k/8k点FFT的设计方法。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

傅里叶级数展开公式是 F^(ω)=∫（上限+∞,下限-∞)f(t)exp(-iωt)dt。傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。性质1、收敛性傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下：在任何周期内，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。2、正交性所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性。

傅里叶公式：sin^2(α)+cos^2(α)=1。法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的），后世称傅里叶级数为一种特殊的三角级数，根据欧拉公式，三角函数又能化成指数形式，也称傅立叶级数为一种指数级数。三角函数是基本初等函数之一，是以角度（数学上最常用弧度制，下同）为自变量，角度对应任意角终边与单位圆交点坐标或其比值为因变量的函数。也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究周期性现象的基础数学工具。在数学分析中，三角函数也被定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

1、门函数F(w)=2w w sin=Sa() w。2、指数函数（单边）f(t)=e-atu(t) F(w)=1，实际上是一个低通滤波器a+jw。3、单位冲激函数F（w）=1，频带无限宽，是一个均匀谱。4、常数1 常数1是一个直流信号，所以它的频谱当然只有在w=0的时候才有值，体现为（w)。F(w)=2(w) 可以由傅里叶变换的对称性得到。5、正弦函数F(ejw0t)=2(w-w0)，相当于是直流信号的移位。F(sinw0t)=F((ejw0t-e-jw0t)/2)=((w-w0)-(w+w0))F(sinw0t)=F((e。6、单位冲击序列jw0t-e-jw0t)/2j)=j((w-w0)-(w+w0)) T(t)=(t-Tn) -这是一个周期函数，每隔T出现一个冲击，周期函数的傅里叶变换是离散的F(T(t))=w0(w-nw0)=w0，w0(w) n=-单位冲击序列的傅里叶变换仍然是周期序列，周期是w0=2T。傅立叶变换：傅立叶变换是指将满足一定条件的某个函数表示成三角函数的积分。傅立叶变换是在对傅立叶级数的研究中产生的。在不同的研究领域，傅立叶变换具有不同的作用。在分析信号的时候 主要考虑的频率、幅值、相位。傅里叶变换的作用主要是将函数转化成多个正弦组合（或e指数）的形式，本质上变换之后信号还是原来的信号只是换了一种表达方式 这样可以更直观的分析一个函数里的频率、幅值、相位成分。所以分析一个复杂的信号只需经过傅里叶变换后可以轻易的看出其频率和相位、幅度分量。

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即 其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即 当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。 二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为 可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有 上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为 可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即 即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即 引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。 自己看：http://www1.gdou.edu.cn/xxxy/dljc/ml.files/dshz/dshzdej001.files/fold1/dshzdej001.htm回答者：日向あ舞 - 秀才 二级

一． 傅里叶级数的三角函数形式 设f(t)为一非正弦周期函数，其周期为T，频率和角频率分别为f , ω1。由于工程实际中的非正弦周期函数，一般都满足狄里赫利条件，所以可将它展开成傅里叶级数。即其中A0/2称为直流分量或恒定分量；其余所有的项是具有不同振幅，不同初相角而频率成整数倍关系的一些正弦量。A1cos(ω1t+ψ1)项称为一次谐波或基波，A1，ψ1分别为其振幅和初相角；A2cos(ω2t+ψ2)项的角频率为基波角频率ω1的2倍，称为二次谐波，A2，ψ2分别为其振幅和初相角；其余的项分别称为三次谐波，四次谐波等。基波，三次谐波，五次谐波……统称为奇次谐波；二次谐波，四次谐波……统称为偶次谐波；除恒定分量和基波外，其余各项统称为高次谐波。式（10-2-1）说明一个非正弦周期函数可以表示一个直流分量与一系列不同频率的正弦量的叠加。 上式有可改写为如下形式，即当A0，An, ψn求得后，代入式 (10-2-1)，即求得了非正弦周期函数f(t)的傅里叶级数展开式。 把非正弦周期函数f(t)展开成傅里叶级数也称为谐波分析。工程实际中所遇到的非正弦周期函数大约有十余种，它们的傅里叶级数展开式前人都已作出，可从各种数学书籍中直接查用。 从式（10-2-3）中看出，将n换成(-n)后即可证明有 a-n=an b-n=-bn A-n=An ψ-n=-ψn 即an和An是离散变量n的偶函数，bn和ψn是n的奇函数。二． 傅里叶级数的复指数形式 将式（10-2-2）改写为可见 与 互为共轭复数。代入式（10-2-4）有上式即为傅里叶级数的复指数形式。 下面对和上式的物理意义予以说明： 由式（10-2-5）得的模和辐角分别为可见的模与幅角即分别为傅里叶级数第n次谐波的振幅An与初相角ψn，物理意义十分明确，故称为第n次谐波的复数振幅。 的求法如下：将式（10-2-3a,b）代入式（10-2-5）有 上式即为从已知的f(t)求的公式。这样我们即得到了一对相互的变换式（10-2-8）与（10-2-7），通常用下列符号表示，即即根据式（10-2-8）由已知的f(t)求得，再将所求得的代入式（10-2-7），即将f(t)展开成了复指数形式的傅立叶级数。 在（10-2-7）中，由于离散变量n是从（-∞）取值，从而出现了负频率（-nω1）。但实际工程中负频率是无意义的，负频率的出现只具有数学意义，负频率（-nω1）一定是与正频率nω1成对存在的，它们的和构成了一个频率为nω1的正弦分量。即引入傅立叶级数复指数形式的好处有二：（1）复数振幅同时描述了第n次谐波的振幅An和初相角ψn；（2）为研究信号的频谱提供了途径和方便。 自己看： http://www1.gdou.edu.cn/xxxy/dljc/ml.files/dshz/dshzdej001.files/fold1/dshzdej001.htm 回答者：日向あ舞 - 秀才 二级

