数学

分离变量 dy/y＝＋－dx两边同时积分 ∫dy/y=＋－∫dxIny=＋－x+Cy=e+－∧x＋C以上正确别忘记y(0)=0 （已知）x趋于无穷y=0（已知）带入y=e∧（x＋C） and y=e∧（-x＋C）这样才能确定c=0 故 y=e∧－x

你好呀

水是我们人类不可缺少的一部分，每天都要补充大量水份。可是，随着全球污染加剧，地球上的淡水越来越少；再加上全球气温逐渐变暖，未来地球人的日子更是雪上加霜。我有两个水故事，让我来告诉大家平时节约用水的好方法和我们每一个人节约水资源的重要性。 家中的水故事 现在的我变得懂事了。原来我那些衣服都是甩给妈妈洗，而如今我会自己洗衣服。可是妈妈总是不让我洗衣服，我又不是三岁的小孩了，而是一个小大人啊。终于有一次，我忍不住在妈妈洗衣服的时候，问她：“妈妈，我已经是初中生了，为什么你总不让我洗衣服呢？”“妈妈会让你洗，但你每次洗的时候总浪费水，要知道现在的淡水越来越少，而你每次都哗哗放水，洗了一遍又一遍，我不说，你就这样一直洗下去，是很干净，但你想想未来地球一滴水也没有人类怎么生存？”听了妈妈的话，我顿时觉悟，低下头。是啊，我们现在的水是多么宝贵。这时，妈妈拉住我的手，说：“妈妈来教你节约水的好方法。”我的眼睛突然一亮：“快点教我!”“其实很简单，你在洗热水澡时，前面一段水是冷的，这时候，你就应该拿水桶，把这一截水先接下来，这样满满一大桶水，我们可以用来洗衣服洗菜擦桌子。”这方法还真好，我怎么就没想到呢？这接下来的水既干净又实用，一举两得啊！“其实，节约水的方法很多，就是要靠平时观察生活，积累爱水、护水和节水的经验。”我点了点头，连连称是。从那以后我掌握了好多节水的方法，衣服洗完的水我用来拖地、冲卫生间、浇花，节约了水同时也节约了家庭开支。这就是我的水故事之一。 学校的水故事 在小学五年级的时候，我们班举行了一个“世上的最后一滴水”的班会活动。老师先开了个头：“今天，我们就来讨论最后的一滴水该如何处置。”话音刚落，同学纷纷举起手来。有的说，把这滴水给为保护地球环境奉献一生的人；有的说，把它给沙漠之中的植物，让它们长出汁水给我们人类喝；有的说，把它给云，让它下场大雨给我们水,煮一煮就可以喝了…….而我却不想说话，因为我清楚，这一滴水是不可能救活地球上的人类和其他生物。一场争辩会就要结束了，老师最后点破了活动的主题：“其实，最后一滴水已经没有用了。因为到那时，一切都挽救不了地球缺水的灾难。所以从现在开始，我们每一个人都得做出行动，节约每一滴水，保护我们珍贵的水资源，不要出现最后一滴水的悲惨结局。”至今，我对这场讨论会仍旧记忆犹新。 是呀，要想营造人类生存的良好环境，节约用水、保护水源是最重要的。所以，我们每一个人一定要携起手来，为了我们的子孙后代，共同保护人类赖以生存的水资yuan 一）节约用水 你能想象没有了水的生活吗？你能想象失去了水的生命吗？ 你能想象这世上没有了海洋，鱼儿没有了家乡吗？ 你能想象这富饶的土地变成沙漠吗？ 你可知道，打你随手拧紧一个未关的水龙头时，你就拯救了一片海洋；你可知道，当你将一盆水重复利用时，你就拯救了数不清的生命……拯救我们的地球，拯救我们的生命，节约用水吧，否则，地球上的最后一滴水，将是人类的最后一滴泪！如果你不想看到这一切发生，那就要学会节约用水！（二）节水靠大家一直以来，我家都有节水妙法：那就把水笼头拧开一点点，让水一滴一滴漏下来，水表当然不转，那么水费不用那么多钱。不过，这种家家都用的节水方法，其实不节水，而是在浪费水。前一段时间，深圳晚报上还说，这样滴法，一个水笼头一个月就要浪费1.5吨水。从那以后，我家才真正人人参与节水行动。一个星期后，爸爸、妈妈和我都在家庭民主生活会上，交流了自己的节水妙法。妈妈首先发言：“我在厨房里放了一个大水桶，洗菜、洗米、拖地的水就贮存在大水桶里，用来浇花，每天能节水三四桶。”大家鼓掌！爸爸不甘落后地说：“每天晚上，我用洗衣机脱出来的水洗汽车，每天就能节水五六桶。”大家热烈鼓掌！爸爸、妈妈都用深情的目光望着我。我迫不及待地说：“我有一天上午参加了节水行动。”爸爸生气地说：“节水是长期的事，能么只做一天就算了呢？”妈妈安慰我说：“玲玲还小，志在参与嘛。”我反驳他们说：“我在抽水马桶的水箱里，放了一排红砖，水箱的容水量减少了一半。以后大家多用马桶，我节水的多少就靠大家啦！”家里哄堂大笑，掌声经久不息！1节约水资源，保护全世界每年的节水日是3月22日，至3月28日，它的意义在于告诉人们节水的重要性。 地球的储水量是很丰富的，共有14.5亿立方千米之多。但是其中海水却占了97.2%，陆地淡水仅占2.8%，面与人类生活最密切的江河、淡水湖和浅层地下水等淡水，又仅占淡水储量的0.34%。更令人担忧的是，这数量极有限的淡水，正越来越多地受到污染。据科学界估计，全世界有半数以上的国家和地区缺乏饮用水，特别是经济欠发达的第三世界国家，目前已有70％，即17亿人喝不上清洁水，世界已有将近80％人口受到水荒的威胁。我国人均淡水为世界人均水平的四分之一，属于缺水国家。，全国已有300多个城市缺水，已有29％的人正在饮用不良水，其中已有7000万人正在饮用高氟水。每年因缺水而造成的经济损失达100多亿元，因水污染而造成的经济损失更达400多亿元。 可怕的数据表明：水资源短缺成了当今世界面临的重大危机。因此，保护和更有效合理利用水资源，是世界各国政府面临的一项紧迫任务。那么，怎样才能保护和更有效地合理利用水资源呢？从环境角度来说，最完善的措施是拦水和调水。改变水资源的时空分布。但这只是一个方面，而对于人类来说，更重要的是注重节约用水，提高水资源利用率：在工业方面提倡节水产业，控制污染物的排放，加强废水处理；在农业方面应采用先进的灌溉方式（喷灌、滴灌）等。水是生命的基础，它不仅关系到人类生活的质量，还影响到人类的生存能力。所以增强水的危机意识，珍惜水，节约水，保护水资源，才是当务之急。 为此，我们国家制定了相应的节水措施， 我国国家建设部决定每年6月份的第二周作为全国城市节约用水宣传周，目的是认真贯彻《中华人民共和国水法》和国务院关于《城市节约用水管理规定》，从而增强人们计划用水，节约用水的观念。 如何节水呢？有以下几种方法： 1、节水为荣——随时关紧水龙头 2、一水多用——充分利用每一滴水 3、阻止滴漏——检查维修水龙头 4、监护水源——保护水源就是保护生命 5、少用洗涤剂——减少水污染 6、植树造林——涵养水源 7、积极宣传——让每个人都投入到节水的“战斗”中 当然，这是远远不够的，但是这些方法是每一个人都能够做到的。 我们都希望生活在一个充满鸟语花香的世界里，而水是万物之需。所以让我们从现在开始，维护整个地球，维护整个世界。节约水资源，保护全世界！ 2、小学水平的 “如果地球上只剩下最后一滴水，那就是我们的眼泪。”每当看到这句为人们及时敲响警钟的经典语句，我便想起两年前一件令我醒悟的小事。 两年前的一天，我和同学在踢毽子，累了，我就朝学校洗手间跑去。拧开水龙头，我将脏乎乎的手伸了过去，那清澈的水流在我的脏手上，我的手很快就干净了。我不禁来了兴趣，用手堵住了水龙头，水就像喷泉一样向外射起来，很快就流了满地，我这才心满意足地走了出去。 当我再踏进洗手间时，看见墙上贴了一张纸条，上面歪歪扭扭的写着“节约用水”。我毫不犹豫地将它撕了下来，又在水龙头前玩了个够。 可是很奇怪，当我再次看到美丽的“喷泉”时，那张节约用水的纸条又出现在我眼前。我像个小侦探似的躲在门后。 一个小姑娘进来了，看起来她像个一年级的学生，她很吃力地把写有“节约用水”的纸条贴在墙上，然后洗完小手走了出去。 我震撼了，一个低年级的小姑娘都知道为节约用水尽自己的力量，而我已经是三年级的学生了，头脑里还丝毫没有节水的意识。后来随着年龄的增长，我逐渐知道了有限的水资源是经不起浪费的，中国在世界上属于严重缺水国家，许多大城市已经限制用水，而我们甘肃的定西地区更是以干旱贫穷而闻名于世的地方。 我们张掖地处黑河流域，背靠祁连雪山，表面上看起来暂时不缺水，但是每年肆虐的沙尘暴，给人们生产生活带来的不便，又说明了什么呢？我们的生态环境需要水。我们只有从小树立节水意识，并向周围的人们宣传节约用水的重要性，从小做起，从我做起，才能真正为保护水资源，保护我们的生存环境做出一点努力，不然的话，我们的子孙后代吃什么喝什么呢？ 节约用水不是一句空话，而是要从每件具体的小事做起，养成良好的用水习惯。只要人人都节约用水，建设节水型社会的目标一定会实现。 3、 在我们这个世界中，水是人类生存必备条件，如果没有水，人类将灭亡。以前地球上的水非常多，非常丰富，而现在地球上的人口逐渐增加，水就显的不够用了，所以我们应该节约用水。就在我们高呼要节约用水时，也还有一些人，不知道节约用水，不知道水的重要性，而在大量的去浪费地球上的水资源，去浪费我们能够生存下来的东西。所以 我们要让世界知道水的重要性. 水的重要性无庸置疑。撒哈拉大沙漠是个辽阔的干旱地区，沙漠气温很高，降雨常常来不及落到地面，就在低层大气蒸发了，这里也曾是一个美丽的地方，就是因为缺水，才变成这个样子。非洲大陆长期严重干旱，使撒哈拉沙漠每年都向南蔓延达50千米。在30年代到70年代间已吞没了651平方千米的可耕地。现在，干旱已经波及到毛里塔尼亚、马里、尼日利亚、乍得、苏丹、埃及、埃塞俄比亚、索马里等广大地区，面积达250平方千米，据估计，这些地方由于干旱缺水已经死了3800万头牲畜。 同学们，叔叔阿姨们！请你们不再随便浪费水，乱用水，爱护我们人类的生命之源 吧。人类只有一个地球，让我们共同生活在这个美好的家园中吧! 同学们，请你们想一想，如果这个世界没有水会怎么样？如果没有水就没有我们经常吃的美味可口的饭菜，就没有我们经常喝的各式各样的饮料，没有水人类将很快灭亡。 同学们，叔叔阿姨们！请珍惜我们现有的水源，共同保护好我们的家园，共同创建好我们家乡、国家，把我们这个家园，创建得更加美丽、强大、富饶。 4、 节约用水是每个公民应有的职责，但是现在浪费水的现象依然比较普遍。中国，是世界上12贫国之一，淡水资源不到世界人均水量的1/4；666个城市中有400多个缺水，其中130个城市严重缺水，直接经济损失每年达2300亿元。每年受旱农田32亿亩，约有5000万人和3000万头牲畜面临水荒。如果一个水龙头1秒钟漏掉一滴水，一年便会漏掉360吨水。 长期以来，人们普遍都认为水是“取之不尽，用之不竭”的。他们不但不爱惜水，而且任意浪费挥霍。其实我国的水资源的人均占有量并不丰富，地区分布并不均匀，年内变化莫测，年际差别非常之大，再加上污染,使水资源更加紧缺，所以自来水也是来之不易的。 国家淡水资源缺乏，然而，人们应该要更加地去珍惜和节约它。据分析，每个家庭只要注意改掉浪费用水的坏习惯，就能节水70％左右。但是生活中与浪费水有关的“绯闻”比节约用水的要多。比如：把烟头、碎细废物倒到厕所里冲掉；为了接一些冷水，而白白地浪费掉很多水；停水期间，忘记关上水龙头；洗手、洗脸、刷牙时，让水一直流淌着…… 节约用水，人人有责。只要大家都注意节约用水，水荒才会远离我们，我们的生活才会安定、和谐；环境才会优美、舒适。我们青少年明白这个道理后，一定要自己身体力行才行！ 水是生命的泉源，是农业的命脉，是工业的血液。节约用水，利在当代，功在当秋！为了避免更多的水荒，请珍惜每一滴水！

