几何

黎曼几何可以算是微分几何的一个分支

黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。是由德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。——基本常识篇。

是负数。罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。欧式几何: 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线或向平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗式几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。

欧几里得几何指按照古希腊数学家欧几里得的《几何原本》构造的几何学。欧几里得几何有时单指平面上的几何，即平面几何。本文主要描述平面几何。三维空间的欧几里得几何通常叫做立体几何。 高维的情形请参看欧几里得空间。黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。是由德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 。黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。 广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1915年发表的用几何语言描述的引力理论，它代表了现代物理学中引力理论研究的最高水平。广义相对论将经典的牛顿万有引力定律包含在狭义相对论的框架中，并在此基础上应用等效原理而建立。在广义相对论中，引力被描述为时空的一种几何属性（曲率）；而这种时空曲率与处于时空中的物质与辐射的能量-动量张量直接相联系，其联系方式即是爱因斯坦的引力场方程（一个二阶非线性偏微分方程组）。从广义相对论得到的有关预言和经典物理中的对应预言非常不相同，尤其是有关时间流逝、空间几何、自由落体的运动以及光的传播等问题，例如引力场内的时间膨胀、光的引力红移和引力时间延迟效应。广义相对论的预言至今为止已经通过了所有观测和实验的验证——虽说广义相对论并非当今描述引力的唯一理论，它却是能够与实验数据相符合的最简洁的理论。不过，仍然有一些问题至今未能解决，典型的即是如何将广义相对论和量子物理的定律统一起来，从而建立一个完备并且自洽的量子引力理论。爱因斯坦的科学定律，对所有的观察者，不管他们如何运动，都必须是相同的。它将引力解释成四维空间的曲率。 注意区分两种不同的讨论：数学上的讨论和物理学的时空观。数学上的黎曼几何可以看做是欧式几何的推广。欧式几何中的度量是零曲率的，而黎曼几何研究更一般的度量，在不同的度量下，空间的曲率是不同的。物理学中，牛顿力学粗略地说是建立在欧式空间上的。而广义相对论里的时空是一个黎曼流形。以下一段讨论涉及物理时所说的“欧式几何”有时候是指“牛顿时空观”。 是把认识停留在平面上了，所研究的范围是绝对的平的问题，认为人生活在一个绝对平的世界里。因此在平面里画出的三角形三条边都是直的。两点之间的距离也是直的。但是假如我们生活的空间是一个双曲面，（不是双曲线），这个双曲面，我们可以把它想象成一口平滑的锅或太阳罩，我们就在这个双曲面里画三角形，这个三角形的三边的任何点都绝对不能离开双曲面，我们将发现这个三角形的三边无论怎么画都不会是直线，那么这样的三角形就是罗氏三角形，经过论证发现，任何罗氏三角形的内角和都永远小于180度，无论怎么画都不能超出180度，但是当把这个双曲面渐渐展开时，一直舒展成绝对平的面，这时罗氏三角形就变成了欧氏三角形，也就是我们在初中学的平面几何，其内角和自然是180度。在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外抻直，故这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何。这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。

它不同于欧氏几何,它明确了直线和平行,由其在曲面或曲率不为0的面上黎曼几何有更明确的判定.1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

椭圆几何即黎曼几何。 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a=0时是普通的欧几里得几何，当a>0时 ，就是椭圆几何 ，而当a<0时为双曲几何。黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。词条图册更多图册

欧氏几何 一、欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称， 其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前， 古希腊人已经积累了大量的几何知识， 并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。 欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦” 材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来， 建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《 几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。 这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。 后又被译成多种文字，共有二千多种版本。 它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事， 也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来， 这部著作在几何教学中一直占据着统治地位， 至今其地位也没有被动摇， 包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 二、一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理， 写下《几何原本》一书， 使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。 这部划时代的著作共分13卷，465个命题。 其中有八卷讲述几何学， 包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》 的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。 真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的， 而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。 我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。 这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理， 如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。 同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。 在一个数学理论系统中， 我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理， 以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法， 把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。 欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义， 然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、 定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础， 来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩， 逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。 零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系 统。因而在数学发展史上， 欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人， 他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。 正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》 对数学的发展起到了巨大而深远的影响， 在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 三、欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域， 对数学的发展产生了不可估量的影响， 公理化结构已成为现代数学的主要特征。 而作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》， 用现代的标准来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。 如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念)，如点、线、 面就属于这一类。欧几里德对这些都做了定义， 但定义本身含混不清。另外，其公理系统也不完备， 许多证明不得不借助于直观来完成。此外，个别公理不是独立的， 即可以由其他公理推出。 这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》 出版时得到了完善。在这部名著中， 希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系， 即所谓的希尔伯特公理体系。 这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何 体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。 ------------------------------ ------------------------------ -------- 黎曼几何 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B. 黎曼19世纪中期提出的几何学理论。 1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《 论作为几何学基础的假设》的就职演说， 通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中， 黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体， 而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。 他首先发展了空间的概念， 提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。 这是现代n维微分流形的原始形式， 为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。 这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn） 与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离， 用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。 赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构， 并且在同一流形上可以有许多不同的度量。 黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱 导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2， 即第一基本形式， 而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。 黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性， 从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚， 创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如： 定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何， 当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。 该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R. 李普希茨等人解决。 前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概 念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法， 这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。 他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来， 因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H. 霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是E. 嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法， 建立了李群与黎曼几何之间的联系， 从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地， 影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A. 爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论—— 广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（ 里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。 而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。 例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明， 以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究， 引进了后来通称的陈示性类， 为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓 扑研究开创了先河。半个多世纪， 黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。 黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、 代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响， 在现代数学和理论物理学中有重大作用。 ------------------------------ ------------------------------ -------- 罗氏几何 罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式一对分 散直线在其唯一公垂线两侧无限远离几何平行公理用“ 从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替， 其他公理基本相同。由于平行公理不同， 经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。 我们知道， 罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此， 凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的， 在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中， 凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立， 他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧式几何: 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线或向平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗式几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到， 这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。 所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。 但是，数学家们经过研究， 提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型” 来解释罗式几何是正确的。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《 非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（ 例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译” 成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾， 非欧几何也就自然没有矛盾。 人们既然承认欧几里是没有矛盾的， 所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时， 长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究， 罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞 美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

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波恩哈德·黎曼(bernhard riemann)德国数学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为格丁根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授

《微分几何讲义》（陈省身）电子书网盘下载免费在线阅读资源链接：链接：https://pan.baidu.com/s/1qy2eMYnrrCHmytYRIFA3hw  提取码：hjmk      书名：微分几何讲义作者：陈省身豆瓣评分：8.8出版社：北京大学出版社出版年份：1999-07页数：321内容简介：内 容 简 介本书系统地论述了微分几何的基本知识。全书共七章并两个附录。作者以较大的篇幅，即前三章和第六章介绍了流形、多重线性函数、向量场、外微分、李群和活动标架法等基本知识和工具。在具备了上述宽广而坚实的基础上，论述微分几何的核心问题，即连络、黎曼几何以及曲面论等。第七章复流形，既是当前十分活跃的研究领域，也是第一作者研究成果卓著的领域之一，包含有作者独到的见解和简捷的方法。最后两个附录，介绍了极小曲面与规范场理论，为这两活跃的前沿领域提出了不少进一步研究课题。此书适用于高等院校数学专业和理论物理专业的高年级学生、研究生阅读，并且可供数学工作者和物理工作者参考。目 录第一章 微分流形1微分流形的定义2切空间3子流形4Frobenius定理第二章 多重线性函数1张量积2张量3外代数第三章 外微分1张量丛2外微分3外微分式的积分4Stokes公式第四章 连络1矢量丛上的连络2仿射连络3标架丛上的连络第五章 黎曼流形1黎曼几何的基本定理2测地法坐标3截面曲率4Gauss－Bonnet定理5完全性第六章 李群和活动标架法1李群2李氏变换群3活动标架法4曲面论第七章 复流形1复流形2矢量空间上的复结构3近复流形4复矢量丛上的连络5Hermite流形和kah1er流形附录一 欧氏空间中的曲线和曲面1.切线回转定理2.四顶点定理3.平面曲线的等周不等式4.空间曲线的全曲率5.空间曲线的变形6.Gauss－Bonnet公式7.Cohn－Vossen和Minkowski的唯一性定理8.关于极小曲面的Bernstein定理附录二 微分几何与理论物理参考文献

曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义曲率（截面曲率处处为常数）（a是常数），则当a=0时是普通的欧几里得几何，当a>0时 ，就是椭圆几何，而当a<0时为双曲几何。

分类: 教育/科学 >> 学习帮助 问题描述: 黎曼几何与相对论有什么关系？ 解析: 欧氏几何 一、欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。二、一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 三、欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响，公理化结构已成为现代数学的主要特征。而作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》，用现代的标准来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念)，如点、线、面就属于这一类。欧几里德对这些都做了定义，但定义本身含混不清。另外，其公理系统也不完备，许多证明不得不借助于直观来完成。此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。这些缺陷直到1899年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名著中，希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。也标志着欧氏几何完善工作的终结。 -------------------------------------------------------------------- 黎曼几何 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。 -------------------------------------------------------------------- 罗氏几何 罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式一对分散直线在其唯一公垂线两侧无限远离几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。 我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗式几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧式几何: 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线或向平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗式几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗式几何是正确的。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。 人们既然承认欧几里是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。黎曼猜想，即素数的分布最终归结为如下所谓的黎曼ζ函数：∞ 1 ζ（z）＝ ∑ ——— ，z＝x＋iy n=1 nz 的零点问题，他做出这样的猜想：ζ（z）函数位于0≤x≤1之间的全部零点都在x＝1／2之上，即零点的实部都是1／2，这至今仍是未解决的问题。

黎曼几何 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦兹几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。 黎曼猜想，即素数的分布最终归结为如下所谓的黎曼ζ函数： ∞ １ ζ（ｚ）＝ ∑ ——— ，ｚ＝ｘ＋ｉｙ n=1 ｎｚ 的零点问题，他做出这样的猜想：ζ（ｚ）函数位于０≤ｘ≤１之间的全部零点都在ｘ＝１／２之上，即零点的实部都是１／２，这至今仍是未解决的问题。 黎曼几何和欧氏几何的不同功能 在数学界，欧氏几何仍占主流；而物理界，则用的是黎曼几何。 因为据黎曼几何，光线按曲线运动；而欧氏几何中，光线按直线运动。

黎曼流形上的几何学，简称黎曼几何。是由德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 。想像在球面上画三角形，其内角和大于180°，全体数度与球的半径有关，没有固定的量。

在黎曼流形的研究中，完备性是一个很重要的概念。在黎曼流形上，两点之间可以定义距离，因而可成为一个度量空间，这个度量空间在拓扑意义下的完备与任一测地线均可无限延伸（依弧长或仿射参数）这一性质相等价，从而形成了完备黎曼流形的概念。特别，紧致黎曼流形是完备的黎曼流形。霍普夫与里诺给出了下述结果：完备黎曼流形上每二点均可用一极小测地线相连结，其长度就等于二点的距离。引进了完备性这一概念后，也推进了对三维欧氏空间曲面论的整体性质的研究。例如：对于曲率为常数的曲面的完备性的研究有：1959年P.哈特曼与L.尼伦伯格证明了完备的可展曲面必为柱面，迈尔斯与李卜曼证明了正常数曲率定向的完备曲面必为球面。完备性概念对非紧致黎曼流形的整体几何研究是十分重要的。 在整体微分几何发展中，纤维丛及其上的联络论的产生和发展，占有显著的地位。基本的纤维丛有向量丛和主丛，前者包括切丛、余切丛、张量丛及一般性的推广，后者是由标架丛抽象而成。在黎曼几何研究中所产生的列维－齐维塔联络被推广为仿射联络、射影联络、共形联络、……然后形成了一般向量丛或纤维丛上的联络论，它以优美的形式把几何学的群的结构和流形上的微分结构有机地结合起来,陈省身-外尔映射用代数的方法通过联络和曲率作出了底流形上的一些上同调类，这种上同调类称为示性类包括陈示性类，欧拉示性类，庞特里亚金示性类等，它们都能表示纤维丛的拓扑性质。纤维丛上的联络论成为理论物理学家的有力工具，杨振宁和米尔斯所提出的规范场理论是在物理学中形成的纤维丛上的联络论，不仅如此，他们对纤维丛上的联络提出了一个过去数学家没有想到过的偏微分方程（后称为杨-米尔斯方程），这个方程不仅对物理学,而且对纯粹数学发生了重大影响。此外，联络论中的一些示性类和示性数，也得到了物理学上的解释，成为物理学中的各种“粒子”数，如“磁单极”数、瞬子数等等。由于这些事实，微分几何和理论物理的关系就更其密切了，可以说是在爱因斯坦广义相对论后的一个新的高潮。

从上面所述不难看出一个向量沿着不同的曲线平行移动到同一点所得到的向量一般是不同的，这种差异刻画了黎曼流形的弯曲程度。设P是（M，g）的任一点，l(P）表示以P为始点和终点的闭曲线的集合，如果с1、с2是l(P）中的元素，则复合曲线с1·с2也是l(P)中的元素。对X∈Tp(M）沿着l(P）中元素C平行移动回到P点就得到 X┡∈Tp(M），这样l(P）中的一个元素就对应于 Tp(M）→Tp(M）的一个同构。这种同构全体构成的群就称为在P点处的和乐群，当M是连通流形时，不同点的和乐群是同构的，和乐群在黎曼几何的研究中有重要的作用。

黎曼几何的研究对象是比较复杂的，不研究简单的平行线。

微分几何就是坐标无关的几何，按照黎曼的说法，几何量就是在坐标变换下不变的量，正好张量就是在做表变换下形式不变，于是微分几何中张量是很常用的。高斯的绝妙定理是个什么啊，高斯定理有好多啊，你说的是Gauss-Bonnet定理么？那个是由结构方程和Stokes公式证出来的。 能说一下你在看什么书么？ 具体不明白的是哪个部分？

简单的说,黎曼几何是微分几何的一个特殊情况.微分几何的研究对象是一般的微分流形,黎曼几何的研究对象是黎曼流形.黎曼流形是一种特殊的微分流形,要求流形上存在黎曼联络,一般的微分流形上则没有这样的要求.所以说,黎曼几何比微分几何的范围要窄,也相对简单一些.

黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1+dx1，……xn+dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a=0时是普通的欧几里得几何，当a>0时 ，就是椭圆几何 ，而当a<0时为双曲几何。

最简单的说，你看见的是平面几何，而黎曼几何，只是一种几何的假设，（黎曼几何中的很多成立的几何定理在欧几里德几何中都是伪论）它是一种你在一个球面上的所会想到的几何，还有一种，是建立在鞍面上的。三种几何再加上为欧几里德几何，应该是所有你能接触到的几何了（欧几里德几何就是我们正常情况下的平面几何）。

黎曼几何是黎曼流形上的几何学。黎曼流形指的是一个n维微分流形M，在其上给定了一个黎曼度量g，也就是说，在微分流形M的每一个坐标邻域（U,x）内，用一个正定对称的二次微分来度量二个无限邻近的点（x1,x2，…，xn）和（x1+dx1，x2+dx2，…，xn+dxn）之间的距离。这里（gij）构成一个正定对称的n×n阵，并假设gij(x）关于（xi）有一定的可微性，而M上连接两点P、Q的曲线C:xi=xi(t），α≤t≤b的长度l(C)就用积分来计算。为了保证距离的度量与坐标邻域的选取无关，还要求gij满足二阶协变张量的变换规律，用整体黎曼几何的语言来说，就是在微分流形M上给定了一个由分量gij决定的正定对称二阶协变张量场g。M连同g，即（M,g）称为一个n维黎曼流形，g称为度量张量或基本张量。由于历史的原因，黎曼流形又常称黎曼空间，但后者偏重于局部意义，即常指黎曼流形的一个开子集或一个坐标邻域。度量张量g在流形M每点P(x1,x2，…，xn）的切空间Tp(M）中就规定了一个内积gp(或记为：〈，〉）用来计算切向量的长度、交角。即若向量X，Y∈Tp(M），而，，则X 的长度；X、Y的交角 θ由，0≤θ≤π决定。如果cosθ=0，即，就称X、Y 为互相正交。│尣│=1的向量称为单位向量，Tp(M）中由两两互相正交的单位向量组成的基称为正规正交基，对任一点P∈M，在P点的某一邻域U 内总存在n个单位向量场e1,e2，…，en，使得在U的每点它们构成切空间的一个正规正交基，这n个局部向量场称为一个局部正规正交基或局部正规正交标架。运用局部正规正交标架来研究黎曼几何的方法称为活动标架法。黎曼几何中的许多公式和几何量在活动标架下有特别简单明了的表达式，例如取ω1，ω2，…，ωn为局部正规正交标架e1，e2，…，en的对偶形式，也称对偶基，即满足的n个一次微分形式，于是在基{ei}下，由于，度量形式可写为。任一仿紧微分流形总具有黎曼度量，这种黎曼度量的数目是非常繁多的，但也不是完全任意的。微分流形的度量结构是受它的拓扑结构所制约的，而这种制约关系正是黎曼几何研究的一个重要内容，还存在许多没有解决的问题。有了计算曲线长度的方法，黎曼流形（M,g）上任意两点P、Q之间的距离d(P,Q）就可以用M中连接P、Q的所有分段可微分曲线的长度的下确界来定义，即 （连接P，Q的分段可微分曲线C）。于是，M在上述距离下成为一个度量空间，还可以证明，它所导出的度量拓扑与流形M原有的拓扑是等价的。

黎曼研究几何的途径 高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶的工作提出了对物理空间欧几里得几何的质疑，推动了19世纪的重大创造——黎曼几何的产生，它的创立者是几何学家黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann,1826-1866)。黎曼在几何领域追随高斯（他本来就是高斯的学生），在函数论追随柯西和阿贝尔，他对几何的研究也受心理学家赫尔巴特(Johann Friedrich Herbart,1776-1841)的影响。 高斯要求黎曼把几何基础作为其就职演说（大学讲师要取得大学教授资格需要做的演说）课题，1854年黎曼向哥廷根全体教员作了演讲，并在1868年以《关于作为几何学基础的假设》为题出版。 为了竞争巴黎科学院的奖金，1861年黎曼写了一篇关于热传导的文章，常被称为《巴黎之作》，黎曼发现必须进一步考虑他关于几何的思想，在这里他对1854年的文章做了技术性加工。1861年这篇未获奖的文章在他去世后发表于1876年的文集中，在文集的第二版中，韦伯(Heinrich Weber,1795-1878,搞生理的，是搞电磁的那个韦伯的哥哥）在一篇注释中解释了黎曼高度压缩的题材。 黎曼提出的空间几何不只是高斯微分几何的推广，他重新考虑了研究空间的整个途径，对于物理空间我们可以确信什么？在通过经验确定物理空间中成立的特殊公理之前，在真实的经验空间必须预先假定什么条件或事实？黎曼的目的之一是要证明，欧几里得公理与其说是不言自明的，还不如说是经验性的，他采用了解析的方法，因为在几何证明中，由于我们的感觉，可能错误假定一些不是显然可以承认的事实。黎曼的思想是，从关于空间无疑是先验的东西出发，分析后导出必然的结论，可知空间的任何其它性质都是经验的。高斯也研究了相同的课题，但仅发表了论曲面的部分，黎曼对什么是先验的探讨导致他研究空间的局部性质，即微分几何，这和欧几里得几何或高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶的非欧几何把空间作为一个整体考虑是相对的。黎曼在1854年讲演以及原稿中表现的思想是模糊的，一个原因是要适应听众（哥廷根教员），也和他的哲学思想有关。 高斯关于欧几里得空间中曲面的内蕴几何学，开辟了一个广泛领域，黎曼对任一空间发展了一种内蕴几何。虽然三维情形显然很重要，但黎曼宁可处理n维几何，他把n维空间称为一个流形，n维流形中的一个点可以用n个可变参数x1,x2,...,xn的一组指定值表示，而所有这种可能的点的集合构成n维流形本身，正如在一个曲面上的所有点构成曲面本身一样。这n个可变参数就叫流形的坐标，当这些xi连续变化时，对应的点遍历了整个流形。 因为黎曼认为我们只能局部地了解空间，所以他从定义两个一般点之间的距离出发，这两个点的坐标相差无穷小，他假定距离的平方是 其中gij是坐标x1,x2,...,xn的函数，gij=gji，且等式右边总是正的，这个表达式是欧几里得距离公式 的推广。他提出可假定ds是微分dx1,dx2,...,dxn的一个四次齐次函数的四个根中的一个，但没有深入研究这种可能性。由于允许gij是坐标的函数，所以黎曼的空间性质可逐点而异。 虽然黎曼在1854年论文未明确阐述下述定义，但在他心中是有的，因为它们等价于高斯对曲面所做的。黎曼流形上的一条曲线由n个函数:x1=x1(t),x2=x2(t),...,xn=xn(t)给定，于是在t=α和t=β之间的曲线长度定义为 ，两点之间的最短曲线——测地线随即可以变分法确定。用变分学记号，这就是适合条件 的曲线。取弧长s为参数，测地线方程可以证明为 ，这是n个二阶常微分方程的方程组。 两条曲线在点(x1,x2,...,xn)处相交，一条曲线由方向dxi/ds决定，另一条由方向dxi"/ds"决定，两条曲线在交点处的交角θ由公式 确定。仿照高斯对曲面的方法，可以推出一种度量的n维几何。所有度量性质由 表达式中的系数gij确定。 黎曼1854年论文第二个重要概念是流形曲率。黎曼企图用其刻画欧几里得空间和更一般的空间，在这种空间中图形可以挪动而不改变其形状或大小。黎曼关于任意n维流形曲率的概念是高斯总曲率概念的推广，和高斯的概念一样，流形曲率可用一些量定义，而这些量可以在流形自身上确定，从而无需想象流形位于某一更高维的流形中。 在n维流形中给定一点P，黎曼考虑在该点的一个二维流形，这个二维流形在n维流形中，由经过P点的无穷多条单参数测地线构成，这些测地线与流形的平面截口在P点相切，现在一条测地线可以用点P和在该点的一个方向描述，设dx1",dx2",...,dxn"是一条测地线的方向，而dx1"",dx2"",...,dxn""是另一条测地线的方向，则在P点的单参数无穷多条测地线中，任一条测地线方向的第i个分量由下式给出： ，λ"和λ""要受条件 的限制，这个条件是由条件Σgij(dxi/ds)(dxj/ds)=1导出的。 这一组测地线构成一个二维流形，它有一个高斯曲率，因为经过P点的这种二维流形有无穷多个，所以在n维流形的一个点处有无穷多个曲率，但在这些曲率的测度中，可以从n(n-1)/2个推出其余的，于是推出曲率测度的一个式子。这是黎曼在1861年文章中完成的，对流形就是一个曲面的情形，黎曼的曲率就是高斯的总曲率，严格来说，和高斯的曲率一样，黎曼的曲率是一种加在流形上而非流形自身的度量性质。 黎曼完成n维几何的一般研究，并说明如何引入曲率后，进而考虑特定的流形，在这种流形上，有限的空间形式能够移动而不改变其大小或形状，并能按任意方向旋转，他由此引入常曲率空间。 当在一点所有曲率的测度都相同，且等于其它任何点的所有曲率的测度时，黎曼称之为常曲率流形。在这种流形上可以讨论全等的图形。黎曼在1854年文章中给出下述结果：如果α是曲率的测度，常曲率流形上无穷小距离元素公式变为（在一适当坐标系中） 黎曼认为曲率α必须≥0，当α>0时为球面空间，α=0时为欧几里得空间，反之亦然。他认为如果一个空间是无限伸展的，其曲率必须为0，然而他也提示过可能有现实的常数负曲率曲面。 对于α=a 2>0，且n=3的情形，得到一种三维的球面几何，虽然不能把它形象化：这个空间在广度上有限但是无界，在其中所有测地线都是定长=2π/a，且回到它们自身，空间体积是$2π^2/a^3$。对a 2>0,n=2的情形，得到通常的球面空间，测地线是大圆且是有限的，任意两条测地线交于两点，我们不清楚黎曼是否认为常数正曲率曲面上的测地线都交于一点或两点，他可能倾向于后者。Felix Klein指出这里涉及两种不同的几何。

黎曼几何 黎曼流形上的几何学。德国数学家G.F.B.黎曼19世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用n个实数（x1，……，xn）作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，……xn）与（x1＋dx1，……xn＋dxn）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即 ， （gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流形，就是黎曼流形。 黎曼认识到度量只是加到流形上的一种结构，并且在同一流形上可以有许多不同的度量。黎曼以前的数学家仅知道三维欧几里得空间E3中的曲面S上存在诱导度量ds2＝Edu2＋2Fdudv＋Gdv2，即第一基本形式，而并未认识到S还可以有独立于三维欧几里得几何赋予的度量结构。黎曼意识到区分诱导度量和独立的黎曼度量的重要性，从而摆脱了经典微分几何曲面论中局限于诱导度量的束缚，创立了黎曼几何学，为近代数学和物理学的发展作出了杰出贡献。 黎曼几何以欧几里得几何和种种非欧几何作为其特例。例如：定义度量（a是常数），则当a＝0时是普通的欧几里得几何，当a＞0时 ，就是椭圆几何 ，而当a＜0时为双曲几何。 黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。该问题大约在1869年前后由E.B.克里斯托费尔和R.李普希茨等人解决。前者的解包含了以他的姓命名的两类克里斯托费尔记号和协变微分概念。在此基础上G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本数学工具的作用。他们进一步发展了黎曼几何学。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，因此黎曼几何只限于小范围的理论。大约在1925年H.霍普夫才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行了研究。随着微分流形精确概念的确立，特别是E.嘉当在20世纪20年代开创并发展了外微分形式与活动标架法，建立了李群与黎曼几何之间的联系，从而为黎曼几何的发展奠定重要基础，并开辟了广阔的园地，影响极其深远。并由此发展了线性联络及纤维丛的研究。 1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。使黎曼几何（严格地说洛伦茨几何）及其运算方法（里奇算法）成为广义相对论研究的有效数学工具。而相对论近年的发展则受到整体微分几何的强烈影响。例如矢量丛和联络论构成规范场（杨-米尔斯场）的数学基础。 1944年陈省身给出n维黎曼流形高斯-博内公式的内蕴证明，以及他关于埃尔米特流形的示性类的研究，引进了后来通称的陈示性类，为大范围微分几何提供了不可缺少的工具并为复流形的微分几何与拓扑研究开创了先河。半个多世纪，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的结果。黎曼几何与偏微分方程、多复变函数论、代数拓扑学等学科互相渗透，相互影响，在现代数学和理论物理学中有重大作用。

