如何理解傅里叶变换公式？

傅里叶反演公式是经典傅里叶反演公式的推广。傅里叶反演公式(Fourier inversion formula)经典傅里叶反演公式的推广.设G为LCA群，亡为G的对偶群.对二EG,YEG,p(G)为G上正定函数全体，fEL"(G)(}p(G),}为f的傅里叶变换，则当G上的哈尔测度d二确定后，亡上的哈尔测度dY可规范化，使之成立公式。其中Y->(x,Y)为G上的特征标.称上面的公式为傅里叶反演公式。

傅氏变换在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅里叶定律傅立叶定律是法国著名科学家傅立叶在1822年提出的一条热力学定律。该定律指在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。傅里叶反演公式傅里叶反演公式是经典傅里叶公式的推广。在数学中，傅里叶反演定理说，对于许多类型的函数，可以从其傅里叶变换中得到原函数。 直观地，它可以被视为，如果我们知道关于波的所有频率和相位信息，那么我们可以精确地重建原始波。傅里叶分析傅里叶分析Fourier analysis 分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质。又称调和分析。在经历了近2个世纪的发展之后，研究领域已从直线群、圆周群扩展到一般的抽象群。关于后者的研究又成为群上的傅里叶分析。傅里叶分析作为数学的一个分支，无论在概念或方法上都广泛地影响着数学其它分支的发展。数学中很多重要思想的形成，都与傅里叶分析的发展过程密切相关。

首先讲一下傅里叶变换的由来和作用: 信号是有很多不同频率的波叠加在一起的，信号越简单叠加的波的频率就越少。如果要使用那些信号关键就是怎么对这些信号进行处理。在时域中看到有些信号波形非常复杂，根本无从下手。这时候有高人发现如果从频域入手分析，就发现这些无规律的信号就变成很有规律了，原来这些复杂的信号都是由很多很多不同的频率的正弦波组成的。 既然如此，时域很复杂无法处理，而在频域很有规律，就更好处理，那就到频域来处理。所以就有这些变换，傅氏变换、拉氏变换、Z变换，只是针对的对象不一样而已，目的都是把信号从时域转到频域。 转到频域后，处理的时候只要设置一些窗口函数(起分离出有用函数的作用)和待处理的频域函数相乘，就把需要的频率分离出来了。但如果先从时域转到频域，与窗口函数相乘(做需要的信号处理)，再把得出结果从频域转到时域，那样就会非常麻烦。这时候又有高人弄出一个叫卷积的东西，时域相乘频域卷积，频域相乘时域卷积。

sinwt的傅里叶变换公式是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。傅里叶变换就是把信号表示成正弦波的叠加。经过傅里叶变换，信号f(t)变为F(w)，F(w)的大小表征了频率为w的正弦波的强度。你的问题是要解释一下为什么这样变换就可以做到这件事。数学上，我们说正弦波是正交的，意思是e^(jwt) e^(-jw"t)积分后是delta函数，w"=w时为无穷大，否则为0。试 类比矢量的正交，设x,y分别是二维空间里两个方向的单位矢量，他们正交是指他们之间的点积x.x=y.y=1, x.y=0。傅里叶变换的相关公式：e^(-jwt) = cos(wt) - jsin(wt)e^(jwt) = cos(wt) + jsin(wt)sin(wt) = (1/2j) [e^(jwt) - e^(-jwt)]cos(wt) = (1/2j) [e^(jwt) + e^(-jwt)]有了以上公式，就可将傅里叶级数、傅里叶变换/反变换等相关公式，改写成“指数形式（e的指数形式）”。它同时展示了一点：e^(jwt) 在复平面中，可以作为一个“基”，因为它已经包含了实轴（实数单位“1”）上和虚轴（虚数单位“j”）上两个正交的“基”。这也从另一个方面解释了，为什么总是可以用之前傅里叶的方法，来“分解”很多函数。

门函数的傅里叶变换和逆变换,负序park变换公式Park变换PID控制器为了更有效地跟踪直流参考信号，需要在Clark变换后使静止、坐标系旋转并变换为d、q坐标系(Park变换也称为2s/2r变换)。SVPWM算法的实现使用静止的坐标系、，因此需要在得到id、iq进行PID运算后，进行Park逆变换后再变换为、坐标系。从数学意义上说，park变换什么都没有。 只是坐标转换。 从abc坐标到dq坐标、ua、ub、uc、ia、ib、ic、磁链a、磁链b、磁链c的量全部转换为dq坐标，根据需要进行逆转换后返回。物理上，park变换是指投影ia、ib、ic的电流，使其与旋转的d、q轴等价，使流过定子的电流与直轴和交叉轴等价。 对于稳态来说，在该等价后，智商、id正好成为常数。从观察者来看，我们的观察点从定子转移到转子上，并不关心定子三个绕组产生的旋转磁场，而是关心其等效后的直轴和交叉轴产生的旋转磁场。 这样，在建立转子电路电磁关系微分方程时，其系数矩阵不是随时间和空间量变化的系数矩阵，而是常数矩阵，大大简化了分析发电机、电动机电磁关系的微分方程。Clark变换是将原三相绕组上的电压电路方程简化为两相绕组上的电压电路方程，从三相定子A-B-C坐标系变换为两相定子-坐标系，也称为3-2变换。但是，Clark变换后转矩也依赖于转子磁通，为了容易控制和计算，对其进行Park变换，如果变换后的坐标系以与转子相同的速度旋转，且d轴转子磁通位置相同，则转矩公式只与有关。从上图可以通过几何变换简单地看到：转换为矩阵：这是一个正方形矩阵，逆矩阵如下：因此，Park的逆变换公式如下。Clark变换和比例系数2/3导出过程见上一篇博客：3359 blog.csdn.net/daidi 1989/article/details/89926324

矩形波的傅里叶变换图形是sinc函数，也就是数学中的Sinx/x函数模型。该函数在x=0时，sinc函数值等于1。傅里叶变换(1807年傅里叶提出概念)：傅里叶变换，表示能够将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。