解：（Ⅰ）求该运动员两次都命中7环的概率为P（7）=0.2×0.2=0.04；（Ⅱ）ξ的可能取值为7、8、9、10P（ξ=7）=0.04P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+0.32=0.39P（ξ=10）2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36ξ分布列为（Ⅲ）ξ的数学希望是Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.0719．

首先弄清XY的分布列，然后按离散型随机变量的均值计算公式做，估计XY的分布计算要难点。在X与Y不独立的情况下，用条件概率计算，P（AB）=P（A）P（B/A)。高中公式大全:高中数学公式大全： 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2) cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2) tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA)) 和差化积 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) 2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B) sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角

一般的二项分布列E(x)=∑xiPi，也可用公式，E(x)=np,X服从B(n,p)

“社会统计学与数理统计学的理论统一”的重大意义王见定指出:社会统计学描述的是变量，数理统计学描述的是随机变量，而变量和随机变量是两个既有区别又王见定教授有联系，且在一定条件下可以相互转化的数学概念。王见定教授的这一论述在数学上就是一个巨大的发现,我们知道“变量”的概念是17世纪由著名数学家笛卡尔首先提出，而“随机变量”的概念是20世纪30年代以后由苏联学者首先提出，两个概念的提出相差3个世纪。截至到王见定教授，世界上还没有第二个人提出变量和随机变量两者的联系、区别以及相互的转化。我们知道变量的提出造就了一系列的函数论、方程论、微积分等重大数学学科的产生和发展；而随机变量的提出则奠定了概率论和数理统计等学科的理论基础和促进了它们的蓬勃发展。可见变量、随机变量概念的提出其价值何等重大，从而把王见定教授在世界上首次提出变量、随机变量的联系、区别以及相应的转化的意义称为巨大、也就不视为过。下面我们回到“社会统计学和数理统计学的统一”理论上来。王见定教授指出社会统计学描述的是变量，数理统计学描述的是随机变量，这样王见定教授准确地界定了社会统计学与数理统计学各自研究的范围，以及在一定条件下可以相互转化的关系，这是对统计学的最大贡献。它结束了近400年来几十种甚至上百种以上五花八门种类的统计学的混战局面，使它们回到正确的轨道上来。由于变量不断地出现且永远地继续下去，所以社会统计学不仅不会消亡，而且会不断发展状大。当然数理统计学也会由于随机变量的不断出现同样发展状大。但是，对随机变量的研究一般来说比对变量的研究复杂的多，而且直到今天数理统计的研究尚处在较低的水平，且使用起来比较复杂；再从长远的研究来看，对随机变量的研究最终会逐步转化为对变量的研究，这与我们通常研究复杂问题研究转化为若干简单问题的研究的道理是一样的。既然社会统计学描述的是变量，而变量描述的范围是极其宽广的，绝非某些数理统计学者所云：社会统计学只作简单的加、减、乘、除。从理论上讲，社会统计学应该复盖除了数理统计学之外的绝大多数数学学科的运作。所以王见定教授提出的“社会统计学与数理统计学统一”理论，从根本上纠正了统计学界长期存在的低估社会统计学的错误学说，并从理论上和应用上论证了社会统计学的广阔前景。[6][5]英文版《社会统计学与数理统计学的统一》一书于2010年6月由中国经济出版社出版，并陆续向国外

社会统计学与数理统计学的统一”理论的重大意义 王见定教授指出：社会统计学描述的是变量，数理统计学描述的是随机变量，而变量和随机变量是两个既有区别又有联系，且在一定条件下可以相互转化的数学概念。王见定教授的这一论述在数学上就是一个巨大的发现。 我们知道“变量”的概念是17世纪由著名数学家笛卡尔首先提出，而“随机变量”的概念是20世纪30年代以后由苏联学者首先提出，两个概念的提出相差3个世纪。截至到王见定教授，世界上还没有第二个人提出变量和随机变量两者的联系、区别以及相互的转化。我们知道变量的提出造就了一系列的函数论、方程论、微积分等重大数学学科的产生和发展；而随机变量的提出则奠定了概率论和数理统计等学科的理论基础和促进了它们的蓬勃发展。可见变量、随机变量概念的提出其价值何等重大，从而把王见定教授在世界上首次提出变量、随机变量的联系、区别以及相互的转化的意义称为巨大、也就不视为过。 下面我们回到：“社会统计学和数理统计学的统一”理论上来。王见定教授指出社会统计学描述的是变量，数理统计学描述的是随机变量，这样王见定教授准确地界定了社会统计学与数理统计学各自研究的范围，以及在一定条件下可以相互转化的关系，这是对统计学的最大贡献。它结束了近400年来几十种甚至上百种以上五花八门种类的统计学混战局面，使它们回到正确的轨道上来。 由于变量不断地出现且永远地继续下去，所以社会统计学不仅不会消亡，而且会不断发展状大。当然数理统计学也会由于随机变量的不断出现同样发展状大。但是，对随机变量的研究一般来说比对变量的研究复杂的多，而且直到今天数理统计的研究尚处在较低的水平，且使用起来比较复杂；再从长远的研究来看，对随机变量的研究最终会逐步转化为对变量的研究，这与我们通常研究复杂问题转化为若干简单问题的研究道理是一样的。既然社会统计学描述的是变量，而变量描述的范围是极其宽广的，绝非某些数理统计学者所云：社会统计学只作简单的加、减、乘、除。从理论上讲，社会统计学应该复盖除数理统计学之外的绝大多数数学学科的运作。所以王见定教授提出的：“社会统计学与数理统计学统一”理论，从根本上纠正了统计学界长期存在的低估社会统计学的错误学说，并从理论上和应用上论证了社会统计学的广阔前景。

事件A发生的次数X服从二项分布 指在n次独立重复事件中，事件A只有发生和不发生，且事件A发生一次的概率为P 不发生的概率为1-p, 一般是求事件A的期望，方差的时候，这样出。