欧几里得空间

天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。                                                                                                                                                        ——1975年杨振宁先生为陈省身先生作人类首先系统化和公理化地研究几何学，还要追溯到古希腊欧几里得的时代（公元前300年）。欧几里得在他的《几何原本》中，总结了几何学的几条公理和公设。在此后的近2000年里，欧几里得的公理和公设，一直成为平面几何的基本规则和基础。我们中学学习的平面几何，就源于欧几里得的公理系统。在欧几里得的公设中，有一条第五公设（又被称为平行公设）：通过已知直线外一点，能作且仅能作一条直线与已知直线平行。正是这条公设导出了三角形的内角和为180度。它是一条根据日常经验总结出的公设，在千百年来很少被人质疑。但到了19世纪早期，偏偏有两个爱吃螃蟹的人——高斯和罗巴切夫斯基——怀疑起平行公设来，他们反复论证后发现，欧几里得的平行公设并不是逻辑上必须的，它是一个人为附加的限制条件。高斯罗巴切夫斯基他们设想存在一类曲面，在这类曲面上平行公设并不成立，三角形的内角和也不是180度。由此构建起来的新几何学便称为非欧几何学。高斯和罗巴切夫斯基的非欧几何学影响深远，它突破了欧几里得旧公理的限制，大大地解放了几何学，具有跨时代的意义。这样，原来的欧几里得几何学便成了新的非欧几何学的一个特例，非欧几何学可被应用于球面和马鞍面上，为后来出现的微分几何奠定了基础。非欧几何学通常又被称为罗巴切夫斯基几何学，这是为了纪念它伟大的创始人罗巴切夫斯基。有时候，它又被称作是高斯-罗巴切夫斯基几何学。为何一代“数学王子”高斯竟然会屈居罗巴切夫斯基之后呢？事实上，高斯研究非欧几何学要比罗巴切夫斯基早几年，早在罗巴切夫斯基发表他的著作之前，高斯就已经深入地研究了非欧几何学，并且已经有了相当高的成熟度，获得了很多重要成果。但“数学王子”一直没有发表他的成果，直到罗巴切夫斯基发表之后，高斯才公布了自己的一些结果。在此后的一些年里，高斯本人也从来没有争夺过非欧几何学的发现权，他总是将非欧几何学归功于罗巴切夫斯基。不少人据此说高斯高风亮节，一代“数学王子”果然气度非凡。这或许是部分原因，但更多的原因是，已经中年的高斯太过保守，担心发表非欧几何学这样轰动的结果会遭到数学保守派的攻击。而罗巴切夫斯基当时正是一个愣头小伙，天不怕地不怕，便把结果发表了出去。果不其然，罗巴切夫斯基受到了“正统数学家”的漠视、嘲讽、排挤和攻击，一生遭遇不公正对待，精神差点崩溃，成为了一代悲情英雄。早在非欧几何学构建之前，还有一个伟大的跨越。17世纪笛卡尔将坐标系引进了几何学，从而将代数学与几何学巧妙地联系在一起，创立了解析几何学。在解析几何方法的帮助之下，射影几何在19世纪走向了成熟。在解析几何、射影几何和非欧几何学成熟之后，现代几何学的集大成者——微分几何便应运而生了。微分几何是利用微积分的方法，通过研究空间的局部来探索出空间的几何性质。提到这，就不得不提黎曼。黎曼不仅开启了微分几何的新纪元，还用它研究了一类弯曲空间，它在局部相似于寻常的欧几里得空间，而在大尺度的非局域上又有不同于欧几里得空间的空间弯曲性质。这一类空间又被称为“黎曼流形”，爱因斯坦的广义相对论便是以“黎曼流形”作为数学基础。黎曼微分几何的出现，建立了弯曲空间局部和欧几里得平直空间的对应，使得我们可以用解析几何和数学分析的方法从空间的每一个局部来研究弯曲的非欧几何空间，这在之前是不可能办到的。微分几何的出现不但是几何学的新纪元，也是整个数学史上的新篇章。它使坐标系和代数学被引入之后，将分析的方法也引入了几何之中。从此，19世纪数学的三大块（俗称“老三高”）——几何学、代数学和数学分析学成为一个整体。毫不夸张地说，微分几何开创了二十世纪数学由分散向统一发展的新篇章。20世纪之前的数学分为三大块——几何学、代数学和数学分析学（与之相对应的数学专业三门主干课程，数学分析、线性代数和解析几何又常被数学系的人称为“老三高”）。而进入二十世纪之后，数学又有了新的发展，从前的分支交叉融合，新的思想涌现出来，构成了新的分支。抽象代数（包括群论、环论、域论）、泛函分析和拓扑学出现了（这三样也被数学系的人称为“新三高”）。二十世纪初期，“老三高”与“新三高”的交织和碰撞，擦出了数学史上炫丽的火花。嘉当在20世纪伊始，当“新三高”出现之后，几何学也取得了新的进步。这一时期，嘉当（法国数学家）深入研究了微分几何流形上的分析学，建立起了外微分的概念。他研究了流形中的联络，提出一般联络的微分几何学。除此之外，嘉当还仔细研究了李群和流形的对应关系，将李群引入“黎曼流形”之中。由于李群同时又可被看做是一种“拓扑空间”或“拓扑群”，嘉当的工作为日后拓扑学在几何学中的自由发展奠定了基础，也是后来诞生的整体微分几何的萌芽。20世纪，以微分几何为代表的现代几何学将物理学带入了新的高度，而20世纪前中期物理学的蓬勃发展也为几何学推波助澜。若论二十世纪中叶的几何学大家，首屈一指的便是陈省身。陈省身先生陈省身是公认的整体微分几何的开创者和推广者。黎曼时期的微分几何，主要是通过研究弯曲空间的每个局部来研究整个弯曲空间，而弯曲空间的整体性质，则不容易直接获得。如果忽略局部而从大范围分析，则是拓扑学的强项。1946年陈省身与美国的斯丁路特和法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论，将拓扑学和大范围分析引入几何之中。纤维从理论具有巨大的威力，不但方便了几何学，还方便了物理学。可以证明，纤维从理论与物理学中的规范场有着千丝万缕的关系。在二十世纪后半叶，以陈省身的纤维从理论为代表和以大范围分析为主导思想的整体微分几何推动着现代几何学滚滚向前。1975年，杨振宁先生曾为陈省身先生作了一首小诗：“天衣岂无缝，匠心剪接成。浑然归一体，广邃妙绝伦。造化爱几何，四力纤维能。千古寸心事，欧高黎嘉陈。”诗的最后两句“千古寸心事，欧高黎嘉陈”概括了在千年的几何学发展中的五位大师——欧几里得、高斯、黎曼、嘉当、陈省身。的确，他们的名字本身就是几何学发展的写照。也许，在我看来，还应加上笛卡尔和罗巴切夫斯基。出品：科普中国制作：小曲监制：中国科学院计算机网络信息中心“科普中国”是中国科协携同社会各方利用信息化手段开展科学传播的科学权威品牌。本文由科普中国融合创作出品，转载请注明出处。

简单的说,黎曼几何是微分几何的一个特殊情况. 微分几何的研究对象是一般的微分流形,黎曼几何的研究对象是黎曼流形. 黎曼流形是一种特殊的微分流形,要求流形上存在黎曼联络,一般的微分流形上则没有这样的要求. 所以说,黎曼几何比微分几何的范围要窄,也相对简单一些.

欧氏空间中两不同点的切向量可以用平行移动的方法移动到同一点处加以比较，而且这种平行移动与移动的道路无关。黎曼流形上不同点的切向量也可以用平行移动的方法加以比较，但一般说来，这时由于流形的弯曲，平行移动与移动的道路有关。设P(xi）为流形上任一点，{ei}，i=1,2，…，n为P点附近的一个局部标架，P +dP 为P 的一个无限邻近点，坐标为xi+dxi。定义P +dP 点的切空间和P 点的切空间的一个线性对应，使得P +dP点的对应于P点的向量。

这要看具体的曲线方程了，一般都是长度，角度等几何量，也有一些是不容易找到对应的几何量的。比如：对于直线：x=x0+tcosa, y=y0+tsina, 参数t是直线上P(x,y)到定点(x0, y0)的距离。对于圆：x=x0+rcost, y=y0+rsint, 参数t是圆上P(x, y)点水平方向的圆心角。

定义 　　在给定的平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数x=f(t),y=φ(t)——(1)；且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点m(x,y)都在这条曲线上,那么方程组(1)称为这条曲线的参数方程,联系x、y之间关系的变数称为参变数,简称参数.类似地,也有曲线的极坐标参数方程ρ=f(t),θ=g(t).(2) 圆的参数方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ (θ属于[0,2π） ) (a,b)为圆心坐标 r为圆半径 θ为参数 (x,y)为经过点的坐标 椭圆的参数方程 x=a cosθ y=b sinθ (θ属于[0,2π） ) a为长半轴 长 b为短半轴长 θ为参数 　　双曲线的参数方程 x=a secθ (正割) y=b tanθ a为实半轴长 b为虚半轴长 θ为参数 　抛物线的参数方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦点到准线的距离 t为参数 直线的参数方程 x=x"+tcosa y=y"+tsina ,x",y"和a表示直线经过(x",y"),且倾斜角为a,t为参数.　　或者x=x"+ut,y=y"+vt (t属于R) x",y"直线经过定点(x",y"),u,v表示直线的方向 向量d=（u,v）

1103年，中国宋代李诫所著《营造法式》中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未形成画法的理论。1763年，里昂学院年轻的物理学教授蒙日，在一次探亲回家的途中，遇见一位搞工程的官员，对方曾看见蒙日16岁时完全凭自己的能力画的一幅有名的地图，他建议蒙日到梅济耶尔的军事学校去。蒙日没有仔细考虑就答应了。到梅济耶尔之后，他很快就知道自己永远得不到军官委任状，因为他出身低微。他只能做实际工作，天天跟踪测量并和制图打交道。不过，他觉得很快活，因为这种工作使他有大量时间研究数学。学校常规课程中很重要的一部分筑城术，其中的关键是把防御工事设计得十分隐蔽，没有任何部分暴露在敌方的直接火力之下，而这往往需要没完没了的的算术运算。有时为了解决问题，只好把已经建成的工事拆毁，再从头开始。精通几何的蒙日在思考如何简化这项军事工程的过程中发明了画法几何。按照他的方法，空间的立体或其他图形就可以由两个投影描画在同一个平面上。这样，有关工事的复杂计算就被作图方法所取代。经过短期训练，任何制图员都能胜任这种工作。蒙日把他的发明呈交给一位高级官员。那人不相信一个繁难的工事问题能够得到解答，于是就审查。蒙日继续坚持，说他没有用算术。官员只好让步。审查结果发现，他的解答是正确的。蒙日立刻得到一个小小的教学职位，任务是把这个新方法教给未来的军事工程师们。他被要求宣誓不泄露他的方法，画法几何因此作为一个军事秘密被小心翼翼地保守了15年之久，到1794年蒙日才得到允许在巴黎师范学院将之公诸于世。没有蒙日最初为军事工程作的发明，19世纪机器的大规模出现也许是不可能的。画法几何是使机械工程成为现实的全部机械制和图解方法的根源。1799年法国学者G.蒙日发表《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影变换、轴测图以及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。

陈省身 陈省身，男，1911年10月28日生于浙江嘉兴秀水县，美籍华人，20世纪世界级的几何学家。少年时代即显露数学才华，在其数学生涯中，几经抉择，努力攀登，终成辉煌。他在整体微分几何上的卓越贡献，影响了整个数学的发展，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物。曾先后主持、创办了三大数学研究所，造就了一批世界知名的数学家。晚年情系故园，每年回天津南开大学数学研究所主持工作，培育新人，只为实现心中的一个梦想：使中国成为21世纪的数学大国。

加斯帕·蒙日，佩吕斯伯爵（英语：Gaspard Monge，1746年5月10日－1818年7月28日），法国数学家，画法几何创始人，（画法几何被广泛应用于工程制图当中），微分几何之父。蒙日生于法国博讷，是一位商人的儿子。他曾就读于奥拉托利教会在博讷资助兴建的学院。1762年，他转学到该教会在里昂的大学，在里昂学习一年物理后成为教师，年仅17岁。蒙日回到博讷后，为该镇绘制了一幅大型平面图，其发明了观测的方法且设计了所需的工具。平面图完工后被保存于该镇图书馆至今。一位工程官员阅毕该图后，写信将蒙日举荐至位于梅济耶尔的梅济耶尔皇家工程学院。随后成为一名绘图员，勉强属于该学院的学生。蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础，创立了偏微分方程的特征理论，引导了纯粹几何学在19世纪的复兴。此外，他在物理学、化学、冶金学、机械学方面也取得了卓越的成就。他的《大炮制造工艺》在机械制造界影响颇大。主要著作有：《曲面的解析式》（1755）、《静力学引论》（1788）、《画法几何学》（1798）、《代数在几何学中的应用》（1802）、《分析在几何学中的应用》（1805）等。著作蒙日(1770–1790年间)在《Memoirs of the Academy of Turin》，巴黎学院的《Mémoires des savantes étrangers》，《Mémoires》，以及《Annales de chimie》上发表了大量的数学和物理论文。其中值得注意的是"Sur la théorie des déblais et des remblais" (Mém. de l"acad. de Paris, 1781)，它在对标题中所指的土地工作的问题的研究中，作出了和该问题相关的曲面上的曲线的重大发现。欧拉在他关于曲率的的论文（Berlin Memoirs，1760）中考虑了穿过特定法向的平面界面的法向而不是曲面的法向，因而他并未发现曲面的递变的法向的相交问题。蒙日的上述备忘录给出了曲线曲率的常微分方程，并公布了一般情况下的结果；但对于椭球上的应用则是于1795年发布的论文中首次给出的。与此相关，蒙日土壤搬运问题导出了分布间距离的弱拓扑定义，该理论得到列昂尼德·维塔利耶维奇·康托罗维奇、保罗·皮埃尔·莱维、列昂尼德·瓦塞斯坦等数学家的认同。

1103年，中国宋代李诫所著《营造法式》中的建筑图基本上符合几何规则，但在当时尚未形成画法的理论。1763年，里昂学院年轻的物理学教授蒙日，在一次探亲回家的途中，遇见一位搞工程的官员，对方曾看见蒙日16岁时完全凭自己的能力画的一幅有名的地图，他建议蒙日到梅济耶尔的军事学校去。蒙日没有仔细考虑就答应了。到梅济耶尔之后，他很快就知道自己永远得不到军官委任状，因为他出身低微。他只能做实际工作，天天跟踪测量并和制图打交道。不过，他觉得很快活，因为这种工作使他有大量时间研究数学。学校常规课程中很重要的一部分筑城术，其中的关键是把防御工事设计得十分隐蔽，没有任何部分暴露在敌方的直接火力之下，而这往往需要没完没了的的算术运算。有时为了解决问题，只好把已经建成的工事拆毁，再从头开始。精通几何的蒙日在思考如何简化这项军事工程的过程中发明了画法几何。按照他的方法，空间的立体或其他图形就可以由两个投影描画在同一个平面上。这样，有关工事的复杂计算就被作图方法所取代。经过短期训练，任何制图员都能胜任这种工作。蒙日把他的发明呈交给一位高级官员。那人不相信一个繁难的工事问题能够得到解答，于是就审查。蒙日继续坚持，说他没有用算术。官员只好让步。审查结果发现，他的解答是正确的。蒙日立刻得到一个小小的教学职位，任务是把这个新方法教给未来的军事工程师们。他被要求宣誓不泄露他的方法，画法几何因此作为一个军事秘密被小心翼翼地保守了15年之久，到1794年蒙日才得到允许在巴黎师范学院将之公诸于世。没有蒙日最初为军事工程作的发明，19世纪机器的大规模出现也许是不可能的。画法几何是使机械工程成为现实的全部机械制和图解方法的根源。1799年法国学者G.蒙日发表《画法几何》一书，提出用多面正投影图表达空间形体，为画法几何奠定了理论基础。以后各国学者又在投影变换、轴测图以及其他方面不断提出新的理论和方法，使这门学科日趋完善。

