充分必要条件

题目不完全，首先应有A和B均为n阶对称矩阵的条件。1、若A、B是对称矩阵，则根据对称矩阵的定义，（AB）T=AB，（T是上标，以下相同），而根据转置矩阵的重要性质，（AB）T=（B）T（A）T，而B、A都是对称矩阵，(B)T=B,(A)T=A,，所以AB=BA，即A和B可交换。2、若AB=BA，即A和B是可交换矩阵，根据转置矩阵的重要性质，（AB）T=（B）T（A）T，而B、A都是对称矩阵，(B)T=B,(A)T=A,（B）T（A）T=BA，故（AB）T=AB，故AB是对称矩阵。

证明：必要性由于A，B都是n阶正定矩阵，根据正定矩阵的定义，A，B都是n阶对称矩阵，即A"=A,B"=B（这里A"表示A的转置矩阵）。若AB正定，则AB也是对称矩阵，从而AB=(AB)"=B"A"=BA.即证得了AB=BA。充分性若AB=BA，则(AB)"=B"A"=BA=AB,这说明AB实对称。其次，由于A，B都是n阶正定矩阵，从而A，B都与单位矩阵合同，于是存在两个可逆实矩阵P,Q，使得A=P"P,B=Q"Q,进而AB=P"PQ"Q。注意到P"PQ"Q=Q^(-1)(QP"PQ")Q,这说明P"PQ"Q与)QP"PQ"相似，另外，QP"PQ"=（PQ"）"（PQ"）,根据P,Q都是可逆实矩阵，PQ"也是可逆实矩阵，因此QP"PQ"正定，所以QP"PQ"的特征值都是正实数。由于相似的矩阵具有相同的特征值，故AB=P"PQ"Q的特征值都是正实数。这就证明了AB正定。

因为A,B都是n阶对称矩阵,故A=A",B=B". 1)充分性. 由于AB=BA 所以(AB)"=(BA)"=A"B"=AB. 故AB是对称矩阵. 2)必要性. 由于AB是对称矩阵,得 (AB)"=AB, B"A"=AB, BA=AB. 故命题成立.

如果A,B是同型矩阵,等价的充要条件为 r(A)=r(B) 同维的向量组等价的充要条件是 r(A)=r(B)=r(AB)

简单分析一下即可，详情如图所示

证明：必要性 由于A,B都是n阶正定矩阵,根据正定矩阵的定义,A,B都是n阶对称矩阵,即A"=A,B"=B（这里A"表示A的转置矩阵）.若AB正定,则 AB也是对称矩阵,从而AB=(AB)"=B"A"=BA.即证得了AB=BA.充分性 若AB=BA,则(AB)"=B"A"=BA=AB,这说明AB实对称. 其次,由于A,B都是n阶正定矩阵,从而A,B都与单位矩阵合同,于是存在两个可逆实矩阵P,Q,使得A=P"P,B=Q"Q, 进而AB=P"PQ"Q. 注意到P"PQ"Q=Q^(-1)(QP"PQ")Q,这说明P"PQ"Q与)QP"PQ"相似, 另外,QP"PQ"=（PQ"）"（PQ"）,根据P,Q都是可逆实矩阵,PQ"也是可逆实矩阵,因此QP"PQ"正定,所以QP"PQ"的特征值都是正实数. 由于相似的矩阵具有相同的特征值,故AB=P"PQ"Q的特征值都是正实数.这就证明了AB正定.,6,

充分条件和必要条件的区别为：性质不同、应用不同、子集不同。一、性质不同1、充分条件：有甲这个条件—定会推出乙这个结果，有乙这个结果不一定是甲这唯一个条件。2、必要条件：有甲这个条件不一定能推出乙这个结果，但乙这个结果一定要有甲这个条件。二、应用不同1、充分条件：如果······就·····；一······就······；只要······就·····；······必须······；······就······；······是······；所有······都·····。2、必要条件：只有······才······；······是······的前提；······是······的基础；······对······不可或缺；除非······才······。三、子集不同1、充分条件：如果A是B的充分条件，那么A为B的子集，即属于A的一定属于B。2、必要条件：如果A是B的充分条件，那么B为A的子集，即属于B的一定属于A。

充分条件和必要条件的区别：一、判断方法不同1、必要条件：如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。2、充分条件：如果A能推出B，A就是B的充分条件二、条件不同1、必要条件：如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论，此条件为必要条件。2、充分条件：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件。三、推导不同1、必要条件：如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，就说A是B的必要条件。2、充分条件：如果A是B的充分条件。那么属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。必要条件是数学中的一种关系形式。如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作＂B含于A＂。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。

充分必要条件区分如下：1、充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。其中A为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。2、必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。充分条件和必要条件的关系：1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论（就像是团结的力量）。3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。