考研大纲就是考研的法律，我们买一本考研大纲，所有考研概率的重点都在上面；当然首先要知道自己是考数几。祝考研成功！

边际效应。微积分的知识。

根据应用和教学目标不同，把考研数学划分为四类数学一为工科类学科数学二为理学类学科数学三为管理类学科数学四为经济类学科考试的侧重点和知识点有所偏差而已

1过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补15 定理 三角形两边的和大于第三边16 推论 三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23 角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24 推论 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25 边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a+b=c47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系a+b=c，那么这个三角形是直角三角形48定理 四边形的内角和等于360°49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论 任意多边的外角和等于360°52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=（a+b）÷2 S=L×h83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质 如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85 (3)等比性质 如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101圆是定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理 不在同一直线上的三个点确定一条直线110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧111推论1 ①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧112推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半117推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等118推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径119推论3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角121①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径124推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点125推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角127圆的外切四边形的两组对边的和相等128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上135①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦137定理 把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆139正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n140定理 正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形141正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长142正三角形面积√3a／4 a表示边长143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=4144弧长计算公式：L=n∏R／180145扇形面积公式：S扇形=n∏R／360=LR／2146内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)一、 数正数：正数大于0负数：负数小于00既不是正数，也不是负数；正数大于负数整数包括：正整数，0，负整数分数包括：正分数，负分数有理数包括：整数，分数/有限小数，无限循环小数数轴：在直线上取一点表示0（原点），选取单位长度，规定直线上向右的方向为正方向任何一个有理数（实数）都可以用数轴上的一个点表示，点和数是一一对应的两个数只有符号不同，其中一个数为另一个的相反数；两个互为相反数0的相反数就是0在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点两侧，且与原点距离相等数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大绝对值：数轴上，一个数所对应的点与原点的距离正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0两个负数比较大小，绝对值大的反而小有理数加法法则：同号相加，不变符号，绝对值相加异号相加，绝对值相等得0；不等，符合和绝对值大的相同，绝对值相减一个数加0，仍是这个数加法交换律：A+B=B+A加法结合律：(A+B)+C=A + (B+C)有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号的负，绝对值相乘；任何数与0相乘，积为0乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数乘法交换律：AB=BA乘法结合律：(AB)C=A (BC)乘法分配律：A (B+C) =AB+AC有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号的负，绝对值相除0除以任何非0的数都得0；0不能做除数乘方：求n个相同因数a的积的运算；结果叫幂；a是底数；n是指数；an读作a的n次幂有理数混和运算法则：先算乘方，再乘除，后加减；括号里的先算无理数：无限不循环小数，有正负之分。算数平方根：一个正数x的平方等于a，即x2＝a，则x是a的算数平方根，读作“根号a”0的算数平方根是0平方根：一个数x的平方根等于a，即x2＝a，则x是a的平方根（又叫：二次方根）一个正数有两个平方根，且互为相反数；0只有一个，是它本身；负数没有平方根开平方：求一个数的平方根的运算；a叫做被开方数立方根：一个数x的立方等于a，即x3＝a，则x是a的立方根（又叫：三次方根）每个数只有一个立方根，正数的是正数；0的是0；负数的是负数开立方：求一个数的立方根的运算；a叫做被开方数实数：有理数和无理数的统称，包括有理数，无理数。相反数、倒数、绝对值的意义相同和有理数的。实数的运算法则和有理数相同。计算后出现带根号的无理数要化简，使被开方数不含分母和开得尽的因数二、式代数式：用基本运算符号连接数字或字母的式子；单独的数字或字母也是代数式单项式：数字和字母的积；单独的数字或字母也是单项式；数字因数叫做单项式的系数多项式：几个单项式的和；每个单项式叫做多项式的项，不含字母的叫常数项单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和；单独的一个非零数的次数是0多项的次数：次数最高的项的次数同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项合并同类项：把同类项合并成一项；合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变去括号法则：括号前面是加号，去括号运算符号不变括号前面是减号，去括号（一级运算）运算符号变多重括号，由里面的括号开始去整式：单项式和多项式的统称整式加减运算：先去括号，再合并同类项，知道式子最简同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，如am61an＝am+n（m、n为正整数）幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，如(am)n＝amn（m、n为正整数）积的乘方：积的乘方等于积中每个因数乘方的积，如(ab)n＝anbn（n为正整数）同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，如am÷n＝am－n（m、n为正整数，a≠0，且m>n）；a0＝1（a≠0）；a—p＝1/ap（a≠0，p是正整数）整式的乘方：单项式与单项式，把系数、相同字母的幂分别相加，其余字母连同其指数不变，作为积的因式单项式与多项式，根据分配律用单项式去成多项式的每一项，再把积相加多项式与多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个的每一项，再把积相加平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差（a+b）(a－b)＝a2-b2完全平方公式：（a－b）2＝(b－a)2＝a2－2ab＋b2（a＋b）2＝(－a－b)2＝a2＋2ab＋b2整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式多项式除以单项式，先把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式公因式：多项式各项都含有的相同因式提公因式：多项式的各项含有公因式，把这个公因式提出来，将多项式化成两个因式的乘积完全平方式：形如a2－2ab＋b2和a2＋2ab＋b2的式子运用公式法：把乘法公式反过来，用来把某些多项式分解因式分式：整式A除以整式B，表示成A/B。A为分式的分子；B为分式的分母（B不为0）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去的变形最简分式：分子和分母没有公因式的分式分式乘除法法则：分式相乘，分子相乘作分子，分母相乘作分母分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘分式加减法则：同分母分式加减，分母不变，分子相加；异分式先通分，再加减通分：根据分式的基本性质，异分母分式化为同分母分式的过程；通分时常取最简公分母分式方程：分母中含有未知数的方程增根：使原分式方程的分母为0的原方程的根；解分式方程必须检验三、方程（组）等式：用等号表示相等关系的式子；等式具有传递性方程：含有未知数的等式一元一次方程：一个方程中，只含一个未知数（元），且未知数的指数为1（次）的方程等式性质：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，结果还是等式等式两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数），结果还是等式移项：从方程一边移到另一边的变形二元一次方程：含有两个未知数，且所含未知数的项数的次数都是1的方程二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解；它们成对出现代入消元法：简称“代入法”，将其中一个方程的某未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程的方法加减消元法：简称“加减法”，通过两式相加（减）消去其中一个未知数的方法图像法：根据二元一次方程的解和一次函数图像的关系，找出两直线的交点坐标求解的方法整式方程：等号两边都是关于未知数的整式方程一元二次方程：只含有一个未知数的整式方程，化成ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a,b,c为常数）配方法：通过配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根的方法公式法：对于ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a,b,c为常数），当b2－4ac≥0时（当b2－4ac≤0时，方程无解），可用一元二次方程的求根公式求解的方法分解因式法：又称“十字相乘法”，当一元二次方程的一边为0，另一边能分解成两个一次因式的乘积时，求方程的根的方法四、不等式（组）不大于：等于或小于，符号“≤”，读作“小于等于”不小于：大于或大于，符号“≥”，读作“大于等于”不等式：用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子；不等有传递性（除“≠”）不等式基本性质：不等式两边加上（或减去）同一个整式，不等号方向不变不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向变不等式的解：能使不等式成立的未知数的值解集：一个含有未知数的不等式的所有解的统称解不等式：求不等式解集的过程一元一次不等式：不等式的左右两边是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式一元一次不等式组：由关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起组成一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分解不等式组：求不等式解集的过程一元一次不等式组的解集：同大取大，同小取小，大小不一是无解五、函数函数：有两个变量x和y，给定x值就对应找到一个y值函数图像：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系里描出它的对应点，所以点组成的图像变量包括：自变量和因变量关系式：表示变量之间关系的方法，根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值表格法：表示因变量随自变量的变化而变化的情况图像法：表示变量之间关系的方法，比较直观平面直角坐标系：在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的；两条坐标轴把平面直角坐标系分成4部分：右上为第一象限，右下为第四象限，左上第二，左下第三坐标：过一点分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上所对应的数a、b，则（a，b）坐标加减，图形大小和形状不变；坐标乘除，图形会变化一次函数：若两个变量x，y的关系能表示成y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0）的形式正比例函数：当y＝kx＋b（k，b为常数，k≠0），b＝0的时候，即y＝kx，其图像过原点一次函数的图像：k>0直线向左；k<0直线向右。与x轴（－b/k，0）；与y轴（0，b）反比例函数：若两个变量x，y的关系能表示成y＝k/x（k为常数，k≠0）的形式，x不为0反比例函数的图像：k<0双曲线在二、四象限，在每一象限内，y随x增大而减小k>0双曲线在一、三象限，在每一象限内，y随x增大而增大二次函数：两个变量x，y的关系表示成y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a,b,c为常数）的函数二次函数的图像：函数图像是抛物线；a>0时，开口向上有最小值，a<0时，向下有最大值y＝a（x－h）2＋k的图像，开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k有关二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点就是ax2＋bx＋c＝0的根：0，1，2个六、三角函数正切(坡比)：Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比，记做tan A；tan A越大，梯子越陡正弦：∠A的对边与斜边的比记做sin A；sin A越大，梯子越陡余弦：∠A的邻边与斜边的比记做cos A；cos A越小，梯子越陡锐角A的正切、正弦、余弦都是∠A的三角函数仰角：当从低处观测高处目标时，视线与水平线所成的锐角俯角：当从高处观测低处目标时，视线与水平线所成的锐角