卷积公式如下：卷积积分公式是（f *g）∧（x）=(x)·(x)，卷积是分析数学中一种重要的运算。设f（x）， g（x）是R1上的两个可积函数，作积分，可以证明，关于几乎所有的x∈（－∞，∞） ，上述积分是存在的。这样，随着x的不同取值 ，这个积分就定义了一个新函数h(x)，称为f与g的卷积，记为h（x）=（f *g）（x）。容易验证，（f *g）（x）=（g *f）（x），并且（f *g）（x）仍为可积函数。简介：卷积与傅里叶变换有着密切的关系。以(x) ，(x)表示L1（R）1中f和g的傅里叶变换，那么有如下的关系成立：（f *g）∧（x）=(x)·(x)，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换。这个关系，使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。由卷积得到的函数（f *g）（x），一般要比f，g都光滑。特别当g为具有紧支集的光滑函数，f 为局部可积时，它们的卷积（f *g）（x）也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数 ， 都可以简单地构造出一列逼近于f 的光滑函数列fs（x），这种方法称为函数的光滑化或正则化。

变换公式：f(t)=cos(wot) F（ω）=π[ δ（ω-ω0）﹢ δ（ω+ω0）]。f(t)=sin(wot) F（ω）=π/j[ δ（ω-ω0）－δ（ω+ω0) ]。傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。需要注意的是：傅里叶定律指在导热过程中，单位时间内通过给定截面的导热量，正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。励磁涌流的发生，很明显是受励磁电压的影响。如果数据点数不是以2为基数的整数次方，处理方法有两种，一种是在原始数据开头或末尾补零，即将数据补到以2为基数的整数次方，这是“补零”的一个用处；第二种是采用以任意数为基数的FFT算法。频谱就是以2*fs为周期的，分辨率依然是1。若是先把F(w)里的w变量换成 t, 得到F(t)再对F(t)进行傅里叶变换。这时，我们可以将图片第二行的等式两边的 t 换成-w, 原来的w换成 t. 得到结果为2πf(-w)。

傅里叶变换是由傅里叶级数推导而来的，傅里叶级数的对象是周期信号，但是如果信号为非周期信号的话(也可视为周期信号的周期无穷大)，就推导出了傅里叶变换！

傅里叶变换, 就是在用一种特殊的正交基(正交函数)在对原函数做线性变换. 简单地说, 我们有一个n维向量a, 我们总可以找到一组n维正交基e1 e2 e3......, 使得a = c1 e1 + c2 e2 + c3 e3 + ........................cn en我们如果想知道这些系数分别是多少, 就可以分别在等式两边用每个正交基做内积, 因为我们知道<ei, ej> = 0 if i!=j,<ei, ej> = 1 if i==j函数 可以看成一个无穷维的向量, 所以如果想要把一个函数用"正交基"来线性表示, 我们就需要使用正交的函数, 像这样的正交函数有很多, 傅里叶所选用的, 是其中一种

第2章 信号分析 本章提要  信号分类  周期信号分析--傅里叶级数  非周期信号分析--傅里叶变换  脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2－1 信号的分类 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。  x( 质量－弹簧系统的力学模型 非确定性信号（随机信号）：给定条件下 取值是不确定的  按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。  信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。 §2－2 周期信号与离散频谱 一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式  周期信号时域表达式 T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” #  傅里叶级数的三角函数展开式 （，…） 傅立叶系数： 式中 T--周期；0--基频, 0=2/T。  三角函数展开式的另一种形式： 周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法  频谱图  周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶 级数并画出频谱图 解： 解： 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式  欧拉公式 或  傅立叶级数的复指数形式  复数傅里叶系数的表达式 其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。  一般cn是个复数。 因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 # 即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。  cn的复指数形式 共轭性还可以表示为 即：cn与c-n模相等，相角相反。  傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0 （等于三角 函数模的一半） 相角相等） 用cn画频谱：双边频谱 第一种：幅频谱图:|cn|-图:n- 相频谱， 第二种：实谱频谱图:Recn-，虚频谱图： Imcn-；也就是an-和-bn-. # §2－3 非周期信号与连续频谱 分两类： a.准周期信号 定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b.瞬变非周期信号 几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成： 定义x(t)的傅里叶变换X(ω) X(ω)的傅里叶反变换x(t):  傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率 连续变化的无数谐波 的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函 数。  对应关系： X()描述了x(t)的频率结构 X()的指数形式为  以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得 X( f ) 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图： 幅值频谱图 相位频谱图 () 实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω ) 如果X()是实函数，可用一张X()图表示。负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为或。 二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性 （二）对称性 （注意翻转） （三）时移性质 （幅值不变，相位随 f 改变±2ft0） （四）频移性质 （注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性 （六）微分性质 （七）卷积性质 （1）卷积定义 （2）卷积定理 三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数： (t) 0) 定义函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值： 脉冲强度（面积） （二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质： xx(t0)(tt0) 函数值： 强度： 结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t) 在脉冲发生时刻的函数值 2.脉冲函数与任意函数乘积的积分等于该函数在脉冲发生时刻的的值。 2． 脉冲函数的卷积性质： (a) 利用结论2 (b) 利用结论2 结论：平移 x(t （三）脉冲函数的频谱 均匀幅值谱 由此导出的其他3个结果 （利用时移性 质） （利用对称性 质） （对上式， 再用频移性质） （四）正弦函数和余弦函数的频谱 余弦函数的频谱  (f) 正弦函数的频谱 (f)

f(t)=2u(t) u(t)为单位阶跃函数 0 (t0)

Φ＝-λA(dt/dx),q＝-λ(dt/dx)热传导定律也称为傅里叶定律，公式为Φ＝-λA(dt/dx),q＝-λ(dt/dx)傅里叶的科学成就，主要在于他对热传导问题的研究，以及他为推进这一方面的研究所引入的数学方法。傅里叶在论文中运用正弦曲线来描述温度分布，并提出一个很有争议性的结论：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。    