根轴么？不确定是不是叫“蒙日定理”，但证明很简单，几乎从根轴的定义就可以了。设A、B、C三个圆，圆心不重合也不共线，证明三根轴交于根心。根轴定义：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点。B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点。考察L1与L2的交点P。因为P在L1上，所以：P到A的切线距离＝P到B的切线距离。因为P在L2上，所以：P到B的切线距离＝P到C的切线距离。所以：P到A的切线距离＝P到B的切线距离＝P到C的切线距离。也就是：P到A的切线距离＝P到C的切线距离。所以：P在A与C的根轴上。所以：三个根轴交于一点。

根轴么？不确定是不是叫“蒙日定理”，但证明很简单，几乎从根轴的定义就可以了。设A、B、C三个圆，圆心不重合也不共线，证明三根轴交于根心。根轴定义：A与B的根轴L1：到A与B的切线相等的点。B与C的根轴L2：到B与C的切线相等的点。考察L1与L2的交点P。因为P在L1上，所以：P到A的切线距离＝P到B的切线距离。因为P在L2上，所以：P到B的切线距离＝P到C的切线距离。所以：P到A的切线距离＝P到B的切线距离＝P到C的切线距离。也就是：P到A的切线距离＝P到C的切线距离。所以：P在A与C的根轴上。所以：三个根轴交于一点。

曲面理论 和空间曲线理论一样，曲面理论的建立也是一个相当漫长的过程。曲面理论始于研究曲面（地球）上的测地线。1697年约翰伯努利提问：怎样在一凸面曲面上求两点间最短弧。1698年他给莱布尼茨写信说，测地线上任何一点处的密切平面（密切圆平面）在该点垂直于曲面，同年他的哥哥詹姆斯伯努利解决了柱面、锥面和旋转曲面上的测地线问题，30年后约翰伯努利用哥哥的方法求出另外几种曲面的测地线，不过詹姆斯伯努利的方法有局限性。 1728年欧拉使用他在变分法中引入的方法，给出了曲面上测地线的微分方程，1732年Jacob Hermann也求出了一些特殊曲面上的测地线。克莱罗在1733年和1739年的著作中充分讨论了旋转曲面上的测地线，证明测地线和穿过测地线的任何子午线的夹角正弦和交点到旋转轴的垂直距离成反比；他又证明如果一平面通过旋转曲面任何一点M且垂直于曲面和通过M点的子午面，则该平面与曲面的交线在M点处的曲率半径等于法线在M点和旋转轴之间的长度，尽管他使用了分析法，但不具备与变分法相联系的思想。 1760年欧拉出版了《关于曲面上曲线的研究》，在该书中建立了曲面理论，是微分几何发展史中的里程碑。他把曲面表示成z=f(x,y)并引入了现代的标准符号，先求曲面任何平面截线的曲率半径的表达式，再把结果应用到法向截面，他把垂直于xy平面的法向截面定义为主法向截面，得到法截线的曲率半径。他想要求出过曲线上一点的所有法截线的最大曲率和最小曲率，发现存在两个相差90°的根，即有两个相互垂直的法平面，我们把这两个曲率称为主曲率κ1和κ2。从欧拉的结果推得，任何一个和主曲率所在法截面之一成α角的法截面，其上截线的曲率κ为：κ=κ1cos^2α+κ2sin^2α，这个结果称为欧拉定理。、 蒙日的学生Jean Baptiste Marie (J. B. M. Meusnier de la Place，中文翻译为梅斯尼埃，1754-1793)在1776年以更精细的方式得到相同结果，梅斯尼埃和拉瓦锡一起搞过流体动力学和化学，他处理了非法截线的曲率（欧拉搞过一个复杂的表达式），称为梅斯尼埃定理：曲面在P点的平面截线曲率，是通过P点的同一切线的法截线曲率除以原平面和P点切平面之夹角的正弦，他证明了两个主曲率处处相等的曲面只有平面和球面。他的论文使18世纪的许多结果变得直观。 绘制地图的需求发展了曲面论的一个主要领域：研究可展曲面，即将其平摊在平面而不产生畸变的曲面，同时形状与球面接近。欧拉是第一个研究这个问题的人。18世纪曲面被认为是固体的边界，因此他认为立体的表面可展平在一张平面上。他引入了曲面的参数表示，试图寻求满足什么条件的函数可以使曲面展开在平面上。他推导出可展性的充要条件，方程等价于曲面上的线元素与平面上的线元素相等。 然后欧拉研究了空间曲线和可展曲面的关系，并证明任何空间曲线的切线族填满或构成一可展曲面。他试图证明每个可展曲面都是直纹面（直线移动生成的曲面），且逆定理也成立，但没有成功（实际上逆定理不成立）。 蒙日独立研究了可展曲面的课题，他结合了分析法和几何法，是继笛卡尔后综合几何领域的第二个代表人物。蒙日在画法几何（为建筑学服务的）、解析几何、微分几何、常微分方程和偏微分方程领域的工作赢得了拉格朗日的钦佩和羡慕。他也为物理学、化学（他跟梅斯尼埃都跟拉瓦锡一起工作过）、冶金学、机械学做了许多贡献，他看到了工业发展对科学的需求，提倡把工业化用于改善民生。也许是因为他出身贫寒，懂得底层的苦难，所以他热心社会事务，在法国革命后的政府担任海军部长和公众健康委员会委员（可能是1792年左右，跟尚未成名的拿破仑结了善缘，但是他自己不记得了。后来革命愈演愈烈，蒙日差点被群众搞死，被拿破仑救了一命）他搞过武器设计，还用技术思想指导政府官员。他是波拿巴的支持者（但是看百度百科，没感觉他崇拜拿破仑呀），后来波旁王朝复辟，使得这位天才晚景凄凉。蒙日帮助组织了很多工艺学校，建立了一个几何学派（他创立的画法几何因为太强了，被要求签保密协议，很多年后解禁了才在巴黎公开授课），他是一个伟大的教师，至少有12个学生是19世纪初的知名人物。 蒙日在三维微分几何的贡献远超欧拉，1795年他发表了一篇论文，把过去的成果系统化并作了扩充，提出了一些新的重要结果，并把曲线、曲面的性质翻译成偏微分方程的语言。在寻求分析和几何的对应关系时，他认识到一族具有共同几何性质或用同一种生成方法定义的曲面应该满足一个偏微分方程。 蒙日的第一个重要工作是关于双重曲率曲线的可展曲面，研究空间曲线及与之相联系的曲面，他把空间曲线看作两空间交线或两个互相垂直平面的投影。他把法平面和相邻法平面交线的极限位置称为极轴。当沿着曲线移动时，法平面的包络是一可展曲面，叫做配极可展曲面。为了求配极可展曲面的方程，他给出法平面方程，然后给出了求单参数平面族包络的法则，这个法则沿用至今且同样适用于单参数曲面族。 蒙日还研究了可展曲面的脊线，这是由生成曲面的一组直线形成的，脊线把可展曲面分成两叶，就像尖点把平面曲线分成两部分。蒙日得到了脊线方程，在配极可展曲面，脊线就是原空间曲线的曲率中心的轨迹。 1775年蒙日发表了一篇在影子和半阴影理论中碰到的可展曲面的论文，直观论述了可展曲面是直纹面（但反之不然）。在直纹面上两条相邻直线共点或平行，任何可展曲面等价于由空间曲线的切线生成的曲面。在文章中他给出可展曲面的一般表示，然后他给出直纹面的一般表示，可展曲面是一种特殊直纹面。 1776年他研究怎样最有效地把土从一个地方搬到另一个地方，事实上这篇文章的重点不是应用，而是其中的几何结果。他从处理两个参数的一族直线或线汇这个课题着手，然后遵循欧拉和梅斯尼埃的工作，考虑了曲面S的法线族。曲率线的曲面法线构成一个可展曲面，称为法可展曲面（这些术语简直使我灵魂出窍了……），类似地，沿垂直于第一条曲率线的曲率线的曲面法线也构成一个可展曲面。因为曲面上有两族曲率线，所以有两族可展曲面，且相互正交。一族可展曲面的全部脊线组成一曲面，称为中心曲面。每族可展曲面的包络叫焦曲面。蒙日对满足非线性、线性一阶、二阶、三阶偏微分方程的曲面族的研究工作对偏微分方程意义重大。他喜欢通过对具体曲线、曲面的论述阐明思想。他思想的推广和应用是由19世纪的数学家实现的。蒙日面向实际，在1795年的论文中他以理论怎样应用于建筑建造作为结尾。 蒙日的学生皮埃尔·夏尔·弗朗索瓦·迪潘（1784-1873）也为曲面论做了贡献，迪潘是个造船工程师，也侧重应用，他的贡献之一是迪潘指标线，澄清了欧拉和梅斯尼埃先前的结果。给定曲面在M点的切平面，从M点向切平面的每个方向划出一线段，长度等于曲面在该方向的法截线的曲率半径的平方根，这些线段端点的轨迹是一条圆锥曲线，即指标线。曲面上通过M点具有极大极小曲率的曲线，是在M点以指标线的轴线作为切线的曲线。迪潘还给出了定理：三族正交曲面相互交截于每个曲面的曲率线（有最大或最小法曲率的曲线）。 迪潘推广了蒙日关于线汇的结果。如果线汇（双参数族）与一族曲面正交，则称线汇为正交的。法国物理学家马吕斯Etienne Louis Malus（1775-1812）利用了蒙日的结果，证明从一点发出的法向线汇在曲面上反射或折射后仍然是一个法向线汇。1816年迪潘证明这一定理对任何法向线汇经任意多次反射后仍然成立。后来凯特勒Lambert Adolphe Jacques Quetelet（1796-1874）证明法向线汇经多次折射后仍然为法向线汇。线汇和线丛（马吕斯引入的三参数曲线族）是19世纪许多数学家研究的课题。

若已知直线l过（0，n）则设l：y=kx+n 若已知直线l过（v，0） 则设l：x=my+v （1/m是斜率） 这样设计算量会相对较小

线性代数学起来最容易了。。如果你只想学好线代。就不要专门去学空间解析几何。如果你想知道空间解析几何。下面一个网你可以去看看。。

若已知直线l过（0，n）则设l：y=kx+n若已知直线l过（v，0）则设l：x=my+v（1/m是斜率）这样设计算量会相对较小

射影群中有许多重要子群，对应于每一个这样的子群有一种几何，叫做射影几何的子几何。为了简单明确起见，下面所说的射影群就是直射群，所说的射影变换是指直射变换，而且主要分析平面上的情况。在扩大仿射平面上，令无穷远线□0=0不变的射影变换是仿射变换，用非齐次坐标表示，仿射变换的方程可以写成□ (8)一切仿射变换所构成的仿射群，是射影群的一个子群。仿射变换保持平行性。在扩大仿射平面的无穷远线□0□=0上，取两个共轭虚点□1(0,1,i),□2(0,1,-i),式中i2=-1。令点偶□1,I2（即□，□0=0）不变的仿射变换叫做相似变换；它们的方程可以写成 (8)的形状，但其中(□□)是正交方阵乘以一个常数：□一切相似变换构成相似群（也叫欧氏群或度量群），它是仿射群的子群，也是射影群的子群。有了□1,□2两点后，就可以通过射影方法在平面上引进距离和角的概念（见绝对形），相似变换把每个图形变成一个和它相似的图形，即一切长度按比例变化而角不变。这时扩大平面就可以叫做扩大欧氏平面，它上面的一切圆都经过□1□，□2。这两点就叫做无穷远圆点。在相似变换中，系数□□□构成正交方阵 (即□□=±1)的，叫做全等变换（或运动）；式中det(□□)=1的叫做正常运动，det(□□)=-1的叫做反常运动。后者是一个正常运动和一个对直线反射之积。全等变换把每个图形变成一个和原图全等的图形。全等变换群（或运动群）是射影群、仿射群和相似群的子群。已给一个空间□ 以及作用于它上面的变换所构成的一个群□，就可以判断，在□里，哪些图形性质经过□中的变换不变，研究这些性质的几何就叫做属于□的几何。若□1是□的子群，属于□1的几何就叫做属于□的几何的子几何。射影几何和仿射几何依次属于射影群和仿射群，而欧氏几何则可以认为属于相似群，但又部分地属于全等群；因为它既研究相似图形，又研究全等图形。欧氏几何是仿射几何的子几何，它和仿射几何又都是射影几何的子几何；由于它研究图形的度量性质(长度、角度、面积、……)，它也叫做度量几何。群越大，不变性质越少而越带普遍性；群越小，不变性质越多而越丰富具体。这样，就可以通过不同的群之间的关系来理解不同的几何之间的关系。空间□的图形还可以通过变换群□分类：把一切可以经过□的变换互相转化的图形归入同一个等价类。例如，一切满秩实迹（即有实点的）二次曲线都互相射影等价，即属于同一个射影类，它们却分为三个仿射类：和无穷远线不相交（于实点）的是椭圆，相切的是抛物线，相交于两（个实）点的是双曲线。每一个仿射类里的二次曲线又可以分为无数度量类；例如同是椭圆，两个半轴长比值不同的就不相似，半轴长不分别相等的就不全等。两种非欧几何，即椭圆几何和双曲几何都是射影几何的子几何。在射影平面上，把虚迹二次曲线□□变为自己的一切射影变换构成射影群的一个子群，叫做椭圆（运动）群；属于它的几何就是椭圆几何，附有那个不变二次曲线的射影平面叫做椭圆平面。另一方面，把实迹二次曲线□变为自己，并把它的内部（即□的点的集合）变为内部的射影变换也构成射影群的一个子群，叫做双曲（运动）群；属于它的几何就是双曲几何；那个二次曲线内部就是双曲平面。非欧平面上的长度和角度概念也可以通过射影方法来引进。射影几何另外一个重要子几何是闵科夫斯基几何。把点偶(0,1,1)和(0,1,-1)（即□）变为自己的一切射影变换构成洛伦兹群，属于它的几何就是闵科夫斯基几何。闵科夫斯基几何为狭义相对论提供了天然的几何说明；四维闵科夫斯基几何就是四维时空(见闵科夫斯基空间)。上面所论的射影群的每个子群都有一个不变的图形（其中有些是虚迹图形），如对于仿射群的□0=0，对于相似群的□，对于椭圆群的□等。这种不变图形就叫做相应子几何的绝对形。以上理论都可以推广到三维以至任意维空间。在三维空间，欧氏几何的绝对形是□□，它叫做无穷远虚圆；因为扩大欧氏平面的一切球面都经过它。空间椭圆几何，双曲几何和闵科夫斯基几何的绝对形依次是□□。