求初二数学概念 =============================== 第十一章 全等三角形 =============================== 三边对应相等的两个三角形全等(边边边或SSS) 三角形的稳定性决定了三边相等,两三角形全等 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(边角边或SAS) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(角边角或ASA) 两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(角角边或AAS) 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜边、直角边或HL) 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 =============================== 第十二章 轴对称 =============================== 等腰三角形性质： 性质1: 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角) 性质2: 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 等边三角形性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形 在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 =============================== 第十三章 实数 =============================== 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的 平方根 或 二次方根(square root) 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(extraction of square root) 正数有两个平方根，它们互为相反数。 0的平方根是0 负数没有平方根 如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根(cube root) 求一个数的立方根的运算,叫做开立方(extraction of cube root) 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 无限不循环小数叫做无理数 有理数和无理数统称实数 数a的相反数是-a 一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0 3√a 3为根指数 a为被开方数 =============================== 第十四章 一次函数 =============================== 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为 变量(variable)， 有些量的数值是始终不变的，我们称他们为常量(constant) 在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量 (independent variable)，y是x的函数(function)，如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 三种表示函数的方法:列表法、解析式法和图像法 正比例函数 y=kx(k为常数,k不为0) k为比例常数 正比例函数，图像为一条经过原点的直线，称为直线y=kx 当k>0时，直线y=kx经过第一、三象限(左下-右上)，从左向右上升，即x增大，y也增大 当k<0时，直线y=kx经过第二、四象限(左上-右下)，从左向右下降，即x增大，y反而减小 (正比例函数是一条经过原点的直线) (一次函数是一条在y轴平移的直线，这个偏移由y=kx+b中的b负责，b是直线与y轴的交点) 一次函数 y=kx+b(k,b为常数,k不为0) ,一次函数（linear function）,也作线性函数! 其中b一般代表函数变化的一个初始量,即类似 现有里程数+速度*时间=实际里程数 ( y:实际里程数 k:时间 x:速度 b:现在里程数) 当b=0时,y=kx+b即y=kx,亦即正比例函数是一种特殊的一次函数 待定系数法,选取两点,按y=kx+b的格式,代入系数写出二元一次方程组，求解出k和b的值。 任何一元一次方程都可以转为 ax+b=0(a,b为常数, a!=0) 的形式，即 解一元一次方程,可以理解为求一次函数图像中,y=0时,自变量x的对应变化值 y=kx+b => kx+b=0 从图像上看，相当于已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标的值。 (求x轴的交点) 任何一个一元一次不等式都可以转为 ax+b>0或ax+b<0 可以理解为当y值大(少)于0时,对应的x值的取值范围 (座标系上除了图像外 还有集合表示) 二元一次方程(组) 中的 任何一个二元一次方程 都可以转为 y=kx+b的形式 y根据x的变化而产生变化(而不局限于一元一次中的=0 <0 >0) ax+b=0 ax+b<0 或 ax+b>0 y=kx+b 两个二元一次方程组成的二元一次方程组,可以理解为 求座标系上两条直线的交点座标 在“数”的角度，是求两个方程的共同解 例如： 二元一次方程组 3x+5y=8 2x-y=1 可以演化为两个一次函数(或者说是对应两条直线) y = -3/5x + 8/5 y = 2x - 1 得出结果交点是 (1,1) 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，分别对应两条直线。 从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数是何值； 从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。 综上所述，一次函数与二元一次方程(组)有密切的联系 =============================== 第十五章 整式的乘除与因式分解 =============================== 15.1 整式的乘法 15.1.1 同底数幂的乘法 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 a^n x a^m = a^(m+n) 2^3 x 2^4 = 2^(3+4) = 8x16 = 128 = 2^7 15.1.2 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (a^n)^m = a^(n x m) 15.1.3 积的乘方 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 (ab)^m = a^mb^m (分配率) 15.2 乘法公式 15.2.1 平方差公式 (a+b)(a-b) = aa-ab+ab-bb = aa - bb = a^2 - b^2 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差 （乘法的）平方差公式(formula for the difference of squares) 15.2.2 完全平方公式 (a+b)^2 = (a+b)(a+b) = aa + ab + ab + bb = aa+2ab+bb = a^2 + 2ab + b^2 (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = aa - ab - ab + bb = aa-2ab+bb = a^2 - 2ab + b^2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 跟去括号原则一样，反转罢了 a+(b+c) = a+b+c a-(b+c) = a-b-c 15.3 整式的除法 15.3.1 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 a^m/a^n = a^(m-n) 任何不等于0的数的0次幂都等于1。 a^m/a^m = 1 a^(m-m) =1 a^0 = 1 15.4 因式分解 15.4.1 提公因式法 ma+mb+mc = m(a+b+c) 公式法 使用整式运算的公式进行 因式分解 负次幂是幂的倒数 a^-n = 1/(a^n) 亦可理解为 a^-n = (a^n)^-1 或 (1/a)^n 底数的倒数的正次幂 初二（下） =============================== 第十六章 分 式 =============================== 16.1分 式 16.1.1从分数到分式 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. 跟有理数的乘法法则一样 把分式化简称为约分,不可以再约分的分式(没有公因式),叫做最简分式. 把两个分式通过同乘适当的整式,令到分母相同,这样的分式变形叫做通分. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母,它叫做最简公分母 16.2 分式的运算 分式乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 除法法则:分式除以分式,把除式的分子,分母颠倒位置后,与被除式相乘. 分式乘方要把分子、分母分别乘方 (a/b)^2 = (a^2)/(b^2) (2为平方) 同分母分式加减，分母不变，把分子相加减。 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 16.3 分式方程 解分式方程的思路是将分式方程化为整式方程来求解，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，以去除分母并化成整 式方程。 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程 的解(原方程无解)。 =============================== 第十七章 反比例函数 =============================== 17.1反比例函数的定义 补充十四章 14.2 一次函数笔记 正比例函数是 y=kx 一次函数是 y=kx+b 图像为直线 反比例函数是 y=k/x(k!=0) 双曲线(对称) 其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等0的一切实数。(分母不能为0) 当k>0时,双曲线图像在第一、三象限内，y值随x增大而减少。 (k>0时,x为正,y为正 即1象限 ,x为负,y为负 即3象限) 当k<0时，双曲线图像在第二、四象限内，y值随x增大而增大。(k<0时,x为正,y为负 即2象限 ,x为负,y为正 即4象限) 判断一点是否在一条反比例函数相同图像上时,先写出反比例函数的解析式,然后代入x,y,求出常数,相同则在图像上!! 在同一座标系上同时作出正比例y=kx+b和反比例 y=k/x的图像时, 可以看出,反比例函数y=k/x图像是关于正比例函数y=kx为轴对称 =============================== 第十八章 勾股定理 =============================== 命题1 如果直角三角形的两直角边长分别为a,b，斜边长为c，那么a^2+b^2=c^2 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角形是直角三角形. =============================== 第十九章 四边形 ============================== 19.1 平行四边形 19.1.1 平行四边形的性质 平行四边形的对边相等 平行四边形的对角相等 平行四边形的对角线互相平分 19.1.2 平行四边形的判定 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半. 19.2 特殊的平行四边形 矩形的四个角都是直角 矩形的对角线相等 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 19.2.2 菱形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(rhombus) 菱形的四条边都相等 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. =============================== 第二十章 数据的分析 ============================== 20.1 数据的代表 20.1.1 平均数 平均数是 N个数之和除以n，得出的数 加权平均数是 N个数它们各自与权值相乘的积 之和 除以 这几个数的权值之和，得出的叫加权平均数 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”。 20.1.2 中位数和众数 将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数(median) ；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数(mode) 如果一组数据中有两个数据的频数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数。 20.2 数据的波动 20.2.1 极差 如天气预报中的 乌鲁木齐 24-10度 14(度C) 广 州 25-20度 5(度C) 这两个温差可以看出这一天中，乌鲁木齐的气温变化幅度较大，广州的气温变化幅度较小。 一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差(range) 极差能够反映数据的变化范围。 20.2.2 方差 考察一组数据与它的平均数之间的差别，来反映这组数据的波动情况。 设有n个数据，把 每一个数据与平均数的差 相乘得到的平方 ，相加得出和，并除以n， 得出的数值用来衡量这组数据的波动大小，叫做这组数据的 方差，记作s^2(s平方) s^2 = 1/n [ (x1-x均)^2 + (x2-x均)^2 + .... + (xn-x均)^2] 当数据分布比较分散(即数据在平均数附近较大)时，各个数据与平均数的差的平方和比较大，方差就较大； 当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小。 因此方差越大，数据的波动越大； 方差越小，数据的波动越小。 初二数学概念 是因为你根据三角形无论是正弦还是余弦可以得到正弦或余弦值是0.5那么其中肯定有一个角是30°或6°，那么另一角就是60°或30°。 知道了吗？ 轴，相等，相等 初二数学概念全部 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2 =(a+b)2 a2-2ab+b2 =(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式． 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m +n) 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以 原式=(am +an)+(bm+ bn) ＝a(m+ n)+b(m+ n) ＝(m +n)u2022(a +b)． 这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式． （六）提公因式法 1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式． 2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意： 1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于 一次项的系数． 2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤： ① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况； ②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数． 3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式． （七）分式的乘除法 1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式． 3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分． 4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2， (x-y)3＝-(y-x)3． 5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方． 6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减． （八）分数的加减法 1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来． 2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变． 3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备． 4．通分的依据：分式的基本性质． 5．通分的关键：确定几个分式的公分母． 通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 6.类比分数的通分得到分式的通分： 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 同分母的分式加减运算，分母不变，把分子相加减，这就是把分式的运算转化为整式运算。 8．异分母的分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． 9．同分母分式相加减，分母不变，只须将分子作加减运算，但注意每个分子是个整体，要适时添上括号． 10．对于整式和分式之间的加减运算，则把整式看成一个整体，即看成是分母为1的分式，以便通分． 11．异分母分式的加减运算，首先观察每个公式是否最简分式，能约分的先约分，使分式简化，然后再通分，这样可使运算简化． 12．作为最后结果，如果是分式则应该是最简分式． (九)含有字母系数的一元一次方程 1．含有字母系数的一元一次方程 引例：一数的a倍（a≠0）等于b，求这个数。用x表示这个数，根据题意，可得方程 ax=b（a≠0） 在这个方程中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数。对x来说，字母a是x的系数，b是常数项。这个方程就是一个含有字母系数的一元一次方程。 含有字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含有字母的式子去乘或除方程的两边，这个式子的值不能等于零 初二数学概念问题 （a-b） 初二数学概念性问题 属于正数 根号2属于正数 初二数学“函数”的基本概念 一个量随一个量的变化而变化。自变的叫自变量。随之变化的叫因变量。 初二重点就是一次函数和反比例函数 正比例是一次函数的一个特殊情况。y=kx+b是一次函数通式。 k是系数。b是在y轴的节距（就是直线与y轴相交那点的纵坐标） x是自变量。y是因变量 正比例函数就是当b=0是的函数 此时函数过原点。 例如：y=x，y=2x 题都非常简单。因为有x就会有y。而且过原点 反比例： 就是y=k/x k是常数。x是自变量。y是因变量 图像是无限趋近于坐标轴的曲线。 k大于0时图像是在1.3象限 k小于0时图像在2.4象限 例如：y=6/x 反比例函数作图是重点。一般是5点法作图（两个象限都是五个点） 例如上个函数。就可画出（1，6）（2，3）（3，2）（6，1）在随便算一个点，用平滑的曲线连好就可以了。 初二数学题所有概念总结！ 两角和与差的三角函数公式 cos(α+β)=cosαu2022cosβ-sinαu2022sinβ cos(α-β)=cosαu2022cosβ+sinαu2022sinβ sin(α±β)=sinαu2022cosβ±cosαu2022sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαu2022tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαu2022tanβ) 积化和差公式 sinαu2022cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosαu2022sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosαu2022cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinαu2022sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 倍角公式 sin(2α)=2sinαu2022cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2;α-sin^2;α=2cos^2;α-1=1-2sin^2;α tan(2α)=2tanα/(1-tan^2;α) cot(2α)=(cot^2;α-1)/(2cotα) sec(2α)=sec^2;α/(1-tan^2;α) csc(2α)=1/2*secαu2022cscα sin(3α) = 3sinα-4sin^3;α = 4sinαu2022sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3;α-3cosα = 4cosαu2022cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3;α)/(1-3tan^2;α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot^3;α-3cotα)/(3cotα-1) sin(nα)=ncos^(n-1)αu2022sinα-C(n,3)cos^(n-3)αu2022sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)αu2022sin^5α-… cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)αu2022sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)αu2022sin^4α-… sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα cot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα) sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1)) csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1)) 万能公式 sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2;(a/2)) cos(a)= (1-tan^2;(a/2))/(1+tan^2;(a/2)) tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2;(a/2)) 三角和的三角函数 sin(α+β+γ)=sinαu2022cosβu2022cosγ+cosαu2022sinβu2022cosγ+cosαu2022cosβu2022sinγ-sinαu2022sinβu2022sinγ cos(α+β+γ)=cosαu2022cosβu2022cosγ-cosαu2022sinβu2022sinγ-sinαu2022cosβu2022sinγ-sinαu2022sinβu2022cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanαu2022tanβu2022tanγ)÷(1-tanαu2022tanβ-tanβu2022tanγ-tanγu2022t 正弦定理 边长为 a, b 和 c 而相应角为 A, B 和 C的三角形，有： sinA / a = sinB / b = sinC/c 也可表示为： a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 变形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 其中R是三角形的外接圆半径。 诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 ，k是整数 sin（2kπ+α）=sinα cos（2kπ+α）=cosα tan（2kπ+α）=tanα cot（2kπ+α）=cotα sec（2kπ+α）=secα csc（2kπ+α）=cscα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系 sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα sec(π+α)=-secα csc(π+α)=-cscα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系 sin（－α）=－sinα cos（－α）=cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec(-α)=secα csc(-α)=-cscα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系 sin（π－α）=sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec(π-α)=-secα csc(π-α)=cscα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系 sin（2π－α）=－sinα cos（2π－α）=cosα tan（2π－α）=－tanα cot（2π－α）=－cotα sec(2π-α)=secα csc(2π-α)=-cscα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系 sin（π/2+α）=cosα cos（π/2+α）=－sinα tan（π/2+α）=－cotα cot（π/2+α）=－tanα sec(π/2+α)=-cscα