这个我也不知道是什么意思，你可以去搜寻一下别人。

快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。设x(n)为N项的复数序列，由DFT变换，任一X（m）的计算都需要N次复数乘法和N-1次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N项复数序列的X（m）,即N点DFT变换大约就需要N2次运算。当N=1024点甚至更多的时候，需要N2=1048576次运算，在FFT中，利用WN的周期性和对称性，把一个N项序列（设N=2k,k为正整数），分为两个N/2项的子序列，每个N/2点DFT变换需要（N/2）2次运算，再用N次运算把两个N/2点的DFT变换组合成一个N点的DFT变换。这样变换以后，总的运算次数就变成N+2（N/2）2=N+N2/2。继续上面的例子，N=1024时，总的运算次数就变成了525312次，节省了大约50%的运算量。而如果我们将这种“一分为二”的思想不断进行下去，直到分成两两一组的DFT运算单元，那么N点的DFT变换就只需要Nlog2N次的运算，N在1024点时，运算量仅有10240次，是先前的直接算法的1%，点数越多，运算量的节约就越大，这就是FFT的优越性.傅里叶变换（TransforméedeFourier）是一种积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。应用傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。概要介绍傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为C.C.Lin&L.A.Segel,MathematicsAppliedtoDeterministicProblemsintheNaturalSciences,MacmillanInc.,NewYork,1974）。傅里叶变换属于谐波分析。傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).

    上一篇文章中讲了一个时域处理的算法wsola，接下来会学习频域处理算法，在这之前必须得对频域有所了解，这就不得不提傅里叶变换了，本文的目的是让大家学会用傅里叶变换公式和傅里叶逆变换公式进行计算。数学公式是人们对世界中的现象的描述，我们学习数学公式也不该只停留在使用公式来解决问题的层次，得明白公式到底在描述什么现象，从这些天才数学家的角度来看世界。懂的地方可跳过。项目地址在文章末尾给出。    我直接说结论，傅里叶级数公式包含了傅里叶变换和傅里叶逆变换（不严谨的说就是这么回事）。     先简单说下具体关系，法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，这种表示方式就是傅里叶级数。假如有个波形比较复杂的周期函数，那么找出能用来构成这个周期函数的正弦函数和余弦函数的频率的方法就叫做傅里叶变换，用这些频率的正弦函数和余弦函数叠加起来表示这个周期函数的方法就叫做傅里叶逆变换。     再从公式中看下他们的关系，首先介绍傅里叶级数到底是什么，首先级数是指将数列的项依次用加号连接起来的函数。这么说可能大家还不理解，举个例子：e^x=1+x/1!+x^2/2!+...x^n/n!....，等号左边是指数函数，等号右边就是级数。傅里叶级数公式如下：     我们主要看这个指数形式的傅里叶级数公式，把求和符号去掉，展开一下就是f(t)=Fa*e^jaω0t+Fb*e^jbω0t+Fc*e^jcω0t+Fd*e^jdω0.....。现在看下面的周期函数叠加效果图，图中显示的是3个周期函数分别在坐标轴（横轴时间，纵轴幅度）的图像，写成傅里叶级数形式就是f(t)=fa(t)+fb(t)+0+0....，这就是傅里叶级数公式要描述的现象。其中Fa*e^jaω0t=fa(t),Fb*e^jbω0t=fb(t),Fc*e^jcω0t=0....。    看下图的傅里叶变换和逆变换公式，你会发现傅里叶逆变换公式和傅里叶级数公式极其相似，而傅里叶级数系数公式Fn又和傅里叶变换公式极其相似。所以对一个周期函数进行傅里叶级数展开的过程可以认为是先做傅里叶变换再做傅里叶逆变换的过程。     上图就是傅里叶变换公式也叫连续傅里叶变换公式，有个很重要的事情，就是傅里叶变换公式和逆变换公式一定要一起给出，不然就会让人误解，你们在网上会看到各种各样的写法，但这些写法都是对的，常见的如下图所示。    为了方便后面的讲解我把角频率ω换成2πf，如上图所示，ω是希腊字母读作Omega，大写是Ω，小写是ω，以后这两个字母会经常看到，都是等于2πf。不要和电学中的电阻单位搞混了，要明白字母只不过是一个符号而已，在不同学科领域都是混着用的，只要不和自己公式中其他字母冲突就行，例如上图傅里叶变换公式中的j其实就是虚数单位i，一般时候我们会把虚数单位写成i，但因为傅立叶变换经常用于电学解决一些问题，为了不和电流符号i混淆，所以公式就把i写成j 。     要想了解傅里叶变换公式，首先要了解欧拉公式e^ix=cosx+isinx在图像中的含义。以实部的值cosx作为横坐标值，虚部sinx的值作为纵坐标值，x的取值从负无穷到正无穷，画出所有的e^ix点后，你会发现这些点会形成一个周期为2π的圆。如下图1所示（如果不理解，建议看3Blue1Brown的视频，视频连接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）     所以欧拉公式e^ix其实就是随着x的增大而在坐标系上逆时针画圆的过程，那么e^-ix就表示顺时针画圆，e^-i2πx就表示画圆的速度提高2π倍，也就是说x从0到1的过程就是顺时针画出一个完整圆的过程（当然x从1到2或者2到3等等，都能画出一个完整的圆），把x换成t后，e^-i2πt表示每秒都会顺时针画出一个圆。e^-i2πft表示每秒都会顺时针画出f个圆。f(t)表示t时刻的振幅，f(t)函数画出来就是时域波形图。f(t)*e^-i2πft表示每经过1秒会顺时针画出f个圆，并在画圆的同时，t时刻的圆半径要乘上t时刻的振幅，其实就是以每秒的音频振幅数据绕f圈的速度进行旋转缠绕（为了方便理解，没有用复杂的音频数据，用的是一个频率为3的正弦波音频做的实验，请看下图2，图的上半部分是时域波形图，图的左下角是f等于0.4的时候，用公式f(t)*e^-i2πft在实部和虚部构成的坐标系画的图，图的右下角是频谱图，频谱图的横坐标是频率，纵坐标是振幅，振幅的值就是左下角图中数据形成的图案的质心（图中的红点）到坐标系原点的距离的2倍）。当改变f的值，你会发现数据大多数时候是和我们想的一样，以坐标系原点为圆心环绕着，也就是振幅一直都是0，但是当f的值，也就每秒的圈数等于该音频数据的频率时，你会发现一个神奇的现象，那就是所有的数据会在实部或虚部坐标轴的一侧形成一个圆（如下图3所示，如此一来就知道这段音频数据包含了一个频率为3振幅为0.5的正弦波）。所以将多个正弦波叠加的音频数据用傅里叶公式，f从负无穷到正无穷遍历一遍，就可以把这个音频数据里包含的正弦波都一一找出来。（如果不理解，建议看3Blue1Brown的视频，视频连接：https://www.bilibili.com/video/BV1pW411J7s8）     平时我们说的对音频进行傅里叶变换处理，其实说的是短时离散傅里叶变换。短时离散傅里叶变换的公式（也可以直接叫做离散傅里叶变换公式）如下。    下面将教大家如何理解这个公式。上面说的连续傅里叶变换公式中有两个原因导致我们无法使用，第一点要求是音频数据的时间从负无穷到正无穷，第二点要求是任意时间t都要有幅度值x(t)才能代入公式进行计算。所以为了解决这两个问题，把公式变为短时且离散的傅里叶变换公式，这个公式可以把一段时间（时间假设为Ts秒）的离散音频数据（有N个采样数据）进行傅里叶变换。你可以把离散傅里叶变换公式理解成连续傅里叶变换的变形，最重要的一点是连续傅里叶变换公式的f和离散傅里叶变换公式的k不是一个意思，他们的关系是k=f*Ts。所以离散傅里叶变换公式也可以写成F(f)=1/n*∑f(t)*e^-j2πf*Ts*n/N，其中的Ts*n/N对应的就是连续傅里叶变换公式的t，只不过这个t没办法取任意时间了，t的取值也就随着n的取值成为了离散的时间点，所以前面的系数由1/2π变为1/N。这样这两个公式就对应起来了。下面将进一步详细介绍这个公式。     上一段说了k=f*Ts，这段我来解释下为什么，其实离散傅里叶变换公式中k表示的是这段Ts秒的音频数据环绕坐标系原点的圈数，所以k并不是连续傅里叶变换公式里的频率f，而频率f指的是1秒钟震荡的次数，在这个公式中频率f也对应着1秒的音频数据环绕的圈数，所以真正的频率f=k/Ts。     有人可能会好奇，那为什么不把离散傅里叶变换公式的自变量k换成f呢，这样不是更好理解吗？是会更好理解，但是没有必要，用f的话还要做一次无用的换算。因为采样点只有N个的原因，k的取值范围就被限制住了，k的取值范围只能是0~N-1的整数，这也是为什么用k来做自变量而不是用f的原因。     还有人可能会好奇，傅里叶逆变换到底是怎么把频域的信息还原回时域的，其实公式计算出来的F(k)是一个复数，这个复数包含了这个频率的周期函数的振幅和相位的信息，假设F(k)=a+ib，，F(k)的模|F(k)|=(a^2+b^2)^1/2，频率f=k/Ts时的振幅为|F(k)|*2（因为求出来的值相当于圆心，但实际上振幅是圆离圆心最远点到坐标原点的距离，所以要乘2），频率f=k/Ts时的相位为arctan(b/a)。所以如果你知道一个周期函数包含了哪些频率的周期函数，并且你这到这些周期函数的振幅和相位，你就可以像下图一样把fa(t)和fb(t)叠加在一起还原回f(t)。傅里叶逆变换的做法略有不同，但意思就是这么个意思，理解了离散傅里叶变换公式的计算，逆变换其实也是差不多代入数值计算就是了。（如果不理解怎么用离散傅里叶变换公式计算，建议看视频，视频里有离散傅里叶变换完整的计算过程，视频连接：https://www.zhihu.com/zvideo/1276595628009377792） 快速傅里叶变换推荐看下面两个视频 https://www.bilibili.com/video/BV1za411F76U https://www.bilibili.com/video/BV1Jh411d7CN 下面是我用java实现的离散傅里叶变换及逆变换和快速傅里叶变换及逆变换，从他们的运行时间就可以看出来快速傅里叶变换快得多。（学完快速傅里叶变换再想想频谱为何Y轴对称？为何N/2对称？）