几何变换可改变图象中物体(象素)之间的空间关系。这种运算可以看成将各象素在图象内移动的过程。几何变换中灰度级插值是必不可少的组成部分，因为图象一般用整数位置处的象素来定义，某个点经变换后可能映射到多个点之间。仿射变换(Affine Transformation)和图象卷绕(ImageWarping)是两类常见的几何运算。 1、最近邻插值最简单的插值方法是最近邻插值，即选择离它所映射到的位置最近的输入象素的灰度值为插值结果。最邻近插值的特点有：1.简单快速；2.灰度保真好；3.误差较大；4.视觉特性较差5.马赛克效应2、双线性插值：双线性插值，又称为双线性内插。在数学上，双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展，其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。假如我们想得到未知函数f在点P(x,y)的值，假设我们已知函数f在Q11（x1,y1），Q12（x1,y2），Q21（x2,y1），Q22（x2,y2）四个点的值。如下图所示：首先在x进行线性插值，得到两个点R1与R2： ,其中R1=（x,y1）; ,其中R2=（x,y2）;然后在y方向进行线性插值，得到所要求的点P(x,y)，点P(x,y)的值由下式给出： ,其中y1=f(R1)，y2=(R2)这样就得到了未知函数f在点P(x,y)的值，以下式子给出： 如果选择一个坐标系统使得的四个已知点坐标分别为 (0, 0)、(0, 1)、(1, 0) 和 (1, 1)，如图所示：那么插值公式就可以化简为一个双曲面抛物面方程的形式： 的形式，代入各个点的值则可以得到：由此式可以得带双曲抛物面的各个参数的值为：线性插值的结果与插值的顺序无关。首先进行y方向的插值，然后进行x方向的插值，所得到的结果是一样的。双线性插值的一个显然的三维空间延伸是三线性插值双线性插值的特点：1.计算过程中充分的考虑到了各邻点的特征，具有灰度平滑过渡的特点；2.一般情况下可以得到满意的结果；3.具有低通滤波的特性，使图像轮廓变的模糊；4.平滑作用会使图像细节退化，尤其是在放的的时候；5.不连续性会产生不希望的结果。3、 高阶插值（三次卷积插值）：在满足Nyquist条件下，从离散信号X（nTs）可以恢复连续信号x（t）：sinc函数如图所示：为了简化计算，仅取原点周围有限范围的函数（即高阶插值）： 利用三次多项式来近似理论上的最佳插值函数sinc（x），得到以下式子： 当|x|<1时； 当1≤|x|≤2时； 当|x|>2时。由此形成的三次卷积插值法，又称三次内插法，两次立方法（Cubic），CC插值法等。利用插值点周围的16个邻点像素值： 首先确定辅助点位1p,2p,3p,4p各点的亮度值，再由此确定P点的值。由以下公式给出：其中：由此可以算出插值点P的的值。三次卷积插值算法的特点：1.是满足Nyquist条件下，最佳重构公式的近似；2.只有图像满足特定条件时，三次卷积插值算法才能获得最佳的结果；3.可使待求点的灰度值更好的模拟实际可能的值；4.可以取得更好的视觉效果；5.三次卷积插值算法的突出优点是高频信息损失少，可将噪声平滑；6.4*4时，像元均值和标准差信息损失小；7.计算量大为增加。 空间变换包括可用数学函数表达的简单变换(如：平移、拉伸等仿射变换)和依赖实际图象而不易用函数形式描述的复杂变换(如对存在几何畸变的摄象机所拍摄的图象进行校正，需要实际拍摄栅格图象，根据栅格的实际扭曲数据建立空间变换；再如通过指定图象中一些控制点的位移及插值方法来描述的空间变换)。1、仿射变换(affine transfomation)仿射变换变换的公式如下：f(x)=AX=b其中A是变形矩阵，b是平移矢量。任何一个放射变换可以分解为尺度、伸缩、扭曲、旋转、平移的组合。2、基本变换(1)基本几何变换的定义对于原图象f(x，y)，坐标变换函数x"=a(x，y)；y"=b(x，y)唯一确定了几何变换：g(x"，y")=f(a(x，y)，b(x，y))；g(x，y)是目标图象。(2)平移变换(3)旋转变换：绕原点旋转(度(4)水平镜像(5)垂直镜像(6)缩放变换3、透视变换(Persp ective Tmnsfomation)透视变换是中心投影的射影变换，在用非齐次射影坐标表达时是平面的分式线性变换，透视变换常用于图象的校正。4、几何校正几何校正是指按照一定目的将图象中的典型几何结构校正为没有变形的本来形式。例如，对如F的走廊图象进行校正，分两种情况，一种是针对地砖形状的校正，另一种是针对最右侧有把手的门形状的校正。5．图像卷绕(Image Warping)图像卷绕是通过指定一系列控制点的位移来定义空间变换的图象变形处理。非控制点的位移根据控制点进行插值来确定。

仿射几何增加了无穷远点和无穷远直线，因此和欧式几何本质上不同。仿射直线是封闭的，欧式直线是两端无限延伸的。仿射直线的点偶关系和欧式直线不同，仿射直线的点偶没有顺序的概念，只能谈分离不分离。仿射平面也是封闭的，而欧式平面是各方向无限伸展的。仿射平面有不可定向性。从模型上看，仿射直线和圆周同构，仿射平面和实心圆盘拓扑等价，欧式平面和去掉圆周的圆盘内部拓扑等价。还有，仿射几何里，仿射直线和添加了无穷远点的所谓拓广点地位是对等的，体现了对偶原理，而欧式几何两者不对等。

截面曲率、里奇曲率以及数量曲率是非常重要的几何量。研究这些量与黎曼流形的几何性质以及拓扑性质之间的关系是黎曼几何的一个重要课题。例如，嘉当－阿达马定理断言：若一个n维单连通完备黎曼流形的截面曲率处处不大于零，那么它与Rn微分同胚。再如迈尔斯定理断言：若完备黎曼流形的里奇曲率处处大于一个正常数h，那么它必是紧流形而且基本群有限。W.克林格贝格和M.伯热证明的球定理断言：如果完备单连通n维黎曼流形M的截面曲率KM 满足，那么M与n维欧氏球面Sn同胚。这些结果显示了流形的拓扑性质与度量性质之间有密切的联系。在这方面还有许多未解决的问题。

他非常厉害，要知道世界难题基本上是没有人能解得出来的。但是这个教授才26岁就解出来了，所以见得他有多厉害。

因为他有实部和虚部，用横轴表示实部，纵轴表示虚部，是一个二维的量实数是一维的，可以用一个数轴就可以表示

复数的几何意义，是指复数z=a+bi(a、b∈R)，一一对应复平面内的点Z（a,b）。其中，在复平面内，复数的实部（a）是其对应点的横坐标，复数的虚部（b）是其对应点的纵坐标。因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系。

双曲线的题目可以把y伸缩到1/ib倍，把x伸缩到1/a倍，i为虚数单位。那么就可以用圆的方法做双曲线的题目

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系 这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即： 复数复平面内的点。这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

复数法解平面几何是万能的。注意要谨慎使用“复平面”这个概念，你所说的复平面意义其实只是一个二维坐标平面，其坐标系为实数轴和纯虚数轴构成的直角坐标系。但是一般意义下的复平面则不同了，这里需要引入复分析的内容去了解。通常下的几何其数都是在实数域里取值的，但是复几何则是在复数域内取值。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数 x+yi 与 x-yi 称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，而这一点正是“共轭”一词的来源——两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做“轭”。如果用z表示x+yi，那么在字母z上面加上一条横线就表示它的共轭复数 x-yi。

复数z=a+bi(a、b∈R)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)惟一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系中的点A，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i。非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i，z=－5－3i对应的点(－5，－3)在第三象限等等。复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即：复数复平面内的点。这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。

三次方程必有一个实数解（因为实系数方程的复数解必然成对，每对互为共轭复数。）复数解的几何意义只能在复平面内表达，无法在方程对应函数图像所在平面直角坐标系表达，这个坐标系中不可能出现曲线与x轴的虚交点（不存在的交点），三次方程总可以化为f(x)=x³+bx²+cx+d=（x-s）（x-（p+qi））（x-（p-qi））其中s是实数根，p，q是实数，q>0=x³-x²[(p-qi)+(p+qi)+s]+x[(p+qi)(p-qi)+s(p+qi)+s(p-qi)]-s(p+qi)(p-qi)=x³-x²[2p+s]+x[p²+q²+2sp]-s(p²+q²)-2p-s=bp²+q²+2sp=c-s(p²+q²)=d如果s=0，则d=0，方程可以简化为一元二次方程，x²+bx+c=0，b²-4c＜0；如果s≠0，研究s与p、q的关系：p²+q²=-d/s回代上一式：-d/s+2sp=c由第一式：2p=-s-b，p=-（s-b）/2p²+q²=-d/sp²+q²=c-2sp=c+s（s+b）=s²+bs+c在复数平面上，矢量s，p+qi，p-qi，相互夹角为120°。

复数的几何意义，是指复数z=a+bi(a、b∈R)，一一对应复平面内的点Z（a,b）。其中，在复平面内，复数的实部（a）是其对应点的横坐标，复数的虚部（b）是其对应点的纵坐标。因为对于任何一个复数z=a+bi(a、b∈R)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，如z=3+2i可以由有序实数对(3，2)确定，又如z=－2+i可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的。由此可知，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

陈冠希

一个代数簇V的定义方程中的系数以及V中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做V的基域。当V为不可约时（即如果V不能分解为两个比它小的代数簇的并）,V上所有以代数式定义的函数全体也构成一个域，叫做V的有理函数域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何也可以看成是用几何的语言和观点进行的有限生成扩域的研究。代数簇V关于基域k的维数可以定义为V的有理函数域在k上的超越次数。一维的代数簇叫做代数曲线,二维的代数簇叫做代数曲面。代数簇的最简单的例子是平面中的代数曲线。例如，著名的费马猜想（又称费马大定理）就可以归结为下面的问题：在平面中，由方定义的曲线（称为费马曲线）当n≥3时没有坐标是非零的有理数点。另一方面，下面的齐次方程组在复数域上的射影空间中定义了一条曲线。这是一条椭圆曲线。人们对代数簇的研究通常分为局部和整体两个方面。局部方面的研究主要是用交换代数方法讨论代数簇中的奇异点以及代数簇在奇异点周围的性质。作为奇异点的例子,可以考察由方程x2y3所定义的平面曲线中的原点(0,0)。这是一个歧点。 　不带奇异点的代数簇称为非奇异代数簇。数学家広中平祐在1964年证明了基域k的特征为0时的奇点解消定理：任意代数簇都是某个非奇异代数簇在双有理映射下的像。一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射称为双有理映射，如果它诱导有理函数域之间的同构。两个代数簇V1，V2称为双有理等价的，如果在V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集。这个条件等价于V1和V2的有理函数域同构。由于这个等价关系，代数簇的分类常常可以归结为对代数簇的双有理等价类的分类。当前代数几何研究的重点是整体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。同调代数的方法在这类研究中起着关键的作用。代数几何中的分类理论是这样建立的：对每个有关的分类对象（这样的分类对象可以是某一类代数簇，例如非奇异射影代数曲线，也可以是有关的代数簇的双有理等价类），人们可以找到一组对应的整数，称为它的数值不变量。例如在射影代数簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变量。然后试图在所有具有相同的数值不变量的分类对象组成的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的分类对象也在相应的代数结构中变化。建立有较完整的分类理论的只有代数曲线、代数曲面的一部分，以及少数特殊的高维代数簇。现在研究得最深入的是代数曲线和阿贝尔簇的分类。与子簇问题密切相关的有著名的霍奇猜想:设X是复数域上的一个非奇异射影代数簇，p为小于X的维数的一个正整数。则X上任一型为(p,p)的整上同调类中都有代数代表元。黎曼1857年引入并发展了代数函数论；从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函数定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。用现代的语言，紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。黎曼还首次考虑了亏格g相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并发现这个参量簇的维数应当是3g-3，虽然黎曼未能严格证明它的存在性。黎曼还应用解析方法证明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,这里D是给定的黎曼曲面上的除子。随后他的学生G.罗赫在这个不等式中加入一项，使它变成了等式。这个等式就是著名的F.希策布鲁赫和A.格罗腾迪克的黎曼-罗赫定理的原始形式（见代数函数域）。概型理论的另一个重要意义是把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中大量的概念、方法和结果。这种应用的两个典型的例子就是：①P.德利涅于1973年把韦伊关于ζ函数的定理推广到了有限域上的任意代数簇,即证明了著名的韦伊猜想,正是利用了格罗腾迪克的概型理论。②G.法尔廷斯在1983年证明了莫德尔猜想。这个结果的一个直接推论是费马方程xn+yn=1在n≥4时最多只有有限多个非零有理解，从而使费马猜想的研究获得了一个重大突破。在另一方面，20世纪以来复数域上代数几何中的超越方法也得到了重大的进展,例如G.-W.德·拉姆的解析上同调理论，W.V.D.霍奇的调和积分论的应用，以及小平邦彦和D.C.斯潘塞的变形理论以及P.格里菲思的一些重要工作等。周炜良对20世纪前期的代数几何发展作出了许多重要的贡献。他建立的周环、周簇、周坐标等概念对代数几何的许多领域的发展起了重要的作用。他还证明了著名的周定理：若一个紧致复解析流形是射影的，则它必定是代数簇。20世纪后期，在古典的复数域上低维代数簇的分类理论方面也取得了许多重大进展。在代数曲线的分类方面，由于D.B.芒福德等人的工作，人们对代数曲线参量簇 Mg已经有了极其深刻的了解。芒福德在60年代把格罗腾迪克的概型理论用到古典的不变量理论上，从而创立了几何不变量理论,并用它证明了Mg的存在性以及它的拟射影性。人们已经知道 Mg是一个不可约代数簇，而且当g≥24时是一般型的。对Mg的子代数簇的性质也开始有所了解。代数曲面的分类理论也有很大的进展。例如,60年代中期小平邦彦彻底弄清了椭圆曲面的分类和性质；1976年,丘成桐和宫冈洋一同时证明了一般型代数曲面的一个重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陈数。同时，三维或更高维代数簇的分类问题也开始引起人们越来越大的兴趣。