解析几何，微积分。变量是表示数字的字母字符，具有任意性和未知性。把变量当作是显式数字一样，对其进行代数计算，可以在单个计算中解决很多问题。变量的概念也是微积分的基础。变量，指值可以变的量。变量以非数字的符号来表达，一般用拉丁字母。变量的用处在于能一般化描述指令的方式。

衍生物（衍生）是微积分概念的重要基础。当参数的增量趋于零时，因变量的增量与自变量增量商的限制。当一个函数的导数的存在，调用此函数可导致或鉴别。推导函数必须是连续的。不连续的功能，不应导致。衍生物本质上是求的范围内，从四个算法的限制来自四个算法的衍生物的处理。 数季一鸣，衍生，改变速度的问题和困难曲线相切一个抽象的数学概念。也被称为变化率。 由于汽车在10小时内去600公里，它的平均时速为60公里/小时，但在移动的实际过程中，有节奏的变化，并非所有的60公里每小时。为了驱动速度的变化过程中，以更好地反映该汽车时，时间间隔可以缩短，其中车辆设定时间ts对于s = F（T）之间的关系，则轿厢从时刻t0改变在这段时间内的平均到T1转速范围内[F（T1）-f（T0）] / [T1-T0]，当T1和T0非常接近，变化的速度也不会伟大的汽车，平均车速将能更好地反映汽车运动这一段时间t0到t1中，自然放限制并[f（t1）的-f（T 0）] / [T1-T0]作为汽车的瞬时速度在时间t0，这就是通常所说的速度范围内变化。在一般情况下，假设一元函数y = f（x）的在点X0的附近（X0-一个，X0 +α）内，当自变量增量ΔX= X-X0→0的增量函数ΔY= f定义（ x）的 - 限制率f（X0）增量参数的存在，并且是有限的，表示函数f在点X0衍生的衍生物（或f的在x0变化率称为点）。如果在每一个点的间隔I可以指导的函数f，我会得到一个新的功能的域，表示为F"，称为微分函数f，称为衍生物。函数y = f（x）的在点X0衍生物F"（X0）几何意义：升中的曲线P0 [X0中，f（X0）]的切点。在一般情况下，我们都来使用导数函数，以确定增加或减少在性功能的规则：令y = F（x）的在（A，B）可导致内部。若（a，b）在中，f"（X）> 0，则f（x）的在该区间单调增加。 。若（a，b）在中，f"（X）<0，则f（x）的在该区间单调递减。因此，当f"（X）= 0时，Y = F（X）的最大值或最小值，最大值为最大的最大值，最小值的最小值是一个最小值。函数曲线的衍生物几何意义是在这一点上与所述切线斜率。 （1）找到的函数y = f（x）的在x0在步骤衍生物：①求增量值Δy= F的函数（X0 +ΔX）-f（X0）② 需求变化的平均速率③取极限，太衍生物。 公式几种常见的功能（2）衍生品：① C"= 0（C是常数函数）; ②（X ^ N）= NX ^（N-1）（n∈Q）; ③（氮化硅）"= cosx; ④（cosx）= - sinx的; ⑤（E ^ X）= E ^ X; ⑥（一^ X）"= A ^ xlna（ln为自然对数）⑦（INX）"= 1 /×（ln为自然对数）⑧（logax）"=（ xlna）^（ - 1），（A> 0和不等于1）补充一下。代表上述公式是不是一个常数去，只能代表的功能，新的学校往往衍生忽略这一点，造成歧义，我们应该多加注意。四种算法（3）衍生：①（U±V）= U"±V"②（UV）"= u"v +紫外线“③（U / V ）"=（u"v-UV“）/ V ^ 2 衍生物（4）复合函数独立变量的导数的复合函数，等于中间变量的衍生物的已知函数，乘以参数的中间变量微分 - 称为链式法则。 衍生是微积分的重要支柱。牛顿和莱布尼茨做出了杰出的贡献，这个！点击看详细衍生应用（1）使用符号的 1. 单调函数来确定改变的函数的导数在使用衍生变化的迹象在判断的功能，这是在曲线的变化的研究应用的衍生物的几何意义，它充分体现数形结合想法。 通常，在一个时间间隔（A，B）内，如果> 0，则该函数y = f（x）的在单调的间隔;如果<0，则该函数y = f（x）的在此单调递减的时间间隔。 如果恒有= 0，则f（x）是一个范围的功能内恒定。 注意：在一定的时间间隔，> 0是f（x）在此区间的充分条件为增函数，而不是一个必要条件，如F（X）= X 3是增函数，包括，但。步骤（2）需求函数的单调区间①确定函数f（x）的定义域; ②衍生; ③由（或）相应的解x范围。当f"时（X）> 0，F（X）中的相应的时间间隔为增函数; f出现"时（X）<0，函数f（x）在各时间间隔是一个递减函数。 2.极端功能（1）函数的极值确定①如果对符号的两侧是相同的，这不是F（X）的极端点; ②如果左侧的右侧附近，那么，是最大或最小值。域功能 3.求函数极限一步①定义; ②衍生; ③在方程和所有居民的定义域获得发现所有的实根;周围的符号④检查停滞，如果左和右是否定的，则函数f（x），以获得在根中的最大值;如果左负权，则f（x）的，以获得在根的最小值。 4.最值功能（1）若函数f（x）在[A，B]的最大（或最小）是在一个点（A，B）中的收购显然这个最大（或极小值）的同时是最大值（或最小值），它是f（x）的所有的最大值（或最小值），在（A，B）内的最大（或最小），但该值的也可以是[A，B]在端a或b，和极值值获得的两个不同的概念。步骤（2）发现的f（x）在[A，B]上的最大和最小①找到的f（x）在（A，B）的极限之内; ②各自的极值到f（一）中，f（B）的比较，其中最大的是最大值的F（X），一个最低限度是最小值。常在生活中遇到 5.人生最优化问题追求最大的利润，材料最省，效率最高等问题，这些所谓的优化问题，优化问题，也被称为最大的价值。为了解决这些问题，一个非常现实的意义。这些问题通常可以转化为有问题的数学函数，然后进入大（小）为求函数值的问题

设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)＞0，令，证明：E(Y)=0，D(Y)=1。扩展资料设随机变量X的数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，则根据切比雪夫不等式，有P{|X-μ|≥2σ}≤根据切比雪夫不等式有：P（|X-EX|≥ε ）≤VarX /ɛ2

你好！可以如图利用期望与方差的性质求出结果。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

一个随机变量的期望存在，其方差并不一定存在。一个反例是：概率密度为x>1时，f(x)=2/x^3，x≤1时f(x)=0。

【答案】：根据随机变量数学期望的性质4，所以数学期望E(5X-2)=5E(X)-2=5×(-2)-2=-12$根据随机变量方差的性质4，所以方差D(-2X+5)=(-2)2D(X)=(-2)2×5=20

一个随机变量的期望存在，其方差并不一定存在。一个反例是：概率密度为x>1时，f(x)=2/x^3，x≤1时f(x)=0。

一：抽球类问题数学期望E=n*E1注：E为数学期望，E1为抽一次球的数学期望，n为抽的次数例：有完全相同的黑球，白球，红球共15个，其中黑7个，白3个，黑5个则抽5次抽到黑球的个数的数学期望E=5*（5/15）=5/3衍生问题还有抽人，抽产品等二：遇红灯问题数学期望E=P1+P2+……..注：P为概率，E为相应所有P的和例：小红去学校的路上有4个红灯，遇第1个红灯的概率为0.5，第2个的为0.35，第3个的为0.65，第4个的为0.23（遇红灯是互相独立的，互不影响的）则小红在一次去学校的路上遇到的红灯的数学期望E=0.5+0.35+0.65+0.23=1.73衍生问题有很多三：三局两胜制问题的局数期望E=2（1+P1*P2）注：E为局数期望，P1，P2为两队或两人的获胜的概率（P1+P2=1）例：甲和乙下棋，甲赢的概率为0.45，乙赢的概率为0.55则他们三局两胜的局数期望E=2（1+0.45*0.55）=2.495衍生问题多见于比赛中

你好！可利用已知变量的期望与方差，若Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b，D(Y)=(a^2)D(X)。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

根据切比雪夫不等式有：P（|X-EX|≥ε ）≤VarX?2随机变量Xe数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，故有：P{|X-μ|≥2σ}≤DX(2σ)2=m4

求解过程与结果如下所示。

不一定，数学期望只是由已有数据推测出的数学模型，不一定存在。

求解方法：代入公式。在[a,b]上的均匀分数。期望：EX=∫{从-a积到a} xf(x) dx。=∫{从-a积到a} x/2a dx。=x^2/4a |{上a,下-a}。=0。E(X^2)=∫{从-a积到a} (x^2)*f(x) dx。=∫{从-a积到a} x^2/2a dx。=x^3/6a |{上a,下-a}。=(a^2)/3。在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。大数定律规定，随着重复次数接近无穷大，数值的算术平均值几乎肯定地收敛于期望值。总结如下：离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。

并非所有随机变量都与数学期望.请看连续型随机变量数学期望的定义：设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),如果∫xf(x)dx绝对收敛,定义 X的数学期望为E(X)=. 由此可见对于连续型随机变量使用条件限制的,因此并非任何随机变量都有数学期望. 具体资料请参考《概率论与数理统计》（经管类第四版）P89

E(X)=X1*p(X1）+X2*p(X2）+……+Xn*p(Xn)=X1*f1(X1）+X2*f2(X2）+……+Xn*fn(Xn)。n为这离散型随机变量，p(X1），p(X2），p(X3），……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1），p(X2），p(X3），……p(Xn)概率函数就理解为数据X1，X2，X3，……，Xn出现的频率f(Xn)。介绍在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

求解的方法是：X是离散型随机变量，其全部可能取值是a1，a2，a3等到an取这些值的相应概率是p1，p2，p3等到pn，则其数学期望E(X)=(a1)*(p1)+(a2)*(p2)+…+(an)*(pn)。在概率论和统计学中，数学期望是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。也是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。规定，随着重复次数接近无穷大，数值的几乎肯定地收敛于期望值。

数学期望的性质：1、设x是随机变量，c是常数，则e（cx）=ce（x）。2、设x，y是任意两个随机变量，则有e（x+y）=e（x）+e（y）。3、设x，y是相互独立的随机变量，则有e（xy）=e（x）e（y）。4、设c为常数，则e（c）=c。

并非所有随机变量都与数学期望.请看连续型随机变量数学期望的定义：设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),如果∫xf(x)dx绝对收敛,定义 X的数学期望为E(X)=.由此可见对于连续型随机变量使用条件限制的,因此并非任何随机变量都有数学期望.