傅里叶积分公式如下：①在任一有限区间都连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值。②在(-∞，+∞)上绝对可积，即有限；则定义[f(x)→C(ω)]。为 f(x)的（复）傅里叶变换；记C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，称 C(ω)为（复）傅里叶变换像函数。傅里叶积分是一种积分在运算过程中的变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。以傅里叶变换为工具，研究函数的许多性质，是傅里叶分析的主要内容。傅里叶变换在数学、物理以及工程技术中都有重要的应用。当一个非常复杂的函数变成多个初等正弦函数相加时，它的积分比之前对复杂函数的积分变得简单多了。法国数学家傅里叶发现了周期函数可以用一系列正弦函数组成的级数表示。先把函数作傅里叶变换，然后再利用莱布尼茨公式即可求出结果。定理：在上面定义的基础上，可以证明在间断点，右边的积分收敛到f(x)在该点左右极限的平均值。该积分为 f(x)的傅里叶复积分；f(x)为 C(ω)的（傅里叶逆变换 C(ω)→f(x)）原函数。

同问。。。

不知道你所说的傅氏变换是否就是Fourier变换，如是，则此题出的很有问题啊。Fourier变换的前提：函数必须在（-∞，+∞）上有定义，且在此区域上绝对可积，而正弦、余统函数均不满足第2个条件。在Fourier变换简表中，正余弦函数都是乘以u(t)后才可进行Fourier变换的。如本题函数乘以u(t)，则costsint=(1/2)sin(2t)，可套用下列变换公式u(t)*sint(at)的Fourier变换为a/(a^2-w^2)+∏[δ(w-a)+δ(w+a)]/(2i)