代数几何沿着Weil的道路进行着它的抽象化征程，其间，Kodaira（小平邦彦）用调和积分理论将Riemann-Roch定理由曲线推广到曲面，德国数学家Hirzebruch不久又用sheaf的语言和拓扑成果把它推广到高维复流形上，J-P.Serre在sheaf的基础上定义了一般的代数簇，使得代数簇成为具有Zariski拓扑的拓扑空间，从而在代数几何里引入了日后起重要作用的上同调理论，不过，Serre在代数几何里最重要的贡献，我觉得是吸引Grothendieck到代数几何里来。自从Grothendieck介入代数几何后，代数几何的面貌完全改观，尽管在代数几何里王者辈出，但是，大家心目中的教皇只有一个，那就是伟大的Grothendieck。Grothendieck是法国数学家，Bourbaki成员，1928年生于德国柏林，由于第二次世界大战，致使他没有受到正规的大学阶段的数学训练。 1953年以前主要致力于泛函分析，创造了核空间，拓扑张量积等概念，这些概念现于泛函分析里十分基本和重要，一系列深刻的泛函分析工作就足以使他跻身于数学界的巨人行列，但是，他的影响更为深远的工作是后来在代数几何上划时代的贡献，代数几何学经过Van Der Waerden，Zariski， Weil和Serre等人的推广，代数簇已经完全抽象化了，但是，代数簇最彻底的推广则是Grothendieck在20世纪50年代末做出的，这就是他的抽象概型理论和强有力的上同调理论。仿射概型（Affine Schemes）是一个局部戴环空间（X，Ox），而且它同构于（作为局部戴环空间）某个环的谱。概型是局部戴环空间，在它中每点有一个开邻域U使得拓扑空间U和限制层Ox|U是一个Affine Schemes，X叫做概型（X，Ox）的承载拓扑空间，Ox叫做它的结构层。例如，若K是域，Spec K则是一个Affine Schemes，它的拓扑空间由一点组成，它的结构层由域K组成。Grothendick为了给它的这座大厦打下坚实的基础，和他的老师 Dieudonne合作写了一部四卷本的巨著，总共有7本书，这就是前面Serre提到过的”更加难懂的《代数几何原理》“，(《Ele"ments de Ge"ome"trie Alge"brique 》简称EGA，道上的朋友只要听到EGA，就知道你要说什么了)，这是世界上概型和上同调最权威的参考文献，Dieudonne评价说：” Clearly, the theory of schemes includes ,by definition, all of commutative algebra as well as all of the theory of the varieties of Serre。“Scheme把代数几何和代数数域的算术统一到一个共同的语言之下，使得在代数数论的研究中可以应用代数几何中的大量概念和思想以及技巧。开始的时候，人们对Grothendieck这套庞大的抽象体系究竟有什么用感到非常的茫然，但是，在Deligne使用Grothendieck的理论证明了高维Weil猜想后（这是Weil的另外一个猜想，是有限域上高维代数簇的Riemann猜想的模拟），情形就发生了剧烈的变化，到了70年代末，这套概型语言和上同调机制已经被许多同行所熟悉和掌握，并已成为研究现代代数几何学与数论（主要是指算术几何）的通用语言和基本工具。1983年 Faltings（法尔斯廷）证明Mordell猜想也使用了这套机制，由此可见Grothendieck所建立的这套概型理论是多么的重要。1973年Deligne 证明的高维Weil猜想是特征P（有限域上）的算术几何的巨大进步，10年后Faltings所证明的Modell猜想则是特征0（整体域上）的算术几何的巨大突破，这里又一次说明了能解决具体问题的抽象才是好的抽象，才是有意义的，为抽象而抽象的工作最终将被人们遗弃。Grothendieck的另一个目标是致力于发展各种上同调理论，如L—adic上同调和etale上同调，以致最后他走向了”终极上同调不变量“，即动机理论（motive theory），使得所有其他的上同调理论都是它的一种表示或者化身（即它的具体化），这个理论随着1970年 Grothendieck的”金盆洗手“，也成了一个美丽的Grothendieck之梦。不过，已经由它产生了大量好的数学，如1970年Deligne和 R.Langlands猜想motives和自守表示之间的精确关系，A.Wiles的FLT(费马大定理)的证明，本质上就是证明了这个猜想在椭圆曲线所产生的2维 motievs的特殊情况，这个猜想使得motives和现今著名的Langlands纲领联系起来了，而且2002年菲奖得主Voevodsky的工作也与motives有关，Grothendieck的梦想或许有一天又会成为一个伟大的理论。

正文 现代数学的一个重要分支学科。它的基本研究对象是在任意维数的（仿射或射影）空间中，由若干个代数方程的公共零点所构成的集合的几何特性。这样的集合通常叫做代数簇，而这些方程叫做这个代数簇的定义方程组。一个代数簇V的定义方程中的系数以及V中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做V的基域。当V为不可约时（即如果V不能分解为两个比它小的代数簇的并）,V上所有以代数式定义的函式全体也构成一个域，叫做V的有理函式域，它是k的一个有限生成扩域。通过这样的一个对应关系，代数几何也可以看成是用几何的语言和观点进行的有限生成扩域的研究。 代数簇V关于基域 k的维数可以定义为V的有理函式域在k上的超越次数。一维的代数簇叫做代数曲线,二维的代数簇叫做代数曲面。 代数簇的最简单的例子是平面中的代数曲线。例如，著名的费马猜想（又称费马大定理）就可以归结为下面的问题：在平面中，由方程 代数几何 定义的曲线（称为费马曲线）当n≥3时没有坐标都是非零有理数的点。 另一方面，下面的齐次方程组 代数几何 在复数域上的射影空间中定义了一条曲线。这是一条椭圆曲线。 人们对代数簇的研究通常分为局部和整体两个方面。局部方面的研究主要是用交换代数方法讨论代数簇中的奇异点以及代数簇在奇异点周围的性质。 作为奇异点的例子,可以考察由方程xy所定义的平面曲线中的原点(0,0)。这是一个歧点。 不带奇异点的代数簇称为非奇异代数簇。数学家広中平祐在1964年证明了基域k的特征为0时的奇点解消定理：任意代数簇都是某个非奇异代数簇在双有理映射下的像。 一个代数簇V1到另一个代数簇V2的映射称为双有理映射，如果它诱导有理函式域之间的同构。两个代数簇V1，V2称为双有理等价的，如果在V1中有一个稠密开集同构于V2的一个稠密开集。这个条件等价于V1和V2的有理函式域同构。由于这个等价关系，代数簇的分类常常可以归结为对代数簇的双有理等价类的分类。 当前代数几何研究的重点是整体问题，主要是代数簇的分类以及给定的代数簇中的子簇的性质。同调代数的方法在这类研究中起著关键的作用。 代数几何中的分类理论是这样建立的：对每个有关的分类对象（这样的分类对象可以是某一类代数簇，例如非奇异射影代数曲线，也可以是有关的代数簇的双有理等价类），人们可以找到一组对应的整数，称为它的数值不变数。例如在射影代数簇的情形，它的各阶上同调空间的维数就都是数值不变数。然后试图在所有具有相同的数值不变数的分类对象组成的集合上建立一个自然的代数结构，称为它们的参量簇，使得当参量簇中的点在某个代数结构中变化时，对应的分类对象也在相应的代数结构中变化。目前建立有较完整的分类理论的只有代数曲线、代数曲面的一部分，以及少数特殊的高维代数簇。厰在研究得最深入的是代数曲线和阿贝尔簇的分类。 与子簇问题密切相关的有著名的霍奇猜想:设X是复数域上的一个非奇异射影代数簇，p为小于X的维数的一个正整数。则X上任一型为(p,p)的整上同调类中都有代数代表元。 1935年4月26日著名科学家爱因斯坦在追悼诺特的大会上说：“据现代权威数学家们判断，诺特女士是自从妇女开始受到高等教育以来最重要的、富于创造性的数学天才。在最有天赋的数学家们为之忙碌了多少世纪的代数领域里。她发现了一套方法，当前一代年轻数学家的成长已证明了它的巨大意义，依据这套方法，纯粹数学成了一首逻辑概念的诗篇。 诺特（EmmyNoether，1882－1935），1882年3月23日生于德国大学城——爱尔兰根的一个犹太人家庭，父亲马克思·诺特（MaxNoether，1844－1921）是一位颇有名气的数学家，他从1875年起到1921年逝世前，一直在爱尔兰根大学当教授。 弟弟弗黎获·诺特（FritzNoether，1884～）也是一位数学家，先在德国布雷斯劳工学院当教授，1935年受纳粹迫害逃往苏联，在西伯利亚托姆斯克数学力学研究所当教授，没多久被关进监狱，从此杳无音信。 诺特12岁时在爱尔兰根市高级女子学校读中学，她对那些专门为女孩子开设的宗教、钢琴、舞蹈等课程毫无兴趣，只对语言学习还感兴趣。中学毕业后，1900年4月她顺利地通过了法语和英语教师资格考试，原本准备去当教师，同年秋天她改变了主意，她决意要到父亲任教的爱尔兰根大学去学数学。 但是，当时德国不准女子在大学注册，只能当旁听生，并缴纳听课费，在极其罕见的情况下，才可能征得主讲教授的同意，参加考试而取得文凭。诺特总算幸运地于l903年7月通过了考试。当年冬天，她来到哥廷根大学，直接听到希尔伯特、克莱因、闵科夫斯基等著名数学家讲课，受到极大的鼓舞。1904年德国大学改制，允许女生注册，当年10月她便正式回到爱尔兰根注册学习，到1907年底，她通过了博士考试，其博士论文题目是“三元双二次型的不变数完全系”，导师是戈丹（PaulAlbertGordan，1837～1912）。 戈丹是诺特父亲的同事、至友，对诺特早年生活影响很大，诺特的这篇博士论文完全承袭了戈丹的工作特色，充满了戈丹式的公式，通篇都是符号演算。后来，尽管诺特离开了戈丹的研究方向，但她对导师一直怀着深深的敬意，在她的书房里一直挂著戈丹的画像。1912年戈丹去世了，接替他的先是施密特，后是费歇尔。在费歇尔指导下，诺特逐步实现了从戈丹的形式观念到希尔伯特研究方式的转变，从这种意义上讲，费歇尔对诺特的学术发展的影响，可能比戈丹更深入。 1915年，哥廷根大学的克莱因、希尔伯特邀请诺特去哥廷根。他们当时热衷于相对论研究，而诺特在不变式理论方面的实力对他们的研究会有帮助。1916年，诺特离开爱尔兰根，定居哥廷根。希尔伯特很想帮她在哥廷根大学取得授课资格，但是当时哥廷根大学哲学系中的语言学教授、历史学教授却极力反对，其理由就因诺特是女人。希尔伯特在校务会议上不无气愤地说：“先生们，我不明白为什么候选人的性别是阻碍她取得讲师资格的理由，我们这里毕竟是大学而不是浴池。”也许正因为这番话，更激怒了他的对手们，诺特仍然没有获准通过。 然而，她还是在哥廷根的讲台上向学生讲了课，不过是在希尔伯特的名义之下。第一次世界大战结束后，德意志共和国成立了，情况才发生变化。1919年诺特才当上了讲师，1922年至1933年，她取得“编外副教授”职位，这是没工资的头衔，只因她担当了代数课的讲授，才从学生所缴学费中支付给她一小笔薪金。在这种艰难的情况下，诺特在希尔伯特、克莱因的相对论研究的思想影响下，于1918年发表了两篇重要论文，一篇是把黎曼几何和广义相对论中常用的微分不变式问题化为代数不变式问题，一篇是把物理学中守恒律同不变性联系起来，被称为“诺特定理”。 1920年以后，诺特开始走上自己独立创建“抽象代数学”的道路。她从不同领域的相似现象出发，把不同的对象加以抽象化、公理化，然后用统一的方法加以处理，得出一般性的理论，用她的这种理论又能处理各个不同领域的特殊性的问题。诺特的这套理论也就是现代数学中的“环”和“理想”的系统理论，完成于1926年。一般认为抽象代数形式的时间就是1926年，从此代数学研究对象从研究代数方程根的计算与分布，进入到研究数字、文字和更一般元素的代数运算规律和各种代数结构，完成了古典代数到抽象代数的本质的转变。诺特当之无愧地被人们誉为抽象代数的奠基人之一。诺特的学术论文只有40多篇，她对抽象代数学发展所产生的巨大影响，并不完全出自她的论文，更重要的还是出自她与同事、学生的接触、交往、合作与讲课。她的讲课技巧并不高明，既匆忙又不连贯。但是，她常详细叙述自己尚末最终定型的新想法，其中充满了深刻的哲理，也充满了不同凡响的创造 *** 。她很喜爱自己的学生，在她身边形成了一个熙熙攘攘的“家庭”，这些学生被称为“诺特的孩子们”。其中有十几位学生后来成为著名数学家。1928年在义大利波隆那举行的国际数学家大会上，诺特应邀作了一个3O分钟的分组报告。1932年在苏黎世举行的国际数学家大会上，诺特作了一小时的全会报告。她的报告得到许多数学家的赞扬，赢得了极高的国际声誉。一些年迈的数学家亲眼得见他们用旧式计算方法不能解决的问题，被诺特用抽象代数方法漂亮而简捷地解决了，不得不心悦诚服。同年，由于她在代数学方面的卓越成就，诺特和阿廷共同获得了“阿克曼·特布纳奖”。可，大会之后仅几个星期厄运降临了。1933年1月，希特勒上台后疯狂地迫害犹太人，当年4月26日，地方报纸刊登了一项通告，哥廷根大学6位犹太人教授被勒令离开大学，其中之一就是诺特。霎时间，诺特在哥廷根大学的报酬极低的职务被剥夺了，她几乎走投无路了。起初，她曾想去前苏联。因为在1928年至1929年的冬天，她访问过莫斯科大学，在那里讲授抽象代数，并指导一个代数几何讨论班，对前苏联数学和数学家都产生了良好的影响，与前苏联著名数学家亚历山得罗夫等也给下了友谊。亚历山得罗夫当即表示欢迎诺特来莫斯科大学任教，由于种种原因，未能成功。后来，经著名数学家韦尔介绍和帮助，1933年9月，诺特才得以移居美国，在美国布林马尔女子学院任教，并在普林斯顿高等研究院 *** 。 在美国期间，诺特每周去普林斯顿讲课，当时听她讲课的奎因教授回忆说，诺特身材不高，体态略胖，肤色黝黑，剪得短短的黑发还夹着几缕灰丝。她戴着一副厚厚的近视眼镜，用不甚连贯的英语讲课。她喜欢散步，常与学生外出远足，途中往往全神贯注地谈论数学，不顾来往的行人与车辆，以致学生们不得不保护她的安全。在诺特一生中，或许从来没有像在布林马尔学院和普林斯顿高等研究院，受到如此尊敬、同情和友情。但是，她依然怀念著祖国，怀念著哥廷根。1934年夏天，她曾回到哥廷根，看到哈塞仍然努力重建哥廷根光荣而悠久的数学传统，感到由衷的欣慰。 1935年春，当诺特返回美国后，经医生检查发现，她已被癌症缠身，肿瘤急剧地损伤着她的身体，只有手术才可能挽救她的生命。手术后病情一度好转，大家都期待她康复。不料得了手术并发症。 4月14日这位终生未婚，把全部精力献给了她所热爱的数学事业的伟大女数学家，辞然与世长辞，终年53岁。4月26日布林马尔学院为诺特举行了追悼会，爱因斯坦为她写了讣文，韦尔为她写了长篇悼词，深情地缅怀她的生活、工作和人格： 她曾经是充满生命活力的典范， 以她那刚毅的心情和生活的勇气， 坚定地屹立在我们这个星球上， 所以大家对此毫无思想准备。 她正处于她的数学创造能力的顶峰。 她那深远的想像力， 同她那长期经验积累起来的技能， 已经达到完美的平衡。 她热烈地开始了新问题的研究。而这一切现在突然宣告结束， 她的工作猝然中断。 坠落到了黑暗的坟墓， 美丽的、仁慈的、善良的， 他们都轻轻地去了； 聪颖、机智的、勇敢的， 他们都平静地去了； 我知道，但我决不认可， 而且我也不会顺从。 代数几何 我们对她的科学工作与她的人格的记忆决不会很快消逝。她是一位伟大的数学家，而且我坚信，也是历史曾经产生过的最伟大的女性之一 发展 代数几何的起源很自然地是从关于平面中的代数曲线的研究开始的。对于一条平面曲线，人们首先注意到的一个数值不变数是它的次数，即定义这条曲线的方程的次数。由于次数为一或二的曲线都是有理曲线（即在代数几何的意义下同构于直线的曲线），人们今天一般认为，代数几何的研究是从19世纪上半叶关于三次或更高次的平面曲线的研究开始的（早期人们研究的代数簇都是定义在复数域上的）。例如，N.H.阿贝尔在1827～1829年关于椭圆积分的研究中，发现了椭圆函式的双周期性，从而奠定了椭圆曲线（它们都可以表示成平面中的三次曲线）理论基础。另一方面，C.G.J.雅可比考虑了椭圆积分反函式问题，他的工作是今天代数几何中许多重要概念的基础（如曲线的雅可比簇、θ函式等）。 B.黎曼1857年引入并发展了代数函式论，从而使代数曲线的研究获得了一个关键性的突破。黎曼把他的函式定义在复数平面的某种多层复迭平面上，从而引入了所谓黎曼曲面的概念。用现代的语言，紧致的黎曼曲面就一一对应于抽象的射影代数曲线。运用这个概念，黎曼定义了代数曲线的一个最重要的数值不变数：亏格。这也是代数几何历史上出现的第一个绝对不变数（即不依赖于代数簇在空间中的嵌入的不变数）。黎曼还首次考虑了亏格g 相同的所有黎曼曲面的双有理等价类的参量簇问题，并发现这个参量簇的维数应当是3g-3，虽然黎曼未能严格证明它的存在性。 黎曼还套用解析方法证明了黎曼不等式：l（D）≥d(D)-g+1,这里D是给定的黎曼曲面上的除子。随后他的学生G.罗赫在这个不等式中加入一项，使它变成了等式。这个等式就是著名的F.希策布鲁赫和A.格罗腾迪克的黎曼-罗赫定理的原始形式（见代数函式域）。 代数几何 - 内容 在黎曼之后，德国数学家M.诺特等人用几何方法获得了代数曲线的许多深刻的性质。诺特还对代数曲面的性质进行了研究。他的成果给以后义大利学派的工作建立了基础。 从19世纪末开始，出现了以G.卡斯特尔诺沃，F.恩里奎斯和F.塞维里为代表的义大利学派以及以H.庞加莱、(C.-)É.皮卡和S.莱夫谢茨为代表的法国学派。他们对复数域上的低维代数簇的分类作了许多非常重要的工作，特别是建立了被认为是代数几何中最漂亮的理论之一的代数曲面分类理论。但是由于早期的代数几何研究缺乏一个严格的理论基础，这些工作中存在不少漏洞和错误，其中个别漏洞直到目前还没有得到弥补。 20世纪以来代数几何最重要的进展之一是它在最一般情形下的理论基础的建立。20世纪30年代，O.扎里斯基和B.L.范·德·瓦尔登等首先在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在此基础上，A.韦伊在40年代利用抽象代数的方法建立了抽象域上的代数几何理论，然后通过在抽象域上重建义大利学派的代数对应理论，成功地证明了当k是有限域的时候,关于代数曲线ζ函式具有类似于黎曼猜想的性质。50年代中期，法国数学家J.P.塞尔把代数簇的理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调理论，这个为格罗腾迪克随后建立概型理论奠定了基础。概型理论的建立使代数几何的研究进入了一个全新的阶段。概型的概念是代数簇的推广，它允许点的坐标在任意有单位元的交换环中选取，并允许结构层中存在幂零元。 概型理论的另一个重要意义是把代数几何和代数数域的算术统一到了一个共同的语言之下，这使得在代数数论的研究中可以套用代数几何中大量的概念、方法和结果。这种套用的两个典型的例子就是：①P.德利涅于1973年把韦伊关于ζ函式的定理推广到了有限域上的任意代数簇,即证明了著名的韦伊猜想,正是利用了格罗腾迪克的概型理论。②G.法尔廷斯在1983年证明了莫德尔猜想。这个结果的一个直接推论是费马方程x+y=1在n≥4时最多只有有限多个非零有理解，从而使费马猜想的研究获得了一个重大突破。 在另一方面，20世纪以来复数域上代数几何中的超越方法也得到了重大的进展,例如G.-W.德·拉姆的解析上同调理论，W.V.D.霍奇的调和积分论的套用，以及小平邦彦和D.C.斯潘塞的变形理论以及P.格里菲思的一些重要工作等。 周炜良对20世纪前期的代数几何发展作出了许多重要的贡献。他建立的周环,周簇,周坐标等概念对代数几何的许多领域的发展起了重要的作用。他还证明了著名的周定理：若一个紧致复解析流形是射影的，则它必定是代数簇。 20世纪后期，在古典的复数域上低维代数簇的分类理论方面也取得了许多重大进展。在代数曲线的分类方面，由于D.B.芒福德等人的工作，人们现在对代数曲线参量簇 Mg已经有了极其深刻的了解。芒福德在60年代把格罗腾迪克的概型理论用到古典的不变数理论上，从而创立了几何不变数理论,并用它证明了Mg的存在性以及它的拟射影性。人们已经知道 Mg是一个不可约代数簇，而且当g≥24时是一般型的。目前对Mg的子代数簇的性质也开始有所了解。 代数曲面的分类理论也有很大的进展。例如,60年代中期小平邦彦彻底弄清了椭圆曲面的分类和性质；1976年,丘成桐和宫冈洋一同时证明了一般型代数曲面的一个重要不等式:с娝≤3с2,其中с娝和с2是曲面的陈数。同时，三维或更高维代数簇的分类问题也开始引起人们越来越大的兴趣。 代数几何与数学的许多分支学科有着广泛的联系。除了上面提到的数论之外，还有如解析几何、微分几何、交换代数、 代数群、K理论、拓扑学等。代数几何的发展和这些学科的发展起着相互促进的作用。同时，作为一门理论学科，代数几何的套用前景也开始受到人们的注意，其中的一个显著的例子是代数几何在控制论中的套用。 近年来，人们在现代粒子物理的最新的超弦理论中，已广泛套用代数几何工具，这预示古老的代数几何学将对现代物理学的发展发挥重要的作用。