若随机变量X数学期望存在，则E(E(EX)EX为常数设，EX=C则，D(EX)=D(C)=0E[D(EX)]=E(0)=0需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。扩展资料：随机变量即在一定区间内变量取值有无限个，或数值无法一一列举出来。例如某地区男性健康成人的身长值、体重值，一批传染性肝炎患者的血清转氨酶测定值等。有几个重要的连续随机变量常常出现在概率论中，如：均匀随机变量、指数随机变量、伽马随机变量和正态随机变量。参考资料来源；百度百科-随机变量

数学期望的定义是，一个随机变量x有两个取值，取x1概率是p，取x2的概率是1-p，则x的数学期望是e(x)=x1*p+x2*(1-p)所以你的问题实际上是三个问题。1.如果x取2和0的概率都是1/2，则其数学期望=1/2x2+1/2x02.如果x取2和-1的概率都是1/2，则其数学期望=1/2x2+1/2x(-1)3.如果x取2-1和0的概率都是1/2，则其数学期望=1/2x(2-1)+1/2x(-1)

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数学期望是int(x*f(x))f(x)是随机变数x的概率密度函数。如x为标准正态分布，f(x)=1/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2)x的期望为int(x*f(x))=int(x/sqrt(2*pi)*exp(-x^2/2))

pnorm((11-10)/sqrt(0.04))-pnorm((9.2-10)/sqrt(0.04))[1] 0.999968这是在X服从正态分布的假设下的答案。

根据切比雪夫不等式有：P（|X-EX|≥ε）≤VarX?2随机变量Xe数学期望E（X）=μ，方差D（X）=σ2，故有：P{|X-μ|≥2σ}≤DX(2σ)2=m4

以下记int^s_t表示从t到s积分，Infty表示无穷。lim表示当M趋于正无穷时的极限。E(x)=int^Infty_0xp(x)dx=lim(MF(M)-int^M_0F(x)dx)——分部积分=lim(MF(M)-M+int^M_0(1-F(x))dx).由于0<=M(1-F(M))=Mint^Infty_0p(x)dx而int^Infty_0p(x)dx=1<=int^M_0xp(x)dx（M充分大时），因为积分收敛，所以积分的尾巴趋于0，亦即limint^Infty_Mxp(x)dx=0。<----这个很重要将以上几个式子合起来，就证明了该结论。

2006考研数学大纲变化（完全版） 数学一 高等数学 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“简单应用问题函数关系的建立”调整为“函数关系的建立” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“基本初等函数的导数导数和微分的四则运算”调整为“导数和微分的四则运算基本初等函数的导数” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将2005年的“4．会求分段函数的一阶、二阶导数”以及“5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”调整并合并为“4．会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”. 2．将原来的第9条提前至第6条,足见“洛必达法则求未定式极限”的重要性. 三、一元函数积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：增加了“用定积分表达和计算质心” 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 四、向量代数和空间解析几何 无变化 五、多元函数微分学 无变化 六、多元函数积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“二重积分、三重积分的概念及性质二重积分、三重积分的计算和应用”调整为“二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 七、无穷级数 无变化 八、常微分方程 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念”调整为“了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念” 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“4.了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行（列）向量组的关系”调整为“理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系” 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 无变化 六、二次型 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“3.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法”调整为“3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法” 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 无变化 二、随机变量及其分布 无变化 三、二维随机变量及其分布（改为“多维随机变量及其分布”） （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点： （1）将“二维随机变量及其概率分布”调整为“多维随机变量及其分布”； （2）将“二维连续性随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度”调整为“二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度”； （3）将“两个随机变量简单函数的分布”调整为“两个及两个以上随机变量简单函数的分布” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 （1）将“1.理解二维随机变量的概念,理解二维随机变量的分布的概念和性质”调整为“1.理解多维随机变量的概念,理解多维随机变量的分布的概念和性质”, （2）将“2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握离散型和连续性随机变量独立的条件”调整为“2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件”, （3）将“4.会求两个随机变量简单函数的分布”调整为“4.会求两个随机变量简单函数的分布,会求多个相互独立随机变量简单函数的分布” 四、随机变量的数字特征 无变化 五、大数定律和中心极限定理 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 （1）将“2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）”调整为“2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）”； （2）将“3.了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维－林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）”调整为“3.了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维－林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）” 六、数理统计的基本概念 无变化 七、参数估计 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 将“4.了解区间估计的概念”调整为“4.理解区间估计的概念” 八、假设检验 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 将“2.了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验”调整为“2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验” 数学二 高等数学 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“简单应用问题函数关系的建立”调整为“函数关系的建立” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“基本初等函数的导数导数和微分的四则运算”调整为“导数和微分的四则运算基本初等函数的导数” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将2005年的“4．会求分段函数的一阶、二阶导数”以及“5．会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”调整并合并为“4．会求分段函数的导数,会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数”. 2．将原来的第9条提前至第6条,足见“洛必达法则求未定式极限”的重要性. 三、一元函数积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：增加了“用定积分表达和计算质心” 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求没有变化 四、多元函数微积分学 无变化 五、常微分方程 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“了解微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等概念”调整为“了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念” 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中增加“5.了解内积的概念,掌握线性无关向量组的正交规范化的施密特（Schmidt）方法” 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．将“2．了解相似矩阵地概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵”调整为“2．理解相似矩阵地概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对角矩阵” 2．将“3．了解实对称矩阵地特征值和特征向量的性质”调整为“3．理解实对称矩阵地特征值和特征向量的性质” 数学三 微积分 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“简单应用问题函数关系的建立”调整为“函数关系的建立” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用”调整为“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质” 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将导数的概念及运算法则与微分的概念及运算法则合并 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握反函数与隐函数求导法,了解对数求导法”调整并合并为“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数”. 三、一元函数积分学 无变化 四、多元函数微积分学 无变化 五、无穷级数 无变化 六、常微分方程与差分方程 （一）考试内容的变化 新增知识点：线性微分方程解的性质及解的结构定理 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 无变化 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“4.了解向量组等价的概念,了解矩阵的秩与其行（列）向量组的关系”调整为“理解向量组等价的概念,理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系” 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 无变化 六、二次型 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 考试要求中将“3.了解二次型和对应矩阵的正定性及其判别法”调整为“3.理解正定二次型、正定矩阵的概念,并掌握其判别法” 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 无变化 二、随机变量及其分布 无变化 三、多维随机变量及其分布 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“二维连续性随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度”调整为“二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握离散型和连续性随机变量独立的条件”调整为“2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件” 四、随机变量的数字特征 无变化 五、大数定律和中心极限定理 无变化 六、数理统计的基本概念 无变化 七、参数估计 无变化 八、假设检验 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．将“2.了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验”调整为“2.掌握单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验” 数学四 微积分 一、函数、极限、连续 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：无 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）及其简单应用”调整为“9.了解连续函数的性质合初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）,并会应用这些性质” 二、一元函数微分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将导数的概念及运算法则与微分的概念及运算法则合并 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将原来的“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；掌握反函数与隐函数求导法,了解对数求导法”调整并合并为“2．掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数的求导法则；会求分段函数的导数,会求反函数与隐函数的导数”. 2．将“9.掌握函数作图的基本步骤和方法,会作简单函数的图形”调整为“9.会作简单函数的图形”. 三、一元函数积分学 无变化 四、多元函数微积分学 （一）考试内容的变化 新增知识点：无 调整知识点：将“无界区域上简单二重积分的计算”调整为“无界区域上的广义二重积分” 删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将“5.……会计算无界区域上的较简单的二重积分”调整为“5.……了解无界区域上的较简单的广义二重积分并会计算” 五、常微分方程 无变化 线性代数 一、行列式 无变化 二、矩阵 无变化 三、向量 无变化 四、线性方程组 无变化 五、矩阵的特征值和特征向量 无变化 概率论与数理统计 一、随机事件和概率 无变化 二、随机变量及其分布 无变化 三、多维随机变量及其分布 （一）考试内容的变化 1．新增知识点：无 2．调整知识点：将“二维连续性随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度”调整为“二维连续性随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度” 3．删减知识点：无 （二）考试要求的变化 1．考试要求中将将“2.理解随机变量的独立性及不相关的概念,掌握随机变量独立的条件”调整为“2.理解随机变量的独立性及不相关性的概念,掌握随机变量相互独立的条件” 四、随机变量的数字特征 无变化 五、中心极限定理 无变化

、切比雪夫不等式：设随机变量X有期望E(X)与方差D(X)，则对任意正数ε，有P{|X-E(X)|≥ε}≤D(X)/ε^2,或P{|X-E(X)|＜ε}≥1-D(X)/ε^2.它表明，当D(X)很小时，X落入区间E(X)-ε，E(X)+ε是大概率事件，也即X的概率分布集中在期望E(X)附近。2、贝努利大数定律：设m是n次独立重复试验中A发生的次数，p是事件A的概率：p=P(A)，则对任意正数ε有：它表明：当n充分大时“频率m/n与概率p的绝对偏差小于任意给定的正数ε”。这正是“概率是频率稳定值”的确切含义。贝努利大数定律成立的条件是，独立重复试验。3、独立同分布序列的切比雪夫大数定律 设独立随机变量序列X1，X2，... ，Xn，...服从相同的分布，E(Xi)=μ,D(X)=σ^2(i=1,2...),则对于任意正数ε，有它表明：n充分大时，“试验值~X与期望μ的绝对偏差小于任意给定正数ε”几乎必然会发生，这正是“期望是试验平均值的稳定值”的确切含义。概率论中，大数定律是随机现象的统计稳定性的深刻描述：时也是数理统计的重理论基础。--------------------------------------------------------------------------------二、了解独立同分布序列的中心极限定理，知道棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。1、独立同分布序列的中心极限定理当n充分大时，独立同分布的随机变量之和的分布近似于正态分布N(nμ,nσ^2)当n充分大时，独立同分布随机变量的平均值的分布近似于正态分布N(μ,σ^2/n) 2、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理在贝努利试验中，若事件A发生的概率为p,又设m为n次独立重复试验中事件A发生的频数，则当n充分大时，m近似服从正态分布N(np,npq);在贝努利试验中，若事件A发生概率为p,又设m/n为n次独立重复试验中事件A发生的频率，则当n充分大时，m/n近似服从正态分布N(p,pq/n)