在上一篇中 通俗易懂的傅里叶级数和傅里叶变换(一) 中简单介绍了什么是傅里叶级数，最后得到了在周期为 的傅里叶级数的系数解，那么如何得到任意周期的傅里叶级数呢？ 我们先看在周期为 的函数傅里叶级数表达: 其对应的解为：如何将其变为任意周期的函数呢？ 其实这里只需要简单的换元操作即可。 举个栗子: 其周期为 , 。我们令 ,则 ,整理下: 所以在对于t来说就变换成了周期为 的函数。 so对于周期为 （方便计算）的函数f(t) 只需令 带入原周期为 的函数即可： 同样的可以得到：最后我们得到:过程很简单，我就省略了，毕竟人生苦短。 我们在写一下傅里叶级数的公式： 其中T代表函数的周期，也就是上面的2L，对应的解就是:想要得到傅里叶级数的复数形式，需要先了解下欧拉公式。 关于欧拉公式，网上有很多的博客，这里就不细说了，只是简单说下欧拉公式的本质。 我们先看下公式：可以看作是复平面上的一个向量，其到实轴的投影是 ，到虚轴的投影是 ，其中 便是向量与实轴的夹角。而欧拉公式的直观理解就是在复平面上做圆周运动 随着 变化， 就变成圆周运动了。而前面的系数a则是圆的半径，当a=1的时候就是在单位圆上做圆周运动。 而且通过欧拉公式，我们可以得到三角函数的复数形式：将上面的复变三角函数替换傅里叶级数中的三角函数得到: 我们令 中的n为-n 则得到： 所以可以看到n的范围变成了 到 ，并且每一项都有 ，于是我们可以得到一个漂亮的形式：其中 分为3中情况：我们将傅里叶级数之前的解带入上边这里因为cos是偶函数，sin是奇函数所以：可以惊奇的发现，三种情况的解是一样的。所以对于任意周期函数，我们都可以写成: 但其中的每一项是什么意思呢？ 还记得之前说的 的本质吗？在圆上做圆周运动，那么 也是在做周期运动了。那 又是什么呢？ 我们知道 ，所以我们可以把 看成是以 为单位的频率(正常来讲频率是 )。而系数 是就可以看成是几倍的基频，正数是逆时针运动，负数就是顺时针运动。在图形上的反应就是，频率越高，转的越快了 ，但其最小公共周期是一样的。 1倍基频那么系数 怎么理解呢？前面说过 的系数a是代表 运动的圆半径，这里 是复数是不是也能这样理解呢？其实粗糙来讲是可以这样理解的。 看个图，只管的理解下把上图中红色的向量相对于蓝色的向量只是多了系数 ,所以红色向量运动的半径就是2刚好是复数 的模长乘以1，当然除此之外，红色向量的幅角也变大了些。这些都是因为复数的乘法性质---复数相乘表现为幅角相加，模长相乘。 这下，当有人和你说傅里叶变换是把时域变换到频域上，你应该就很容易理解是什么意思了。频域就是1倍，2倍，3倍.......的 ,而每个 都有自己的幅长 ,当把这些所有的 相加，就得到时域中的图像。 更加生动有趣的介绍可以参见 傅里叶分析之掐死教程 ，我这里是从数学的角度来介绍傅里叶变换。 目前该证明的都差不多了，还有最后一个任务，就是推广到非周期函数上。对于非周期函数，我们可以看成是周期无限远的函数，那也就是周期T变成 的时候傅里叶级数。随则T的变大 也就不断的减小，当T趋近于 的时候， 也由 变成了 ，那么很自然就需要对 做积分。 我们先看下当T趋近于 的时候 我们可以得到： 将这些带入 傅里叶级数,并且T趋近于 ，就得到: 其中画红圈的地方就是傅里叶变换而整个公式就是傅里叶逆变换，写成：以上就是傅里叶变换的全部内容，如果你喜欢的话就点个赞。有时间的话，我会写些傅里叶变换的应用。

f（x）＝a0 ＋ a1＊cos（wx） ＋ a2＊cos（2wx） ＋ ．．．＋ b1＊sin（wx） ＋b2＊sin（2wx） ＋．．．所以f（－x）＝a0 ＋ a1＊cos（－wx） ＋ a2＊cos（－2wx） ＋ ．．．＋ b1＊sin（－wx） ＋b2＊sin（－2wx） ＋．．．cos是偶函数，sin是奇函数，所以f（－x）＝a0 ＋ a1＊cos（wx） ＋ a2＊cos（2wx） ＋ ．．．－ b1＊sin（wx） －b2＊sin（2wx） ＋．．．所以f（－x）的a0＇就是a0，an＇就是an，但是bn＇＝－bn扩展资料：傅里叶级数的公式：给定一个周期为T的函数x(t)，那 么它可以表示为无穷级数：（j为虚数单位）（1）其中， 可以按下式计算：（2）注意到是周期为T的函数，故k 取不同值时的周期信号具有谐波关系（即它们都具有一个共同周期T）。k=0时，（1）式中对应的这一项称为直流分量，k=1时具有基波频率称为一次谐波或基波，类似的有二次谐波，三次谐波等等。