小平邦彦在日本完成了关于调和积分论三篇论文。到普林斯顿之后在代数几何学和复流形方面完成一系列重要工作，其中包括证明曲面的黎曼-罗赫定理、证明狭义凯勒流形是代数流形以及小平消没定理。并著有《解析入门》和《复分析》。1956年起小平邦彦同D.C.斯潘塞一起，把（G.F.）B.黎曼的模数理论推广到高维复结构的变形理论，形成一个系统的理论。后来小平邦彦又把它推广到由一类复可递的连续伪群所定义的结构的变形理论上（后斯潘塞推广到任意可递连续伪群所定义的结构上）。50年代末，他又转而研究紧复解析曲面的结构和分类，用一个不变量（小平维数）把曲面分为有理曲面、椭圆曲面、K3曲面等，并且每类都建立一个极小模型，这对后来代数几何学和复解析几何学的发展起着重要推动作用。晚年他致力于教育事业,对日本年轻一代数学家有重大影响,他的论文收集在1975年出版的三卷全集中。

找一组基使线性变换 在这组基下的矩阵称为若尔当标准形 定义：对于线性空间V中的线性变换 的多项式 及任意向量 ,若有 ,则称 是 对于 的零化多项式,若 是 对于 的零化多项式中次数最低的首一多项式,则称 为 对于 的最小多项式 易证 对 的最小多项式整除 对 的任一零化多项式 引理：对 上有限维空间 上的线性变换 ,下列结论等价 1. 在基 下的矩阵是若尔当块2. , , , , 是 的基且 3. ,且 是 的最小多项式 证明：由线性变换矩阵的定义,显然成立必要性 ,有此时 是 的一个零化多项式 设为 由 但 是 的一组基,线性无关 故 即 故 是 的最小多项式 充分性 首先 是 的零化多项式 故 有 作带余除法, 则有 即 为 的线性组合 设 则 令 则 若 ,则 与 是 的最小多项式矛盾 故 故 即证 线性无关 故为 的基 定理： , 如上 则 在某基下的矩阵为若尔当形的充要条件为 中存在 ,使且每个 的最小多项式是 证明：是 -不变子空间的直和 且每个 在 上有基使它的矩阵是 ,对每个 ,有 使 且 对 的最小多项式为 注：定理说明,要证若尔当标准形存在,只需证存在不变子空间的直和分解

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拉格朗日中值定理又称拉氏定理，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一阶展开）。定义：如果函数f(x)在[a,b]上处处可导，则必有一ξ∈[a,b]使得f"(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)f(x)为y，所以该公式可写成△y=f"(x+θ△x)*△x (0<1) 上式给出了自变量取得的有限增量△x时，函数增量△y的准确表达式。拉格朗日中值定理的几何意义：如果连续曲线y＝f(x)的弧AB上除端点外处处具有不垂直于X轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。拉格朗日介绍：法国数学家。1754年开始研究数学，1766年接替了欧拉在柏林皇家科学院的职位，在那里工作达20年。1786年去法国，先后担任巴黎高等师范学校和多科工艺学校教授。他是18世纪仅次于欧拉的大数学家，工作涉及数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分法、力学、天文学等许多领域。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日余项、拉格朗日方程，对黎卡提方程的重要研究，对线性微分方程组的研究，对奇解与通解的联系的系统研究，都是这一时期的工作。他也是最先试图为微积分提供严格基础的数学家之一，这使他成为实变函数论的先驱。他还以在数学上追求简明与严格而被誉为第1个真正的分析学家。拿破仑曾评价说：“拉格朗日是数学科学方面高耸的金字塔。”

康托（Georg Cantor，1845-1918），德国数学家，19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人。 凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，极大地推动了分析与逻辑的发展。‘基本信息1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭。1856年全家迁居德国法兰克福。康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习哲学、数学和物理。在柏林大学，他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响，对纯粹数学产生了兴趣。1867年，他以求不定方程a*x^2+b*y^2+c*z^2= 0的整数解（其中，a、b、c为任意整数）的博士论文获哲学博士学位。1869年起来到哈勒大学，历任教师、副教授、教授。康托自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础。主要成果1874年康托的有关无穷的概念，震撼了知识界。康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式，建立了处理数学中的无限的基本技巧，从而极大地推动了分析与逻辑的发展。他研究数论和用三角级数唯一地表示函数等问题，发现了惊人的结果：证明有理数是可列的，而全体实数是不可列的。康托29岁（1874年）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文，提出了“无穷集合”这个数学概念，引起了数学界的极大关注，他引进了无穷点集的一些概念，如：基数，势，序数等，试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分，他还构造了实变函数论中著名的“康托集”，“康托序列”。1874年证明了代数数集和有理数集的可数性和实数集的不可数性，建立了实数连续性公理，被称为“康托公理”.1877年证明了一条线段上的点能够和正方形上的点建立一一对应，从而证明了直线上，平面上，三维空间乃至高维空间的所有点的集合，都有相同的势.1879-1884年他着重研究无穷数与超越数理论.最重要的著作是《超越数理论基础》（1895-1897）.学术界的争论康托的工作给数学发展带来了一场革命。由于他的理论超越直观，所以曾受到当时一些大数学家的反对，就连被誉为“博大精深，富于创举”的数学家庞加莱也把集合论比作有趣的“病理情形”，甚至他的老师克罗内克还击康托是“神经质”，“走进了超越数的地狱”.对于这些非难和指责，康托仍充满信心，他说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本质在于它的自由性，不必受传统观念束缚。”这种争辩持续了十年之久。康托由于经常处于精神压抑之中，致使他1884年患了精神分裂症，最后死于精神病院。世界对集合论的认可然而，历史终究公平地评价了他的创造，集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支，成为了分析理论，测度论，拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初世界上最伟大的数学家希尔伯特在德国传播了康托的思想，把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”。英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的康托向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托的集合论是一种“疾病”，康托的概念是“雾中之雾”，甚至说康托是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。他在集合论方面许多非常出色的成果，都是在精神病发作的间歇时期获得的。可是，真理是不可战胜的，也有许多卓越的数学家深为康托首创的集合论所起的作用而打动，1897年在苏黎世举行的第一次国际数学家大会上，赫尔维茨与阿达玛两位数学家站出来指出了康托集合论中超限数理论在分析学中的重要应用。希尔伯特也是最支持康托理论的数学家之一，他大声疾呼：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走。”并撰写文章赞誉康托的超限算术为“数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现。”著名哲学家罗素把康托的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”用现代的眼光看待集合论现代数学的发展告诉我们，康托的集合论是自古希腊时代以来两千多年里，人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算。并从本质上揭示了无穷的特性，使无穷的概念发生了一次革命性的变化，并渗透到所有的数学分支，从根本上改造了数学的结构，促进了数学许多新的分支的建立和发展，成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础，还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响。真金不怕火炼，康托的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托在一家精神病院去世。摘自百度百科