充要条件，必要条件，充分条件之间的联系：充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B这个结果。充要条件：条件A能推出结果B，结果B能推出条件A。充分条件和必要条件的区别是：一、如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。二、如果没有copyA，则必然没有B;如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件。数学上简单来说就是如果由2113结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。如果A是B的充分条件。那么属于5261A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B的也属于A，则A与B相等。

α1,α2,…αn线性无关，对任向量X设X=t1 *α1+t2 *α2…+tn *αn它们组成的方程组的系数行列式不为0 故方程组有唯一解任一n维向量可由它们表示故它们可以线性表示单位向量故与单位向量组等价

二阶导数存在的充分必要条件是一阶导函数满足在原函数闭区间内连续 开区间内可导

以下3者成立：①左右导数存在且相等是可导的充分必要条件。②可导必定连续。③连续不一定可导。所以，左右导数存在且相等就能保证该点是连续的。仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导：例如y=|x|在x=0点。扩展资料：相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。称  是  连续的，如果其导函数存在且是连续的。称  是  连续的，如果其导数是  的。一般地，称  是  连续的，如果其1阶，直到k阶导数存在且是连续的。若  任意阶导数存在，则称  是光滑的，或  的。全体  函数类构成Banach空间。在复分析中，称函数是可导的，如果函数在定义域中每一点处是全纯的。复函数可导等价于Cauchy–Riemann方程 [2]  。即，若  可导当仅当  满足下列方程：或等价地写成充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( 简称：充要条件 )，反之亦然 。参考资料：百度百科-可导函数 百度百科-充分必要条件

导数存在，还有一个最重要的必要条件，就是函数连续。

这是一个数学问题，自己算好了，这事我也是不懂的，你可以问到老师啊

以下3者成立：①左右导数存在且相等是可导的充分必要条件。②可导必定连续。③连续不一定可导。所以，左右导数存在且相等就能保证该点是连续的。仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导：例如y=|x|在x=0点。

正确

1、任何矩阵乘零矩阵等于零矩阵。2、A矩阵的行向量与B矩阵的列向量正交，则A×B=0。3、这个定理一般是反过来用的，若A×B=0（其中A为m行n列，B为n行s列），则r（A）+r（B）小于等于n。4、前一个矩阵的行空间与后一矩阵的列空间正交。扩展资料：1、当矩阵A的列数（column）等于矩阵B的行数（row）时，A与B可以相乘。2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。参考资料来源：百度百科-矩阵乘法

矩阵相似的充要条件：1、两者的秩相等。2、两者的行列式值相等。3、两者的迹数相等。4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。5、两者拥有同样的特征多项式。6、两者拥有同样的初等因子。若A与对角矩阵相似，则称A为可对角化矩阵，若n阶方阵A有n个线性无关的特征向量，则称A为单纯矩阵。相似矩阵具有相同的可逆性，当它们可逆时，则它们的逆矩阵也相似。矩阵等式：特征矩阵等价行列式因子相同不变，因子相同初等因子相同，且特征矩阵的秩相同转置矩阵相似。在线性代数中，相似矩阵是指存在相似关系的矩阵。设A，B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P存在，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似，记为A~B。

（这里的m-1全是下标）如果向量组A线性相关，则有不全为0的数k1,k2,……，km使k1a1+k2a2+……+kmam=0因为k1,k2,……，km不全为0，不妨设k1不等于零，所以a1=-1(k2a2+……+kmam)/k所以a1能由a2,a3,a4……am线性表示如果向量组A中有某个向量能由其余向量线性表示，不妨设am能由a1,a2……am-1线性表示既有h1,……hm-1使am=h1a1+……hm-1am-1所以h1a1+……+hm-1am-1+（-1）am=0因为h1,h2，……，hm-1，-1这m个数不全为零（至少-1不等于0），所以向量组A线性相关。

证明方式如下：假设向量组A线性相关，则有不全为0的数k1,k2,……，km使k1a1+k2a2+……+kmam=0。因为k1,k2,……，km不全为0，不妨设k1不等于零。所以a1=-1(k2a2+……+kmam)/k。所以a1能由a2,a3,a4……am线性表示。如果向量组A中有某个向量能由其余向量线性表示，。不妨设am能由a1,a2……am-1线性表示。既有h1,……hm-1使am=h1a1+……hm-1am-1。所以h1a1+……+hm-1am-1+（-1）am=0。因为h1,h2，……，hm-1，-1这m个数不全为零（至少-1不等于0），所以向量组A线性相关。扩展资料：对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。包含零向量的任何向量组是线性相关的。含有相同向量的向量组必线性相关。增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。若向量组所包含向量个数等于分量个数时，判定向量组是否线性相关即是判定这些向量为列组成的行列式是否为零。若行列式为零，则向量组线性相关；否则是线性无关的。定理如下：1、向量a1,a2, ···,an(n≧2)线性相关的充要条件是这n个向量中的一个为其余(n-1)个向量的线性组合。2、一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量。3、两个向量a、b共线的充要条件是a、b线性相关。4、三个向量a、b、c共面的充要条件是a、b、c线性相关。5、n+1个n维向量总是线性相关。参考资料来源：百度百科-线性相关