反演是地球物理中的重要领域。依据地球表面观测到的各种地球物理场资料，通过计算去推断地球内部的结构、物质组成和动力学过程。可以说地球物理学从诞生起便踏着反演的进步路径在发展。1.地球物理反演理论的发展地球物理学中的反演问题最早主要是针对地球内部结构的探索。1907年赫格罗斯（Herglotz）首先由地球物理资料的定量分析提出了地震波走时数据的反演；1909年莫霍洛维奇（MohorovicicA.）发现地壳与地幔之间的一级不连续面；1912年古登堡（Guten-berg）发现古登堡面；1923年康拉德（Conrad）发现地壳中间界面；1935年莱曼（Leh-mann）发现地球内核和外核的分界面。这些人在地球物理学发展史上均写下了不朽的篇章，对地球物理反演学术思想的形成和发展起到极大的推动作用。20世纪50年代前后，随着观测技术的不断提高，人们对地球内部的认识不断深化，地球内部圈层有了基本模型。由于电子计算机的使用，使得已发展起来的试错法和拟合法可以通过计算机来实现。到了60年代地球物理工作者已可以利用电子计算机对地球模型参数进行自动的修正反演，即发展为自动拟合法或最优化法。1970年以前地球物理反演研究的主要特点：（1）采用均匀各向同性地球模型；（2）反演问题在数学上仅涉及微积分或古典积分方程；（3）观测数据与假定模型正演计算结果等同；（4）对解的不唯一性未做深入分析，而是以观测数据与用推测模型求得结果进行类比；（5）在计算技术上仅涉及了初等数值分析，如数值微积分、最小二乘法解超定方程组等。20世纪60年代由于各类运用于计算的新算法不断涌现，快速傅里叶（Fourier）变换和高速褶积的广泛应用，基于二次曲面分割的地球模型已不能满足新的要求，而迫使地球物理反演计算必须提高分辨率。因此反演理论在70年代前后发展迅速，并做出了重要贡献（Backusetal.，1967，1968，1970）。巴库斯和吉伯特（一位是地球物理学家，另一位是数学家）的地球物理反演理论（BG理论）是建立在模型为连续的情况下，故必导致方程组欠定，难于在快速电子计算机上实现。为此，维津斯（Wiggins，1972）和杰克逊（Jackson，1972）先后提出了与BG理论相应的广义反演方法。后经帕克（Parker，1976）等人的整理与推广，使BG理论在20世纪70年代后期得到广泛应用。基于勘探地球物理学的快速发展，20世纪80年代以来的偏微分方程反演进一步得到发展。20世纪90年代以来，非线性理论在自然科学各个领域均得到极大重视，当然这要比线性反演复杂得多。我国在地球物理反演理论和方法研究方面起步较晚。BG理论于20世纪70年代引入我国，并在解决某些地球物理数据分析中得以应用。2.地球物理反演中解的不唯一性原因分析地球物理学可以根据地面或者高空的观测资料（如来自深部的地震波、电磁场、热流、重力场等）来推断地下的结构、构造和物质属性等情况，即地球物理学中的反演或反问题（InversionProblem）。在各种地球物理场（重、磁、电、热）给出的数据中，虽然含有地下各种物性结构的信息，但在对数据进行计算与解释（即反演）的过程中，即便是使用同样的资料，所得的答案却不尽相同。这是反演的多解性，或解的非唯一性。造成反演多解的原因，有数学上的问题，如解法不稳定、观测误差等，但其根本的原因是不可能得到地球深部直接的观测数据，而仅靠地面的观测资料，其“信息”量是不够的。地震波虽然可以穿透地球，带来深部的三维信息，但地震图震相识别仍有很大的不确定性。为此，不论是一维、二维还是三维或四维反演，减少多解性都需要对各种地质地球物理资料进行综合分析，加强对地震图记录的震相识别，需要依据丰富的资料，即在多因素约束下提出科学而又合理的初始模型，并对反演进行约束。反演问题是地球物理学中理论与方法核心问题之一。

拉普拉斯变换法(method of Laplace transform)求解常系数线性常微分方程的一个重要方法。[1]运用拉普拉斯变换将常系数线性常微分方程的求解问题化为线性代数方程或方程组求解问题时，可把初始条件一起考虑在内，不必求出通解再求特解，这在工程技术中有广泛的应用。中文名拉普拉斯变换法外文名method of Laplace transform定义求解常系数线性常微分方程的方法应用领域工程技术应用学科数学快速导航逆变换性质和定理应用实例工程学的应用形式定义对于所有实数，函数f(t)的拉普拉斯变换是函数F(s)，定义为：[1]参数s是一个复数：为实数。拉普拉斯变换的其他表示法中使用而非F。 是一个运算符号。积分的含义取决于函数的类型。该积分存在的一个必要条件是在f必须在上局部可积。对在无穷大处衰减的局部可积函数或指数式，该积分可以理解为（恰当）勒贝格积分。然而，在很多应用中有必要将其视作在处条件收敛的反常积分。更一般的，积分可以在较弱的意义上理解，在下面会去处理。可以用勒贝格积分定义拉普拉斯变换为有限博雷尔测度一种特殊情况是当为概率测度，或者更具体地说，是[[狄拉克函数]]时。在运算微积中，拉普拉斯变换的测度常常被视作由分布函数f带来的测度。在这种情况下，为了避免混淆，一般写作其中是 0的下限的简化符号这个极限强调任何位于 0 的质点都被拉普拉斯变换完全捕获。虽然使用勒贝格积分，没有必要取这个极限，但它可以更自然地与拉普拉斯–斯蒂尔吉斯变换建立联系。逆变换两个相异的可积函数，只有在其差的勒贝格测度为零时，才会有相同的拉普拉斯变换。因此以转换的角度而言，存在其反转换。包括可积分函数在内，拉普拉斯变换是单射映射，将一个函数空间映射到其他的函数空间。典型的函数空间包括有界连续函数、函数空间L(0, ∞)、或是更广义，在 (0, ∞) 区间内的缓增广义函数（函数的最坏情形是多项式增长）。[1]拉普拉斯逆变换有许多不同的名称，如维奇积分、傅立叶-梅林积分、梅林逆公式，是一个复积分：其中是一个使F(s)的积分路径在收敛域内的实数。另一个拉普拉斯逆变换的公式是由Post反演公式而来。在实务上一般会配合查表，将函数的拉普拉斯变换分换为许多已知函数的拉普拉斯变换，再利用观察的方式产生其拉普拉斯逆变换。在微分方程中会用到拉普拉斯逆变换，会比用傅里叶转换的处理方式要简单。

二者的敛散性是一样的。标准形式是从n=0开始。n从1开始可以统一到n从0开始的形式，例如∑〔n从1开始〕1/n_=∑〔n从0开始〕1/（n+1）_。如果说到∑〔n从0开始〕1/（n+1）_与∑〔n从1开始〕1/（n+1）_，二者的敛散性是一样的，即求收敛半径时，没有影响，有影响的是二者的和。这一点，对一般的an也是这样。