不可以期望和方差相同的太多了。完全不是一回事 反之，同分布则期望方差相同成立

书上这一节主要讲的是概率论的理论依据，我们高中甚至是初中就学了概率，但是却没有学为什么是这样的，为什么算术平均值可以代表一种结果出现的可能性，这一节就是从理论上证明了我们早已熟知的东西(比如你知道骰子出现1的概率是1/6，但是你知道为啥要这么做吗，虽然想起来很简单，但是数学是严谨的，所以数学家们做了无数次重复实验，证明了 在实验条件不变的情况下，重复实验很多次，随机实验的频率会接近它出现的概率，也就是我们这一节讲的大数定律，概率才有了坚实的理论基础。 我来举个栗子，比如掷骰子，每掷一次骰子都会有一个结果1～6中的任意一个数，我们按照古典概型可以知道每个数出现的概率都是1/6，于是我们可以计算出一次实验的期望(均值)。 在我不知道这些的情况下，我想通过做n多次实验来看看点数出现的规律到底是什么(或者到底有没有规律)，我把每次实验都取个名字(你会发现其实每一次实验都是一个随机事件，我都用一个随机变量来表示，这些随机变量我给他取名字叫x1，x2，他们分别代表了第一次掷骰子，第二次掷骰子，单从一次实验来看每次实验都可能出现1～6的任意一个数，1～6就是随机变量的取值，一般用小写字母表示)。 重点来了，我做了n次实验，得了n和结果，并且这些结果都是1～6中的数，我想研究他有没有规律可言("概率")，这n个数的算术平均值可以计算(这就是你问的Xn的平均，比如我掷骰子6次，出现的结果分别是3，3，2，4，5，1，那么他的算术平均值就是把他们加起来除以总数，算出来结果是3)，从概率论的角度我们可以算出掷骰子的期望(均值)＝1/6×1+1/6×2+1/6×3+1/6×4+1/6×5+1/6×6＝3.5，两者之间的值很接近，而且你会发现实验的次数越多，就越接近，这就是频率的稳定性。 你还问到随机变量序列的算术平均值和每个随机事件的期望的平均相减的意义，他们相减大于一个任意小的正数的概率趋近于1(在做实验的次数无限大的情况下)，就是说当我做实验的次数无限多的时候我们可以用期望来表示随机事件出现的可能性，就是我一开始提到的随机事件的频率近似于它的概率。 数学家们先有了概率的猜想，再从理论的角度去证明他。总的来说就是，X是一个随机变量，每做一次实验都有一个取值(实验结果)，做n次实验就有n个实验结果，而在做实验之前结果都是未知的，所以我们叫他随机变量，随机变量有随机取值，实验结果总是这些值中的一份子而已。我们用概率来判断未知，也就是未知出现的可能性。你的第二个问题我没有回答，我想看到这你应该知道答案了吧，如果不知道可以追问我哦，虽然已经过去很久了这个问题，可能你早就都懂了吧U0001f602。更2020.10时隔多年又一次想到这个问题有了一些新的认识，我发现把自己的想法写在这里也相当于自己的笔记，目前在学应用统计的课所以重新捡起了概率论，很多东西都已经忘记了，所以又翻到了这里。仔细看了一下题主的图片才发现原来我的理解是有偏差的，所以再来纠正一下自己。书中说的是 大量独立或弱相关的因素（比如一个人的身高是由各种因素影响的，父母的身高，营养获取，基因U0001f9ec控制等等，这些因素是互相无关的） 累积在一起的规律服从大数定律，而我当时理解为大量独立同分布的随机变量了（相同的实验做了好多次，每次实验的期望方差都相等）了。Yn 说的是随机变量的和（随机变量是用随机数字代表随机事件的东西，比如用1代表抛硬币出现正面结果，0代表抛硬币出现反面结果，因为数字更方便计算，总不能说抛硬币出现的平均结果是不正不反吧，这样也不好用数学表示）Yn/n表示的是随机事件的算数平均（统计了一群人的身高数据），EYn/n表示的是多个随机变量期望的平均（客观存在的影响人的身高的各个因素的期望，这个值一般是不知道的，可以通过统计数据来估计）。查了一下百度百科觉得有一句话可以表达这个定律：当大量重复某一相同实验的时候，最后的实验结果可能会稳定在某一数值（其实就是期望）附近。用在身高的例子就是，统计了10万人的身高，会发现大多数人的身高集中在一个数值附近（这里是正态分布的miu附近，这个miu应该是多个因素的期望的平均 ）

0.21/λ =1/5=0.2根据0—1分布,数学期望p 方差p(1-p)； 二项分布(贝努里概型),数学期望np 方差np(1-p)； 泊松分布,数学期望λ 方差λ； 均匀分布,数学期望(a+b)/2 方差[(b-a)^2]/12； 指数分布,数学期望1/λ 方差1/...

指数函数概率密度函数：f(x)=a*e^(ax),x>0,其中a>0为常数.f(x)=0,其他有连续行随机变量的期望有e(x)==∫|x|*f(x)dx,(积分区间为负无穷到正无穷)则e(x)==∫|x|*f(x)dx,(积分区间为0到正无穷),因为负无穷到0时函数值为0.ex)==∫x*f(x)dx==∫ax*e^(-ax)dx=-(xe^(-ax)+1/a*e^(-ax))|(正无穷到0)=1/a而e(x^2)==∫x^2*f(x)dx=∫x^2*a*e^(ax)dx=-(2/a^2*e^(-ax)+2x*e^(-ax)+ax^2*e^(-ax))|(正无穷到0)=2/a^2,dx=e(x^2)-(ex)^2=2/a^2-(1/a)^2=1/a^2

正态分布的线性函数还是正态分布e（y）＝e(1－2x )＝1－2ex＝1d(y )＝d(1－2x )＝4d (x )＝4所以y～n(1，4)

数学期望在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。扩展资料：离散型随机变量与连续型随机变量都是由随机变量取值范围(取值)确定。变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。例如，一次掷20个硬币，k个硬币正面朝上，k是随机变量。k的取值只能是自然数0，1，2，…，20，而不能取小数3.5、无理数，因而k是离散型随机变量。如果变量可以在某个区间内取任一实数，即变量的取值可以是连续的，这随机变量就称为连续型随机变量。例如，公共汽车每15分钟一班，某人在站台等车时间x是个随机变量，x的取值范围是[0,15），它是一个区间，从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、无理数等，因而称这随机变量是连续型随机变量。参考资料来源：百度百科-数学期望参考资料来源：百度百科-均值

还我帮你问一下我朋友，然后把答案告诉你。

在概率论和统计学中，数学期望(mean)（或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。

数学期望Ex不是说均值而是Ex=∑x*px即随机变量最大可能的取值当然可能通过均值来计算就更不是概率的均值了

图

正态分布一种概率分布，也称“常态分布”。正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ^2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N（μ，σ^2）。可以计算出来数学期望=μ，即随机变量的均值（计算过程见下图）。

“随机变量的均值”不是专业的表述.虽然英文有时也用mean表示数学期望,但是中文一般不这样说. 随机变量的取值和广义密度函数(或者CDF的广义微分)乘积的Lebesgue积分称为数学期望. 可以参考wiki的Expected_value词条