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

傅里叶级数展开公式是 F^(ω)=∫（上限+∞,下限-∞)f(t)exp(-iωt)dt。傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。来源法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出，从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯- 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

傅里叶级数展开公式是 F^(ω)=∫（上限+∞,下限-∞)f(t)exp(-iωt)dt，傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。相关内容解释：傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶1768年–1830年，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

傅里叶级数 Fourier series 一种特殊的三角级数。法国数学家J.-B.-J.傅里叶在研究偏微分方程的边值问题时提出。从而极大地推动了偏微分方程理论的发展。在中国，程民德最早系统研究多元三角级数与多元傅里叶级数。他首先证明多元三角级数球形和的唯一性定理，并揭示了多元傅里叶级数的里斯 - 博赫纳球形平均的许多特性。傅里叶级数曾极大地推动了偏微分方程理论的发展。在数学物理以及工程中都具有重要的应用。 傅里叶级数的公式 给定一个周期为T的函数x(t)，那么它可以表示为无穷级数： <math>x(t)=sum _{k=-infty}^{+infty}a_kcdot e^{jk(frac{2pi})t}</math>（j为虚数单位）（1） 其中，<math>a_k</math>可以按下式计算： <math>a_k=fracint_x(t)cdot e^{-jk(frac{2pi})t}</math>（2） 注意到<math>f_k(t)=e^{jk(frac{2pi})t}</math>是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，<math>k=pm 1</math>时具有基波频率<math>omega_0=frac{2pi}</math>，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。 傅里叶级数的收敛性 傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 在任何周期内，x(t)须绝对可积； 在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值； 在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。 吉布斯现象：在x(t)的不可导点上，如果我们只取(1)式右边的无穷级数中的有限项作和X(t)，那么X(t)在这些点上会有起伏。一个简单的例子是方波信号。 三角函数族的正交性 所谓的两个不同向量正交是指它们的内积为0，这也就意味着这两个向量之间没有任何相关性,例如，在三维欧氏空间中，互相垂直的向量之间是正交的。事实上，正交是垂直在数学上的的一种抽象化和一般化。一组n个互相正交的向量必然是线形无关的，所以必然可以张成一个n维空间，也就是说，空间中的任何一个向量可以用它们来线形表出。三角函数族的正交性用公式表示出来就是： <math>int _^{2pi}sin (nx)cos (mx) ,dx=0;</math> <math>int _^{2pi}sin (mx)sin (mx) ,dx=0;(m e n)</math> <math>int _^{2pi}cos (mx)cos (mx) ,dx=0;(m e n)</math> <math>int _^{2pi}sin (nx)sin (nx) ,dx=pi;</math> <math>int _^{2pi}cos (nx)cos (nx) ,dx=pi;</math> 奇函数和偶函数 奇函数<math>f_o(x)</math>可以表示为正弦级数，而偶函数<math>f_e(x)</math>则可以表示成余弦级数： <math>f_o(x) = sum _{-infty}^{+infty}b_k sin(kx);</math> <math>f_e(x) = frac+sum _{-infty}^{+infty}a_kcos(kx);</math> 只要注意到欧拉公式: <math>e^{j heta}= sin heta+jcos heta</math>，这些公式便可以很容易从上面傅里叶级数的公式中导出。 广义傅里叶级数 任何正交函数系<math>{ phi(x)}</math>，如果定义在[a,b]上的函数f(x)只具有有限个第一类间断点，那么如果f(x)满足封闭性方程： <math>int _^f^2(x),dx=sum _{k=1}^{infty}c^_</math> (4)， 那么级数<math>sum _{k=1}^{infty} c_kphi _k(x)</math> (5) 必然收敛于f(x)，其中: <math>c_n=int _^f(x)phi_n(x),dx</math> (6)。 事实上，无论（5）时是否收敛，我们总有： <math>int _^f^2(x),dx ge sum _{k=1}^{infty}c^_</math>成立，这称作贝塞尔(Bessel)不等式。此外，式（6）是很容易由正交性推出的，因为对于任意的单位正交基<math>{e_i}^_{i=1}</math>，向量x在<math>e_i</math>上的投影总为<math><x,e_i></math>