康托（Georg Cantor,1845-1918）,德国数学家,19世纪数学伟大成就之一——集合论的创立人. 凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式,建立了处理数学中的无限的基本技巧,极大地推动了分析与逻辑的发展.‘基本信息1845年3月3日生于俄国彼得堡一个犹太商人的家庭.1856年全家迁居德国法兰克福.康托先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学,主要学习哲学、数学和物理.在柏林大学,他受到著名分析学家魏尔斯特拉斯的影响,对纯粹数学产生了兴趣.1867年,他以求不定方程a*x^2+b*y^2+c*z^2= 0的整数解（其中,a、b、c为任意整数）的博士论文获哲学博士学位.1869年起来到哈勒大学,历任教师、副教授、教授.康托自幼对数学有浓厚兴趣.23岁获博士学位,以后一直从事数学教学与研究.他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础.主要成果1874年康托的有关无穷的概念,震撼了知识界.康托凭借古代与中世纪哲学著作中关于无限的思想而导出了关于数的本质新的思想模式,建立了处理数学中的无限的基本技巧,从而极大地推动了分析与逻辑的发展.他研究数论和用三角级数唯一地表示函数等问题,发现了惊人的结果：证明有理数是可列的,而全体实数是不可列的.康托29岁（1874年）时在《数学杂志》上发表了关于集合论的第一篇论文,提出了“无穷集合”这个数学概念,引起了数学界的极大关注,他引进了无穷点集的一些概念,如：基数,势,序数等,试图把不同的无穷离散点集和无穷连续点集按某种方式加以区分,他还构造了实变函数论中著名的“康托集”,“康托序列”.1874年证明了代数数集和有理数集的可数性和实数集的不可数性,建立了实数连续性公理,被称为“康托公理”.1877年证明了一条线段上的点能够和正方形上的点建立一一对应,从而证明了直线上,平面上,三维空间乃至高维空间的所有点的集合,都有相同的势.1879-1884年他着重研究无穷数与超越数理论.最重要的著作是《超越数理论基础》（1895-1897）.学术界的争论康托的工作给数学发展带来了一场革命.由于他的理论超越直观,所以曾受到当时一些大数学家的反对,就连被誉为“博大精深,富于创举”的数学家庞加莱也把集合论比作有趣的“病理情形”,甚至他的老师克罗内克还击康托是“神经质”,“走进了超越数的地狱”.对于这些非难和指责,康托仍充满信心,他说：“我的理论犹如磐石一般坚固,任何反对它的人都将搬起石头砸自己的脚.”他还指出：“数学的本质在于它的自由性,不必受传统观念束缚.”这种争辩持续了十年之久.康托由于经常处于精神压抑之中,致使他1884年患了精神分裂症,最后死于精神病院.世界对集合论的认可然而,历史终究公平地评价了他的创造,集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支,成为了分析理论,测度论,拓扑学及数理科学中必不可少的工具.20世纪初世界上最伟大的数学家希尔伯特在德国传播了康托的思想,把他称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”.英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”.由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”),许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度.在1874—1876年期间,不到30岁的康托向神秘的无穷宣战.他靠着辛勤的汗水,成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应.这样看起来,1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”,后来几年,康托对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章,通过严格证明得出了许多惊人的结论.康托的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突,遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂.有人说,康托的集合论是一种“疾病”,康托的概念是“雾中之雾”,甚至说康托是“疯子”.来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托,使他心力交瘁,患了精神分裂症,被送进精神病医院.他在集合论方面许多非常出色的成果,都是在精神病发作的间歇时期获得的.可是,真理是不可战胜的,也有许多卓越的数学家深为康托首创的集合论所起的作用而打动,1897年在苏黎世举行的第一次国际数学家大会上,赫尔维茨与阿达玛两位数学家站出来指出了康托集合论中超限数理论在分析学中的重要应用.希尔伯特也是最支持康托理论的数学家之一,他大声疾呼：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中赶走.”并撰写文章赞誉康托的超限算术为“数学思想的最惊人的产物,在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现.”著名哲学家罗素把康托的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作.”用现代的眼光看待集合论现代数学的发展告诉我们,康托的集合论是自古希腊时代以来两千多年里,人类认识史上第一次给无穷建立起抽象的形式符号系统和确定的运算.并从本质上揭示了无穷的特性,使无穷的概念发生了一次革命性的变化,并渗透到所有的数学分支,从根本上改造了数学的结构,促进了数学许多新的分支的建立和发展,成为实变函数论、代数拓扑、群论和泛函分析等理论的基础,还给逻辑学和哲学也带来了深远的影响.真金不怕火炼,康托的思想终于大放光彩.1897年举行的第一次国际数学家会议上,他的成就得到承认,伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作.”可是这时康托仍然神志恍惚,不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦.1918年1月6日,康托在一家精神病院去世.

祖冲之. <<九章算术>>

先介绍一下扁平化管理的内涵：　“扁平化管理”是相对于传统的等级结构管理模式而言的。传统组织的特点表现为层级结构，即在一个企业中，其高层、中层、基层管理者组成一个金字塔状的结构。董事长和总裁位于金字塔顶，他们的指令通过一级一级的管理层，最终传达到执行者;基层的信息通过一层一层的筛选，最后到达最高决策者。而扁平组织则是指当企业规模扩大时，改变原来的增加管理层次的做法，转而增加管理幅度。当管理层次减少而管理幅度增加时，金字塔状的组织形式就被“压缩”成扁平状的组织形式。　　扁平化管理是针对传统组织结构“金字塔”式管理而言。金字塔式组织结构是与集权管理体制相适应的。在现代企业组织结构中，金字塔式和扁平化共存。　　之所以“扁平化”成为现代组织变革的关键词，是因为传统的组织形式难以适应快速变化的市场环境，造成决策链过长、反应缓慢，为了不被淘汰，就必须选择那些与市场关联度高的部门，分权、授权管理，使企业集团在规模扩大的同时，组织机构趋向“扁平化”。特别是现代信息技术的发展、计算机管理信息系统的应用，使严格意义上的多层级、层层汇报的垂直管理不再有效，从另一方面加速了企业组织机构“扁平化”的趋势。　　想要对扁平化管理的概念有真正的了解，就必须明确几个其他相关的基础概念：　　A．管理幅度（spanofcontrol）：是指管理者所管辖的下属人员或部门的数目。人的管理幅度是有限的，有效的管理幅度要取决于各种影响因素。当管理幅度以算术级数增加时，管理者和下属之间可能存在的关系却是以几何级数增加。管理者和下属人员会使管理工作复杂化，而个人的工作能力则是有限的，因而有必要确定合理有效的管理幅度，这是企业组织结构设计的一项重要内容。　　B．管理层次（layerofmanagement）：是组织内纵向管理系统所划分的等级。企业内部的组织层次，实际上又是垂直的组织分工，部门化并不是企业内部惟一的组织分工。部门分工与层次分工分别属于企业组织分工的两个不同侧面。组织层次的分工，着重表现出在一定限度内自上而下地行使权力、利用资源以及明确管理职能的过程。组织中各个层次都承担着一定的管理职能。　　C．科层结构（hierarchymodel）：也称“宝塔形”结构，是指一种典型的管理层次较多，管理幅度较小的组织结构。　　D．扁平化结构（flatmodel）：与科层结构相对应，是指管理层次较少，管理幅度较大的组织结构。　　在这几个相关概念中，A与B呈负相关关系，也就是说，管理幅度越小、越窄，管理层次就越多；管理幅度越大、越宽，管理层次也就越少。C与D是相对立的两个概念，代表了A与B在量化上的此增彼减。　　实行扁平化管理，是指通过缩短经营管理通道和路径，扩大经营管理的宽度和幅度，进而提高经营管理效率和市场竞争力，具体来说，一般是指企业在组织结构上二级分行所在地，二级分行与网点之间不再设事处这一中间管理层次的管理模式。这一模式在市区的选择，可以减少管理层次和中间环节，缩短管理半径，加大企业二级分行的直营和集约化经营的力度。所以，你的理解基本正确，但总经理直接领导基层员工会导致效率更低，必要的管理层还是需要的。

一】朗兰兹纲领是数学中一系列影响深远的构想，联系数论、代数几何与约化群表示理论；纲领最初由罗伯特·朗兰兹于1967年在一封给韦伊的信件中提出二】起源：我们可以二次互反律之推广阿廷互反律为朗兰兹纲领之起点： 给定一个Q上的、伽罗瓦群为可交换群的数域，阿廷互反律向这个伽罗瓦群的任何一支一维表示配上一枚L函数，并断言：此等 L-函数俱等于某些狄利克雷L函数（黎曼ζ函数的类推，由狄利克雷特征表达）。此二种L-函数之间的准确的联系构成了阿廷互反律。若给定不可交换伽罗瓦群及其高维表示，我们仍可定义一些自然的相配的L-函数——阿廷L函数。三】朗兰兹再进一步推广：以任何连通约化群G代替上文中的一般线性群 GLn；构筑复李群G（所谓朗兰兹对偶群，或L群）；以自守表示的L包代替自守表示；每个L包是自守表示组成的有限集，属同一L包的表示称作L不可辨的。向每一个G的自守尖点表示和每一个G的有限维表示，配与一个L-函数；同一L包中的表示有相同的 L-函数及-因子。朗兰兹并猜想：此两个 L-函数满足某函数方程。

算术级数就是等差数列 几何级数就是等比数列 算术级数中任意连续两项的差相同，这个差值叫做这个算术级数的公差 算术级数前n项的和：（首项+末项）*（项数n）/2 第n项：首项+公差*（n-1）

几何级数，就是等比级数。相比之下，等差级数就叫算术级数。等比级数的递减速度与公比有关。公比越小，递减速度越快。例如，公比为0.5时，2亿元人民币经过5次几何级数递减最后是625万元（2亿--1亿--5000万--2500万--1250万--625万）。公比为0.1时，2亿元人民币经过5次几何级数递减最后是2000元（2亿--2000万--200万--20万--2万--2000）。

几何级数，就是等比级数。相比之下，等差级数就叫算术级数。 等比级数的递减速度与公比有关。呈现几何级数下降就是等比技术下降

恩格斯在《资本论》英文版序言描写的。

我无法解释啊。

算术级数：从第二项起，每一项均由前一项加一个常数所构成的序列，如奇数1,3,5,7…几何级数:从第二项起,每一项是前一项的多少次方

几何级数:从第二项起,每一项是前一项的多少次方。算术级数：从第二项起，每一项均由前一项加一个常数所构成的序列。两者的区别：几何级数是一个数学上的概念，可以表示成a*x^y，即x的y次方的形式增长。通常情况下，x＝2，也就是常说的翻几（这个值为y）番；与代数级数相比，几何级数的增长更可观。如几何级数的“翻三番”就是a*2^3，就是代数级数的增长8倍。

算术级数增长与几何级数增长,举个例来形容： 当原来人数是1人,则领导者需要协调的关系数目是1； 当原来人数是2人,则领导者需要协调的关系数目是3； 当原来人数是3人,则领导者需要协调的关系数目是6； 当原来人数是4人,则领导者需要协调的关系数目是10； …… 设协调关系需精力为q,则随着人数n的增长,Q(q的增加值)是N（n的增加值）的指数函数,即q会随着n的增长呈指数增长,也即几何级数增长!有关几何级数发散和收敛的知识见附件!

算术级数:…7、6、5、4、3、2几何级数:…64、32、16、8、4、2质数:…15、13、11、7、5、3算数级数法:先求乘积之和:6×7+1×6+3×5+7×4+5×3+8×2=122再求余数:122÷11=11余1所以代码为613758几何级数法:求乘积之和:6×64+1×32+3×16+7×8+5×4+8×2=556求余数:556÷11余6所以代码为6137586质数级数也是这么算。

简单的讲，“按几何级数增长”就是翻着翻地增长，“按算术级数增长”，就是一点一点平稳地增长。

京顶云几何级数增长是指客户按年付费：第一年的新客户量a；第二年新增客户量a加上续签a，客户总量为2a；第三年新客户量a，第一年客户续签a，第二年客户续签a，客户总量为3a。以此类推，以10年期为例，客户总量为10a，假设每个客户的销售额是2W，每年20个客户。10年的总收入是40W+80W+120W+160W+200W+240W+280W+320W+360W+400W=3200W.上述模型是一个典型的几何级增长模型，按倍数增长。如何设计京顶云企业数字化平台的用户指数级增长，是实现业绩增长的关键！指数级增长是指第一年20个用户，以后每年按20的平方，20的3次方，20的4次方增长，到第五年就是20*20*20*20*20=3200000通过以上描述可以看到，指数级增长远远要比几何级数增长大的多。京顶云企业数字化EDP平台，希望我的回答能帮到你！