1人小时是指1人/小时

是求最大还是最小呢

我给你一个提纲西安交通大学工程硕士学位论文选题报告书论文选题名称:姓名：研究方向：指导教师：入学时间：2003年9月选题报告时间：2006年5月一、本研究课题的科学依据和意义(包括科学意义，国内外研究概况，水平和发展趋势，学术思想，理论根据。)。一、立项理由、目的、意义我国合成氨装置很多，但合成氨装置的控制水平都比较低，大部分厂家还停留在半自动化水平，靠人工控制的也不少，普遍存在的问题是：能耗大、成本高、流程长，自动控制水平低。这种生产状况下生产的产品成本高，市场竞争力差，因此大部分化肥行业处于低利润甚至处于亏损状态。为了改变这种状态，除了改变比较落后的工艺流程外，实现装置生产过程优化控制是行之有效的方法。合成氨生产装置是我国化肥生产的基础，提高整个合成氨生产装置的自动化控制水平，对目前我国化肥行业状况，只有进一步稳定生产降低能耗，才能降低成本，增加效益。而实现合成氨装置的优化是投资少、见效快的有效措施之一。合成氨装置优化控制的意义是提高整个合成氨装置的自动化水平，在现有工艺条件下，发挥优化控制的优势，使整个生产长期运行在最佳状态下，同时，优化系统的应用还能节约原材料消耗，降低能源消耗，提高产品的合格率，增强产品的市场竞争能力。二、国内外概况及发展趋势自动化技术包括生产过程控制自动化和事务经营管理自动化两个方面，属于当今世界迅速发展和日趋成熟的高新技术。自动化技术的不断发展也丰富了各种控制软件的发展，特别是优化控制从理论走向了实际。随着微电子计算机、自动化理论和信息技术的日新月异，国外企业采用最新的PC技术发展的DCS系统已普遍应用到各行业生产装置上去，特别在应用DCS的同时，发展了许多实用的优化软件。在国外，合成氨生产的发展大致可分为五个阶段：Ⅰ发明阶段；Ⅱ技术推广阶段；Ⅲ原料结构变迁阶段；Ⅳ单系列大型化阶段；Ⅴ节能降耗阶段。与工艺相适应的自动化技术也不断发展，特别是第Ⅲ阶段，不同的工艺出现对控制任务提出不同的要求，鉴于当时的仪表条件、控制理论发展情况，主要针对一些重要的工艺参数设置一些简单的控制回路，并逐步发展为一些串级、比值控制回路。如作为先进的控制方案推广离不开计算机的发展，采用计算机控制系统后，随着计算机的发展，一方面一些控制系统得以有效实现，另一方面也为优化操作提供了硬件基础。针对合成氨厂的特点，一些非线性滤波采用了计算机辅助优化控制取得了成功，带来了合成氨生产的明显提高。目前，世界上许多氨厂都采用了计算机控制或DCS系统。合成氨厂的控制水平达到了一定高度，而且优化和计算机管理的研究和应用达到了一定程度，增加了产量，降低了成本，提高了效率。二、拟采取的研究方法和技术路线(包括研究工作的总体安排和进度，计算、实验方法和步骤及其可行性论证，可能遇到的问题和解决法。)采用的研究方法为：先进行理论研究，从合成氨的工艺要求和生产设备具体提点入手，分析应该优化的装置和重点回路。从重点回路出发更具体的分析每一个优化参数所要关联的参数，了解和分析这个参数优化前的控制方法，在此基础上制定新的控制方法，并能用先进控制方法使其得到优化。写出控制方案，画出控制方框图。在此基础上编制控制程序。将控制程序输入到DCS系统，并进行离线调试和在线调试，并将优化程序投入运行。记录投入运行优化控制系统前的参数运行曲线和投入优化控制系统后的运行曲线。分析优化系统的运行情况，提出进一步的修改意见。重复上述过程，进行第二次实验。直到达到满意的效果。工作计划：制定详细技术实施方案（1项目论证及前期调研、2方案设计和论证、3编制详细实施方案、4绘制有关设计图纸等）；编制软件；软件调试和投运；软件运行考核；操作培训和技术交流；项目鉴定及归档资料。完成以上工作大约需要1年时间。可能遇到的困难和解决方法：可能遇到的实际困难是：不同的厂家的工艺差异性，使得优化系统不能通用，须针对具体情况和现场状况作进一步的修正和补充。由于工艺状况的复杂性，同一个被控参数，由于原料的变化、时间的推进、成分的变化等一些不可控因素的出现，使其不能达到优化的效果。尽可能将所有的影响参数引入优化系统。让不可控因素越少越好。三、本项目的特色与创新之处。从八十年代开始，计算机控制系统和DCS系统逐步引进到我国生产过程控制中来，特别是化肥行业，90%以上的大化肥企业都引进了国外的DCS系统，80%以上的中化肥企业也都应用了国外的DCS系统，30-40%的小化肥企业也在部分装置上引进了国内及国外的控制系统。从DCS系统的引进情况看，大部分企业只是用DCS系统代替了原有的仪表系统，有小部分企业在个别回路做了一定的开发工作，总体看来，DCS的应用远远没有发挥其强大的功能优势。对于合成氨装置，该装置的最大特点是工艺流程长，反应在高温、高压下进行，自动化设计比较简单，手动操作率高。为了更好控制整个合成氨装置的运行，使整个生产能够达到节能、降耗、稳定、高产的目的，必须在原有初步设计的基础上，根据工艺操作的需要，进一步开发和利用DCS系统强大的软件功能，把现代控制理论中一些比较先进的控制算法，应用到合成氨装置中去。四、预期研究成果。由于化肥生产装置是综合化、大型化、连续化的生产方式，流程结构复杂。我国合成氨厂的规模在不断扩大，对于这样装置能否实现最优设计、最优控制，对基本建设投资、安全生产、产品的成本等都将有很大的影响。合成氨装置中合成工段和变换工段以及造气工段的优化控制软件和硬件，其目的是利用计算机的手段对装置进行节能降耗，提高化肥厂的生存和竞争能力。由于国内中小化肥装置均为非优化设计，各设备未经过正规的流程模拟，在加上装置改造一直在进行当中，操作条件（工艺参数）基本上都是根据经验确定，所以优化的难度比较大，同时优化的潜力也很大。优化控制就是要在线优化操作参数，在现有工艺流程和设备的条件下，利用计算机对生产装置进行操作参数的优化，进行卡边操作，节能降耗，降低每吨氨的生产成本，实现装置的利润最大化。优化控制是企业挖潜增效的新的有效手段。采用数学模型的手段和多变量优化算法，通过建立造气、变换系统和合成系统的数学模型，实现了造气、变换岗位和合成岗位的在线优化控制。五、已有的研究基础。天华化工机械自动化研究设计院是长期从事化工自动化和仪表的专业性研究单位。从事化肥过程控制已有30多年的经验。有一支技术力量雄厚的专业研究队伍。从八十年代开始就着力于优化控制系统研制和应用，先后在刘家峡化肥厂、河北易县化肥厂、安阳化肥厂、柳州化肥厂、山东红日集团等几家合成氨装置中都设计并运用了比较DCS系统，取得了比较满意的效果。在DCS开发方面也积累了相当丰富的经验，先后开发和应用了横河公司的YEWPARKMARKⅡ、μXL、CENTUM-XL、CS-1000，美国Honeywell公司的TDC-2000、TDC-3000、Micro-3000、GUS等系统；美国Rosement公司的RS3，PROVAX；德国西门子的PLC、PCS等。本人自毕业以来，一直从事化肥检测与控制的研究和应用工作。先后承担了安阳化肥厂、柳州化肥厂、山东红日集团、金昌化工集团等单位DCS系统的设计、组态、编程和应用工作。并且在部分控制回路中已成功地应用了比较先进的控制方法。取得了比较满意的效果。在系统集成、控制优化方面积累了一定的经验和方法。另外，有导师、同行们的支持和帮助，我相信，经过努力一定能把这个项目做好。六、主要参考文献目录。1《小型合成氨厂生产操作问答》；杨春升，化学工业出版社2《小型合成氨厂生产工艺与操作》；王师祥、杨保和，化学工业出版社。3《TDC-3000系统操作手册》Honeywell公司。4《集散型控制系统的设计与应用》；王常力、廖道文，清华大学出版社。5《新型控制系统》；俞金寿，化学工业出版社。6《现代控制理论基础》；王照林，国防工业出版社。7《化工仪表及自动化》论文集8《全国第五次化肥仪表自动化技术交流会以论文集》；化学工业部化肥司9《DCS、PLC及现场总线论文集》綦希林。七、副导师意见副导师(签名):年月日八、导师意见导师(签名):年月日

你这个问题不复杂，首先你这是个波叠加是有周期的，因为周期之比是整数倍，所以周期等于是个波最长的那个周期。如果初始相位不一致的话那么几乎不大可能达到4.其实任意波形的叠加求全局最大几乎不大可能能精确求解。正如在一个麦田里找最大的一粒谷子一样。只要找到差不多的就行。如果周期比不是整数倍，或者有理数倍的话，按照泛函理论，所得的波形最大值反倒是能无限接近于4.这方面的算法用matlab当然不行，用进化算法比较好，这方面我不是很清楚，进化算法就是模仿生物进化逐步淘汰的策略，你可以找找这方面的书籍看看。

步步优化，全局优化。经典的句子

这个不需要证明 对任意的随机变量的分布经过标准化处理后都服从标准正态分布N（0，1）

传统变量抽样的方法有三种分别是:均值估计抽样、差额估计抽样、比率估计抽样。也有简单的叫法:差额法、均值法和比率法。

把n用n+1代替

“边际量”是指某个经济变量在一定的影响因素下发生的变动量。　　经济学认为，经济事物总是在各种影响因素下不断变动的变量，因此，边际量就是理性人在做正确决策时的重要参考。这就是经济学十大原理之三——理性人考虑边际量　　经济学家用边际变动这个术语来来描述对现有行动计划的微小增量调整。记住“边际”指“边缘”。因此，边际变动是围绕你所做的事的边缘调整。理性人通常通过比较边际利益与边际成本来做决策。　　边际量是每增加一单位投入所增加的产量。　　用拔河来做比喻，一方共有10个人，总拉力为300公斤。现在增加一个人张三，张三的到来使得这一方的拉力增加了25公斤，这个25公斤就是边际量。又增加一个李四，李四的到来又增加20公斤拉力，这个也是边际量。　　总的说来，边际量的增加往往是递减的，还用拔河做例子。　　假设每一个人的力量都是一样的25公斤，当人数少的时候，大家配合的比较好，每一个人都能发挥25公斤的力量。　　后来增加了一个人，大家一起使劲的时间就有点错位，新增加的人实际只能让总拉力增加24公斤的力量。　　继续增加人的话，大家使劲的时间就有更多的错位，他只能让总拉力增加23公斤的力量。　　随着人数的增加，每个人带来的增量（就是边际量）都在减少，总拉力（就是总量）增加的速度越来越慢，直到最后再来一个人也不能增加为止，如果再增加人数的，就有可能带来负的边际量了。

一大

在中国，函数一词是清代数学家李善兰（1811-1882）最初使用的。他在1859年与英国学者烈亚力（1815-1887）合译的《代数学》一书中，将“function”译作“函数”

应该是选D，sin(1/x)有界，而且当1/x趋近于无穷大时其函数值是振荡的，因此有正也有负，所以是无界变量

不会考无界变量。396数学其实也是考研中的科目之一，全程叫做396经济类联考综合能力，适用于金融硕士、应用统计硕士、税务硕士、国际商务硕士、保险硕士及资产评估硕士等经济类专业硕士。考试范围为数学、逻辑、写作。但是，396经济类联考综合能力中的数学为高等数学、线性代数、概率论等大学期间所学的数学知识，396经济类联考综合能力试卷满分为150分，其中数学基础70分、逻辑推理40分、写作40分。

应该是选D，sin(1/x)有界，而且当1/x趋近于无穷大时其函数值是振荡的，因此有正也有负，所以是无界变量

无界量一定是无界变量，无界变量不一定是无界量。 区别就在“变”

无穷大的定义是在趋向的某一过程中，极限趋于无穷，sin1/X属于震荡类型函数，所以不是

普通的量可以分为常量和变量。针对特定的事物的量就是参数，参数反映特定事物的特点与性质。参数也可以分为固定参数与可变参数。可见变量与参数都是量，区别在于是否具有特定性。

对于Y=AB+CA,B,C都叫Y的参数,以A为本数,B叫A的系数,以B为本数,A叫B的系数,特殊的C的系数可以看做1.参数的来源于航空标识和天基测量系数的来源于陆基测量严格的定义http://baike.baidu.com/view/960.htm?fr=ala0_1http://baike.baidu.com/view/327406.htm?fr=ala0_1

对指定应用而言，它可以是赋予的常数值；在泛指时，它可以是一种变量，用来控制随其变化而变化的其他的量。简单说，参数是给我们参考的。也有让我们很为难的，那就是参数设置了。

常数： 固定不变的数值。数学常数通常是实数或复数域的元素。数学常数可以被称为是可定义的数字（通常都是可计算的）。数学里的参数： 也叫参变量，是一个变量。 人们用含有字母的代数式来表示变量希望能帮到你

常数是常量,参数是变量. 参数,也叫参变量,是一个变量.我们在研究当前问题的时候,关心某几个变量的变化以及它们之间的相互关系,其中有一个或一些叫自变量,另一个或另一些叫因变量.如果我们引入一个或一些另外的变量来描述自变量与因变量的变化,引入的变量本来并不是当前问题必须研究的变量,我们把这样的变量叫做参变量或参数.

是的，有的需要求，有的不需求。

参数和未知数差不多吧

当然不可以的。在一定的函数关系当中，变量始终是变量，参数始终是参数。简单例子：y=cos(t),t=sin(x)。那么x是t的参数，t是y的参数。不可能说t是x的参数。

　　双曲函数　　sh(y)=e^y-e^(-y)/2　　ch(y)=e^y+e^(-y)/2

“这是双曲函数的符号,sh表示双曲正弦,ch表示的是双曲余弦。 在数学中,双曲函数是一类与常见的三角函数(也叫圆函数)类似的函数。最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh和双曲余弦函数cosh,从它们可以导出双曲正切函数tanh等,其推导也类似于三角函数的推导。双曲函数的反函数称为反双曲...”

i=1,s=o时，s=0+1=1i=3,s=1时，s=1+3=4i=5,s=4时，s=4+5=9i=7,s=9时，s=9+7=16..............