给定一个周期为T的函数x(t)，那 么它可以表示为无穷级数： （j为虚数单位）（1）其中，可以按下式计算：（2）注意到；是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率，称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

傅里叶展开式(Fourier expansion)是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现。傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

F^(ω)=∫（上限+∞下限-∞)f(t)exp(-iωt)dt。傅里叶展开式是指用三角级数表示的形式，即一个函数的傅里叶级数，在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f(x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

傅立叶变换的公式为：即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。扩展资料如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

我说个技巧性的方法吧：求三阶行列式的特征值的问题最后会变成求一元三次方程的解。对于一般的一元三次方程组通常不易求解，但考试的时候一般都会给比较特殊的一般题目给出的特征值不会是几分之几倍根号几，一般都是整数通过观察可以得出其中一个解，比如x=1，那么用原多项式除以(x-1)就得到一个二次多项式，再求剩下两个解就简单了

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自然对数：以常数e为底数的对数叫做自然对数记作ln N(N>0).欧拉(Leonhard Euler ,1707-1783)  著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.  著名的七座桥问题也是他解决的。  他是创立数学符号的大师。首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.1727年首先引用e来表示自然对数的底。  欧拉公式有两个  一个是关于多面体的  如凸多面体面数是F顶点数是V棱数是E则V-E+F=2这个2就称欧拉示性数。  另一个是关于级数展开的  e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位i的平方=-1。当x趋近于正无穷或负无穷时，[1+(1/x)]^x的极限就等于e，实际上e就是通过这个极限而发现的。它是个无限不循环小数。其值约等于2.718281828... 它用e表示 以e为底数的对数通常用于㏑ 而且e还是一个超越数 e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。  涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……  螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：  φkρ=αe  其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。  “自然律”之美  “自然律”是e 及由e经过一定变换和复合的形式。e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：  (1+1/x)^x  当X趋近无穷时的极限。  人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究  (1+1/x)^x  X的X次方，当X趋近无穷时的极限。正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。  现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，而且目前还在膨胀，这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律，即热力学第二定律相吻合。熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。这过程看起来像什么？只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。  生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。  “自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。  如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。  e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。“自然律”的形象表达是螺线。螺线的数学表达式通常有下面五种：（1）对数螺线；（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过目前我们仍未找到螺线的通式。对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有， 复变函数中的欧拉幅角公式--将 复数、 指数函数与 三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉 多面体公式；初等数论中的 欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如 分 式公式等等。当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d^2=R^2-2Rr

eix = 1 + i x - x2/2! - i x3/3! + x4/4! + i x5/5! + …　 = (1 - x2/2! + x4/4! + …) + i (x - x3/3! + x5/5! + …)又因为：cos x = 1 - x2/2! + x4/4! + …sin x = x - x3/3! + x5/5! + …所以eix = cos x + i sin x

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来； 拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等

E(X)=∫(从0到1)x×2xdx=∫(从0到1)2x²dx=[2x³/3](从0到1)=(2/3)-0=2/3概率密度f(x)=2x (0<x<1)，其他为0那么积分得到EX=∫(0到1)2x *x dx= 2/3于是E(-2x+1)=-2EX+1= -4/3 +1= -1/3扩展资料：单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。参考资料来源：百度百科-概率密度

粒子的概率流密度公式：Re（f（z））=1/2（f（z）+f*（z））。是微观粒子的束缚态是指受到势场的状态，也就是有势能项的。定态指波函数不含时间项的，也就是粒子状态不随时间变化的。本征态应该是某个表象下，本征函数对应的结果。概率密度为1/（2a）。概率密度等于一段区间(事件的取值范围)的概率除以该段区间的长度，它的值是非负的，可以很大也可以很小。方程左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在V内的概率。第二个曲面积分是概率流出V的通量。总之，方程 表明，粒子在三维区域V内的概率对于时间的微分，加上概率流出三维区域V的通量，两者的总和等于零。