多元函数只有 “可微” 的说法，实际上是没有 “可导” 这一说法的。1、二元函数可微的必要条件：若函数在某点可微，则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。  2、二元函数可微的充分条件：若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在且均在这点连续，则该函数在这点可微。  3、多元函数可微的充分必要条件是f(x，y)在点（x0，y0）的两个偏导数都存在。  4、设平面点集D包含于R^2，若按照某对应法则f，D中每一点P(x，y)都有唯一的实数z与之对应，则称f为在D上的二元函数。扩展资料：可微和可导区别：一元函数中可导与可微等价，它们与可积无关。多元函数可微必可导，而反之不成立。  即：在一元函数里，可导是可微的充分必要条件；  在多元函数里，可导是可微的必要条件，可微是可导的充分条件。  设函数y=f(x)，若自变量在点x的改变量Δx与函数相应的改变量Δy有关系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A与Δx无关，则称函数f(x)在点x可微，并称AΔx为函数f(x)在点x的微分，记作dy，即dy=A×Δx，当x=x0时，则记作dy∣x=x0。  参考资料来源：百度百科-可微

各方向的偏导存在且连续

以下3者成立：①左右导数存在且相等是可导的充分必要条件。②可导必定连续。③连续不一定可导。所以，左右导数存在且相等就能保证该点是连续的。仅有左右导数存在且该点连续不能保证可导：例如y=|x|在x=0点。扩展资料：相对于初等数学而言，数学的对象及方法较为繁杂的一部分。广义地说，初等数学之外的数学都是高等数学，也有将中学较深入的代数、几何以及简单的集合论初步、逻辑初步称为中等数学的，将其作为中小学阶段的初等数学与大学阶段的高等数学的过渡。通常认为，高等数学是由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形成的一门基础学科。主要内容包括：极限、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微分方程。如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。称  是  连续的，如果其导函数存在且是连续的。称  是  连续的，如果其导数是  的。一般地，称  是  连续的，如果其1阶，直到k阶导数存在且是连续的。若  任意阶导数存在，则称  是光滑的，或  的。全体  函数类构成Banach空间。在复分析中，称函数是可导的，如果函数在定义域中每一点处是全纯的。复函数可导等价于Cauchy–Riemann方程 [2]  。即，若  可导当仅当  满足下列方程：或等价地写成充分必要条件也即充要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p ，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件 ( 简称：充要条件 )，反之亦然 。参考资料：百度百科-可导函数 百度百科-充分必要条件

1、可导是一个定义，对于基本函数我们可以运用它的性质得出可导的区间，非初等函数则要根据导数的定义。对于一元函数可导和可微是等价的说法，对于多元函数可偏导并不一定可微。 2、 对于初级函数，函数在区间（a,b)上连续，若在区间（a,b）上有X=Xo，存在c，c趋近于无穷小（即趋于0），f(Xo-c)=f(Xo+c)=f(Xo)，则f(x)在X=Xo处可导。对于其他函数，或许会不适用。

第一，数论中的拉格朗日定理。 1、拉格朗日四平方和定理，即费马多边形数定理特例。 每个自然数均可表示成4个平方数之和。3个平方数之和不能表示形式。 若在一个正整数的因数分解式中，没有一个数有形式如4k加3的质数次方，该正整数可以表示成两个平方数之和。 2、设p是一个素数，fx是整系数多项式，模p的次数为n，则同余方程fx恒等于0，即modp至多有n个互不相同的解。 第二，流体力学中的拉格朗日定理。 正压理想流体在质量力有势的情况下，若初始时刻某部分流体内无涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为无涡。反之，若初始时刻该部分流体有涡，则在此之前或以后的任何时刻中这部分流体皆为有涡。

函数有界性的充分必要条件是必须既有上界，又有下界。这个无法证明，因为这是有界函数的定义。也就是说规定了这样的函数才是有界函数。有界函数还有另一个定义：函数的绝对值小于等于某个非负数，则这个函数有界。所以函数有界性的充分必要条件也可以说成是函数的绝对值小于等于某个非负数。这个也无法证明，因为这也是定义。但是可以证明这两个定义其实是等价的，符合第一个定义的，必然符合第二个定义；符合第二个定义的，必然符合第一个定义。这是可以证明的。

条件：两个向量方向大小都相同。 等价向量组具有特点： 具有传递性、对称性及反身性。但向量个数可以不一样，线性相关性也可以不一样。任一向量组和它的极大无关组等价。向量组的任意两个极大无关组等价。两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。等价的向量组具有相同的秩，但秩相同的向量组不一定等价。