对一个地区的地电断面有了充分的定性解释，并分清了曲线的类型后，就可以进行定量解释，以求出地电断面的各种参数。对电测深曲线做定量解释的方法主要有量板解释法、计算机自动反演解释法以及其他各种经验解释方法。这里重点介绍前两种方法。（一）量板法量板法就是利用理论曲线对实测曲线进行对比求解的方法，它是电测深资料定量解释的主要手段。对于三层以上的曲线，在解释前必须用电测井资料，或井旁测深资料，或通过对岩石露头、标本的测定结果，确定出中间层的电阻率，才能对资料做出较准确的解释。电测深理论曲线都是根据一定的假设条件，利用公式计算出来的。将这些理论曲线按一定分类标准集合成许多曲线簇，每一簇曲线绘在一张纸上，就构成了电测深量板。推导ρS理论公式的假设条件是：地形水平，所研究岩层为具有一定厚度的均匀各向同性水平层，各层间具有一定的电阻率差异，测量电极距MN→0。因此，在应用量板进行定量解释时，实际条件应尽量接近这些假设条件；否则，解释的结果将产生较大的误差。二层介质的ρS值为极距 及断面参量ρ1、ρ2和h1的函数，即地球物理勘探概论当MN→0时，若电阻率参量和几何参数分别以ρ1和h1为单位，上式可写成地球物理勘探概论式中：μ2＝ρ2/ρ1。电测深理论曲线就是此函数的图形。图4-1-20为G型（ρ1＜ρ2）和D型量板（ρ1＞ρ2），量板中圆圈内的数值表示μ2的值。用类似的方法，我们可以写出三层理论曲线的表达式地球物理勘探概论式中：μ2＝（ρ2/ρ1）；μ3＝（ρ3/ρ2）；γ2＝（h2/h1）。电测深理论曲线是画在模数为6.25cm的双对数坐标纸上的，其横轴为 、纵轴为 。它与画在同样坐标纸上横轴为 、纵轴为ρS的实测曲线的关系是：理论曲线的纵坐标平移了ρ1距离，横坐标平移了h1距离。当两坐标系统的曲线重合后，理论曲线的坐标原点在实测曲线坐标系统上的纵、横坐标分别为ρ1和h1。以二层曲线的解释为例，图4-1-21中的实测曲线（实线）位于μ2分别为4和5的两条理论曲线（虚线）之间。这时理论曲线的坐标原点（图中十字线的交叉点）在实测曲线坐标轴上的横坐标为h1，纵坐标为ρ1处。根据实测曲线的位置，若取μ2＝5；于是第二层电阻率由ρ2＝ρ·μ2算出。（二）计算机自动反演解释法近年来，用电子计算机对水平层电测深曲线进行数字解释发展较快，已经提出了很多方法。其中用最优化法拟合电阻率转换函数的解释方法用得较广，下面简述其原理。当MN→0时，水平层状介质对称四极测深视电阻率的积分表达式为地球物理勘探概论式中：r＝AB/2；λ为积分变量；T（λ）称为电阻率转换函数，它取决于各电性的参数ρ1、h1，…，ρn－1、hn－1、ρn；J1（λr）称为一阶贝塞尔函数。利用傅里叶-贝塞尔积分变换公式可将上式变为地球物理勘探概论将式（4-1-16）变成离散化的形式，就可以用数字滤波方法通过实测视电阻率曲线计算电阻率转换函数，然后用最优化方法对该函数求取层参数。大致过程是：先根据实际情况，给定一组层参数（初值），算出T函数的理论值TL（λ），将它与实际的T（λ）比较，计算二者的差值，并根据此差值修改层参数；再计算理论值，再做比较，再修改层参数，直至计算的TL（λ）与T（λ）之差在规定的误差范围内为止。便将此时理论值所对应的层参数ρ1，h1，…，ρn－1，hn－1，ρn作为解释结果。图4-1-20 水平二层电测深曲线量板（a）G型量板；（b）G型量板图4-1-21 用二层量板解释二层电测深曲线除了上述方法外，还可以直接拟合视电阻率理论曲线，或利用电阻率转换函数的递推性质，用消层的办法，进行逐层解释。利用计算机对电测深曲线进行解释具有很多优点。譬如：计算速度快，可进行正、反演问题的计算，能够解释较多的电性层，计算机数字拟合比手工对量板的精度高，等。

其实是非常简单的，你只需要把公式展开就是可以的。

傅立叶变换的公式为：即余弦正弦和余弦函数的傅里叶变换如下：傅立叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅立叶变换和离散傅立叶变换。最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。傅立叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。扩展资料如果t满足狄里赫莱条件：在一个以2T为周期内f(X)连续或只有有限个第一类间断点，附f（x）单调或可划分成有限个单调区间，则F（x）以2T为周期的傅里叶级数收敛，和函数S（x）也是以2T为周期的周期函数，且在这些间断点上，函数是有限值。在一个周期内具有有限个极值点、绝对可积。傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小）。为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数定义在离散点上而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。参考资料来源：百度百科-傅里叶变换

离散傅里叶变换常用公式表是：cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。傅里叶变换，表示能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅立叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。Fourier transform或Transformée de Fourier有多个中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“付立叶变换”、“傅立叶转换”、“傅氏转换”、“傅氏变换”、等等。傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅立叶变换用正弦波作为信号的成分。傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布。论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)。当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

傅里叶变换是由傅里叶级数推导而来的，傅里叶级数的对象是周期信号，但是如果信号为非周期信号的话(也可视为周期信号的周期无穷大)，就推导出了傅里叶变换！

sinwt的傅里叶变换公式是cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。变换提出傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

sinwt的傅里叶变换公式是cosωbai0t=[exp(jω0t)+exp(-jω0t)]/2。计算离散傅里叶变换的快速方法，有按时间抽取的FFT算法和按频率抽取的FFT算法。前者是将时域信号序列按偶奇分排，后者是将频域信号序列按偶奇分排。它们都借助于的两个特点：一是周期性；二是对称性，这里符号*代表其共轭。这样，便可以把离散傅里叶变换的计算分成若干步进行，计算效率大为提高。变换提出傅里叶是一位法国数学家和物理学家的名字，英语原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier对热传递很感兴趣，于1807年在法国科学学会上发表了一篇论文，运用正弦曲线来描述温度分布，论文里有个在当时具有争议性的决断：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成。当时审查这个论文的人，其中有两位是历史上著名的数学家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827)，当拉普拉斯和其它审查者投票通过并要发表这个论文时，拉格朗日坚决反对，在他此后生命的六年中，拉格朗日坚持认为傅里叶的方法无法表示带有棱角的信号，如在方波中出现非连续变化斜率。法国科学学会屈服于拉格朗日的威望，拒绝了傅里叶的工作，幸运的是，傅里叶还有其它事情可忙，他参加了政治运动，随拿破仑远征埃及，法国大革命后因会被推上断头台而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年这个论文才被发表出来。

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

傅里叶级数展开公式如下：傅里叶级数像三角波，矩形波，梯形波这种波形不连续，因此在仿真软件中很容易出现计算不收敛的情况。所以，在这种情况下，利用一系列谐波叠加的形式来等价于原来的波形，可以很好的优化模型。傅里叶展开式收敛性判别至今还没有判断傅里叶级数的收敛性充分必要条件，但是对于实际问题中出现的函数，有很多种判别条件可用于判断收敛性。比如x(t)的可微性或级数的一致收敛性。在闭区间上满足狄利克雷条件的函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利克雷条件如下：在定义区间上，x(t)须绝对可积；在任一有限区间中，x(t)只能取有限个极值点；在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。以上资料参考：百度百科-傅里叶展开式

a0=1/μ∫f（x）dxan=1/μ∫f（x）cosnx/μdxbn=1/μ∫f（x）sinnx/μdx积分区间为（-μ，μ）μ可以等于π

傅里叶级数相当于按照余弦或者正弦展开式 泰勒公式：可以按照任意函数展开

傅里叶展开式系数公式是Y=D+A·sin，傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现，傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

傅里叶变换和傅里叶级数，在高等数学和工程数学里都有。可以参考同济大学编写的《高等数学》（推荐第五版或第六版）和华中科技大学的出版的《复变函数与积分变换》。这两本书都比较有代表性。

傅里叶是法国数学家.傅里叶发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示,从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数.傅里叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始.傅里叶变换用于将复杂信号分解为正弦或余弦三角函数的组合.在电能质量分析及谐波检测中,利用傅里叶变换可以准确的获取信号的频率构造,对复杂信号进行定量分析和进行准确的数学描述.

记住积化和差公式sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2如果觉得不容易记就把sin(a+b)，sin(a-b)展开

不妨先想想平面向量的正交分解。前者是函数在三角函数空间span{1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,……}下的分解，各项系数就是在各个分量上的投影。而Taylor级数则是在多项式空间span{1,x,x^2,……}下的分解。

傅里叶分析不仅仅是一个数学工具，更是一种可以彻底颠覆一个人以前世界观的思维模式。但不幸的是，傅里叶分析的公式看起来太复杂了，所以很多大一新生上来就懵圈并从此对它深恶痛绝。老实说，这么有意思的东西居然成了大学里的杀手课程，不得不归咎于编教材的人实在是太严肃了。（您把教材写得好玩一点会死吗？会死吗？）所以我一直想写一个有意思的文章来解释傅里叶分析，有可能的话高中生都能看懂的那种。所以，不管读到这里的您从事何种工作，我保证您都能看懂，并且一定将体会到通过傅里叶分析看到世界另一个样子时的快感。至于对于已经有一定基础的朋友，也希望不要看到会的地方就急忙往后翻，仔细读一定会有新的发现。发现一篇文章不错，给你参考下http://www.openhw.org/module/forum/thread-595745-1-1.html

书上应该是说如果x*(t)=x(t),即x(t)为实信号，则有a(-k)=a*(k），你再看看书、、、、

意思是矩形信号的傅里叶变换的主瓣宽度吗

请问你求an的公式对了吗? 我看了一下,你的公式没有错!他是以2l为周期的函数展开式的公式其中L=pai/2代入就是an=(2/π)f(x)cos2nxdx在-π/2→π/2上的积分=(2/π)f(x)cos2nxdx在0→π上的积分所以我觉得是答案印刷上的错误吧!相信自己!

正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。热传导定律也称为傅里叶定律，表明单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。 我们可以用两种等效的形式来表述这个定律：整体形式以及差分形式。

delta函数不能做傅里叶变换的原因：只有冲激函数和阶跃函数能够用傅里叶公式转换。函数与e的复指数（或者是三角函数）是一对傅立叶变换的共轭函数。利用复数形式的傅里叶变换，其中，因此δ函数的傅里叶积分是根据δ函数的定义，δ函数并不是通常意义下的一般函数，应当看作一种函数列的极限或者泛函，因此δ函数的傅里叶积分也不是通常意义的傅里叶积分而是一种广义的傅里叶积分。理解严格来说δ函数不能算是一个函数，因为满足以上条件的函数是不存在的。数学上，人们为这类函数引入了广义函数的概念，在广义函数的理论中，δ函数的确切意义应该是在积分意义下来理解。在实际应用中，δ函数总是伴随着积分一起出现。δ分布在偏微分方程、数学物理方法、傅立叶分析和概率论里都有很重要的应用。

级数展开公式是：即一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。若函数f(x)的傅里叶级数处处收敛于f (x)，则此级数称为f(x)的傅里叶展开式。傅里叶展开式是一个函数的傅里叶级数在它收敛于此函数本身时的一种称呼。而傅里叶级数得名于法国数学家约瑟夫·傅里叶(1768年–1830年)，他提出任何函数都可以展开为三角级数。此前数学家如拉格朗日等已经找到了一些非周期函数的三角级数展开，而认定一个函数有三角级数展开之后，通过积分方法计算其系数的公式，欧拉、达朗贝尔和克莱罗早已发现。傅里叶的工作得到了丹尼尔·伯努利的赞助。傅里叶介入三角级数用来解热传导方程，其最初论文在1807年经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德评审后被拒绝出版，他被称为傅里叶逆转定理的理论后来发表于1820年的《热的解析理论》中。将周期函数分解为简单振荡函数的总和的最早想法，可以追溯至公元前3世纪古代天文学家的均轮和本轮学说。

题不全

　　傅里叶级数在热学中的意义：　　傅里叶级数可以表示在某点出现电子的概率。　　傅立叶定律是传热学中的一个基本定律，可以用来计算热量的传导量。　　相关的公式为:Φ＝-λA(dt/dx),q＝-λ(dt/dx)　　其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A为传热面积，单位为m^2,t为温度，单位为K,x为在导热面上的坐标，单位为m,q为热流密度，单位为W/m^2,负号表示传热方向与温度梯度方向相反,λ表征材料导热性能的物性参数（λ越大，导热性能越好）。

你要哪个欧拉公式..有很多，应该是这个吧e^ix=cosx+isinx.傅里叶级数：http://baike.baidu.com/albums/287462/287462.html#0$8640bf8b28b5763e9e2fb482